Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/10/2006

Transcript

1 Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/10/006 Άσκηση 1 Υπολογίστε τον όγκο ανά ιόν (σε Å ), την απόσταση πρώτων γειτόνων d (σε Å), τη συγκέντρωση ηλεκτρονίων n (σε cm - ) την παράµετρο για καθένα από τα παρακάτω στερεά, χρησιµοποιώντας: (α) την πυκνότητα µάζας ( ρ Μ ), το ατοµικό βάρος (Α) και το σθένος (ζ) (β) την κρυσταλλική δοµή, την πλεγµατική παράµετρο (a) και το σθένος (ζ). Στερεό Κρυσταλλική a (Å) ζ ρ Μ (g/cm ) οµή A (g/mol) (1) Na FCC () Al FCC () F BCC () C Damond (5) S Damond Άσκηση Για το Al δίνεται ότι η παράµετρος α της εξίσωσης a γ U για την ολική ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο συναρτήσει της παραµέτρου, ισούται µε.99 και ότι στην ισορροπία a.u. (ατοµικές µονάδες). Βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α και µε το µέτρο ελαστικότητας Β και στη συνέχεια υπολογίστε το Β για το Al. Άσκηση (α) Ορίστε την πυκνότητα καταστάσεων D(). (β) είξτε ότι η πυκνότητα καταστάσεων ενός αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων (δηλαδή µε σχέση διασποράς την ) είναι: m L m 1/ D( ) (1D) π ma D ( ) (D) π / m 1/ D( ) (D) π dn( ) Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε τη σχέση D( ), όπου Ν(Ε) εκφράζει το πλήθος d των καταστάσεων µε ενέργεια µικρότερη από Ε. Ασκήσεις Φυσικής Στερεάς Κατάστασης # σελ. 1

2 Λύση άσκησης 1 Χρησιµοποιούµε τους τύπους ΙΟΝΤΑ N A συγκέντρωση ιόντων n A ρ Μ όπου Ν Α αριθµός του Avogado (N A 6,0 10 mol -1 ) A ατοµικό βάρος (σε g/mol) ρ Μ πυκνότητα µάζας (σε g/cm, συνήθως) 1 όγκος ανά ιόν n π π πn ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ συγκέντρωση ηλεκτρονίων: n ζ n όπου ζ το σθένος όγκος ανά ηλεκτρόνιο: ζ παράµετρος : π π πn ζ 1 n () Για το Al (σε FCC) Με την πρώτη µέθοδο 1 A 1 6,98 g mol 1 1, cm 16,59 Ǻ 1 N A ρm 6,0 10 mol,70 g cm Με τη δεύτερη µέθοδο: Για κυβική κυψελίδα ακµής α cll a,05 Ǻ 16,61 Ǻ Ncll Οπότε ζ n Ǻ - 1, cm 16,6 1,097 Ǻ πζ Για την απόσταση πρώτων γειτόνων αναγκαστικά θα χρησιµοποιήσουµε την πληροφορία ότι το πλέγµα είναι FCC, είτε µέσω του d a,86 Ǻ είτε µέσω του d 1,86 1,81 ζ, 86 Ǻ (5) Για το S (σε δοµή διαµαντιού) Με την πρώτη µέθοδο 1 A 1 8, 09 g mol 1, cm 0, 0 Ǻ 1 NA ρm 6,0 10 mol, g cm Με τη δεύτερη µέθοδο: Για κυβική κυψελίδα ακµής α, cll a 5, Ǻ 0,01 Ǻ N 8 8 cll Ασκήσεις Φυσικής Στερεάς Κατάστασης # σελ.

3 Οπότε ζ n 0, Ǻ 0-10 cm 1,061 Ǻ πζ Για την απόσταση πρώτων γειτόνων αναγκαστικά θα χρησιµοποιήσουµε την πληροφορία ότι το πλέγµα είναι διαµάντι, είτε µέσω του d a,5 Ǻ είτε µέσω του d 1,96 1,96 ζ, 5 Ǻ Λύση άσκησης Γενικά για το ατοµικό σύστηµα µονάδων Χρησιµοποιούµε το ατοµικό σύστηµα µονάδων, όπου m 1. Η µετατροπή στο σύστηµα S.I. γίνεται µε βάση το ότι για το µέγεθος Α: 1 a.u. A o (S.I. unt (1) ). A o είναι ένας συνδυασµός των (ħ, m, ) (), που έχει διαστάσεις του µεγέθους Α ( χαρακτηριστικό µέγεθος ). Για το µήκος: a0 πε 0 m Για την ενέργεια: 0 m a0 0 Για την πίεση: P0 a0 Αν αντικαταστήσουµε τις µονάδες των ħ, m, στο S.I. ħ Joul c m g Cb βρίσκουµε α ο 0,59 Ǻ Ε 0 7, P 0 9 Mba () 1 a.u. atomc unt Σύστηµα S.I.: µήκος σε m, µάζα σε g, χρόνος σε c Σύστηµα CGS.: µήκος σε cm, µάζα σε g, χρόνος σε c δηλαδή µια ποσότητα της µορφής ħ α m β γ, όπου α,β,γ ακέραιοι Μονάδα πίεσης στο σύστηµα S.I. είναι το Nt/m Joul/m Pacal 1 Ba 10 5 Pa Ασκήσεις Φυσικής Στερεάς Κατάστασης # σελ.

4 Για το µέτρο ελαστικότητας Β dp B d du B du P d d Χρειάζεται προσοχή στην εφαρµογή του κανόνα αλυσίδας στην παραγώγιση du du d d d / d d αλλά π c c d du 1 du οπότε και d c d d U d 1 du 1 d 1 du 1 du 1 d U + d d c d c d c d c c d c d a γ du a γ d U a γ Είναι U + 6, οπότε d d καταλήγουµε στην 1 α B( ) 10 γ 9c du α Όµως στην ισορροπία (όπου 0 ) είναι d γ οπότε, αντικαθιστώντας το γ από εδώ στην προηγούµενη σχέση, βρίσκουµε το Β στην 1 ισορροπία B 10 α α και αντικαθιστώντας και το c π, καταλήγουµε 9c 1 α B 5 π 6 Ειδικότερα για το Αl 1, 99 B 0,0050 a.u. 0, MBa 1,8 MBa 5 6π 1,891 Ασκήσεις Φυσικής Στερεάς Κατάστασης # σελ.

5 Λύση άσκησης (α) Πυκνότητα καταστάσεων D() πλήθος καταστάσεων µε ενέργειες στην περιοχή από Ε έως Ε+ Ε ανά ενεργειακή περιοχή Ε. Για τον υπολογισµό του D(), ορίζουµε το Ν(Ε) ως το πλήθος των καταστάσεων µε N( Ε+ Ε) Ν( Ε) ενέργεια µικρότερη του Ε. Τότε D( Ε ) που, στο όριο που το Ε Ε dn( Ε) γίνεται απειροστά µικρό, D( Ε ) dε (β) N( ) 1 1 1, γιατί για κάθε κυµατάνυσµα, υπάρχουν δύο < pn µε µε < < δυνατές καταστάσεις, µία µε σπιν 1/ και µία µε σπιν -1/. Επειδή τα κυµατανύσµατα παίρνουν διακριτές τιµές, ( x, y, z) π π π nx, ny, nz L L L, µε n x, n y, n z ακέραιους αριθµούς, κάθε συνιστώσα του π καταλαµβάνει µήκος. Στο όριο που το L είναι πολύ µεγάλο, το διακριτό L φ µετατρέπεται σε ολοκλήρωµα, βάσει του τύπου άθροισµα ( ) D L D φ φ( ) d, όπου D το πλήθος των διαστάσεων. ( ) ( π ) D Για D1: ( m) 1/ 1/ L L L N( ) d π π π dn( ) L m D ( ) d π 1/ Για D: L A A N( ) d ( εµβαδόν κύκλου ακτίνας ) π π ( π) ( π) < Am N ( ) π dn( ) A m D ( ) d π ï Για D: L N( ) d ( όγκος σφαίρας ακτίνας ) π π ( π) ( π) N( ) π < ( m) / / dn( ) ( m) ï D ( ) d π / 1/ Ασκήσεις Φυσικής Στερεάς Κατάστασης # σελ. 5