Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
|
|
- Μελέτη Πρωτονοτάριος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση στο [, ] να είναι συνεχής Η συνάρτηση στο, να είναι παραγωγίσιμη Όταν μας ζητούν να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ σε μια συνάρτηση στο διάστημα [, ] ουσιαστικά μας ζητούν να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) Για να βρούμε το ξ πρέπει: a Να βρούμε την παράγωγο της ( ) ( a) Να λύσουμε την εξίσωση '( ) a Tα ξ που βρήκαμε να ανήκουν στο διάστημα, 3 Aν η είναι πολύκλαδη τότε: Για να εξετάσουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία αλλαγής του τύπου της χρησιμοποιούμε τους αντίστοιχους ορισμούς ( ) ( a) Την εξίσωση '( ) a την λύνουμε ξεχωριστά για κάθε κλάδο της παραγώγου 65
2 Τρόπος αντιμετώπισης: 4 Αν μας ζητήσουν να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς μια ευθεία μας ζητούν μας ζητούν να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ (αυτή η εκφώνηση αποτελεί την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος) 7 Δίνεται η συνάρτηση,, α) Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στο διάστημα, για τη συνάρτηση β) Να βρεθεί το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία, ΛΥΣΗ και,4 α) Για η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με ' Για ' η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με Στο σημείο έχουμε: lim lim lim lim lim, άρα η είναι παραγωγίσιμη και στο με Οπότε, <, =, > και ' Τελικά, η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο,, οπότε εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την συνάρτηση β) Επειδή και 4 τα σημεία, υπάρχει, ώστε η εφαπτομένη της στο σημείο προς την ευθεία ανήκουν στην, και λόγω του ΘΜΤ, να είναι παράλληλη 66
3 Δηλαδή λόγω ΘΜΤ υπάρχει, : ' ζητούμενο σημείο είναι το, έχουμε ' άρα άτοπο 3 3 ' άρα άτοπο ' 4 3 Αν, έχουμε ' άρα, και αφού Αν, Αν 5 6, το Κατηγορία η Εύρεση ξ ώστε να ισχύει μια σχέση Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα ξ ώστε να ισχύει η σχέση ' και γνωρίζουμε την συνάρτηση Εξετάζουμε εάν ισχύουν οι απαιτούμενες συνθήκες του ΘΜΤ και το εφαρμόζουμε στο κατάλληλο διάστημα Όταν μας ζητούν να βρούμε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει εφαπτομένη παράλληλη σε μια ευθεία (ε) πρέπει να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ) 7 Έστω η συνάρτηση, με: e α) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ' e β) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: e ΛΥΣΗ Να αποδείξετε ότι: α) Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων 67
4 είναι παραγωγίσιμη στο, με ' e άρα υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ' e e e e β) Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με ' e e e e τέτοιο, ώστε: ' e άρα υπάρχει, ' e e e e Οπότε: 73 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3 4 3, όπου,,, με Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της στο σημείο, να σχηματίζει γωνία με τον άξονα τον 3 ΛΥΣΗ Γνωρίζουμε ότι άρα αρκεί να δείξουμε ' ' ' 3 3 Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική είναι παραγωγίσιμη στο, με ' 3 Άρα υπάρχει, τέτοιο ώστε ' 8 4 ' ' 4 ' 3 3, 3 3 Όμως άρα άρα - και αφού έχουμε κ = Οπότε 3 68
5 Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα ξ ώστε να ισχύει μια σχέση που περιέχει τον όρο ' και δεν γνωρίζουμε την συνάρτηση oς τρόπος Φέρνουμε την σχέση στην μορφή ' g Θέτουμε όπου ξ το και θεωρούμε συνάρτηση g Εξετάζουμε εαν ισχύουν οι απαιτούμενες συνθήκες του ΘΜΤ για την συνάρτηση g και το εφαρμόζουμε στο κατάλληλο διάστημα 74 Έστω συνεχής στο, δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε παραγωγίσιμη στο ', με, ΛΥΣΗ Θέτουμε όπου ξ οπότε έχουμε ' και θεωρούμε την συνάρτηση Για τη ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο, Άρα, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: ' Τρόπος αντιμετώπισης: oς τρόπος Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση g Βρίσκουμε μια συνάρτηση G (αρχική) που η παράγωγος της να ισούται με την συνάρτηση g Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την G 69
