5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων, τότε όλα τα στοιχεία του συνόλου του δειγματικού χώρου έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής και λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα Σ ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων ( Α) P (Α) = =. πλήθος δυνατών περιπτώσεων ( Ω) Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ί- σος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει 0 P ( Α ). Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτουν: ( Ω) ( ) P (Ω) = = και P ( ) = = 0 ( Ω) ( Ω) Βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων Σ ένα πείραμα τύχης, για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α ) = Σ ένα πείραμα τύχης, για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U B) + Ρ(Α I Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

2 78 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΟΗΣΗΣ. Σε ποια από τα παρακάτω πειράματα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ι- σοπίθανα ; α) Από ένα κουτί που περιέχει όμοιες μπάλες, από τις οποίες είναι πράσινες, κόκκινες και άσπρες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της. β) Από ένα κουτί που περιέχει όμοιες μπάλες, από τις οποίες είναι πράσινες, κόκκινες και άσπρες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της. γ) Από τη λέξη «χαρά» επιλέγουμε τυχαία ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι. δ) Από τη λέξη «χώρα» επιλέγουμε τυχαία ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι. ε) Επιλέγουμε τυχαία ένα φύλλο από μια τράπουλα και σημειώνουμε ποιο είναι. ΑΠΑΤΗΣΗ Στο α και στο δ γιατί στις δύο αυτές περιπτώσεις η επιλογή δεν έχει πλεονέκτημα έναντι μιας άλλης (στο α είναι -- και στο δ τα γράμματα είναι διαφορετικά). Στις άλλες περιπτώσεις (στην β είναι --, στην γ το α είναι δύο φορές, στην ε έχουμε τετράδες) δεν συμβαίνει αυτό.. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα γράμμα της αλφαβήτου, τότε η πιθανότητα να είναι φωνήεν είναι 7 7 α) β) γ) δ) α επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΤΗΣΗ Είναι το γ, γιατί οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 7(τόσα είναι τα φωνήεντα) και οι δυνατές περιπτώσεις (τόσα είναι τα γράμματα της αλφαβήτου). α χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α μπορεί να είναι Ρ(Α) =,0. β) Αν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι 80 %, τότε γράφουμε Ρ(Α) =80. γ) Το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα και το αδύνατο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 0. δ) Αν η πιθανότητα να βρέξει είναι %, τότε η πιθανότητα να μη βρέξει είναι 68 %. ΑΠΑΤΗΣΗ

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 79 α) Το α είναι λάθος (Λ), γιατί 0 P ( Α ). 80 β) Το β είναι λάθος (Λ).Το σωστό είναι P ( Α) = = 0,8 <. 00 γ) Το γ είναι σωστό (Σ) δ) Το δ είναι σωστό (Σ),γιατί το ένα ενδεχόμενο είναι συμπληρωματικό του άλλου.. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Α είναι, τότε η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι α) β) γ) δ) α επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΤΗΣΗ Αν Α το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί το Α τότε είναι: P ( Α ) = P( Α) = = = άρα είναι το γ.. Για δυο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν P ( Α ) =,P (Β)= και P (Α I B)=. Ένας μαθητής υπολόγισε ότι P ( Α U B ) = 6. Είναι σωστή η απάντησή του; α αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. ΑΠΑΤΗΣΗ Γνωρίζουμε ότι για οποιοδήποτε ενδεχόμενο ισχύει: P ( Α Β) + P( Α Β) = P( Α) + P( Β) οπότε έχουμε ότι: 8 P ( Α Β) = P( Α Β) + P( Α) + P( Β) = + + = άρα η απάντηση του είναι λάθος.

4 80 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΤΕΙΟΜΕΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Επιλέγουμε στην τύχη έναν ακέραιο αριθμό από το έως και το. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι α) άρτιος ; β) πολλαπλάσιο του ; α) Αν θεωρήσουμε Α το ενδεχόμενο να είναι άρτιος από το έως το έ- χουμε ότι: Ω = {,,,,,6,7,8,9,0,,, } και Α = {,,6,8,0, } 6 Άρα είναι P ( Α) =. β) Αν θεωρήσουμε Β το ενδεχόμενο να είναι πολλαπλάσιο του από το έως το έχουμε ότι: Ω = {,,,,,6,7,8,9,0,,, } και Β = {,8, } Άρα είναι P ( Β) =. ΑΣΚΗΣΗ Σε μια κλήρωση υπάρχουν 00 λαχνοί. Πόσο % πιθανότητα έχει να κερδίσει κάποιος που αγόρασε 6 λαχνούς ; Αν θεωρήσουμε Α το ενδεχόμενο να κερδίσει κάποιος που αγόρασε 6 λαχνούς από 00 λαχνούς τότε: 6 6 0, P ( Α) = = = ή 0,% ΑΣΚΗΣΗ Σε μια τράπουλα φύλλων υπάρχουν φιγούρες. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα φύλλο, ποια είναι η πιθανότητα να μην είναι φιγούρα ; Αν θεωρήσουμε Α το ενδεχόμενο το φύλλο να είναι φιγούρα και Α το ενδεχόμενο το φύλλο να μην είναι φιγούρα τότε: 0 0 P( Α ) = P( Α) = = = = 7%.

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 8 ΑΣΚΗΣΗ Σ ένα κουτί υπάρχουν 0 όμοιες μπάλες, από τις οποίες οι 8 είναι γαλάζιες, οι 7είναι κίτρινες και οι είναι άσπρες. Βγάζουμε στην τύχη μια μπάλα. α βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : Η μπάλα να είναι κίτρινη. Β : Η μπάλα να μην είναι άσπρη. Γ : Η μπάλα να είναι γαλάζια ή άσπρη. ( Α) 7 = ( ) 0 P ( Α) =. Ω ος τρόπος ( ) ( Β) P Β = = ( Ω) 0 ος τρόπος Έστω Β το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι άσπρη ( ) ( ) ( Β ) 0 P Β = P Β = = = =. ( Ω) ( ) ( Γ) P Γ = = ( Ω) 0 ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό πίνακα φαίνεται η βαθμολογία των μαθητών ενός τμήματος στα Μαθηματικά. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό α) β) μικρότερο του γ) μεγαλύτερο ή ίσο του 6 δ) 9 ή 0. Αν Β είναι ο βαθμός του μαθητή στα Μαθηματικά τότε Βαθμός Μαθητές

6 8 α) ( ) ( Β = ) P Β = = =. ( Ω) β) ( ) ( Β < ) 8 P Β < = =. ( Ω) γ) ( ) ( Β 6) 0 P Β 6 = =. ( Ω) δ) ( ) ( Β = 9 ή Β = 0) P Β = 9 ή Β = 0 = = ( Ω) ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη ; Κατασκευάζουμε το δενδροδιάγραμμα του πειράματος Κ Γ Κ Γ Κ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Γ Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = { ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} Αν Α το ενδεχόμενο να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη τότε: Α = { ΚΚΚ, ΓΓΓ} Επομένως είναι: ( ) ( Α) P Α = = = Ω 8 ΑΣΚΗΣΗ 7 ( ) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. α βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : Φέρνουμε και τις δύο φορές 6. Β : Φέρνουμε την ίδια ένδειξη και τις δύο φορές. Γ : Φέρνουμε μια τουλάχιστον φορά.

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 8 Το δενδροδιάγραμμα του πειράματος είναι: Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = {,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,6,6,6,6,6, 66} Επομένως για τα τρία ενδεχόμενα έχουμε Α = {66}, Β = {,,,,, 66}, Γ = {,,,,,,,,,6, 6} ( ) ( Α) P Α = =. ( Ω) 6 ( ) ( Β) 6 P Β = = =. ( Ω) 6 6 ( ) ( Γ) P Γ = =. Ω ΑΣΚΗΣΗ 8 ( ) 6 Από τους μαθητές μιας τάξης μόνο οι έλυσαν μια άσκηση. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να μην έχει λύσει την άσκηση ; Αν ο πρώτος μαθητής που επιλέξαμε δεν έλυσε την άσκηση και από τους υπόλοιπους επιλέξουμε ένα δεύτερο μαθητή, τότε ποια είναι η πιθανότητα να έχει λύσει την άσκηση ; Αν Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην έχει λύσει την άσκηση τότε: ( ) ( Α) P Α = = ( Ω) Αν Β το ενδεχόμενο μετά την επιλογή ενός μαθητή ο οποίος δεν έλυσε την άσκηση ο μαθητής να έχει λύσει την άσκηση τότε: P ( Β) Β = Ω ( ) = = ( ), γιατί (Ω)=-=. 6

