ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ"

Πόντος Ζάρκος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (3) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ιονίου Πανεπιστημίου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Η νόρμα (norm) ή το μήκος ή το μέτρο ενός διανύσματος: Η νόρμα ενός διανύσματος στον χώρο R n συμβολίζεται και ορίζεται ως η μη- αρνητική τετραγωνική ρίζα του u= u 1, u 2,..., u n u u Για το διάνυσμα είναι: u = u u= u 1 2 u u n 2 u Δλδ η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συνιστωσών του Ένα διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο εάν u u =1

5 Για οποιοδήποτε μη- μηδενικό διάνυσμα του R n το διάνυσμα u= 1 u u= u u Είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με το. Η διαδικασία εύρεσης του u ονομάζεται κανονικοποίηση του u u

6 Διανύσματα στον R n Παραδείγματα 1) Να βρεθεί το μέτρο των u= 1,2,3, v= 4,5,6.Ορίστε τα u v, v u, u v, v u, 0 u,2 u 3 v 2) Ομοίως των 1 3 2, 4 6 5

7 Διανύσματα στον R n Παραδείγματα 1) Ποιο απο το παρακάτω είναι το μοναδιαίο διάνυσμα; u= 1, 3,4,2, v= 1 2, 1 6, 5 6, 1 6 2) Να γίνει η κανονικοποίηση των παραπάνω

8 Διανύσματα στον R n Θεώρημα Schwarz: για οποιαδήποτε διανύσματα στον χώρο R n, ισχύει Απόδειξη: Για κάθε πραγματικό αριθμό k ισχύει 2 Δλδ για καθε t at +bt + c 0. Τότε το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει 2 πραγμ. ρίζες, δλδ 0 Δ= β 2-4 αγ ή 4αγ β 2. Με αντικατάσταση προκύπτει η ανισότητα. u v u v u, v 0 t u v t u v = t 2 u u 2t u v v v = = u 2 t 2 2 t u v v 2. Αν u 2 =a, 2 u v =b, c= v 2

9 Διανύσματα στον R n Θεώρημα Minkowski: για οποιαδήποτε διανύσματα στον χώρο R n, ισχύει u v u v u, v u v 2 = u v u v = u u 2 u v v v u 2 2 u v v 2 = u v 2,δλδ u v u v

10 Απόσταση, Γωνία και Προβολή διανυσμάτων στον R n Για οποιαδήποτε διανύσματα στον χώρο R n, ισχύει ότι η απόστασή τους είναι u, v d u v = u v = u 1 v 1 2 u 2 v u n v n 2 Η γωνία θ μεταξύ τους ( προυπόθεση: μη- μηδενικά) ορίζεται ως cosθ= u v u v και από την ανισότητα Schwarz ισχύει: 1 cosθ= u v u v 1

11 Απόσταση, Γωνία και Προβολή διανυσμάτων στον R n u v=0 ο Και αν τότε θ=90. Να δειχτεί η σχέση του με τον ορισμό της ορθογωνικότητας. Η προβολή ενός διανύσματος πάνω σε ένα διάνυσμα συμβολίζεται με u u v proj u, v = v v 2 v

12 Διανύσματα στον R n Παραδείγματα 1) Να βρεθεί η απόσταση, η γωνία και η προβολή των u= 1,2,3, v= 4,5, , ) Ομοίως των

13 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Θα προσπαθήσουμε να δείξουμε την διαφορά μίας n- άδας U(ai) U(a 1,a 2,...,a n ) u= [ u 1, u 2,...,u n ] θεωρούμενης ως σημείο του R n, και μιας n- άδας θεωρούμενης ως ένας διάνυσμα ( γραμμή) από την αρχή των αξόνων και μέχρι το σημείο c=(u,u,...,u ). 1 2 n

14 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Σε ένα οποιοδήποτε ζέυγος σημέιων Α(ai) και B(bi) στον Rn αντιστοιχεί το προσανατολισμένο διάνυσμα από το Α στο Β, δλδ το AB Η προβολή u* του u στο v Το AB u=b-a=[b 1 -a 1,b 2 -a 2,...,b n -a n ] ταυτίζεται με το u γιατί έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια φορά και διέυθυνση ( δεξιό σχήμα).

15 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Ένα υπερεπίπεδο Η στον Rn είναι το σύνολο σημείων (x,x,...,x ) που 1 2 n ικανοποιεί μία γραμμική εξίσωση. όπου το υπερεπίπεδο a=[a 1, a 2,...,a n ] -> Στον R 2 είναι μια ευθεία -> Στον R 3 ένα επίπεδο. a 1 x 1 +a 2 x a n x n =b δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα. Άρα ένα

16 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Θα δείξουμε ότι για τον R 3 το είναι ορθογώνιο προς οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα όπου τα B(b ), C(c ) είναι σημεία του i i Η. a=[a 1, a 2,..., a n ] BC Αφού τα B, C ανήκουν στο Η θα ικανοποιούν τις εξισώσεις: a 1 b 1 +a 2 b a n b n =b και a c +a c +...+a c =b και το n n v= BC=C B=[c 1 b 1, c 2 b 2,...,c n b n ] Για να είναι ορθογώνιο το v προς το a θα πρέπει a v =0.

17 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n a v = a 1 c 1 b 1 a 2 c 2 b 2... a n c n b n = a 1 c 1 a 2 c 2... a n c n a 1 b 1 a 2 b 2... a n b 2 = b b= 0

18 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Η ευθεία L στον R n που διέρχεται από το σημείο Β(b 1,b 2,...,b n ) και έχει φορά και διεύθυνση του αποτελείται από τα σημεία Χ= (x 1,x 2,...,x n ) a=[a 1, a 2,...,a n ] x 1 = b 1 ta 1 X = ta B ή x 2 = b 1 ta 2... ή L t = b i a i t x n = b n ta n

19 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Παράδειγμα: Έστω Η το επίπεδο R 3 που αντιστοιχεί στην 2x-5y+7z=4. Να δειχτεί η ορθοκανονικότητα του Η προς το (2,-5,7). Λύση: Πρέπει να υπολογσίσουμε το διάνυσμα διεύθυνσης. Δύο λύσεις είναι Α(1,1,1) και Β(5,4,2). Άρα είναι v = AB=B A= 2 1, 5 1,7 1 =[4,3,1]. To u=[2, 5,7] για να είναι κανονικό προς το Η θα πρέπει u v = 0

20 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Παράδειγμα: Να βρείτε μια εξίσωση του R 4 που διέρχεται από το u=[4, 2,5,6] Β(1,3,-4,2) και είναι κανονικό προς το διάνυσμα. Λύση: Κάθε εξίσωση του χώρου θα δίδεται από την 4x -2x +5x +6x =k Εφόσον διέρχεται από το Β τότε (-4) + 6 2= -10, δλδ κk=-10

21 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Παράδειγμα: Να βρείτε μια εξίσωση του R 4 που διέρχεται από το u=[5,6, 7,8] Β(1,2,3,-4) και έχει τη διεύθυνση του ποια η τιμή για t=1; Λύση: Για την ευθεία θα ισχύει x1= 5t+1, x2= 6t+2, x3=-7t+3, x4=8t-4 L(t)=(x1= 5t+1, x2= 6t+2, x3=-7t+3, x4=8t-4). Για t=1 προκύπτει το C(6,8,-4,4), ενω για t=0; ή

22 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Έστω ένα διάστημα D του R και μία συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε F:D- >R n δλδ μια καμπύλη του R n. Άρα σε κάθε σημείο t D το αντίστοιχο σημείο στον R n είναι: F(t)=[F (t),f (t),...,f (t)], ενώ η παράγωγος της F( όταν ορίζεται) 1 2 n οδηγεί στο διάνυσμα: df t V t = dt = [ df 1 t dt, df 2 t dt,..., df n t dt ] το οποίο είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη. Η κανονικοποίηση του V(t) οδηγεί στο Τ t = V t V t

23 Προσανατολισμένα διανύσματα, Υπερεπίπεδα, Ευθείες, και καμπύλες στον R n Παράδειγμα : Έστω η καμπύλη F(t)=[sin(t),cos(t),t] στον R 3. Ποιό είναι το μοναδιαίο διάνυσμα; Λύση: Η παράγωγος είναι V(t)=dF(t)/dt=[cos(t),-sin(t),1]. Στη συνέχεια κανονικοποιούμε το V(t), δλδ χρειαζόμαστε το V(t) : V(t) 2 =(cosx) 2 +(-sinx) 2 +(1) 2 =2, και το μοναδιαίο και εφαπτόμενο στην καμπύλη διάνυσμα είναι το: T(t)=V(t)/ V(t) =[cos(t),-sin(t),1] * 2-1/2 =...

24 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Για τα διανύσματα του R 3 χρησιμοποιείται μια ειδική σημειογραφία, η ijk όπου i =[1,0,0] j=[0,1,0] k=[0,0,1] συμβολίζει το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα x συμβολίζει το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα y συμβολίζει το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα z δλδ οποιοδήπτοε διάνυσμα του R 3 μπορεί να εκφραστεί μοναδικά στην μορφή: u=[u 1, u 2, u 3 ]=u 1 i u 2 j u 3 k i, j, k Καθώς τα είναι ανά δύο ορθογώνια ισχύουν τα: i i = j j= k k=1 i j= j k = k i =0

25 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Ενώ, για τις πράξεις των διανυσμάτων μπορούμε να γράψουμε για τα: u=u 1 i u 2 j u 3 k, v =v 1 i v 2 j v 3 k u v = u 1 v 1 i u 2 v 2 j u 3 v 3 k c v = c v 1 i cv 2 j cv 3 k c R u v = u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 Επίσης και: u = u u= u 1 2 u 2 2 u 3 2

26 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Παράδειγμα: Για τα παρακάτω διανύσματα u=3 i 5 j 2 k, v =4 i 8 j 7 k να ορίσετε τα i u v,ii 3 u 2 v,iii u v,iv u v i) προσθέτουμε τις αντίστοιχες συνιστώσες. ii) πολ/ με με τους αριθμούς και ύστερα όπως (i) iii) πρώτα πολ/ με τις αντίστοιχες συνιστώσες και έπειτα τις προσθέτουμε. iv) sqrt{ (-2) 2 } και sqrt{4 2 +(-8) }

27 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Εξωτερικό γινόμενο Υπάρχει μια πράξη που ορίζεται για διανύσματα του R n. Η πραξη αυτή ονομάζεται εξωτερικό γινόμενο και συμβολίζεται ως u v u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 i u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 j u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 k = u 2 v 3 u 3 v 2 i u 1 v 3 u 3 v 1 j u 1 v 2 u 2 v 1 k και υπολογίζεται 1) Καλύπτουμε την πρώτη στήλη και υπολογίζουμε την ορίζουσα. 2) Μεταβάλουμε το πρόσημο σε μειον (-) στήλη και υπολογίζουμε την ορίζουσα. και καλύπτουμε την δεύτερη 3) Καλύπτουμε την τρίτη στήλη και υπολογίζουμε την ορίζουσα. Το αποτέλεσμα είναι αριθμός ή διάνυσμα; Ονομάζεται διανυσματικό γινόμενο των u, v

28 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk The Cross Product Between Two Vectors Definition Let u = ai + bj + ck and v = di + ej + fk be vectors then we define the cross product v x w by the determinant of the matrix: We can compute this determinant as:

29 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Τα εξωτερικά γινόμενα των διανυσμάτων είναι: i, j, k i j= k, j i = k, j k= i, k j= i i k= j, j i = j Θεώρημα: Έστω τα στον R 3 α) Το διάνυσμα είναι ορθογώνιο τόσο ως προς το όσο και ως προς το v u, v, w u v β) Η απόλυτη τιμή του τριπλού γινομένου αναπαριστά τον όγκο παρελληλεπιπέδου. Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι το u v = u v sin u v w u

30 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Το εξωτερικό γινόμενο ισούται με το εμβαδό του παραλληλογράμμου Έστω δύο διανύσματα X, y και θ η γωνία που σχηματίζουν. Η κάθετος από το y στο x ορίζει το ύψος h και μάλιστα h=y sin θ. Το εμβαδό είναι Ε= βυ= X h = x y sin θ= X x y.

31 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Το τριπλό γινόμενο ισούται με τον όγκο του παραλληλεπιπέδου Αν προβάλουμε το z πάνω στο (d=x x y) ( δλδ στο κάθετο διάνυσμα που προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο των X και y, τότε αν φ η γωνία που σχηματίζει το z με το d, θα έιναι z 1 =z cos φ. Αυτό το z1 θα είναι ταυτόχρονα και το ύψος (h) του παρελληλεπίδου ( δλδ η κάθετος από την κορυφη z στην βάση που ορίζεται από τα X, y. Ο όγκος είναι V=Eh= X x y h = X x y z cos φ αυτό αποτελεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων (X x y) και του z, δλδ V= (X x y) z

32 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Geometry and the Cross Product Parallelepipeds To find the volume of the parallelepiped spanned by three vectors u, v, and w, we find the triple product: Volume = u. (v x w) This can be found by computing the determinate of the three vectors

33 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Geometry and the Cross Product Parallelepipeds Example Find the volume of the parallelepiped spanned by the vectors u = <1,0,2> v = <0,2,3> w = <0,1,3>

34 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Μιγαδικοί αριθμοί: Το σύνολο των μιγαδικών συμβολιζεται με C. Τυπικά ένας μιγαδικός είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος (a,b) πραγματικών αριθμών., οπου η ισότητα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ορίζονται ως: (a.b) = (c,d) αν και μόνο αν a=c και b=d (a.b) + (c,d) = (a+c.b+d) (a.b) (c,d) = (ac-bd,ad+bc)

=ii=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 ή i=sqrt(-1) Κατά συνέπεια κάθε μιγαδικός

35 Διανύσματα στον R 3, και η σημειογραφία ijk Ο μιγαδικός αριθμός i συμβολίζεται με (0,1) και έχει την ιδιότητα i 2 =ii=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 ή i=sqrt(-1) Κατά συνέπεια κάθε μιγαδικός z=(a,b) z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,b)(0,1)=a+bi μπορεί να γραφτεί ως με Rez a, Imz b

36 Τέλος Ενότητας

Σχετικά έγγραφα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους Rn, Cn, διανύσματα στο χώρο (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανύσματα στους, C, διανύσματα στο χώρο (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης