Ισχύουν οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρµόζονται;

Transcript

1 Ισχύον οι αρχές διατήρησης; Πώς εφαρµόζονται; - Ένα βλήµα σφηνώνεται σε ένα ξύλο πο είναι πακτωµένο στο έδαφος. Για την κρούση ατή ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής (Α..Ο.), για το σύστηµα βλήµα - ξύλο; - Όχι κύριε. Το σύστηµα των σωµάτων δε είναι µονωµένο. - Και λοιπόν; - εν ισχύει η Α..Ο. - Μα, τι λέει η Α..Ο. Γιάννη; Υπάρχον µερικά πράγµατα πο περνάµε σνήθως ελαφρά. Έχει δίκιο ο Γιάννης στην απάντησή το; Και αν έπεφτε ένα τέτοιο ερώτηµα στις εξετάσεις, τι θα έπρεπε να απαντήσει ο κάθε Γιάννης; Είναι η ίδια απάντηση, µε ατήν πο θα έπρεπε να δώσει στο ερώτηµα: Η ορµή το σστήµατος βλήµα-ξύλο παραµένει σταθερή κατά την κρούση; Σνήθως θεωρούµε ότι οι δο ερωτήσεις είναι τατόσηµες. Και όµως δεν είναι!!! Η Α..Ο. ισχύει πάντα. Τι λέει; Ότι αν ένα σύστηµα σωµάτων είναι µονωµένο η ορµή το παραµένει σταθερή. Και τι δεν λέει, αλλά πονοεί; Ότι αν το σύστηµα δεν είναι µονωµένο η ορµή το δεν παραµένει σταθερή. Στην περίπτωση, ας πούµε το παραπάνω παραδείγµατος, παραβιάζεται η αρχή; Όχι βέβαια. Το σύστηµα δεν είναι µονωµένο και η σνολική ορµή το σστήµατος δεν παραµένει σταθερή. εν διατηρείται. Μα, ατό µας λέει και η Α..Ο.!!! Αλλά µε την εκαιρία ας εξετάσοµε µερικές περιπτώσεις διατήρησης ή µη (ορµής-στροφορµής) σε περιπτώσεις κρούσεων, δίνοντας κάποιες εφαρµογές. Εφαρµογή 1: Ένα σώµα Σ µάζας Μ κρέµεται στο άκρο αβαρούς νήµατος. Ένα βλήµα µάζας m σγκρούεται πλαστικά µε το σώµα Σ. Για την παραπάνω κρούση: i) Η ορµή το βλήµατος διατηρείται. ii) Η ορµή το σστήµατος διατηρείται. iii) Η σνολική στροφορµή ως προς το σηµείο ανάρτησης Ο διατηρείται. iv) Η σνολική στροφορµή ως προς ένα τχαίο σηµείο Α, διατηρείται. i) Η ορµή το βλήµατος δεν παραµένει σταθερή, αφού θα δεχτεί δύναµη από το σώµα Σ, η οποία θα µεταβάλλει την ορµή το. ii) Η ορµή το σστήµατος διατηρείται, αφού το θεωρούµε! µονωµένο. Οι εξωτερικές δνάµεις πο ασκούνται στα σώµατα το σστήµατος, είναι τα δο βάρη και η τάση το νήµατος. Η σνισταµένη το βάρος και της τάσης για το σώµα Σ είναι µηδενική, αλλά παραµένει το βάρος το βλήµατος. Θεωρώντας όµως απειροελάχιστη τη διάρκεια της κρούσης δεχόµαστε ότι η ώθηση το βάρος, Ο Α Σ 1

2 είναι αµελητέα, σγκρινόµενη µε τις ωθήσεις των εσωτερικών δνάµεων πο θα ασκηθούν στη διάρκεια της κρούσης. Σνεπώς P = P = ( M + (1) πριν µετα ) iii) Η πρόταση είναι σωστή. Οι εξωτερικές δνάµεις δεν έχον ροπή ως προς το Ο και η στροφορµή παραµένει σταθερή. Πράγµατι αν πάροµε: = = ( M + πρ τελ ) = ( M + m) δηλαδή προκύπτει η σχέση (1). iv) Και ατή η πρόταση είναι σωστή. Γιατί; Αν d η απόσταση το Α από τον φορέα της ταχύτητας, τότε από την σχέση (1) έχοµε: = ( M + m) A πριν m d = ( M + m) d = A µετ Ο Α Μα, θα αναρωτηθεί κάποιος ισχύει εδώ ότι Στ εξ/α =0. Η απάντηση είναι σνέχεια της ερµηνείας στο i) ερώτηµα. Αφού η ώθηση το βάρος το βλήµατος θεωρηθεί αµελητέα, τότε αµελητέα θα είναι και η αντίστοιχη Σ d ροπή το, σγκρινόµενη µε τις ροπές των εσωτερικών δνάµεων. Εφαρµογή : Ένα σώµα Σ µάζας Μ κρέµεται στο άκρο αβαρούς ράβδο, η οποία µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα πο περνά από το άκρο της Ο. Ένα βλήµα µάζας m σγκρούεται πλαστικά µε το σώµα Σ. Για την παραπάνω κρούση: i) Η ορµή το σστήµατος διατηρείται. ii) Η σνολική στροφορµή ως προς τον άξονα περιστροφής διατηρείται. Τώρα δεν έχοµε ένα λικό σηµείο Σ, αλλά ένα στερεό σώµα αποτελούµενο από το Σ και την ράβδο. Σνεπώς στη διάρκεια της κρούσης δεν ξέροµε αν θα δεχτεί δύναµη από τον άξονα και πόση θα είναι ατή. Είµαστε λοιπόν επιφλακτικοί αν πρέπει να δεχτούµε την διατήρηση της ορµής. Όµως όποια δύναµη και αν ασκηθεί από τον άξονα, ατή θα έχει µηδενική ροπή ως προς τον άξονα ατόν, σνεπώς η στροφορµή το σστήµατος, ως προς τον άξονα, παραµένει σταθερή. Σνεπώς: = = Iω = ( M + m ) ω πρ τελ = ( M + m) ω Αλλά ω = όπο η γραµµική κοινή ταχύτητα το σσσωµατώµατος βλήµα-ξύλο, σνεπώς: = ( M + m) Πράγµα πο σηµαίνει ότι ΚΑΙ η ορµή διατηρείται. Ή µε άλλα λόγια η αβαρής ράβδος, σµπεριφέρεται, στην περίπτωση ατή, όµοια µε το αβαρές νήµα. Εφαρµογή 3: Μια οµογενής ράβδος, µάζας m, µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα πο περνά από το άκρο της Ο και ηρεµεί σε κατακόρφη θέση. Ένα βλήµα µάζας m

3 σγκρούεται πλαστικά µε τη ράβδο, στο µέσον της Μ. Για την παραπάνω κρούση να εξεταστεί αν: i) Η ορµή το σστήµατος διατηρείται. ii) Η σνολική στροφορµή ως προς τον άξονα περιστροφής διατηρείται. Η προηγούµενη ανάλση ισχύει και στην περίπτωση ατή. Αλλά τότε από την διατήρηση της στροφορµής ως προς τον οριζόντιο άξονα περιστροφής, πο περνά από το Ο παίρνοµε: 1 = Iω = m m ω = ω ω = m m 6 7 πρ = τελ Αλλά τότε η ταχύτητα το µέσο Μ της ράβδο είναι ίση µε M = ω 3 = 7 Η τελεταία σχέση µας δείχνει ότι η ορµή δεν παραµένει σταθερή, αφού αν την εφαρµόζαµε θα είχαµε =(m+m) Μ Μ = ½. Γιατί σµβαίνει ατό; Μα προφανώς η ράβδος δέχεται εξωτερική δύναµη από τον άξονα περιστροφής, οπότε η ορµή το σστήµατος δεν διατηρείται. Εφαρµογή : Πάνω σε µια παγωµένη λίµνη ηρεµούν δο όµοιες σανίδες. ύο όµοια βλήµατα κινούµενα οριζόντια σγκρούονται µε τη ράβδο. Το πρώτο κτπά τη ράβδο στο µέσον της, το άλλο στο άκρο της Α, όπως στο σχήµα. Αν οι κρούσεις είναι πλαστικές, να βρεθεί η µεταβολή της ορµής κάθε βλήµατος, πο οφείλεται στην κρούση. Η σανίδες και τα βλήµατα έχον ίσες µάζες m. Η ροπή αδράνειας µιας ράβδο ως προς κάθετο άξονα πο περνά από το µέσον της είναι 1 I = m. 1 Στις παραπάνω κρούσεις το σύστηµα των σωµάτων είναι µονωµένο, σνεπώς η ορµή παραµένει σταθερή. Pπριν Pµετα = ( m+ m) = = Εξάλλο στην (α) περίπτωση, η δύναµη πο ασκεί το βλήµα στη διάρκεια της κρούσης, στη ράβδο, περνά από το κέντρο µάζας της Ο, σνεπώς δεν έχει ροπή (ως προς το κέντρο µάζας) και η σανίδα δεν πρόκειται να περιστραφεί. Θα εκτελέσει απλά µεταφορική εθύγραµµη οµαλή κίνηση. Σνεπώς η µεταβολή της ορµής το βλήµατος θα είναι: 1 P= Pτ Pa P= = Στην (β) περίπτωση όµως, η δύναµη πο ασκεί το βλήµα στη σανίδα, παροσιάζει ροπή ως προς το κέντρο το κέντρο µάζας της ράβδο, οπότε θα προκαλέσει και την περιστροφή της. Θεωρώντας ότι το σσσωµάτωµα µετά την κρούση εκτελεί σύνθετη κίνηση, εκτός από την Ο (α) (β) Ο Α 3

4 µεταφορική κίνηση µε ταχύτητα κέντρο µάζας =, θα εκτελέσει και µια στροφική κίνηση γύρω από κατακόρφο άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο µάζας Κ, το σσσωµατώµατος. Επειδή όµως η σανίδα και το βλήµα έχον ίσες µάζες, το Κ θα βρίσκεται στο µέσον της απόστασης (ΟΑ). Εφαρµόζοντας της Α..Σ. για την κρούση, ως προς τον άξονα πο περνά από το κέντρο µάζας έχοµε: 1 = τελ = Iω = ω ω m + m + m πρ = Αλλά τότε το βλήµα πο θεωρείται λικό σηµείο, έχει µια ταχύτητα, εξαιτίας της µεταφορικής κίνησης 3 και µια γρ =ωr=ω = = 0, 3, σνεπώς η µεταβολή της ορµής το είναι: 10 P= P P P= = m( + ) = 0, Παρατήρηση: τ a A γρ Μπορούσε κάποιος να θεωρήσει ότι η στροφορµή διατηρείται ως προς νοητό σταθερό κατακόρφο άξονα πο περνά από το µέσον Ο της ράβδο; Η απάντηση είναι καταφατική. Η στροφορµή διατηρείται ως προς οποιοδήποτε ακλόνητο σηµείο ή άξονα, αφού δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές στο σύστηµα (η σνισταµένη των ροπών είναι µηδενική, ως προς οποιοδήποτε σταθρό σηµείο και αν πολογιστούν). Αρκεί να πολογίσοµε σωστά την στροφορµή το σσσωµατώµατος ως προς τον άξονα πο περνά από το Ο. Πόση είναι ατή; = I ω+ m R, όπο Ι ω η ιδιοστροφορµή (το spin) το στερεού και oλ m oλ θεωρηθεί λικό σηµείο, πο εκτελεί κκλική κίνηση γύρω από το Ο. Ας δοκιµάσοµε: 6 5 Rη τροχιακή στροφορµή, αν το στερεό 1 = τελ = I ω λ + mo R m = ω+ ω m + m + m m πρ = Παρατηρούµε ότι πολογίζοµε ξανά την ίδια τιµή γωνιακής ταχύτητας. Είναι καλή ιδέα να εφαρµόσοµε µε ατόν τον τρόπο την Α Σ; εν θα το πρότεινα σε καµία περίπτωση!!! Εφαρµογή 5: Πάνω σε µια παγωµένη λίµνη ηρεµούν δο όµοιες σανίδες. Η πρώτη είναι ελεύθερη ενώ η δεύτερη µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρφο άξονα z, ο οποίος περνά από το άκρο της Α. ύο όµοιες σφαίρες κινούµενες οριζόντια κτπούν τις ράβδος στο µέσον Ο κάθε ράβδο. Μετά την κρούση οι δο σφαίρες έχον µηδενικές ταχύτητες. Οι σανίδες και τα βλήµατα έχον ίσες µάζες m. Η ροπή αδράνειας µιας 1 ράβδο ως προς κάθετο άξονα πο περνά από το µέσον της είναι I = m

5 i) Ποια η ταχύτητα το µέσο Ο κάθε ράβδο, αµέσως µετά την κρούση. ii) Να ερµηνετεί το αποτέλεσµα. iii) Να εξετάσετε αν µπορούµε να µελετήσοµε το αποτέλεσµα της κρούσης χρησιµοποιώντας την Α..Σ. ως προς νοητό σταθερό κατακόρφο άξονα πο να περνά: α) από το σηµείο Κ, β) από το άκρο Β της ράβδο. γ) Από το µέσον Ο της ράβδο. i) Κατά την (α) κρούση η ορµή το σστήµατος παραµένει σταθερή, αφού στο σύστηµα δεν ασκούνται εξωτερικές δνάµεις (Η σνισταµένη το βάρος και της δύναµης στήριξης Ν είναι µηδενική). P P = m 0+ πριν = µετα = ηλαδή η πρώτη ράβδος εκτελεί µεταφορική κίνηση µε σταθερή ταχύτητα (τριβές δεν πάρχον) ίση µε την αρχική ταχύτητα της σφαίρας. Στην περίπτωση (β), η ράβδος σνδέεται µε άξονα, σνεπώς δεν γνωρίζοµε αν δέχεται η όχι δύναµη από τον άξονα z στη διάρκεια της κρούσης και αν ατή η δύναµη είναι µικρή ή µεγάλη, ώστε να µπορούµε να αγνοήσοµε την ώθησή της. Ό,τι και να σµβαίνει όµως στο άκρο Α, η ροπή της ασκούµενης δύναµης ως προς τον άξονα z θα είναι µηδενική. Σνεπώς η στροφορµή κατά τον άξονα z παραµένει σταθερή. 1 1 = = + ω = τελ m m 0 I m m + m ω = m ω 1 3 πρ 3 ω= 3 3 = o = = ii) Στο διπλανό σχήµα έχον σχεδιαστεί οι δνάµεις πο ασκούνται στα δο σώµατα στη διάρκεια της κρούσης (µεταβλητού µέτρο δνάµεις), όπο F 1 -F και F 3 -F ζεγάρια δράσης-αντίδρασης, σνεπώς δνάµεις ίσων µέτρων. Αν ποθέσοµε ότι οι κρούσεις έχον την ίδια διάρκεια (για χάριν εκολίας στη µελέτη µας), τότε F 1 =F 3, αφού οι δνάµεις ατές µηδενίζον την ορµή των σφαιρών. Αλλά τότε F =F 3 =F 1 =F και αφού η ράβδος (β) απέκτησε µικρότερη ταχύτητα κέντρο µάζας, σηµαίνει ότι δέχτηκε και δύναµη F 5 από τον άξονα αντίθετης φοράς από την F. Με άλλα λόγια η ράβδος στην (β) περίπτωση απέκτησε µικρότερη ορµή, επειδή δέχτηκε εξωτερική δύναµη από τον άξονα στη διάρκεια της κρούσης, αντίθετης κατεύθνσης από την αρχική ορµή της σφαίρας. Με βάση τα παραπάνω, γίνεται σαφές γιατί δεν µπορούµε να στηριχθούµε στην Α..Ο. για τον πολογισµό της ταχύτητας της ράβδο, µετά την κρούση. 5

6 iii) Η στροφορµή ως προς τον νοητό κατακόρφο άξονα πο περνά από το Κ, διατηρείται και στις δύο Εφαρµογή 6: περιπτώσεις. Στην (α) αφού δεν έχοµε εξωτερικές ροπές, αλλά και στη (β), αφού ο φορέας της δύναµης από τον άξονα περνά από το Κ (οπότε Στ εξ =0). Πράγµατι: Περίπτωση (α): Περίπτωση (β): πρ = τελ = m 0 + = πρ = τελ = m 0 + I ω+ 1 3 m ω+ mω ω= 1 = 3 = β) Πάµε τώρα στον νοητό κατακόρφο άξονα πο περνά από το άκρο Β. Στην (α) περίπτωση η στροφορµή διατηρείται επίσης: πρ = τελ = m 0 + = Στην (β) περίπτωση όµως ασκείται εξωτερική ροπή και ατή είναι η ροπή της δύναµης από τον άξονα, σνεπώς η στροφορµή δεν διατηρείται. γ) Το ίδιο σµβαίνει και για την στροφορµή ως προς κατακόρφο νοητό άξονα πο περνά από το µέσον της ράβδο. Στην (α) περίπτωση η στροφορµή διατηρείται επίσης: 0= m πρ = τελ Στην (β) περίπτωση όµως ασκείται εξωτερική ροπή, οπότε: πρ = 0 ενώ τελ = Iω 0 Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 0 =m/s µια οµογενής ράβδος Α µάζας m=16g, χωρίς να στρέφεται, όπως στο σχήµα. Σε µια στιγµή σγκρούεται µε δεύτερη ράβδο Β µάζας m, η οποία έχει τη διεύθνση της αρχικής ταχύτητας. Αν το σηµείο σύγκροσης Κ, απέχει κατά x= από το µέσον Ο της ράβδο και µετά την κρούση, η ράβδος Β αποκτά ταχύτητα κέντρο µάζας =3m/s, να βρεθεί η απώλεια της µηχανικής ενέργειας κατά την κρούση. ίνεται η ροπή αδράνειας µιας ράβδο ως προς κάθετο άξονα πο περνά από το µέσον της 1 I = m. 1 Το σύστηµα των δύο ράβδων είναι µονωµένο, σνεπώς η ορµή διατηρείται κατά την κρούση: P = P = m + = 1m / s πριν µετα = 6

7 Αλλά και η στροφορµή το σστήµατος διατηρείται αφού Στ εξ =0. Ως προς ποιο άξονα θα εφαρµόσοµε την διατήρηση ατή; Ως προς όποιον µας βολεύει. εν πάρχει πρόβληµα. Θεωρούµε λοιπόν ένα νοητό κατακόρφο άξονα πο περνά από το µέσον Ο της Α ράβδο και έχοµε: 1 1 0= m Iω1 m ω1 = m 1 πρ = τελ Αλλά τότε η απώλεια της µηχανικής ενέργειας είναι: Ε= K και µε αντικατάσταση Ε=1J. Εφαρµογή 7: αρχ K τελ 3 ω 1= 1 1 = Iω Ε= 0 1 m ω1 = Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 0 =3,8m/s µια οµογενής ράβδος (α) µάζας m και µήκος 1m, χωρίς να στρέφεται, όπως στο σχήµα. Σε µια στιγµή σγκρούεται µε δεύτερη όµοια ράβδο (β), το µέσον Μ της οποίας βρίσκεται σε εθεία ε, παράλληλης προς την ταχύτητα 0, η οποία περνά από το άκρο Β της πρώτης ράβδο. Αν µετά την κρούση, το κέντρο Ο της (α) έχει ταχύτητα της ίδιας διεύθνσης µε µέτρο 1 =0,6m/s ενώ στρέφεται σύµφωνα µε τη φορά περιστροφής των δεικτών το ρολογιού µε ω 1 =,8ad/s: i) Το κέντρο Μ της ράβδο (β) θα κινηθεί κατά µήκος της εθείας ε ή όχι και γιατί; ii) Να βρεθεί η ταχύτητα το Μ. iii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της δεύτερης ράβδο (β); ίνεται η ροπή αδράνειας µιας ράβδο ως προς κάθετο άξονα πο περνά από το µέσον της i) Αφού το κέντρο µάζας Ο της ράβδο (α), σνεχίζει να κινείται µε ταχύτητα ίδιας διεύθνσης (ας την πούµε διεύθνση x), σηµαίνει ότι η δύναµη πο δέχτηκε η ράβδος, κατά τη διάρκεια της κρούσης, είχε τη διεύθνση x. Σνεπώς και η αντίδρασή της πο ασκήθηκε στην (β) ράβδο, είχε επίσης την ίδια διεύθνση, µε 1 1 m 9 1 I = m. 1 αποτέλεσµα το κέντρο µάζας να έχει ταχύτητα παράλληλη της αρχικής ταχύτητας 0 και αφού αρχικά το Μ ήταν πάνω στην εθεία ε, πάνω στην ίδια εθεία θα κινηθεί. Βλέπε σχήµα. ii) Η ορµή το σστήµατος διατηρείται κατά την κρούση, αφού το σύστηµα είναι µονωµένο: 7

8 P = P = m + = 3,m / s πριν µετα = iii) Αλλά και η στροφορµή το σστήµατος διατηρείται ως προς οποιονδήποτε άξονα, αφού ΣF εξ =0, οπότε και Στ εξ =0. Ας επιλέξοµε έναν κατακόρφο άξονα ο οποίος διέρχεται από κάποιο σηµείο Κ της εθείας x. Θα έχοµε: πρ, = 0 0= I1ω 1+ m I 1 1 ω m ω1+ mω = 1 1 τελ, M 3 3 3, ω1 + ω = 3 ω = ω1 = / s,8 / s=,8 / s 1 Εφαρµογή 8: Μια οµογενής ράβδος µάζας m και µήκος µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το ένα της άκρο Α και ηρεµεί σε κατακόρφη θέση. Από ένα σηµείο Κ, το οποίο βρίσκεται στην ίδια κατακόρφη πο περνά από το Α, κρέµεται µια σφαίρα µάζας m µέσω νήµατος µήκος επίσης. Εκτρέποµε τη σφαίρα προς τα αριστερά, όπως στο σχήµα και την αφήνοµε να κινηθεί, οπότε φτάνει στην κατακόρφη θέση µε ταχύτητα =m/s και σγκρούεται κτπώντας την ράβδο στο µέσον της Ο. Μετά την κρούση, η σφαίρα δεν έχει ταχύτητα. Να βρεθεί η ταχύτητα το µέσο της ράβδο, αµέσως µετά την 1 κρούση. Για τη ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= m. 3 Απάντηση. Με βάση όλα τα προηγούµενα παραδείγµατα, είναι νοµίζω σαφές ότι η ορµή δεν διατηρείται κατά τη διάρκεια της κρούσης. Η στροφορµή όµως το σστήµατος διατηρείται; Ποια στροφορµή; Ως προς ποιον άξονα; Ως προς ατόν γύρω από τον οποίο στρέφεται το νήµα, από το σηµείο Κ ή ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο θα στραφεί η ράβδος από το άκρον της Α; Το σύστηµα σφαίρα ράβδος δέχεται τις εξής εξωτερικές δνάµεις: Τα δο βάρη, την τάση το νήµατος και την δύναµη από τον άξονα στο Α. Ως προς τον άξονα στο Α η σνολική ροπή είναι µηδενική, ως προς τον άξονα στο Κ, όχι, αφού η δύναµη το άξονα έχει ροπή ως προς το Κ. Κατά σνέπεια εφαρµόζοµε την Α..Σ. ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδο και έχοµε: 1 1 = τελ = m 0 + Iω m ω= m ω 3 3 πρ = 3 3 Αλλά τότε o = ω = = = 3m / s Σµπέρασµα; Όταν πάµε να εφαρµόσοµε την Α Ο ή την Α Σ, στην περίπτωση πο στο πρόβληµα πεισέρχεται κάποιο στερεό, θα πρέπει να είµαστε απόλτα σίγοροι, αν µιλάµε για ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ άξονα περιστροφής ή για 8

9 ΝΟΗΤΟ. Στην πρώτη περίπτωση ο άξονας, ασκεί κατά κανόνα δύναµη ή τολάχιστον µπορεί να ασκήσει, οπότε η ορµή δεν διατηρείται (ή τολάχιστον δεν ξέροµε αν διατηρείται), ενώ αν θέλοµε να εφαρµόσοµε την Α Σ, θα πρέπει ποχρεωτικά να δολέψοµε ως προς ατόν τον άξονα, ώστε να µην ασκείται εξωτερική ροπή, στη διάρκεια της κρούσης. Στην περίπτωση το νοητού άξονα δεν έχοµε αντίστοιχο περιορισµό. Επιµέλεια ιονύσης Μάργαρης 9