3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :"

Transcript

1 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 0 f i, i =,, 3,, λ i f + f + f f λ = 3. Νόµος µεγάλων αριθµών : Όταν το πλήθος των δοκιµών ενός πειράµατος τύχης αυξάνει απεριόριστα, οι σχετικές συχνότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθµούς, (όχι πάντοτε ίδιους ). 4. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα : Είναι τα στοιχειώδη ενδεχόµενα των οποίων οι σχετικές συχνότητες τείνουν στον ίδιο αριθµό, όσο το πλήθος των δοκιµών αυξάνει απεριόριστα. 5. Κλασικός ορισµός της πιθανότητας : Σε πείραµα τύχης µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα ορίζουµε σαν πιθανότητα του ενδεχοµένου Α και συµβολίζουµε µε Ρ(Α) το πηλίκο Ρ(Α) = πλ ή θος ευνοϊκών περιπτώσεων Ν ( Α ) = πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν ( Ω )

2 6. Ιδιότητες Ρ(Ω) = Ν ( Ω ) Ν ( Ω ) = 0 Ρ( ) = Ν ( Ω ) = 0 0 Ρ(Α) για οποιοδήποτε ενδεχόµενο Α 7. Αξιωµατικός ορισµός πιθανότητας : Έστω Ω = {ω, ω,, ω ν } ένας δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Πιθανότητα του στοιχειώδους ενδεχόµενου ω i ονοµάζουµε έναν αριθµό p(ω i ) που να έχει τις ιδιότητες 0 p(ω i ) p(ω ) + p(ω ) p(ω ν ) = Αν Α = {α,α,,α κ } τότε Ρ(Α) = p(α ) + p(α ) + + p(α κ ) και Ρ( ) = 0 8. Απλός προσθετικός νόµος : Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α και Β του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω ισχύει : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) 9. Για αντίθετα ενδεχόµενα ισχύει : Ρ( Α ) = Ρ(Α) 0. Προσθετικός νόµος: Αν Α, Β ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω τότε Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). Αν Α Β τότε ισχύει : Ρ(Α) Ρ(Β)

3 3. Από διάγραµµα Venn ισχύουν Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) Α Β = Α Β άρα και ίσες πιθανότητες Ρ( (Α Β) (Β Α)) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) + Ρ(Β) Ρ(Β Α) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (Α Β) = Α Β άρα και ίσες πιθανότητες (Α Β) = Α Β άρα και ίσες πιθανότητες 3. Παρατήρηση Οι κανόνες 8, 9, 0,, ισχύουν ανεξαρτήτως του αν τα στοιχειώδη ενδεχόµενα είναι ή δεν είναι ισοπίθανα. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Προσοχή Ο τύπος Ρ(Α) = πλ ή θος ευνοϊκών περιπτώσεων Ν ( Α ) = πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν ( Ω ) χρησιµοποιείται µόνο για ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα.. Προσοχή Για µη ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα, χρησιµοποιούµε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας. 3. Συµφωνία Αν Ω = {ω, ω,, ω ν } είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος και χρησιµοποιούµε τη φράση «παίρνουµε τυχαία ένα στοιχείο του Ω» εννοούµε ότι τα στοιχειώδη ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα.

4 4 4. Για την απόδειξη ανισοτήτων Θυµόµαστε 0 Ρ(Α) Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) Προσθετικός νόµος 5. Μέθοδος Τα ενδεχοµένα τα εκφράζουµε σαν σύνολα. 6. Μέθοδος Τα ασυµβίβαστα ενδεχόµενα συνήθως αποδεικνύονται µε την «εις άτοπο απαγωγή» 7. εν ξεχνώ Η σχετική συχνότητα ενός ενδεχοµένου είναι ίση µε την πιθανότητα του. 8. Τρεις µορφές του προσθετικού νόµου α) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) γ) Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

5 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, να χαρακτηρίσετε µε Σ (σωστό ) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : Αν Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α = Β i Αν Ρ(Α) Ρ(Β), τότε Α Β ii Αν Α = Β, τότε Ρ(Α) = Ρ(Β) iν) Αν Α Β, τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ν) Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) =, τότε Β = Α Κατά σειρά είναι Λ, Σ, Σ, Λ, Λ. Ρίχνουµε ένα ζάρι µία φορά και επιλέγουµε ένα ενδεχόµενο στην τύχη. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α : ένδειξη µικρότερη του 5 Σχόλιο 3 Β : ένδειξη άρτιος αριθµός Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Πραγµατοποιείται το Α i Πραγµατοποιείται το Β ii Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β iν) Πραγµατοποιείται ένα µόνο από τα Α, Β Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω = {,, 3, 4, 5, 6} µε Ν(Ω) = 6 Α = {,, 3, 4 }, Β = {, 4, 6} µε Ν(Α) = 4 και Ν(Β) = 3 και i Ν ( Α) Ρ( Α ) = = 4 = Ν ( Ω) 6 3 ii Αναζητάµε την Ρ( Α Β ) Είναι, Σχόλιο 9γ Ν ( Β) Ρ( Β ) = = 3 = Ν ( Ω) 6 Α Β = {,, 3, 4, 6} µε Ν( Α Β ) = 5, άρα iν) Αναζητάµε την Ρ(Α Β) + Ρ(Β Α) Σχόλιο 9ζ Ρ ( Α Β) = Είναι ( Α Β) ( Β Α ) = {, 3 } {6} = {, 3, 6 } µε Ν[ ( Α Β) ( Β Α )] = 3 3 Άρα Ρ[(Α Β) (Β Α)] = =

6 6 3. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρεις φορές την µία κατόπιν της άλλης και επιλέγουµε ένα αποτέλεσµα στην τύχη. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο του πειράµατος και τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α : Οι δύο πρώτες ρίψεις γράµµατα Β : Ένα τουλάχιστον κεφάλι Γ : Πρώτη ρίψη γράµµατα ή τρίτη ρίψη γράµµατα : Πρώτη ρίψη κεφάλι και δεύτερη ρίψη γράµµατα Ε : Πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Β, Γ και Σχεδιάζουµε το παρακάτω δεντροδιάγραµµα όπου Κ= κεφάλι, Γ= γράµµατα Ω = { ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ } µε Ν(Ω) = 8 Α = { ΓΓΚ, ΓΓΓ} µε Ν(Α) = Β = { ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ} µε Ν(Β) = 7 Γ = { ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ } µε Ν(Γ) = 6 = {ΚΓΚ, ΚΓΓ } µε Ν( ) = Ε = Β Γ = {ΚΓΓ} µε Ν(Ε) = Ν( Α) Ρ( Α ) = = Ν( Ω) 4 Ν(Β) 7 Ρ(Β) = = Ν(Ω) 8 Ν(Γ) 6 Ρ(Γ) = = Ν(Ω) 8 Ν( ) Ρ( ) = = Ν(Ω) 4 Ν( Ε) Ρ(Ε) = = Ν( Ω) 8

7 7 4. Σ ένα εργοστάσιο παραγωγής ρουλεµάν, από µία βλάβη του υπολογιστή, παρουσιάστηκε αυξηµένος αριθµός ρουλεµάν µε όχι κανονικό µέγεθος. Τα ρουλεµάν µε µέγεθος µεγαλύτερο από το κανονικό ήταν διπλάσια από τα ρουλεµάν µε µέγεθος µικρότερο από το κανονικό. Τα ρουλεµάν µε µέγεθος κανονικό ήταν πενταπλάσια από τα ρουλεµάν µε µέγεθος µικρότερο από το κανονικό. Επιλέγουµε ένα ρουλεµάν στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες Να έχει µέγεθος µικρότερο του κανονικού i Να έχει µέγεθος µεγαλύτερο του κανονικού ii Να έχει κανονικό µέγεθος Έστω µ το ενδεχόµενο «να επιλέξουµε ρουλεµάν µικρότερο του κανονικού» µ µεγαλύτερο.. κ κανονικό Από υπόθεση έχουµε Ν(µ ) = Ν(µ ) και Ν(κ) = 5Ν(µ ). Αλλά Ν(µ ) + Ν(κ) + Ν(µ ) = Ν(Ω) Ν(µ ) + 5Ν(µ ) + Ν(µ ) = Ν(Ω) i Ν( κ) 5 ( ) 5 Ρ(κ) = = Ν µ = Ν( Ω) Ν( Ω) 8 ii Ρ(µ ) Ν(µ ) Ν ( µ ) Ν(Ω) Ν( Ω) 8 4 = = = = 8 Ν ( µ ) =Ν( Ω ) Ν ( µ ) = Ν( Ω) 8 Ρ ( µ ) = 8 Σχόλιο 5

8 8 5. Έστω Ω = {, 4, 6, 8, 0,, 4, 6} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και τα ενδεχόµενα Α = {α Ω µε α = πολλαπλάσιο του 4} (x 6x+ 8)(x 0) Β = { β Ω µε β ρίζα της εξίσωσης = 0}. x Να βρείτε την πιθανότητα καθενός των ενδεχοµένων Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( Α Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) Προφανώς είναι Α = { 4, 8,, 6} Βρίσκοντας τις ρίζες της εξίσωσης Ν Ρ(Α) = ( Α ) 4 = = Ν( Ω) 8, (x 6x+ 8)(x 0) = 0 x (x 6x + 8)(x 0) = 0 και x x = 4 ή x = 0 Οπότε Β = { 0, 4} Ν(Β) Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 8 4 Α Β= { 0, 4, 8,, 6} µε Ν( Α Β ) = 5, Α Β = {4} µε Ν( Α Β ) = Α Β = {8,, 6} µε Ν(Α Β) = 3 Άρα N(A B) 5 Ν(Α Β) Ρ( Α Β ) = =, Ρ(Α Β) = = N( Ω) 8 Ν(Ω) 8 Ν(Α Β) 3 Ρ(Α Β) = = Ν( Ω) 8

9 9 6. Ένα κουτί περιέχει 40 µπάλες από τις οποίες 0 είναι άσπρες, 0 είναι µαύρες και οι υπόλοιπες πράσινες και κόκκινες. Επιλέγουµε µία µπάλα στην τύχη. λ λ Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι, να είναι πράσινη είναι 3 λ+ 4 9λ+, λ N. Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες πράσινες µπάλες έχει το κουτί. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα : Α «άσπρη» µε Ρ(Α) = 0 40 Μ «µαύρη» µε Ρ(Μ) = 0 40 Π «πράσινη» Κ «κόκκινη» µε Ρ(Π Κ) = 0 40 (πράσινες και οι κόκκινες µαζί είναι 0) Επειδή τα ενδεχόµενα Π, Κ είναι ασυµβίβαστα λ Από τις υποθέσεις έχουµε Ρ(Κ) = 3 λ+ 4 λ λ Η () + = 3λ+ 4 9λ+ 4 4λ(9λ + ) + 4(λ )(3λ + 4) = (3λ + 4) (9λ + ) Ρ(Π Κ) = Ρ(Π) + Ρ(Κ) Ρ(Π) + Ρ(Κ) = 0 40 = 4 λ και Ρ(Π) = 9λ+ () 36λ + 8λ + λ +6λ λ 6 = 7λ + 6λ + 36λ + 8 λ 30λ 4 = 0 7λ 0λ 8 = 0 λ = λ Η Ρ(Κ) = Ρ(Κ) = = 3 λ () Αν x είναι το πλήθος των κόκκινων µπαλών, τότε Ρ(Κ) = Από τις (), (3) x 40 = 0 x 40 (3) x = 8 οι κόκκινες, άρα οι πράσινες

10 0 7. Έστω Ω = {x, y, z, ω} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης. Αν Ρ (x) =, Ρ(ω) =, Ρ(z) =, να βρείτε την Ρ(y) 4 8 i Αν Ρ( ω ) =Ρ (z) = και Ρ(x) = 3Ρ(y), να βρείτε τις Ρ(x), Ρ(y) 5 3 ii Αν Α={ z,y} µε Ρ(Α) =, Β = { y, ω} µε Ρ(Β) = 5 3 και Ρ(y) = 4, να βρείτε την Ρ(x). Είναι Ρ(x) + Ρ(y) + Ρ(z) + Ρ(ω) = Ρ(Ω) = i Ρ(x) + Ρ(y) + Ρ(z) + Ρ(ω) = 3 Η Ρ(x) = 3Ρ(ψ) Ρ(x) = 0 3 Ρ (y) +Ρ (y) + + = Ρ (y) = 4 5 = 5 ii Ρ(Α) = Ρ(z) + Ρ(y) 3 =Ρ (z) P(z) = 7 0 Ρ(Β) = Ρ(y) + Ρ(ω) = +Ρ( ω ) Ρ( ω ) = 3 4 Ρ(x) + Ρ(y) + Ρ(z) + Ρ(ω) = 7 Ρ(x) = Ρ(x) Ρ(x) = 4 60 Ρ (y) = = = 9 Ρ(x) = 60 Ρ (y) = 0

11 8. Τα δυνατά αποτελέσµατα ω, ω, ω 3 ενός πειράµατος τύχης πραγµατοποιούνται 3 µε σχετικές συχνότητες,, αντίστοιχα. Να βρείτε το α ώστε οι α α α συχνότητες αυτές να αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες των ενδεχοµένων ω, ω, ω 3 3 Πρέπει α > 0 και + + = α α α = α α = 6 9. Έστω Ω = { 0,,, 3,., 50} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Ρ(κ) = κ, κ =,, 3,, 50 οι πιθανότητες των αντίστοιχων στοιχειωδών ενδεχοµένων. Να βρείτε την Ρ(0). i Αν Α = {, 4,,50 }, να βρείτε την Ρ(Α) Ρ(0) + Ρ() + Ρ() + Ρ(3) + + Ρ(50) = Ρ(0) = 3 50 Τα κλάσµατα είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου µε α = και λ= Εποµένως α ( λ ) = S = = = 50 λ () Ρ(0) + = Ρ (0) = () i Ρ(Α) = Ρ() + Ρ(4) + + Ρ(50) = Πρόκειται για το άθροισµα των 5 πρώτων όρων γεωµετρικής προόδου µε α = = και λόγο λ = = α 4 4 ( λ ) S 5 = = = ( ) = 5 5 λ

12 0. Είναι γνωστό ότι από 0000 σπόρους που φυτεύτηκαν θα φυτρώσει το 90%. Από τα φυτά που θα φυτρώσουν µόνο το 90% θα ζήσει και θα καρποφορήσει. Αν φυτέψουµε έναν σπόρο ποια είναι η πιθανότητα των ενδεχοµένων : Α: ο σπόρος να µην φυτρώσει Β: ο σπόρος να φυτρώσει αλλά να πεθάνει Γ: ο σπόρος να καρποφορήσει Σχόλιο 7 Με βάση το παραπάνω σχέδιο είναι Ρ(Α) = = 0, Ρ(Β) = 900 = 9, Ρ(Γ) = 800 =

13 3. Ένα δείγµα 50 οικογενειών ρωτήθηκε ως προς τον αριθµό των παιδιών τους. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον πίνακα Αρ. Παιδιών ή περισσότερα Αρ. οικογενειών Επιλέγουµε τυχαία µία οικογένεια. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Α: να µην έχει παιδιά Β: να έχει παιδιά αλλά όχι περισσότερα από 3 Γ: να έχει περισσότερα από 3 παιδιά : να µην έχει 3 ή 4 παιδιά Ε: να έχει λιγότερα από ή περισσότερα από 4 Ρ( Α ) = 6 Ρ(Β) = 50 Ρ(Γ) = = 8 50 Ρ(Ε) = = 3 50 Ρ( ) = = = 36 50

14 4. Σ ένα κλουβί υπάρχουν 0 καναρίνια και 36 κοτσύφια. Τα τέσσερα πέµπτα των καναρινιών και τα µισά κοτσύφια κελαηδάνε. Εκλέγουµε ένα πουλί στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων : Είναι καναρίνι i Είναι κοτσύφι και κελαηδάει ii Το πουλί κελαηδάει iν) Είναι καναρίνι ή κελαηδάει Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Ρ (Α) = ευνοκ ϊ ές δυνατές = 0 56 Α : Το πουλί είναι καναρίνι Β : Το πουλί είναι κοτσύφι Γ : Το πουλί κελαηδάει i P (Β Γ ) = ευνοκ ϊ ές δυνατές = 8 56 (τα κοτσύφια που κελαηδάνε είναι 36 = 8) ii Ρ (Γ) = ευνοκ ϊ ές δυνατές = = (τα πουλιά που κελαηδάνε είναι = = 34 ) iν) Αναζητάµε την Ρ( Α Γ ) =Ρ( Α ) +Ρ( Γ) Ρ( Α Γ ) () P (Α Γ ) = ευνοκ ϊ ές δυνατές = 6 56 (τα καναρίνια που κελαηδάνε είναι 4 0 = 6) 5 0 () Ρ( Α Γ ) = = 38 56

15 5 3. Ένα σχολείο έχει 4 εκπαιδευτικούς, από τους οποίους οι 8 είναι άνδρες µεταξύ των οποίων 3 είναι φιλόλογοι. Επίσης υπάρχουν 0 γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουµε έναν εκπαιδευτικό στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : Είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος i Είναι άνδρας φιλόλογος ii Είναι άνδρας ή φιλόλογος iν) εν είναι φιλόλογος Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι οι γυναίκες εκπαιδευτικοί είναι 6, εκ των οποίων οι 0 είναι φιλόλογοι, άρα οι 6 γυναίκες δεν είναι φιλόλογοι. 8 Έστω Α το ενδεχόµενο να είναι άνδρας, οπότε Ρ(Α) =. 4 6 Α είναι το ενδεχόµενο να µην είναι άνδρας, δηλαδή είναι γυναίκα µε Ρ(Α ) = 4 3 Έστω Φ το ενδεχόµενο να είναι φιλόλογος, οπότε Ρ(Φ) = 4 Το ενδεχόµενο να είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος, είναι το Α Φ. Οπότε Ρ( Α Φ ) = 6 4 i Το ενδεχόµενο να είναι άντρας φιλόλογος, είναι το Α Φ. 3 Οπότε Ρ ( Α Φ) = 4 ii Το ενδεχόµενο να είναι άντρας ή φιλόλογος, είναι το Α Φ Οπότε Ρ ( Α Φ) =Ρ( Α) +Ρ( Φ) Ρ( Α Φ) = + = iν) Το ενδεχόµενο να µην είναι φιλόλογος, είναι το Φ. 3 Οπότε Ρ(Φ ) = Ρ(Φ) = = 4 4

16 6 4. Σ ένα χωριό µε 48 οικογένειες, 36 έχουν έγχρωµη τηλεόραση, 6 έχουν ασπρόµαυρη και 6 έχουν και έγχρωµη και ασπρόµαυρη. Αν επιλέξουµε µία οικογένεια στην τύχη,να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Να µην έχει ούτε έγχρωµη ούτε ασπρόµαυρη τηλεόραση. i Να έχει µόνο ένα είδος τηλεόρασης. ii Να έχει ένα τουλάχιστον είδος τηλεόρασης. Έστω τα ενδεχόµενα Ε = «Η οικογένεια έχει έγχρωµη τηλεόραση» Μ = «Η οικογένεια έχει ασπρόµαυρη τηλεόραση». Τότε Ε Μ είναι το ενδεχόµενο «η οικογένεια έχει και έγχρωµη και ασπρόµαυρη τηλεόραση». Από υπόθεση έχουµε Ρ(Ε) = 36 6, Ρ(Μ) = και Ρ(Ε Μ) = Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το ( Ε Μ ) Ρ ( Ε Μ ) = Ρ( Ε Μ ) = [ Ρ( Ε ) +Ρ( Μ) Ρ( Ε Μ ) ] = = 48 i Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το ( Ε Μ) ( Μ Ε) 40 Ρ[(Ε Μ) (Μ Ε)] = Ρ(Ε) + Ρ(Μ) Ρ(Ε Μ) = 48 ii Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το Ε Μ Ρ( Ε Μ ) = Ρ( Ε Μ ) = =

17 7 5. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στους ασθενείς που πάσχουν από διαβήτη Επιλέγουµε έναν ασθενή στην τύχη και έστω τα ενδεχόµενα Α: Να έχει σοβαρή περίπτωση Β: Να είναι κάτω των 40 Γ: Οι γονείς του να είναι διαβητικοί Να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ ( Β Γ), Ρ ( Α Β Γ) i Να περιγράψετε λεκτικά τα ακόλουθα ενδεχόµενα και να βρείτε τις πιθανότητες τους : Α Β, Α Γ, Α Β Γ Από τον πίνακα φαίνεται ότι οι ασθενείς που είναι σοβαρά είναι το 40% άρα Ρ(Α) = 8 % + 0 % + % + 0% = 40% = Ρ(Β) = 5 % + 0% + 8% + % = 35% = Ρ(Γ) = 5% + 5% + 8% + 0% = 58% = Β Γ σηµαίνει κάτω των 40 µε διαβητικούς γονείς είναι το 3% άρα Ρ ( Β Γ) = 5% + 8% = 3% = 3 00 Α Β Γ σηµαίνει σοβαρή περίπτωση, κάτω των 40 γονείς διαβητικοί. Ρ ( Α Β Γ) = 8% = 8 00 i Α Β σηµαίνει ελαφριά περίπτωση, άνω των 40. Ρ ( Α Β ) = 5% + 5% = 35% = Α Γ σηµαίνει ελαφριά περίπτωση ή οι γονείς δεν είναι διαβητικοί. Ρ( Α Γ ) = 5% + 5% + 0% + 0% + % + 0% = 7% = 7 00 Α Β Γ σηµαίνει ελαφριά περίπτωση, κάτω των 40, γονείς όχι διαβητικοί. Ρ ( Α Β Γ ) = 0% = 0 00

18 8 6. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω έτσι ώστε Ρ(Α Β) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Β Α) = Να βρείτε την Ρ(Α) i Να δείξτε ότι Ρ(Β) = 4 Ρ( Α Β ) = Ρ( Α) Ρ( Α Β ) = 4 Ρ( Α) = 0 4 Ρ( Α ) = + = i Ρ( Β Α ) = Ρ( Β ) Ρ( Β Α ) = () Από διάγραµµα Venn έχουµε Β Α = Α Β () Ρ( Β ) Ρ( Α B) = Ρ( Β ) = 4 Ρ( Β ) = + = 3 4 4, οπότε Ρ(Β) = 4

19 9 7. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 0,7, Ρ(Β) = 0,5 και Ρ( Α Β) = 0,3. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχόµενων εν πραγµατοποιείται το Α i Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β ii εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β iν) εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α, Β ν) Πραγµατοποιείται µόνο το Α ν Ένα µόνο από τα Α, Β πραγµατοποιείται εν πραγµατοποιείται το Α, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Α. Ρ(Α ) = Ρ(Α) = 0,7 = 0,3 i Ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β. Ρ ( Α Β) =Ρ( Α) +Ρ( Β) Ρ( Α Β) = 0,7 + 0,5 0,3 = 0,9 ii εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β) άρα Ρ( Α Β) = Ρ( Α Β) = 0,3= 0,7 iν) Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β), άρα Ρ ( Α Β) = Ρ( Α Β) = 0,9 = 0, ν) Πραγµατοποιείται µόνο το Α, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β, δηλαδή πραγµατοποιείται το Α Β. Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) = 0,7 0,3 = 0,4 ν Ένα µόνο από τα Α, Β πραγµατοποιείται, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Α και όχι το Β ή το Β και όχι το Α, δηλαδή πραγµατοποιείται το ( Α Β) ( Β Α). Επειδή όµως τα ( Α Β), ( Β Α ) είναι ασυµβίβαστα, θα είναι Ρ[( Α Β) ( Β Α )] = Ρ( Α Β ) +Ρ( Β Α ) () Όπως στο (v), βρίσκουµε Ρ(Β Α) = 0, () Ρ[( Α Β) ( Β Α )] = 0,4 + 0, = 0,6

20 0 8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε Ρ(Α) = 0,9, Ρ(Β) = 0,8 και Ρ( Α Β) = 0,3. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β i Πραγµατοποιείται µόνο το Β ii Πραγµατοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β iν) εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α, Β. Καταρχήν Ρ( Α Β) = 0,3 Ρ( Α Β ) = 0,3 Ρ( Α Β ) = 0,3 Ρ( Α Β ) = 0,7 Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β. Οπότε Ρ( Α Β ) =Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) = 0,9+ 0,8 0,7 = i Πραγµατοποιείται µόνο το Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Β Α. Οπότε Ρ(Β Α) = Ρ(Β) Ρ(Α Β ) = 0,8 0,7 = 0, ii Ω Πραγµατοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β, Α Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ( Α Β) ( Β Α) και επειδή τα Α Β, Β Α είναι ασυµβίβαστα, θα έχουµε Α Β Α Β Β Α Ρ[( Α Β) ( Β Α )] = Ρ( Α Β ) +Ρ( Β Α ) = Ρ(Α) Ρ( Α Β) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) = 0,9 0,7 + 0,8 0,7 = 0,3. iν) Κανένα από τα Α,Β δεν πραγµατοποιείται, σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β ). Οπότε Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β) = = 0

21 9. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α Β) = 0,7 και Ρ(Α ) = 0,6. Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α Β). Ρ(Α ) = 0,6 Ρ(Α) = 0,6 Ρ(Α) = 0,4 Σε διάγραµµα Venn παρατηρούµε ότι Α Β = Β Α Άρα Ρ(Α Β) = Ρ(Β Α) = Ρ(Β) Ρ(Α Β) () Ρ(Α Β) = 0,7 Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 0,7 () Ρ(Α Β) = 0,3 0,4 + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 0,7 Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 0,3 0. Αν Ρ(Α Β ) = 0,6, να βρεθεί η πιθανότητα Ρ(Α Β ) Ρ(Α Β ) = Ρ(Α ) + Ρ(Β ) Ρ(Α Β ) () (προσθετικός νόµος) Επειδή Α Β = Α Β, ο τύπος Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) γίνεται Εφαρµόζουµε τη () για Α, Β : Οπότε, η () Αλλά Β Α = Β Α = Α Β Ρ(Α Β ) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β ) () Ρ(Α Β ) = Ρ(Α ) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β ) = Ρ(Α ) + Ρ(Β ) [Ρ(Α ) Ρ(Α Β)] Ρ(Α Β ) = Ρ(Α ) + Ρ(Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Α Β) Ρ(Α Β ) = Ρ(Β ) + Ρ(Α Β) (3) () Ρ(Α Β ) = Ρ(Β ) + Ρ(Β Α) Ρ(Α Β ) = Ρ(Β ) + Ρ(Β) Ρ(Β Α) Ρ(Α Β ) = Ρ(Β Α) Ρ(Α Β ) = 0,6 Ρ(Α Β ) = 0,4

22 . Ένας µηχανικός επιθεωρεί, ως προς το µέγεθος και την συσκευασία, εξαρτήµατα που παράγει µια βιοµηχανία. Ένα εξάρτηµα θεωρείται ελαττωµατικό λόγω µεγέθους (πολύ µεγάλο ή πολύ µικρό), ή λόγω κακής συσκευασίας (λάθος ετικέτα ή σωστή ετικέτα σε λάθος θέση). ίνεται ότι ισχύει ο διπλανός πίνακας Ένα εξάρτηµα επιλέγεται στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα καθενός των ενδεχοµένων : Ελαττωµατικό λόγω µεγέθους i Ελαττωµατικό λόγω ετικέτας ii Ελαττωµατικό λόγω µεγέθους ή λόγω ετικέτας iν) Ελαττωµατικό λόγω µεγέθους και λόγω ετικέτας Έστω Μ το ενδεχόµενο «ελαττωµατικό λόγω µεγέθους». Τότε Μ = Μ Μ και επειδή Μ, Μ ασυµβίβαστα θα έχουµε Ρ(Μ) = Ρ(Μ ) Μ = Ρ(Μ ) + Ρ(Μ ) = 0, + 0,08 = 0, i Έστω Ε το ενδεχόµενο «ελαττωµατικό λόγω ετικέτας». Τότε Ε = Ε Ε και επειδή Ε, Ε ασυµβίβαστα θα έχουµε Ρ(Ε) = Ρ( Ε Ε ) = Ρ(Ε ) + Ρ(Ε ) = 0,5 + 0,0 = 0,7 ii Σχόλιο 9 Έστω Α το ενδεχόµενο «αποδεκτό» Το ενδεχόµενο «ελαττωµατικό λόγω µεγέθους ή λόγω ετικέτας» είναι το Μ Ε Ταυτόχρονα όµως είναι το «µη αποδεκτό», δηλαδή το Α. Οπότε Ρ ( Μ Ε) =Ρ( Α ) = Ρ( Α) = 0,7 = 0,8 iν) Το ενδεχόµενο «ελαττωµατικό λόγω µεγέθους και λόγω ετικέτας» είναι το Μ Ε. Οπότε Ρ( Μ Ε ) =Ρ( Μ ) +Ρ( Ε) Ρ( Μ Ε ) = 0, + 0,7 0,8 = 0,09 Ενδεχόµενο Πιθανότητα Πολύ µεγάλο 0, (Μ ) Πολύ µικρό 0,08 (Μ ) Λάθος ετικέτα 0,5 (Ε ) Σωστή ετικέτα 0,0 σε λάθος θέση (Ε ) Αποδεκτό 0,7 Σχόλιο 5

23 3. Σε ένα σύνολο µαθητών το 0% δε µαθαίνει Αγγλικά, το 60% δε µαθαίνει Γαλλικά και το 5% δε µαθαίνει καµία από τις δύο γλώσσες, δηλαδή ούτε Αγγλικά ούτε Γαλλικά. Επιλέγουµε ένα µαθητή στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα i Ο µαθητής µαθαίνει και τις δύο γλώσσες ii Ο µαθητής µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες Έστω Α το ενδεχόµενο «µαθαίνει Αγγλικά». Αφού 0% δε µαθαίνει Αγγλικά Ρ(Α) = 80% Έστω Γ το ενδεχόµενο «µαθαίνει Γαλλικά». Αφού 60% δε µαθαίνει Γαλλικά Ρ(Γ) = 40% 5% δε µαθαίνει καµία από τις δύο γλώσσες 85% µαθαίνει µία τουλάχιστον i Αυτό όµως είναι το Α Γ Άρα Ρ(Α Γ) = 85% Το ενδεχόµενο «Ο µαθητής µαθαίνει και τις δύο γλώσσες» είναι το Α Γ. Οπότε Ρ(Α Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Γ) - Ρ(Α Γ) ii = 80% + 40% 85% = 35% Το ενδεχόµενο «Ο µαθητής µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες» είναι το (Α Γ) (Γ Α). Επειδή όµως τα Α Γ, Γ Α είναι ασυµβίβαστα (διάγραµµα Venn), θα έχουµε Ρ[(Α Γ) (Γ Α)] = Ρ(Α Γ) + Ρ(Γ Α) = Ρ(Α) Ρ(Α Γ) + Ρ(Γ) Ρ(Γ Α) = 80% 35% + 40% 35% = 50%

24 4 3. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,8. Εξετάστε αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα i είξτε ότι 0,5 Ρ(Α Β) 0,7 ii είξτε ότι Ρ( Α Β) 0, Σχόλιο 6 Έστω ότι τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα τότε Α Β= Ρ( Α Β) =Ρ( Α) +Ρ( Β) = 0,7 + 0,8 =,5 > που είναι άτοπο i Για την ανισότητα Ρ( Α Β) 0, 7 Είναι Α Β Α Ρ( Α Β) Ρ( Α ) Ρ( Α Β) 0,7 Για την ανισότητα Ρ( Α Β) 0,5 Αρκεί να αποδείξουµε ότι Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β) 0,5 0, 7+ 0,8 Ρ( Α Β) 0,5 Ρ ( Α Β) που ισχύει Σχόλιο 4 ii Ρ( Α Β) 0, Ρ( Α Β) 0, Ρ( Α Β) 0,8 Ρ( Α Β) Ρ( Β ) που ισχύει αφού Β ( Α Β).

25 5 4. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,7, δείξτε ότι : Ρ( Α Β),0 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Ρ(Α ) 0,8 Ρ( Α ) 0,8 0,8 Ρ(Α) Ρ(Α) 0,7 () Ρ(Β ) 0,7 Ρ( Β ) 0,7 0,7 Ρ(Β) Ρ(Β) 0,9 () Αρκεί να δειχθεί ότι Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β ),0 Σχόλιο 4 Αλλά ο προσθετικός νόµος γράφεται Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β ) = Ρ( Α ) + Ρ(Β) Οπότε, αρκεί να δειχθεί ότι Ρ( Α ) + Ρ(Β),0 που ισχύει, αφού Ρ( Α ) + Ρ(Β) i Έστω ότι είναι Α Β= τότε Ρ(Α Β)= 0 5. και Ρ( Α Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου, δείξτε ότι Ρ ( Α Β) Ρ( Α) +Ρ( Β) +Ρ( Α Β). Για την ανισότητα Ρ( Α Β) Ρ( Α ) +Ρ( Β ) Αρκεί [ ( ) ( ) ( ) ( ),( ) 0,7 + 0,9 =,0 Ρ Α +Ρ Β Ρ Α Β ] Ρ( Α ) +Ρ( Β )» Ρ( Α ) + Ρ( Β) Ρ( Α Β) Ρ( Α ) +Ρ( Β )» Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) Επειδή Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Και Β Α Β Ρ( Β) Ρ( Α Β ) + Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β ) ( ),( ) 0,7 + 0,9 =,0 που είναι άτοπο Για την ανισότητα Ρ( Α ) +Ρ( Β) +Ρ( Α Β ) Αρκεί Ρ( Α ) +Ρ( Β) Ρ( Α Β) Αρκεί Ρ(Α Β) που ισχύει

26 6 6. Έστω Α ένα ενδεχόµενο δειγµατικού χώρου Ω µε Α Ω και Α και η 3 Ρ( Α) Ρ( Α) συνάρτηση f (x) = x x + x Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. Ρ( Α) Ρ( Α) Έχουµε Α f = R µε f (x) = x x+. 8 Ρ( Α)[ Ρ( Α) ] Η διακρίνουσα του τριωνύµου f είναι =. 4 Γνωρίζουµε ότι 0 Ρ(Α) και επειδή το Α Ω και Α θα είναι 0 < Ρ(Α) <, άρα < 0, οπότε το τριώνυµο f είναι οµόσηµο του α = > 0 Άρα η f είναι γν. αύξουσα στο R, χωρίς ακρότατα 7. Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος µε 0 ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και Α ένα ενδεχόµενο αυτού. Έστω ακόµα η συνάρτηση f(x) = x Ρ(Α)x Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα i Αν το ακρότατο της f είναι ίσο µε να βρείτε την Ρ(Α) και το πλήθος των 8 στοιχείων του Α. Είναι Α f =R µε f (x) = 4x Ρ(Α) Πρόσηµο της f και µονοτονία της f : x Ρ(Α)/ + f 0 + f Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 = f min = f i ( P(A) ) = Ρ(Α) Ρ( Α) = Ρ( Α) Ρ(Α) Ρ( Α) = ( P(A) ) ( P(A) ) = ( P(A) ) ( P(A) ) = 8 4, Ρ(Α) = αφού Ρ(Α) > 0 Ρ(Α) = Ν( Α) Ν( Ω ) = Ν( Α ) = 0 Ν(Α) =0

27 7 8. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = { 0,,, 3 } και το ενδεχόµενο κ Α = { κ Ω ώστε lim f (x) = }, όπου f (x) = x 5 κ + 3 Αν Ρ(0) = 6 3 Ρ () = Ρ () = Ρ(3), να βρείτε : 5 Τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω i Το πεδίο ορισµού της f και το όριο lim f (x) ii Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α) x 5 x x 5 Ρ(0) = 6 3 Ρ () = Ρ () = Ρ(3) Ρ() = Ρ(0), Ρ() = 3 Ρ(0), Ρ(3) = Ρ(0), 5 Αλλά Ρ(0) + Ρ() + Ρ() + Ρ(3) = Ρ ( 0) + Ρ(0) + Ρ(0) + Ρ(0) = 6 3 Ρ(0) ( ) = Ρ(0) = 6 Οπότε Ρ () = 5, Ρ() = και Ρ(3) = Ρ(0) = 6 Ρ(0) = 3 i Για να ορίζεται η f πρέπει x 0 και x 5 0 x και x 5 άρα Α f = [, 5) (5, + ) x 0 lim f (x) = lim = x 5 x 5 x 5 0 = ( x )( x + ) lim x 5 (x 5)( x + ) x 5 = lim. x 5 (x 5)( x + ) = lim = = x 5 x ii κ κ lim f (x) = = κ 4κ+ 3= 0 κ = ή κ = 3 x 5 κ + 3 κ Άρα Α = {, 3} και Ρ(Α) = Ρ() + Ρ(3) = = 4 9

28 8 9. Έστω Α και Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω έτσι ώστε να ισχύουν α) Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι 8 7 β) Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ ( Α Β) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο Χ = 5 3x 5 { κ,, 4}, όπου κ= lim x 5 x 6x + 5 Να βρείτε το κ i Να βρεθούν οι Ρ(Α), Ρ(A Β ) και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. ii Να βρεθούν οι πιθανότητες α) Να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Β β) Να πραγµατοποιηθεί µόνο το ενδεχόµενο Α 3x 5 Είναι κ= lim x 5 x 6x + = 3(x 5) 3 lim = lim 5 x 5 (x )(x 5) x 5 x = 3 4 i Είναι Χ = { 3 5 Τύποι θεωρίας,, 4 4} 5 Επειδή >, δε µπορεί να εκφράζει πιθανότητα. 4 Επειδή Α Β Α, θα είναι Ρ(A Β) Ρ(Α) και επειδή Ρ(A Β) Ρ(Α) θα είναι Ρ(A Β ) = και Ρ(Α) = 3 4 ii α) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(A Β ) β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(A Β ) = 3 4 = = Ρ(Β) Ρ(Β) = 5 8

29 9 30. Έστω Ω = {,, 3, 4, 5, 6 } ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x) = x 3 3x + (α +)x + α α 3, όπου α Ω Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α = «η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της Κ(, f()) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων» f() = (α +) + α α 3 = 3 + α + + α α 3 = α 4 f (x) = 3x 6x + α + f () = α + = α + = α Η η εφαπτοµένη στο Κ(, f()) έχει εξίσωση : y f() = f ()(x ) y (α 4) = (α )(x ) y α + 4 = (α )x α + y = (α )x + α α Η εφαπτοµένη διέρχεται από το Ο(0, 0) 0 = (α ) 0 + α α Ν( Α ) Άρα Α ={}, Ν(Α) = και Ρ(Α) = = Ν( Ω) 6 α α = 0 α = αφού α Ω

30 30 3. Ρίχνουµε ένα ζάρι και έστω Ω ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. Επιλέγουµε ένα στοιχείο του Ω στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχόµενων : Α = {α Ω, ώστε x = }, όπου x η µέση τιµή των παρατηρήσεων α 3, 5 α, 7 α,, 7α Β = {β Ω ώστε η διάµεσος των παρατηρήσεων 4, β, 0, 6, 3, 4 να είναι 3,5} Γ = {γ Ω ώστε η εξίσωση x + 4x + γ = 0 να είναι αδύνατη στο R } = {δ Ω ώστε η συνάρτηση f να έχει ελάχιστο στο όπου f(x) = x + (δ 5δ)x + 0 Είναι Ω ={,, 3, 4, 5, 6 } µε Ν(Ω) = 6 x = 3 α + 5 α + 7 α 7α = 5 α 3 4 α 7α = 0 x o = }, α 3 4 α 7α + 0 = 0 Προφανής ρίζα α = Σχήµα Horner και δευτεροβάθµια : α = ή α = 5 εκτές οι α = και α = 5, αφού α Ω Ν( Α) Άρα Α = {, 5} και Ρ ( Α) = = = Ν( Ω) 6 3 ii ) Τοποθετούµε τις γνωστές παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά 0, 3, 4, 4, 6 Αφού β Ω, για να είναι η διάµεσος 3,5, θα πρέπει το β να είναι ή ή 3. Ν( Β) 3 Άρα Β = {,, 3} και Ρ(Β) = = = Ν( Ω) 6 ii Η εξίσωση x + 4x + γ = 0 αδύνατη στο R < 0 6 4γ < 0 γ > 4 Ν Άρα Γ = { 5, 6 } και Ρ(Γ) = ( Γ ) = = Ν( Ω) 6 3 iν) Ελάχιστο στο Άρα = {, 4} και β x o = α = δ 5δ = δ + 5δ = 4 Ν( ) Ρ( ) = = = Ν( Ω) 6 3 δ 5δ + 4 = 0 δ = ή δ = 4

31 3 3. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). 3 3 Έστω και η συνάρτηση f(x) = x P( A B) x P( A B), x R είξτε ότι Ρ ( Α Β) Ρ( Α Β) Ρ( Α) +Ρ( Β) i είξτε ότι η f παρουσιάζει µέγιστο στο σηµείο x = ii Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα δείξτε ότι f( Ρ Α) )= Ρ (Β). ( f( ) Ρ( Α Β) P(A) + P(B) Ρ( Α Β) P(A) + P(B) Ρ( Α Β ) Ρ( Α Β) Ρ( Α Β ) i f (x) = 3 x P( A B) 3 x P( A B) Μηδενισµός της f : f (x) = 0 3 x P( A B) 3 x P( A B) = 0 ( x Ρ( Α Β ) + x Ρ( Α Β) )( x Ρ( Α Β) x +Ρ( Α Β )) = 0 ( x Ρ( Α) Ρ (B) +Ρ( Α Β ) + x Ρ( Α Β) )( Ρ( Α Β) Ρ( Α Β )) = 0 ( x Ρ( Α) Ρ( Β) )( Ρ( Α Β) Ρ( Α Β )) = 0 Ρ( Α) +Ρ( Β) x = Πρόσηµο της f : αφού από το ( είναι Ρ( Α Β) Ρ( Α Β ). f (x) > 0.. x Ρ( Α) Ρ( Β) Ρ( Α Β) Ρ( Α Β ) > 0 () ( )( ) Επειδή ( Α Β) ( Α Β) Ρ( Α Β) <Ρ( Α Β) Ρ ( Α Β) Ρ( Α Β) < 0 Οπότε, η () x Ρ(A) P(B) < 0 Ρ( Α) +Ρ( Β) x < Πρόσηµο της f και µονοτονία της f x Ρ( Α) +Ρ( Β) + f + 0 f Ρ( Α) +Ρ( Β) η f παρουσιάζει µέγιστο στο x = ii f( Ρ ( Α) ) = ( Ρ( Α) Ρ( Α Β) ) 3 ( Ρ( Α) Ρ( Α Β ) ) 3 = [Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Β) + Ρ(Α Β)] 3 [Ρ(Α)] 3 = [ Ρ(Β)] 3 [Ρ(Α)] 3

32 3 = (Ρ(Β)) 3 (Ρ(Α)) 3 αφού Ρ ( Α Β) = 0 δεδοµένου ότι τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα Οµοίως προκύπτει ότι f(ρ(β))= (Ρ(Α)) 3 (Ρ(Β)) 3

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ

ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ Θ Ε Μ Α 1 Από τους 120 μαθητές ενός Λυκείου, οι 24 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Α, οι 20 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Β και οι 12 μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 87 Α4.

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αθήνα 2012-0- Στόχοι 1. Η αναγνώριση ενός πειράµατος φαινοµένου ως πείραµα τύχης (στοχαστικό) 2. Ο προσδιορισµός του δειγµατικού χώρου και ενδεχοµένων αυτού, µε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Β.. Β.. Β.. Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Γνωριµία και ερµηνεία των πιθανοτήτων Χρήση σε πρακτικά προβλήµατα και σε θέµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας. Προσθετικός και πολλαπλασιαστικός κανόνας των πιθανοτήτων Έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

μιας παρατήρησης όπου λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<72, τότε λ

μιας παρατήρησης όπου λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<72, τότε λ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΑ Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 10. x. (μονάδες 2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Απάντηση από το Σχολικό βιβλίο σελίδα 28

Μονάδες 10. x. (μονάδες 2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Απάντηση από το Σχολικό βιβλίο σελίδα 28 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα