ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #3: Αρχή της Επέκτασης - Ασαφείς Σχέσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας (1) Η αρχή της επέκτασης Αριθμητική με ασαφής αριθμούς Κλασικές σχέσεις Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασσικών σαφών συνόλων Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο Αναπαράσταση ασαφούς σχέσης 4

5 Σκοποί ενότητας (2) Προβολή και κυλινδρική επέκταση Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς Καρτεσιανούς χώρους Αλγόριθμος υπολογισμού της σύνθεσης 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (1) Η αρχή της επέκτασης Αριθμητική με ασαφής αριθμούς Ασκήσεις στην αρχή της επέκτασης Κλασικές σχέσεις Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασσικών σαφών συνόλων Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο 6

7 Περιεχόμενα ενότητας (2) Αναπαράσταση ασαφούς σχέσης Άσκηση Προβολή και κυλινδρική επέκταση Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς Καρτεσιανούς χώρους Αλγόριθμος υπολογισμού της σύνθεσης Ασκήσεις 7

8 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ

9 Η αρχή της επέκτασης (1) Η αρχή της επέκτασης (extension principle) προτάθηκε από τον Zadeh. Η αρχή της επέκτασης είναι μια σημαντική τεχνική στη θεωρία ασαφών συνόλων η οποία δημιουργεί την εικόνα ενός αρχέτυπου ασαφούς συνόλου μέσα από μια συνάρτηση. Έστω ff: UU VV μια κλασσική συνάρτηση από το σαφές σύνολο U στο σαφές σύνολο V. Υποθέτουμε ότι δίνεται ένα ασαφές σύνολο A στο U και θέλουμε να καθορίσουμε το ασαφές σύνολο B=f(A) στο V.Εάν η συνάρτηση ff είναι μονοτονική ("1-1") τότε η συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου Β είναι: μ B (y) = μ A [f 1 (y)], y VV (1) 9

10 Η αρχή της επέκτασης (2) Εάν η συνάρτηση ff δεν είναι μονοτονική τότε προκύπτει το πρόβλημα ότι για δύο διαφορετικές τιμές του πεδίου ορισμού της συνάρτησης υπάρχει μια τιμή στο πεδίο τιμών δηλαδή, και βέβαια xx 1 xx 2 ff(xx 1 ) = ff(xx 2 ) μμ ΑΑ (xx 1 ) μμ ΒΒ (xx 2 ) Στην περίπτωση αυτή στο δεύτερο μέλος της (1) θα υπάρχουν δυο διαφορετικές τιμές μμ ΑΑ (xx 1 = ff 1 (yy)) και μμ ΑΑ (xx 2 = ff 1 (yy)) 10

11 Η αρχή της επέκτασης (3) Για την επίλυση αυτού του προβλήματος προτάθηκε να λαμβάνεται η μεγαλύτερη από τις τιμές συμμετοχής. Επομένως τελική συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου Β δίνεται από τη σχέση (2). μμ BB (yy) = mmmmmm xx ff 1μμ BB (yy), yy VV όπου ff 1 (yy), το σύνολο των σημείων του x V. H (2) αποτελεί την αρχή της επέκτασης η οποία ουσιαστικά είναι ένας fuzzy calculator 11

12 Αριθμητική με ασαφής αριθμούς

13 Αριθμητική με ασαφής αριθμούς (1) Ένα ασαφές σύνολο Α στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ονομάζεται ασαφής αριθμός εάν το Α έχει α) την ιδιότητα της κανονικότητας, β) την ιδιότητα της κυρτότητας, γ) ένα φραγμένο σύνολο στήριξης και δ) όλα τα a-cuts κλειστά διαστήματα του R. Στην πράξη χρησιμοποιούνται οι τριγωνικοί και τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμοί των οποίων οι συναρτήσεις συμμετοχής ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες. Χρησιμοποιώντας την αρχή της επέκτασης μπορούμε να ορίσουμε τις τέσσερις βασικές πράξεις της αριθμητικής. Πρόσθεση: Η συνάρτηση συμμετοχής του αθροίσματος δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως ff(aa + BB) = μμ AA+BB (zz) = sup xx+yy=zz min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] 13

14 Αριθμητική με ασαφής αριθμούς (2) Αφαίρεση: Η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως ff(aa BB) = μμ AA BB (zz) = sup xx yy=zz min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] Πολλαπλασιασμός: Η συνάρτηση συμμετοχής του γινομένου δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως ff(aa BB) = μμ AA BB (zz) = sup xx yy=zz min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] Διαίρεση: Η συνάρτηση συμμετοχής της διαίρεσης δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως ff(aa/bb) = μμαα (zz) = sup xx/yy=zz min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] ΒΒ Άλλες προσεγγίσεις για να μελετηθούν οι βασικές πράξεις είναι τα a-cuts και η μέθοδος vertex. 14

15 Ασκήσεις στην αρχή της επέκτασης

16 Ασκήσεις στην αρχή της επέκτασης (1) 1. Έστω συνάρτηση f(x)=x 2 και ένα διακριτό ασαφές σύνολο Α=μικρό=1/1+0.8/2+0.6/3+0.1/4. Να βρεθεί η ασαφής εικόνα f(a) δηλαδή η συνάρτηση συμμετοχής της μ Β (y). 2. Έστω συνάρτηση f(x)=x 2-3 και ένα διακριτό ασαφές σύνολο Α=0.1/(- 2)+0.4/(-1)+0.8/0+0.9/1+0.3/2. Να βρεθεί η ασαφής εικόνα f(a) δηλαδή η συνάρτηση συμμετοχής της μ Β (y). 3. Θεωρούμε ένα κλασσικό σαφές αλγεβρικό σύστημα y=f(x) όπου y και x η έξοδος και η είσοδος του συστήματος και η συνάρτηση f περιγράφει το σύστημα. Να εφαρμοστεί η αρχή της επέκτασης (2) στις παρακάτω συναρτήσεις f με τις αντίστοιχες συναρτήσεις συμμετοχής: xx 2 Από την εξίσωση της έλλειψης με α=2 και b=1 προκύπτει η συνάρτηση: aa 2 + yy2 bb 2 = 1 y = f(x) = 1 xx2 με και 4 2 xx 2 0 yy 1 16

17 Ασκήσεις στην αρχή της επέκτασης (2) Ορίζουμε ένα ασαφές σύνολο Α πάνω στο x μμ ΑΑ (xx) = xx 2 Y=f(x)= xx και xx 1 εεάνν 1 xx 3 2 μμ ΑΑ (xx) = 5 xx εεάνν 3 xx 5 2 Y=f(x)=x 2 και xx 1 εεάνν 1 xx 4 μμ ΑΑ (xx) = 3 5 xx εεάνν 4 xx 5 17

18 Κλασικές σχέσεις

19 Κλασικές σχέσεις (1) Μια κλασική σχέση αναπαριστά την παρουσία την απουσία μιας σύνδεσης μεταξύ των στοιχείων δύο ή περισσοτέρων συνόλων. Τα ζευγάρια αυτά είναι διατεταγμένα με συγκεκριμένη διάταξη στην οποία το πρώτο στοιχείο του ζεύγους ανήκει στο πρώτο σύνολο και το δεύτερο στοιχείο στο δεύτερο σύνολο. Οι κλασικές σχέσεις ορίζονται πάνω στο καρτεσιανό γινόμενο (Cartesian product: Το όνομα προήλθε από τον φιλόσοφο-μαθηματικό Rene Descartes). Το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων Α και Β που αναπαρίσταται ως A x B και ορίζεται ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών(x,y) με και yy BB xx AA AA BB = {(xx, yy); xx AA κκκκκκ yy BB} 19

20 Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασσικών σαφών συνόλων

21 1 ο Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασσικών σαφών συνόλων (1) Έστω τα κλασσικά σύνολα A={1,2} και B={1,2,3} τότε το Καρτεσιανό γινόμενο είναι: AA BB = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} Ας θεωρήσουμε δύο μεταβλητές x και y των οποίων οι τιμές είναι πραγματικοί αριθμοί στα κλειστά διαστήματα [x 1,x 2 ] και [y 1, y 2 ] αντίστοιχα. Η γεωμετρική αναπαράσταση του καρτεσιανού γινομένου [x 1, x 2 ] [yy 1, yy 2 ] αποτελείται από όλα τα στοιχεία του ορθογώνιου παραλληλόγραμμου που φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. 21

22 1 ο Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασσικών σαφών συνόλων (2) Σχήμα 14. Γεωμετρική αναπαράσταση Καρτεσιανού γινομένου και κλασσικής σχέσης 22

23 1 ο Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασσικών σαφών συνόλων (3) Στο προηγούμενο σχήμα φαίνεται και ένα παράδειγμα δυαδικής κλασσικής σχέσης R η οποία εκφράζεται από την ισότητα των μεταβλητών και ισχύει RR [x1, x2] [yy 1, yy 2 ]. Η σχέση αυτή περιγράφει την έννοια «το x είναι ίσο με το y» 23

24 Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο

25 Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο (1) Η προηγούμενη έννοια με γλωσσικούς όρους θα είναι «το x είναι προσεγγιστικά ίσο με το y». Για τη σύλληψη αυτής της ευρύτερης έννοιας χρειαζόμαστε ένα ασαφές σύνολο δύο διαστάσεων. Η συνάρτηση συμμετοχής η οποία περιγράφει την έννοια αυτή είναι μια ασαφής σχέση. Ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης συμμετοχής είναι: xx yy μμ RR (xx, yy) = max (0,1 ) cc 25

26 Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο (2) όπου το c είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός ο οποίος επιλέγεται έτσι ώστε η ασαφής σχέση R να αναπαριστάνει κατά τον καλύτερο τρόπο την έννοια που περιγράφει. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσε το c να πάρει την τιμή 0.01 και να περιγράψουμε με αυτόν τον τρόπο την προσέγγιση της ισότητας x = y ±

27 Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο (3) Ορισμός ασαφούς σχέσης: Έστω U και V δύο υπερσύνολα. Τότε η ασαφής σχέση R ορίζεται ως: R = {(x, y); μμ RR (x, y); (x, y) U V} μ R (x, y) = μμ AA BB (xx, yy) = min (μμ AA (xx), μμ BB (yy)) 2 ο Παράδειγμα: Η ασαφοποίηση της κλασσικής σχέσης x 1 =2x 2 μπορεί να γίνει με την ασαφή σχέση R η οποία έχει συνάρτηση 1 συμμετοχής: μμ RR (xx 1, xx 2 ) = (xx 1 2xx 2 ) 3 Η παραπάνω ασαφής σχέση προσεγγίζει την σχέση x 1 =2x 2. Αυτό σημαίνει ότι εάν α δεδομένα ικανοποιούν την σχέση τότε βαθμός συμμετοχής που προκύπτει είναι 1. Δεδομένα που ικανοποιούν για παράδειγμα την x 1 =2.1x 2 θα έχουν βαθμό συμμετοχής μικρότερο από 1. 27

28 Αναπαράσταση ασαφούς σχέσης

29 Αναπαράσταση ασαφούς σχέσης (1) Γλωσσική περιγραφή (π.χ. «το x είναι όμοιο με το y») Λίστα διατεταγμένων ζευγών Γράφημα Πίνακας Σχεσιακός πίνακας 3 ο Παράδειγμα: Έστω τα υπερσύνολα αναφοράς U={1+2} και V={1+2+3} και δυο ασαφή σύνολα Α και Β αντίστοιχα, Α={1/1+0.9/2} και Β={0.5/1+0.7/2+1/3} Γλωσσική περιγραφή: «το x είναι λίγο μικρότερο από το y» 29

30 Αναπαράσταση ασαφούς σχέσης (2) AA BB = { 0.5 (1,1) (1,2) + 1 (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) } RR = AA BB = Σχήμα 15 Το γράφημα της ασαφούς σχέσης R. 30

31 Αναπαράσταση ασαφούς σχέσης (3) Επειδή οι ασαφείς σχέσεις είναι ασαφή σύνολα υψηλής διάστασης υπερσύνολα (Καρτεσιανά γινόμενα) όλες οι βασικές λειτουργίες των ασαφών συνόλων (ένωση, τομή, συμπλήρωμα, a-cuts κ.α.). 4 ο Παράδειγμα: Έστω R 1 = και R 2 = Τότε μμ RR1 RR 2 (xx, yy) = μμ RR1 (xx, yy) μμ RR2 (xx, yy) = Τότε μμ RR1 RR 2 (xx, yy) = μμ RR1 (xx, yy) μμ RR2 (xx, yy) = Συμπέρασμα: Η διαφορά μιας κλασικής και μιας ασαφούς σχέσης είναι ότι στη μεν κλασική σχέση ισχύει μ R (x,y)={0,1} ενώ στην ασαφή σχέση ισχύει μ R (x,y)=[0,1]. Ουσιαστικά η ασαφής σχέση είναι ένα ασαφές σύνολο δύο διαστάσεων. 31

32 Άσκηση

33 Άσκηση 1 Θεωρούμε δυο ανεξάρτητα ασαφή σύνολα Α και Β (Noninteractive fuzzy sets) με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής μ Α (x)=1-0.1x με x [0,+10] και μ Β (x)=0.2y με y [0,+5]. Να βρεθεί η σχέση R του Καρτεσιανού γινομένου A B. Λύση Για να εφαρμόσουμε τη διαδικασία εύρεσης της ασαφούς σχέσης R μετατρέπουμε τα συνεχή ασαφή σύνολα σε διακριτά χρησιμοποιώντας 5 τιμές: Α={0.9/1+0.7/3+0.5/5+0.3/7+0.1/9} Β={0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.8/4+1/5} RR = μμ AA BB (xx, yy) = min μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy) =

34 Προβολή και κυλινδρική επέκταση

35 Προβολή και κυλινδρική επέκταση (1) Η Προβολή (Projection) μιας δυαδικής ασαφούς σχέσης πάνω σε μια διάσταση είναι μια ασαφής σχέση με συνάρτηση συμμετοχής που ορίζεται από τη σχέση: Πρώτη προβολή πάνω στο x για όλα τα y: Δεύτερη προβολή πάνω στα υ για όλα τα x: Η συνολική προβολή είναι τελικά η μέγιστη τιμή της R. Η κυλινδρική επέκταση είναι η αντίθετη διαδικασία της προβολής. Η συνάρτηση συμμετοχής της νέας ασαφούς σχέσης ορίζεται από τον τύπο: μμ RR2 CC(xx, yy) = μμ RR2 (yy) ή μμ RR1 CC(xx, yy) = μμ RR1 (xx) μμ RR1 (xx) = max yy VV [μμ RR(xx, yy)] μμ RR2 (yy) = max xx UU [μμ RR(xx, yy)] 35

36 Προβολή και κυλινδρική επέκταση (2) Παράδειγμα RR = [ ] μ R 2 (y) μμ RR 1 (xx) [1] μ R T (x) μμ RR2 CC =

37 Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς Καρτεσιανούς χώρους

38 Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς Καρτεσιανούς χώρους (1) Έστω οι ασαφείς σχέσεις R 1 (U,V) και R 2 (V, W). Η σύνθεση (compositional) δηλώνεται ως RR 1 RR 2 και ορίζεται ως μια ασαφής σχέση στο UU WW με συνάρτηση συμμετοχής μμ RR1 RR 2 (xx, zz) = max yy VV min [ μμ RR 1 (xx, yy), μμ RR2 (yy, zz)] ή μμ RR1 RR 2 (xx, zz) = max yy VV [ μμ RR 1 (xx, yy) μμ RR2 (yy, zz)] 38

39 Αλγόριθμος υπολογισμού της σύνθεσης 39

40 Αλγόριθμος υπολογισμού της σύνθεσης (1) Max-Min σύνθεση: 1) Δημιουργώ τις ασαφείς σχέσεις R 1 και R 2 με τη μορφή πίνακα στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων αλλά 2) αντικαθιστούμε τον κάθε πολλαπλασιασμό με την min λειτουργία και 3) την πρόσθεση με τη max λειτουργία. Max-Product σύνθεση: 1) Δημιουργώ τις ασαφείς σχέσεις R 1 και R 2 με τη μορφή πίνακα στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων αλλά 2) αντικαθιστούμε τον κάθε πολλαπλασιασμό με τη λειτουργία του αλγεβρικού πολλαπλασιασμού και 3) την πρόσθεση με τη max λειτουργία. 40

41 Ασκήσεις

42 Ασκήσεις (1) 1. Θεωρούμε τρις δυαδικές ασαφείς σχέσεις που ορίζονται από τους παρακάτω πίνακες: PP 1 = , PP 2 = κκκκκκ PP 3 = Να υπολογιστούν με τους κανόνες σύνθεση max-min και max-product οι συνθέσεις PP 1 PP 2, PP 1 PP 2 PP 3 2. Έστω τα υπερσύνολα U={1+2}, V={1+2+3} και W={α+β+γ}. Θεωρούμε τρία ασαφή σύνολα: Α={1/1+0.9/2}, Β={0.5/1+0.7/2+1/3} και Γ={0.3/α+0.1/β+0.8/γ}. α) Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής της ασαφούς σχέσης με τους δύο τρόπους σύνθεσης max-min και max-product. β) Αν δοθεί ένα ασαφές σύνολο που ανήκει στο υπερσύνολο U με συνάρτηση συμμετοχής A 1 ={0.9/1+0.8/2} να βρεθεί το αντίστοιχο ασαφές σύνολο στο υπερσύνολο W. PP 1 PP 2 42

43 Ασκήσεις (2) 3. Χρησιμοποίησε τη σύνθεση max-min για να υπολογίσεις το ασαφές σύνολο B' όταν δοθεί το ασαφές μονοσύνολο Α' = 1/3 με τα δεδομένα της άσκησης 1. 43

44 Ασκήσεις (3) 4. Η συσχέτιση της έντασης των σεισμικών κυμάτων και της επιτάχυνσης του εδάφους είναι μη ακριβής. Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα υπερσύνολο με σεισμικές εντάσεις τις κλίμακας Mercali, I={5,6,7,8,9} και ένα υπερσύνολο των επιταχύνσεων σε g, Α={0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2}. Η ασαφής σχέση R στο Καρτεσιανό χώρο II AA είναι: (A) RR = (II)

45 Ασκήσεις (4) Εάν ένα ασαφές σύνολο "σεισμικής έντασης κοντά στο 7" ορίζεται ως Ι ={0.1/5+0.6/6+1/7+0.8/8+0.2/9} να καθοριστεί η συνάρτηση συμμετοχής A' των επιταχύνσεων χρησιμοποιώντας τη σύνθεση max-product. 45

46 Τέλος Ενότητας