o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση"

Transcript

1 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση

2 Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης

3 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 9 Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα μετά ένα ζάρι και καταγράφουμε τα αποτελέσματα Περιγράψτε ένα δειγματικό χώρο του πειράματος 9 Δύο χάρτινες σακούλες περιέχουν φρούτα Η πρώτη περιέχει μήλο (Μ), πορτοκάλι (Π) και αχλάδι (Α) Η δεύτερη περιέχει μήλο και αχλάδι Επιλέγουμε στην τύχη μία σακούλα και στη συνέχεια ένα φρούτο από αυτή Να γραφούν: α) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος β) Το ενδεχόμενο το φρούτο να είναι μήλο γ) Το ενδεχόμενο το φρούτο να είναι πορτοκάλι 9 Σ ένα κουτί υπάρχουν ομοιόμορφα μολύβια κόκκινο (Κ), πράσινο (Π), μαύρο (Μ), λευκό (Λ) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: (μας ενδιαφέρει το χρώμα) α) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε ξανά στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα γ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι και μετά επιλέγουμε άλλο ένα (χωρίς επανατοποθέτηση) 9 Μια δισκογραφική εταιρεία ελέγχει τα compact disks (CD) που παράγει Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν ελαττωματικά CD ή όταν έχουν ελεγχθεί CD Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω β) Τα ενδεχόμενα: i) Ακριβώς ελαττωματικά CD, ii) iii) τουλάχιστον ελαττωματικά CD, το πολύ ελαττωματικά CD 9 Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία) Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης β) Τα ενδεχόμενα: i) Ακριβώς μία νίκη της ομάδας Ο, ii) καμία νίκη της ομάδας Ο, iii) τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας Ο γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική συνάντηση; δ) Τι παρατηρείτε για τα ενδεχόμενα β(ii) και β(iii); ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 9 * Ρίχνουμε μια φορά έναν κύβο ο οποίος έχει καθέναν από τους αριθμούς,, γραμμένους αντίστοιχα ανά δύο έδρες του και καταγράφουμε το αποτέλεσμα Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αυτού είναι Α Ω = {} Β Ω = {,, } Γ Ω = {,,,,,} Δ Ω = {,,,,,,,,,,,,,} Ε {,,,,,,,} 97 * Ελέγχουμε διαδοχικά βιβλία μέχρι να βρούμε ένα κακοτυπωμένο (Κ) ή δύο σωστά τυπωμένα (Σ) Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι Α Ω = {Κ, Σ} Β Ω = {ΚΚ, ΚΣ} Γ Ω = {ΚΚ, ΣΣ} Δ Ω = {Κ, ΣΚ, ΣΣ} Ε {Κ,ΣΣ} 98 * Έστω Α = {,, } και Β = {,, } δύο ενδεχόμενα της ρίψης ενός ζαριού μια φορά Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός τότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α Α Β Β Α Γ Β Δ Α Β Ε Β Α 99 * Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και α ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού Η φράση «το Α πραγματοποιείται» διατυπωμένη σε γλώσσα συνόλων είναι ισοδύναμη με την Α α Α Β α Α - Β Γ α Α Β Δ α Α Ε κανένα από τα παραπάνω 9 009

4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 00 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ» 00 Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο διπλανό διάγραμμα του Venn Χαρακτηρήστε κάθε μια από αυτές ως (Σ) ή (Λ) Α Β Β Α Γ Β Δ Γ Γ Δ Α Γ Δ Β Γ Δ Α Β Γ = Β Β Γ Δ = Α Α Β = Β Α Β = Β (Γ Δ) Α = Α (Γ Δ) Α = Β Β Δ = Δ (Γ Β) Α = Γ Ω A B Γ Δ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 0 Με βάση το διπλανό σχήμα συμπληρώστε τον πίνακα που ακολουθεί (Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω) Ω A I II IV B III Γραφή σε γλώσσα συνόλου Α Β Β Α Β Α Α Β Β Α Α Β Α Β Μέρος του σχήματος ΙΙ 0 Συμπληρώστε τον πίνακα βάζοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισμό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) Όπου βάλατε Λ (λάθος) συμπληρώστε στη στήλη Γ τη σωστή σχέση διορθώντας το δεξιό μέλος της αντίστοιχης ισότητας Α Β Γ Α Α = A Α = Α Α Α = Λ Α Α Α Α = Α Α Α = Ω Α Α = Ω = Ω (Α ) = Ω Α Β = Β Α Α Β = Β Α = Ω 0 Στη στήλη Α του πίνακα γράφονται ισχυρισμοί για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος Στη στήλη Β γράφονται ισοδύναμοι ισχυρισμοί διατυπωμένοι στη γλώσσα των συνόλων (w ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού) Αντιστοιχίστε κατάλληλα κάθε στοιχείo της στήλης Α με ένα μόνο της στήλης Β Αν Α Β τότε Α Β = Β Α Α = Ω Α Α = (Α ) = Α Αν Α Β τότε Α Β = Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ Στήλη Α Το Α δεν πραγματοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται συγχρόνως και το Α και το Β Το Α πραγματοποιείται Κανένα από τα Α και Β δεν πραγματοποιείται Πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β 7 Το Β πραγματοποιείται 8 Πραγματοποιείται μόνο το Α 9 Πραγματοποιείται μόνο το Β Θ) w Στήλη Β Α) w A Β) w (A B ) Γ) w ( A - Α) Δ) w (A Β) Ε) w (A Β) Ζ) w A Η) w (A B) (Α Β ) (Α Β) Ι) w Β (Α Β ) Κ) w (Β Α ) Λ) w Μ) w (B A) (A B) Ν) w Ξ) w (A Β) M Παπαγρηγοράκης

5 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 0 Έστω τα σύνολα: Ω,,,,, Α ω Ω/ω, B ω Ω/ω περιττός Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α Β) στο Α ή στο Β Γ) στο Α και στο Β Δ) στο Α και όχι στο Β Ε) σε ένα το πολύ από τα Α και Β ΑΠ:,,,, 0 Ρίχνουμε δύο ζάρια μαζί ι Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε στο ένα και στο άλλο 07 Ρίχνουμε ένα ζάρι διαδοχικά δύο φορές Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α) Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης Β) Οι ενδείξεις και στις δύο ρίψεις είναι ίδιες Γ) Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του 9 ΑΠ:,, 08 Έστω το σύνολο Ω 0,,, Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω, να βρείτε την πιθανότητα του ΡΑ όπου: Α το ενδεχόμενο ο αριθμός λ να είναι ρίζα της εξίσωσης λ λ 0 ΑΠ: 09 Έστω το σύνολο Ω,0,, Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω, να βρείτε την πιθανότητα του ΡΑ όπου: Α το ενδεχόμενο η εξίσωση x x λ 0 έχει δύο ρίζες άνισες ΑΠ: 0 Δύο ισοδύναμοι παίκτες θα παίξουν τάβλι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που πρώτος θα κερδίσει δύο παιχνίδια Έστω α το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι Να βρείτε την πιθανότητα: Α) Στα δύο πρώτα παιχνίδια να κερδίσει ο α Β) ο νικητής να βγει μετά από δύο παιχνίδια ΑΠ:, Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 0, και η πιθανότητα να είναι της Β τάξης είναι 0, Να βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου Β) το πλήθος των μαθητών της Β τάξης Γ) την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής της Γ τάξης ΑΠ: 0,, 0% Η Α τάξη Λυκείου έχει 0 αγόρια και κορίτσια Το 0% των αγοριών και τα των κοριτσιών επέλεξαν το βόλεϋ Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Αν η πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε το βόλεϋ είναι 0, να βρείτε: Α) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα είναι τα κορίτσια Β) Την πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε βόλεϋ AΠ Α) και Β) 0, Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες 'Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μερικές κόκκινες και μερικές μαύρες μπάλες Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότητα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες μαύρες μπάλές υπάρχουν στο κουτί

6 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 00 0 Στο διπλανό πίνακα έχουμε τη βαθμολογία μιας ομάδας φοιτητών σε ένα μάθημα Αν εκλέξουμε τυχαία ένα φοιτητή να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό: Α) 8 Β) Το πολύ Γ) Τουλάχιστον Δ) ή 7 Βαθμός Φοιτητές 8 7 ΑΠ: 0, 9, 0, Στο διπλανό πίνακα έχουμε τις απουσίες των μαθητών ενός τμήματος Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του τμήματος να βρείτε την πιθανότητα να έχει: Α) λιγότερο από 0 απουσίες Β) Τουλάχιστον 0 απουσίες Γ) Κάτω από απουσίες Δ) Τουλάχιστον απουσίες ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Απουσίες Μαθητές 0,0 0, 0 0 0, 0 0 0, 0 ΑΠ: 0, 9 9 0,, 0 7 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Να αποδειχθεί ότι: i) PA B PA PA B, PA B PB PA B ii) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα A, B είναι ίση με PA PB PA B 8 Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν Α Β, PA PΒ και PΒ PΑ να βρεθούν οι πιθανότητες PA, PΒ, PΑ Β και PΑ Β 9 Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B,, PB τις πιθανότητες PA B και PA B P A, τότε βρείτε 0 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A,B ενός πειράματος τύχης, με πιθανότητες τέτοιες ώστε: PA B, PA PA B Να βρείτε τις πιθανότητες: PA, PB, PA B ΑΠ:,,, Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA B, PA PΒ υπολογίσετε την πιθανότητα PA B να 0, ΑΠ: Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA, PA B να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ Α ΑΠ: Αν Ρ(Α ) Ρ(Α) να βρείτε τις PA και PA Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B ΡΑ Β να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ ΑΠ: M Παπαγρηγοράκης

7 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: PA PΑ, PA PΒ και να υπολογίσετε τις πιθανότητες PΑ Β, PΒ Α, PA B P A B ΑΠ:,, Αν για τα ενδεχόμενα A, A ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει PAPA να υπολογίσετε την PA 8 7 Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου έχουν γινόμενο πιθανοτήτων Να βρεθεί η 9 πιθανότητα του καθενός ΑΠ:, 8 Εστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν A B Ω, ΡΑ ΡΒ β Να βρεθούν οι πιθανότητες: PA B PA B PA B PA B α, και 9 Αν A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B και PA B A B, να βρείτε την πιθανότητα PA B 0 Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε PA B PAPB, να αποδειχθεί ότι: Α) PA B PAPB Β) P A B P A P B Αν A,B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν οι ισότητες PA, PA και P A Β, να βρείτε τις πιθανότητες: Α) PA Β Β) PA Γ) PB Δ) PA Β Ε) PA Β Δίνονται δύο ενδεχόμενα A και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P(A B), P(A B) και P(B A) 0 Α) Να βρείτε την πιθανότητα PA Β) Να αποδείξετε ότι P(B) Γ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β Δίνονται τα ενδεχόμενα A,B,Γ του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : και PA 0,8 Να βρείτε την P(A B) P(A B) 0, P B απ: Να αποδείξετε ότι αν οι πιθανότητες P(A), P A B, P(B), είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε τα ενδεχόμενα Α,Β είναι ισοπίθανα Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑΡΑ ΡΑ Ρ Β Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε ΡΑ, ΡΒ και PA B Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α) Γ «Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A και B» Β) Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B»

8 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Έστω το σύνολο Ω 0,,,,, ένας δειγματικός χώρος Αν Α 0,,, Β, με ΡΑ λ και λ ΡΒ Να βρείτε την πιθανότητα ΡΑ Β ΑΠ: 8 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: Να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β είναι Να πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και Β ΑΠ: 9 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα:: Να πραγματοποιείται το Α είναι, Να μην πραγματοποιείται το Β είναι και να πραγματοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται: : Α) ένα τουλάχιστον από τα Α και Β Β) το πολύ ένα από τα Α και Β Γ) κανένα από τα Α και Β Δ) μόνο το Α Ε) μόνο ένα από τα Α και Β ΣΤ) Το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β 0 Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το 0% των μαθητών ασχολείται με το ποδόσφαιρο, το 0% με το μπάσκετ και το 0% με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το μπάσκετ Β) Να μην ασχολείται ούτε με το ποδόσφαιρο ούτε με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το μπάσκετ και να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Δ) Να ασχολείται με ένα το πολύ από τα παραπάνω αθλήματα ΑΠ: 70%, 0%, 0%, 80% Στη Γ τάξη ενός Λυκείου το 0% είναι αγόρια, το 0% είναι οπαδοί του Άρη και το 0% είναι κορίτσια και οπαδοί του Άρη Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να είναι αγόρι ή οπαδός του Άρη Β) Να είναι κορίτσι και να μην είναι οπαδός του Άρη ΑΠ: 0%, 0% Σε μια τάξη της Β Λυκείου υπάρχουν 0 αγόρια και 9 κορίτσια Από τα αγόρια το και από τα κορίτσια το είναι άριστοι στα Μαθηματικά Καλούμε τυχαία ένα άτομο για μια εξέταση Ποια η πιθανότητα: Α) Να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά Β) Να είναι κορίτσι άριστο στα Μαθηματικά Γ) Να είναι κορίτσι ή να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά Από τους 0 μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου οι 0 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, οι 0 με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο Β) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ ΑΠ: 0%, 0%, 0% Στη Γ τάξη ενός Λυκείου υπάρχουν αγόρια και 0 κορίτσια Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών συμμετείχαν στην πενθήμερη εκδρομή της τάξης τους Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Να βρείτε την πιθανότητα: Α) Να είναι αγόρι και να μην έχει πάει εκδρομή Β) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει πάει εκδρομή ΑΠ:, M Παπαγρηγοράκης

9 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Έστω, δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι: ΡΑ Β και ΡΒ Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα και ΑΠ: Στο A τμήμα Γεωμετρίας το 0% δεν έχει διαβήτη, το % δεν έχει κανόνα και το % δεν έχει ούτε κανόνα ούτε διαβήτη Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα να έχει κανόνα και διαβήτη 7 Σε ένα σχολείο το 0% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το % των μαθητών έχει κινητό και Η/Υ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Α) Να βρείτε την πιθανότητα να έχει Η/Υ Β) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα να έχει Η/Υ και να μην έχει κινητό, δεν ξεπερνάει το Γ) Αν η πιθανότητα να έχει κινητό και να μην έχει Η/Υ είναι, να βρείτε την πιθανότητα να μην έχει Η/Υ ούτε κινητό ΑΠ Α), Β) B A B, Γ) 0 8 Σε μια επιχείρηση το 0% δεν ξέρει αγγλικά, το 80% δεν ξέρει γαλλικά και το 0% δεν ξέρει ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή ποια είναι η πιθανότητα να ξέρει αγγλικά και γαλλικά 9 Η Β τάξη ενός Λυκείου έχει 0 αγόρια και κορίτσια Τα των αγοριών και το 0% των κοριτσιών πήγαν την προηγούμενη μέρα σε μια συναυλία Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην έχει πάει στην συναυλία είναι 0%, να βρείτε: Α) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια Β) Την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην έχει πάει στην συναυλία ΑΠ -, 7,% ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ 0 'Έστω ο δειγματικός χώρος Ω α,β, γ Αν ισχύουν οι ισότητες Ρα λ, Ρβ λ και να υπολογίσετε την τιμή του λ Ρ γ 7λ, Ενα μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμού κ να είναι ανάλογη του κ με κ,,,, Να βρείτε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος και A,B,Γ ενδεχόμενά του ξένα ανά δύο, ώστε PA PB PΓ όπου PA, PΒ, PΓ οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β,Γ και υπάρχει θ 0 τέτοιος ώστε PA PΒ, θ θ PΒ PΓ και PΓ PΑ θ, να υπολογίσετε τις πιθανότητες PA, PΒ, PΓ και PA B Έστω Ω ω,ω,ω ένας δειγματικός χώρος του οποίου οι πιθανότητες ωi P, i,, των απλών ενδεχομένων του ικανοποιούν τις σχέσεις Pω P ω 7P ω θ και P ω P ω P ω θ, όπου θ φυσικός αριθμός Να βρεθούν: Α) οι πιθανότητες P ω,p ω,p ω, Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α ω,ω, Β ω,ω, Α Β και Α Β Έστω ν θετικός ακέραιος και ο δειγματικός χώρος Ω,,,,ν Δίνονται οι πιθανότητες Pκ 7 7 κ,,,,ν Να υπολογίσετε Α) την πιθανότητα P0, Β) την πιθανότητα PA όταν Α,, Γ) την πιθανότητα PΒ του ενδεχομένου Β xω/x κ

10 ο Γενικό Λύκειο Χανίων 00 0 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Αν Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: Α) 0 P(A)P(A ) Β) Δ) P(A B) P(A) P(A Β) P(A) P(Β) ΡΑ Β E) P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(A ) Γ) P(A B) P(A)P(B) P((A Β) ) Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), Α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: P(A B) P(B) 7 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ενός πειράματος τύχης για τα οποία ισχύει P A B, PA PB Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A B, A B 7 8 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) 0,, P(B) 0,78 Α) Να εξετάσετε αν τα A, B είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: 0, P(A B) 0, 9 Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με ΡΑ, ΡΑ Β Να δείξετε ότι ΡΒ 0 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), δεν είναι ασυμβίβαστα P(B ) Να αποδείξετε ότι τα A, B Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), P(B ) Να αποδείξετε ότι: P(A B) Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A) P(B) και P(A ) P(B) Να αποδείξετε ότι: P(A B) Έστω Α, Β,Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε Γ Α Β Να αποδειχθεί ότι Α) ΡΓ ΡΑ ΡΒ Β) ΡΓ ΡΑ Β ΡΑ Β ΡΑ Β Γ) ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ Γ Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν P(A ) α και P(Β) β, όπου 0 α β, να αποδειχθεί ότι β α ΡΑ Β ΡΑ Β Αν A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα και P A 8 9PA PB, να βρεθούν οι PA και PB M Παπαγρηγοράκης

11 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα Α) να είναι δύο κόκκινες Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες 7 Σε μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών μιας τάξης έδειξε ότι Το 0% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «νησί», Το 0% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «βουνό»το 0% θα πάει διακοπές το καλοκαίρι σε «νησί» και σε «βουνό» ενώ ο Βασίλης, ο Πέτρος και ο Δημήτρης δεν θα πάνε πουθενά Πόσα άτομα έxει η τάξη; 8 Μέσα σε ένα κουτί υπάρχουν μπάλες από τις οποίες οι είναι άσπρες και οι κόκκινες Επιλέγουμε την μία μπάλα μετά από την άλλη μέχρι να μείνουν στο κουτί μπάλες του ίδιου χρώματος Να βρείτε : Α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: Οι μπάλες που επιλέξαμε ήταν του ίδιου χρώματος Β: «Στο κουτί έμεινε μόνο μία μπάλα» γ) Γ: Από τις μπάλες που επιλέξαμε οι κόκκινες ήταν περισσότερες από τις άσπρες Γ) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α Β,Β Γ,Γ Α, Α Β 9 Έστω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Αν οι πιθανότητες ΡΑ, ΡΑ Β, ΡΑ Β είναι ρίζες της εξίσωσης: xx x 0, να βρείτε την πιθανότητα ΡB 70 Σε ένα εκτροφείο αλόγων υπάρχουν ν θηλυκά και ν ν αρσενικά άλογα με ν Ν * στην τύχη ένα άλογο Να βρείτε πόσα θηλυκά και πόσα αρσενικά άλογα υπάρχουν στο εκτροφείο έτσι ώστε η πιθανότητα το άλογο που επιλέξαμε να είναι θηλυκό, να είναι η μέγιστη Ποιά η πιθανότητα αυτή ; Επιλέγουμε 7 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A B) και P(A) P(B) Nα δειχθεί ότι P A B και ότι ισχύει PA PB 7 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω, ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων Αν PA PA B και PB PA B ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά, να αποδείξετε ότι τα 7 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ώστε: PA PA λ και ΡΒ lnκ e e e όπου κ Ν *, λ Ν Να αποδείξετε ότι κ, λ 0 και ότι ln PA B ln 7 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω, ενός πειράματος τύχης με μη μηδενικές πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων Αν PB PA B και PB PA B ενδεχόμενα A και B είναι συμπληρωματικά Να αποδείξετε ότι τα 7 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου Ω, ενός πειράματος τύχης Να αποδείξετε ότι αν PA B PA B τότε PA PB 7 Αν Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα με ΝΩ 0 και x x ΝΑ, PB, με A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα, να βρεθούν τα PA και PB 77 Αν A,B ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με PA λ, PB 7λ λ, να αποδείξετε ότι λ 7

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.

3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ Γενικό Λύκειο Νεστορίου Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας-Πιθανότητες ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΘΕΩΡΙΑ Πείραµα Τύχης Κάθε πείραµα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Προβλήματα 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ: Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης χωρίς δυνατότητα προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f είναι f, για κάθε. Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

(Έκδοση: 07 01 2015)

(Έκδοση: 07 01 2015) (Έκδοση: 07 0 05) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Έκδοση: 07 0 05 (συνεχής ανανέωση) Το βιβλίο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι :

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 010 009 + 008 007 + 006 005 +...+ 4 3 + 1 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη Σκοπός του παιχνιδιού Είστε διαβολάκια στην Κόλαση, στο διαλλειμά σας από τα βασανιστήρια των χαμένων ψυχών. Ασφαλώς και έχει πάρα πολύ ζέστη, κι έτσι κάθεστε στο μπαρ του Πανδοχείου Τελική Κρίση.Αποφασίσατε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (00 0) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (003 0) Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα