ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ"

Transcript

1 ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου Α, ενώ το κλάσμα fa λέγεται v σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Α. Αν Ω=,,..., είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος με τα στοιχειώδη ενδεχόμενα,,..., και k,k,...,k,οι αντίστοιχες συχνότητες σε ν εκτελέσεις του πειράματος,τότε: k k... k v και f f... f v v v i fi,i,,..., Σχόλια:. Αν Ω ο δειγματικός χώρος,τότε v f. v. Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, τότε: v A B v A v, οπότε B va vb va vb fab fa fb. v v v Νόμος των μεγάλων αριθμών Έχει διατυπωθεί ότι αν ένα πείραμα επαναληφθεί πολλές φορές, τότε η σχετική συχνότητα εμφάνισης των διαφόρων ενδείξεων στοιχειωδών ενδεχομένων τείνει να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή για κάθε ένδειξη, όχι πάντα ίδια για όλες τις ενδείξεις. ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Κλασσικός ορισμός πιθανότητας Ορισμός :Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α και συμβολίζουμε με Ρ(Α) τον αριθμό: Ρ(Α)= πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων/ πλήθος δυνατών περιπτώσεων = N(A) N( ) Σε τέτοιες περιπτώσεις λέμε ότι τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Ρ(Ω)= N( ) N( ) Ρ( O )= 0 0 N( ) Για κάθε ενδεχόμενο Α και 0 N(A) N( ),οπότε 0 P(A). 5

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ένα δοχείο περιέχει 5 σφαίρες από τις οποίες οι είναι πράσινες και οι 4 άσπρες και 7 κύβους από τους οποίους οι είναι πράσινοι και οι 4 είναι άσπροι. Παίρνουμε τυχαία ένα αντικείμενο από το δοχείο. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι πράσινο.. Ένα κουτί περιέχει 8 άσπρες, 6 μαύρες και 5 κόκκινες σφαίρες. Ποια είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε: Α) Μια κόκκινη σφαίρα. Β) Λευκή ή μαύρη. Γ) Ούτε κόκκινη ούτε άσπρη.. Ένα κουτί περιέχει 0 μαύρα, 8 μπλε, 4 κόκκινα και 5 κίτρινα μολύβια. Παίρνουμε ένα μολύβι στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι: α) κίτρινο β) μαύρο ή κόκκινο γ) ούτε μαύρο ούτε μπλε 4. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τους βαθμούς των μαθητών μιας τάξης στα Μαθηματικά. Βαθμός Πλήθος μαθητών Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης. Να βρείτε την πιθανότητα: α) Να έχει βαθμό μικρότερο του 4. β) Να έχει βαθμό τουλάχιστον 6 5. Μια οικογένεια έχει 4 παιδιά από τα οποία τα δύο τελευταία είναι του ίδιου φύλλου. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: K: το πρώτο παιδί είναι κορίτσι και η οικογένεια έχει μόνο ένα αγόρι. Λ: η οικογένεια έχει ένα μόνο παιδί διαφορετικού φύλλου από το πρώτο παιδί. 6. Κληρωτίδα περιέχει 0 μπαλάκια αριθμημένα από το έως το 0. Επιλέγουμε τυχαία ένα. Ποια είναι η πιθανότητα Η ένδειξη να είναι μικρότερη του 6 ή πολλαπλάσια του 6; Η ένδειξη να είναι το μέγιστο της f(x)=-x +0x Δύο παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι ρίχνοντας δύο ζάρια. Αν εμφανιστεί ο αριθμός 5 ή 6 κερδίζει ο πρώτος, διαφορετικά ο δεύτερος. Ποιος έχει περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει; 8. Έστω Ω = {ω Ν / ω 0} ένας δειγματικός χώρος, ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση x + 4x + λ = 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες. ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 6

3 9. Θεωρούμε το δ.χ. Ω={α,β,γ,δ,ε} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα: Να υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : Α={α,β,γ}, Β={γ,δ,ε} Γ={α,δ}, Α,Β,Γ, Α Β, Β Γ, (Α Β) Γ. 0. Έστω Ω={,,,,ν} ο δειγματικός χώρος πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα, όπου ν είναι η λύση της εξίσωσης ν 6. Αν Α Ω ένα ενδεχόμενο, που περιέχει τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση x 4x λ 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες, να βρείτε την Ρ(Α).. Δίνεται η εξίσωση (λ )x λ + 4 = 0, λ. Ρίχνουμε ένα ζάρι μια φορά και την ένδειξή του την αντικαθιστούμε στη θέση του λ, στην παραπάνω εξίσωση. Να βρεθεί η πιθανότητα η εξίσωση που θα προκύψει να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.. Ένα κουτί περιέχει άσπρες μπάλες, x κόκκινες και y μαύρες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα. Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότητα να πάρουμε μαύρη είναι. Να βρείτε πόσες μπάλες υπάρχουν στο κουτί.. Ένα κουτί περιέχει 0 μαύρες, χ άσπρες και ψ πράσινες σφαίρες. Αν επιλέξουμε τυχαία μια σφαίρα, η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι 5 4 και η πιθανότητα να είναι πράσινη είναι 5. Να βρείτε: i)την πιθανότητα η σφαίρα να μην είναι μαύρη. ii)την πιθανότητα η σφαίρα να είναι μαύρη ή άσπρη. iii)πόσες είναι όλες οι σφαίρες; 4. Μία κάλπη περιέχει 0 μπάλες, από τις οποίες οι 0 είναι λευκές και οι υπόλοιπες μαύρες ή κόκκινες. Επιλέγουμε μία μπάλα τυχαία. Η πιθανότητα να είναι κόκκινη λ είναι λ+, ενώ να είναι μαύρη είναι λ. Πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες λ+5 μπάλες περιέχει η κάλπη; 5. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω={,,, ν}, με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα το δείγμα των οποίων έχει διάμεσο δ=4,5. i. Να δείξεις ότι ν=8 ii. Επιλέγουμε τυχαία από το Ω ένα αριθμό λ ποια η πιθανότητα ώστε η τυπική απόκλιση των αριθμών λ,λ,6λ να είναι μεγαλύτερη του 7. ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 7

4 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αξιωματικός αριθμός πιθανότητας Ο κλασσικός ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί ΜΟΝΟ στην περίπτωση που τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Γενικότερα ισχύει ο παρακάτω αξιωματικός ορισμός πιθανότητας. Ορισμός :Έστω Ω=,,..., ένας δειγματικός χώρος ν στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο αντιστοιχίζουμε τον πραγματικό αριθμό Ρ,έτσι ώστε να ισχύουν: α) 0 β) i Ειδικά όταν δεν ισχύει ο κλασσικός ορισμός,ως πιθανότητα λαμβάνεται το όριο της P k,ενώ ως πιθανότητά του μεν Ω έχουμε Ρ(Ω)= και του O ορίζουμε το σχετικής συχνότητας. Όταν έχουμε Ω=,,..., v και χρησιμοποιούμε την φράση Ρ( O )=0. «παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω», θα εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα v. P P... P Τον αριθμό Ρ i ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου του ενδεχομένου Α=,,..., k O ορίζουμε το άθροισμα Ρ(Α)= P P i.ως πιθανότητα ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σ ένα διαγωνισμό της Ελλ. Μαθ. Εταιρείας παίρνουν μέρος 4 μαθητές από ένα Λύκειο των Αθηνών. Οι πιθανότητες του ου, του ου, του ου και του 4 ου για να πάρουν το πρώτο βραβείο είναι ανάλογες των αριθμών,5,7,9 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι πιθανότητες αυτές.. Τα δυνατά αποτελέσματα ω,ω,ω ενός πειράματος τύχης πραγματοποιούνται με σχετικές συχνότητες -,, αντίστοιχα. Βρείτε το λ ώστε αυτές να αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες των ω,ω,ω.. Έστω Ω=,,. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν κ,λ R ώστε Ρ(ω )=λ,, 4 Ρ(ω )= -κ, Ρ(ω )=κ +λ -λ, Ρ(ω 4 )=κ-κλ-. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 8

5 4. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {ω, ω, ω, ω 4, ω 5 }και τα ενδεχόμενα Α = {ω, ω, ω }, Β={ω, ω, ω 5 } και Γ = {ω, ω }. Αν Ρ(Α) = 0,7, Ρ(Β) = 0,4 και Ρ(Γ) = 0, να βρεθεί η πιθανότητα Ρ{ω 4 }. 5. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω {ω,ω,ω,ω 4,ω 5} ενός πειράματος τύχης. α) Αν Ρ(ω ) Ρ(ω ), Ρ(ω ) και Ρ(ω, 4 ) να βρεθεί η Ρ(ω 5 ). 8 6 β) Αν (ω ) Ρ(ω ), Ρ(ω ) Ρ(ω ), και (ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ), τότε να Ρ Ρ 4 5 βρεθούν: i. οι πιθανότητες (ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ), και Ρ(ω ) Ρ 4 5 Α {ω,ω,ω Β {ω,ω 4 5 ii. οι πιθανότητες των ενδεχομένων } και }. 6. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω {ω,ω,ω,ω 4} και τα ενδεχόμενα Α {ω,ω} και 8 {,, 4}. Αν ισχύει Ρ(Α) Ρ(ω), Ρ(Β) 0Ρ(ω) και Ρ(Α Β), να υπολογίσετε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του δειγματικού χώρου. 7. Έστω θ>0 και Ω={α,β,γ,δ} ένας δ.χ. του οποίου οι πιθανότητες των στοιχειωδών του ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις : ι) Ρ(α)+Ρ(β)+Ρ(γ)=Ρ(β)+Ρ(γ)+Ρ(δ)=6θ, Ρ(α)+Ρ(β)+Ρ(δ)=4θ, ιι) Ρ(α)+Ρ(γ)+Ρ(δ)=5θ α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α={α,β,γ}, Β={α,γ,δ} β) Δείξτε ότι : Ρ(Β)=5Ρ(Α Β ). 8. Στις έδρες ενός ζαριού έχουμε σημειώσει τους αριθμούς,,, 4, 5, 6 (έναν σε κάθε έδρα) και στις έδρες ενός άλλου ζαριού έχουμε σημειώσει τους αριθμούς,,,,,. Ρίχνουμε ταυτόχρονα τα δύο ζάρια. Αν α, β είναι οι ενδείξεις των δύο ζαριών και θέσουμε x=, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών του x και την Ρ(x). 9. Θεωρούμε ένα μη συμμετρικό ζάρι στις έδρες του οποίου έχουμε σημειώσει τους αριθμούς,,, 4, 5, 6. Με Ρ(λ) συμβολίζουμε την πιθανότητα να εμφανιστεί η ένδειξη λ, (λ=,,, 4, 5, 6) με τη ρίψη του ζαριού. Αν Ρ()=Ρ()=Ρ(5) και Ρ()=Ρ(4)=Ρ(6)= Ρ() ι) Να βρείτε τις τιμές Ρ(λ), λ=,,, 4, 5, 6 ιι) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «η ένδειξη να είναι άρτιος αριθμός». ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 9

6 ιιι) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Β: «η ένδειξη να είναι περιττός αριθμός». ιν) Θεωρούμε τον αριθμό x ο οποίος ορίζεται ως εξής: α) Ο x παίρνει την τιμή αν η ένδειξη είναι περιττός αριθμός β) Ο x παίρνει την τιμή αν η ένδειξη είναι ο αριθμός 6. γ) Ο x παίρνει την τιμή 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Να βρείτε τις πιθανότητες 0 P x, Px, Px 0. Σε μια πόλη η πιθανότητα να έχει μια οικογένεια μ παιδιά είναι διπλάσια από την πιθανότητα να έχει μ+ παιδιά, ενώ καμιά οικογένεια δεν έχει περισσότερα από τέσσερα παιδιά. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων να έχει η οικογένεια: Α: Τουλάχιστον τρία παιδιά Β: Το πολύ δύο παιδιά Γ: Δύο έως τρία παιδιά. Επίσης τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α Β, Α Γ, Β Γ.. Έστω Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με Ω = {,,,,0} και η ω, x συνάρτηση πιθανότητας Ρ(x) = ω, x=4. Να βρεθούν : 0, x5 α) ο πραγματικός αριθμός ω, β) η πιθανότητα Ρ(Α), όπου Α={xΩ/ x5}, γ) η πιθανότητα Ρ(Β), όπου Β={xΩ/ x διαιρέτης του 8}.. Έστω Ω = {,,,4,5} δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Ρ(ω)= ν, ω. ν, 4ω5 Να βρεθεί ο πραγματικός ν.. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω, ω }. Έστω Ρ και Ρ οι πιθανότητες των αποτελεσμάτων ω, ω αντίστοιχα. Αν τότε να αποδείξετε ότι τα ω, 6 ω ισοπίθανα. 4. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω=0,,,...00 και Ρ(κ)= Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(0). ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ, κ=,, 00. ( ) 0

7 5. Έστω ν και Ω=0,,,... δειγματικός χώρος. Δίνονται οι πιθανότητες Ρ(κ)= κ=,, ν. Να υπολογίσετε: α)την πιθανότητα Ρ(0) β) Την πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α=,4,6, Έστω Ω=,, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α=,, Β=,. Αν Ρ(Α), Ρ(Β) οι τετμημένες θέσεις των σημείων στα οποία η f(x)=0x -9x +4x+ έχει ελάχιστο και μέγιστο αντίστοιχα, να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ). 7. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω=, με Ρ(ω ), Ρ(ω ) τη θέση και το, ακρότατο της συνάρτησης f(x)= x x 4. Να βρεθεί το ακρότατο της συνάρτησης. Να βρεθεί η Ρ(ω ) ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

8 ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Αν Α, Β είναι οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα (Α Β= O ),τότε ισχύει P(A B) P(A) P(B) Η ιδιότητα είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος και ισχύει για οποιοδήποτε πλήθος ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων. Έτσι αν τα Α, Β, Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα, τότε:. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει : P(A B ) P(A) P(B) P( ). Ρ(Α ) = Ρ(Α). Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει: P(A B) P(A) P(B) P(A B). Η ιδιότητα είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος. 4. Αν Α Β, τότε P(A) P(B). 5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει: P(A B) (A) P(A B). ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω Α, Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α) = /, Ρ(Β) = /4 να βρείτε τα Ρ(Α ), Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΒ ).. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α )=0,, Ρ(Β )=0,5, 0,. τότε να βρείτε την ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

9 . Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύουν: Ρ(Α Β)= 4, Ρ(Β )= και Ρ(Α)=Ρ(Β). Να βρεθεί η Ρ(Α Β). 4. Αν Α,Β είναι ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου και Ρ(Α)=/4, Ρ(Β)=/, Ρ(Α Β)=/8. Να βρεθούν οι πιθανότητες: ι) Ρ(Α Β), ιι) Ρ(Β ), ιιι) Ρ(Α Β ), ιν) Ρ(Α Β ), ν) Ρ(Α-Β). 5. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Ρ(Α Β) α) Ρ(Α,να βρεθούν οι πιθανότητες: 6 Β) β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) και 6. Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν ισχύει Ρ(Α Β) 0,8, Ρ(Α Β) 0, και Ρ(Α Β ) 0, 7 πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ, να υπολογίσετε τις 7. Έχουμε 0 σφαίρες μέσα σ ένα δοχείο, αριθμημένες από το έως το 0. Επιλέγουμε στην τύχη μία σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόμενο ο αριθμός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του 5. Αν Α, Β είναι τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα των Α και Β αντιστοίχως, να υπολογίσετε τις πιθανότητες : α. ( ),P(B) β. ( ) γ. ( ) P A δ. 8. Αν Α και Β τα ενδεχόμενα τέτοια ώστε Ρ(Α)=0,6 και Ρ(Β)=0,7, να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β), εφόσον : Ρ(Α Β) Ρ(Α Β)=0,4. 9. Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α Β)= και Ρ(Α Β)= να βρείτε τις 0 0 πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) αν έχουν γινόμενο /0. 0. Εάν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός Δ.Χ. Ω και ισχύουν P(A) ρίζα της εξίσωσης 5x + 9x - = 0 και P(AΒ)= P(A)= P(Β), να υπολογίσετε τις P(A), P(Β) και P(AΒ).. Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: ABΓ, P(A)=/4, P(B) = 5/, P(Γ) = 7/. Να υπολογίσετε τις P(A Β), P(A Γ) και P(Β Γ).. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανότητες Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΒ) είναι δύο από τις ρίζες της εξίσωσης 6x - 7x + x =

10 0 και οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) είναι ανάλογες προς τους αριθμούς και 7. Να βρείτε την Ρ(Α ).. Έστω τα αντίθετα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν η Ρ(Α) είναι ρίζα Ρ(Α) και Ρ(Β). της εξίσωσης x x ν 0,ν, να υπολογίσετε τις πιθανότητες 4. Ένας κυκλικός στόχος αποτελείται από τρεις ζώνες,, και. Κατά την πραγματοποίηση μιας βολής οι πιθανότητες επιτυχίας για τη ζώνη είναι 0,5, για τη είναι 0,7 και για την είναι 0,. Να βρεθεί η πιθανότητα αστοχίας. 5. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, «όχι Β», «Α και Β», είναι, και 4 5 αντίστοιχα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου «ή μόνο Α ή μόνο Β». 6. Η πιθανότητα να μετέχει ένας μαθητής στην ομάδα μπάσκετ του σχολείου είναι 5, στην ομάδα ποδοσφαίρου 4 και στις δύο ομάδες 0. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: να μετέχει τουλάχιστον σε μια από τις ομάδες. Β: να μετέχει μόνο στην ομάδα μπάσκετ. Γ: να μετέχει μόνο σε μια από τις ομάδες. Δ: να μην μετέχει σε καμία από τις δύο ομάδες. 7. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε να ισχύει: P(A) = /5, P(B) = / και P(AB) = 7/0. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α) Να μην πραγματοποιηθεί το Α. Β) Να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β. Γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β. Δ) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. Ε) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α ή Β. ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 4

11 8. Μια τάξη έχει 8 κορίτσια και αγόρια. Τα μισά κορίτσια και τα 4 των αγοριών φορούν φόρμα. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι αγόρι ή να μη φοράει φόρμα; 9. Σε μια τάξη υπάρχουν 40 αγόρια και 7 κορίτσια. Τα /5 των αγοριών και τα 4/9 των κοριτσιών έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα των μαθηματικών. Να βρεθεί η πιθανότητα, αν επιλεγεί τυχαία ένα άτομο, να είναι κορίτσι ή να έγραψε άριστα στο διαγώνισμα. 0. Από 8 άτομα μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 4 απάντησαν ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Α), οι ότι έγραψαν άριστα σ ένα διαγώνισμα (Β) και οι 7 έγραψαν άριστα και στα δύο. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α) Το άτομο δεν έγραψε άριστα σε κανένα διαγώνισμα. Β) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Α). Γ) Το άτομο έγραψε άριστα μόνο στο (Β).. Μια εταιρεία έχει 50 υπαλλήλους από τους οποίους οι 55 πήραν αύξηση, οι 85 πήραν προαγωγή και οι 50 πήραν και αύξηση και προαγωγή. Ένας από τους υπαλλήλους πρόκειται να επιλεγεί με κλήρωση για να τοποθετηθεί σε κάποια επιτροπή. Ποια είναι η πιθανότητα ο υπάλληλος αυτός να μην έχει πάρει ούτε προαγωγή ούτε αύξηση;. Μεταξύ 00 μαθητών οι 0 έχουν καλό βαθμό στα Μαθηματικά, οι 60 έχουν καλό βαθμό στα Ελληνικά και οι 00 έχουν καλό βαθμό και στα Μαθηματικά και στα Ελληνικά. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα: α) Να έχει καλό βαθμό στα Μαθηματικά ή στα Ελληνικά. β) Να μην έχει καλό βαθμό ούτε στα Μαθηματικά ούτε στα Ελληνικά.. Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ενωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: Α. να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; Β. να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; Γ. να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 4. Σε μια πόλη το 40% των κατοίκων διαβάζουν συχνά εφημερίδες, το 0% διαβάζουν συχνά περιοδικά, ενώ το 0% διαβάζουν συχνά και εφημερίδες και περιοδικά. Επιλέγουμε στην τύχη έναν κάτοικο της πόλης. Να βρείτε την πιθανότητα: α) Να διαβάζει συχνά εφημερίδες και όχι περιοδικά. β) Να διαβάζει συχνά περιοδικά και όχι εφημερίδες. γ) Να διαβάζει συχνά ή εφημερίδες ή περιοδικά αλλά όχι και τα δύο. ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 5

12 5. Μια ομάδα έχει πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα 40%, το κύπελλο 5% ενώ και τα δύο 8%. Να βρείτε τις πιθανότητες: Α) Να κερδίσει ένα τουλάχιστον τίτλο. Β) Να κερδίσει μόνο το πρωτάθλημα. Γ) Να κερδίσει μόνο το κύπελλο. Δ) Να κερδίσει μόνο τον ένα από τους δύο τίτλους. 6. Ένας οδηγός σταματά με το αυτοκίνητό του σ ένα βενζινάδικο. Η πιθανότητα να ζητήσει να του ελέγξουν τα λάστιχα είναι 0,8, να ζητήσει να του ελέγξουν τη μπαταρία είναι 0, και η πιθανότητα να ζητήσει και τα δύο είναι 0,08. Να βρείτε την πιθανότητα να ζητήσει: α) να του ελέγξουν τη μπαταρία αλλά όχι τα λάστιχα. β) να μην του ελέγξουν ούτε τη μπαταρία ούτε τα λάστιχα. γ) να του ελέγξουν τα λάστιχα ή τη μπαταρία αλλά να μη ζητήσει και τα δύο. 7. Σε μια δημοσκόπηση σχετικά με την ακροαματικότητα και την τηλεθέαση, το 0%των ερωτηθέντων δεν είδε τηλεόραση, το 40% δεν άκουσε ραδιόφωνο και το 0% δεν είδε τηλεόραση και δεν άκουσε ραδιόφωνο. Να βρείτε την πιθανότητα και να είδε τηλεόραση και να άκουσε ραδιόφωνο. 8. Σε μια έρευνα μαθητών βρέθηκε ότι το 60% έχει χαλασμένα δόντια, το 0% είναι υπέρβαρο και το 0% είναι υπέρβαρο και έχει χαλασμένα δόντια. Να βρείτε την πιθανότητα: ένας μαθητής που επιλέχτηκε τυχαία να μην είναι υπέρβαρος και να μην έχει χαλασμένα δόντια. 9. Για τα ενδεχόμενα Α, Β δειγματικά χώρου Ω δείξτε ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β)=Ρ(Α ) Ρ(Β) Ρ(Α Β) 0. Αν για το ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου Ω ισχύει: [Ρ(Α)] +[Ρ(Α )] = τότε να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ή αδύνατο ενδεχόμενο.. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α)Ρ(Β). Να αποδείξετε ότι: P(AB) = - P(A )Ρ(Β ).. Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 0% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α. γυναίκα ή φιλόλογος β. γυναίκα και όχι φιλόλογος γ. άνδρας και φιλόλογος δ. άνδρας ή φιλόλογος. ΘΕΜΑ ο (00) ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 6

13 . Ένας υποψήφιος έχει πιθανότητα 75% να γράψει καλά τουλάχιστον σ ένα από τα δύο μαθήματα που επανεξετάζεται και 5% να γράψει καλά και στα δύο. Α) Δείξτε ότι έχει την ίδια πιθανότητα να γράψει καλά τουλάχιστον σ ένα από τα δύο μαθήματα με το να μη γράψει καλά τουλάχιστον σε ένα από τα δύο. Β) Δείξτε ότι η πιθανότητα να γράψει καλά ακριβώς σ ένα από τα δύο μαθήματα είναι διπλάσια από την πιθανότητα να γράψει καλά τουλάχιστον σ ένα, ελαττωμένη κατά. ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 7

14 ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω ώστε Ρ(Α)=λ +4λ+5. Να αποδείξετε ότι Α=Ω.. Έστω Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=λ 4 λ +, λr. α) Να βρεθεί η τιμή του λ. β) Να αποδειχθεί ότι : Α=Ω.. Αν Ρ(Α) η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δειγματικού χώρου Ω και ισχύει: (A) (A) 8, λ, να δείξετε ότι: Αν Α ενδεχόμενο του χώρου Ω και ( ) ( ), R τότε Έστω A ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω και λ τέτοιο ώστε: Ρ(Α) Ρ(Α) 4λ 5.Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του λ. 6. Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Δίνεται ότι η πιθανότητα του Α ικανοποιεί τη συνθήκη P(A)- P(A)- 6λ 4, λr. Αν η πιθανότητα του Α είναι η ελάχιστη τιμή του λ και η πιθανότητα του Β είναι η μέγιστη τιμή λ, τότε : α) Να εξεταστεί αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. 5 β) Να αποδειχτεί ότι Ρ(Α Β) γ) Να αποδειχτεί ότι P(A B) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αποδείξετε ότι: α) Ρ(Α Β) β) 4 8 Ρ(Α Β) Ρ(Α) και 4 8 Ρ(Β).Να 8 8. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω, να δείξετε ότι αν Ρ(Α) = 0,85 και Ρ(Β) = 0,65 τότε 0,5 Ρ(Α Β) 0, Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,7 και Ρ(Β)=0,5. ι) Τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα; ιι) Δείξτε ότι Ρ(Α Β) 0, 7 και Ρ(Α Β) 0,. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 8

15 0. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α)=, Ρ(Β)= τότε να 4 αποδείξετε ότι: α) Το δεν είναι το αδύνατο ενδεχόμενο. β) 4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 4 και Ρ(Β) =. α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. β) Να δείξετε ότι: Ρ(Α Β) 4 και Ρ(Α Β) 4.. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) =p και Ρ(Β) = q για τα οποία ισχύει p>q > /. α) Αποδείξτε ότι τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Ρ(AB) q γ) p + q - Ρ(AB)q. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δ.χ Ω, στον οποίο ορίζεται η συνάρτηση πιθανότητας Ρ, ώστε Ρ(Α)+Ρ(Β)>. α) Να εξεταστεί αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. β) Να δειχθεί ότι Ρ ' '. 4. Αν Ρ(Α) 0,, Ρ(Β) 0,5, να δείξετε ότι: Ρ(Α Β ) 0,. 5. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β είναι υποσύνολα του Ω. Έστω Ρ(Α ) 0, 8 και Ρ(Β ) 0, 7. Να αποδείξετε ότι: α) Ρ(Α ),0 ( ) β) Το ενδεχόμενο Α δεν είναι το κενό. 6. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A ) = 0,7 και Ρ(Β ) = 0,. α) Εξετάστε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. β) Δείξτε ότι P(AB) 0,8 και Ρ(ΑΒ) 0, ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 9

16 7. Εάν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός Δ.Χ. Ω και ισχύουν P(Β )= 5 4, P(AΒ)= 6 και 6 P(A) 5 P(A) -9 P(A ),να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Β, Α και AΒ. 8. Σε ένα σχολείο με 400 μαθητές διδάσκονται η αγγλική και η γαλλική γλώσσα Κάθε μαθητής είναι υποχρεωμένος να παρακολουθεί τουλάχιστον μία από τις παραπάνω ξένες γλώσσες. Από τους παραπάνω μαθητές 40 παρακολουθούν την αγγλική γλώσσα και 40 τη γαλλική γλώσσα. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Έστω Α το ενδεχόμενο να παρακολουθεί την αγγλική γλώσσα και Γ να παρακολουθεί την γαλλική γλώσσα. Α. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α,Γ είναι ασυμβίβαστα. Β. Να αποδείξετε ότι: P. 5 Γ. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μόνο την αγγλική γλώσσα. Δ. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μία μόνο ξένη γλώσσα από αυτές. 9. Να αποδείξετε ότι: όπου Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. 0. Αν Α ενδεχόμενο δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι: (A) (A) 4.. Αν Α Β να δείξετε ότι: Ρ (Α)+Ρ (Β) Ρ(Β)[Ρ(Β)-Ρ(Α)].. Αν Α,Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω να δείξετε ότι: Ρ(Α)[Ρ(Α)+Ρ(Β)] [+Ρ(Β)][-Ρ(Β)].. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω, να δειχθεί ότι : α) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) β) Ρ(Α Β) Ρ(Β)-Ρ(Α ) γ) Ρ(Α Β) Ρ(Β Α) = Ρ(Α)- Ρ(Β). 4. Έστω Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με την ιδιότητα Ρ(ΑΒ ) = Ρ(Α). Ρ(Β ). Να δείξετε ότι : i. P(ΑΒ) = Ρ(Α). Ρ(Β) ii. P(A) P(B) P(A B) ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 0

17 5. Αν Α ενδεχόμενο ενός δ.χ. να δειχθεί ότι : α) 0Ρ(Α) Ρ(Α ) β) Ρ(Α) Ρ(Α ) Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: i. Ρ(Α Β ) Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Β) ii. Ρ (Α Β) Ρ (Α Β ) Ρ(Α Β ) 7. Έστω Α, Β, Γ ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τέτοια ώστε να ισχύει ( Α Β) Γ και Β (Α Γ). Να δείξετε ότι: Ρ(Β) -Ρ(Γ) [ Ρ(Α Β) - Ρ(Α Γ) ]. 8. Αν Α Β και Ρ (Β)-( ). ( ) 0 τότε Ρ(Β) 0,. 9. Α είναι ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της ποσότητας Ρ(Α)Ρ(Α ). 0. Έστω Α, Α είναι αντίθετα ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω, στον οποίο ορίζεται η 4 συνάρτηση πιθανότητας Ρ. Να δειχθεί ότι P ( A) P( A' ) 7. Έστω ο δ.χ Ω=,,,4,...,00, με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα και Α, Β 4 9 ασυμβίβαστα ενδεχόμενά του, ώστε 5. Να δειχθεί ότι Ρ(Α)=. P( A) P( B) 5. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ο οποίος αποτελείται από 00 απλά ενδεχόμενα τα οποία είναι ισοπίθανα. Δίνεται ότι ισχύει: Ρ(Β)=4[Ρ(Α)] 5Ρ(Α) + 5/. i. Να δείξετε ότι τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα. ii. Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της πιθανότητας Ρ(Α). ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Προβλήματα 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (.,.2) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης,

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ Γενικό Λύκειο Νεστορίου Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας-Πιθανότητες ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ Πείραµα Τύχης Κάθε πείραµα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 000 0 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞETΑΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F() = f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F () f () g (). Μονάδες 8 β) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 7. f ( x) x x x, x α. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης καθώς και τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακρότατων που παρουσιάζει.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ: Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης χωρίς δυνατότητα προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (00 0) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (003 0) Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

http://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Περίληψη 3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Η στατιστική μηχανική βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων για την παραγωγή μακροσκοπικών ιδιοτήτων στην ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές μεταβλητές εμφανίζονται ως μέσοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα