ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: i. ii. f () = ln. ( ) g() =. i. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = ( 0, + ). Η f είναι συνεχής στο Α. Έχουμε: Οπότε : f () = ln = ln + = (ln + ), > 0. > 0 f () = 0 (ln + ) = 0 ln = = = Επομένως: f () > 0 > και f () < 0 <. Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων της f.

2 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, και γνησίως αύξουσα στο, +. Παρουσιάζει ελάχιστο για = το f = ln = ( ) =. ii. Η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το A =. Η g είναι συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε: ( ) ( ) g () = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 = =. Οπότε : ( ) (4 ) g () = 0 = 0 ( ) (4 ) = 0 = ή = 4 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων της g Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,4] και γνησίως φθίνουσα στο [4, + ). Παρουσιάζει μέγιστο για = 4 το ( ) 4 7 g(4) = =. 4 4 Μεθοδολογία Όταν δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα, τότε από το πρόσημο της f βρίσκουμε τη μονοτονία της f. Στα σημεία στα οποία f () = 0, εκατέρωθεν των οποίων η f αλλάζει πρόσημο παρουσιάζει ακρότατα η f.

3 Παράδειγμα. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i. 4 f() = g() = + ii. ηµ + συν iii. ϕ () =, [ 0, π) iv. < h() = ln,, i. Το πεδίο ορισμού της f είναι το. Η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. f () = 4 +. = + = + =. Άρα = 0 (διπλή) ή =. f () > + >. Άρα > και 0. f () Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο (, ] Έχει ολικό ελάχιστο για =, το f ( ) =. ii. Το πεδίο ορισμού της g είναι το.. Η g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. = + + = =. g()

4 g () = 0 = 0 = ή = 0. Για το πρόσημο της g (), τη μονοτονία και τα ακρότατα της g έχουμε τον πίνακα: ( > 0 > και > 0 > > 0) Η g είναι γνησίως αύξουσα στα (,0] και [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [ 0, ]. Έχει τοπικό μέγιστο στο = 0, το g(0) = και τοπικό ελάχιστο για =, το g() =. iii. Η φ είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. ηµ + συν ηµ + συν συν + συν + ηµ ϕ () = = = + συν + συν + συν = = > 0 + συν ( + συν), για κάθε [ 0, ) π. Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα. Η μονοτονία και τα ακρότατα της φ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Άρα έχει ολικό ελάχιστο για = 0, το ϕ (0) = 0. iv. Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού το. Είναι συνεχής για <, ως πολυωνυμική και για > ως λογαριθμική. 4

5 lim h() lim 0 Επίσης ισχύουν: Άρα η h είναι συνεχής και στο 0 =. lim h() = lim ln = 0 και h() = 0. = =, + + Για <, h () = και για >, h () =. Η συνάρτηση h δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 =, διότι: h() h() lim = lim = lim + =, ενώ h() h() ln ln ln lim = lim = lim = k () = + + +, όπου k() = ln., < Άρα h () =., > Παρατηρούμε ότι h () = < 0 για >, h () = 0 = 0 = 0 και h () > 0 > 0 0 < <. Η μονοτονία και τα ακρότατα της h φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Παρατηρούμε ότι η h είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,0] και [ ) γνησίως αύξουσα στο [ 0, ] και έχει τοπικό ελάχιστο για = 0, το h(0) = και τοπικό μέγιστο για =, το h() = 0., +, Μεθοδολογία Για τη μελέτη τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f εφαρμόζουμε τα εξής:. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.. Εξετάζουμε αν αυτή είναι συνεχής. 5

6 . Βρίσκουμε την παράγωγο της f. 4. Λύνουμε την εξίσωση f () = Βρίσκουμε το πρόσημο της f, λύνοντας την ανίσωση f () > Φτιάχνουμε πίνακα που περιέχει: το πεδίο ορισμού, τα σημεία ασυνέχειας, τα σημεία που η f δεν είναι παραγωγίσιμη *, τις ρίζες της f, το πρόσημο της f και το είδος μονοτονίας της f σε κάθε διάστημα. * Τα σημεία που η f δεν είναι παραγωγίσιμη είναι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων. Σύμφωνα με το θεώρημα, δεν μας ενδιαφέρει αν η f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0 αλλά να είναι συνεχής σ αυτό και να αλλάζει το πρόσημο της f εκατέρωθεν του 0. Έτσι, η αναφορά μας στα σημεία που η f δεν ορίζεται είναι τυπική και γίνεται μόνο για τη σωστή παρουσίαση των συμπερασμάτων στον πίνακα μονοτονίας της f. 7. Χρησιμοποιούμε το θεώρημα της σελ. 6 του σχολικού βιβλίου Για τη μελέτη ολικών ακροτάτων έχουμε τα εξής:. Αν η f είναι ορισμένη και συνεχής σε ανοικτό διάστημα και έχει μόνο ένα ακρότατο τότε αυτό είναι ολικό.. Αν η f είναι ορισμένη, συνεχής και γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε διάστημα της αβ,, τότε έχει ελάχιστο (μέγιστο) το f( α ). μορφής [, ) α + ή [ ). Αν η f είναι ορισμένη, συνεχής και γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε διάστημα της αβ,, τότε έχει μέγιστο (ελάχιστο) το f( β ). μορφής (, ] β ή ( ] 4. Αν η f είναι ορισμένη και συνεχής σε διάστημα της μορφής [ αβ,, ] τότε εφαρμόζουμε το σχόλιο στη σελ. 64 του σχολικού βιβλίου. 6

7 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση ln 6 f() =. i. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να δείξετε ότι f() < 0. iii. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ln ) 6ln = είναι αδύνατη για >. i. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = ( 0, + ). Η f είναι συνεχής στο Α. Έχουμε: ln 6 ( ln 6) ( ln 6) f () = = = ( ln 6 ) ln = = ( ) 9 ln ln =,> 0. Οπότε : ( ) ln f () = 0 = 0 ln = 0 ln = = Επομένως: f () > 0 < και f () < 0 >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, και γνησίως φθίνουσα στο, + ). Παρουσιάζει μέγιστο για = το f ( ) ln 6 = =. ii. Επειδή η f έχει μέγιστο για = το f() f( ) f() 0 = <, έχουμε: f ( ) 0 <, άρα f() < 0. 7

8 iii. Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται : ln ln 6ln = 6ln = 0. Θέτουμε συνάρτηση Η g έχει πεδίο ορισμού το ln g() = 6ln. A = 0, + και είναι συνεχής. Έχουμε: ln ln 6 ln 6 g () = 6ln = = = f(). Από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε ότι f() < 0 άρα g () < 0, που σημαίνει ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως για > ισχύει Άρα ( ln ) Συνεπώς η εξίσωση ln g() < g() 6ln <. 6ln < 0 για κάθε >. ( ln ) 6ln = είναι αδύνατη για >. Μεθοδολογία Όταν δίνεται συνάρτηση f η οποία παρουσιάζει μέγιστο το f( 0) < 0,( ή ελάχιστο το f( 0) > 0) τότε f() < 0 ( ή f() > 0 αντίστοιχα). Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση g() = 0 είναι αδύνατη για > 0 με 0 Dgκαι την g γνησίως φθίνουσα (οπότε g() < g( 0) για κάθε > 0 ), αρκεί να δείξουμε ότι g( 0) < 0. 8

9 Παράδειγμα. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :. ( ) 4 8 Αν + f () = 5f() +, για κάθε να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ακρότατα και να βρείτε τις θέσεις των τοπικών ακρότατων. Από τη σχέση που μας έχει δοθεί παραγωγίζοντας έχουμε: + = f ()f () 5f () ( f () 5) f () 8 ( ) ( )( ) + = + + ( + )( + ) f () =. f () + 5 Οπότε : ( + )( + ) f () = 0 = = 0 f () + 5 = 0 ή = ή = Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων της f. Άρα η f παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα στις θέσεις = και = 0 και τοπικό μέγιστο στη θέση =. Μεθοδολογία Όταν δίνεται συναρτησιακή σχέση (ισότητα) για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο, και θέλουμε να δείξουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατα και να βρούμε τις θέσεις των ακρότατων, τότε παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας και λύνοντας ως προς f () βρίσκουμε τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η f και εκατέρωθεν των οποίων αλλάζει το πρόσημο της, τα οποία είναι και οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων. 9

10 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση + 4, f() =. ln( 4+ 5) +, < 5 i. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. ii. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f και να δείξετε ότι ln ln0 0 για < 5. i. Η f είναι παραγωγίσιμη για < και για < 5. Στο σημείο 0 = αρκεί να εξετάσουμε τη συνέχεια της f : lim f () = lim + 4 = 0, lim f () = lim ln = ln+ = Επίσης έχουμε f () = 0. Άρα η f είναι συνεχής στο σημείο 0 =. Για < έχουμε: f () = + 4 =, οπότε f () = 0 = 0 = 0 (δεκτή), f () > 0 [, 0) και f () 0 ( 0, ) <. Για < 5 έχουμε: 4 f () = ln ( 4 5) + + = + = ( ) = , οπότε (,5]. ( ) f () = 0 = 0 = (απορρίπτεται) και f () > 0 για κάθε Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 0

11 Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [, 0], [ ] φθίνουσα στο διάστημα [ 0, ] και παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα για = το,5 και γνησίως f ( ) =, για = το f () = 0 και τοπικά μέγιστα για = 0 το f (0) = 4, για = 5 το f (5) = ln0 +. ii. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = [, 5]. Στα κρίσιμα σημεία της f και στα άκρα του διαστήματος [, 5], η f έχει τιμές: f ( ) =, f () = 0, f (0) = 4 και f (5) = ln0 +. ln γν. αυξ. Επειδή ln0 + > 4 ln0 > ln0 > ln 0 >, η μέγιστη τιμή της f στο [, 5] είναι ίση με l n0 + και παρουσιάζεται για = 5, ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 0 και παρουσιάζεται για =. Επειδή η f για = 5 παρουσιάζει μέγιστο, στo διάστημα (,5 ] θα ισχύει : f () f (5) ln ln0 + ln ln0 0 Μεθοδολογία Όταν μας δίνεται συνάρτηση f διπλού τύπου για την εύρεση τοπικού ακρότατου στο σημείο 0 που αλλάζει τύπο η f, δεν μας ενδιαφέρει η παραγωγισιμότητα αλλά μόνο η συνέχεια στο 0 και η μονοτονία της f πριν και μετά το 0. Αν η f είναι ορισμένη και συνεχής στο [ αβ,, ] τότε η μεγαλύτερη από τις τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα αβείναι, η μέγιστη τιμή της f και η μικρότερη από αυτές η ελάχιστη τιμή της f. Αν η f παρουσιάζει μέγιστο στο [, ] όπου [ αβ, ]. αβ για = 0, τότε f() f( 0) για κάθε

12 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln 4 +. i. Να δείξετε ότι έχει μέγιστο. ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση ln = είναι αδύνατη. i. Το πεδίο ορισμού της f είναι το ( 0, + ). Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 8 f () = 8 = 8 f () = 0 = 0 8 = 0, που ισχύει για =, αφού > 0. 8 > > >, που ισχύει για > 0 f () < <. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η f έχει μέγιστο για =, το f = ln 4 + = ln < 0. ii. Είναι ln = ln 4 + = 0 f () = 0. Από το α) ερώτημα έχουμε ότι η f έχει μέγιστο το ln. Άρα ισχύει f ln < 0, για κάθε > 0. Οπότε η εξίσωση f() = 0 είναι αδύνατη. Το ίδιο ισχύει και για την αρχική εξίσωση, με την οποία είναι ισοδύναμες. Μεθοδολογία ii. Για να δείξουμε ότι μία εξίσωση f() = 0 είναι αδύνατη, αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση f έχει ελάχιστο τον θετικό αριθμό µ ή μέγιστο τον αρνητικό αριθμό M δηλαδή ότι ισχύει f 0 µ>, για κάθε Df ή f M< 0, για κάθε Df.

13 Παράδειγμα 5. i. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f() =. ii. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης g() = +. i. Η συνάρτηση f() = έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f () =. f () = 0 = 0 = 0. f () > 0 > 0 > 0. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα 0, + και γνησίως φθίνουσα στο στο [ ) (,0]. Έχει ελάχιστο για = 0, το f (0) = 0. g() = + έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. ii. Η συνάρτηση = + = + = g () ( α) = = f() Άρα: g () = 0 f() = 0 = 0 ή f() = 0. Άρα = 0 (αφού από το (i) ερώτημα προκύπτει ότι η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική ρίζα το = 0)

14 f: γν. φθίν. Αν < 0 f() > f(0) = 0, οπότε, f() < 0 ή g () < 0. f: γν. αύξ. Αν > 0 f() > f(0) = 0, οπότε, f() > 0 ή g () > 0. Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Για το πρόσημο της g έχουμε: g: γν. φθίν. < 0 g() > g(0) = 0 και g: γν. αύξ. > 0 g() > g(0) = 0. Άρα g() > 0, για κάθε 0. Μεθοδολογία Για να μελετήσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης, πρώτα μελετάμε τη μονοτονία και τα ακρότατά της και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ορισμό της μονοτονίας στα διάφορα διαστήματα του πεδίου ορισμού. Βέβαια, η μελέτη του προσήμου με αυτόν τον τρόπο γίνεται όταν το ακρότατο ισούται με μηδέν. 4

15 Παράδειγμα 6. Να δείξετε ότι η συνάρτηση π 0,. f() = ηµ + έχει ακριβώς μία θέση μεγίστου στο διάστημα Η f π () = συν + είναι συνεχής στο 0, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. π π π π f (0) = συν 0+ 0= > 0 και f = συν + = < 0. π Δηλαδή f (0) f < 0. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση f π () = 0, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0,. Επίσης, f π () = ηµ < 0, για κάθε 0,. Άρα η f π () είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. Οπότε η ρίζα της εξίσωσης f π () = 0 είναι μοναδική, και έστω 0 η ρίζα αυτή στο 0,. Τότε έχουμε: f: γν. φθίν. 0 < < f () > f f () > και f: γν. φθίν. π 0 < < f () < f ( 0) f () < 0. π Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f έχει ακριβώς μία θέση μεγίστου στο 0,. Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι η παραγωγίσιμη συνάρτηση f έχει ακριβώς μία θέση ακροτάτου στο αβ,, πρώτα εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f και αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) αβ. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι αυτή η ρίζα είναι μοναδική και ότι αλλάζει το πρόσημο της f, εκατέρωθεν της ρίζας, χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της f. 5

16 Παράδειγμα 7. Να αποδείξετε ότι ln, για κάθε > 0. Η ανισότητα ισοδύναμα γράφεται Θεωρούμε τη συνάρτηση ln + 0. h() = ln +, > 0. Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Είναι: h () = 4ln + 6 = 4 ln h () = 0 4 ( ln ) = 0 ln = =. > 0 h () > 0 4 ln > 0 ln > >. Η μονοτονία και τα ακρότατα της h φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Η h έχει ελάχιστο για =, το h() = ln + = 0. Άρα ισχύει h() h() h() 0, για κάθε > 0. Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε μια ανισοϊσότητα της μορφής f() g() ή f() g(), συνήθως θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() και αποδεικνύουμε ότι αυτή έχει ακρότατο. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ορισμό του ακροτάτου και κατασκευάζουμε την ανισοϊσότητα. 6

17 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Δίνονται οι μιγαδικοί z= κ i, w =κ+ + i με κ. i. Να βρείτε την τιμή του κ ώστε οι εικόνες A(z), B(w) των παραπάνω μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο να έχουν την ελάχιστη απόσταση, καθώς και την απόσταση αυτή. ii. Αν κ= να βρείτε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και να δείξετε ότι είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() = ηµ +. i. Η απόσταση των δύο τυχαίων σημείων A(, κ ), B( κ+, ) δίνεται από τη συνάρτηση: f ( κ ) = +κ + κ = κ + 4κ+ 0, κ. Έχουμε: ( 4 0 κ + κ+ ) 4κ+ 4 f ( κ ) = ( κ + 4κ+ 0 ) = = κ + κ+ κ + κ κ+ 4 f( κ ) = 0 = 0 4κ+ 4= 0 κ=. κ + 4κ+ 0 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων της f.. Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο για κ= το f( ) = = 8 =. Επομένως για κ= έχουμε την ελάχιστη απόσταση των μιγαδικών z, w που είναι ίση με. 7

18 ii. Για κ= έχουμε τα σημεία A(,), B(0,) ΑΒ: λ ΑΒ = = 0 με συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας και μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ το σημείο Μ (, ). Οπότε η μεσοκάθετος του ΑΒ έχει εξίσωση: ε:y = ( ) y= +. λ ΑΒ Τα κοινά σημεία της ε με την + = ηµ + ηµ =. Cg δίνονται από τη λύση της εξίσωσης: Παρατηρούμε ότι το = 0 είναι μια προφανή ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε συνάρτηση h() = ηµ. Έχουμε : h () = ηµ = συν, Επειδή h () 0 για κάθε με h () = 0 συν = 0 συν = = λπ, λ. Η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο. Άρα η εξίσωση ηµ = έχει μοναδική λύση την = 0. g () = ηµ + = συν, με g (0) = συν 0 = και g(0) =. Επίσης Οπότε η εφαπτομένης της C στο σημείο ( 0,) g Γ έχει εξίσωση: y = g (0) 0 y= +, δηλαδή η μεσοκάθετος (ε) του ΑΒ. ( ος τρόπος για την επίλυση της εξίσωσης ηµ = : Παρατηρούμε ότι το = 0 είναι μια προφανή ρίζα της εξίσωσης. Όπως γνωρίζουμε η εξίσωση ηµ = έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. (σχολικό βιβλίο σελίδα 70) Άρα και η εξίσωση ηµ = έχει μοναδική ρίζα την = 0. ) 8

19 Μεθοδολογία Όταν μας δίνονται δύο μιγαδικοί (z, w) ως συνάρτηση μιας παραμέτρου ( κ ) για να βρούμε την ελάχιστη απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο, αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f( κ) η οποία ορίζεται από την απόσταση των σημείων A(z), B(w). Για να δείξουμε ότι η μεσοκάθετος (ε) του σταθερού ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης g, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό κοινό σημείο της ε με την ταυτίζεται με την ε. C g στο οποίο η εφαπτομένη της C g 9

20 Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση και f () = 0. ln i. Να δείξετε ότι f() =. f : 0, + για την οποία ισχύουν f () + f () = ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii. Να δείξετε ότι >., για κάθε 0 + = + = =. i. Είναι f () f() f () f() ( f() ) ( ln ) Άρα υπάρχει c τέτοιο, ώστε f () = ln + c και επειδή για =, το f () = 0, έχουμε f () = ln + c c = 0. Επομένως ln = =, > 0. f() ln f() ii. Η f είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και ισχύει ln ln ln ln ln f () = = = = ln f () = 0 = 0 ln = 0 =. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα. ln > 0 f () > 0 > 0 ln > 0, δηλαδή 0< <. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, και γνησίως φθίνουσα στο, + ). Έχει ln μέγιστο για =, το f( ) = =. 0

21 iii. Επειδή η f έχει μέγιστο το, ισχύει f(), για κάθε > 0. Άρα ln >. ln ln, για κάθε 0 Μεθοδολογία i. Χρησιμοποιώντας την ισότητα που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση και την παράγωγό της, δημιουργούμε παράγωγο κατάλληλης συνάρτησης σε κάθε μέλος της ισότητας. Έτσι υπολογίζουμε την άγνωστη συνάρτηση εφαρμόζοντας το πόρισμα, στη σελ. 5 του σχολικού βιβλίου. iii. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο παράδειγμα η απόδειξη της ανισοϊσότητας έγινε, αφού εκμεταλλευτήκαμε τον ορισμό του μεγίστου που έχει η συνάρτηση f η οποία μελετήθηκε σε προηγούμενο ερώτημα. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/0