6 Τρόπος αντιμετώπισης: 3 oς τρόπος Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση g Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την g oς τρόπος για την άσκηση 74 Θέτουμε όπου ξ οπότε έχουμε ' και θεωρούμε την συνάρτηση g Για τη g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών είναι παραγωγίσιμη στο, με g ga a, g Οπότε ga g Άρα, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Παρατήρηση g ' άρα Ο 3 oς τρόπος δεν μπορεί εφαρμοσθεί σε αυτή την άσκηση αφού δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής (άρα και η g) οπότε δεν ισχύει το θεώρημα Bolzano 75 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με για κάθε και e, όπου Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε ' ΛΥΣΗ ' ' ln ' Οπότε η συνάρτηση την οποία πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η g ln Για τη g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: 7
7 είναι συνεχής στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με ' g' άρα από το υπάρχει, ln ln g ' τέτοιο ώστε e g' ln g' ln ln e g' g' Επομένως ' ' oς τρόπος Θεωρούμε την συνάρτηση h με τύπο h e Η h στο, είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών Η h στο, είναι παραγωγίσιμη με h' e e ' e ' h e e e e e h Επομένως η h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστο, τέτοιο ώστε h' e ' ' 76 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο, και, για κάθε, Να δείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε ' ln ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: ' ln ln ln ln ' ln ln ' 7
8 Θεωρούμε τη συνάρτηση g ln,, Για τη g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, αφού: είναι συνεχής στο, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με g' Άρα, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, g g g ' ή ' τέτοιο, ώστε: ' ln ln Σημείωση: Ουσιαστικά τις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας τις έχουμε δουλέψει ξανά (κεφάλαιο 6 κατηγορία ) Απλώς τώρα δείχνουμε ότι μπορεί να λυθούν και με χρήση του ΘΜΤ Αυτό βέβαια έπρεπε να το περιμένουμε αφού το θεώρημα Rolle είναι μια υποπερίπτωση του θεωρήματος μέσης τιμής Ο ποιο συνηθισμένος (και πολλές φορές ευκολότερος) τρόπος αντιμετώπισης αυτών των ασκήσεων είναι με την βοήθεια του θεωρήματος Rolle Κατηγορία 3 η Εύρεση ξ, ξ,, ξ ν ώστε να ισχύει μια σχέση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι υπάρχουν,,,, σχέση που περιέχει τους όρους ', ',, ' τέτοια ώστε να ισχύει μια τότε Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε τόσα υποδιαστήματα όσα και τα ξ (τα διαστήματα δεν είναι πάντα ίσου πλάτους) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την σε καθένα από τα υποδιαστήματα οπότε βρίσκουμε τα ', ',, ' 7
9 Τρόπος αντιμετώπισης: Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' στην ζητούμενη σχέση Βέβαιο το πιο σημαντικό είναι να μπορέσουμε να βρούμε τα υποδιαστήματα που θα εφαρμόσουμε το ΘΜΤ Η μεθοδολογία εύρεσης την διαστημάτων δεν είναι συγκεκριμένη αλλά εξαρτάται από την μορφή της άσκησης Παρακάτω αναγράφου τις πιο σημαντικές περιπτώσεις Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Μπορούμε από τα δεδομένα ή τα προηγούμενα ερωτήματα,, της άσκησης να βρούμε κάποια Τρόπος αντιμετώπισης: Με την βοήθεια κυρίως των θεωρημάτων Βolzano και Rolle (χωρίς να αποκλείονται φυσικά και οι άλλοι τρόποι εύρεσης ριζών) βρίσκουμε κάποια,, Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής συνήθως στα διαστήματα [α, ], [, ],, [ ν-, β] οπότε βρίσκουμε τα αντίστοιχα ', ',, ' τα οποία τα αντικαθιστούμε στην αρχική σχέση 77 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :, α) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τέτοια, ώστε ' ' ΛΥΣΗ με και, να δείξετε ότι υπάρχουν,, α) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση τουλάχιστον, ρίζα στο, Θεωρούμε τη συνάρτηση g,, έχει μια, 73
