AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Transcript

1 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΡΥΠΑΣΜΕΝΟΥ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΤΗ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΟΥΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΑΝΤΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΣΥΝΔΕΣΗΣ ΤΩΝ ΓΕΩΤΡΗΣΕΩΝ ΣΤΑΜΠΟΥΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ Διπλ. Μηχανικός Περιβάλλοντος Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2016

2 Περίληψη Τα υπόγεια ύδατα αποτελούν τον κύριο υδατικό πόρο του πλανήτη. Η υποβάθμιση όμως της ποιότητάς τους είναι συνεχής, ενώ ταυτόχρονα οι ανάγκες για καθαρό νερό συνεχώς αυξάνονται. Συνεπώς, καθίσταται αναγκαία η ανάπτυξη μεθόδων που διασφαλίζουν τη βέλτιστη διαχείρισή του. Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η βέλτιστη διαχείριση ενός ρυπασμένου υδροφορέα με κριτήρια τη μεγιστοποίηση της ασφαλούς παροχής άντλησης και την ελαχιστοποίηση του κόστους δικτύου σύνδεσης των γεωτρήσεων με μία κεντρική δεξαμενή. Η βελτιστοποίηση πραγματοποιήθηκε με τη χρήση των Γενετικών Αλγορίθμων, ενώ ο υπολογιστικός κώδικας αναπτύχθηκε στη γλώσσα προγραμματισμού Quick Basic. Σε μία συγκεκριμένη περιοχή μελέτης (ήταν γνωστά δηλαδή τα χαρακτηριστικά του υδροφορέα όπως η υδραυλική αγωγιμότητα, το πορώδες και το πάχος του), με δεδομένες τις θέσεις και τις παροχές των δύο πηγαδιών φόρτισης (μέσω των οποίων εισάγονται στον υδροφορέα οι ρύποι), τη θέση ενός πηγαδιού άντλησης καθώς και τη μέγιστη δυνατή παροχή άντλησης από κάθε πηγάδι αναζητήθηκε η βέλτιστη τοποθέτηση δύο νέων πηγαδιών άντλησης έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η συνολική παροχή άντλησης καθαρού νερού από το υπάρχον πηγάδι και τα δύο πρόσθετα πηγάδια. Η διαδικασία επαναλήφθηκε για διάφορες τιμές της μέγιστης δυνατής παροχής άντλησης από κάθε πηγάδι. Έχοντας προσδιορίσει τη μέγιστη παροχή άντλησης καθαρού νερού (για το πεδίο μελέτης), αναζητήθηκε στη συνέχεια η τοποθέτηση των δύο νέων πηγαδιών που θα εξασφάλιζε αυτή την παροχή με το μικρότερο κόστος δικτύου σύνδεσης. Στη συνέχεια, η διαδικασία επαναλήφθηκε για διάφορες τιμές της συνολικώς απαιτούμενης παροχής άντλησης καθαρού νερού. Τέλος, αξιολογήθηκαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν ενώ έγινε και προσπάθεια καθορισμού της σχέσης που συνδέει τα δύο κριτήρια βελτιστοποίησης. ii

3 Abstract Groundwater is the main source of water in our planet. Currently, at a global scale, demand for clean water is increasing, while availability of water resources is decreasing, because of degradation of the quality of water reserves. Therefore, development of methods, which are going to ensure the best way to manage groundwater, is of paramount importance. The purpose of this Master Thesis is optimal management of a contaminated aquifer, based on two criteria. The first one is the maximization of the total safe pumping flow rate and the second is the minimization of the cost of the pipe network, which connects the production wells with a central water tank. The method of Genetic Algorithms has been used as optimization tool, while the code was developed in Quick Basic. The specific problems that have been studied are the following: In a given study area (the characteristics of the aquifer like hydraulic conductivity, porosity and thickness are known) there are two wells injecting polluted water at known flow rates. The coordinates of one production well is given, too. In the first problem, we seek the location of two new production wells, their flow rate and the flow rate of the existing pumping well that maximize total flow rate of clean water. Maximum possible flow rate of each production well is used as parameter, ranging from 300 L/s to 50 L/s. In the second problem, the optimal placement of the two new production wells was sought, in order to minimize the cost of the pipe network, which connects all three production wells with the central water tank. The maximum total flow rate was used as parameter, ranging from 50 l/s to 400 l/s (based on the results of the first problem regarding maximum safe total flow rate). Pumping clean water only, served as a constraint in the second problem, too. Finally, the results were evaluated and an attempt was made in order to determine the relationship between the two optimization criteria. iii

4 Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών "Προστασία Περιβάλλοντος και Βιώσιμη Ανάπτυξη" του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κατά το ακαδημαϊκό έτος Η διπλωματική εργασία αυτή αφορά τη βελτιστοποίηση της διαχείρισης μολυσμένου υδροφορέα με κριτήρια τόσο τη μεγιστοποίηση της ασφαλούς παροχής άντλησης όσο και την ελαχιστοποίηση του κόστους δικτύου σύνδεσης των γεωτρήσεων με μία κεντρική δεξαμενή γνωστών συντεταγμένων. Η βελτιστοποίηση πραγματοποιήθηκε με τη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων. Η ανάπτυξη του κώδικα έγινε στο υπολογιστικό περιβάλλον της Quick Basic. Την επίβλεψη της παρούσας διπλωματικής εργασίας ανέλαβε ο καθηγητής του Τομέα Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Α.Π.Θ. κ. Κωνσταντίνος Κατσιφαράκης. Την εξεταστική επιτροπή αποτελούν ο καθηγητής Κωνσταντίνος Κατσιφαράκης, ο Κοσμήτορας και καθηγητής του Τομέα Περιβαλλοντικής Υδραυλικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής της Σχολής Μηχανικών Περιβάλλοντος του Πολυτεχνείου Κρήτης Γεώργιος Καρατζάς και ο καθηγητής του Τομέα Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών κ. Περικλής Λατινόπουλος. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Κατσιφαράκη όχι μόνο για τη συνεργασία αλλά κυρίως για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε αναθέτοντάς μου τη συγκεκριμένη εργασία. Ιδιαίτερα θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την άμεση και ταχύτατη ανταπόκριση στα s μου ακόμα και ημέρες αργίας. Επίσης, ευχαριστώ τον κ. Λατινόπουλο αλλά και τον καθηγητή μου από το Πολυτεχνείο Κρήτης κ. Καρατζά που δέχτηκε να συμμετάσχει στην εξεταστική επιτροπή και του οποίου η συμβολή στη διάρκεια των προπτυχιακών μου σπουδών ήταν καθοριστική. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια και τους φίλους μου τόσο για την υπομονή που επέδειξαν καθ' όλη τη διάρκεια των σπουδών μου, όσο και για την ηθική υποστήριξη που μου παρείχαν. iv

5 Περιεχόμενα Περίληψη... ii Abstract... iii Πρόλογος... iv Κεφάλαιο Εισαγωγή... 1 Κεφάλαιο Υπόγεια ύδατα και ρύπανση Εισαγωγή Η κίνηση του υπόγειου νερού Το φαινόμενο της ρύπανσης των υπογείων υδάτων Μοντέλα προσομοίωσης σε πορώδεις υδροφορείς... 7 Κεφάλαιο Γενετικοί Αλγόριθμοι Εισαγωγή Ανάπτυξη της μεθόδου Στάδια ανάπτυξης Γενετικού Αλγορίθμου Γενετικές διαδικασίες Κριτήρια τερματισμού Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα Γενετικών Αλγορίθμων Κεφάλαιο Εφαρμογή στη διαχείριση μολυσμένου υδροφορέα Περιγραφή του προβλήματος Εξάπλωση ρύπου και κώδικας Kinetic.bas Ανάλυση κώδικα μεγιστοποίησης ασφαλούς παροχής άντλησης Ανάλυση κώδικα ελαχιστοποίησης κόστους δικτύου σύνδεσης των γεωτρήσεων με κεντρική δεξαμενή Κεφάλαιο Αποτελέσματα εφαρμογών v

6 5.1 Κριτήριο μεγιστοποίησης της ασφαλούς παροχής άντλησης Κριτήριο ελαχιστοποίησης του κόστους δικτύου σύνδεσης των γεωτρήσεων με κεντρική δεξαμενή Συσχέτιση κριτηρίων μεγιστοποίησης ασφαλούς παροχής άντλησης και ελαχιστοποίησης κόστους δικτύου σύνδεσης Κεφάλαιο Συμπεράσματα Βιβλιογραφία Παράρτημα Α Κώδικες Α.1 Kinetic.bas Α.2 Natt.bas Α.3 MINCOSTN.bas Παράρτημα Β Αποτελέσματα Β.1 Κριτήριο μεγιστοποίησης της ασφαλούς παροχής άντλησης Β.2 Κριτήριο ελαχιστοποίησης του κόστους δικτύου σύνδεσης των γεωτρήσεων vi

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να εξετάσει τη βέλτιστη διαχείριση ενός μολυσμένου υδροφορέα βάσει δύο κριτηρίων. Το πρώτο εξ αυτών είναι η μεγιστοποίηση της ασφαλούς παροχής άντλησης, ενώ το δεύτερο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους δικτύου σύνδεσης των γεωτρήσεων με μία κεντρική δεξαμενή. Ζητούμενο, στις δύο περιπτώσεις, είναι η βέλτιστη χωροθέτηση δύο νέων πηγαδιών άντλησης με παροχή που υποδεικνύει ο κώδικας, καθώς και η παροχή του υπάρχοντος πηγαδιού άντλησης. Η μέθοδος βελτιστοποίησης που εφαρμόστηκε είναι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι, οι οποίοι ανήκουν στην επιστήμη των υπολογιστών, ενώ ο κώδικας που χρησιμοποιήθηκε προετοιμάστηκε στο περιβάλλον της Quick Basic. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή στη διπλωματική εργασία, ενώ παρατίθεται και η διάρθρωση που ακολουθήθηκε στη συνέχεια της διπλωματικής. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρθηκαν κάποια στοιχεία που αφορούν τη ρύπανση των υπογείων υδάτων (κατηγορίες ρύπων και πηγών ρύπανσης, όπως και τρόποι μετάδοσης της ρύπανσης). Στο τρίτο κεφάλαιο έγινε αναφορά στη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων, ενώ παρουσιάστηκαν και οι γενετικές διαδικασίες που εφαρμόζονται κατά τη διαδικασία ενός προβλήματος βελτιστοποίησης. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάστηκε ο κώδικας που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Επιπλέον, ο κώδικας χωρίστηκε σε επιμέρους τμήματα, κάθε τμήμα του οποίου συνοδευόταν από τις αναγκαίες επεξηγήσεις για την καλύτερη κατανόηση του τρόπου κατάστρωσής του. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά τα αποτελέσματα που προέκυψαν, τόσο κατά τη διαδικασία επίλυσης με βάση το κριτήριο της μεγιστοποίησης της συνολικής παροχής όσο και αυτό της ελαχιστοποίησης του κόστους δικτύου. Δημιουργήθηκαν τα κατάλληλα σχήματα, ενώ έγινε και σύγκριση των αποτελεσμάτων για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Τα παραρτήματα Α και Β λειτουργούν επικουρικά στην παρούσα διπλωματική, καθώς στο πρώτο από αυτά παρατίθενται οι κώδικες που χρησιμοποιήθηκαν, ενώ στο παράρτημα Β παρουσιάζονται αναλυτικά τα αποτελέσματα που προέκυψαν. 1

8 Κεφάλαιο 2 Υπόγεια ύδατα και ρύπανση 2.1 Εισαγωγή Η αξία του νερού είναι ανεκτίμητη, καθώς όχι μόνο διαδραματίζει πρωταγωνιστικό ρόλο στον αστικό, το βιομηχανικό και το γεωργικό τομέα αλλά κυρίως επειδή αποτελεί πηγή ζωής για τον άνθρωπο και το ίδιο το περιβάλλον. Χωρίς αυτό θα ήταν αδύνατη η διατήρησης της ζωής στον πλανήτη μας. Παρότι συχνά λανθασμένα θεωρείται ότι η ποσότητα του νερού στη Γη είναι απεριόριστη, στην πραγματικότητα μόνο ένα μικρό ποσοστό του νερού αυτού είναι γλυκό (έχει προσδιοριστεί ότι το ποσοστό του γλυκού νερού αντιστοιχεί στο της συνολικής ποσότητας νερού του πλανήτη). Το υπόλοιπο αντιστοιχεί στο αλμυρό νερό και άρα η χρήση του προϋποθέτει αφαλάτωση. Από το του γλυκού νερού, το εμφανίζεται με τη μορφή του χιονιού ή πάγου, ένα αντιστοιχεί στο υπόγειο νερό που ένα μέρος όμως του οποίου είναι αξιοποιήσιμο (αυτό που εμφανίζεται σε βάθη μικρότερα των ) ενώ τέλος το υπόλοιπο εκπροσωπεί το νερό των λιμνών, των ποταμών και των υδρατμών της ατμόσφαιρας (Λατινόπουλος και Θεοδοσίου, 2007). Ο Γ. Καρατζάς (Καρατζάς, 2000) με τη φράση που ακολουθεί συνόψισε με επιτυχία τόσο τη σημαντικότητα των υπογείων υδάτων ως πόρου όσο και το ποιες ενέργειες απαιτούνται για να επιτευχθεί η προστασία τους και η χρήση τους με βιώσιμο τρόπο. "Ο ρόλος των υπογείων υδάτων είναι πολύ σημαντικός και θα πρέπει η διαχείρισή τους να γίνεται ορθολογικά τόσο ποσοτικά όσο και ποιοτικά. Οι προϋποθέσεις για την επίτευξη αυτών είναι: 1. Γνώση των νόμων που διέπουν την κίνηση των υπογείων υδάτων. 2. Γνώση των μηχανισμών εμπλουτισμού των υπογείων υδάτων. 3. Γνώση των μηχανισμών διείσδυσης και εξάπλωσης ρύπων εντός των υπογείων υδάτων". 2.2 Η κίνηση του υπόγειου νερού Όπως προαναφέρθηκε, η γνώση των μηχανισμών που διέπουν την κίνηση των υπογείων υδάτων είναι βαρύνουσας σημασίας, καθώς αυτά αποτελούν το μέσο διαμέσου του οποίου εξαπλώνονται οι ρύποι μετά από ένα συμβάν ρύπανσης. Γι' αυτό το λόγο είναι αναγκαία η μελέτη του τρόπου κίνησής του. 2

9 Το υπόγειο νερό είναι αποτέλεσμα της κατακόρυφης διήθησης του επιφανειακού ύδατος και αποθηκεύεται στους γεωλογικούς σχηματισμούς του υπεδάφους (σημαντική η έννοια της αποθηκευτικότητας και του πορώδους). Η κίνηση αυτή του υπογείου νερού γίνεται μέσα στους υδροφορείς (γεωλογικοί σχηματισμοί εντός των οποίων υπάρχουν κενά). Αντιθέτως, όσο μικρότερο είναι το πορώδες του εδάφους τόσο δυσκολότερη καθίσταται η κίνηση του νερού. Στρώματα τα οποία δε διαθέτουν τη δυνατότητα μεταφοράς νερού καλούνται αδιαπέρατα. Γενικά, πρέπει να σημειωθεί ότι σε αντίθεση με τα επιφανειακά ύδατα, τα υπόγεια ύδατα παρουσιάζουν μικρές ταχύτητες κίνησης. Η ταχύτητα αυτή δεν ξεπερνά τα, ενώ σε ακραίες περιπτώσεις μπορεί να είναι και μικρότερη του. Οι παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η κίνηση του υπόγειου νερού είναι (Λατινόπουλος και Θεοδοσίου 2007): Ο ρυθμός με τον οποίο γίνεται η επιφανειακή διήθηση. Η διαπερατότητα του εδάφους. Η μεταφορικότητα του υδροφορέα. Ένα ακόμη χαρακτηριστικό το οποίο επηρεάζει την κίνηση των υπογείων υδάτων είναι το είδος της ροής του ρευστού. Ανάλογα με το είδος της ροής, οι υδροφορείς διακρίνονται σε φρεάτιους (ή αλλιώς υδροφορείς με ελεύθερη επιφάνεια) και σε περιορισμένους (υδροφορείς υπό πίεση). Οι φρεάτιοι υδροφορείς έχουν ως κάτω άκρο τους ένα αδιαπέρατο στρώμα, ενώ ως ανώτατο όριο λειτουργεί η ελεύθερη επιφάνεια του υπόγειου νερού (εδώ η πίεση ισούται με την ατμοσφαιρική. Από την άλλη, οι περιορισμένοι υδροφορείς έχουν ως άνω και ως κάτω όριο κάποιο αδιαπέρατο στρώμα. 2.3 Το φαινόμενο της ρύπανσης των υπογείων υδάτων Ένα από τα σημαντικότερα περιβαλλοντικά προβλήματα είναι αυτό της ρύπανσης των υπογείων υδάτων. Η αναγωγή αυτού του προβλήματος σε ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα που καλούνται να αντιμετωπίσουν οι επιστήμονες, οφείλεται στην αξία της διατήρησης της ποιότητας των υπογείων υδάτων, καθώς αυτοί αποτελούν την κυριότερη πηγή πόσιμου νερού για την ικανοποίηση των αναγκών του ανθρώπου. Μερικοί από τους παράγοντες που οδηγούν στη συνεχώς αυξανόμενη ρύπανση των υπογείων υδάτων είναι η διαρκής αστική ανάπτυξη, η εκτεταμένη χρήση παρασιτοκτόνων και φυτοφαρμάκων καθώς και η ραγδαία αύξηση του πληθυσμού. Η πορεία των ρύπων στο υπέδαφος είναι ιδιαίτερα περίπλοκη και εξαρτάται από μία πληθώρα παραγόντων. Οι κύριοι παράγοντες που επηρεάζουν την πορεία αυτή είναι οι φυσικοχημικές ιδιότητες (πυκνότητα, θερμοκρασία, ιξώδες, κ.α.) του ρύπου καθώς και τα υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά (πορώδες, υδραυλική αγωγιμότητα, υδραυλική κλίση, κ.ά.) 3

10 της περιοχής στην οποία παρατηρείται το συμβάν της ρύπανσης. Ανάλογα με τους παράγοντες αυτούς παρατηρούνται κυρίως δύο μορφές ρύπανσης (Βουδούρης, 2009): Όταν παρατηρείται απόρριψη ρυπαντών στα επιφανειακά νερά (όπως π.χ. σε λίμνες και ποτάμια) ο κύριος μηχανισμός εξάπλωσης της ρύπανσης είναι η διήθησή τους στο υπέδαφος. Αντιθέτως, όταν αποθηκεύονται σε μικρά βάθη ή/και απορρίπτονται επιφανειακά, τότε ο κύριος μηχανισμός είναι της κατείσδυσης. Παρόλα αυτά, το αν θα υπερισχύσουν οι ιδιότητες του ρύπου για τη μεταφορά του ή τα υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά της περιοχής εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την αντιδραστικότητα του ρύπου. Ένας ρύπος ο οποίος είναι συντηρητικός (δεν αντιδρά δηλαδή εύκολα με στοιχεία του περιβάλλοντός του) επηρεάζεται ως επί το πλείστον από τα υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά της περιοχής, ενώ μεταφέρεται εξαιτίας των μηχανισμών της συναγωγής, της διασποράς και της μοριακής διάχυσης. Αντιθέτως, σε ένα μη συντηρητικό ρύπο πρωταγωνιστικό ρόλο για την τύχη του διαδραματίζουν οι φυσικοχημικές και βιολογικές του ιδιότητες (ο ρύπος δηλαδή μπορεί να αντιδρά χημικά, να προσροφάται, ακόμα και να ανταλλάσσει ιόντα με το περιβάλλον του) (Γιδαράκος και Αϊβαλιώτη, 2005) Κατηγοριοποίηση ρύπων Όπως είναι αναμενόμενο, οι ρύποι δεν παρουσιάζουν κοινή συμπεριφορά και ανάλογες ιδιότητες. Γι αυτό το λόγο κρίνεται αναγκαία η κατηγοριοποίηση των ρύπων σε επιμέρους κατηγορίες. Οι τρεις κυριότερες κατηγορίες ρύπων είναι (Βουδούρης, 2009): οι οργανικοί ρύποι, οι οποίοι είναι συνήθως αποτέλεσμα βιομηχανικών διεργασιών οι ανόργανοι ρύποι, όπως αυτοί που συναντώνται στα στραγγίσματα των Χ.Υ.Τ.Α. και οι μικροοργανισμοί, οι οποίοι συνήθως διαφεύγουν από ελαττωματικής κατασκευής σηπτικούς βόθρους. Αναλυτικότερα στους ρύπους περιλαμβάνονται: τα βαρέα μέταλλα (π.χ. ο υδράργυρος και το κάδμιο) τα τοξικά στοιχεία και οι ενώσεις τους (όπως το αρσενικό και το σελίνιο) οι ανόργανες ενώσεις (όπως τα οξείδια του αζώτου) οι οργανικές ενώσεις (όπως οι χλωριωμένοι υδρογονάνθρακες, τα προϊόντα πετρελαίου, τα παρασιτοκτόνα κ.α.) οι ραδιενεργές ουσίες (όπως το ουράνιο 238 κ.α.) και οι παθογόνοι μικροοργανισμοί (βακτήρια, ιοί, μύκητες). Πέρα όμως από τα παραπάνω, η ποιοτική υποβάθμιση των υπόγειων υδάτων μπορεί να είναι αποτέλεσμα του φαινομένου της υφαλμύρισης, όπως επίσης και της θερμικής αλλοίωσης, καθώς μεγάλες ποσότητες υδάτων χρησιμοποιούνται καθημερινά στον τομέα της βιομηχανίας για την ψύξη μηχανών. 4

11 2.3.2 Συνήθεις πηγές ρύπανσης Σε έκθεση του Γραφείου Αξιολόγησης της Τεχνολογίας του Κογκρέσου των Ηνωμένων Πολιτειών (Office of Technology Assessment, OTA) το 1984, παρουσιάστηκε μια λίστα τριάντα διαφορετικών πηγών ρύπανσης των υπόγειων υδάτων. Αν και η μεγαλύτερη προσοχή δόθηκε στην απόρριψη αποβλήτων ως πηγή ρύπανσης, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός πηγών οι οποίες δε σχετίζονται με στερεά ή υγρά απόβλητα. Η έκθεση του OTA διαχωρίζει τις πηγές σε έξι κατηγορίες που αναφέρονται στη συνέχεια (Fetter, 1999): 1. Κατηγορία 1: Πηγές που σχεδιάστηκαν με σκοπό την απόρριψη ουσιών, με χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτής της κατηγορίας τις σηπτικές δεξαμενές και βόθρους, τα πηγάδια φόρτισης και χρήσεις γαιών. 2. Κατηγορία 2: Πηγές που σχεδιάστηκαν για την αποθήκευση, επεξεργασία ή/και διάθεση ουσιών. Μερικά παραδείγματα αυτής της κατηγορίας είναι οι χώροι υγειονομικής ταφής, οι ανοιχτοί χώροι εναπόθεσης αποβλήτων, οι επιφάνειες κατακράτησης όπως οι λάκκοι, οι λίμνες και οι λιμνοθάλασσες, τα απόβλητα ορυχείων, τα αποθέματα υλικών, τα κοιμητήρια, οι ενταφιασμοί ζώων, οι υπέργειες δεξαμενές αποθήκευσης, οι υπόγειες δεξαμενές αποθήκευσης, τα κοντέινερ, οι ανοιχτές περιοχές αποτέφρωσης και καύσης και οι χώροι απόθεσης ραδιενεργών αποβλήτων. 3. Κατηγορία 3: Πηγές που σχεδιάστηκαν για την αποθήκευση ουσιών κατά τη μεταφορά τους όπως παραδείγματος χάριν: οι αγωγοί και τα υλικά κατά τη μεταφορά τους. 4. Κατηγορία 4: Πηγές απόρριψης ουσιών, σαν συνέπεια άλλων σχεδιασμένωνπρογραμματισμένων δραστηριοτήτων. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν τα εξής: η άρδευση, η χρήση εντομοκτόνων και φυτοφαρμάκων, τα απόβλητα εκτροφείων, η χρήση αλατιού ως αντιπαγωτικό σε αυτοκινητόδρομους, τα οικιακής χρήση μαλακτικά, οι αστικές απορροές, η διήθηση των ατμοσφαιρικών ρύπων και οι αποστραγγίσεις ορυχείων. 5. Κατηγορία 5: Οι πηγές που λειτουργούν ως δίοδοι για την είσοδο του ρυπασμένου νερού εντός των υδροφορέων όπως τα φρέατα παραγωγής, τα πηγάδια παρακολούθησης και οι ερευνητικές γεωτρήσεις, καθώς και τα απόβλητα εκσκαφών και κατασκευών. 6. Κατηγορία 6: Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν οι φυσικές πηγές των οποίων η απόρριψη έχει δημιουργηθεί ή επιδεινωθεί από τις ανθρώπινες δραστηριότητες όπως η υφαλμύριση, η φυσική έκπλυση και οι αλληλεπιδράσεις του υπόγειου και του επιφανειακού νερού. Πέρα όμως από την παραπάνω κατηγοριοποίηση οι πηγές ρύπανσης διακρίνονται σε: συνεχούς έκχυσης 5

12 στιγμιαίας ή επαναλαμβανόμενης έκχυσης (με περιοδικό ή όχι τρόπο) Η διάκριση αυτή εξαρτάται από το ρυθμό με τον οποίο γίνεται η έκχυση του ρύπου (Γιδαράκος και Αϊβαλιώτη, 2005). Τέλος, οι πηγές ρύπανσης ανάλογα με τη γεωμετρία τους, διακρίνονται στις εξής κατηγορίες (Γιδαράκος και Αϊβαλιώτη, 2005): "σημειακές" πηγές (π.χ. Χ.Υ.Τ.Α. και υπόγειες δεξαμενές) γραμμικές πηγές (π.χ. δρόμοι και αγωγοί μεταφοράς λυμάτων) διάχυτες πηγές (χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της κατηγορίας είναι οι πηγές νιτρορύπανσης) Μηχανισμοί μεταφοράς ρύπων Για την καλύτερη κατανόηση και άρα προσομοίωση της κίνησης ενός φαινομένου ρύπανσης, πέρα από τη γνώση του μαθηματικού προβλήματος που διέπει την κίνηση των υπογείων υδάτων, είναι αναγκαία και η γνώση των μηχανισμών βάσει των οποίων συντελείται η κίνηση των ρύπων στους υδροφορείς. Τα μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη ενός φαινομένου ρύπανσης έχουν ως στόχο τους την χωρική προσομοίωση της εξάπλωσης του υπό μελέτη ρύπου. Απαραίτητη επίσης είναι η γνώση τόσο του χρόνου που απαιτείται για να καταφθάσει ο ρύπος σε συγκεκριμένες θέσεις όπως και οι τιμές των συγκεντρώσεων του ρύπου σε δεδομένες χρονικές στιγμές. Οι παράγοντες και οι διεργασίες που επηρεάζουν τη μετακίνηση και άρα την εξάπλωση ενός ρύπου είναι πολυποίκιλοι. Μεταξύ αυτών συγκαταλέγονται οι υδρογεωλογικές συνθήκες της περιοχής και οι φυσικοχημικές αντιδράσεις μεταξύ των ρύπων και του περιβάλλοντος. Κατά τη μεταφορά του ρύπου παρατηρείται μία μείωση της συγκέντρωσής του. Η μείωση αυτή είναι πιθανόν να οφείλεται στη δράση ενός ή και περισσότερων μηχανισμών. Τέτοιοι μηχανισμοί είναι η διασπορά, η προσρόφηση, η μικροβιακή αποδόμηση, διάφορες χημικές αντιδράσεις κ.ά. Ο πρώτος και σημαντικότερος μηχανισμός με τον οποίο επιτυγχάνεται η μεταφορά ενός ρύπου είναι αυτός της συναγωγής. Ο μηχανισμός αυτός περιγράφει την κίνηση του ρύπου η οποία οφείλεται αποκλειστικά στην κίνηση του νερού η οποία οφείλεται στη διαφορά του υδραυλικού φορτίου. Πρέπει να σημειωθεί ότι η συναγωγή περιγράφει την κίνηση ενός ρύπου σαν να είναι αυτός συντηρητικός (ανεξάρτητα εάν είναι ή όχι), ενώ θεωρείται ότι η μεταφορά του ρύπου γίνεται με τη μέση ταχύτητα του νερού. Ο μηχανισμός της διασποράς περιγράφει την εξάπλωση ενός ρύπου σε ένα πορώδες μέσο. Η διασπορά λαμβάνει χώρα όταν το καθαρό υπόγειο νερό αναμειγνύεται με κάποιο ρύπο (ή με ακάθαρτο νερό) αραιώνοντάς το και άρα μειώνοντας τη συγκέντρωση του ρύπου. Η διασπορά διακρίνεται σε μικροσκοπική και μακροσκοπική. Η μακροσκοπική διασπορά οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στην ετερογένεια των γεωλογικών σχηματισμών από τους 6

13 οποίους αποτελούνται οι υδροφορείς. Από την άλλη, η μικροσκοπική διασπορά περιγράφει τόσο τη δράση της μοριακής διάχυσης (συμβαίνει σε μικρές ταχύτητες ροής) όσο και της υδροδυναμικής ανάμειξης (είναι κυρίαρχη σε μεγάλες ταχύτητες ροής). Με τη δράση της διασποράς, οι ρύποι φτάνουν σε σημεία του πεδίου ροής σε μικρότερο χρόνο απ' όσο θα έφταναν μόνο με τη δράση της συναγωγής. Η τρίτη κατηγορία των μηχανισμών που επηρεάζουν τη συμπεριφορά των ρύπων κατά την κίνησή τους σε ένα υδροφορέα είναι η προσρόφηση. Κατά τη δράση της προσρόφησης παρατηρείται μεταβολή της μάζας μίας χημικής ουσίας στη στερεά φάση του πορώδους μέσου. Αυτό οφείλεται στην προσκόλληση των μορίων (ή των ιόντων) των χημικών ουσιών στην επιφάνεια των κόκκων του εδάφους (Λατινόπουλος, 2016). 2.4 Μοντέλα προσομοίωσης σε πορώδεις υδροφορείς Για την επίλυση του μαθηματικού προβλήματος της ροής του υπόγειου νερού έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι. Η πρώτη περιλαμβάνει την επίλυση αναλυτικών σχέσεων, όπως αυτή που παρουσιάστηκε για παράδειγμα από τον Theis το Ένας δεύτερος τρόπος επίλυσης είναι αυτός των ημιαναλυτικών λύσεων στις οποίες γίνεται χρήση μιγαδικών μεταβλητών για τον ορισμό της γενικευμένης συνάρτησης δυναμικού. Εξαιτίας των αδυναμιών που παρουσιάζουν τόσο οι αναλυτικές όσο και οι ημιαναλυτικές λύσεις αναπτύχθηκαν οι αριθμητικές λύσεις. Οι αριθμητικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται ευρέως είναι οι εξής: η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων η μέθοδος των οριακών στοιχείων η μέθοδος των κινούμενων σημείων Στην παρούσα διπλωματική εργασία η μέθοδος που εφαρμόστηκε για τη μελέτη της κίνησης των ρύπων είναι αυτή των κινούμενων σημείων (Λατινόπουλος, 2016) Οι μέθοδοι των κινούμενων σημείων Στη μέθοδο αυτή η κατανομή της συγκέντρωσης ενός ρύπου στο υπόγειο νερό παριστάνεται με ένα πεπερασμένο αριθμό υλικών σημείων. Κάθε σημείο θεωρείται είτε ότι μεταφέρει μια συγκεκριμένη ποσότητα του ρύπου (ρύπος συγκεκριμένης συγκέντρωσης) είτε ένα συγκεκριμένο ποσοστό της συνολικής ποσότητας του ρύπου που έχει διαφύγει στο υπέδαφος. Στη μέθοδο των κινούμενων σημείων, ανάλογα με την υπολογιστή δυνατότητα και τις διαστάσεις του πεδίου μελέτης είναι εφικτή η πλήρης κάλυψη του πεδίου με ένα μεγάλο αριθμό σημείων και εν συνεχεία η παρακολούθησή τους. Σε άλλες περιπτώσεις, όπως έγινε 7

14 και στην παρούσα διπλωματική εργασία, χρησιμοποιήθηκε ένας συγκεκριμένος (μικρός) αριθμός σημείων, τα οποία διατάχθηκαν στην περίμετρο της κηλίδας που δημιουργήθηκε από την έγχυση του ρύπου από τα πηγάδια φόρτισης. Οι δύο βασικότερες μέθοδοι κινούμενων σημείων είναι η μέθοδος των τυχαίων βημάτων και η μέθοδος των χαρακτηριστικών (Λατινόπουλος, 2016) Βασική αρχή της μεθόδου των χαρακτηριστικών είναι ότι, κάθε μεμονωμένο σημείο είναι πηγή πληροφόρησης για τον τρόπο με τον οποίο επιτυγχάνεται η μετακίνηση του ρύπου. Πιο συγκεκριμένα, θεωρείται ότι διεργασίες όπως η διασπορά και η προσρόφηση είναι γραμμικές και άρα είναι εφικτή η εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας. Κάθε σημείο ελέγχου θεωρείται ότι είναι ίσο με έναν όγκο ελέγχου στον οποίο ανατίθεται μία τιμής συγκέντρωσης (η οποία είναι ίση με τη μέση τιμή της συγκέντρωσης του όγκου ελέγχου) (Λατινόπουλος, 2016). Η βασική διαφορά της μεθόδου των τυχαίων βημάτων σε σχέση με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών είναι ότι στη μέθοδο των τυχαίων βημάτων θεωρείται ότι κάθε σωματίδιο αναπαριστά μία συγκεκριμένη ποσότητα της μάζας του ρύπου. Έτσι, θα πρέπει το άθροισμα των μαζών όλων των σημείων να είναι ίσο με τη συνολική μάζα του ρύπου που έχει εκχυθεί. Η μέθοδος αυτή γενικά λαμβάνει υπόψη τους μηχανισμούς της συναγωγής και της διασποράς. Με κατάλληλες όμως τροποποιήσεις μπορούν να συμπεριληφθούν και οι άλλοι μηχανισμοί που επηρεάζουν τη μετακίνηση ενός ρύπου (Λατινόπουλος και Θεοδοσίου, 2007) 8

15 Κεφάλαιο 3 Γενετικοί Αλγόριθμοι 3.1 Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια, έχει παρατηρηθεί ραγδαία αύξηση της ζήτησης για την ανάπτυξη μεθόδων επίλυσης σύνθετων προβλημάτων με την εφαρμογή βασικών αρχών της επιστήμης της Βιολογίας και ειδικότερα, των κλάδων της Γενετικής Εξέλιξης και της Κληρονομικότητας. Τα μειονεκτήματα των συμβατικών μεθόδων βελτιστοποίησης, αλλά κυρίως η ανάγκη για την αποτελεσματικότερη και ακριβέστερη διαχείριση των δεδομένων, οδήγησε τους ερευνητές στην αναζήτηση και εν συνεχεία ανάπτυξη μεθόδων και αλγορίθμων εμπνευσμένων από τους κλάδους αυτούς. Μεταξύ αυτών των μεθόδων συγκαταλέγονται και οι Γενετικοί Αλγόριθμοι (Λυκοθανάσης, 2001). Στόχος των Γενετικών Αλγορίθμων είναι η αναζήτηση των βέλτιστων λύσεων σε προβλήματα που μπορούν να εκφραστούν με μαθηματικό τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, συγκαταλέγονται μεταξύ των μεθόδων της τεχνητής νοημοσύνης και βρίσκουν εφαρμογή σε πολλούς κλάδους των επιστημών, από τη Χημεία και την Ιατρική έως την Περιβαλλοντική Μηχανική και την Οικονομία. Ο Bill Gates, σε ομιλία του στην Εβδομάδα Επιχειρήσεων τον Ιούνιο του 1994 είπε: "Το Γονίδιο είναι μακράν το πιο εξελιγμένο πρόγραμμα που υπάρχει", δήλωση που καταδεικνύει την αναγκαιότητα ανάπτυξης της μεθόδου αυτής (Μακρόπουλος και Ευστρατιάδης, 2011). Βασική ιδέα στην οποία βασίζονται οι Γενετικοί Αλγόριθμοι, είναι αυτή της θεωρίας της εξέλιξης των ειδών έτσι όπως την ανέπτυξε ο Δαρβίνος στα μέσα του 19 ου αιώνα. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, στον αγώνα τους για επιβίωση τα έμβια όντα και υπό την επίδραση διάφορων περιοριστικών παραγόντων (όπως οι περιβαλλοντικές συνθήκες, η έλλειψη τροφής ή πόσιμου νερού) παρουσιάζουν διαφορετικές πιθανότητες επιβίωσης. Οι πιθανότητες επιβίωσης των ατόμων ενός συγκεκριμένου είδους εξαρτώνται κυρίως από το βαθμό προσαρμογής τους στο περιβάλλον. Έτσι λοιπόν, τα άτομα που παρουσιάζουν μεγαλύτερη προσαρμοστικότητα στο περιβάλλον τους αφήνουν συγκριτικά περισσότερους απογόνους από τα άτομα που είναι λιγότερο προσαρμοσμένα, με αποτέλεσμα ο αριθμός των πιο "αδύναμων" ατόμων να μειώνεται σταδιακά έως ότου αυτοί εκλείψουν. Στη συνέχεια, παρατίθεται ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα που επεξηγεί με ικανοποιητικό τρόπο τη θεωρία του Δαρβίνου (Michalewicz, 1996). Έστω ότι μελετάται ο τρόπος με τον οποίο λαμβάνει χώρα η βιολογική εξέλιξη των λαγών και ο τρόπος με τον οποίο αυτά αναπαράγονται και εξελίσσονται από γενιά σε γενιά. 9

16 Θεωρείται ότι ο αρχικός πληθυσμός των λαγών είναι συγκεκριμένος, ενώ τα χαρακτηριστικά αυτών παρουσιάζουν ανομοιότητες, με κάποιους από αυτούς να είναι εξυπνότεροι και γρηγορότεροι από τους υπόλοιπους. Αυτή η διαφορά στην ταχύτητα και τη νοημοσύνη έχει σαν αποτέλεσμα οι λαγοί που διαθέτουν αυτά τα χαρακτηριστικά να διαθέτουν μεγαλύτερες πιθανότητες επιβίωσης στο ίδιο οικοσύστημα, καθώς είναι πιθανότερο να καταφέρουν να εξασφαλίσουν την τροφή τους και να ξεφύγουν από τους εχθρούς τους. Επειδή όμως υπεισέρχεται και ο παράγοντας της τύχης, ορισμένοι από τους λαγούς οι οποίοι είναι είτε λιγότερο έξυπνοι είτε λιγότερο ταχείς (είτε και τα δύο ταυτόχρονα) θα καταφέρουν επίσης να επιζήσουν. Από τους λαγούς οι οποίοι έχουν επιβιώσει των περιβαλλοντικών συνθηκών και μέσω της αναπαραγωγής, θα προκύψει μία νέα γενιά η οποία θα συνδυάζει με διάφορους τρόπους τα χαρακτηριστικά των ατόμων της προηγούμενης γενιάς. Συνεπώς, κάποιοι έξυπνοι λαγοί θα αναμιχθούν με κάποιους λιγότερο έξυπνους και κάποιοι έξυπνοι με άλλους εξίσου έξυπνους. Με αντίστοιχο τρόπο θα συνδυαστούν τα χαρακτηριστικά και για το γονίδιο της ταχύτητας. Το αποτέλεσμα όλων των παραπάνω διασταυρώσεων θα είναι η δημιουργία μίας νέας γενιάς λαγών η οποία θα είναι ταχύτερη και εξυπνότερη από την προηγούμενη (Γεωργόπουλος και Λυκοθανάσης, 1999). Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, παρότι οι Γενετικοί Αλγόριθμοι είναι μία νέα σχετικά μέθοδος επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης, η εφαρμογή τους είναι πολύ συχνή. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα η πρόοδος που σημειώνεται να είναι όχι μόνο συνεχής αλλά και ραγδαία. Η πρόοδος αυτή αφορά όχι μόνο τις μαθηματικές τεχνικές που εφαρμόζονται για την περιγραφή των γενετικών διαδικασιών, αλλά και τις ίδιες τις γενετικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα κυριότερα στοιχεία των Γενετικών Αλγορίθμων. 3.2 Ανάπτυξη της μεθόδου Για την ευκολότερη κατανόηση της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων γίνεται χρήση της ορολογίας από τους κλάδους της Βιολογίας και κυρίως της Φυσικής Γενετικής. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι αναφέρονται σε άτομα ή γενότυπους μέσα σε ένα πληθυσμό. Κάθε άτομο ή γενότυπος αποτελείται από χρωμοσώματα. Ενώ στη φύση οι οργανισμοί αποτελούνται συνήθως από περισσότερα του ενός χρωμοσώματα, στη μέθοδο των γενετικών αλγορίθμων κάθε άτομο αποτελείται από ένα χρωμόσωμα. Κάθε χρωμόσωμα είναι μια συμβολοσειρά στοιχείων (ακολουθία γονιδίων), τα οποία είναι διατεταγμένα σε γραμμική ακολουθία (Γεωργόπουλος και Λυκοθανάσης, 1999). Κάθε γενότυπος αναπαριστά μία πιθανή λύση του προβλήματος. Πέρα από το γενότυπο, σημαντική είναι και η έννοια του φαινότυπου. Ως φαινότυπος καλείται η αποκωδικοποιημένη μορφή ενός χρωμοσώματος (π.χ. ένας ζωντανός οργανισμός είναι ο φαινότυπος των 10

17 χρωμοσωμάτων του). Η διαδικασία της εξέλιξης την οποία υφίσταται ένας πληθυσμός, είναι ισοδύναμη με μία εκτενή αναζήτηση στο χώρο των πιθανών λύσεων. Ο στόχος αυτής της αναζήτησης είναι διττός. Πρώτον, η καλύτερη αναζήτηση και μελέτη του χώρου των πιθανών λύσεων και ταυτόχρονα η διατήρηση και η εκμετάλλευση των καλύτερων λύσεων. Οι δύο αυτοί στόχοι είναι αντικρουόμενοι, γι αυτό και θα πρέπει να γίνει προσεκτική διαχείριση των αποτελεσμάτων και του κώδικα. Σημαντικό στοιχείο των Γενετικών Αλγορίθμων είναι η διαδικασία δημιουργίας του αρχικού πληθυσμού με τυχαίο τρόπο. Στη συνέχεια, ο πληθυσμός αυτός υφίσταται είτε με τυχαίο τρόπο είτε με βάση τη Θεωρία των Πιθανοτήτων τις γενετικές διαδικασίες. Έτσι λοιπόν, από ένα αριθμό χρωμοσωμάτων δε μεταφέρονται στην επόμενη γενιά μόνο τα υγιέστεραικανότερα (περισσότερο εύρωστα), αλλά κάποια λιγότερο υγιή. Αυτό είναι αποτέλεσμα της συνδυασμένης δράσης της φυσικής επιλογής και των συνθηκών του περιβάλλοντος. Ιδιαίτερης σημασίας είναι η εκτίμηση της ευρωστίας των χρωμοσωμάτων, καθώς βάσει αυτής θα εφαρμοστεί ο Νόμος των Πιθανοτήτων (Ζορμπά, 2003). Στην κλασσική τους μορφή οι Γενετικοί Αλγόριθμοι εκφράζονται με δυαδικό τρόπο (συμβολοσειρές αποτελούμενες από δύο στοιχεία, το 0 και το 1). Βέβαια, συχνή είναι και η χρήση των δεκαδικών γενετικών αλγορίθμων. Μία συμβολοσειρά εκφρασμένη με τη δυαδική μορφή είναι η ακόλουθη: Η συμβολοσειρά αυτή αναπαριστά ένα χρωμόσωμα γονιδίων (με άλλα λόγια το μήκος του χρωμοσώματος είναι ίσο με ). Στην περίπτωση της βελτιστοποίησης κάποιου μαθηματικού μοντέλου, οι δυαδικές συμβολοσειρές αναπαριστούν τις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών που εισάγονται στο μοντέλο. Υπό την προϋπόθεση ότι περιορισμοί του προβλήματος τηρούνται, κάθε χρωμόσωμα αποτελεί μία εν δυνάμει λύση του υπό μελέτη προβλήματος. Εν συνεχεία, κάθε χρωμόσωμα αξιολογείται βάση της αντικειμενικής συνάρτησης που έχει οριστεί από τον χρήστη (λαμβάνει μία τιμή αξιολόγησης) (Ζορμπά, 2003). 3.3 Στάδια ανάπτυξης Γενετικού Αλγορίθμου Ανεξάρτητα από τον τύπο του προβλήματος στον οποίο πρόκειται να χρησιμοποιηθούν οι Γενετικοί Αλγόριθμοι τα στάδια ανάπτυξής που πρέπει να ακολουθηθούν είναι όμοια. Στη συνέχεια παρατίθενται με επιγραμματικό τρόπο τα στάδια αυτά (Γεωργόπουλος και Λυκοθανάσης, 1999): 1. Μία γενετική αναπαράσταση των πιθανών λύσεων του υπό μελέτη προβλήματος. 2. Ένα τρόπο δημιουργίας ενός αρχικού πληθυσμού από πιθανές λύσεις (αρχικοποίηση). 11

18 3. Μία αντικειμενική συνάρτηση αξιολόγησης των μελών του πληθυσμού, που παίζει το ρόλο του περιβάλλοντος. 4. Γενετικούς τελεστές για τη δημιουργία νέων μελών (τα μέλη αυτά αποτελούν λύσεις του προβλήματος). 5. Τιμές για τις διάφορες παραμέτρους που χρησιμοποιεί ο Γενετικός Αλγόριθμος (μέγεθος πληθυσμού, πιθανότητες εφαρμογής των γενετικών τελεστών κ.α.) 3.4 Γενετικές διαδικασίες Οι βασικότερες γενετικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι η επιλογή, η διασταύρωση και η μετάλλαξη. Πέρα όμως από αυτές είναι εφικτό να εφαρμοστούν και άλλες γενετικές διαδικασίες όπως είναι αυτή της αντιμετάθεσης. Πρέπει να σημειωθεί ότι, δεν είναι αναγκαίο να εφαρμόζονται όλες κατά τη διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος καθώς είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Στη συνέχεια παρουσιάζονται κάποια στοιχεία για τις κυριότερες γενετικές διαδικασίες Αναπαραγωγή με επιλογή Η επιλογή χρησιμοποιείται για τη δημιουργία του "ενδιάμεσου" πληθυσμού μεταξύ δύο γενεών και είναι στην πραγματικότητα μια μαθηματική απομίμηση της θεωρίας του Δαρβίνου για την επιβίωση του καλύτερα προσαρμοσμένου στο περιβάλλον. Σε όλα τα χρωμοσώματα δίνεται μία τιμή η οποία αντιστοιχεί στην πιθανότητα επιβίωσης. Η τιμή αυτή εξαρτάται από την τιμή της καταλληλότητας, η οποία έχει υπολογιστεί κατά τη διαδικασία αξιολόγησης των χρωμοσωμάτων. Με αυτό τον τρόπο, τα συγκριτικώς καλύτερα χρωμοσώματα έχουν περισσότερες πιθανότητες για να επιλεγούν στον ενδιάμεσο πληθυσμό. Γενικά, πρέπει να σημειωθεί ότι όσο καλύτερη είναι η θέση ενός χρωμοσώματος στην κλίμακα που αξιολογείται τόσα περισσότερα αντίγραφά του θα περάσουν στην επόμενη γενιά. Οι δύο κυριότερες διαδικασίες επιλογής που χρησιμοποιούνται είναι (Katsifarakis and Karpouzos, 2012): 1. Ο τροχός της ρουλέτας με άνισα διαστήματα (επιλογή ανάλογα με την αξία αποτίμησης). 2. Ο διαγωνισμός, όπου η επιλογή γίνεται ανάλογα με την κατάταξη. Η πρώτη διαδικασία βασίζεται στην ύπαρξη μιας ρουλέτας η οποία αποτελείται από άνισα διαστήματα. Το μέγεθος κάθε διαστήματος είναι ανάλογο της αξίας αποτίμησης του εκάστοτε χρωμοσώματος. Ο τροχός της ρουλέτας "περιστρέφεται" φορές, ενώ η πιθανότητα επιλογής ενός χρωμοσώματος είναι (ισχύει για τα προβλήματα μεγιστοποίησης). όπου: 12

19 : πιθανότητα επιλογής ενός χρωμοσώματος : το άθροισμα των τιμών αποτίμησης όλων των χρωμοσωμάτων μίας γενιάς : η τιμή της αξίας αποτίμησης του χρωμοσώματος Με τη μέθοδο της ρουλέτας ο ενδιάμεσος πληθυσμός δημιουργείται περιλαμβάνοντας (στατιστικά) περισσότερα αντίγραφα των "καλύτερων" χρωμοσωμάτων, τα οποία αντικαθιστούν μερικά από τα "χειρότερα" χρωμοσώματα. Εάν ο αρχικός πληθυσμός περιέχει λίγα χρωμοσώματα με υψηλή τιμή της αξίας αποτίμησης (σε σύγκριση με τα υπόλοιπα της γενιάς), τότε η μέθοδος της ρουλέτας μπορεί να οδηγήσει σε ενδιάμεσο πληθυσμό που περιέχει αντίγραφα μόνο από τα "καλύτερα" χρωμοσώματα και έτσι να επιτευχθεί πρόωρη σύγκλιση. Μία τέτοια σύγκλιση είναι ανεπιθύμητη, γι' αυτό και προτείνονται διάφοροι τρόποι για την αποτροπή της (όπως είναι για παράδειγμα η κατάταξη των λύσεων). Στη μέθοδο του διαγωνισμού, κάθε άτομο παράγει ένα συγκεκριμένο αριθμό απογόνων, ανάλογα με την κατάταξη της αξίας αποτίμησης του και όχι με την τιμή αυτής. Σε πρώτο στάδιο καθορίζεται η σταθερά διαγωνισμού (η οποία παίρνει συνήθως τιμές μεταξύ του και του ). Εν συνεχεία, επιλέγονται τυχαία χρωμοσώματα και συγκρίνονται οι τιμές της αξίας αποτίμησής τους. Αντίγραφο του χρωμοσώματος που παρουσιάζει την υψηλότερη τιμή της αξίας αποτίμησης περνάει απευθείας στον ενδιάμεσο πληθυσμό. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται φορές. Οι προαναφερθείσες μέθοδοι επιλογής δεν εξασφαλίζουν πλήρως ότι το "καλύτερο" χρωμόσωμα θα περάσει στην επόμενη γενιά. Εξαιτίας αυτού, σε πολλούς κώδικες εφαρμόζεται η επιλεκτική προσέγγιση (elitist approach). Μέσω της διαδικασίας αυτής περνά απευθείας στην επόμενη γενιά ένα αντίγραφο του "καλύτερου" χρωμοσώματος. Μετά το σχηματισμό του ενδιάμεσου πληθυσμού, επιλέγονται τυχαία κάποια από τα μέλη του στα οποία εφαρμόζονται οι διαδικασίες της διασταύρωσης και της μετάλλαξης. Τα μη επιλεγέντα μέλη περνούν αυτούσια στην επόμενη γενιά (Katsifarakis and Karpouzos, 2012) Διασταύρωση Η διαδικασία της διασταύρωσης συγκαταλέγεται στις διαδικασίες ανασυνδυασμού. Εφαρμόζεται με δεδομένη τιμή πιθανότητας σε ζεύγη χρωμοσωμάτων, τους γονείς. Σύμφωνα με τη διαδικασία της διασταύρωσης γίνεται διαχωρισμός των χρωμοσωμάτων των δύο γονέων σε επιμέρους τμήματα. Στη συνέχεια, το πρώτο τμήμα ενός γονέα συνδυάζεται με το δεύτερο του άλλου. Έστω ότι τα δύο χρωμοσώματα γονείς απεικονίζονται από τις ακόλουθες συμβολοσειρές: Γονέας Α Γονέας Β και γνωρίζοντας ότι η διασταύρωση συμβαίνει στη θέση 10, οι απόγονοι θα είναι οι εξής: Απόγονος Α 13

20 Απόγονος Β Στόχος της διασταύρωσης είναι, ο συνδυασμός των καλύτερων χαρακτηριστικών των γονέων σε έναν απόγονο τουλάχιστον. Παρόλα αυτά, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι αυτό θα επιτευχθεί. Η διαδικασία της διασταύρωσης που περιγράφηκε παραπάνω είναι γνωστή ως διασταύρωση ενός σημείου. Εφαρμοστέα είναι όμως και η διασταύρωση πολλών σημείων (Κατσιφαράκης, 2015) Μετάλλαξη Μέσω της γενετικής διαδικασίας της μετάλλαξης παράγεται νέο "γενετικό" υλικό. Η διαδικασία αυτή εφαρμόζεται στα γονίδια τα οποία σχηματίζουν ένα χρωμόσωμα. Στους δυαδικούς γενετικούς αλγορίθμους, το γονίδιο το οποίο επιλέγεται για να υποστεί τη διαδικασία της μετάλλαξης μεταβάλλεται από σε και αντιστρόφως. Αυτή η διαδικασία στοχεύει τα εξής: την επέκταση της αναζήτησης σε περισσότερες περιοχές του χώρου λύσεων (αυτό αφορά κυρίως τις πρώτες γενιές) και την τοπική βελτίωση των καλών λύσεων (αυτός ο στόχος αφορά κυρίως τις τελευταίες γενιές). Η πιθανότητα μετάλλαξης MP είναι ίση για όλα τα γονίδια όλων των χρωμοσωμάτων και είναι πολύ μικρότερη της αντίστοιχης πιθανότητας διασταύρωσης. Αυτό οφείλεται στο ότι η τελευταία αναφέρεται στα χρωμοσώματα και όχι στα γονίδια που συνθέτουν τα χρωμοσώματα. Η τιμή της πιθανότητας μετάλλαξης είναι συνήθως ίση ή κάπως μεγαλύτερη με το αντίστροφο του μήκους χρωμοσώματος (Κοντός, 2013). Η βασική ιδέα είναι να υπάρχει στατιστικά μία μετάλλαξη ανά χρωμόσωμα. Όπως είναι αναμενόμενο, τόσο η διασταύρωση όσο και η μετάλλαξη μπορούν να οδηγήσουν στην παραγωγή λύσεων είτε χειρότερων είτε καλύτερων (δεν είναι εξασφαλισμένη δηλαδή η βελτίωση των λύσεων μετά την εφαρμογή των γενετικών αυτών διαδικασιών). Αυτό που εξασφαλίζει τη βελτίωση των λύσεων είναι ο συνδυασμός της διασταύρωσης και της μετάλλαξης με τη διαδικασία της επιλογής (Katsifarakis and Karpouzos, 2012) Αντιμετάθεση Η αντιμετάθεση είναι μία διαδικασία που προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Κατσιφαράκη και Καρπούζο το Στόχος της διαδικασίας αυτής είναι η περαιτέρω βελτίωση της απόδοσης των γενετικών αλγορίθμων. Εφαρμόζεται σε δύο διαδοχικά γονίδια ενός χρωμοσώματος. Η επιλογή της θέσης είναι τυχαία, καθώς κάθε γονίδιο (εκτός από το τελευταίο) παρουσιάζει την ίδια πιθανότητα επιλογής. Έτσι λοιπόν, εάν επιλεγεί ένα γονίδιο που είναι ίσο με μετατρέπεται σε, ενώ μεταβάλλεται και η τιμή του επόμενου σε σειρά 14

21 γονιδίου που γίνεται ίσο με. Ακολούθως παρουσιάζονται οι αλλαγές που συμβαίνουν σε διαδοχικά γονίδια κατά τη διαδικασία της αντιμετάθεσης (Katsifarakis and Karpouzos, 2012): μετατρέπεται σε μετατρέπεται σε μετατρέπεται σε μετατρέπεται σε Στις πρώτες δύο περιπτώσεις μόνο το πρώτο εκ των δύο γονιδίων μεταβλήθηκε, με αποτέλεσμα η διαδικασία της αντιμετάθεσης να είναι ισοδύναμη (σε αυτές τις περιπτώσεις) με αυτήν της μετάλλαξης. Αντιθέτως, στις δύο τελευταίες περιπτώσεις η αντιμετάθεση είναι ισοδύναμη με τη μετάλλαξη και των δύο γονιδίων του χρωμοσώματος. 3.5 Κριτήρια τερματισμού Η όλη διαδικασία της αξιολόγησης-επιλογής-διασταύρωσης-μετάλλαξης και των άλλων γενετικών διαδικασιών επαναλαμβάνεται είτε για ένα προκαθορισμένο αριθμό γενεών, είτε όταν ικανοποιείται κάποιο κριτήριο τερματισμού. Τέτοια κριτήρια είναι τα κάτωθι (Katsifarakis and Karpouzos, 2012): Δεν παρατηρείται καμία καλύτερη λύση σε ένα συγκεκριμένο (και προκαθορισμένο αριθμό γενεών). Η διακύμανση της μέσης τιμής της τιμής αποτίμησης του πληθυσμού, είναι μικρότερη από την τιμή κατωφλίου που έχει οριστεί για έναν προκαθορισμένο αριθμό γενεών. Έχει επιτευχθεί μία επιθυμητή τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από το καλύτερο άτομο. Η διάμεσος της τιμής αποτίμησης του πληθυσμού είναι καλύτερη από μία προκαθορισμένη τιμή. Είναι αναμενόμενο ότι τουλάχιστον στην τελευταία γενιά ένα χρωμόσωμα θα κυριαρχήσει, το οποίο και θα αναπαριστά μία πολύ καλή (αν όχι τη βέλτιστη) λύση του προβλήματος. Επιπλέον, είναι εφικτό να προκύψουν περισσότερα του ενός διαφορετικά χρωμοσώματα τα οποία παρουσιάζουν σχεδόν ίδιες τιμές αξιολόγησης. Από αυτές τις τιμές θα πρέπει να γίνει προσεκτική επιλογή αυτής που θα χρησιμοποιηθεί (η επιλογή εξαρτάται από τη φύση του προβλήματος αλλά και από την εμπειρία του χρήστη). 3.6 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα Γενετικών Αλγορίθμων Μερικά από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα που καθιστούν ιδιαίτερα δελεαστική την εφαρμογή της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων στην επίλυση πληθώρας προβλημάτων 15

22 είναι τα ακόλουθα (Γεωργόπουλος και Λυκοθανάσης, 1999, Katsifarakis and Karpouzos, 2012): Μπορούν να επιλύουν δύσκολα προβλήματα με γρήγορο και αξιόπιστο τρόπο. Ένας από τους σημαντικότερους λόγους που οδήγησε στην αυξημένη χρήση των Γενετικών Αλγορίθμων είναι η μεγάλη τους αποδοτικότητα. Συναρτήσεις που παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις και άρα είναι δύσκολη η εύρεση των ακροτάτων τους με την εφαρμογή άλλων μεθόδων, είναι εφικτό να επιλυθούν με την εφαρμογή των Γενετικών Αλγορίθμων. Ένα δεύτερο σημαντικό πλεονέκτημα των Γενετικών Αλγορίθμων είναι ότι μπορούν να συνδυαστούν με υπάρχοντα μοντέλα και συστήματα. Μπορεί δηλαδή να γίνει προσθήκη του κώδικα των Γενετικών Αλγορίθμων σε ένα προϋπάρχον μοντέλο, χωρίς να είναι απαραίτητος ο επανασχεδιασμός του. Είναι εύκολα επεκτάσιμοι και εξελίξιμοι. Μπορούν να συμμετέχουν σε υβριδικές μορφές με άλλες μεθόδους. Η συνδυασμένη χρήση των Γενετικών Αλγορίθμων με άλλες μεθόδους οι οποίες παρουσιάζουν μεγάλη ακρίβεια σε ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων είναι όχι μόνο εφικτή αλλά και επιβεβλημένη. Εφαρμόζονται σε πολύ περισσότερα πεδία σε σύγκριση με άλλες μεθόδους. Συνεπώς, η κατανόηση, η ενασχόληση και η εξέλιξη των Γενετικών Αλγορίθμων έχει πολλαπλά οφέλη σε πολλούς κλάδους ταυτόχρονα. Δεν απαιτούν περιορισμούς στις συναρτήσεις που επεξεργάζονται (σε αντίθεση με πολλές παραδοσιακές μεθόδους). Για παράδειγμα, η ύπαρξη συνέχειας ή παραγώγων δεν είναι αναγκαία για την εφαρμογή της μεθόδου των Γενετικών Αλγορίθμων. Δεν τους ενδιαφέρει η σημασία της υπό εξέταση πληροφορίας. Η μόνη πληροφορία που απαιτείται είναι αυτή της αντικειμενικής συνάρτησης. Είναι μία μέθοδος η οποία ταυτόχρονα εξερευνά το χώρο αναζήτησης και εκμεταλλεύεται τις ήδη επεξεργασμένες πληροφορίες. Για την εύρεση του ολικού βέλτιστου ξεκινούν την αναζήτηση από πολλά σημεία ταυτοχρόνως, σε αντίθεση με τις παραδοσιακές μεθόδους οι οποίες ξεκινούν την αναζήτηση από ένα αρχικό σημείο. Για την επίλυσή τους δεν απαιτούνται σύνθετα μαθηματικά. Τέλος, δεν είναι αναγκαία η μετατροπή του προβλήματος σε γραμμική μορφή. Πέρα όμως από την πληθώρα πλεονεκτημάτων, οι Γενετικοί Αλγόριθμοι όπως είναι αναμενόμενο παρουσιάζουν και κάποια μειονεκτήματα. Μερικά από τα κυριότερα αδύναμα 16

23 σημεία τους είναι τα ακόλουθα (Γεωργόπουλος και Λυκοθανάσης, 1999, Katsifarakis and Karpouzos, 2012): Στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι έχει βρεθεί το ολικό βέλτιστο για το υπό μελέτη πρόβλημα. Για κάθε χρωμόσωμα είναι αναγκαίος ο υπολογισμός της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Γι αυτό το λόγο, ο συνολικός υπολογιστικός όγκος που απαιτείται αυξάνεται ραγδαία με την αύξηση της περιπλοκότητας της αντικειμενικής συνάρτησης, τον αριθμό των γενεών και το μέγεθος του πληθυσμού. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης αξιολόγησης. 17

24 Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή στη διαχείριση μολυσμένου υδροφορέα 4.1 Περιγραφή του προβλήματος Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η βελτιστοποίηση της διαχείρισης ενός ρυπασμένου υδροφορέα με βάση δύο κριτήρια. Το πρώτο κριτήριο είναι αυτό της μεγιστοποίησης της ασφαλούς παροχής άντλησης. Το δεύτερο κριτήριο που πρέπει να πληρούται είναι αυτό της ελαχιστοποίησης του μήκους δικτύου που συνδέει τις γεωτρήσεις άντλησης με μία κεντρική δεξαμενή. Πιο συγκεκριμένα, σε άπειρο υδροφορέα υπάρχουν τρεις γεωτρήσεις Α, Β και Γ όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.1 που ακολουθεί. Οι συντεταγμένες των πηγαδιών αυτών είναι:, και. Η γεώτρηση Α αντιστοιχεί σε πηγάδι άντλησης, ενώ οι γεωτρήσεις Β και Γ λειτουργούν ως πηγάδια φόρτισης μέσω των οποίων διοχετεύεται μολυσμένο νερό στον υδροφορέα της περιοχής μελέτης. Οι παροχές των πηγαδιών φόρτισης Β και Γ είναι και αντιστοίχως. Πρέπει να σημειωθεί ότι, ο ρύπος που εισέρχεται στον υδροφορέα παραμένει επικίνδυνος για δύο έτη. Πρώτο ζητούμενο του προβλήματος είναι ο υπολογισμός της μέγιστης συνολικής παροχής καθαρού νερού που μπορεί να αντληθεί από το πηγάδι Α και από δύο νέα πηγάδια που θα κατασκευαστούν εντός της περιοχής μελέτης. Οι συντεταγμένες των κορυφών του τετραγώνου που περικλείει την περιοχή μελέτης είναι:,, και. Έχει υπολογιστεί ότι η μέγιστη δυνατή παροχή που μπορεί να αντληθεί από κάθε πηγάδι δεν μπορεί να ξεπερνά τα. Δεύτερο ζητούμενο του προβλήματος είναι ο υπολογισμός του ελάχιστου μήκους δικτύου που θα συνδέει τα τρία πηγάδια άντλησης με μία δεξαμενή που βρίσκεται στη θέση. Έχοντας υπολογίσει τη μέγιστη συνολική παροχή καθαρού νερού που μπορεί να αντληθεί από τα τρία πηγάδια άντλησης, επιλύθηκε το δεύτερο ζητούμενο. Όπως είναι αναμενόμενο, τα δυο αυτά ζητούμενα λειτουργούν με αντικρουόμενο τρόπο. Συνεπώς, στόχος είναι να συγκεραστούν κατά το δυνατό και στη συνέχεια να επιλέγεται από το μελετητή η καλύτερη δυνατή χωροθέτηση των πηγαδιών με τρόπο που να καλύπτονται τόσο οι ανάγκες σε καθαρό νερό αλλά και να μην καθίσταται απαγορευτικό το μήκος σύνδεσης των γεωτρήσεων με την κεντρική δεξαμενή. Για τον υπολογισμό των παροχών των τριών πηγαδιών άντλησης καθώς και για τον καθορισμό των συντεταγμένων των δύο νέων πηγαδιών άντλησης χρησιμοποιήθηκαν οι Γενετικοί Αλγόριθμοι. 18

25 Πηγάδι Β (300,800) 40L/s Πηγάδι Γ (800, 400) 50L/s Πηγάδι Α (300, 0) 300L/s Σχήμα 4.1: Θέσεις υφιστάμενων πηγαδιών Για την επίλυση του προβλήματος, ήταν αναγκαία η γνώση κάποιων επιπλέον στοιχείων για τον υδροφορέα όπως το πάχος του που θεωρήθηκε ότι είναι, το ενεργό πορώδες καθώς και η υδραυλική αγωγιμότητα. Η εξάπλωση του ρύπου προσδιορίστηκε με τη χρήση της μεθόδου των κινούμενων σημείων. Η βελτιστοποίηση πραγματοποιήθηκε με τη μέθοδο των Γενετικών Αλγορίθμων στο προγραμματιστικό περιβάλλον της Quick Basic. Οι κώδικες στους οποίους βασίστηκε η παρούσα εργασία είναι ο GenGeo3.bas και ο GENGEZ15.bas οι οποίοι παραχωρήθηκαν από τον κ. Κατσιφαράκη, ενώ χρησιμοποιήθηκαν και κώδικες παλαιότερων διπλωματικών εργασιών των Κ. Ντρογκούλη (2007) και Μ. Μούτη (2007). 4.2 Εξάπλωση ρύπου και κώδικας Kinetic.bas Ξεκινώντας τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος εφαρμόστηκε ο κώδικας Kinetic.bas προκειμένου να παρακολουθηθεί η πορεία της εξάπλωσης του ρύπου. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκαν δεκαέξι σημεία ελέγχου, χωρίς να γίνει η προσθήκη των δύο νέων πηγαδιών άντλησης. Ο κώδικας αυτός με τις κατάλληλες τροποποιήσεις (προσθήκη του τύπου της ποινής) ενσωματώθηκε στο βασικό πρόγραμμα επίλυσης, ενώ χρησιμοποιήθηκε και σαν μέθοδος επαλήθευσης των λύσεων που προέκυψαν. Με τη χρήση του κώδικα αυτού προκύπτουν τα παρακάτω στοιχεία: Αν φτάνει κάποιο σημείο στο πηγάδι άντλησης. Σε περίπτωση που κάποιο σημείο φτάσει στο πηγάδι άντλησης, ο χρόνος που χρειάστηκε για να φτάσει σε αυτό. Η τροχιά καθενός εκ των δεκαέξι σημείων. 19

26 Η πορεία του ρύπου στην περίοδο των δύο ετών (εάν δηλαδή δεν έχει φτάσει στο πηγάδι άντλησης μέχρι ποιο σημείο έχει φτάσει η ρύπανση). Η αρχική τοποθέτηση των σημείων ελέγχου έγινε στην περίμετρο των δύο πηγαδιών φόρτισης (οχτώ σε κάθε πηγάδι φόρτισης). Για τον υπολογισμό των ακτίνων των δύο πηγαδιών φόρτισης θεωρήθηκε αρχικά ότι κάθε πηγάδι φόρτισης λειτουργεί χωριστά, με αποτέλεσμα να δημιουργείται μία κυκλική εξάπλωση του ρύπου. Η σχέση που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της ακτίνας εξάπλωσης είναι: όπου: : οι παροχές των δύο πηγαδιών φόρτισης και αντιστοίχως : το χρονικό βήμα σε δευτερόλεπτα ( ) : το ενεργό πορώδες : το πάχος του υδροφορέα Οι ακτίνες που προέκυψαν είναι και αντίστοιχα για τα πηγάδια Β και Γ. Για το πηγάδι Α θεωρήθηκε ότι η ακτίνα σύλληψής του είναι ίση με το της υπολογιζόμενης από τον παραπάνω τύπο. Αμέσως μετά τον υπολογισμό των ακτίνων των πηγαδιών φόρτισης Β και Γ και την τοποθέτηση των δεκαέξι σημείων ελέγχου στην περίμετρο αυτών, μελετήθηκε η πορεία κάθε σημείου ελέγχου υπό την επίδραση και των τριών πηγαδιών. Το χρονικό βήμα που χρησιμοποιήθηκε για την παρακολούθηση του ρύπου θεωρήθηκε ότι είναι ίσο με. Κάθε νέα συντεταγμένη του σημείου ελέγχου θα προκύπτει από το άθροισμα της συντεταγμένης της προηγούμενης θέσης του και της μετατόπισής του στο χρονικό βήμα των δέκα ημερών. Οι σχέσεις δηλαδή που ισχύουν είναι: Για τον υπολογισμό των διανυσματικών ταχυτήτων του σημείου χρησιμοποιήθηκαν οι παρακάτω σχέσεις: Επειδή οι ταχύτητες είναι διανυσματικά μεγέθη, μπορούν απλά να αθροιστούν. Ένα ιδιαίτερο σημείο της διαδικασίας επίλυσης ήταν ο καθορισμός της συνθήκης που πρέπει να πληρούται για να θεωρείται ότι ο ρύπος έφτασε σε κάποιο πηγάδι άντλησης. Μετά την οριοθέτηση της ζώνη σύλληψης του πηγαδιού Α ο έλεγχος που γίνεται, ούτως ώστε να 20