Ερευνητική εργασία «Η χρήση των Λογιστικών Φύλλων στη διδασκαλία των Μαθηματικών» (μια μελέτη περίπτωσης)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Κατεύθυνση: «Διδακτική των Θετικών Επιστημών: Εκπαιδευτικά Προγράμματα, Αξιολόγηση και Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση» Ερευνητική εργασία «Η χρήση των Λογιστικών Φύλλων στη διδασκαλία των Μαθηματικών» (μια μελέτη περίπτωσης) Μεταπτυχιακή φοιτήτρια: Παπαγεωργίου Βασιλική, Πτυχιούχος Τμήματος Μαθηματικών Επιβλέπων καθηγητής: Ζαχάρος Κωνσταντίνος, Λέκτορας Κόμης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΤΡΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Ι...5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...5 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ...8 Ένταξη των ΤΠΕ στην εκπαίδευση...8 Οι ΤΠΕ στην εκπαίδευση...8 Η Πληροφορική στην ελληνική εκπαίδευση...9 Το ΔΕΠΠΣ και η Πληροφορική στο Γυμνάσιο...11 Επιπτώσεις από την χρήση των υπολογιστών...13 Τα Λογιστικά Φύλλα...16 Η έννοια του λογιστικού φύλλου...16 Συνοπτική περιγραφή του Excel...17 Πλεονεκτήματα από τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων...18 Χρήση των Λογιστικών Φύλλων στην εκπαίδευση...20 Πώς προσεγγίζεται διδακτικά το Excel...22 Προβλήματα που συναντούν οι μαθητές στη χρήση του Excel...23 Τα Μαθηματικά...24 Τα Μαθηματικά στην εκπαίδευση...24 Βασικές αρχές για τη διδασκαλία Μαθηματικών εννοιών...25 Το Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών στα Μαθηματικά...26 Η έννοια της αναλογίας στα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο...27 Μαθηματικά και Λογιστικά Φύλλα...30 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων...32 Συσχετισμός Μαθηματικών εννοιών με έννοιες Λογιστικών Φύλλων...33 Διδακτική προσέγγιση - Εποικοδομισμός...37 Ορισμός Περιγραφή...37 Βασικές θέσεις του εποικοδομισμού...38 Εποικοδομισμός και Μαθηματικά...38 ΜΕΡΟΣ ΙΙ...40 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ...40 Στόχοι έρευνας...40 Μεθοδολογία έρευνας...41 Ποιοτική έρευνα

3 Επίλυση προβλήματος...42 Μελέτη περίπτωσης...44 Πλαίσιο έρευνας...46 Πλαίσιο έρευνας...46 Σχεδιασμός της δραστηριότητας...46 Δείγμα...47 Διαδικασία και χρόνος διεξαγωγής...47 Διδακτική παρέμβαση...48 Συλλογή δεδομένων...49 Περιγραφή της δραστηριότητας...50 Περιγραφή δομημένης συνέντευξης στο Excel...50 Περιγραφή φύλλου εργασίας...53 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ...59 Συλλογή δεδομένων...59 Μοντελοποίηση πειραματικών ευρημάτων...60 Collaboration Analysis Toolkit (Περιβάλλον Ανάλυσης Συμπεριφοράς)...60 Τυπολογίες...62 Μελέτη διαλόγων όσον αφορά τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων...63 Ικανότητες ανταπόκρισης σε βασικές λειτουργίες του Εxcel...63 Σχολιασμός των απαντήσεων...69 Μοντέλο Ανάλυσης...70 Αλγεβρική γνώση Λειτουργικότητα Λογιστικών Φύλλων...70 Μελέτη διαλόγων για την ανάδειξη της έννοιας της αναλογίας...72 Ανάλογα ποσά...72 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά...80 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΠΙΛΟΓΟΣ...88 ΜΕΡΟΣ ΙII...90 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι...90 Πρόγραμμα Σπουδών Πληροφορικής Γυμνασίου (ΔΕΠΠΣ)...90 Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικών...93 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ Δομημένη συνέντευξη της χρήσης βασικών λειτουργιών του Εxcel Ψηφιακά φύλλα του Εxcel (Δραστηριότητα 1-4)

4 Φύλλο εργασίας ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Περιβάλλον εργασίας στο Excel για το φύλλο εργασίας ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙV Διάλογοι Α Ομάδας Διάλογοι Β Ομάδας Διάλογοι Γ Ομάδας ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V Φύλλα εργασίας μαθητών Α Ομάδα Β Ομάδα Γ Ομάδα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 ΜΕΡΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια, οι Τεχνολογίες της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας (ΤΠΕ) έχουν εισβάλει έντονα στη ζωή μας, επηρεάζοντας σημαντικά όλους τους τομείς της σύγχρονης κοινωνίας. Ένας απ αυτούς τους τομείς είναι και η εκπαίδευση, όπου η είσοδος των νέων τεχνολογιών έγινε ιδιαίτερα αισθητή με τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στην εκπαιδευτική διαδικασία. Η εισαγωγή των ηλεκτρονικών υπολογιστών στην εκπαίδευση απασχόλησε πολλούς ερευνητές, όχι μόνο όσον αφορά τον σχεδιασμό και την ανάπτυξη κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού, αλλά παράλληλα όσον αφορά τον τρόπο που μπορεί να επηρεάσει τις διαδικασίες μάθησης και διδασκαλίας. Η εισαγωγή των υπολογιστών στα σχολεία σήμανε παράλληλα την εισαγωγή ενός νέου μαθήματος, της Πληροφορικής. Η εισαγωγή της Πληροφορικής στην εκπαίδευση έγινε με γοργούς ρυθμούς με μια εκπαιδευτική πρακτική που βασίζεται σε τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις: την τεχνοκεντρική προσέγγιση (η Πληροφορική σαν αυτόνομο γνωστικό αντικείμενο), την ολοκληρωμένη προσέγγιση (η Πληροφορική ως εργαλείο διδασκαλίας και μάθησης σε όλα τα μαθήματα και σαν μέσο για μια διαθεματική προσέγγιση) και την πραγματολογική προσέγγιση (η Πληροφορική ως συνδυασμός των δύο παραπάνω τρόπων). Το Γυμνάσιο, είναι η βαθμίδα του ελληνικού σχολείου όπου η διδασκαλία της Πληροφορικής πήρε πολύ γρήγορα αυτόνομη θέση ανάμεσα στα άλλα μαθήματα. Αυτή η διδασκαλία, μια ώρα την εβδομάδα σε κάθε τάξη έχει ως κύριο στόχο «να δώσει στους μαθητές όλα τα απαιτούμενα εφόδια ώστε να εντρυφήσουν στις βασικές έννοιες και όρους της Τεχνολογίας της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας (ΤΠΕ), δηλαδή των τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία, τη μετάδοση και λήψη κάθε πληροφορίας που μπορεί να παρουσιασθεί σε ψηφιακή μορφή, να εκπαιδευτούν στη χρήση κατάλληλου λογισμικού ώστε να αξιοποιήσουν τον υπολογιστή, αρχικά στο πλαίσιο διαφόρων μαθημάτων τους αλλά και στις μετέπειτα δραστηριότητές τους, να γνωρίσουν και να κρίνουν τις τρέχουσες και τις μελλοντικές επιπτώσεις των 5

6 ΤΠΕ σε ατομικό και κοινωνικό επίπεδο αλλά και στους διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας» (ΔΕΠΠΣ). Κατά ένα μεγάλο μέρος, η Πληροφορική δε διδάσκεται ως επιστήμη, αλλά πρόκειται για μια διδασκαλία που στοχεύει στην απόκτηση μιας γενικής κουλτούρας με την χρήση των ΤΠΕ. Σ αυτό το πλαίσιο, η διδασκαλία των εφαρμογών (επεξεργασία κειμένου, Λογιστικά Φύλλα και βάσεις δεδομένων) καταλαμβάνει μια σημαντική θέση, καθώς μπορεί να αξιοποιηθεί «για να καταγράψουν οι μαθητές τις ιδέες τους, να τις επεξεργασθούν, να τις παρουσιάσουν με διάφορους τρόπους και μέσα, να επιλύσουν απλά προβλήματα, να χρησιμοποιήσουν απλά μοντέλα πρόβλεψης και ελέγχου για να προσομοιάσουν και να δοκιμάσουν απλά προβλήματα ή συμπεράσματα από άλλα γνωστικά αντικείμενα» (ΔΕΠΠΣ). Ο στόχος της συγκεκριμένης έρευνας είναι να μελετηθεί η θέση των Λογιστικών Φύλλων στην ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση και συγκεκριμένα στο Γυμνάσιο, πάνω σε δύο άξονες. Αρχικά, θέλουμε να μελετήσουμε τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων, και συγκεκριμένα του Excel, όσον αφορά τις βασικές λειτουργίες του και τα γνωστικά διδακτικά προβλήματα που προκύπτουν από τις βασικές έννοιες των Λογιστικών Φύλλων. Σε δεύτερη φάση θέλουμε να δούμε πώς το Excel υποστηρίζει συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες και πιο συγκεκριμένα πως το Excel μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν υποστηρικτικό εργαλείο για διερεύνηση και μοντελοποίηση πραγματικών καταστάσεων στον άξονα μιας διαθεματικής προσέγγισης. Όσον αφορά τον πρώτο στόχο, στο θεωρητικό πλαίσιο ασχοληθήκαμε αρχικά με γενικές έννοιες διδακτικής και στη συνέχεια με τα δύο επιμέρους αντικείμενα που μας ενδιαφέρουν: την Πληροφορική και τα Μαθηματικά. Όσον αφορά την Πληροφορική, ασχοληθήκαμε με την ενότητα των Λογιστικών Φύλλων και συγκεκριμένα: εντοπίσαμε τις βασικές έννοιες που έχει ως στόχο να αναδείξει η συμβατική διδασκαλία των Λογιστικών Φύλλων σύμφωνα με τα επίσημα κείμενα των προγραμμάτων σπουδών, εντοπίσαμε τις έννοιες που πραγματεύεται το βιβλίο Πληροφορικής της Β τάξης Γυμνασίου όσον αφορά την ενότητα των Λογιστικών Φύλλων και 6

7 πήραμε συνεντεύξεις από καθηγητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης που έχουν διδάξει το μάθημα της Πληροφορικής στην Β τάξη Γυμνασίου, για να διαπιστώσουμε τις γνωστικές δυσκολίες των βασικών εννοιών και τις λανθασμένες ή ανεπαρκείς αναπαραστάσεις των μαθητών που αφορούν τα Λογιστικά Φύλλα.. Για να μπορέσουμε να επιτύχουμε τον δεύτερο στόχο, ασχοληθήκαμε σε θεωρητικό πλαίσιο και με τα Μαθηματικά. Ασχοληθήκαμε με βασικές έννοιες διδακτικής των Μαθηματικών αλλά και με συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες, (την έννοια της αναλογίας των Μαθηματικών - ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά), με το πού εντοπίζονται στο πρόγραμμα σπουδών και τη μέθοδο που προτείνεται για τη διδασκαλία τους. Όσον αφορά το μεθοδολογικό πλαίσιο, βασίστηκε κυρίως στην έρευνα που έγινε με μαθητές της Β τάξης Γυμνασίου, στους οποίους ζητήθηκε αρχικά να αντιμετωπίσουν κάποια ερωτήματα, αποκλειστικά πάνω στις βασικές έννοιες των Λογιστικών Φύλλων, όπως αυτές προέκυψαν απ το θεωρητικό πλαίσιο. Στη συνέχεια τους ζητήθηκε να εμπλακούν σε δύο προβληματικές καταστάσεις μαθηματικής μοντελοποίησης, που είχαν στόχο να αναδείξουν την έννοια της αναλογίας στα Μαθηματικά. Η διαδικασία αυτή έγινε σε κατάλληλα διαμορφωμένο περιβάλλον όπου υπήρχε υπολογιστής για να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές το πρόγραμμα των Λογιστικών Φύλλων, αλλά και έτοιμα φύλλα εργασίας, που δίνονταν τμηματικά από τους ερευνητές. Πρέπει να σημειωθεί ότι η σχολική διδακτέα ύλη στην ελληνική διδασκαλία βασίζεται σε μια προσέγγιση που υποστηρίζει τις παραγωγικές διδακτικές πρακτικές (δηλ. την εφαρμογή της θεωρίας και των γενικών κανόνων σε συγκεκριμένες περιπτώσεις στην επίλυση προβλημάτων) και όχι σε μια προσέγγιση που ενθαρρύνει τις επαγωγικές διδακτικές πρακτικές (δηλ. συγκεκριμένα παραδείγματα και συγκεκριμένες εφαρμογές για τη γενίκευση και κατανόηση). Πάνω σ αυτή την προσέγγιση βασίζεται και η παρούσα μελέτη. 7

8 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Ένταξη των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Οι ΤΠΕ στην εκπαίδευση Είναι φανερό, ότι η εποχή που διανύουμε χαρακτηρίζεται από τη ραγδαία εξέλιξη των νέων τεχνολογιών. Όλοι συμφωνούν, ότι οι υπολογιστικές και δικτυακές τεχνολογίες, λόγω του εγκάρσιου χαρακτήρα τους, διαπερνούν σταδιακά το σύνολο της ανθρώπινης δραστηριότητας και είναι πλέον παρούσες σε μεγάλο μέρος των καθημερινών μας δραστηριοτήτων. Θέτουν έτσι, σημαντικά ζητήματα σχετικά με την οργάνωση και διαχείριση της πληροφορίας, την διαμεσολάβηση μέσω των ψηφιακών τρόπων μετάδοσης της γνώσης, την οργάνωση και τον καταμερισμό της εργασίας, την επικοινωνία από απόσταση κλπ. Ο υπολογιστής και τα μέσα που τον συνοδεύουν, πέρα από τη χρησιμότητά τους ως εργαλεία διεκπεραίωσης καθημερινών εργασιών, ανατρέπουν την ισχύουσα κατάσταση στην εκπαιδευτική διαδικασία και συμβάλλουν τόσο στην καλλιέργεια μιας νέας παιδαγωγικής αντίληψης, διευκολύνοντας νέους ενεργητικούς τρόπους μάθησης, όσο και στην ανάπτυξη νέων στάσεων και δεξιοτήτων. Ο υπολογιστής κάτω από το πρίσμα αυτό καθίσταται διεπιστημονικό εργαλείο προσέγγισης της γνώσης σε όλο σχεδόν το φάσμα του προγράμματος σπουδών. Η εξέλιξη της τεχνολογίας είναι αυτή που καθορίζει σε μεγάλο βαθμό το πεδίο εφαρμογών των υπολογιστών μέσα στην τάξη. Μια από τις αρχικές εφαρμογές τους ήταν το μάθημα των Μαθηματικών κι αυτό γιατί οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν ηλεκτρονικούς υπολογιστές ήταν Μαθηματικοί, αλλά και γιατί οι υπολογιστές εκείνης της εποχής ήταν κατασκευασμένοι για να εξυπηρετούν κυρίως μαθηματικές ανάγκες. Οι υπολογιστές θεωρούνται λοιπόν από τους εκπαιδευτικούς ως βοήθημα ή συμπλήρωμα της διδασκαλίας των Μαθηματικών κι αυτό γιατί με τη χρήση τους, η κουραστική δουλειά των υπολογισμών μπορεί να αντικατασταθεί από το γράψιμο 8

9 προγραμμάτων που δε λύνουν μόνο ένα πρόβλημα αλλά μια ομάδα ομοειδών προβλημάτων. Το National Council of Teachers of Mathematics Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (1989) δίνει έμφαση στο γεγονός ότι κάθε τι που έχει να κάνει με την τεχνολογία προσελκύει το ενδιαφέρον των μαθητών και αυξάνει την περιέργειά τους οδηγώντας τους σε μαθηματικές ανακαλύψεις. Εκτός όμως απ τις μαθηματικές ανακαλύψεις, οι μαθητές χρησιμοποιώντας την τεχνολογία αναπτύσσουν και πολλές άλλες δεξιότητες. Με τη χρήση των ΤΠΕ οι μαθητές αποκτούν τη δυνατότητα να επιλέγουν τις κατάλληλες πηγές για να διερευνήσουν και να επιλύσουν προβλήματα μέσα σε ένα συγκεκριμένο μαθησιακό πλαίσιο, να αναπτύξουν τον τρόπο σκέψης τους, το βαθμό φαντασίας τους, τη δημιουργικότητά τους καθώς και τον πολύπλευρο συλλογισμό για την επίλυση προβλημάτων. Επιπλέον, μπορούν να συνεργάζονται ομαδικά για τη διερεύνηση, ανάλυση και επίλυση προβλημάτων και να παίρνουν πρωτοβουλίες συμμετέχοντας ενεργά στη διαδικασία της μάθησης. Τέλος, μπορούν να διερευνήσουν και να αναλύσουν την ευρύτερη χρήση των ΤΠΕ στον εργασιακό χώρο και να συνεκτιμήσουν τις συνέπειές τους. Η Πληροφορική στην ελληνική εκπαίδευση Η σταδιακά αυξανόμενη χρήση των υπολογιστικών και δικτυακών τεχνολογιών, επηρεάζει την κοινωνία και οδηγεί αναπόφευκτα στην αντίληψη ότι κάθε νέος στα πλαίσια της γενικής του εκπαίδευσης πρέπει να αποκτήσει βασικές γνώσεις αλλά και δεξιότητες σε αυτές τις τεχνολογίες. Κάτω από αυτό το πρίσμα, η εκπαίδευση στην Πληροφορική θα πρέπει να προσφέρει στους σημερινούς μαθητές και αυριανούς πολίτες, όλες τις απαραίτητες γνώσεις και δεξιότητες ώστε να μπορούν να ανταποκριθούν στις απαιτήσεις της σύγχρονης κοινωνίας. Όπως προαναφέρθηκε, η εισαγωγή των ηλεκτρονικών υπολογιστών στα σχολεία, σήμανε παράλληλα την εισαγωγή ενός νέου μαθήματος, της Πληροφορικής. Στην ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (γυμνάσια και λύκεια) η Πληροφορική 9

10 θεωρείται ως αυτόνομο μάθημα εδώ και πάνω από δεκαπέντε έτη. Αρχικά, αποτελούσε μάθημα κατεύθυνσης στην τεχνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (από το 1985), έπειτα έγινε υποχρεωτικό μάθημα αλφαβητισμού στην Πληροφορική στα γυμνάσια (από τις αρχές του 1992), και τέλος αποτέλεσε μάθημα επιλογής στην τεχνολογική κατεύθυνση (μια από τις τρεις κατευθύνσεις για την εισαγωγή στα πανεπιστήμια) στο λύκειο (από τις αρχές του 1999). Επικρατούν τρεις τάσεις χρήσης των υπολογιστών στην εκπαιδευτική διαδικασία, οι οποίες αλληλοσυμπληρώνονται και αλληλοεξαρτώνται (Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Πληροφορικής, 1997): 1. η Πληροφορική ως αυτόνομο γνωστικό αντικείμενο (τεχνοκεντρική προσέγγιση): το πρότυπο αυτό χαρακτηρίζεται από τεχνοκρατικό ντετερμινισμό και έχει ως βασική επιδίωξη την απόκτηση γνώσεων πάνω στη λειτουργία των υπολογιστών και την εισαγωγή στον προγραμματισμό τους (η Πληροφορική δηλαδή ως αυτοτελές γνωστικό αντικείμενο, που στη διεθνή βιβλιογραφία απαντάται με τον όρο απομονωμένη τεχνική προσέγγιση ή κάθετη προσέγγιση). 2. η Πληροφορική μέσα σε όλα τα μαθήματα ως έκφραση μιας ολιστικής, διαθεματικής προσέγγισης της μάθησης (ολοκληρωμένη προσέγγιση): το πρότυπο αυτό εμφανίζεται πρόσφατα και χαρακτηρίζεται από το ότι η διδασκαλία της χρήσης των νέων τεχνολογιών και η χρήση τους ενσωματώνεται στα επιμέρους γνωστικά αντικείμενα του προγράμματος σπουδών (αποδίδεται με τον όρο οριζόντια ή ολιστική προσέγγιση). Σύμφωνα με την προσέγγιση αυτή, τα θέματα που αφορούν τους υπολογιστές και τις νέες τεχνολογίες γενικότερα, διδάσκονται μέσα από όλα τα γνωστικά αντικείμενα του σχολείου και δεν συνιστούν ιδιαίτερο γνωστικό αντικείμενο. Οι υποστηρικτές αυτής της προσέγγισης πιστεύουν ότι η διασπορά της διδασκαλίας και της χρήσης της Πληροφορικής σε όλο το φάσμα του προγράμματος σπουδών και όχι η ένταξή του σε ένα ιδιαίτερο αντικείμενο, μπορεί να βοηθήσει την ουσιαστική και από κοινού δημιουργική συμμετοχή εκπαιδευτικών και μαθητών στην εκπαιδευτική διαδικασία. 3. η Πληροφορική ως συνδυασμός των δύο προηγούμενων τρόπων (πραγματολογική προσέγγιση): 10

11 το πρότυπο αυτό, χαρακτηρίζεται από τη διδασκαλία ενός αμιγούς μαθήματος γενικών γνώσεων Πληροφορικής και την προοδευτική ένταξη της χρήσης των υπολογιστικών και δικτυακών τεχνολογιών ως μέσο στήριξης της μαθησιακής διαδικασίας σε όλα τα γνωστικά αντικείμενα του προγράμματος σπουδών (αποδίδεται και με τον όρο εφικτή ή μικτή προσέγγιση). Η έμφαση στα πλαίσια αυτής της προσέγγισης, δίνεται στις γνωστικές και τις κοινωνικές διαστάσεις της χρήσης της Πληροφορικής στην εκπαιδευτική διαδικασία. Ο τελευταίος τρόπος συνδυάζει παιδαγωγικά πλεονεκτήματα και με τους όρους του εφικτού, διότι οι νέες τεχνολογίες δεν αποτελούν μόνον ένα γνωστικό αντικείμενο, που είναι απαραίτητο σήμερα για τον τεχνολογικό αλφαβητισμό των μαθητών, αλλά και ένα πρωτόγνωρο εποπτικό «πολυμέσο» και γνωστικό εργαλείο διδασκαλίας για όλα τα μαθήματα. Επιπλέον είναι και μια δυνητικά αστείρευτη πηγή πληροφόρησης και επικοινωνίας με τον κόσμο της γνώσης. Η κατάλληλη μάλιστα και εμπνευσμένη παιδαγωγική τους χρήση είναι από μόνη της μια εν δυνάμει καινοτόμος παιδαγωγική μεθοδολογία, που μετασχηματίζει τις παραδοσιακές δομές επικοινωνίας και ευνοεί την εφαρμογή πολλών άλλων παιδαγωγικών αρχών, που ήταν δύσκολο μέχρι τώρα να εφαρμοστούν στο πλαίσιο της παραδοσιακής τάξης. Η προσέγγισή για τη χρήση των νέων τεχνολογιών στα πλαίσια της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης εμπνέεται από το πραγματολογικό πρότυπο εισαγωγής. Το ΔΕΠΠΣ και η Πληροφορική στο Γυμνάσιο Με τη σύνταξη του Διαθεματικού Ενιαίου Πλαισίου Προγραμμάτων Σπουδών για την Πληροφορική, γίνεται γεγονός η ένταξη του μαθήματος της Πληροφορικής σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης. Σύμφωνα λοιπόν με το ΔΕΠΠΣ, όσον αφορά το Γυμνάσιο, «ειδικός σκοπός του μαθήματος της Πληροφορικής στο Γυμνάσιο είναι να δώσει στους μαθητές όλα τα απαιτούμενα εφόδια ώστε να εντρυφήσουν στις βασικές έννοιες και όρους της Τεχνολογίας της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας (ΤΠΕ), δηλαδή των μέσων και των τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία, τη μετάδοση και λήψη κάθε πληροφορίας που μπορεί να παρουσιασθεί σε ψηφιακή μορφή». 11

12 Επιπλέον, στο ΔΕΠΠΣ γίνεται σαφές, ότι το μάθημα της Πληροφορικής στο Γυμνάσιο δεν αποσκοπεί αποκλειστικά και μόνο στη διδασκαλία του μαθήματος ως αυτόνομο αντικείμενο αλλά επιπλέον οι μαθητές καλούνται «να αποκτήσουν γνώσεις σχετικά με τη διαδικασία επίλυσης απλών προβλημάτων με τη χρήση του υπολογιστή και να εκπαιδευτούν στη χρήση κατάλληλου λογισμικού ώστε να αξιοποιήσουν τον υπολογιστή, αρχικά, στο πλαίσιο διαφόρων μαθημάτων τους αλλά και στις μετέπειτα δραστηριότητές τους». Με τη διδασκαλία της Πληροφορικής στο Γυμνάσιο επιδιώκονται, μεταξύ άλλων, οι παρακάτω επιμέρους ειδικοί σκοποί (ΔΕΠΠΣ): Να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές εργαλεία λογισμικού γενικής χρήσης για να καταγράψουν τις ιδέες τους, να τις επεξεργασθούν και να τις παρουσιάσουν με διάφορους τρόπους και μέσα, να επιλύσουν απλά προβλήματα, να χρησιμοποιήσουν απλά μοντέλα πρόβλεψης και ελέγχου για να προσομοιάσουν και να δοκιμάσουν απλά προβλήματα ή συμπεράσματα από άλλα γνωστικά αντικείμενα. Να αναπτύξουν κριτικές δεξιότητες για την αντιμετώπιση προβλημάτων με τη χρήση του υπολογιστή και να επιλύσουν απλά προβλήματα σε προγραμματιστικό περιβάλλον. Να συνεργασθούν για την εκτέλεση συγκεκριμένης εργασίας, να αναπτύξουν πρωτοβουλίες, να σχεδιάσουν, να θέσουν στόχους, να συζητήσουν, να υπερβούν τις αντιθέσεις τους, να διατηρήσουν την ανεξαρτησία τους με σεβασμό στην άποψη των άλλων, να αναγνωρίσουν τη συμβολή της ομαδικής εργασίας στην παραγωγή έργου, να συζητήσουν και να κρίνουν την εργασία τους και την εργασία των άλλων. Να αναπτύξουν κριτική στάση σχετικά με τη χρήση των ΤΠΕ, να αναφέρουν εφαρμογές της Πληροφορικής στο σύγχρονο κόσμο και, τέλος, να ευαισθητοποιηθούν, να συζητήσουν και να προβληματισθούν, να ενημερωθούν και να κατανοήσουν τις επιπτώσεις από την εφαρμογή των ΤΠΕ στους ίδιους, το περιβάλλον, τον πολιτισμό, τη γλώσσα, τις αξίες, τις επιστήμες, την εκπαίδευση, τον εργασιακό χώρο και, γενικότερα, την κοινωνία. 12

13 Επιπτώσεις από την χρήση των υπολογιστών Η χρήση των νέων τεχνολογιών σε όλους τους τομείς, αλλά και πιο συγκεκριμένα στην εκπαίδευση, έχει κατά κύριο λόγο θετικές επιπτώσεις στους μαθητές, χωρίς βέβαια να αποκλείονται και κάποιες αρνητικές συνέπειες. Ο υπολογιστής στην εκπαιδευτική διαδικασία αποτελεί κίνητρο για τους μαθητές, κάνοντας τη μάθηση ενδιαφέρουσα. Επιπλέον όμως κάνει και τη διδασκαλία ενδιαφέρουσα, καθώς οι μαθητές γίνονται ανυπόμονοι να μάθουν για να χρησιμοποιήσουν περισσότερο τον υπολογιστή. Έτσι ο καθηγητής χαίρεται να διδάσκει σε μια τάξη που ενδιαφέρεται να μάθει. Με τη χρήση των υπολογιστών οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να αναπτύξουν τη νοημοσύνη τους και να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους, όχι μόνο όσον αφορά συγκεκριμένα αντικείμενα που αφορούν τους υπολογιστές, αλλά και σε όλα τα αντικείμενα που διδάσκονται. Σημαντικές επιπτώσεις υπάρχουν όσον αφορά τις μαθηματικές δεξιότητες. Ακόμα και οι μαθητές που δεν ενδιαφέρονται για τα Μαθηματικά, με την παρουσία του υπολογιστή στην τάξη αλλάζουν συμπεριφορά και προσπαθούν να δουν τα προγράμματά τους να τρέχουν και τις εργασίες τους να βγάζουν σωστά αποτελέσματα. Αυτό συμβαίνει κυρίως γιατί ο ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι σαν ευχάριστο παιχνίδι για κάθε μαθητή, δεν κοροϊδεύει αυτόν που κάνει λάθος, και μεταχειρίζεται όλους τους μαθητές ανεξαρτήτως ικανοτήτων, με τον ίδιο τρόπο. Οι μαθητές με τη χρήση των υπολογιστών αναπτύσσουν την μαθηματική σκέψη και την ικανότητα επίλυσης προβλήματος. Ο υπολογιστής δεν μπορεί να κάνει τίποτα μόνος του. Πρέπει να του πούμε τι ακριβώς να κάνει και πώς να το κάνει. Κι αυτές τις πληροφορίες πρέπει να τις δώσει ο μαθητής, ο οποίος πρέπει να έχει κατανοήσει πλήρως τη λύση του προβλήματος βήμα προς βήμα. Προκειμένου ο μαθητής να προγραμματίσει τον υπολογιστή πρέπει να χωρίσει το πρόβλημά του σε λογικά βήματα, να αναπτύξει δηλαδή έναν αλγόριθμο. Επομένως τα Μαθηματικά με τον υπολογιστή δεν παραμένουν μια άσκηση υπολογισμών αλλά γίνονται μελέτη των αλγορίθμων και της επίλυσης προβλημάτων. 13

14 Επιπλέον οι μαθητές αποκτούν αφαιρετική σκέψη και ενισχύουν τη μνήμη τους και μπορούν να καλλιεργήσουν το κριτικό πνεύμα τους και να αναπτύξουν πνεύμα συνεργασίας μεταξύ τους, με τη διεκπεραίωση ομαδικών εργασιών με τη χρήση του υπολογιστή. Γενικότερα εξοικειώνονται με την τεχνολογία και έχουν μεγαλύτερη ευχέρεια στη χρήση μηχανών που έτσι κι αλλιώς έχουν εισβάλλει καθοριστικά στη σύγχρονη κοινωνία. Χρησιμοποιώντας τον υπολογιστή, ο μαθητής μαθαίνει να προσεγγίζει με αποτελεσματικότητα πραγματικά προβλήματα. Η δυνατότητα να κάνει προσεγγίσεις και υποθέσεις χωρίς να είναι υποχρεωμένος να εκτελεί κουραστικούς υπολογισμούς με το χέρι του επιτρέπει να ερευνήσει ένα ευρύ φάσμα δυνατοτήτων σε σχετικά μικρό χρόνο. Με τη χρήση του υπολογιστή για την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων οι μαθητές αποκτούν εμπειρία των εφαρμογών των Μαθηματικών χωρίς να πλήττουν επαναλαμβάνοντας τα ίδια και τα ίδια που συχνά μπορεί να οδηγήσει σε αποστροφή για τα Μαθηματικά. Παρόλ αυτά, όπως προαναφέραμε, δεν λείπουν και οι αρνητικές συνέπειες από τη χρήση των υπολογιστών. Συγκεκριμένα, πολλές φορές αποσπάται η προσοχή των μαθητών, από τον εντυπωσιασμό που προκαλούν τα γραφικά και η μουσική επένδυση που συνδέεται με κάποια λογισμικά. Επίσης κάποια λογισμικά μπορεί να είναι ακατάλληλα για κάποιες ηλικίες κι επίσης κάποια άλλα απαιτούν ιδιαίτερη επίβλεψη από τον διδάσκοντα με αποτέλεσμα η πορεία προς τη μάθηση να μην αποτελεί ατομική ενέργεια. Τέλος, ο υπολογιστής ως εργαλείο, μπορεί να κυριεύσει τον μαθητή και να τον κάνει παθητικό δέκτη της γνώσης, εμποδίζοντας τον κάποιες φορές ακόμα και από τη διαδικασία κοινωνικοποίησής του. Εργαλεία για την επεξεργασία δεδομένων Η επεξεργασία των δεδομένων στα σχολικά μαθήματα και η μετατροπή τους σε γνώση μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους με τη χρήση των ΤΠΕ. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα εργαλεία που υποστηρίζουν εργασίες επεξεργασίας δεδομένων στο σχολείο είναι τα Λογιστικά Φύλλα, οι βάσεις δεδομένων, τα γραφικά εργαλεία, οι υπολογιστικές μηχανές και λογισμικά προσαρμοσμένα σε συγκεκριμένα αντικείμενα. 14

15 Η ανάπτυξη πολλών λογισμικών έχει οδηγήσει στην αύξηση της λειτουργικότητας αυτών των εργαλείων. Ένα λογισμικό, για να είναι εύχρηστο και χρήσιμο στους μαθητές, πρέπει να έχει κάποια λειτουργικά στοιχεία, όπως να πινακοποιεί τα δεδομένα σε στήλες, να εκτελεί υπολογισμούς, να ταξινομεί τα δεδομένα, να αναζητά συγκεκριμένες τιμές, να δημιουργεί νέες ομάδες δεδομένων και να μετατρέπει σε γράφημα τα δεδομένα. Υπάρχουν δύο κατηγορίες λογισμικών. Τα λογισμικά γενικής χρήσης ή ανοιχτού τύπου και τα κλειστά λογισμικά. Τα λογισμικά γενικής χρήσης προσαρμόζονται σε πολλές διαφορετικές καταστάσεις (π.χ. ένα Λογιστικό Φύλλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα πλήθος εργασιών). Αυτό προσθέτει στην αξία του σε θέμα κόστους, αλλά ο διδάσκων είναι μπροστά σε ένα πλήθος εργαλείων χωρίς συγκεκριμένο επιστημονικό περιεχόμενο. Αντίθετα, τα κλειστά λογισμικά αναφέρονται σε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο. Τέτοια λογισμικά είναι γραμμένα με ένα συγκεκριμένο περιεχόμενο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συγκεκριμένες περιπτώσεις εφαρμογής σε συγκεκριμένο περιεχόμενο κι έτσι η λειτουργικότητά τους περιορίζεται στο να εξυπηρετεί τις ανάγκες του συγκεκριμένου θέματος. Η επιλογή του λογισμικού που θα υποστηρίξει κάθε διδακτική δραστηριότητα πρέπει να προσαρμόζεται ακριβώς στο πρόγραμμα σπουδών του συγκεκριμένου μαθήματος. Οι αντικειμενικοί στόχοι του μαθήματος ορίζουν το περιεχόμενο του μαθήματος. Στρατηγικές και δραστηριότητες που επιλέγονται απ το διδάσκοντα πρέπει να διευκολύνουν αυτούς τους αντικειμενικούς στόχους να αντιμετωπίζονται όσο πιο αποτελεσματικά γίνεται από τις ομάδες των μαθητών που εμπλέκονται. 15

16 Τα Λογιστικά Φύλλα Η έννοια του λογιστικού φύλλου Τα Λογιστικά Φύλλα είναι ένα από τα πιο διαδεδομένα προγράμματα σε υπολογιστή που χρησιμοποιούνται σαν εργαλείο εξερεύνησης και ανακάλυψης ιδιαίτερα στα Μαθηματικά. Πρόκειται για ένα λογισμικό εφαρμογών γενικής χρήσης και πιο συγκεκριμένα, για ένα εργαλείο υπολογισμού και ανάλυσης δεδομένων που μπορεί να αξιοποιηθεί για οργάνωση, διαχείριση και ταξινόμηση δεδομένων, για γραφική και αριθμητική παρουσίαση δεδομένων και εξαγωγή συμπερασμάτων. Το πρώτο εμπορικό Λογιστικό Φύλλο που δημιουργήθηκε ήταν το VisiCalc που έγινε δημοφιλές σε υπολογιστές Apple II και Apple III και χρησιμοποιήθηκε κυρίως από λογιστές. Με το VisiCalc οι χρήστες άρχισαν να συνειδητοποιούν το δυναμικό αυτού του είδους λογισμικού. Τα Λογιστικά Φύλλα δίνουν τη δυνατότητα στο χρήστη να χειρίζεται και να αναπαριστάνει τις πληροφορίες σε πίνακα. Συγκεκριμένα, ένα Λογιστικό Φύλλο μας επιτρέπει να οργανώσουμε τα δεδομένα μας σε γραμμές και στήλες και αν θέλουμε να αναλύσουμε αυτές τις πληροφορίες χρησιμοποιώντας τύπους, διαγράμματα κλπ. Γενικά χρησιμοποιούμε Λογιστικά Φύλλα όταν ασχολούμαστε με αριθμητικά δεδομένα και ιδιαίτερα για εκτέλεση οποιουδήποτε είδους ανάλυσης στα δεδομένα αυτά. Αυτό που κάνει τα Λογιστικά Φύλλα τόσο σημαντικά είναι ότι υπάρχουν αρκετοί άνθρωποι και εταιρείες που άρχισαν να χρησιμοποιούν μικροϋπολογιστές επειδή ήθελαν να έχουν τις δυνατότητες που προσέφεραν τα Λογιστικά Φύλλα. Τα Λογιστικά Φύλλα είναι ιδανικά για δραστηριότητες υψηλού επιπέδου όπως μοντελοποίηση σύνθετων καταστάσεων, εξερεύνηση των αριθμητικών τύπων μέσα από την ερμηνεία των αποτελεσμάτων της μοντελοποίησης, υποθέσεις μέσω της νοερής απεικόνισης, έλεγχο υποθέσεων μέσω αριθμητικών προφανών καταστάσεων, που μπορούν να οδηγήσουν ακόμη και στην ανάπτυξη μιας τυπικής απόδειξης. 16

17 Συνοπτική περιγραφή του Excel Το Microsoft Excel είναι ένα ηλεκτρονικό πρόγραμμα Λογιστικών Φύλλων. Συχνά αναφέρονται οι όροι «Λογιστικό Φύλλο» και «βιβλίο εργασίας». Για να είμαστε ακριβείς σύμφωνα με τη Microsoft και άλλους εκδότες, ο όρος «βιβλίο εργασίας» αναφέρεται στο φύλλο πίνακα με τις γραμμές και τις στήλες όπου δουλεύουμε, ενώ ο όρος «Λογιστικό Φύλλο» αναφέρεται σ αυτόν τον τύπο εφαρμογής του υπολογιστή. Επιπλέον ο όρος «βιβλίο εργασίας» αναφέρεται στο βιβλίο με τις σελίδες που είναι το βασικό αρχείο στο Excel. Ένα βιβλίο εργασίας μπορεί να περιέχει φύλλα εργασίας, φύλλα διαγραμμάτων ή μακροεντολές. Τα δομικά στοιχεία του Excel είναι: Βιβλίο εργασίας: Το μεγαλύτερο μέρος της οθόνης του Excel αφορά το βιβλίο εργασίας. Το βιβλίο εργασίας αποτελείται από γραμμές και στήλες (σχ. 1). Η τομή μιας γραμμής και μιας στήλης αποτελεί το κελί. Κελί: Ένα βιβλίο εργασίας αποτελείται από κελιά. Υπάρχει ένα κελί στην τομή κάθε στήλης με μια γραμμή (σχ. 1). Ένα κελί μπορεί να περιέχει αριθμούς, κείμενο ή τύπους. Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για υπολογισμούς και γραφήματα. Μπορούμε να έχουμε ακόμα και αριθμούς με τη μορφή ημερομηνίας και ώρας για σκοπούς αναφορών. Το κείμενο χρησιμοποιείται σαν ετικέτα ή για να εξηγήσει το περιεχόμενο του βιβλίου εργασίας και δεν επεξεργάζεται από το Λογιστικό Φύλλο όταν γράφεται. Η τιμή που έχει ένα κελί, εκτός από σταθερά, μπορεί να είναι το αποτέλεσμα ενός τύπου. Ένας τύπος κατευθύνει τον υπολογιστή να κάνει μια λειτουργία σε ένα κελί ή μια ομάδα κελιών και να βάλει την απάντηση στο κελί που εμφανίζεται ο τύπος. Η τιμή ενός τύπου αλλάζει όταν αλλάξει ένας παράγοντας του τύπου. 17

18 Γραμμές, στήλες και φύλλα εργασίας: Το βιβλίο εργασίας του Excel περιέχει γραμμές αριθμημένες από 1 έως Περιέχει επίσης 256 στήλες που ονομάζονται με τα γράμματα A έως Z, AA έως ΑΖ, Β έως ΒΖ κλπ, συνεχίζοντας από ΙΑ έως ΙΖ. Τέλος ένα βιβλίο εργασίας μπορεί να περιέχει έως 256 φύλλα εργασίας με τα ονόματα Φύλλο1, Φύλλο2 κλπ. (σχ. 1) Αναφορά κελιών (ή διεύθυνση κελιών): Η αναφορά κελιών είναι ο συνδυασμός του γράμματος της στήλης και του αριθμού της σειράς. βιβλίο εργασίας κελί (διεύθυνση κελιού: Α1) στήλη γραμμή φύλλο εργασίας Πλεονεκτήματα από τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων Εκτός από τα Μαθηματικά, τα Λογιστικά Φύλλα είναι πιθανώς τα πιο διαδεδομένα προγράμματα για κάθε τύπο αριθμητικού υπολογισμού. Ένας απ τους λόγους αυτής 18

19 της μοναδικότητας των Λογιστικών Φύλλων σαν αριθμητικό περιβάλλον είναι διότι δείχνοντας και κάνοντας κλικ σε ένα κελί δεν χρειάζεται να χρησιμοποιούμε μεταβλητές όπως στα περισσότερα από τα άλλα αριθμητικά περιβάλλοντα. Τα κελιά είναι αντίστοιχα των μεταβλητών. Αυτό είναι φυσικό γιατί η τιμή των μεταβλητών μπορεί να αλλάζει. Ένα μαθηματικό μοντέλο ή ένας τύπος συνδέει τα κελιά ενός φύλλου. Έτσι, ένα Λογιστικό Φύλλο σαν αριθμητικό περιβάλλον επιτρέπει μια εναλλακτική αναπαράσταση των Μαθηματικών δομών. Ένα σημαντικό πλεονέκτημα των Λογιστικών Φύλλων είναι η αυτόματη ενημέρωση. Αν αλλάξει η τιμή ενός κελιού οπουδήποτε στο φύλλο, όλες οι άλλες τιμές που σχετίζονται μ αυτό το κελί θα ενημερωθούν αυτόματα. Έτσι είναι πολύ εύκολο να μελετήσει κανείς μαθηματικές δομές με παραμέτρους. Αν για παράδειγμα το σχήμα ενός γραφήματος εξαρτάται από μια παράμετρο, βάζοντας την τιμή της παραμέτρου, θα ενημερωθεί αυτόματα το σχήμα χωρίς να χρειάζεται να ξεκινήσουμε ένα καινούριο πρόγραμμα όπως θα χρειαζόταν με οποιοδήποτε άλλο μαθηματικό λογισμικό. Επιπλέον τα νεότερα Λογιστικά Φύλλα δίνουν τη δυνατότητα με τη χρήση κουμπιών ελέγχου, ο χρήστης να μπορεί να αλλάζει την τιμή μιας μεταβλητής και το υπόλοιπο φύλλο εργασίας να ενημερώνεται αυτόματα. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τη δημιουργία animation αλλάζοντας με το χέρι μια τιμή. Επίσης σημαντικό πλεονέκτημα των Λογιστικών Φύλλων είναι ότι μπορεί να αναδιπλώνει το περιεχόμενο ενός κελιού κατά μήκος μιας στήλης ή μιας γραμμής. Τελειώνοντας, τα Λογιστικά Φύλλα προσφέρουν καινοτόμους τρόπους εργασίας με μαθηματικές δομές αφού μας επιτρέπουν να σκεφτόμαστε «με οπτικό τρόπο» χωρίς να χρειάζεται να κρατάμε σημειώσεις για τη σειρά που πρέπει να γίνουν οι πράξεις. Τα Λογιστικά Φύλλα προσαρμόζονται πολύ καλά σε προβλήματα με επανάληψη, ανακύκλωση, ή πινακοειδή μορφή και επιτρέπει στους δασκάλους και τους μαθητές να πειραματιστούν με διάφορες τιμές σταθερές ή μεταβλητές κάτι που βοηθά στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος. Τα Λογιστικά Φύλλα μπορούν να βοηθήσουν το χρήστη στην ανάπτυξη αλγορίθμων και στη μοντελοποίηση για την επίλυση Μαθηματικών προβλημάτων. 19

20 Τα Λογιστικά Φύλλα δίνουν τη δυνατότητα στους μαθητές να απεγκλωβιστούν από πολύπλοκες πράξεις και τους επιτρέπει να συγκεντρωθούν στο μαθηματικό πρόβλημα κάθε αυτό. Αυτό επιτρέπει την εις βάθος εξερεύνηση σημαντικών Μαθηματικών εφαρμογών χωρίς έννοια για τους πιθανούς σύνθετους υπολογισμούς που χρειάζονται. Επίσης τα Λογιστικά Φύλλα επιτρέπουν στους μαθητές να βλέπουν την εξέλιξη των υπολογισμών στην οθόνη τους και μπορούν να αλλάζουν μια μεταβλητή κάθε φορά τι αλλαγές προκαλεί στους υπολογισμούς. Χρήση των Λογιστικών Φύλλων στην εκπαίδευση Μέχρι τώρα το Excel διδάσκεται ως αυτόνομο διδακτικό αντικείμενο στην Β τάξη Γυμνασίου και στον τομέα της Πληροφορικής των ΤΕΕ (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, 2000). Οι πιο συνηθισμένες χρήσεις των Λογιστικών Φύλλων είναι η διενέργεια υπολογισμών, σε μεγάλο όγκο οργανωμένων πινακοποιημένων δεδομένων και η αξιοποίηση των γραφικών παραστάσεων που υποστηρίζονται από αυτά. Μπορούν ακόμη να αξιοποιηθούν ως στοιχειώδεις βάσεις δεδομένων χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες ταξινόμησης και αναζήτησης που υποστηρίζουν. Στα περισσότερα μαθήματα επιστημών δίνεται μεγάλη έμφαση στην πρακτική προσέγγιση στη μάθηση μιας επιστήμης. Για να μπορούν καλύτερα οι μαθητές να καταγράφουν και να παρουσιάζουν τα αποτελέσματά τους, είτε σαν μέρος μιας τυπικής πρακτικής δραστηριότητας είτε σαν μέρος μιας μαθητοκεντρικής ανακάλυψης, μπορούν να χρησιμοποιούν τα Λογιστικά Φύλλα. Το λογισμικό μπορεί να ενεργήσει σαν προγραμματίσιμος υπολογιστής για να υποστηρίξει τους μαθητές καθώς επεξεργάζονται τα δεδομένα τους, ή σαν γραφικό εργαλείο για να τους υποστηρίξει στην παρουσίαση των δεδομένων τους. Πέρα από τις τυπικές χρήσεις των Λογιστικών Φύλλων ως αυτόνομη ενότητα, υπάρχουν μια σειρά από δραστηριότητες χρήσης του, καταρχήν για τα Μαθηματικά. Οι καθηγητές των Μαθηματικών μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα Λογιστικά Φύλλα ως εργαλείο για τις μαθηματικές έννοιες σε ένα περιβάλλον πολλαπλών αναπαραστάσεων. Με τον ίδιο σχεδόν τρόπο που κάποιος χρησιμοποιεί το εργαστήριο για να ανακαλύψει και να ερευνήσει τους επιστημονικούς νόμους, η 20