10 Για την g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,, αφού είναι συνεχής στο, g, g ισχύει g g αφού g έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα Άρα η εξίσωση, β) Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα, και, ερωτήματος, αφού είναι συνεχής στα, είναι παραγωγίσιμη στα και,, και, Άρα υπάρχουν, και, ' ' τέτοια, ώστε ' ' Οπότε 78 Έστω συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο διάστημα Να αποδείξετε ότι:, 4 β) Αν 5 να είναι κάθετες μεταξύ τους α) Υπάρχει, τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ και, τότε υπάρχουν,, α) Θέτουμε όπου το και έχουμε Θεωρούμε τη συνάρτηση h, όπου το του (α),, τέτοια, ώστε:, ώστε οι εφαπτόμενες της στα,, 74
11 Για την h ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,a, αφού είναι συνεχής στο,a ως παραγωγίσιμη, h 3 και h Άρα hh Επομένως υπάρχει, ώστε h και συνεπώς, β) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν,,, ώστε Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα ερωτήματος, αφού είναι συνεχής στα, και, είναι παραγωγίσιμη στα, και, Άρα υπάρχουν,,, τέτοιοι, ώστε: 4 ' ' Οπότε είναι:, ' ' και, όπου το του (α) ' ' και συνεπώς οι εφαπτόμενες ευθείες της στο και αντίστοιχα, είναι κάθετες μεταξύ τους 79 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα, στο, με Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ' ' ΛΥΣΗ Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,, αφού είναι συνεχής στο,, a, παραγωγίσιμη τέτοια ώστε: 75
12 Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα ερωτήματος, αφού είναι συνεχής στα, και, είναι παραγωγίσιμη στα, και, Άρα υπάρχουν, και, ' ' τέτοια ώστε:, και, όπου το του (α), Οπότε: ' ' (αφού και ) Τρόπος αντιμετώπισης: Στις ασκήσεις που λύσαμε μέχρι τώρα τα διαστήματα στα οποία εφαρμόζαμε το ΘΜΤ δεν είχαν κοινά σημεία μεταξύ τους Άρα και τα,, βρίσκαμε ήταν μεταξύ τους διαφορετικά,, που Όμως υπάρχουν ασκήσεις όπου μας ζητούν να βρούμε,,,, που δεν είναι όλα διαφορετικά Επίσης τα στοιχεία που δίνονται από την άσκηση μας επιτρέπουν να βρούμε ένα λιγότερο διάστημα από αυτά που χρειαζόμαστε Σε αυτές τις ασκήσεις συνήθως ένα από τα ξ τα βρίσκουμε με εφαρμογή του ΘΜΤ στο διάστημα, 7 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, Να αποδειχθεί ότι: α) υπάρχει τέτοιο, ώστε 4 3, β) υπάρχουν,,, και παραγωγίσιμη στο,, με, με τέτοια, ώστε: ΛΥΣΗ ' ' '
13 α) Θεωρούμε τη συνάρτηση g 4 3 Για την g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο,, αφού Η g είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών g g 4 3 Είναι επομένως: gg διότι Άρα, υπάρχει, τέτοιο, ώστε: g β) Η άσκηση μας υποχρεώνει Οπότε πρέπει να εφαρμόσουμε για τα, το ΘΜΤ σε διαστήματα που δεν έχουν κοινό σημείο μεταξύ τους Όμως για το ξ δεν έχουμε περιορισμό να είναι διάφορο των, Επίσης με την βοήθεια του πρώτου ερωτήματος και των δεδομένων της άσκησης μπορούμε να βρούμε δύο διαστήματα,,, ενώ χρειαζόμαστε τρία Οπότε το ξ το θα βρεθεί με εφαρμογή του ΘΜΤ στο διάστημα, Στα διαστήματα,,,,, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ Υπάρχουν επομένως,,, και, ', ', ' Από τις πρώτες δύο σχέσεις παίρνουμε: 3 ' ' τέτοια, ώστε:
14 4 4 4 Σημείωση ' Επειδή θα είναι και ', ', 3 3 ' 4 4 και όμοια: ' 4 ', αφού Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η άσκηση μας δίνει τα διαστήματα Τρόπος αντιμετώπισης: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα που μας δίνει η άσκηση Αν έχουμε ένα διάστημα λιγότερο από όσα θέλουμε βρίσκουμε ένα από τα ξ με εφαρμογή του ΘΜΤ συνήθως στο διάστημα, 7 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα,4 Να αποδειχθεί ότι:,4 και παραγωγίσιμη στο α) για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα,3 και β) υπάρχουν,,,4 τέτοια, ώστε: ' ' ' ΛΥΣΗ με α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στα,3, 3, 4, ως συνεχής στο στα,3, 3, 4 ως παραγωγίσιμη στο στα,3, 3, 4 3,4,, 4 και παραγωγίσιμη, 4 Επομένως εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την β) Σύμφωνα με το ΘΜΤ για την στα,3, 3, 4,, 4 υπάρχουν,3,, 4 τέτοια, ώστε: 3, 4 και 78
15 ' 3 3, ' , ' 4 4 Άρα με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: 4 ' ' ' 4 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Να γνωρίζουμε κάποιες τιμές της στο διάστημα, Τρόπος αντιμετώπισης: Αν γνωρίζουμε κάποιες τιμές της στο διάστημα,, τότε για παράδειγμα τα Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [α,γ], [γ,δ], [δ,β] Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 7 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει, , με Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, και,,,7, διαφορετικά ανά δύο, ώστε 3 ' ' ' 3 ΛΥΣΗ Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα, 7 σε 3 υποδιαστήματα και να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ σε καθένα από αυτά,, 4 6 και,,, 4 και 4,7 Αφού γνωρίζουμε ότι 4 χωρίσουμε το, 7 στα εξής υποδιαστήματα: 7 3, είναι λογικό να Η είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα,,, 4 και 4,7, αφού είναι παραγωγίσιμη στο Επίσης η είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα,,, 4 και 4,7 εφαρμόζεται το ΘΜΤ, σύμφωνα με το οποίο: 79
16 υπάρχει, τέτοιο, ώστε: υπάρχει, 4 τέτοιο, ώστε: ' υπάρχει 3 4,7 τέτοιο, ώστε: 3 Για τα παραπάνω,, 3,7 4 ' ' , που είναι διαφορετικά ανά δύο, ισχύει ότι: ' ' ' Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι της μορφής ' ' ' και δεν έχουμε στοιχεία για να βρούμε τα διαστήματα Τρόπος αντιμετώπισης: Χωρίζουμε το διάστημα, σε ν διαστήματα (όσα και τα ξ) ίσου πλάτους Το πλάτος θα είναι ίσο με Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα παραπάνω διαστήματα Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 73 Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει 3 και Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, τέτοια, ώστε ' ' 4 ΛΥΣΗ Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα, σε διαστήματα ίσου πλάτους, τα οποία είναι:, και, 8
17 Η είναι συνεχής σε καθένα από τα, και, και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα, και,, αφού η είναι παραγωγίσιμη στο, Επομένως σε καθένα από τα διαστήματα, και, εφαρμόζεται για την το ΘΜΤ, σύμφωνα με το οποίο: υπάρχει ένα τουλάχιστον:, τέτοιο, ώστε: ' υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: ' Για τα παραπάνω,, ισχύει ότι: ' ' Χωρισμός του, σε ίσα διαστήματα Κάθε υποδιάστημα έχει πλάτος άρα,,, Χωρισμός του, σε 3 ίσα διαστήματα Κάθε υποδιάστημα έχει πλάτος άρα 3, 3, 3, 3 3 3, 3 3, 3 8
18 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι της μορφής ' ' ' με,,, φυσικοί αριθμοί και δεν έχουμε στοιχεία για να βρούμε τα διαστήματα Τρόπος αντιμετώπισης: Χωρίζουμε το διάστημα, σε ν διαστήματα (όσα και τα ξ) ως εξής: Βρίσκουμε το πλάτος του διαστήματος, που είναι c = β α Θεωρούμε τα υποδιαστήματα [α, ], [, ],, [ ν-, β] με αντίστοιχα πλάτη c c, c c,, c c όπου Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα παραπάνω διαστήματα Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, 3 3,5 ώστε ' ' 3 ' 4 3 για την οποία ισχύει ότι, διαφορετικά ανά δύο, ΛΥΣΗ Το πλάτος του διαστήματος 3,5 είναι c β-α 5 3 Επίσης είναι: άρα 3 6 Θα χωρίσουμε το διάστημα 3,5 σε τρία υποδιαστήματα με πλάτη: c c 6 c c c3 c 6 6 8
19 Θεωρούμε δηλαδή τα διαστήματα: Η είναι συνεχής στο 3,5, 5,9, 9,5 3,5 και παραγωγίσιμη στο 3,5, αφού είναι παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει 3,5, ώστε: ' Ομοίως υπάρχουν 5,9 και 3 9,5, ώστε: ' και ' Ισχύει ότι: ' ' 3 ' Κατηγορία 4 η Εύρεση ξ σε ασκήσεις που περιέχουν τον όρο Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει η σχέση τότε: Με την βοήθεια των δεδομένων ή των προηγούμενων ερωτημάτων χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε δύο υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση σε κάθε υποδιάστημα το ΘΜΤ ή το θrolle και βρίσκουμε δύο, Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το θrolle στο διάστημα, 83
20 Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει η σχέση 3 τότε: Με την βοήθεια των δεδομένων ή των προηγούμενων ερωτημάτων χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε τρία υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση σε κάθε υποδιάστημα το ΘΜΤ ή το θrolle ή το θbolzano και βρίσκουμε τρία,, 3 Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ ή το θrolle στα διαστήματα,,, 3 και βρίσκουμε δύο 4, 5 Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το θrolle στο διάστημα, Δίνεται συνάρτηση :, 3 και υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3, ώστε δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει 3 3 4, με, Να αποδείξετε ότι '' ΛΥΣΗ Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,, ώστε: ' 3 Η είναι συνεχής στο,3 και παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,3, ώστε: 3 ' Η ' είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο 3 και παραγωγίσιμη στο,,,, αφού είναι παραγωγίσιμη στο,3, αφού είναι παραγωγίσιμη στο, αφού η είναι δύο φορές 84
21 Επίσης ισχύει: ' ' Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει,,3, ώστε: '' 76 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο Αν στη γραφική παράσταση της υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο ώστε '' ΛΥΣΗ Αν,,, και, τα τρία σημεία με Τότε αφού είναι συνευθειακά ισχύει () Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, το ΘΜΤ υπάρχει, ', αφού είναι παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με, ώστε: Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, το ΘΜΤ υπάρχει, ' Η, αφού είναι παραγωγίσιμη στο Σύμφωνα με, ώστε: ' είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο,,, αφού η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Επίσης ισχύει από () ότι ' ', Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει, ώστε: '' Υπενθύμιση Όταν γνωρίζουμε δύο σημεία A (, y) και B (, y ), με μιας ευθείας τότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι: y y λ Όταν γνωρίζουμε την γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον τότε λ = εφω με ω Αν ε και ε δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ τότε ισχύουν: ε // ε λ = λ και 85
22 Τρόπος αντιμετώπισης: 3 Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει η σχέση ή με τότε: ή Με την βοήθεια των δεδομένων ή των προηγούμενων ερωτημάτων χωρίζουμε το διάστημα [α, β] σε δύο υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά σημεία μεταξύ τους Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση σε κάθε υποδιάστημα το ΘΜΤ ή το θrolle και βρίσκουμε δύο, Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, την περίπτωση για την ) (για μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το θrolle 4 Όταν θέλουμε να βρούμε ένα, ώστε να ισχύει μια σχέση που περιέχει αλλά δεν είναι μια από τις προηγούμενες μορφές χρησιμοποιούμε θrolle (κοίτα άσκηση 64) 77 Δίνεται η συνάρτηση: Να αποδείξετε ότι:,, α) Υπάρχουν τέτοιοι, ώστε: β) Υπάρχει τέτοιο, ώστε: '', ' ' ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα,,,,,, αφού η είναι παραγωγίσιμη στο και παραγωγίσιμη στα Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχουν, και, ώστε: 86
23 ' 4 και ' ' ' Οπότε: β) Έχουμε ' 4, Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, Άρα,, τέτοιο, ώστε: '',αφού ' ' Αφού ' και ' 78 Έστω συνεχής συνάρτηση στο, με Αν για κάποιο, είναι α) υπάρχουν,, τέτοια, ώστε ' ', β) υπάρχει, τέτοιο, ώστε '' ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα,, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο,, να αποδειχθεί ότι:,, και παραγωγίσιμη στα,, Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής υπάρχουν, και, ', ' διότι, και β) Η συνάρτηση ' είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο, ' ' Επομένως τέτοια, ώστε: (ως παραγωγίσιμη στο,, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,, άρα και, τέτοιο, ώστε: ) και 87
24 ' ' διότι, και '' Κατηγορία 5 η Ανισώσεις και ΘΜΤ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Μας δίνουν για ανισοτική σχέση για την ',, και μας ζητούν μια ανισοτική σχέση για το,, Τρόπος αντιμετώπισης: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα, ή, ανάλογα με τα δεδομένα της άσκησης Χρησιμοποιούμε την ανισοτική σχέση για την ' 79 Δίνονται οι συναρτήσεις :,, g :, πεδίο ορισμού τους επίσης ισχύουν ότι: ', οι οποίες είναι συνεχείς στο για κάθε, 8 g' 9, για κάθε, g Δείξτε ότι: 7 g 9 ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την στο, και για την g στο, Άρα υπάρχουν:, : ',, : g' g g () οπότε ' g' g ' Όμως g Και λόγω της (): g g 7 ' ' 9 8 ' και
