ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ.

2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 46 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 61 ΠΡΟΟΔΟΙ 74 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 84 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 104

3 ΘΕΩΡΙΑ Πείραμα Τύχης 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πείραμα τύχης λέγεται κάθε πείραμα που είναι δυνατό να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες και του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Δειγματικός Χώρος Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος τύχης και συμβολίζεται με Ω. Αν ω 1,ω,...,ω ν είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος Ω είναι: Ω={ω 1,ω,...,ω ν } Ενδεχόμενο Αν Ω είναι ένας δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ονομάζουμε ενδεχόμενο του πειράματος κάθε υποσύνολο του Ω. Παράδειγμα: Αν ρίξουμε ένα νόμισμα δύο φορές, παρατηρώντας μετά από κάθε ρίψη την όψη που εμφανίζεται στο νόμισμα, εκτελούμε ένα πείραμα τύχης. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αυτού είναι: Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ}. Έστω λοιπόν ότι μας ενδιαφέρει το αποτέλεσμα οι δύο ενδείξεις είναι ίδιες, τότε το αποτέλεσμα είναι στοιχείο του συνόλου Α={ΚΚ, ΓΓ}. Το υποσύνολο Α του Ω το λέμε στην περίπτωση αυτή ενδεχόμενο του πειράματος.

4 Πράξεις με Ενδεχόμενα Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω τότε ορίζουμε: 4 Το ενδεχόμενο που διαβάζεται Α ένωση Β και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. Το ενδεχόμενο που διαβάζεται Α τομή Β και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. ' Το ενδεχόμενο που διαβάζεται αντίθετο του Α ή συμπληρωματικό του Α και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α.

5 5 Το ενδεχόμενο που διαβάζεται διαφορά του Β από το Α και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α και όχι το Β. Από το παραπάνω σχήμα προκύπτει ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Α, Β λέγονται ασυμβίβαστα (ή ξένα μεταξύ τους) όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή όταν ισχύει ότι:

6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω ότι ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και καταγράφουμε τις ενδείξεις του: 6 Γράμματα (Γ), Κεφαλή (Κ) 1) Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος, ) Να γράψετε τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: Να φέρουμε ακριβώς δύο φορές κεφαλή, Β: Να φέρουμε τουλάχιστον μια φορά γράμματα Λύση: 1) Στο παρακάτω δεντροδιάγραμμα φαίνεται ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Άρα είναι: Ω={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} ) Α={ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} Β={ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}

7 . Έστω ότι έχουμε δύο κουτιά α και β, το α περιέχει πράσινες (Π) σφαίρες, κίτρινες (Κ) και μαύρες (Μ) σφαίρες. Το β περιέχει πράσινες και μαύρες σφαίρες. Διαλέγουμε τυχαία μια σφαίρα. Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. Λύση: Στο παρακάτω δεντροδιάγραμμα φαίνεται ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Άρα είναι: Ω={αΠ, ακ, αμ, βπ, βμ} 7

8 ΘΕΩΡΙΑ Ορισμός της Πιθανότητας Έστω Ω={ω 1,ω,...,ω ν } ένας δειγματικός χώρος που έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο {ω i } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό που τον συμβολίζουμε με P(ω i ), έτσι ώστε να ισχύουν: 8 0 P(ω i ) 1 P(ω 1 ) + P(ω ) + + P(ω ν )=1 Ο αριθμός P(ω i ) ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου {ω i }. Προσοχή: Ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζεται ο αριθμός: P( )=0 Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι είναι: P(Ω)=1 Κλασικός Ορισμός της Πιθανότητας Έστω Ω={ω 1,ω,...,ω ν } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Αν τα στοιχειώδη ενδεχόμενα {ω 1 }, {ω },..., {ω ν } είναι ισοπίθανα, δηλαδή ισχύει ότι: P(ω i )=P για κάθε i {1,,, v} τότε έχουμε ότι: P(Ω)=1 P(ω 1 ) + P(ω ) + + P(ω ν )=1 νp=1 P= 1 Αν θεωρήσουμε τώρα το ενδεχόμενο Α={α 1, α,..., α μ } του παραπάνω δειγματικού Ω, τότε έχουμε: P(Α)= P(α 1 )+ P(α )+...+ P(α μ ) P(Α)= P(Α)= Επομένως: P(Α)= ( ) ( ) όπου ( ): το πλήθος στοιχείων του Α, ( ): το πλήθος στοιχείων του Ω.

9 Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων Οι βασικές ιδιότητες του λογισμού των πιθανοτήτων είναι οι παρακάτω: 9 Αν τότε: P( )=P(A)+P(B) Για δύο αντίθετα ενδεχόμενα Α, Α ισχύει ότι: P(Α )=1 P(A) Προσθετικός νόμος των πιθανοτήτων Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύει ότι: Αν Α Β, τότε P(A) P(B) Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύει ότι: P( )=P(A)+P(B) P( ) P(A B)=P(A) P( )

10 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω Ω={ω 1,ω,ω 3 } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α={ω 1,ω } και Β={ω,ω 3 }. 3 Αν p( ) και 5 p( ). 3 1 p( ), τότε να βρείτε τις πιθανότητες: p( 1), p( ) και 1 1 (Απ. p( 1), p( ), p( 3) ) Υποθέτουμε ότι Α, Β είναι τα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν ότι: p( ) 0.5, p( ) 0.4 και p( ) 0.8 Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: I. να μην πραγματοποιηθεί το Α. ΙΙ. να πραγματοποιηθεί μόνο το Β. ΙΙΙ. να πραγματοποιηθούν και το Α και το Β. IV. να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. (Απ. Ι. ' p( ) 0.5, ΙΙ. ( ) 0.3 p, ΙΙΙ. p( ) 0.1, IV. ' p( ) 0. ) 10

11 3. Έστω ότι Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν τα παρακάτω: 4 p( ), 5 p( ) και 3 ' 1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: p( ), p( ), (Απ. 8 p( ), 15 p( ), 3 p( ) ) 15 ' 4 p ' ( ) p( ) 5 4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με: 3 p( ) και 4 1 p( ) 3 Ι. Να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ΙΙ. Να αποδείξετε ότι ισχύει: (Απ. Ι. Όχι) 3 p( ) 4 5. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με: Ι. Για p( ) x, ' x x p( ), p( ) με x (0,1) x 1 x 1 1 x να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. ΙΙ. Να βρείτε την πιθανότητα p( ) ΙΙΙ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της p( ) (Απ. Ι. Όχι, ΙΙ. x 1 p( ), x (0,1), ΙΙΙ. ) x 1 11

12 6. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός Α είναι 0.4 ενώ η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Β είναι 0.5. Η πιθανότητα να συμβαίνουν μαζί τα Α, Β είναι 0.. Ζητούνται τα παρακάτω: I. Η πιθανότητα να συμβεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. ΙΙ. Η πιθανότητα να μην συμβεί το Α. ΙΙΙ. Η πιθανότητα να συμβεί το Α και να μην συμβεί το Β. IV. Η πιθανότητα να συμβεί ένα μόνο από τα Α, Β. V. Η πιθανότητα να μην συμβεί κανένα από τα Α, Β. (Απ. I. p( ) 0.7, ΙΙ. IV. p(( ) ( )) 0.5, V. p, ' p( ) 0.6, ΙΙΙ. ( ) 0. ' p( ) 0.3 ) 7. Η πιθανότητα να επιλεγεί ένας φοιτητής για την ομάδα μπάσκετ του πανεπιστημίου του είναι 1 5 ενώ για την ομάδα χάντμπολ είναι 1. Αν η πιθανότητα 6 να εκλεγεί και στις δύο ομάδες είναι 1 10 τότε να υπολογίσετε: I. Την πιθανότητα του ενδεχομένου να επιλεγεί τουλάχιστον σε μια από τις δύο ομάδες. ΙΙ. Την πιθανότητα του ενδεχομένου να επιλεγεί μόνο στην ομάδα χάντμπολ. ΙΙΙ. Την πιθανότητα του ενδεχομένου να επιλεγεί μόνο σε μια από τις δύο ομάδες. (Απ. I. 4 15, II. 1 15, ΙΙΙ. 1 6 ) 1

13 8. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως δύο γεγονότα Α, Β είναι ίση με Η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί ούτε το Α ούτε το Β είναι ίση με Αν τα γεγονότα Α, Β είναι ανεξάρτητα, να βρεθεί η πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα Α, Β. Υπόδειξη: Δύο ενδεχόμενα Α, Β ονομάζονται ανεξάρτητα μεταξύ τους, όταν και μόνο όταν ισχύει: p( ) p( ) p( ) (Απ. p( ) 0.5, p( ) 0.5 ή p( ) 0.5, p( ) 0.5 ) 9. Έστω ότι από μια τράπουλα (αποτελείται από 5 φύλλα) τραβάμε τυχαία ένα φύλλο. Υποθέτουμε τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: Το φύλλο είναι κούπα Β: Το φύλλο είναι Ρήγας Γ: Το φύλλο είναι κόκκινου χρώματος Ι. Να βρείτε την πιθανότητα των παραπάνω ενδεχομένων Α,Β,Γ. ΙΙ. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων Α,Β,Γ. ΙΙΙ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου. (Απ. Ι. p( ) 0.5, ΙΙΙ. 1 p( ) ) 5 1 p( ), 13 1 p( ), ΙΙ. ' p( ) 0.75, ' 1 p( ), 13 p( ), ' 1 13

14 10. Έστω ότι ρίχνουμε δύο κανονικά ζάρια. Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Α: Εμφανίζεται ακριβώς ένα τριάρι Β: Το άθροισμα των ενδείξεων των ζαριών είναι 8 Γ: Το ένα ζάρι φέρνει τουλάχιστον 4, ενώ το άλλο φέρνει άρτιο. (Απ p( ), p( ), p( ) ) Τρία δοχεία Α,Β,Γ περιέχουν σφαιρίδια άσπρου και μαύρου χρώματος ως εξής: Α: άσπρα και 3 μαύρα Β: 4 άσπρα και μαύρα Γ: 3 άσπρα και 5 μαύρα Βγάζουμε ένα σφαιρίδιο από κάθε κουτί. Να βρείτε την πιθανότητα: I. Να πάρουμε τρία άσπρα σφαιρίδια. ΙΙ. Να πάρουμε τουλάχιστον ένα μαύρο σφαιρίδιο. (Απ. I. 1 10, ΙΙ ) 1. Έστω ότι ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα φορές. Ποια είναι η πιθανότητα και στις δύο ρίψεις να εμφανιστεί η ίδια ένδειξη (Κ ή Γ); (Απ. 1 ) 14

15 13. Έστω δύο μαθητές Α και Β οι οποίοι λύνουν ένα πρόβλημα φυσικής. H πιθανότητα να λύσει το πρόβλημα τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 0.75 και η πιθανότητα να το λύσουν και οι δύο είναι 0.5. Αν η πιθανότητα να μην λύσει το πρόβλημα ο Α είναι ίση με, τότε να βρείτε την πιθανότητα να λύσει το 3 πρόβλημα μόνο ο Α ή μόνο ο Β. (Απ. 1 ) 14. Το τμήμα Γ 1 του 1 ου Γενικού Λυκείου Γλυφάδας αποτελείται από 40 αγόρια και 7 κορίτσια. Στο επίσημο διαγώνισμα χημείας του τετραμήνου έγραψαν άριστα τα 3 5 των αγοριών και τα 4 των κοριτσιών. Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία 9 ένα άτομο. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έγραψε άριστα στο διαγώνισμα. (Απ ) 15. Έστω μία τάξη που αποτελείται από 30 μαθητές. Για τις ανάγκες μιας έρευνας της Εθνικής Στατιστικής Υπηρεσίας, οι μαθητές ρωτήθηκαν πόσα αδέλφια έχουν. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Αριθμός μαθητών Αριθμός αδελφών Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα η οικογένειά του να έχει δύο παιδιά. (Απ ) 15

16 16. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α,Β ' ' είναι υποσύνολα του Ω. Αν p( ) 0.8 και p( ) 0.71 τότε να αποδείξετε ότι: p( ) 1.01 p( ) 17. Σε έναν αγώνα η πιθανότητα να κερδίσει ο Νίκος είναι 0.3, η πιθανότητα να κερδίσει ο Γιώργος είναι 0. και η πιθανότητα να κερδίσει ο Δημήτρης είναι 0.4. Να βρείτε την πιθανότητα: I. Να κερδίσει ο Νίκος ή ο Γιώργος. II. Να μην κερδίσει ο Νίκος ή ο Δημήτρης. (Ι. 0.5, ΙΙ. 0.3) 18. Σε μια τάξη ενός δημοτικού σχολείου το 15% των μαθητών φοράνε γυαλιά μυωπίας, το 40% φοράνε σιδεράκια και το 10% φοράνε και γυαλιά και σιδεράκια. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να μην φοράει ούτε γυαλιά ούτε σιδεράκια. (Απ. 55%) 19. Έστω ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: Να βρείτε τις πιθανότητες p( ) και (Απ. p( ) 0., ' p( ) 0.8 ) p( ) 1 p ' ( ) 4 ' p( ). 16

17 0. Αν είναι γνωστό ότι: τότε να αποδείξετε ότι θα ισχύει η σχέση: 0 p( ) 1, 1 1 p ' ( ) p( ) Από 10 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια η πιθανότητα ο μαθητής: A. να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; Β. να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; Γ. να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; Πανελλαδικές Εξετάσεις 000 (Απ. Α. 4 15, Β. 1 11, Γ ). Σε μια τεχνική εταιρεία εργάζονται συνολικά 100 υπάλληλοι ως μηχανικοί ή τεχνικό προσωπικό. Από αυτούς οι 60 είναι άνδρες, 40 άτομα είναι μηχανικοί, ενώ 10 γυναίκες ανήκουν στο τεχνικό προσωπικό. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο που εργάζεται στην εταιρεία. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: το άτομο είναι άνδρας που ανήκει στο τεχνικό προσωπικό Β: το άτομο είναι άνδρας ή είναι μηχανικός (Απ. p( ) 0.5, p( ) 0.9 ) 17

18 3. Έχουμε 30 σφαίρες μέσα σ ένα δοχείο, αριθμημένες από το 1 έως το 30. Επιλέγουμε στην τύχη μια σφαίρα. Έστω Α το ενδεχόμενο ο αριθμός της σφαίρας να είναι άρτιος και Β το ενδεχόμενο ο αριθμός αυτός να είναι πολλαπλάσιο του 5. Αν Α, Β είναι τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα των Α και Β αντιστοίχως, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: A. p( ), p( ) Β. p( ) Γ. Δ. p ' ( ) p ' ' (( ) ( )) Επαναληπτικές Εξετάσεις 003 (Απ. Α. Δ. 1 p( ), 1 p( ), Β. 5 p(( ) ( )) ) ' ' 1 3 p( ), Γ. 5 ' 7 p( ), Ένα κουτί περιέχει 40 κόκκινες κάρτες και άγνωστο πλήθος από κίτρινες και πράσινες κάρτες. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί τυχαία μια κίτρινη κάρτα είναι 0.5 και μια πράσινη κάρτα 0.35 τότε να βρείτε: A. το πλήθος όλων των καρτών που περιέχει το κουτί Β. τον αριθμό των κίτρινων και πράσινων καρτών που υπάρχουν στο κουτί. (Απ. Α. 100, Β. 5 κίτρινες, 35 πράσινες) 18

19 5. Σε ένα συνέδριο ιατρικής συμμετέχουν Γερμανοί, Γάλλοι και Άγγλοι ιατροί. Από τους σύνεδρους επιλέγεται τυχαία ένας για τη θέση του γραμματέα του συνεδρίου. Αν στο συνέδριο συμμετέχουν 5 Γερμανοί, ενώ οι πιθανότητες να επιλεγεί Γάλλος είναι 1/3 και Άγγλος είναι 0.5, τότε να βρεθεί το πλήθος των συνέδρων. (Απ. 60 σύνεδροι) 6. Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: Α. γυναίκα ή φιλόλογος Β. γυναίκα και όχι φιλόλογος Γ. άνδρας και φιλόλογος Δ. άνδρας ή φιλόλογος. Πανελλαδικές Εξετάσεις 003 (Απ. Α. 65%, Β. 5%, Γ. 10%, Δ. 75%) 7. Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε ότι: Αν τότε p( ) p( ) p( ) Υπόδειξη: Για να αποδείξετε το ζητούμενο αρχικά υπολογίστε την πιθανότητα p[( ) ] λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει:. 19

20 8. Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση: x 4x 0 Αν, είναι το αποτέλεσμα της ρίψης δύο ζαριών, τότε να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: Α. Η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β. Η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα Γ. Η εξίσωση να έχει δύο μιγαδικές ρίζες Δ. Η εξίσωση να έχει μια πραγματική και μια μιγαδική ρίζα (Απ. Α. 5 36, Β. 1 1, Γ. 7, Δ. 0) 9 9. Έστω Ω={x, y, ω, z} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος. Α. Να βρείτε το p(y), αν είναι γνωστό ότι: p(x)= 1, p(ω)= 1 4, p(z)= 1 15 Β. Να βρείτε τα p(x) και p(y), αν είναι γνωστό ότι: p(ω)= p(z)= 1 6 και p(x)= 3p(y). 11 (Απ. Α. 60, Β. p(x)= 1, p(y)= 1 6 ) 0

21 ΘΕΩΡΙΑ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πράξεις και Ιδιότητες των Πραγματικών Αριθμών 1

22 Δυνάμεις Αν ο α είναι πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός ορίζουμε ότι: Αν επιπλέον είναι α 0 τότε έχουμε ότι: α ν =α α α... α για ν>1 και α 1 =α α 0 =1 και α -ν = 1 Αν α=β α ν =β ν (Προσοχή: Δεν ισχύει το αντίστροφο) Ιδιότητες Δυνάμεων

23 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 3

24 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να υπολογίσετε τα γινόμενα που ακολουθούν: A. (-4) 60 (-1.5) 40 B Γ. (-0.5) (Απ. Α , Β. 6, Γ. 1 ). Να εκτελεστούν οι πράξεις: Α. Β. Γ. 8xy 4 x y x y 1 3 x y x y 8x y 4x y 1x y 5 3 4x y (Απ. Α x 5 y 9, Β. 4 3x 4 y, Γ. x 7 3 x x x 4 9 ) y y y 4

25 3. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α Β Γ Δ. (Απ. Α. 400, Β., Γ , Δ ) 4. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: A. Β. Γ. Δ. 3( ) 3( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 5( 1)( 1) 5 5

26 5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν: A. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. 5( x 4) 3( x ) x 4x 4 x 4 8( x 9) 3( x 3) 4x 1 ( x 1) 4 x ( x 1) 4x 5x 1 x 1 x x 6 11( x ) (Απ. Α. 5 ( ) 3 x x, Β., Γ. 8( 3) x x, Δ. x 1 x 3, Ε. 4x 1, ΣΤ. ) 11 6

27 6. Αν υποθέσουμε ότι ο ν είναι φυσικός αριθμός τότε να δείξετε ότι ο αριθμός: είναι πολλαπλάσιο του Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 1 ( 1) ( 1) ( 1) 4 3 5( 1) (Απ. Α. 1, Β. 1, Γ., Δ. 5, Ε. 3 ) 7

28 8. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. Δ. x y y y x x ( x y) ( x y ) ( x 1) y x 1 xy x 1 y y y x (Απ. Α. x y y 6 x, Β. 1 1 xy, Γ. 1, Δ. x 9 3 xy ) 9. Να αποδείξετε την σχέση που ακολουθεί: 3 3 : 1 Υπόδειξη: Για να αποδείξετε το ζητούμενο χρησιμοποιήστε την ταυτότητα: 3 3 ( )( ) 8

29 ΘΕΩΡΙΑ Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Ορισμός: Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και γράφουμε α > β, όταν η διαφορά α β είναι θετικός αριθμός. Στην περίπτωση αυτή λέμε αντίστοιχα ότι ο αριθμός β είναι μικρότερος από τον αριθμό α και γράφουμε β < α. Εύκολα προκύπτουν τα παρακάτω: Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος του μηδενός. Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος του μηδενός. Προσοχή: Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει ότι α > β ή α=β τότε έχουμε ότι: Εύκολα προκύπτουν τα παρακάτω: α β (α μεγαλύτερος ή ίσος του β) 9

30 Ιδιότητες των ανισοτήτων: 30

31 Διαστήματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x για τους οποίους ισχύει ότι: α x β ονομάζεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με: [α, β] Αν από το κλειστό διάστημα [α, β] παραλείψουμε τα α και β τότε προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστημα από το α μέχρι το β που συμβολίζεται με: (α, β) Άλλες μορφές διαστημάτων Ανοικτό δεξιά διάστημα: [α, β) α x < β Ανοικτό αριστερό διάστημα: (α, β] α < x β [α, ) α x (, α] x α ( : Συν άπειρο) ( : Πλην άπειρο) Μορφές Διαστημάτων Πραγματικών Αριθμών 31

32 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις: A Β. ( ) 4 0 Γ. 1 Δ. ( ) 0. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y αν ισχύει η παρακάτω σχέση: (Απ. x, y 3) 3. Αν γνωρίζετε ότι είναι: τότε να αποδείξετε ότι ισχύει: x y x y x < 1 < y 1+xy < x+y 3

33 ΘΕΩΡΙΑ Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού Ορισμός Εύκολα προκύπτουν τα παρακάτω: Ιδιότητες των απόλυτων τιμών 33

34 Απόσταση δύο αριθμών Έστω δύο αριθμοί α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα x x με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται με d(, ) και είναι ίση με. Ισχύει δηλαδή ότι: d(, ) Έστω ένα διάστημα [α, β] και Α και Β τα σημεία πάνω στον άξονα x x τα οποία παριστάνουν τα άκρα α και β αντίστοιχα. Αν M( x ) το μέσο του τμήματος ΑΒ, τότε αποδεικνύεται ότι: x o Ο αριθμός ονομάζεται κέντρο του διαστήματος ΑΒ. Ο αριθμός ονομάζεται ακτίνα του διαστήματος ΑΒ. 34

35 Από τον ορισμό της απόστασης προκύπτουν τα παρακάτω: 35

36 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο x, αν Α. x 3 Β. x 4 6 Γ. x 5 3 (Απ. Α. x 3, Β. x 10 ή x, Γ. x ή x 8). Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές: Α. 5 Β Γ (Απ. Α. 5, Β. 6, Γ. 0) 36

37 3. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει: x 3 τότε να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή τις παραστάσεις που ακολουθούν: (Απ. Α. 1, Β. 11 4x, Γ. ) Α. x x 3 Β. 3 x x x 3 Γ. x x 3 9 3x 4. Να γράψετε χωρίς την απόλυτη την παράσταση: x 5 7 x όταν είναι γνωστό ότι: Α. x 5, Β. x 7. (Απ. Α., Β. ) 5. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις που ακολουθούν: x 3 x 3 (Απ. Αν x τότε: αντίστοιχα έχουμε ότι: Αν x 3 τότε: τότε: 3) x, αν x τότε: x 4, αν x τότε: x, αν 3, x τότε: 6 x, αν x 3 37

38 6. Να δείξετε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: x ( 1)( x x) 0 x Υπόδειξη: Για να αποδείξετε το ζητούμενο να κάνετε πράξεις και να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα: x x. 7. Αν, τότε να δείξετε ότι ισχύουν τα παρακάτω: A. ( ) 3 Β. 0 Γ. Δ. 3 5 Ε. 1 38

39 8. Έστω ότι ισχύει: 0. Να διατάξετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: 1,, (Απ. 1 ) 9. Αν είναι γνωστό ότι: x και y 5 0.4, τότε να εκτιμήσετε την τιμή της περιμέτρου των παρακάτω γεωμετρικών σχημάτων. (Απ. Α x 13., Β x y 14.1) 39

40 ΘΕΩΡΙΑ Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Ορισμός Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Αν α 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x =α. Ιδιότητες ριζών Ορισμός Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α. Αν α 0, τότε η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x ν =α. 40

41 Ιδιότητες ριζών Δυνάμεις με Ρητό Εκθέτη 41

42 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες: Α. 64, 169, 5 Β. 81, 10000, 144 Γ. 5, 11, 100 (Απ. Α. 8, 13, 15, Β. 9, 100, 1, Γ. 5, 11, 10). Να μετατρέψετε τις παραστάσεις που ακολουθούν σε ισοδύναμες, χωρίς ριζικά στου παρονομαστές: Α. 4 3 Β. Γ (Απ. Α. 8 3, Β. 8( 3 1), Γ. 6( 7 5) ) 4

43 3. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες: Α , Β. 3 8, , 5 3, Γ , 0.01, 65 (Απ. Α. 0.01,, 0.1, Β., 0.1, 4, Γ. 10, 0.1, 5) 4. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά Α. Β. Γ. Δ. ( x 1) x 16 ( 5) ( 16) x (Απ. Α. x 1, Β., Γ. 5, Δ. 16) 4 43

44 5. Να αποδείξετε ότι: Α. ( x x 1) ( x x 1) 3 Β. ( 7) (4 7) 6. Να αποδείξετε ότι: Α. ( ) ( 108 5) 103 Β. ( ) (9 5) Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: Α. Β. Γ

45 8. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει: τότε να υπολογίσετε την ποσότητα: (Απ. 3 ) Να εκφράσετε με τη βοήθεια ενός ριζικού το (ΑΓ) στο παρακάτω σχήμα: (Απ. (ΑΓ)=8 5) 10. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν: Α Β (Απ. Α. 3, Β. ) 45

46 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Η εξίσωση x 0 Έχουμε ότι: x 0 x Αν 0 τότε: x x Άρα, αν 0 τότε η εξίσωση x, έχει ακριβώς μια λύση την x. Αν 0, τότε η εξίσωση x γίνεται 0x, η οποία: αν είναι 0 δεν έχει λύση και για αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη. αν είναι 0 έχει τη μορφή 0x 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό x δηλαδή είναι ταυτότητα. Η λύση της εξίσωσης x 0 και γενικά κάθε εξίσωσης λέγεται και ρίζα αυτής. 46

47 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. 5x 3( x 1) 7 x Β. 6x 3(x 3) x ( x 5) Γ. 5x 3( x ) 8x 6 (Απ. Α. x 1, Β. αδύνατη, Γ. ταυτότητα). Να λύσετε την εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. 17 x ) 30 5x 4 5 3x x 5 3. Να λύσετε την εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. x 9) ( x 4) 3 x ( x 5) 47

48 4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. 4 x x Β. Γ. x x 14 3 x x x x (Απ. Α. x 1, Β. x, Γ. x ) 5. Δίνεται η εξίσωση: ( 1) x 16 Α. Να λύσετε την εξίσωση για 5. Β. Να λύσετε την εξίσωση για 1. Γ. Σε τι συμπέρασμα καταλήγετε για την εξίσωση αν 1; Δ. Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει λύση τον αριθμό 8; (Απ. Α. x 4, Β. 16 x 1, Γ. Η εξίσωση είναι αδύνατη, Δ. 3 ) 48

49 6. Να λύσετε την εξίσωση: (Απ. Αν 1 τότε x 1, αν 1 ( x 1) 3 x αν 1 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη) 7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. Β. Γ. 4 x (x 1)( x 1) x 0 3 x x x 0 3 x x x x (Απ. Α. 3 (1 )( 3) 0 τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα, 1 x, Β. x, x 1 και x 1, Γ. x 1 και x 3) 8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. x 8 4 x Β. x 5 3 (Απ. Α. x 1, Β. x 1 και x 4) 49

50 9. Να λύσετε την εξίσωση: 3 x 4 3 x (Απ. 9 x και x 5) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. 1 1 x 3 x 3 x 9 Β. 1 1 x 1 x 1 x 1 Υπόδειξη: Β. Προσοχή στους περιορισμούς! (Απ. Α. x 1, Β. αδύνατη) 11. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. x 5 3x Β. 3x x 8 Υπόδειξη: Α. Η εξίσωση f ( x) g( x) έχει λύσεις: f ( x) g( x) ή f ( x) g( x). Β. Όταν έχουμε εξίσωση της μορφής f ( x) g( x) τότε πρέπει να είναι gx ( ) 0. Οι λύσεις είναι: f ( x) g( x) ή f ( x) g( x). (Απ. Α. x 7 ή 3 x, Β. αδύνατη) 5 50

51 1. Να λύσετε την εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. x 1) 3 x 7 x x Να λύσετε την εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. x ) 3 x Να λύσετε την εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. 5 x ή 4 3 x ) 1 x x x Ένα μηχανάκι κινείται με 80 km/h. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με 100 km/h προσπερνάει το μηχανάκι. Σε πόσα λεπτά το αυτοκίνητο θα βρίσκεται km μπροστά από το μηχανάκι; (Απ. 6 λεπτά) 51

52 ΘΕΩΡΙΑ Η εξίσωση x Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Σημειώστε ότι: Αν ο ν περιττός, τότε η εξίσωση x έχει μοναδική λύση την x. Αν ο ν άρτιος, τότε η εξίσωση x έχει δύο λύσεις, τις x1 και x. 5

53 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. Δ. 3 x x 5 x x 1 0 (Απ. Α. x 6, Β. x 4, Γ. x 1, Δ. x 1). Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. Δ. 6 x x x x x x 0 81x 0 (Απ. Α. x, Β. x 0 ή x 4, Γ. x 0 ή x 1, Δ. x 0 ) 53

54 3. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. 3 ( x 1) 7 4 ( x 3) 16 3 Γ. 1 7x 0 Δ. 4 ( x ) 64( x ) 0 (Απ. Α. x 4, Β. x 1 ή x 5, Γ. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. 5 (x 4) 3 3 (x 4) 11( x 4) 0 (Απ. Α. x 1, Β. x ή 15 7 x ή x ) 1 x, Δ. x ή x 6 ) 3 54

55 ΘΕΩΡΙΑ Εξισώσεις ου Βαθμού Η εξίσωση x x 0, 0 Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα. Τύποι του Vieta Έστω ότι η εξίσωση x x 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες x1, x. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x1 x και με P το γινόμενο x1 x τότε έχουμε τους τύπους: Οι παραπάνω τύποι είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Η εξίσωση x x 0, με τη βοήθεια των τύπων του Vieta μετασχηματίζεται μετά από πράξεις ως εξής: x x 0 x Sx P 0 55

56 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. Δ. x x x x 3x 0 x 1 0 x 6 0 x 3 0 (Απ. Α. x 1 ή x, Β. x 1, Γ. x ή x 3, Δ. αδύνατη). Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. x 3 0 3x x 0 x 4 0 (Απ. Α. αδύνατη, Β. x 0 ή 1 x, Γ. x ή x ) 3 56

57 3. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης: χωρίς να τη λύσετε. x 30x Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε τους τύπους του Vieta. (Απ. 30 S 30, P ) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. (x 18) ( x 3) 0 ( x 3) ( x 5x 6) 0 (Απ. Α. x 3, Β. αδύνατη, Γ. x ή x 3) 5. Να λυθεί η εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. 3 1 x ή x ) 4x ( 3 1) x

58 6. Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς: Α. 3 και 4 Β. και 1 Γ. 3 και (Απ. Α. x 7x 1 0, Β. 7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x 5x 0 έχει δύο λύσεις για κάθε τιμή του., Γ. x x x (3 ) x 3 0 ) Υπόδειξη: Αρκεί να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι θετική για κάθε τιμή του λ. 8. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: έχει μια πραγματική ρίζα. (Απ. 1) x x 0

59 9. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. x x 0 ( x ) 3 x 1 0 (Απ. Α. x 1, Β. x 1, x 3, 3 x και 10. Να λυθεί η εξίσωση που ακολουθεί: (Απ. 1 5 x, 3 13 x ) 11. Να λυθεί η εξίσωση που ακολουθεί: 5 x ) 1 1 x 4 x 3 0 x x x ( ) x 0 (Απ. x ή x ) 1. Να λυθεί η εξίσωση που ακολουθεί: x 1 x 3 x (Απ. x ή x ) 5 59

60 13. Αν, πραγματικοί αριθμοί με 0, τότε να αποδείξετε ότι η παρακάτω εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση. x x ( ) 0 Υπόδειξη: Αρκεί να αποδείξετε ότι είναι: Δ Έστω ότι η μια ρίζα της εξίσωσης είναι το. x x 4 0 Στην περίπτωση αυτή, να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. (Απ. x ) 15. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. x x 5x x 0 4 (Απ. Α. x, Β. x 1) 16. Να λύσετε την εξίσωση την εξίσωση 4x 0. (Απ. 1 9 x ή x ) 4x x 9 0 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με 60

61 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Οι ανισώσεις x 0 και x 0 Έχουμε ότι: Αν 0, τότε: Αν 0, τότε: x 0 x x x Αν 0, τότε η ανίσωση γίνεται: 0x, η οποία: Αληθεύει για κάθε x, αν είναι 0 Είναι αδύνατη, αν είναι 0 Ανισώσεις με απόλυτες τιμές x x x x ή x 61

62 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: A. Β. x 3 3x x x 1 ( x ) 5x 4 8 (Απ. Α. x, Β. x 4 ). Να λύσετε και να συναληθεύσετε τις ανισώσεις: (Απ x ) 7 9 x 7 1 x x 14 και 3 x 7 1 x 5x Να εξετάσετε αν συναληθεύουν οι ανισώσεις: 5 3( x ) x 1 και ( x 3) 5 3x (Απ. όχι) 6

63 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: Α. x 5 Β. x 1 3 Γ. x Δ. x 3 4 (Απ. Α. 5 x 5, Β. x 4, Γ. x ή x, Δ. 5. Να λύσετε την ανίσωση που ακολουθεί: x 4 x 1 x 4 8 (Απ. x ) 6. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει ότι: 3 x 5 (Απ. x [ 3, 1] [5,7] ) 7 x ή 1 x ) 63

64 7. Να λύσετε την ανίσωση που ακολουθεί: (Απ. 1 x 5) 8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α. 4 x 5 Β. 5 ( x 3) 3 9 Γ. 8 (1 3 x) 14 x 4x 4 3 (Απ. Α. x 7, Β. 1 x 3, Γ. x 1) 9. Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: Α. x 4 6x 1 Β. x 3 3x 6 (Απ. Α x, Β. x )

65 ΘΕΩΡΙΑ Ανισώσεις ου Βαθμού Μορφές Τριωνύμου Η παράσταση x x 0, 0 λέγεται τριώνυμο ου βαθμού ή πιο απλά τριώνυμο. Η διακρίνουσα Δ της αντίστοιχης εξίσωσης διακρίνουσα του τριωνύμου. Οι ρίζες της εξίσωσης x x 0, δηλαδή οι: x x x1 και x ονομάζονται και ρίζες του τριωνύμου. Αποδεικνύεται μετά από πράξεις ότι ισχύει: x x x 4 Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 0 λέγεται και 65

66 Πρόσημο των Τιμών του Τριωνύμου Τα παραπάνω συμπεράσματα χρησιμοποιούνται στην επίλυση ανισώσεων της μορφής: x x 0 ή 0, 0 x x Τις ανισώσεις αυτές τις ονομάζουμε ανισώσεις ου βαθμού. 66

67 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα παρακάτω τριώνυμα: Α. Β. Γ. x 5x 3 0 x x 6 4x 7x 0 (Απ. Α. ( x 1)( x 3), Β. ( x )( x 3), Γ. ( x )(4x 1) ). Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α. Β. Γ. x 4x 4 x 4 x x 6 3( x ) ( x 1) 4 (Απ. Α. x ( x 1) x x, Β. x 3 x 1, Γ. ) 3 67

68 3. Να λύσετε τις ανισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. x 3x 0 x 3x 1 0 x x 6 0 (Απ. Α. x (,1] [, ), Β. 1 x (,1), Γ. x [ 3, ] ) 4. Να λύσετε τις ανισώσεις που ακολουθούν: Α. Β. Γ. Δ. 6x 1 x 4x 6x x 5x 8 0 x 3x 1 0 (Απ. Α. x [0, ], Β. 5 x ( 1, ), Γ. 8 1 x (, ) (1, ), Δ. x [,1] ) 3 68

69 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: Α. Β. Γ. Δ. Ε. x x x 1 0 4x 4 0 x x 3 0 x x x x (Απ. Α. x, Β. αδύνατη, Γ. x [1,], Δ. x, Ε. x 4 ) 6. Να λύσετε την ανίσωση που ακολουθεί: 1 ( 5 4) 0 x x (Απ. x (1, 4) ) 7. Να απλοποιήσετε την παράσταση που ακολουθεί: (Απ. x ) x x x x x 3 x 69

70 8. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παρακάτω ανισώσεις: (Απ. 3 x (1, ) ) x 3x 0 και x x Α. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τις παρακάτω παραστάσεις: 3 3 και Β. Να απλοποιήσετε την παράσταση που ακολουθεί: (Απ. Α. ( ) ( ) και ( )( )( ), Β. 10. Δίνεται το τριώνυμο: ( 1) x 4 x, 1. ) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την ανίσωση Δ < 0. (Απ. (0,1) ) 11. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε x. 5 (Απ. (,0)) 4 70 x 4 x 5 0

71 ΘΕΩΡΙΑ Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο Πρόσημο Γινομένου Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο: P( x) A( x) B( x)... ( x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A( x), B( x),..., ( x) είναι της μορφής x (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής x x (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του Px. ( ) Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής: Ανισώσεις της μορφής A( x) B( x)... ( x) 0 ( 0 ) Ax ( ) 0 Bx ( ) ( 0 ) Όπως είναι γνωστό το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα: Άρα έχουμε ότι: Ax ( ) 0 A( x) B( x) 0 Bx ( ) και Ax ( ) 0 A( x) B( x) 0 Bx ( ) αφού καμία από τις λύσεις της A( x) B( x) 0 και της A( x) B( x) 0 δεν μηδενίζει το Bx. ( ) Η ανίσωση της μορφής Ax ( ) 0 Bx ( ) αληθεύει για: A( x) B( x) 0 και Bx ( ) 0. 71

72 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου που ακολουθεί: P x x x x x ( ) (3 6)( 3 )( 1) (Απ. Px ( ) 0 για x (, 1) (1,) (, ), Px ( ) 0 για x ( 1,1), Px ( ) 0 για x 1, ). Να λύσετε την παρακάτω ανίσωση: (Απ. x (,) (, ) ) 3. Να λύσετε την παρακάτω ανίσωση: (Απ. x [ 3,0] [3, ) ) 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: Α. Β. x 0 x 3 x 3 0 x ( x )( x )( x 4) 0 (3 x)(3x 9 x)( x 5) 0 (Απ. Α. x (, 3) (, ), Β. x (, 3] (, ) ) 7

73 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: Α. x 4 3 x 1 Β. x x 1 (Απ. Α. x (1,7), Β. x (, 4] ( 1, ) ) 6. Να λύσετε την ανίσωση που ακολουθεί: x 3 x 4 x 1 (Απ. x (1,) [3,4] ) 7. Να λύσετε την ανίσωση που ακολουθεί: 1 (Απ. x (,0) (0,1) ) x x 3 73

74 ΘΕΩΡΙΑ Ακολουθίες Η έννοια της ακολουθίας ΠΡΟΟΔΟΙ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,, 3,..., ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α 1, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α κ.λ.π. Γενικά ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με α ν. Δηλαδή: 1 α 1, α, 3 α 3,..., ν α ν,... Την ακολουθία αυτή τη συμβολίζουμε (α ν ). Ακολουθίες που ορίζονται αναδρομικά Λέμε ότι η ακολουθία (α ν ) ορίζεται αναδρομικά και η ισότητα α ν+ =α ν+1 +α ν λέγεται αναδρομικός τύπος της ακολουθίας. Γενικότερα, για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε: 1. Τον αναδρομικό της τύπο και. Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους. 74

75 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: Α. 3 Β. Γ. ( 1) Δ (Απ. Α. α 1 =5, α =8, α 3 =11, α 4 =14, α 5 =17, Β. α 1 =3, α =10, α 3 =1, α 4 =36, α 5 =55, Γ. α 1 =1, α = 1, α 3 = 1 3, α 4= 1, α 5 = 1 4 5, Δ. α 1=, α =1, α 3 =0, α 4 =1, α 5 =). Να βρείτε τον ν-οστό όρο των ακολουθιών: Α. α 1 =, α ν+1 =α ν +3 Β. α 1 =1, α ν+1 =α ν (Απ. Α. α ν =3ν-1, Β. α ν = ν-1 ) 75

76 ΘΕΩΡΙΑ Αριθμητική Πρόοδος Ορισμός Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Άρα, η ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει: Αποδεικνύεται ότι: Αριθμητικός Μέσος Αποδεικνύεται ότι: Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. ή 76

77 Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Αποδεικνύεται ότι: Πιο αναλυτικά μπορούμε να γράψουμε: Γεωμετρική Πρόοδος Ορισμός Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (α ν ) υποθέτουμε πάντα ότι α 1 0, οπότε αφού είναι και * λ 0, ισχύει α ν 0 για κάθε. Επομένως, η ακολουθία (α ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, αν και μόνο αν ισχύει: ή 77

78 Αποδεικνύεται ότι: Γεωμετρικός Μέσος Αποδεικνύεται ότι: Ο θετικός αριθμός β= λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου Αποδεικνύεται ότι: 78

79 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος: Α. Να βρείτε τον ν ο όρο της προόδου. Β. Να βρείτε τον 16 ο όρο της προόδου.. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος: 3 5 1,,,,... 10,13,16,... Να βρείτε τον 1 ο όρο της προόδου. 3. Έστω μια αριθμητική πρόοδος για τη οποία γνωρίζουμε ότι: α 4 =-1 και α 7 =5 Να βρείτε τον 0 ο όρο της προόδου. 4. Να βρείτε την τιμή του x έτσι ώστε οι αριθμοί: x+, 4x-1, 5x να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 79

80 5. Να βρεθούν τρεις αριθμοί που να αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι ίσο με 30 και το γινόμενό τους είναι ίσο με Να βρείτε την τιμή του x έτσι ώστε οι αριθμοί: x 3 -x -, x +x, x 3 -x να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 7. Να βρείτε τρεις αριθμούς που να αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι ίσο με 33 και το γινόμενό τους είναι ίσο με Έστω ότι σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύουν τα παρακάτω: Να βρείτε το S 30. α 4 +α 5 +α 6 +α 7 =45 και α 1 +α +α 3 = Να υπολογίσετε το παρακάτω άθροισμα: Αν ο νιοστός όρος μιας ακολουθίας δίνεται από τον τύπο α ν =3ν+4, να αποδειχθεί ότι η ακολουθία αυτή αποτελεί αριθμητική πρόοδο και να βρεθούν ο πρώτος όρος της (α 1 ) και η διαφορά της (ω). 80

81 11. Ο νιοστός όρος μιας ακολουθίας δίνεται από τον τύπο α ν =3ν+. Α. Να βρείτε τον επόμενο όρο α ν+1. Β. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Γ. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. Δ. Να βρείτε την τάξη του όρου που ισούται με Να γράψετε τους έξι πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου της οποίας ο πρώτος όρος και η διαφορά είναι ρίζες της εξίσωσης: x -4x+3=0 13. Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου 1,5,9,... ισούται με 85; Πόσοι όροι αυτής της προόδου έχουν άθροισμα 19900; 14. Να βρείτε τον 8 ο όρο της γεωμετρικής προόδου: 1,,4, 15. Να βρείτε τον αριθμό α έτσι ώστε οι αριθμοί α, 6 και 9 να αποτελούν διαδοχικούς αριθμούς γεωμετρικής προόδου. 81

82 16. Έστω ότι ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με και ο 7 ος είναι ίσος με όρων της. 1. Να βρεθεί η πρόοδος καθώς και το άθροισμα των 0 πρώτων Να βρείτε τρεις αριθμούς που να αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι ίσο με 1 και το γινόμενό τους είναι ίσο με Να βρείτε τον πρώτο όρο α 1 της γεωμετρικής προόδου για την οποία γνωρίζουμε ότι α 3 =1 και α 5 = Έστω μια γεωμετρική πρόοδος α ν με λόγο τον ακέραιο λ και πρώτο όρο τον πραγματικό α 1. Αν ισχύει ότι: τότε: Α. να αποδείξετε ότι α 1 0 και λ 1 Β. να βρείτε τον α 7. α 1 +α =6 και α 1 +α +α 3 =14, 8

83 0. Έστω η γεωμετρική πρόοδος: Α. Να βρείτε τον 1 ο όρο. Β. Να βρείτε τον νιοστό όρο ,,,, Γ. Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων όρων της. Δ. Να βρείτε ποιος όρος της είναι ίσος με Σε μία γεωμετρική πρόοδο (α ν ) είναι γνωστό ότι: α 4 =1 και α 9 =384 Α. Να βρείτε την πρόοδο και το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της. Β. Πόσοι όροι της προόδου έχουν άθροισμα ; 83

84 ΘΕΩΡΙΑ Η έννοια της συνάρτησης Ορισμός ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού ή σύνολο ορισμού της f. Αν με μια συνάρτηση f από το Α στο Β, το x αντιστοιχίζεται στο y B, τότε γράφουμε: y f ( x) και διαβάζουμε y ίσον f του x. To f( x ) λέγεται τότε τιμή της f στο x. x ανεξάρτητη μεταβλητή y εξαρτημένη μεταβλητή Το σύνολο, που έχει για στοιχεία του τις τιμές f( x ) για όλα τα x, λέγεται σύνολο τιμών της f και το συμβολίζουμε με f ( ). Η παραπάνω συνάρτηση συμβολίζεται ως εξής: f : x f ( x) 84

85 Συντομογραφία Συνάρτησης Γενικά, για να οριστεί μια συνάρτηση f πρέπει να δοθούν τρία στοιχεία: Το πεδίο ορισμού της Α. Το σύνολο Β. Το f( x ) για κάθε x. Οι συναρτήσεις, της μορφής f :, όπου και, λέγονται πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. 85

86 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: Α. f( x) 5 x 1 5x Β. f( x) x 4 3 Γ. f( x) x 5 Δ. f ( x) x x 5 Ε. ΣΤ. Ζ. f x ( ) x 9 f x x x ( ) 3 f( x) x 1 x 1 (Απ. Α. x {1}, Β. x { }, Γ. x, Δ. x [5, ), Ε. x (, 3] [3, ), ΣΤ. x (,1] [, ), Ζ. x (, 1] (1, ) ) 86

87 . Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: A. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. f ( x) x 16 Β. Να βρείτε τις τιμές f (0), f (4) και f (5). x 3x 4 x (Απ. Α. x (, 4] [4, ), Β. f (0) δεν ορίζεται, f (4) 1, f (5) 15 ) 3. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: f( x) 3 x 1 A. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει ότι: f( x). (Απ. Α. x { 1}, Β. x 3) 4. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: gx ( ) x 1 x 3x A. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει ότι: gx ( ) 1. (Απ. Α. x {0,3}, Β. x 1) 87

88 ΘΕΩΡΙΑ Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές Συντεταγμένες Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή ένα σημείο Ο. Ο οριζόντιος x x λέγεται άξονας των τετμημένων ή άξονας των x. Ο κατακόρυφος y y λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y. Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου των αξόνων μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος (α, β) πραγματικών αριθμών και αντίστροφα, σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (α, β) πραγματικών αριθμών, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα μοναδικό σημείο Μ του επιπέδου. α, β συντεταγμένες του σημείου Μ α τετμημένη του σημείου Μ β τεταγμένη του σημείου Μ 88

89 Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια. Τα πρόσημα των συντεταγμένων των σημείων τους φαίνονται στο σχήμα: Απόσταση Σημείων Αν Οxy είναι ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και A( x1, y 1) και B( x, y ) δύο σημεία αυτού, τότε αποδεικνύεται ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο: Γραφική παράσταση συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει y f ( x), δηλαδή το σύνολο των σημείων ( x, f ( x)), x, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C. f 89

90 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σημειώσετε σε ένα καρτεσιανό επίπεδο τα σημεία: Α(, 3), Β(-1, ), Γ(-, -1), Δ(3, -) και Ε( 1, 3). Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(-, 1) Α. ως προς τον άξονα x x Β. ως προς τον άξονα y y Γ. ως προς την αρχή Ο των αξόνων Δ. ως προς τη διχοτόμο της γωνίας x ˆ y 3. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων: A. O(0, 0) και Α(5, 3) Β. Α(, 1) και Β(-1, 3) Γ. Α(-1, -3) και Β(1, 4) Δ. Α(1, -1) και Β(-, -5) 90

91 4. Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το σημείο Μ(1, 3) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης: 1 (Απ. ) 5. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: Να βρείτε τα σημεία τομής της f x x x ( ) 3 f f x 6. Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις: ( ) x 4 91 C με τους άξονες. f ( x) x 5x 10 και g( x) 3x 6 Α. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C g. Β. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την C. g 7. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: 3 f ( x) x 7x 6x Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τους άξονες. f

92 ΘΕΩΡΙΑ Η συνάρτηση: f ( x) x Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α. Τη γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Αx, όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να πέσει πάνω στην ευθεία ε, τη λέμε γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x. Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ισχύει: 0 ο ω 180 ο Ως συντελεστή διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x. O συντελεστής διεύθυνσης συμβολίζεται με: λ ε ή λ Προσοχή: Στην περίπτωση που είναι ω=90 ο, δηλαδή η ευθεία ε είναι κάθετη στον άξονα x x, τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ε. 9

93 Γραφική Παράσταση της Συνάρτησης: f ( x) x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) x είναι μια ευθεία, με εξίσωση y x, η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο Β(0, β) και έχει κλίση. Ισχύουν τα παρακάτω: Αν α > 0, τότε 0 ο < ω < 90 ο Αν α < 0, τότε 90 ο < ω < 180 ο Αν α=0, τότε ω = 0 ο Αν α=0, τότε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή: f( x) (σταθερή συνάρτηση) Για δύο τυχαία σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x, y ) της ευθείας y x αποδεικνύεται ότι: 93

94 Η συνάρτηση: f ( x) x Αν β=0, τότε η f παίρνει τη μορφή: f ( x) x Τότε η γραφική παράσταση της f είναι η ευθεία y x και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Για α=1 είναι: y x Για α=-1 είναι: y x Σχετικές θέσεις δύο ευθειών Έστω δύο ευθείες ε 1 και ε με εξισώσεις: ε 1 : y 1x 1 και ε : y x οι οποίες σχηματίζουν με τον άξονα x x γωνίες ω 1 και ω αντιστοίχως. Αν 1 τότε εφω 1 =εφω, οπότε ω 1 =ω και άρα οι ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες ή συμπίπτουν. Αν 1 και 1 τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Αν 1 και 1 τότε οι ευθείες ταυτίζονται. Αν 1 τότε εφω 1 εφω, οπότε ω 1 ω και άρα οι ευθείες ε 1 και ε τέμνονται. 94

95 Η συνάρτηση: f ( x) x Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε: 95

96 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία: Α. y x 1 Β. y 3x 1 Γ. y 3 x 3 3 Δ. y x 5. Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία: Α. Α(1, ) και Β(-1, 3) Β. Α(-1, 3) και Β(, 3) Γ. Α(1, 1) και Β(5, 7) Δ. Α(3, ) και Β(-4, ) 96

97 3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει κλίση και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(1, ). 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα παρακάτω σημεία: Α. Α(, 3) και Β(1, ) Β. Α(-1, ) και Β(3, 6) Γ. Α(1, 1) και Β(5, 7) Δ. Α(-, -3) και Β(-1, 4) Ε. Α(1, -) και Β(-, 4) ΣΤ. Α(5, 8) και Β(1, 3) Ζ. Α(6, -6) και Β(, -) 97

98 ΘΕΩΡΙΑ Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης Κατακόρυφη Μετατόπιση Καμπύλης 98

99 Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης 99

100 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: 100 ( x) x, f ( x) x 3, g( x) x 3. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: ( x) x, f ( x) x 3, g( x) x 3 3. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: ( x) x, f ( x) x 3, g( x) x 3

101 ΘΕΩΡΙΑ Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμός 101 Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f. Η συνάρτηση f ( x) x, με 0 είναι γνησίως αύξουσα στο. Ορισμός Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ γράφουμε f. Η συνάρτηση f ( x) x, με 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Γενικά, μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.

102 Ελάχιστο και Μέγιστο Συνάρτησης Ορισμός 10 Το x λέγεται θέση ελαχίστου Το f( x ) λέγεται ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της f ( min f( x )) Ορισμός Το x λέγεται θέση μεγίστου Το f( x ) λέγεται ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της f ( max f( x ) ) Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής.

103 Άρτια Συνάρτηση Ορισμός 103 Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y Περιττή Συνάρτηση Ορισμός Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων

104 ΘΕΩΡΙΑ Η Συνάρτηση: 104 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f () x x Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν 0 έχουμε: Οι γραφικές παραστάσεις της f () x x για 0,5, 1 και.

105 105 Αν 0 έχουμε: Οι γραφικές παραστάσεις της f () x x για 0,5 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, 1 και. f () x x, με 0, είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y y.

106 ΘΕΩΡΙΑ Η Συνάρτηση: f( x) x Οι γραφικές παραστάσεις της f( x) για 0,5, 1 και. x 0 Οι γραφικές παραστάσεις της f( x) για 0,5, 1 και. x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x), με 0, λέγεται ισοσκελής x υπερβολή με κέντρο την αρχή O(0,0) και ασύμπτωτες τους άξονες x x και y y.

107 ΘΕΩΡΙΑ Η Συνάρτηση: 107 f ( x) x x Η γραφική παράσταση της έχει κορυφή το σημείο: και άξονα συμμετρίας την ευθεία: Αν 0 έχουμε:, με 0 είναι μια παραβολή, που f ( x) x x, 4 x

108 108 Αν 0 έχουμε: Η γραφική παράσταση της f εξαρτάται από το πρόσημο των α και Δ και φαίνεται κατά περίπτωση στα σχήματα που ακολουθούν:

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Γενικό Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα