Συνέπειες κατανομής ταχυτήτων

Transcript

1 Σνέπειες κατανομής ταχτήτων Ατμόσφαιρες πλανητών Κατανομή Boltza* Πίεση Θερμοκρασία Εσωτερική Ενέργεια Θερμοχωρητικότητες - Βαθμοί Ελεθερίας Κίνηση Brow* (*) Μη εξεταστέα ύλη Υποθέτομε, πως η ατμόσφαιρα των πλανητών (και της Γης) έχει σταθερή και την ίδια θερμοκρασία π.χ. ο C. Για μόριο μάζας ίση με τη μέση μάζα των μορίων το ατμοσφαιρικού αέρα βρίσκομε: Π kt Π /s Η ταχύτητα διαφγής είναι: Δ /s Επομένως βρίσκομε: Δ / Π 8 Το ποσοστό των μορίων με ταχύτητες μεγαλύτερες της ταχύτητας διαφγής [δηλ. Το P( Δ 8 Π,)] είναι πρακτικά αμελητέο, όχι όμως μηδενικό. Επειδή τα μόρια της ατμόσφαιρας είναι πολλά, κάποια από ατά (λίγα) θα έχον ταχύτητες μεγαλύτερες από τη Δ, άρα θα χάνονται στο διάστημα. Για τη Σελήνη πό τις ίδιες προϋποθέσεις και αν ποθέσομε ότι η σύνθεση της ατμόσφαιράς της ήταν ίδια με ατή της Γης, ισχύει: Π /s Η ταχύτητα διαφγής είναι μόλις: Δ.41 3 /s Επομένως βρίσκομε: Δ / Π 6 Ατό σημαίνει ότι το ποσοστό των μορίων πο έφεγαν στο διάστημα ήταν πολύ μεγαλύτερο. Παίρνοντας πόψη το γεγονός, ότι μετά τη διαφγή των μορίων τα πόλοιπα «επαναδιατάσσονται», έτσι ώστε να ισχύει η κατανομή Mawll, καταλαβαίνομε γιατί η Σελήνη έχασε τόσο «γρήγορα» την ατμόσφαιρά της Α Υπολογίστε το ποσοστό των μορίων ιδανικού αερίο, οι ταχύτητες των οποίων διαφέρον όχι περισσότερο από δη1% από την τιμή της πιθανότερης ταχύτητας. Εξηγείστε ποιοτικά σε τι θα διαφέρον οι πολογισμοί σας αν π.χ. δη3%. Επειδή το ποσοστό των μορίων σμπίπτει με την πιθανότητα, θα έχομε: Π -δη Π Π δν f( Π ) Π +δη Π Όπο f() η σνάρτηση πκνότητας πιθανότητας από την κατανομή Mawll + N f ( ) d -

2 Π δν f( Π ) Από το σχήμα καταλαβαίνομε πως μπορούμε να θεωρήσομε το δν ίσο με το εμβαδόν ορθογωνίο παραλληλεπιπέδο βάσης δη Π και ύψος f( Π ). Π -δη Π Π +δη Π kt Π 3/ - Π / N f ( Π ) ( Π ) 4 kt Π ( Π ) kt N 4 3/ 1 8 kt -1 3/ -(kt / )/ kt kt 3/ N N 8 3,14 1,66% 1.1,166,718 Στην περίπτωση πο δη3% δεν μπορούμε να κάνομε την προσέγγιση και πρέπει να πολογίσομε το ολοκλήρωμα. Ατό όμως δεν μπορεί να γίνει αναλτικά και πρέπει να χρησιμοποιήσομε είτε πίνακες, είτε πολογιστή. Α3. Υπολογίστε το ποσοστό των μορίων ιδανικού αερίο, οι προβολές των ταχτήτων των οποίων στον άξονα βρίσκονται στην περιοχή έως +d, ενώ τα μέτρα της κάθετης στην σνιστώσας της ταχύτητας στην περιοχή από έως +d. Η μάζα κάθε μορίο είναι και η θερμοκρασία το αερίο Τ. z Από το σχήμα γίνεται κατανοητό, πως οι σνιστώσες πο μας ενδιαφέρον είναι οι από τις 3 σνιστώσες των ταχτήτων στο κλινδρικό σύστημα (δεν πάρχει η γωνία φ). Επομένως πρέπει α) να χρησιμοποιήσομε την κατανομή Mawll για το Καρτεσιανό σύστημα σντεταγμένων: Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι π z β) Στη σνέχεια πρέπει να περάσομε στο κλινδρικό σύστημα σντεταγμένων σύμφωνα με το σχήμα, πράγμα πο θα γίνει μόνο με τη χρήση της σχέσης: d d d z d d dφ γ) Το επόμενο βήμα είναι να ολοκληρώσομε ως προς φ, γιατί οι γωνίες δεν μας ενδιαφέρον. Άρα τελικά βρίσκομε dn N kt 3/ - / kt d d d z dn N 3/ - / kt d d kt

3 Επιστρέφομε στο αποτέλεσμα πο πήραμε από την κατανομή Gibbs πριν θεωρήσομε ότι δεν πάρχει δναμική ενέργεια. ε ε d A dddz A d d d P - p / kt - k / kt 1 z Ατή τη σχέση τώρα τη χωρίζομε σε όρος Το ο όρο τον ξέρομε Ο 1 ος όρος γράφεται P P P d d (,, z) d (,, ) 1 z dn - / kt d P d d d N πkt 3/ z dn -U/kT dp 1 (,, z) A 1 dddz N V Η σταθερά Α1 πολογίζεται από τη σνθήκη κανονικοποίησης dn -U/kT 1 A1 dddz A1 1 V V -U/kT N dddz V dn dn A1 dddz A1 dv NA1 N dv Για κάποιο άλλο σημείο, το dn,, z, έχομε: NA1 dv Και τελικά Από τις παραπάνω σχέσεις εύκολα βρίσκομε -U/kT -U/kT -U (,,z )/kt V -U (,,z )/ kt - [ U (,,z )- U (,,z )]/ kt -ΔU/kT Ξέρομε ότι η δναμική ενέργεια ενός μορίο μάζας στο πεδίο βαρύτητας ενός πλανήτη μάζας Μ, π.χ. της Γης είναι: Θεωρούμε ότι η ατμόσφαιρα βρίσκεται σε ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ M 1 1 ( r ) ( r ) p -G - kt r r U( r ) -G M r ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ, δηλ. ότι η θερμοκρασία είναι παντού σταθερή και ίση με Τ. Τότε για την σγκέντρωση θα ισχύει Από εδώ, Για r παίρνομε M 1 ( r ) ( r ) p - G cost kt r Βρήκαμε ότι ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ αριθμός μορίων πρέπει να κατανεμηθεί με σταθερή σγκέντρωση σε ΑΠΕΙΡΟ χώρο. Η μοναδική σγκέντρωση θα είναι η ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΠΙΕΣΗΔΥΝΑΜΗ / ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Η πίεση των αερίων στα τοιχώματα είναι αποτέλεσμα των κρούσεων των μορίων με ατά. & ΔΥΝΑΜΗdp dp/dtdt Δεχόμαστε ότι οι κρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα είναι ελαστικές cosθ, ΔpΔcosθ Ξέρομε, ότι σε επιφάνεια S σε χρόνο Δt «προσπίπτον» σωματίδια Επομένως η μεταβολή της ορμής όλων θα είναι SΔt SΔt

4 + Δηλαδή για τη δύναμη θα έχομε ( ) S. + Ενώ για την πίεση ( ). Βέβαια για το μακροσκοπικό αποτέλεσμα θα πρέπει να βρούμε τη μέση τιμή της παραπάνω ποσότητας. 1/ - / kt p( ) d kt πkt Επειδή στο αέριο δεν πάρχει καμιά προνομιακή διεύθνση θα είναι: p( ) p( ) p( z ) p kt 3 kt p kt 3 ΒΑΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ β ε p d A dddz A d d d Π P k T 1 ν < π 4 Βασικό Τπολόγιο 3/ - / kt d f ( ) d 4π d P kt - - β 1 z 1 / < > πkt 8kT π < u - [ U (,,z )- U (,,z )]/ kt -ΔU/kT t < t t 1 ( t) f ( t) dt 3kT ε k p kt 3 p kt 3 Αν έχομε αέριο, στο οποίο ΔΕΝ ΕΠΙΔΡΟΥΝ εξωτερικές δνάμεις και βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (ομογενώς κατανεμημένο) τότε θα ισχύει η σγκέντρωση : N/V και η πίεση p(n/v)kt Επομένως pv RT pv NkT Αν έχομε 1 γραμμομόριο ιδανικού αερίο: ΝΝ Α. Τότε ο όρος Ν Α k J/(ol olk) είναι σταθερός. Τον σμβολίζομε με R και τον ονομάζομε ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ. Η εξίσωση ατή ιστορικά προέκψε από πειράματα και απετέλεσε τη βάση το ορισμού της θερμοκρασίας Klvi. Επομένως τώρα μπορούμε να πούμε, πως το Τ, πο είχαμε σμβατικά θεωρήσει θερμοκρασία, είναι πράγματι η θερμοκρασία Klvi

5 Από τη σχέση pkt προέκψε, ότι η πίεση εξαρτάται μόνο από τη σγκέντρωση και τη θερμοκρασία. Αν ποθέσομε, πως η θερμοκρασία είναι σταθερή, ενώ, λόγω ύπαρξης εξωτερικού πεδίο, η σγκέντρωση μεταβάλλεται ακολοθώντας την κατανομή Boltza, τότε προκύπτει μια απλή σχέση πο μας δίνει την εξάρτηση της πίεσης από τη δναμική ενέργεια το εξωτερικού πεδίο (βαρομετρικός τύπος): - ΔU/kT p p Όπο ΔU η μεταβολή της δναμικής ενέργειας από το σημείο στο οποίο η πίεση είναι p έως το σημείο πο η πίεση είναι p. Στην περίπτωση το ατμοσφαιρικού αέρα, αν θεωρήσομε ότι η θερμοκρασία δεν μεταβάλλεται με το ύψος (μικρές μεταβολές ύψος) και ότι τα μόρια έχον μια μέση μάζα <> θα ισχύει: p( h ) p -<> gh/kt Α4. Κενό αρχικά δοχείο όγκο V με λεπτά τοιχώματα βρίσκεται σε χώρο πολύ μεγάλων διαστάσεων πο είναι γεμάτος με αέριο τα μόρια το οποίο έχον μάζα το καθένα. Η πίεση το αερίο είναι p και η θερμοκρασία σταθερή και ίση με Τ. Στα τοιχώματα το δοχείο ανοίγον μικρή οπή εμβαδού S. Υπολογίστε την πίεση στο εσωτερικό το δοχείο σαν σνάρτηση το χρόνο. Επειδή ο χώρος εκτός το δοχείο είναι μεγάλος η σγκέντρωση των μορίων σ ατόν μπορεί να θεωρηθεί διαρκώς σταθερή και ίση με p/( /(kt) τη χρονική στιγμή t η σγκέντρωση στο εσωτερικό το δοχείο θα είναι (t). Τότε στην οπή σε χρόνο dt θα προσπίπτον απ έξω (και κατά σνέπεια θα εισέρχονται) <>Sdt/4 μόρια, ενώ από μέσα (και κατά σνέπεια θα εξέρχονται) <>Sdt/4 μόρια. Επομένως η μεταβολή το αριθμού των μορίων στο εσωτερικό το δοχείο θα είναι: dn <>Sdt/4 - <>Sdt/4( ( -) <>sdt/4. Ισχύει όμως dnd(v)vd Έτσι καταλήγομε στη διαφορική εξίσωση d 1 S < dt ( - ) 4 V Η άσκηση σνεχίζεται Έχομε λοιπόν το ολοκλήρωμα d 1 S ( - ) 4 V < t dt - (1 - t / ) - 1 S < l - t 4 V 4V όπο τ S < Χρησιμοποιώντας τη βασική εξίσωση των ιδανικών αερίων pkt βρίσκομε p p - (1 - t / ) Για t p Για t pp

6 Οι πιο διαδεδομένες θερμομετρικές κλίμακες είναι: Μικροσκοπικά ξέρομε ότι είναι ανάλογη της μέσης κινητικής ενέργειας το μορίο ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΜΕΓΕΘΟΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΟΣΟ «ΖΕΣΤΟ» ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΩΜΑ Ατό μπορούμε να το μετρήσομε, χρησιμοποιώντας το γεγονός, ότι κάποιες ιδιότητες των σωμάτων (π.χ. διαστάσεις) μεταβάλλονται με τη μεταβολή της θερμοκρασίας. Για να μετρήσομε λοιπόν τη θερμοκρασία μας χρειάζεται ένα σώμα (θερμομετρικό σώμα ΘΣ), ένα μέγεθος το οποίο (θερμομετρικό μέγεθος ΘΜ) μεταβάλλεται με τη μεταβολή της θερμοκρασίας. Έστω λ το ΘΜ. Διαλέγομε σημεία αναφοράς και ορίζομε (αθαί-ρετα) τις θερμοκρασίες τος θ 1 και θ. ΒΑΘΜΟΣ της θερμομετρικής μας κλίμακας είναι το μέγεθος λ - λ1 ΒΑΘΜΟΣ θ - θ 1 Θερμοκρασία τήξης το πάγο: θ 1 Θερμοκρασία βρασμού το νερού: θ 1 Θερμοκρασία τήξης το πάγο: θ 1 3 Θερμοκρασία βρασμού το νερού: θ 1 Πρέπει να έχομε τέτοιο ΘΣ και τέτοιο ΘΜ ώστε: Α) Να έχομε εκολία και ακρίβεια μετρήσεων. Β) Και το ΘΣ και το ΘΜ να παραμένον αναλλοίωτα. Γ) Να έχομε τη δνατότητα αναπαραγωγής ΘΣ και μετρήσεων Δ) Να μπορούμε να δολεύομε σε ερεία κλίμακα θερμοκρασιών. Όλα ατά μας οδηγούν μονοσήμαντα στο να επιλέξομε σαν ΘΣ το ΙΔΑΝΙΚΟ ΑΕΡΙΟ και σαν ΘΜ είτε το p, είτε το V και να χρησιμοποιήσομε για τον προσδιορισμό το Τ την ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. Απαιτούμε να ισχύει Τ -Τ 1 1 Από τις μετρήσεις μας βρίσκομε p /p Με πράξεις παίρνομε Τ , Τ Ορίζομε ως θερμοκρασίες αναφοράς και πάλι τη θερμοκρασία τήξης το πάγο (p 1, V 1, T 1 ) και τη θερμοκρασία βρασμού το νερού (p, V, T ) Έστω ότι επιλέγομε να έχομε V 1 V V

7 Ορίσαμε την θερμοκρασία Τ από τη μέση κινητική ενέργεια 3 kt Από τον ορισμό ατό φαίνεται ότι ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ αρνητικές θερμοκρασίες, όμως δεν αποκλείεται να έχομε μηδενική μέση κινητική ενέργεια, δηλαδή μηδενική θερμοκρασία ΤΟΣΟ Ο ΤΡΙΤΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ, ΟΣΟ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΝ ΟΤΙ Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΜΗΔΕΝΙΚΗ Ξέρομε από τη Φσική Ι (Δναμική Σστήματος Σωματιδίων) ότι η εσωτερική ενέργεια ενός σστήματος σωματιδίων είναι η κινητική ενέργεια των σωματιδίων στο σύστημα το ΚΜ και η ενέργεια αλληλεπίδρασης των σωματιδίων. Στο ιδανικό αέριο δεν έχομε αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μορίων. Επομένως στην περίπτωση ατή θα έχομε να κάνομε μόνο με κινητική ενέργεια στο σύστημα το ΚΜ Ατό βέβαια στην περίπτωση των σχετικά απλών σωματιδίων (μονοατομικό αέριο) Τι γίνεται όμως στην περίπτωση πο τα μόρια ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΑ (μονοατομικά;) ΜΗΠΩΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ; ΑΡΙΘΜΟΣ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ: Είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών πο μας δίνον τη δνατότητα να προσδιορίσομε πλήρως την κατάσταση ενός σστήματος 1 σημειακό σωματίδιο,, z,, z σημειακά σωματίδια 1, 1, z 1,,, z 1, 1, z1,,, z N σημειακά σωματίδια 1, 1, z 1, N, N, z N 1, 1, z1, N, N, zn 6 16 N6 z z Ενέργεια περιστροφής Περιστροφή γύρω από τον άξονα 1 I ω Ας εξετάσομε τώρα την περίπτωση ενός διατομικού μορίο. Μπορούμε να ποθέσομε ότι αποτελείται από άτομα τα οποία αλληλεπιδρούν (εδώ δεν μπορούμε να αγνοήσομε τις δνάμεις). z Ενέργεια περιστροφής Περιστροφή γύρω από τον άξονα z 1 I ω z z Κινητική ενέργεια 1 Δναμική ενέργεια 1 k

8 Μόριο Περιστροφικοί Μεταφορικοί Ταλαντωτικοί. ΜΕΓΙΣΤΗ ΜΕΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μονοατομικό 3 3kT/ Διατομικό 3 7kT/ Τριατομικό kT/ A5. Με τι ισούται η ολική μέση κινητική ενέργεια μορίων (σκληρού) διατομικού αερίο πο περιέχεται σε όγκο 4 l, αν η πίεσή το είναι ίση με p1,471 5 Pa Διεκρινίζομε ότι όταν λέμε σκληρό, εννοούμε ότι ΔΕΝ είναι διηγερμένοι οι ταλαντωτικοί βαθμοί ελεθερίας των μορίων. Για παράδειγμα ένα γραμμομόριο (ol) μονοατομικού αερίο. Υπάρχον N A μόρια. Κάθε μόριο έχει 3 βαθμούς ελεθερίας Επομένως η εσωτερική το ενέργεια είναι: UN A 3kT / (3/)N A kt (3/)RT Δεν διεγείρονται πάντα ΟΛΟΙ οι βαθμοί ελεθερίας. Στις σνηθισμένες θερμοκρασίες, κατά κανόνα, οι ταλαντωτικοί βαθμοί ελεθερίας ΔΕΝ είναι διηγερμένοι. Ατό είναι σνηθισμένο φαινόμενο στις σνθήκες το περιβάλλοντός μας. Από τη βασική εξίσωση της κινητικής θεωρίας των αερίων p < 3 3 kt kt 3 p kt V N Επειδή N/V p kt

9 Για την μεταφορική κίνηση των Ν μορίων παίρνομε Για την περιστροφική κίνηση των Ν μορίων παίρνομε Επομένως EΟΛ EΜΕΤ + EΠΕΡ 3 EMET N kt EΠΕΡ N kt 3 N p 3 Vp N p Vp 3 Vp Vp + 5 Vp 147 J Θεωρία C V /R (C P -C V )/R1 H: A: N : O : Cl : CO : NH 3 : Πείραμα 3 Μονατομικά (Καλή σμφωνία) Διατομικά CO 5 Πολατομικά (>) Πείραμα: η CC(T) όμως Διατομικό C V 5 R 7 R (Τ ) A 4 A q q 5 A 1 q 1 A 5 q 4 r O q 7 q 3 q A A 7 A 3 q 6 A 6 Παρατηρούμε για χρόνο t (κατά διαστήματα Δt) το σωματίδιο Brow. Για την τελική μετατόπιση έχομε: r i 1 q Επαναλαμβάνομε πολλές φορές το ίδιο. Θα έχομε: < r < r i i i j i 1 i 1 i j < r q < q + < q q i?

10 Επειδή όλες οι σειρές των πειραμάτων είναι ισοδύναμες: i i i 1 < q a < q a Το α είναι σταθερά πο εξαρτάται από το χρόνο Δt. Κάθε παρατήρηση σε κάθε πείραμα είναι ανεξάρτητη από τις άλλες. Επομένως τα μεγέθη q i και q j είναι ανεξάρτητα. Έτσι: < qiq j < q i >< q j Ο ολικός χρόνος ενός πειράματος είναι t, επομένως ο αριθμός των βημάτων σε κάθε παρατήρηση θα είναι t/δt t < r a a λt Δt Όπο το λ είναι μια σταθερά πο εξαρτάται από τις σνθήκες το πειράματος (διάρκεια βήματος, είδος ρεστού κ.τ.λ.) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η ΜΕΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΚΚΙΝΗΣΗΣ ΑΥΞΑΝΕΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΟΔΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