Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών Μοντέλο Jellum Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Μοντέλο Jellum Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών Χ.Ε. Λέκκα Επίκουρος Καθηγήτρια cmsl.materals.uo.gr/lea

4 Κεφάλαιο Μελέτη των στερεών στα πλαίσια του μοντέλου Jellum Το απλούστερο μοντέλο για ένα στερεό είναι το λεγόμενο μοντέλο Jelloum το οποίο παρόλη την ακραία απλότητά του παράγει σε αρκετές περιπτώσεις εύλογα αποτελέσματα ιδιαίτερα για τα απλά μέταλλα.

5 Μοντέλο Jellum Κεφάλαιο Κατά το σχηματισμό του στερεού τα εξωτερικά ηλεκτρόνια κά8ε ατόμου αποκολλώνται πλήρως από αυτό και περιφέρονται ελεύθερα σε όλο το στερεό ενώ αντίθετα τα υπόλοιπα ηλεκτρόνια παραμένουν προσκολλημένα στο αντίστοιχο άτομο πλήρως ανεπηρέαστα από τη παρουσία των υπολοίπων ατόμων. Μοντέλο Jellum Ηλεκτρόνια σθένους Πυρήνας και λοιπά ηλεκτρόνια Συνεχής ομοιόμορφη κατανομή Τα ιόντα έχουν «πολτοποιηθεί» (JELLIUM) ώστε να σχηματίσουν ένα συνεχές ομοιογενές και ισότροπο υπόβαθρο (του οποίου προφανώς η μέση πυκνότητα μάζας και ηλεκτρικού φορτίου ισούται με τις αντίστοιχες μέσες ιοντικές πυκνότητες του στερεού). Συνέπεια : το δυναμικό που υφίσταται κάθε ηλεκτρόνιο είναι σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο της θέσης (λόγω του ομοιογενούς ιοντικού υποβάθρου). Σταθερό δυναμικό συνεπάγεται μηδενική δύναμη και επομένως ελεύθερη κίνηση του ηλεκτρονίου.

6 Μοντέλο Jellum - Κεφ. H μοναδική ελεύθερη παράμετρος του μοντέλου Jellum είναι η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων: n N όπου Ν είναι ο συνολικός αρι8μός ελεύθερων ηλεκτρονίων του στερεού και ο όγκος του. Αντί του n ισοδύναμα χρησιμοποιείται το αντίστροφό του : e N όπου e o όγκος ανά ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Συνήθως αντί του n ή του e χρησιμοποιούμε ως μέτρο του e την ακτίνα r s μιας νοητής σφαίρας που έχει όγκο ίσο με e : e 4π r s r s e 4π n 4π n rs όπου α Β είναι η ακτίνα του Bohr: α Β =059Α (Α είναι το ατομικό βάρος του στοιχείου). rs B 4

7 Μοντέλο Jellum - Κεφ. Τυπικές τιμές της συγκέντρωσης n (για στερεό): 0 cm - < n < 0 cm - Τυπικές τιμές της ακτίνας r s : r s ~ 0-8 cm = 0-0 m Το τυπικό μήκος που κινούνται τα ηλεκτρόνια μέσα σε ένα στερεό είναι περίπου Angstrom. 5

8 Βασικά χαρακτηριστικά της στερεάς ύλης Κεφ.. Πυκνότητα μάζας ρ Μ Η πυκνότητα ρ Μ ορίζεται ως το πηλίκο της μάζας Μ του υλικού διά του όγκου του :. Συγκέντρωση των ιόντων n Η συγκέντρωση των ιόντων n ενός υλικού ορίζεται ως το πηλίκο του συνολικού αριθμού των ιόντων Ν διά του όγκου του : n M gr gr ρm ρm 0 cm cm N N ζ n ζ 0 cm n 0 ΚΣΠ* cm ΚΣΠ* ζ είναι το σθένος που λαμβάνεται ως ο αριθμός των ελεύθερων ηλεκτρονίων ανά άτομο. Άμεσα συνδεδεμένος με τη συγκέντρωση n είναι ο όγκος που αντιστοιχεί σε κά8ε ιόν: N n ζ e o 0A o 00A ΚΣΠ* *ΚΣΠ: κανονικές συνθήκες πίεσης 6

9 Βασικά χαρακτηριστικά της στερεάς ύλης -. Ενέργεια συνοχής Η ενέργεια συνοχής U σ ορίζεται ως η ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια για να χωρίσουμε ένα στερεό σε απομονωμένα ουδέτερα άτομα ή μόρια όταν πρόκειται για μοριακό στερεό (υπό συνθήκες μηδενικής απολύτου θερμοκρασίας και πιέσεως ίσης με atm). 4. Μέτρο ελαστικότητας Tο ποιο σημαντικό μέτρο ελαστικότητας είναι το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας (bul modulus) και εκφράζει το πόσο σκληρό-άκαμπτο είναι το υλικό. P B - 0bar B 4000bar Το αντίστροφο του Β είναι η συμπιεστότητα Κ του υλικού. 5. Θερμοκρασία τήξεως e U 0 ά e ά H θερμοκρασία τήξεως Ττ των στοιχειακών στερεών είναι για τη μεγάλη πλειοψηφία τους της τάξεως των 000Κ. Κυμαίνεται όμως σε ευρύτατα όρια: 00K T 4000K τ Κεφ. Ενέργεια δέσμευσης είναι η ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια διάσπασης του στερεού σε απομονωμένα ηλεκτρόνια και ιόντα. 7

10 Βασικά χαρακτηριστικά της στερεάς ύλης - Κεφ. 6. Aπόσταση μεταξύ κέντρων πλησιέστερων γειτόνων (d). Απλό κυβικό (smple cubc SC) a. Απλό εδροκεντρωμένο (face-centered cubc CC) a d a d 4π r 4π r r 4π 6r. Απλό χωροκεντρωμένο (body-centered cubc BCC) a o o 4A r o A * A d 5A * o 4. Eξαγωνικό πυκνής διάταξης (hexagonal close-paced HCP) d = 8 r d = 76 r d = 8 r *ΚΣΠ: κανονικές συνθήκες πίεσης 8

11 Βασικά χαρακτηριστικά της στερεάς ύλης - 4 Κεφ. 7. Ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης U H απόσταση ισορροπίας r (επομένως η συγκέντρωση n και η πυκνότητα ρ Μ ) η ενέργεια συνοχής U σ και το μέτρο ελαστικότητας Β (bul modulus) (για Τ= 0) προκύπτουν αμέσως από την ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης U ως συνάρτηση του μήκους r : U 0 r r ' πίεση -U σ P - T N Ελεύθερη ενέργεια U-TS T 0 S 0 U καμπυλότητ α Β U P U P - B μέτρο ελαστικότητας 9

12 Μοντέλο Jellum - Κίνηση των ηλεκτρονίων σύστημα ελευθέρων μη-αλληλεπιδρώντων σωματιδίων Κεφ. Kάθε ηλεκτρόνιο (e-) : Στα πλαίσια μοντέλου Jellum: κάθε e - κινείται παρουσία ενός σταθερού δυναμικού (επομένως δεν υφίσταται καμία δύναμη) Διατηρείται η ορμή του e - : p και χαρακτηρίζει την κίνηση του K p m m H κυματοσυνάρτηση του e - έχει μορφή επίπεδου κύματος ψ r r e. 0

13 Κίνηση των ηλεκτρονίων - Κεφ. Συνολική κατάσταση Νe - Η συνολική κατάσταση Ν e - προσδιορίζεται πλήρως από τις ορμές τους προβολές των σπιν τους s z (= N s z = +/) πάνω σε άξονα π.χ. τον z. (= N) και τις Συνολική κινητική ενέργεια των Ν e - είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών κάθε ηλεκτρονίου: K ολ m. Η ελάχιστη τιμή της κινητικής ενέργειας (επομένως και της ολικής ενέργειας - δυναμική ενέργεια στα8ερή) επιτυγχάνεται όταν τα πάρουν ελάχιστες δυνατές τιμές. Κατατάσσουμε τα κατά σειρά αυξανόμενου μεγέθους και τοποθετούμε στο καθένα δύο ηλεκτρόνια (ένα με σπιν πάνω και ένα με σπιν κάτω) σύμφωνα με την αρχή του Paul. Το μέγεθος του μέγιστου (δηλ. (Ν/)-οστού) το συμβολίζουμε (κυματαριθμός erm). N.

14 Κίνηση των ηλεκτρονίων - Κεφ. Όταν ο όγκος του συστήματος γίνει πολύ μεγάλος τότε το άθροισμα πάνω στις δυνατές τιμές του ανάγεται σε ολοκλήρωμα: Aπόδειξη d. 4 π Θεωρούμε το στερεό ως παραλληλεπίπεδο όγκου =L x L y L z και επιλέγουμε περιοδικές συνθήκες για τις ιδιοσυναρτήσεις ψ κ (r): Στη διεύθυνση x για παράδειγμα (λόγω περιοδικών συνθηκών): ψ κ (0yz)= ψ κ (L x yz) ψ κ (x0z)= ψ κ (xl y z) ψ κ (xy0)= ψ κ (xyl z ) x (x Lx ) xx xlx ( r L x) (r) e e e x e Γενικά: L L πn n = xyz ακέραιος π L n d π L επιτρεπτές τιμές d d x d y d z L π π x L y L z d π

15 Κίνηση των ηλεκτρονίων - 4 Κεφ. Kυματαριθμός και ενέργεια erm N 4π d π π (.) (.4) Σφαιρικές συντεταγμένες 0 n=ν/ συγκέντρωση e - π n Kυματαριθμός erm (.5) Ορμή erm : Ταχύτητα erm : p υ p m m E mυ Ενέργεια erm (.6) m E Θερμοκρασία erm : T B παγκόσμια σταθερά Boltzmann (.7) έ E 5e T 0000K B Τα p υ και E είναι αντίστοιχα η μέγιστη ορμή η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη κινητική ενέργεια που εμφανίζεται σ ένα από τα Ν ελεύθερα ηλεκτρόνια του συστήματος υπό την προυπόθεση ότι αυτό (δηλαδή ολόκληρο το σύστημα) βρίσκεται στην ελάχιστη κινητική (άρα και ολική) ενέργειά του.

16 4 Κεφ. Παρόλο που το σύστημα μας είναι σε κατάσταση ελάχιστης συνολικής ενέργειας (δηλαδή συνθήκες απόλυτου μηδέν) τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που το συναποτελούν (μαζί με τα ιόντα) δεν ακινητούν. Η μέση κινητική ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο είναι Κ e =K ολ /Ν όπου Κ ολ : K 5 0 oλ m π d π m m d m oλ e N 5π m N K K N π όμως (.5): 5 K e E μέση κινητική ενέργεια ανά e - (.9) Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου είναι ανάλογη του n 5/ n=n/:.0 n π 5π m K N π 5π m 5 m π K ολ oλ Κίνηση των ηλεκτρονίων - 5

17 Κίνηση των ηλεκτρονίων - 6 Κεφ. Πίεση Η πίεση του συστήματος είναι επίσης ανάλογη του n 5/ : P K - ολ.0 m 5π π n π n π n π n m 5π 5π.6 P 5 E n P 5 E N ( BT ) N 5

18 Κίνηση των ηλεκτρονίων - 7 Πυκνότητα καταστάσεων Η συνάρτηση ρ t (ε) είναι η ενεργειακή πυκνότητα καταστάσεων δηλαδή ο αριθμός καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας. Σαφέστερα το δίνει το αριθμό των καταστάσεων που η ιδιοτιμή της ενέργειας τους βρίσκεται στο διάστημα [ε ε+dε]. Ισοδύναμα Κεφ. Έστω κάποια συνάρτηση του κυματαριθμού (ή κυματανύσματος) η οποία εξαρτάται από το μέσω της ιδιοενέργειας ε δηλαδή εάν είναι της μορφής φ(ε ) και το ε είναι συνάρτηση του τότε : ε m f φε dε ρ εφε f t R E E - ρ t R(E) είναι ο συνολικός αριθμός καταστάσεων που βρίσκονται ενεργειακά κάτω από το Ε ε dε E - ρ t ε dε RE 6

19 Κίνηση των ηλεκτρονίων - 8 Εφαρμογή στο μοντέλο Jellum ( διαστάσεις (D)): H ιδιοενέργεια ε δίδεται από τη σχέση: H πυκνότητα καταστάσεων R(E) δίδεται : R d E ε E π π π ε E E 0 ε 4π m d 4π m π ε m E Κεφ. O αριθμός καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας ρ(ε) δίδεται : R E E ε m dε d d m ρ dε dε R E d 4π d 4π π π εε εε 4π m m m ε dε ε dε π π εε ρ(ε) ανά σπιν D 7

20 Κίνηση των ηλεκτρονίων - 9 Κεφ. Εφαρμογή στο μοντέλο Jellum (D - D): Σε διαστάσεις (D): E S S m S m S m d π d R( E) π d ( )dε ( )E ρ π π π π Σε διάσταση (D) : 0 ε ( ) L L L m L m d d R( E) d d ε dε ρ π π π m Εφαρμογή στο μοντέλο Jellum (γενική περίπτωση): ρ ε c d E d E m ε ε Όπου d είναι η διάσταση του χώρου και cd είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη διάσταση του χώρου και από τις παγκόσμιες σταθερές m και ħ. π 8

21 Κεφ. 4 Μοντέλο Jellum Κίνηση των ιόντων Τα ιόντα εκτελούν μικρές συζευγμένες ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. Υπάρχουν Ν ανεξάρτητες ιδιοταλαντώσεις ( βαθμοί ελευθερίας και N αριθμός ιόντων). Για κάθε ιδιοταλάντωση α μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε : Α) την ιδιοσυχνότητά της ωα (κοινή εξ ορισμού για όλα τα ιόντα) Β) τα σχετικά πλάτη και φάσεις της μετακίνησης κάθε ιόντος j ua(rj) Γ) την ενέργεια (κινητική και δυναμική) των παραγώγων των ua(rj) Δεδομένης της παραδοχής περί πολτοποίησης των ιόντων αντί για διακριτά ιόντα έχουμε μια ομοιογενή κατανομή μάζας πυκνότητας ρμ της οποίας οι μικρές συζευγμένες ιδιοταλαντώσεις είναι επίπεδα ηχητικά κύματα. Σε ένα ομοιογενές και ισότροπο στερεό έχουμε δύο τύπους ηχητικών κυμάτων: α) τα διαμήκη κύματα (η διεύθυνση της κίνησης των ιόντων συμπίπτει με τη κατεύθυνση διάδοσης του κύματος β) τα εγκάρσια κύματα (η διεύθυνση της κίνησης των ιόντων είναι κάθετη στη κατεύθυνση διάδοσης του κύματος Κβαντική θεώρηση: Κατ αναλογία με το κβάντο του φωτός το φωτόνιο το κβάντο του ηχητικού κύματος (δηλαδή της «φωνής») ονομάζεται φωνόνιο. 9

22 Τέλος Ενότητας

23 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

24 Σημειώματα

25 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διαθέσιμη εδώ.

26 Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα. «Ατομική και ηλεκτρονιακή δομή των στερεών. Μοντέλο Jellum». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

27 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. []