8 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 9 Η πιθανότητα να μην πάει κάποιος στο θέατρο είναι τριπλάσια από την πιθανότητα να πάει. Ποια είναι τελικά η πιθανότητα να πάει στο θέατρο ; Αν Α το ενδεχόμενο να πάει κάποιος στο θέατρο,τότε Α το ενδεχόμενο να μην πάει κάποιος στο θέατρο. Επομένως εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( Α) + P( Α ) = ή P( Α) + P( Α) = ή P( Α) =. ή P( Α) = ή = = %. 00 ΑΣΚΗΣΗ 0 Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν P ( Α ) =, P ( Β ) = και 0 0 P (Α U B) = 7. α βρείτε την πιθανότητα P ( Α I B ). 0 Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( Α Β) + P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P Α Β = P Α + P Β P Α Β P ( ) ( ) ( ) ( ( Α Β) = + = ΑΣΚΗΣΗ Αν P ( Α )=, P ( Β ) = και P ( Α U B ) =, να βρείτε την πιθανότη- τα P ( Α I B ). ) Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P Α Β + P Α Β = P Α + P Β P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) ( Α Β) = P( Α) + P( Β ) P( Α Β) ( Α Β) = + = + 7 =

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 8 ΑΣΚΗΣΗ H πιθανότητα να γνωρίζει κάποιος Αγγλικά είναι %, να γνωρίζει Γαλλικά είναι % και να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες είναι %. Ποια είναι η πιθανότητα να γνωρίζει μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες ; Αν Α το ενδεχόμενο να γνωρίζει κάποιος Αγγλικά και Β το ενδεχόμενο να γνωρίζει κάποιος Γαλλικά τότε το ενδεχόμενο να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες είναι Α Β και το ενδεχόμενο να γνωρίζει μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες είναι Α Β. Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( Α Β) + P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 8 P( Α Β) = + = ή 8% ΑΣΚΗΣΗ O καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους μαθητές ενός τμήματος, είχαν διαβήτη, 8 είχαν κανόνα και 0 είχαν διαβήτη ή κανόνα. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή ποια είναι η πιθανότητα να έχει διαβήτη και κανόνα ; Αν Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να έχει διαβήτη και Β το ενδεχόμενο να έχει κανόνα τότε το ενδεχόμενο έχει και τα δύο είναι Α Β και το ενδεχόμενο να έχει διαβήτη ή κανόνα είναι Α Β. Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P Α Β + P Α Β = P Α + P Β P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 8 0 ( Α Β) = + = = ή 0% ΓΕΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται τα σύνολα Ω = { x, όπου x 8}, Α = { x Ω, όπου x άρτιος} και Β = { x Ω, όπου x διαιρέτης του 8}. α) Nα γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. β) Nα προσδιορίσετε τα σύνολα Α U Β, Α I Β και τα Α, Β ως προς βασικό σύνολο το Ω. γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα

10 86 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ i) α ανήκει στο Α ii) να μην ανήκει Β iii) α ανήκει στο Α και στο Β iv) να ανήκει στο Α ή στο Β. α) Από την εκφώνηση του προβλήματος έχουμε : Ω = { 0,,,,,,6,7,8 },A = { 0,,,6,8}, B = {,,,8} β) Είναι δε : Β Α U Β = { 0,,,6,8 }= Α Α I Β = {,,8} Α = {,,,7} και Β = 0,,,6,7 γ) Οι ζητούμενες πιθανότητες είναι : { } i) P(Α) = 9. Αφού από τα 9 στοιχεία Α του Ω από τα οποία επιλέγουμε, τα ανήκουν στο Α. Το διάγραμμα Venn φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. ii) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου Β επομένως έχουμε P(B ) = 9 iii) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α I Β. Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι P(Α I Β) = P(B) = =. Αφού από τα 9 στοιχεία του Ω από τα 9 οποία επιλέγουμε, τα ανήκουν στο Β. iv) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α U Β. Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι P (Α U Β) = P (A) = =. Αφού από τα 9 στοιχεία του Ω από 6 9 τα οποία επιλέγουμε, τα 6 ανήκουν στο A.. Σ ένα καταψύκτη υπάρχουν παγωτά, από τα οποία είναι βανίλια, σοκολάτα, φράουλα και φιστίκι. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει η Μαρία τυχαία ένα παγωτό με γεύση φράουλας που μόνο αυτό δεν της αρέσει ; Δύο μέρες αργότερα παγωτό βανίλια, παγωτά σοκολάτα και παγωτό φράουλα έχουν καταναλωθεί. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πάρει η Μαρία τυχαία ένα παγωτό που να της αρέσει ; Εάν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο η Μαρία να επιλέξει παγωτό φράουλα επειδή υπάρχουν τρία τέτοια παγωτά σε σύνολο παγωτών η ζητούμενη πιθανότητα είναι : P(A) = = Ω

11 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 87 Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει, ότι στον καταψύκτη δύο μέρες αργότερα υπάρχουν, παγωτά βανίλια, σοκολάτα, φράουλα και φιστίκι. Συνολικά λοιπόν 8 παγωτά. Από τα 8 παγωτά του καταψύκτη της αρέσουν τα 6, αφού η μοναδική φράουλα που βρίσκεται στον καταψύκτη δεν της αρέσει. Αν λοιπόν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο να πάρει παγωτό που της αρέσει, ζητάμε την 6 P(B) = = 8. Τα 80 παιδιά της Γ τάξης ενός Γυμνασίου επέλεξαν να διδαχτούν μια δεύτερη ξένη γλώσσα ανάμεσα στα Γαλλικά και τα Γερμανικά. Τα 8 από τα 0 αγόρια επέλεξαν τα Γερμανικά, ενώ 6 κορίτσια επέλεξαν τα Γαλλικά. α ) α συμπληρώσετε τον πίνακα Γαλλικά Γερμανικά Αγόρια Κορίτσια β) Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί. α βρείτε την πιθανότητα i) να είναι αγόρι ii) να έχει επιλέξει τα Γερμανικά iii) να είναι αγόρι και να έχει επιλέξει τα Γαλλικά iv) να είναι κορίτσι ή να έχει επιλέξει τα Γερμανικά. Ι ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι : Τα αγόρια της τάξης είναι 0 και τα κορίτσια είναι επομένως 0. Αφού8 αγόρια επέλεξαν ως δεύτερη γλώσσα τα Γερμανικά επέλεξαν τα Γαλλικά. Παρόμοια συμπεραίνουμε ότι αφού 6 από τα κορίτσια επέλεξαν Γαλλικά τα επέλεξαν Γερμανικά. Με τα στοιχεία αυτά συμπληρώνουμε τον πίνακα. Αγόρια Κορίτσια Γαλλικά 6 Γερμανικά 8 II) Ζητάμε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Εάν συμβολίσουμε με Α το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να είναι 0 αγόρι τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(A) = = 80 8

12 88 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ β) Εάν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να έχει επιλέξει ως γλώσσα τα Γερμανικά τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(Β) = = 80 γ) Εάν συμβολίσουμε με Γ το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να είναι αγόρι και να έχει επιλέξει ως γλώσσα τα Γαλλικά τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(Γ) = = 80 0 δ) Εάν συμβολίσουμε με Δ το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να είναι κορίτσι και να έχει επιλέξει ως γλώσσα τα Γερμανικά τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(Δ) = = ο ο ο ο. Από το σύνολο {, 6, 6, 9 } που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενός τριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ; Τα ζεύγη που μπορούμε να επιλέξουμε και τα οποία αποτελούν τον δειγματικό χώρο του πειράματος είναι Ω = {(,6 ), (,6 ), (,9 ), ( 6,6 ), ( 6,9 ), ( 6,9 )}. Από τα ζεύγη αυτά το μοναδικό του οποίου τα στοιχεία έχουν άθροισμα 90 0 είναι το ζεύγος με στοιχεία 0 και 0. Αν λοιπόν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο τα μέτρα των δύο γωνιών να είναι μέτρα γωνιών ορθογωνίου τριγώνου δηλ. Α = {( 0, 0 )} τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(A) =, αφού το σύνολο Α έχει ένα στοιχείο και το Ω έχει 6 στοιχεία. 6. Από το σύνολο { 8,, 6, 0} επιλέγουμε τυχαία τρεις διαφορετικούς αριθμούς. Ποια είναι η πιθανότητα οι τρεις αυτοί αριθμοί να εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου; Οι τριάδες αριθμών που προκύπτουν από τα στοιχεία του παραπάνω συνόλου και οι οποίες αποτελούν το δειγματικό χώρο του πειράματος είναι : Ω = {( 8,,6), ( 8,,0),( 8,6,0, (,6,0) )}. Παρατηρώντας τις τριάδες αυτές, διαπιστώνουμε ότι η μόνη της οποίας τα στοιχεία δεν μπορούν να εκφράζουν πλευρές τριγώνου είναι η δεύτερη δηλ. η (8,,0) αφού τα δύο πρώτα από τα στοιχεία της έχουν άθροισμα το τρίτο στοιχείο. Είναι 8+ = 0. Αν λοιπόν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο η

13 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 89 τριάδα των αριθμών να εκφράζει μήκη πλευρών τριγώνου τότε Α = {( 8,,6), ( 8,6,0, (,6, 0))}. Η ζητούμενη πιθανότητα P(A) = 6. Από το σύνολο {,,, } επιλέγουμε τυχαία δύο αριθμούς τον ένα μετά τον άλλο και με αυτούς σχηματίζουμε ένα κλάσμα. Ο πρώτος είναι ο αριθμητής και ο δεύτερος είναι ο παρονομαστής του κλάσματος. α βρείτε την πιθανότητα το κλάσμα α) να εκφράζει ακέραιο αριθμό β) να είναι μικρότερο της μονάδας. Για την εύρεση του δειγματικού θα μας βοηθήσει ο παρακάτω πίνακας α- φού για την σύνταξη του λάβουμε υπόψη μας ότι εάν ένα στοιχείο επιλεγεί τότε δεν μπορεί να επιλεγεί και πάλι. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Επομένως ο δειγματικός χώρος Ω είναι : Ω = {(,), (, ), (, ), (, ), (, ), (,),(, ), (,),(,),(, ), (,),(,) } α) Εάν συμβολίσουμε με Α το ενδεχόμενο οι αριθμοί που θα επιλεγούν να ορίζουν κλάσμα που να εκφράζει ακέραιο, τότε: Α = {(,),(, )(,, )(,,) }. Τότε P(A) = = =. β) Εάν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο οι αριθμοί που θα επιλεγούν να ορίζουν κλάσμα που να είναι μικρότερο της μονάδας τότε: Β = {(,), (, ), (, ), (, ), (,),(,),} Τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου 6 Β είναι P(B) = = 7. Αν για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν 7 Ρ ( Α U Β) = και Ρ ( Α ) + Ρ ( Β ) =, να υπολογίσετε την 0 0 πιθανότητα Ρ ( Α I Β). Είναι Ρ ( Α ) + Ρ ( Β ) = () 0

14 90 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Επειδή όμως για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει P(A)+P(A ) = ή P(A ) = P(A) η () γράφεται P(A) + P(B) = ή + = P(A)+ P(B) ή + = P(A)+ P(B) ή P(A)+ P(B) = () Είναι όμως Ρ ( Α U Β) = P(A)+P(B) Ρ ( Α I Β) ή Ρ ( Α I Β) = P(A)+P(B) 9 7 Ρ ( Α U Β) ή Ρ ( Α I Β) = = = Ο ίκος ισχυρίζεται ότι, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, η πιθανότητα να έ- χουν άθροισμα 8 είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να έχουν 7 άθροισμα. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του ; Για να βρούμε εάν είναι σωστός ο ισχυρισμός του θα βρούμε τις πιθανότητες των δύο αυτών ενδεχομένων και θα τις συγκρίνουμε. Για την εύρεση του δειγματικού χώρου θα μας βοηθήσει ο παρακάτω πίνακας 6 (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,) (6,) (6,6) Επομένως Ω = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (,6 ),(, ), (,),(, ), (,),(, ), (,6),(, )(,,)(,, )(,,),,,6,,,,,,,,,,,,6,,,,,,,,,,,,6, 6,, 6, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ), ( 6, ), ( 6,),( 6,),( 6,6)} άθροισμα 8 τότε το Α = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Εάν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο οι ενδείξεις των δύο ζαριών να έχουν,6,,,,,,, 6, οπότε η ζητούμενη πιθανότητα του Α είναι P(A) = 6 Παρόμοια εάν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο οι ενδείξεις των δύο ζαριών να έχουν άθροισμα 7 τότε Β = {(,6), (, ), (,),(, ), (,, ( 6, ) 6 είναι P(Β) = = Ο ισχυρισμός του δεν είναι σωστός. 6 6 )} οπότε η ζητούμενη πιθανότητα του Β

15 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 9 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ α συμπληρώσετε το σταυρόλεξο Οριζόντια. Ο χώρος αυτός εκφράζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης.. Το ενδεχόμενο αυτό δεν πραγματοποιείται ποτέ. Το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται πάντοτε. Με τα διαγράμματά του παριστάνουμε τα σύνολα.. Τα ενδεχόμενα αυτά δεν πραγματοποιούνται ποτέ ταυτόχρονα. 6. Πράξη με σύνολα Κάθετα. Με τη χρήση του διαγράμματος αυτού προσδιορίζουμε το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης. Είναι τα σύνολα Α={ι,δ,α} και Β={γράμμα της λέξης δαδί}. Λέγεται έτσι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω.. Ένα σύνολο παριστάνεται με. των στοιχείων του.. Το σύνολο χωρίς στοιχεία. 6. Το σύνολο που προκύπτει από την ένωση δύο συμπληρωματικών ενδεχομένων. 7. Πράξη με ενδεχόμενα. 8. Χρησιμοποιείται για την εύρεση του δειγματικού χώρου

16 9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Ε Σ Ε 7 Α Α Δ Υ Α Τ Ο Τ Γ Ο Ο Ρ Ρ Μ Ο Β Ε Β Α Ι Ο Η Δ Φ Ι Δ Η 8 Α Β Ε 6 Π Γ Χ Β Ι Ρ Ο Α Α Σ Υ Μ Β Ι Β Α Σ Τ Α Μ Ε Ι Κ Μ 6 Ε Ω Σ Η Κ Α Α Ο Ο Σ

17 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ( ΠΙΘΑΟΤΗΤΕΣ ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμα ο α. Θεωρία. Με ποιους τρόπους παριστάνεται ένα σύνολο;. Πότε ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β;.Τι ονομάζεται ένωση δύο συνόλων Α και Β; β. Άσκηση Με βασικό σύνολο το Ω = {α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι,κ,λ,μ}, δίνονται τα σύνολα : Α = {x Ω, όπου x φωνήεντο } και Β = {x Ω, όπου x γράμμα της λέξης κλίμα }. α γραφούν τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να γίνει το διάγραμμα Venn.. α προσδιορισθούν τα σύνολα : Α Β, Α Β, Α,Β Θέμα ο α. Θεωρία.Τι ονομάζεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;.πότε ένα ενδεχόμενο ονομάζεται βέβαιο;.πότε δύο ενδεχόμενα ονομάζονται ασυμβίβαστα ;.Ποιά σχέση συνδέει τις πιθανότητες δύο συμπληρωματικών ενδεχομένων Α και Α. β. Άσκηση Εάν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P(Α ) =, P(Β ) = και P(Α Β) = να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου P(Α Β).

18 9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμα ο α. Θεωρία. Με πόσους τρόπους παριστάνεται ένα σύνολο;. Τι ονομάζεται κενό σύνολο;. Τι ονομάζεται τομή δύο συνόλων Α και Β; β. Άσκηση Με βασικό σύνολο το Ω = {ν,ξ,ο,π,ρ,σ,τ,υ,φ,χ,ψ,ω}, δίνονται τα σύνολα : Α = {x Ω, όπου x φωνήεν } και Β = {x Ω, όπου x γράμμα της λέξης πρόσωπο }. α γραφούν τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να γίνει το διάγραμμα Venn.. α προσδιορισθούν τα σύνολα : Α Β, Α Β, Α,Β Θέμα ο α. Θεωρία.Τι ονομάζεται δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης;.πότε ένα ενδεχόμενο ονομάζεται αδύνατο;.τι ονομάζεται συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου Α;.Ποιές είναι οι δυνατές τιμές της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α; β. Άσκηση Εάν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P(Α ) =, P(Β ) = 6 και P(Α Β) = να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου P(Α Β).

19 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 9 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ.Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα..στοιχεία..ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιέχει τα.... στοιχεία των δύο συνόλων και συμβολίζεται.τομή δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιέχει τα στοιχεία των δύο συνόλων και συμβολίζεται.το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο.. Το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο. 6.Δύο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται όταν Α Β =. 7.Για δύο ενδεχόμενα Α και Α ισχύει P(A)+P(A ) = ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩ ΕΠΙΛΟΓΩ. Δίνονται τα σύνολα Α = {,,,,} και Β = {,,,6,7}. Ποιο από τα παρακάτω σύνολα αποτελεί την τομή των δύο συνόλων Α και Β ; ) {,,6,7}, ) {,,}, ) {,,6,7,}, ) {,,,7}. Με βασικό σύνολο Ω = {x με x μονοψήφιο φυσικό αριθμό} και Α = {,,,7,9} ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι το Α ) {,,7,8}, ) {,,,6}, ) {0,,,6,8,}, ) {,,,,7}. Με βασικό σύνολο Ω = {x με x γράμμα της λέξης γυμνάσιο} και Α = {α,ι,ο,υ} ποιος από τους παρακάτω αριθμούς εκφράζει την P(Α).,,,, 6. Με βασικό σύνολο Ω = {x με x γράμμα της λέξης μαθηματικά} και : Α = { x με x φωνήεντο της λέξης μαθηματικά } Β = { x με x σύμφωνο της λέξης μαθηματικά } ποιος από τους παρακάτω αριθμούς εκφράζει την πιθανότητα P(Α Β). 6, 0,,, 7 Καθώς και ποιος την πιθανότητα P(Α Β),,,,, 0, 6 7,

20 96 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΤΗΣΗΣ ή ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑ- ΘΟΣ Στις παρακάτω προτάσεις άλλες είναι σωστές και άλλες είναι λάθος. α βάλετε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λάθος..δίνονται τα σύνολα Α = {α,η,θ,ι,κ,μ,τ} και Β = {x, με το x Σ Λ να είναι γράμμα της λέξης μαθηματικά } Είναι Α = Β.Εάν Α = {,,} και Β = {x, με το x να είναι μονοψήφιος Σ Λ Φυσικός αριθμός}, τότε Α Β.Εάν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β τότε Α Β = Α Σ Λ.Εάν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β τότε Α Β = Α Σ Λ Εάν Α και Β δύο σύνολα τότε Α Α Β Σ Λ 6 Εάν Α και Β δύο σύνολα τότε Α Α Β Σ Λ Σ Λ 7.Εάν για το ενδεχόμενο Α ισχύει P(A) =, τότε P(Α ) =

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

http://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΠΙΘΑΝΟΤΉΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε 1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α τάξης Γενικού Λυκείου ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ - ΑΘΗΝΑ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ 6ο ΓΕΛ ΛΜΙΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΝΤΦΥΛΛΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΛ Στοιχεία θεωρίας Σύνολο είναι μια συλλογή από αντικείμενα. Το σύνολο όλων των ελληνικών ποδοσφαιρικών ομάδων. Το σύνολο όλων των χωρών της Ευρώπης.

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (.,.2) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης,

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι :

Α = 2010 2009 + 2008 2007 + 2006 2005 +...+ 4 3 + 2 1 είναι : Α) 2010 Β) 1005 Γ) 5 Δ) 2009 Ε) Κανένα από τα προηγούμενα. είναι : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Η τιμή της αριθμητικής παράστασης Α = 010 009 + 008 007 + 006 005 +...+ 4 3 + 1 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4 Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Na λυθούν οι εξισώσεις : α) 2 3x 1 x 8 x 1 (απ.: x = -2) β) γ) 2x 7 x 1 (απ.: x = -12) 4 3 4 5 x 2 x 4 2 x (απ.: x = 1) 4 5 δ) x 1

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα