Η αντλία και η ισχύ της

Transcript

1 Η αντλία και η ισχύ της Κατά την προηγούμενη χρονιά είχα αναρτήσει τρία θέματα με αντλίες, τα οποία διαπίστωσα ότι δύσκολα περπάτησαν, αφού θεωρήθηκαν δύσκολα. Ας πάρομε λοιπόν τα πράγματα από την αρχή, να δούμε ποιος είναι ο ρόλος μιας αντλίας. Στα παρακάτω θεωρούμε το νερό ιδανικό ρεστό, πκνότητας ρ1.000kg/m 3 και τις ροές μόνιμες και στρωτές. Η ατμοσφαιρική πίεση είναι ατμ 10 Ν/m, ενώ g10m/s. Εφαρμογή 1 η : Η αντλία το σχήματος, είναι προσκολλημένη στον τοίχο μιας δεξαμενής, και το οποίο διοχετεύει με οριζόντιο σωλήνα διατομής cm. Αν η παροχή είναι ίση με 0,4L/s, να πολογιστεί η ισχύς της αντλίας. 1 Α r Με βάση το σχήμα, ο ρόλος της αντλίας είναι να μεταφέρει το νερό από την περιοχή 1. στην περιοχή., προσδίδοντάς και κάποια ταχύτητα. Σνεπώς άσχετα με το μηχανισμό μεταφοράς το νερού, δίνει σε μια 1 ποσότητα νερού μάζας dm, κατά τη μεταφορά, κινητική ενέργεια dk dm. Οπότε ο ρθμός με τον οποίο παρέχει ενέργεια στο νερό, η ισχύς της αντλίας, είναι ίσος: dk Όπο Π η παροχή της αντλίας. 1 dm 1 ρdv dv ρ ρ (1) Όμως αν η ταχύτητα εκροής το νερού είναι, τότε η παροχή είναι ίση με ΠΑ, οπότε Αξίζει να σημειωθούν δο πράγματα: Π 0,4 10 m/ s m/ s και 4 A 10 1 Π ρ 0, W 0,8W 1) Ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή, οπότε η ταχύτητα το νερού κατά μήκος το, έχει σταθερή τιμή. Έτσι η ταχύτητα εκροής στο άκρο το σωλήνα, είναι ίση και με την ταχύτητα το νερού στην έξοδο της α- ντλίας, περιοχή. ) Η πίεση στο άκρο το σωλήνα εκροής, είναι ίση με την ατμοσφαιρική, όση είναι και στην έξοδο της α- ντλίας, με βάση την εξίσωση Bernoulli. Αλλά και στην περιοχή 1., από όπο αντλεί το νερό η αντλία, η πίεση είναι επίσης ίση με την ατμοσφαιρική, σνεπώς η παροσία της αντλίας δεν προκαλεί καμιά μεταβολή πίεσης και η ισχύς της δεν σνδέεται με πιέσεις. 1

2 Εφαρμογή η : Η αντλία το σχήματος, είναι προσκολλημένη στον τοίχο μιας δεξαμενής, και το οποίο διοχετεύει σε σωλήνα σταθερής διατομής cm. Αν η παροχή είναι ίση με 0,4L/s, ενώ το νερό ανέρχεται κατά hm να πολογιστεί η ισχύς της αντλίας. Με βάση την προηγούμενη εφαρμογή το νερό, εξέρχεται ξανά με ταχύτητα m/s, αφού η παροχή παραμένει η ίδια, αλλά τότε και η αύξηση της κινητικής το ενέργειας, θα είναι επίσης ίδια. Η μόνη διαφορά είναι ότι αντλία μεταφέροντας το νερό σε ύψος h το αξάνει και τη δναμική ενέργεια. Με άλλα λόγια η ενέργεια πο παρέχει η αντλία στο νερό, θα εμφανιστεί εν μέρει ως κινητική και εν μέρει ως δναμική ενέργεια το νερού. Αλλά τότε η ισχύς της αντλίας θα είναι ίση: Με αντικατάσταση: dk du 1 dm dm gh 1 ρdv ρdv gh dv dv ρ ρgh ρ ρgh () Π ρ ρgh 0, W 8,8W 1) Αν σγκρίνομε τις εξισώσεις (1) και () βλέπομε ότι διαφέρον κατά ρgh Π, ή αν προτιμάτε, η ισχύς από την τιμή 0,8W, πήγε στα 8,8W, όπο ατά τα επιπλέον 8W, αντιστοιχεί στην ενέργεια (ανά μονάδα χρόνο) πο η αντλία παρέχει στο νερό, για να το ανεβάσει σε ύψος h. Το μέρος ατό της ισχύος δίνει ο προσθετέος: ( gh) 8W Π ρ (3) ) Αν πάρομε την εξίσωση Bernoulli για τη ροή από τη θέση () μέχρι την έξοδο, έχομε: 1 1 ρ ρ Αλλά αφού ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή,, οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται: Τι μας λέει η παραπάνω εξίσωση; ρgh (4) ρgh 1 r h

3 Ότι η αντλία, για να μπορέσει να ανεβάσει σε ύψος h το νερό, δημιοργεί στην έξοδό της, αξημένη πίεση. Έτσι ενώ στην 1 η εφαρμογή οι πιέσεις στις περιοχές 1. Και. ήταν ίσες με την ατμοσφαιρική πίεση, τώρα στην είσοδο έχομε 1 10 Ρα, ενώ στην έξοδο της αντλίας (περιοχή.): ( ) 1, 10 ρgh 3) Αν μετασχηματίσομε την (4), μπορούμε να πάρομε ρgh οπότε η () γράφεται: ( ) 1 ρ () Όπο στην παραπάνω μορφή, θα μπορούσαμε να διαπιστώσομε, δύο προσθετέος. Ο πρώτος μετράει το μέρος της παρεχόμενης ισχύος, πο εμφανίζεται ως κινητική ενέργεια, ενώ το δεύτερο το έργο πο παράγει πάνω στην ποσότητα το νερού, η δύναμη πο δέχεται, λόγω πίεσης. Αν δηλαδή επιθμούσαμε να μιλήσομε με όρος έργο-ενέργειας, κατά την άνοδο μιας μάζας dm νερού, το έργο το βάρος είναι W w -dm gh, οπότε για να μπορεί να μετακινηθεί με σταθερή ταχύτητα, απαιτείται και κάποια άλλη δύναμη πο να παράγει έργο W 1 dm gh. Ατή η δύναμη ασκείται στο νερό από την αντλία! Πώς; Εξασφαλίζοντας αξημένη πίεση στην έξοδό της. Εφαρμογή 3 η : Η αντλία το σχήματος, είναι προσκολλημένη στον τοίχο μιας δεξαμενής, και το οποίο διοχετεύει σε σωλήνα αρχικής διατομής Α 1 cm, ο οποίος στη σνέχεια στενεύει, με αποτέλεσμα η διατομή της φλέβας στην έξοδο να είναι Α 1cm. Αν η παροχή είναι ίση με 0,4L/s, να πολογιστεί η ισχύς της αντλίας. Και στην περίπτωση ατή, όλη η ενέργεια πο παρέχει η αντλία μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια το νερού, σνεπώς από την εξίσωση (1) έχομε: ρ Όπο η τελική ταχύτητα ροής στην έξοδο το σωλήνα, για την οποία έχομε: Αλλά τότε η ισχύς της αντλίας είναι: Π 0,4 10 A m/ s 4m/ s 1 3 ρ W 3,W Βλέπομε δηλαδή 4πλάσια ισχύ σε σχέση με την 1 η εφαρμογή. 1 Α 3 r

4 1) Από την εξίσωση της σνέχειας μεταξύ της διατομής της φλέβας στην περιοχή. και στην έξοδο από το σωλήνα παίρνομε: 1 A A1 1 m/ s Η ταχύτητα δηλαδή το νερού στην έξοδο της αντλίας, είναι ίση και με τις δο πρώτες περιπτώσεις. Πράγμα πο σημαίνει ότι το «πέρασμα» το νερού από την αντλία, έγινε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ό- πως και πριν, οπότε η ισχύς πο παρείχε η γεννήτρια ήταν ξανά ) Αλλά τότε τι ακριβώς έγινε με τα πόλοιπα,4w; ρ 1 0,8W. 3,1 Ας πάρομε την εξίσωση Bernoulli κατά μήκος μιας ρεματικής γραμμής για την θέση. και την έξοδο: Βρίσκομε ότι: 1 1 ρ1 ρ ρ ρ ( 4 ) 1,06 10 Τι σημαίνει ατό; Ότι λόγω στενέματος το σωλήνα, στην περιοχή. η πίεση είναι αξημένη και ατή την αύξηση πρέπει να την εξασφαλίσει η αντλία. Αλλά τότε παράγεται έργο, από την αντλία, μέσω πίεσης: W ( ) V Πράγματι η αντίστοιχη ισχύς, ας την ονομάσομε Ρ α3, είναι: 3, ( ) V ( ) 3, ( ) ( 1,06-1) 10 W,4W Όση ήταν ατή πο μας έλειπε! 3) Αλλά τότε, με βάση τα προηγούμενα θα μπορούσαμε να «αγνοήσομε» το στένωμα το σωλήνα και τι γίνεται μετά την έξοδο και αντί να πάρομε την ισχύ της αντλίας από την εξίσωση (1) να χρησιμοποιήσομε την () γράφοντας: ( ) 1 ρ 1 (6),3 Χρησιμοποιώντας δηλαδή την ταχύτητα και την πίεση στην έξοδο της αντλίας. Εφαρμογή 4 η : Η αντλία το σχήματος, είναι προσκολλημένη στον τοίχο μιας δεξαμενής, από την οποία αντλεί νερό, από μια περιοχή κοντά στην επιφάνεια και το οποίο διοχετεύει σε σωλήνα αρχικής διατομής cm και τελικής 4

5 1cm. Αν η παροχή είναι ίση με 0,4L/s, ενώ το νερό ανέρχεται κατά r hm να πολογιστεί η ισχύς της αντλίας. h 1 Με βάση τα προηγούμενα 4m/s, ενώ m/s. Ας πάμε τώρα ανάποδα! Ας πάρομε την εξίσωση Bernoulli κατά μήκος μιας ρεματικής γραμμής για την θέση. και την έξοδο: Οπότε βρίσκομε ότι: 1 1 ρ ρ ρ gh 1 1 ρ ρ gh ρ ( 4 ) ,6 10 Αλλά τότε η ισχύς της γεννήτριας πολογίζεται από την εξίσωση (6) ασχολούμενοι μόνο με την αντλία και αδιαφορώντας για το τι σμβαίνει από εκεί και πέρα:,4 1 ρ ( ), W (1,6 1)10 W, 4 Χρειάζεται να ερμηνεύσομε το αποτέλεσμα; 0,8W 10,4W 11,W Δεν έχετε παρά να δείτε τος δύο παραπάνω προσθετέος! Ο πρώτος (0,8W) δείχνει την ισχύ πο μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια το νερού στην περιοχή., ίδια σε όλες τις περιπτώσεις. Ο δεύτερος (11,W) μας μετράει το έργο πο παράγει η αντλία, μέσω πίεσης στο νερό: για να μπορέσει να το ανεβάσει στα δύο μέτρα (8W), εξοδετερώνοντας το έργο το βάρος (εφαρμογή ), για να αξήσει την κινητική το ενέργεια κατά,4w στο στένωμα (εφαρμογή 3). dmrgris@gmil.com