25 7 Έστω συνεχής συνάρτηση στο, 3 με και, 3 Να αποδειχθεί ότι 3 8 ΛΥΣΗ Ισχύει ότι Άρα αρκεί να δείξουμε ότι Η είναι συνεχής στο, 3 και παραγωγίσιμη στο, 3 Σύμφωνα λοιπόν με το ΘΜΤ υπάρχει, 3 τέτοιο, ώστε: 3 3 ' () 3 Όμως ',4 και έτσι: 3 ' ' 4 για κάθε Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Απόδειξη ανισοτήτων μιας μεταβλητής Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ανισότητες μιας μεταβλητής έχουμε τους παρακάτω τρόπους Με χρήση μονοτονίας (ο πιο συχνός) Με την βοήθεια των ακροτάτων ΘΜΕΤ ΘΜΤ Με την κυρτότητα Ιδιότητες ολοκληρωμάτων Με βοήθεια ταυτοτήτων Με την τριγωνική ανισότητα Με συνδυασμό των παραπάνω Φυσικά όλες οι ανισότητες δεν μπορούν να κατηγοριοποιηθούν Ο συνηθέστερος τρόπος απόδειξης είναι η μονοτονία που θα δούμε και σε επόμενο κεφάλαιο Όμως εμείς τώρα θα εξετάσουμε πως μπορούμε να αποδεικνύουμε ανισότητες μιας μεταβλητής με την χρήση του ΘΜΤ 89
26 Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, οπότε προκύπτει, τέτοιο ώστε Με την βοήθεια των δεδομένων αποδεικνύουμε ότι 7 Έστω παραγωγίσιμη στο, ώστε και, Να δείξετε ότι:, για, ' για κάθε ΛΥΣΗ Έχουμε: Θεωρούμε την συνάρτηση στο διάστημα στο διάστημα t με,, με, t και εφαρμόζουμε ΘΜΤ για την συνάρτηση Οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε: ' Όμως ' άρα άρα 7 Να αποδείξετε ότι: ln ln για κάθε ΛΥΣΗ Έχουμε ln ln άρα ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση t ln t, t και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την συνάρτηση στο διάστημα, όπου 9
27 Έχουμε λοιπόν: ' lnln (), ln ln οπότε ln ln Όμως άρα με τη βοήθεια της () έχουμε Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, οπότε προκύπτει, τέτοιο ώστε Με την βοήθεια της μονοτονίας της ' αποδεικνύουμε το ζητούμενο 73 Έστω μια συνάρτηση της οποίας η ' είναι γνησίως αύξουσα στο, Να αποδείξετε ότι: ', για κάθε ΛΥΣΗ Έχουμε ότι ' t, t Για την συνάρτηση αφού είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Άρα υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' Οπότε, αρκεί να δείξουμε ' ' ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο,, ', που ισχύει 9
28 74 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ' και η ' είναι γνησίως αύξουσα στο ισχύει ότι: ' ΛΥΣΗ Η ζητούμενη σχέση ισοδύναμα γίνεται: ' ' () Αν, η σχέση () ισχύει ως ισότητα Αν, τότε έχουμε: ' Η είναι συνεχής στο,, Να αποδείξετε ότι για κάθε, και παραγωγίσιμη στο, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει,, ώστε: ' Όμως η ' είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα έχουμε: ' ' ' ' ' ' Άρα για κάθε ' ισχύει ότι: Τρόπος αντιμετώπισης: 3 ος τρόπος Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, οπότε προκύπτουν τέτοιο ώστε τέτοιο ώστε, και και Με την βοήθεια της μονοτονίας της ' αποδεικνύουμε το ζητούμενο, 9
29 75 Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με γνησίως φθίνουσα στο Να δείξετε ότι για κάθε, ισχύει, () ΛΥΣΗ Η σχέση () γράφεται ισοδύναμα (αφού ) () Η είναι παραγωγίσιμη στο,, άρα και συνεχής σ αυτό Για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο, και,, τέτοια, ώστε ' και ', και, οπότε υπάρχουν Η ' είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα ' ' που ισχύει 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Απόδειξη ανισοτήτων δύο μεταβλητών Τρόπος αντιμετώπισης: Ο καλύτερος τρόπος αντιμετώπισης για αυτού του είδους τις ασκήσεις είναι με την βοήθεια του ΘΜΤ Μετασχηματίζουμε την ζητούμενη ανισότητα στην μορφή Εφαρμόζουμε για την συνάρτηση το ΘΜΤ στο διάστημα, οπότε προκύπτει, τέτοιο ώστε Με την βοήθεια της μονοτονίας της ' αποδεικνύουμε το ζητούμενο 93
30 76 Να αποδειχθεί ότι e ΛΥΣΗ Η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: e, ln ln e eln ln ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση: ln,, Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει, ' τέτοιο, ώστε: Είναι ' n και, οπότε: ln ln ln ln ln ln ln ' ln ln ln ln ln () Κατηγορία 6 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές Τρόπος αντιμετώπισης: Δεν υπάρχει συγκεκριμένη μεθόδευση Ο συνδυασμός των μεθοδολογιών που αναφέραμε παραπάνω και η εμπειρία μας οδηγούν στην λύση 77 Έστω παραγωγίσιμη στο, με και,, ισχύει ότι ', να υπολογιστεί το ΛΥΣΗ Αν για κάθε 94
31 Είναι η παραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής οπότε από: ΘΜΤ στο, Υπάρχει, ώστε ' ΘΜΤ στο Από (), () είναι και αφού, Υπάρχει ώστε ' (), ' ' () και αφού 78 Έστω οι συναρτήσεις, g συνεχείς στο, παραγωγίσιμες στο, και g g Να δειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε να είναι ' g' g g ΛΥΣΗ Θέτουμε g g () Θα αποδείξουμε τη σχέση ' ' g' ' g' g ' Θεωρούμε τη συνάρτηση h g με, Για τη συνάρτηση h εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο,, αφού είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, τέτοιο, ώστε Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον, hh g g h' g g g g g g ' ' Αφού h' ' g', που είναι το g' g' g g ζητούμενο 95
32 Παρατήρηση: Με το ΘΜΤ δεν λύνουμε εξισώσεις Εξαίρεση στην ύλη μας αποτελούν οι εξισώσεις της μορφής a 79 Δίνεται η συνάρτηση t t, α) Να εφαρμοστεί για την το θεώρημα της μέσης τιμής στα διαστήματα 5,6 β) Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ α) Η έχει πεδίο ορισμού το, Επειδή η είναι συνεχής στα 3, 4, 5,6 και παραγωγίσιμη στα 3, 4, για την το ΘΜΤ στα διαστήματα 3, 4 και 5,6 3,4 και 5,6, εφαρμόζεται Επομένως υπάρχουν 3, 4 και 5,6 4 3 ' 4 3 και 4 3 τέτοια, ώστε: 6 5 ' () β) Για τη συνάρτηση t t συμπεραίνουμε ότι ' () ισχύει ότι ' t t ' (3), t Από τις σχέσεις () Επομένως η εξίσωση γράφεται:, ' ' ή ή διότι αφού 3, 4 και 5,6 Άρα η εξίσωση έχει ρίζες τις και 96
33 Σύνθετες ασκήσεις 73 Έστω συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο, και,6,, 3,5 σημεία της Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη ευθεία της παράλληλη στην ευθεία y ΛΥΣΗ : 7 και που είναι Η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης 7 Για να υπάρχει εφαπτομένη παράλληλη στην, αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ' 7 τέτοιο, ώστε Η είναι συνεχής στα,, Για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ στα διαστήματα και, τέτοια, ώστε 6 3 ' 3, και παραγωγίσιμη στα,,,,,,, οπότε υπάρχουν και 5 6 ' 9 Η ' είναι συνεχής στο, και ' 3, ' 9 Από το Θ Ενδιάμεσων Τιμών υπάρχει, τέτοιο, ώστε ζητούμενο 73 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο, Να δείξετε ότι υπάρχουν,,, με ' ' ', ΛΥΣΗ και το 7 ενδιάμεση τιμή, ' 7, που είναι το, και παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα, και, με, αφού είναι συνεχής στο, και, είναι παραγωγίσιμη στο, και, Οπότε υπάρχουν και, με, 97
34 ' και ' Επειδή, έχουμε: ' ' () και με εφαρμογή του ΘΜΤ για την στο ', έχουμε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Οπότε η () γίνεται: ' ' ' 73 Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο,, με α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε 3 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ώστε ' ' ΛΥΣΗ και παραγωγίσιμη στο α) Η είναι συνεχής στο,, άρα παίρνει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη τιμή Άρα τέτοιο Επομένως με βάση το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστο, ώστε 3 3 Το ανήκει στο ανοιχτό διάστημα,, διότι αν:, τότε 3, τότε 3, άτοπο,, άτοπο β) Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στα διαστήματα, υπάρχουν και τέτοια ώστε:,, 98 και, Επομένως
35 ' ' ' ' ' Επομένως ' ' Παρατήρηση: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν,, ισχύει μια σχέση της μορφής,, τέτοια ώστε να a και από τα ' ' ' δεδομένα δεν μπορούμε να βρούμε τα διαστήματα στα οποία θα εφαρμόσουμε το ΘΜΤ ακολουθούμε την εξής διαδικασία Χωρίζουμε το διάστημα a, εξής: σε ν διαστήματα (όσα και τα ξ) ως Βρίσκουμε το πλάτος του διαστήματος a, c a που είναι Θεωρούμε τα υποδιαστήματα [α, ], [, ],, [ ν-, β] με αντίστοιχα πλάτη c c, c c,, c c όπου Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα παραπάνω διαστήματα Αντικαθιστούμε τα ', ',, ' σχέση που βρήκαμε στην αρχική 733 Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση με Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' ΛΥΣΗ 99
36 Αν θέσουμε στη ζητούμενη, τότε αυτή γίνεται: ' ' ' ' ' Οδηγούμαστε λοιπόν στη συνάρτηση g, Η g είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο, ώστε: g g g' g' gg () Θέλουμε να αποδείξουμε ότι g', δηλαδή ότι g g g g Όμως: από την υπόθεση Άρα g', δηλαδή ' και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε 734 α) Έστω η συνάρτηση της οποίας η Να δείξετε ότι: β) Να δείξετε ότι: e e e ' είναι γνησίως αύξουσα στο, ΛΥΣΗ α) Αν, έχουμε: () Για την ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στα, και,, αφού είναι συνεχής στα, και, παραγωγίσιμη στα, και, Άρα, υπάρχουν, και, ' Οπότε η () ' ' αντίστοιχα, τέτοια, ώστε και ', που ισχύει
37 β) Για την συνάρτηση e με ' e e e ή e e e e ισχύουν οι υποθέσεις στο 3, 7, οπότε 735 Δίνεται συνάρτηση που είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στα διαστήματα,, όπου Αν lim ', να αποδειχθεί ότι, η είναι παραγωγίσιμη στο ΛΥΣΗ,, με ' Έστω, Η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ' () και αν Έχουμε Επειδή lim, τότε lim, παίρνουμε: lim ' lim ' u ' u (από το κριτήριο παρεμβολής) () Έτσι η σχέση () δίνει: lim lim ' (3) Εντελώς ανάλογα, αν, τότε βρίσκουμε ότι: lim, Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι η είναι παργωγίσιμη στο (4) με: ' 736 Έστω συνάρτηση συνεχής στο,5 και παραγωγίσιμη στο,5 Αν η ' είναι γνησίως φθίνουσα στο, 3 και γνησίως αύξουσα στο συγκρίνεται τους αριθμούς 5 και 4 ΛΥΣΗ Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο ', παίρνουμε, τέτοιο ώστε 3,5, να
38 Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο 3 ' Επειδή η,3 παίρνουμε,3 τέτοιο ώστε ' γνησίως φθίνουσα στο, 3 και παίρνουμε ' ' 3 3 () Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο 4 3 ' 3 Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο 5 4 ' Επειδή η 4 3, 4 παίρνουμε 4,5 παίρνουμε 3 3, 4 τέτοιο ώστε 4 4,5 τέτοιο ώστε ' γνησίως αύξουσα στο 3,5 και 3 4 παίρνουμε ' 3 ' () Από () και (), προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή
Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραf κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και
13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους
Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑ1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο
Διαβάστε περισσότερακυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.
Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραf(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραz i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0
ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα
Διαβάστε περισσότερα( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)
Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές
Διαβάστε περισσότερα1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραx είναι f 1 f 0 f κ λ
3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότερα5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε
Διαβάστε περισσότεραx x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΠες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
Διαβάστε περισσότεραθ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )
Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότεραΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη
Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότεραx, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]
Απαντήσεις στο ο Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Α Έστω ότι f( ), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [,
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε
Σελίδα από 49 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Μπάμπης Στεργίου - 07 Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε διεξοδικά τις έννοιες και τις προτάσεις που αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΘ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ
Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραn 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1
Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a
Διαβάστε περισσότερα[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]
Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...
Διαβάστε περισσότεραΑ3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f
Διαβάστε περισσότεραΓ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του
Διαβάστε περισσότερα2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].
ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες
Διαβάστε περισσότερα