21 εργασία των καθηγητών Μαθηματικών με τα Λογιστικά Φύλλα περιλαμβάνει την εκτίμηση διάφορων αριθμητικών παραμέτρων που ελέγχουν ένα φαινόμενο σε μια πραγματική κατάσταση και παρακολούθηση από την παρατήρηση των αντίστοιχων αλλαγών με γραφική μορφή. Τέτοιες δραστηριότητες μοντελοποίησης στοχεύουν στη κατανόηση των σχέσεων μεταξύ των αριθμητικών, γραφικών και αλγεβρικών αναπαραστάσεων των Μαθηματικών εννοιών. Οι δραστηριότητες μοντελοποίησης που προάγουν την αλληλεπιδραστική και ανοιχτού τύπου εξερεύνηση των Μαθηματικών εννοιών, παίρνουν το πλεονέκτημα από τις δυνατότητες των Λογιστικών Φύλλων που επιτρέπουν στο μαθητή να επεκταθεί πέρα από αυτά που θα μπορούσε να κάνει στο χαρτί και επιπλέον δίνουν τη δυνατότητα στους δασκάλους και τους μαθητές να ανακαλύψουν τις μαθηματικές έννοιες σαν σε περιβάλλον εργαστηρίου. Δημιουργώντας μια τέτοια προσομοίωση οι δάσκαλοι μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές με τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων να φτιάξουν σχέσεις ανάμεσα σε γραφικές, αλγεβρικές και γραφικές αναπαραστάσεις φαινομένων του πραγματικού κόσμου. Μεταξύ άλλων, στις χρήσεις των Λογιστικών Φύλλων στη διδασκαλία των Μαθηματικών, έχει προταθεί η χρήση του για τη γραφική επίλυση συστήματος εξισώσεων καθώς επίσης και στην άλγεβρα Bool (Gradinarova, 1997). Ένα παράδειγμα χρήσης των Λογιστικών Φύλλων στα Μαθηματικά είναι η μεγιστοποίηση του εμβαδού ενός ορθογωνίου με δεδομένη περίμετρο (Garofalo, Shockey, Harper, & Drier, 1999). Το πρόβλημα του εμβαδού μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο μάθημα των Μαθηματικών από το Γυμνάσιο. Το περιβάλλον των Λογιστικών Φύλλων επιτρέπει στους μαθητές να χρησιμοποιούν κουμπιά ελέγχου για να αλλάζουν τις παραμέτρους του προβλήματος και να παρατηρούν δυναμικά τα αποτελέσματα αριθμητικά, γεωμετρικά και γραφικά.. Αυτό το περιβάλλον διευκολύνει την εύρεση πατέντων που μπορούν να οδηγήσουν σε γενικεύσεις. Στο χώρο της Φυσικής έχει προταθεί η σύνδεση των Λογιστικών Φύλλων, µε δεδομένα από λογισμικό προσομοίωσης, µε συγκεκριμένες υλοποιήσεις στο νόμο του Coulomb (Τζιµογιάννης κ.α., 1995) και στην ελεύθερη πτώση (Τζιµογιάννης & Μικρόπουλος, 1997). Ακόμη αξιοποιώντας τη δυνατότητα ανάπτυξης μακροεντολών, 21

22 έχει αναπαρασταθεί το πείραμα του Rutherford και άλλες καταστάσεις (Παλίλης κ.α., 1999). Έχει ακόμη προταθεί η σύνδεση µε πειραματικές συσκευές, ώστε το Λογιστικό Φύλλο να αξιοποιήσει πραγματικές μετρήσεις, καθώς επίσης και η δημιουργία μοντέλων για πρόβλεψη μελλοντικών καταστάσεων (π.χ. δημογραφικών). Τέτοιες προσεγγίσεις μπορεί να είναι χρήσιμες στα πλαίσια της εκπόνησης προγραμμάτων Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης (Χαλκίδης κ.α., 1998). Πώς προσεγγίζεται διδακτικά το Excel Σύμφωνα με τους στόχους του Αναλυτικού Προγράμματος όσον αφορά το μάθημα της Πληροφορικής και συγκεκριμένα την ενότητα για τα Λογιστικά Φύλλα, για τη Β τάξη Γυμνασίου, μετά το τέλος της διδασκαλίας οι μαθητές πρέπει να είναι σε θέση να περιγράφουν τα βασικά χαρακτηριστικά των Λογιστικών Φύλλων, να περιγράφουν τις έννοιες: κελί, ενεργό κελί, διεύθυνση, να διακρίνουν τους διάφορους τύπους δεδομένων που δέχεται ένα κελί, να χρησιμοποιούν απλούς τύπους και συναρτήσεις, να χρησιμοποιούν τις λειτουργίες της αντιγραφής, αποκοπής και επικόλλησης κελιών, να δημιουργούν γραφήματα για τη γραφική απεικόνιση αριθμητικών δεδομένων, να επιλύουν απλά προβλήματα αξιοποιώντας τις δυνατότητες των Λογιστικών Φύλλων, να δημιουργούν καταλόγους (ονομάτων, γεγονότων κ.ά.), να τους ταξινομούν, να αναζητούν στοιχεία και να τους εκτυπώνουν (ΔΕΠΠΣ). Μελετώντας το βιβλίο Πληροφορικής της Β Γυμνασίου διαπιστώσαμε ότι οι έννοιες και τα χαρακτηριστικά των Λογιστικών Φύλλων που διαπραγματεύονται οι μαθητές, είναι: το κελί: το όνομα κελιού, το ενεργό κελί, η γραμμή διόρθωσης, το περιεχόμενο κελιού, η τιμή κελιού, η διαγραφή μετακίνηση αντιγραφή του περιεχομένου κελιών οι τύποι οι συναρτήσεις (αλγεβρικές παραστάσεις): η εισαγωγή τύπων, τα σύμβολα πράξεων, η προτεραιότητα πράξεων 22

23 τα διαγράμματα: ο οδηγός γραφημάτων, η επιλογή δεδομένων, οι μορφές διαγραμμάτων κλπ. Προβλήματα που συναντούν οι μαθητές στη χρήση του Excel Για να διαπιστώσουμε κάποιες αδυναμίες που έχουν οι μαθητές στη χρήση των Λογιστικών Φύλλων και συγκεκριμένα στο Excel, σε πρώτη φάση πήραμε κάποιες συνεντεύξεις από καθηγητές Πληροφορικής που διδάσκουν στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Θέλαμε με αυτόν τον τρόπο να διαπιστώσουμε τις γνωστικές δυσκολίες των βασικών εννοιών και τις λανθασμένες ή ανεπαρκείς αναπαραστάσεις των μαθητών που αφορούν τα Λογιστικά Φύλλα. Σύμφωνα με τις συνεντεύξεις αυτές, διαπιστώσαμε αρχικά ότι τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν κυρίως οι μαθητές έχουν να κάνουν με την αναφορά των κελιών κυρίως για την κατασκευή τύπων, καθώς δεν αντιλαμβάνονται ότι η διεύθυνση του κελιού ορίζει μια μεταβλητή η οποία περιέχει μια τιμή. Επιπλέον, κάποιοι αντιμετωπίζουν πρόβλημα στην εισαγωγή και καταχώρηση των δεδομένων καθώς και στις βασικές λειτουργίες διαγραφής αντιγραφής και μετακίνησης κυρίως όταν πρόκειται για τύπους. Όσον αφορά άλλες δεξιότητες, κάποιοι μαθητές αντιμετωπίζουν μαθηματικής φύσεως προβλήματα, αφού κάνουν λάθη στην προτεραιότητα και το συμβολισμό των πράξεων και τέλος υπάρχουν μαθητές που δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν ορθά τον οδηγό γραφημάτων. 23

24 Τα Μαθηματικά Τα Μαθηματικά στην εκπαίδευση Τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, όπως και σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης έχουν πρωτεύοντα ρόλο (στο Γυμνάσιο διδάσκονται τέσσερις ώρες εβδομαδιαίως σε όλες τις τάξεις). Πολλές φορές οι μαθητές αναρωτιούνται γιατί να μαθαίνουμε Μαθηματικά. Ίσως δεν έχουν καταλάβει ότι τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο μία σειρά συμβόλων, τύπων και θεωριών που απλά κάποιοι διατύπωσαν, αλλά κυρίως η τελειότερη γλώσσα που βασίζεται στη λογική και την απόδειξη. Εξίσου σημαντικό είναι, ότι τα Μαθηματικά είναι δίπλα μας σε κάθε τι σχεδόν που παρατηρούμε, σε κάθε τι που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή. Αρχικά τα Μαθηματικά δεν ήταν παρά μία συλλογή από εμπειρικούς κανόνες υπολογισμού και μέτρησης. Ορθολογική επιστήμη τα κατέστησαν οι Έλληνες από τον 6ο π.χ. αιώνα οπότε και αρχίζει η αντιμετώπιση των φυσικών φαινομένων με το νου. O υποδειγματικός τρόπος σκέψης και έκφρασης, αποτελούν πολιτιστικά στοιχεία που κληροδοτούνται από τα Μαθηματικά στην ανθρωπότητα, όπως και πλήθος Μαθηματικών όρων που χρησιμοποιούμε στις καθημερινές μας συνομιλίες. Αν αναλογιστούμε τα πιο στοιχειώδη Μαθηματικά, τις αριθμητικές πράξεις, η χρησιμότητά τους είναι άμεσα αντιληπτή στις καθημερινές μας συναλλαγές. Επίσης, τα γεωμετρικά σχήματα και στερεά έχουν ιδιότητες τις οποίες εκμεταλλεύονται διάφορες κατασκευές του περιβάλλοντός μας για να έχουν λειτουργικότητα και ευχρηστία. Ένας άλλος κλάδος των Μαθηματικών, η Στατιστική, με τους πίνακες και τα συμπεράσματά της ομαδοποιεί, κατατάσσει και βγάζει συμπεράσματα από μεγάλους όγκους δεδομένων. Τα Μαθηματικά δίνουν τη δυνατότητα σε κάποιον να οργανώνει τις σκέψεις του, να βγάζει σωστές αποφάσεις σε προβλήματά του λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα και κάνοντας λογικές σκέψεις και συνειρμούς. Δεν είναι τυχαίο λοιπόν που σε όλα τα εκπαιδευτικά συστήματα των κοινωνιών και σε όσες αλλαγές και αν γίνουν τα Μαθηματικά έχουν πρωτεύοντα ρόλο. Αποτελούν πάντα διδακτικό αντικείμενο 24

25 βαρύτητας, ώστε ως μαθητές και ως μελλοντικά παραγωγικά στελέχη, να αποκτήσουν θετική διανοητική στάση όπως συλλογιστική δυνατότητα, σαφήνεια, ακριβολογία πειθαρχεία και ερευνητικό πνεύμα. Ότι και αν θέλει ο σημερινός νέος να σπουδάσει, θα βρει μπροστά του τα Μαθηματικά σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό γιατί τα χρησιμοποιούν πολλές επιστήμες ως βάση των γνώσεων που προσφέρουν. Είναι χαρακτηριστικό το παράδειγμα μεταξύ των Μαθηματικών και της Φυσικής που η εξέλιξη της μιας βασίζονταν αποκλειστικά, κατά χρονικές περιόδους, στην εξέλιξη της άλλης. Ακόμα και το σύμβολο του σημερινού μας πολιτισμού, ο υπολογιστής, δουλεύει στο δυαδικό σύστημα. Όπως λοιπόν ισχυρίστηκε κάποιος μαθηματικός φιλόσοφος «δεν υπάρχει ερώτηση που να μην μπορεί να αναχθεί σε ζήτημα αριθμών». Θα έλεγε κανείς ότι τα Μαθηματικά έπρεπε να έχουν τη μεγαλύτερη αποδοχή από όλα τα μαθήματα, αφού η χρησιμότητά τους, η προσφορά τους στην πρόοδο και την ευημερία της ανθρωπότητας, η συμβολή τους στη τεχνική και τεχνολογική ανάπτυξη είναι αναμφισβήτητες. Δε σημαίνει αυτό ότι όλοι πρέπει να σπουδάσουν τα Μαθηματικά και να το κάνουν επάγγελμα. Αρκεί να πάρουν έστω και κάτι μικρό από τη λογική τους και το κέρδος θα είναι μεγάλο (Γρηγόριος Καρπούζας). Βασικές αρχές για τη διδασκαλία Μαθηματικών εννοιών Ο Bruner (1964) στη θεωρία του, ισχυρίζεται ότι η μάθηση των Μαθηματικών ξεκινάει με ένα σύνολο φυσικών ενεργειών όπου οι μαθηματικές δομές πηγάζουν απ το χειρισμό πραγματικών καταστάσεων. Αυτές οι ενέργειες αναπαριστώνται με τη μορφή εικόνων. Με τη βοήθεια συμβολικής έκφρασης μπορεί κάποιος να καταλήξει στις τυπικές ιδιότητες των αντικειμένων που εμπλέκονται σε μια κατάσταση. Μέσα από μια τέτοια διαδικασία νοητικής ανάπτυξης, αναπτύσσει κανείς τρία είδη γνωστικής αναπαράστασης: την πραξιακή, την εικονιστική και τη συμβολική. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για την ανάπτυξη των Μαθηματικών εννοιών ο Bruner προτείνει δέκα βήματα: 25

26 - εισαγωγή ενός πλαισίου - σχηματισμός μιας ερώτησης με στόχο την ανάπτυξη αυτής της έννοιας - εισαγωγή εργαλείων για τη μοντελοποίηση του περιεχομένου και για τις πράξεις - δημιουργία εικόνων για την αναπαράσταση της έννοιας - αναπαράσταση των εικόνων με αριθμητικά σύμβολα - κατάλληλη ορολογία που προκύπτει από τις εικόνες - γενίκευση του αριθμητικού αποτελέσματος σε αλγεβρική δομή - συζήτηση τρόπων για να δικαιολογήσουν μια γενική κατάσταση - επέκταση του περιεχομένου για να μπορέσουν να αναπτυχθούν κι άλλες έννοιες - παραδείγματα εφαρμογής της έννοιας που αναπτύχθηκε και σε άλλο πλαίσιο Πέρα από τα παραπάνω, η διδασκαλία των Μαθηματικών πρέπει να ακολουθεί κάποιες βασικές αρχές, λόγω της φύσης τους, αλλά και της σπουδαιότητας που παρουσιάζουν για όλα τα υπόλοιπα είδη μάθησης των Μαθηματικών (Τουμάσης, Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών (2000), σελ. 232) : 1. Χρησιμοποίηση ενός επαρκούς αριθμού παραδειγμάτων. 2. Εντοπισμός των άσχετων ιδιοτήτων στα παραδείγματα. 3. Χρησιμοποίηση αρνητικών παραδειγμάτων σε συνδυασμό με παραδείγματα. 4. Αναγνώριση των ικανών συνθηκών για ορισμένες έννοιες. 5. Χρησιμοποίηση εικόνων, διαγραμμάτων, γραφικών παραστάσεων και πλεγμάτων. 6. Συνετή χρήση των ορισμών. Το Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών στα Μαθηματικά Από το Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών για τα Μαθηματικά οι μαθητές καλούνται: στο σχεδιασμό και την επεξεργασία Μαθηματικών μοντέλων για την αντιμετώπιση προβλημάτων και ως εκ τούτου στη συνειδητοποίηση της δύναμης και των ορίων των Μαθηματικών, 26

27 στην ικανοποιητική αντιμετώπιση καταστάσεων στις οποίες μπορούν να εφαρμόσουν μαθηματικές διαδικασίες, στη μάθηση της χρήσης των μέσων των νέων τεχνολογιών που έχουν σχέση με τα Μαθηματικά, στην εξερεύνηση και αξιολόγηση στρατηγικών εκτίμησης προσεγγίσεων και αποτελεσμάτων, στη μάθηση συγκεκριμένων στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων, στην ικανότητα συλλογής, ταξινόμησης και παρουσίασης δεδομένων, καθώς και στην ικανότητα μετάφρασης και αποκωδικοποίησης στοιχείων. Η έννοια της αναλογίας στα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο Για την έννοια της αναλογίας, γίνεται αρχικά αναφορά, στα σχολικά εγχειρίδια της πέμπτης και έκτης τάξης του Δημοτικού, όπου οι μαθητές μαθαίνουν τους ορισμούς για τα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά, καθώς και να κάνουν κάποιες απλές εφαρμογές με λόγους και αναλογίες. Στο Γυμνάσιο, σε όλες τις τάξεις γίνεται αναφορά στις αναλογίες και συγκεκριμένα στα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά και τις συναρτήσεις που τα εκφράζουν. Συγκεκριμένα για το Γυμνάσιο, στην Α τάξη, σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά, οι μαθητές πρέπει να μπορούν «να διακρίνουν τα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά και να επιλύουν βασικά προβλήματα εφαρμογών». Η κατανόηση των εννοιών προτείνεται να γίνει μέσα από παραδείγματα και αντιπαραδείγματα, με την κατασκευή γραφικών παραστάσεων με αντίστοιχους πίνακες τιμών για ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά και επίλυση εφαρμογών σε προβλήματα ποσοστών, κλιμάκων κλπ. Στην Β τάξη του Γυμνασίου, η έννοια της αναλογίας έχει συσχετιστεί άμεσα με τις συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, σύμφωνα πάλι με το Αναλυτικό Πρόγραμμα (Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικών, μετά το τέλος της ενότητας με τις «Συναρτήσεις», οι μαθητές πρέπει να είναι σε θέση: 27

28 Να χρησιμοποιούν μεταβλητές για τις τιμές των διαφόρων ποσών. Να εκφράζουν μια μεταβλητή ως συνάρτηση μιας άλλης. Να συντάσσουν έναν πίνακα τιμών μιας συνάρτησης. Να σχεδιάζουν τη γραφική παράσταση απλών συναρτήσεων. Να αντλούν πληροφορίες από μια γραφική παράσταση. Να ελέγχουν αν μια γραμμή είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Επίσης, οι μαθητές πρέπει να διακρίνουν αν δύο ποσά είναι ανάλογα ποσά (Σχολικό εγχειρίδιο, Μαθηματικά Β Γυμνασίου, 2005, σελ. 162), σύμφωνα με τον ορισμό που δίνει το σχολικό εγχειρίδιο δηλαδή ότι «δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό». Πρέπει να γνωρίζουν ότι «αν δυο ποσά είναι ανάλογα, τότε ο λόγος των τιμών του ενός προς τις αντίστοιχες τιμές του άλλου είναι σταθερός» και ότι «οι αντίστοιχες τιμές x, y δύο ανάλογων ποσών συνδέονται με την ισότητα y=αx». Πρέπει τέλος, να μπορούν να παριστάνουν γραφικά τη συνάρτηση y=αx και να διαπιστώνουν ότι «η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων» και ακόμα, να μπορούν να εφαρμόζουν τις ιδιότητες των ανάλογων ποσών για τη λύση προβλημάτων. Όσον αφορά τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά (Σχολικό εγχειρίδιο, Μαθηματικά Β Γυμνασίου, 2005, σελ. 178), οι μαθητές της Β τάξης Γυμνασίου πρέπει να μπορούν να διακρίνουν αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα. Συγκεκριμένα, «δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό». Πρέπει ακόμα να γνωρίζουν ότι «αν δύο ποσά είναι ανάλογα τότε το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό» και ότι «οι αντίστοιχες τιμές x, y δύο αντιστρόφως a ανάλογων ποσών συνδέονται με την ισότητα y =». Τέλος, πρέπει να είναι σε θέση x a να παριστάνουν γραφικά τη συνάρτηση δύο ανάλογων ποσών, την y =, x διαπιστώνοντας ότι είναι μια υπερβολή. 28

29 Στην Γ τάξη Γυμνασίου, οι μαθητές πρέπει να είναι σε θέση «να βρίσκουν τη συνάρτηση που συνδέει δύο μεγέθη». Ουσιαστικά, γίνεται μια επανάληψη σε ότι έχουν διδαχθεί για τις συναρτήσεις στην Β τάξη του Γυμνασίου και γίνεται επιπλέον αναφορά στις συναρτήσεις y = ax+ β, y 2 = ax και 2 y ax β x = + + γ, αλλά δίνεται περισσότερη έμφαση στην κατασκευή και τις ιδιότητες των γραφικών παραστάσεων. 29

30 Μαθηματικά και Λογιστικά Φύλλα Η χρήση προγραμμάτων Λογιστικών Φύλλων παρέχει τη δυνατότητα ταξινόμησης και αναδιοργάνωσης των πληροφοριών με ποικίλους τρόπους. Η ευελιξία στο χειρισμό των δεδομένων δημιουργεί νέες προϋποθέσεις για τη διερεύνηση προβλημάτων. Η χρήση προγραμμάτων Λογιστικών Φύλλων ενθαρρύνει τους μαθητές να ελέγχουν υποθέσεις, να διατυπώνουν εικασίες και να ερμηνεύουν τάσεις, που εμφανίζονται στα δεδομένα. Επίσης τα Λογιστικά Φύλλα χρησιμοποιούνται πολύ στην ερμηνεία γραφικών παραστάσεων. Όλα αυτά καθιστούν τα Λογιστικά Φύλλα ένα δυναμικό σύστημα αναπαράστασης Μαθηματικών εννοιών. Τα Λογιστικά Φύλλα, αν και αρχικά δημιουργήθηκαν για να καλύψουν ανάγκες εταιρειών για διεκπεραίωση των λογιστικών τους, χρησιμοποιήθηκαν αργότερα για να εξυπηρετήσουν και κάποιους εκπαιδευτικούς στόχους για τους εξής λόγους: Είναι ευρέως διαδεδομένο πρόγραμμα που είναι εγκατεστημένο στους περισσότερους υπολογιστές και μπορεί εύκολα να χρησιμοποιηθεί στο σχολείο αλλά και στο σπίτι. Πολλοί εκπαιδευτικοί είναι ήδη εξοικειωμένοι με τη χρήση του για διάφορες δραστηριότητες, όπως ετοιμασία καταλόγων, τήρηση λογαριασμών, κατασκευή γραφικών παραστάσεων κλπ. Είναι φιλικό προς τους χρήστες. Έχει πολλές δυνατότητες προγραμματισμού που μπορούν να αξιοποιηθούν για επίτευξη Μαθηματικών στόχων. Τα Λογιστικά Φύλλα μπορούν να αξιοποιηθούν για τους σκοπούς των Μαθηματικών καθώς έχουν συγκεκριμένες δυνατότητες και λειτουργίες: Λειτουργούν ως ένας τεράστιος πίνακας όπου μπορούμε να καταχωρήσουμε και να επεξεργαστούμε κάθε λογής πληροφορία. Διαθέτουν λειτουργίες, φόρμουλες και ρουτίνες που επιτρέπουν την επεξεργασία αριθμών (στατιστικά, λογικά, αλγεβρικά κλπ). Διαθέτουν εντολές αυτόματης λειτουργίας όπως αθροίσματος, καταχώρησης, μορφοποίησης, συμπλήρωσης, υπολογισμού και φίλτρου. 30

31 Επιτρέπουν την εύκολη μετατροπή αριθμητικών δεδομένων σε γραφικές παραστάσεις. Έτσι αυξάνουν το χρόνο που διατίθεται στην ανάλυση των δεδομένων και της ίδιας της γραφικής παράστασης παρά στη διαδικασία της κατασκευής της (Davis et al, 1997). Καθώς με τη χρήση της τεχνολογίας σκοπός είναι να βελτιωθεί η ποιότητα της διδασκαλίας, η αξιοποίηση του υπολογιστή στη διδασκαλία και ειδικότερα η χρήση των Λογιστικών Φύλλων στα Μαθηματικά, θα μπορούσε να ωφελήσει στα εξής: τον δάσκαλο Θα έχει την ευχέρεια να επικεντρώνεται περισσότερο στους διδακτικούς στόχους και όχι στις δυσκολίες που μπορεί να αντιμετωπίζουν τα παιδιά στη γραφή, το μέτρημα κλπ Θα έχει περισσότερο χρόνο για δραστηριότητες μέσα στην τάξη, αφού μειώνεται η εξάρτηση των μαθητών απ αυτόν. Ο ρόλος του από αναμεταδότης έτοιμων γνώσεων, μετατρέπεται σε καθοδηγητής και σύμβουλος υποστήριξης της διαδικασίας της μάθησης. τον μαθητή Ο υπολογιστής ως μέσο μάθησης επιταχύνει τη διαδικασία, μειώνει τις απαιτήσεις για μνήμη και προωθεί τη δημιουργικότητα (Davis et al, 1997, p. 17). Επιτρέπει την εύκολη μετάβαση μεταξύ της άλγεβρας και των αριθμών (Friedlander, 1998, p.382). Δημιουργεί ένα περιβάλλον όπου τα Μαθηματικά είναι περισσότερο ανάγκη, εργαλείο και μέσο να φτάσουμε σε κάποιο στόχο, παρά απαίτηση. Ενισχύεται έτσι η επικοινωνιακή προσέγγιση (Cornu, 1995). Ανάλογα με τον τρόπο προγραμματισμού των δραστηριοτήτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως εργαλείο αυτοαξιολόγησης (NCTM, 1989, p. 5). Προάγει τον ενεργό ρόλο των μαθητών στη μάθηση και επιτρέπει διαφοροποίηση της εργασίας δίνοντας έμφαση στους στόχους που θέτει το Υπουργείο Παιδείας. Χρησιμοποιείται ως μέσο προώθησης της συνεργατικής μάθησης και της διερευνητικής μεθόδου. 31

32 Προάγει την επικοινωνία κυρίως μέσω της μαθηματικής γλώσσας και λογικής (Sutherland, 1991). Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων Η σύγχρονη κοινωνία με τις συνεχείς αλλαγές στον κοινωνικοοικονομικό τομέα και την ραγδαία τεχνολογική ανάπτυξη, επιβάλλει μια διδασκαλία των Μαθηματικών, που να καθιστά τους μαθητές ικανούς στη λύση προβλημάτων της καθημερινής ζωής και στην ανάπτυξη θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηματικά. Η ενασχόληση με την επίλυση προβλημάτων έχει ιδιαίτερη διδακτική σημασία γιατί τα Μαθηματικά προβλήματα: επιστρατεύουν τις γνώσεις και δεξιότητες των μαθητών προάγουν τη δημιουργικότητα και την πρωτοβουλία των μαθητών βοηθούν τους μαθητές να κατανοούν, να οργανώνουν τη σκέψη τους, να καταστρώνουν το σχέδιο δράσης, να ελέγχουν τα αποτελέσματα και να ανακαλύπτουν νέες γνώσεις Μία πολύ σημαντική δυνατότητα του Excel, είναι αυτή της δημιουργίας σεναρίων και επίλυσης πολύπλοκων προβλημάτων υπό όρους. Συγκεκριμένα, όσον αφορά τη λύση των προβλημάτων, τα Λογιστικά Φύλλα: δίνουν τη δυνατότητα στους μαθητές να σκεφτούν και να ανακαλύψουν τη λύση γρηγορότερα και με παραστατικό τρόπο αφού επικεντρώνονται κυρίως στον τρόπο σκέψης, ενώ οι πράξεις γίνονται αυτόματα, επιτρέπουν ατομικούς ρυθμούς μάθησης όπου το ίδιο το παιδί ελέγχει τη διαδικασία της δικής του μάθησης, αυξάνει τους τρόπους διερεύνησης προς επίλυση των προβλημάτων και εισάγει νέους τρόπους αλληλεπίδρασης με την πληροφορία και τη γνώση, δίνει τη δυνατότητα δημιουργίας ανοικτών προβληματικών καταστάσεων που προάγουν τις ανώτερες νοητικές λειτουργίες. 32

33 Τα Λογιστικά Φύλλα μπορούν να αξιοποιηθούν άριστα για τη δημιουργία επικοινωνιακών καταστάσεων στα Μαθηματικά, στην οποία δίνουν έμφαση οι σύγχρονες τάσεις στη Διδακτική πολλών μαθημάτων, αρκεί να χρησιμοποιηθούν κατάλληλες δραστηριότητες. Επιπλέον τα Λογιστικά Φύλλα επιτρέπουν την επίλυση προβλημάτων με διάφορες στρατηγικές και μπορούν να καλλιεργήσουν: τη λογική σκέψη, την επιλογή κατάλληλης πράξης, την ανάδρομη πορεία, την εκτίμηση και τον έλεγχο, την πινακοποίηση των δεδομένων και την ανακάλυψη αλγορίθμου. Είναι γεγονός, πως οι μαθητές μέσα από την επίλυση προβλημάτων, ενεργοποιούν τις αντιλήψεις τους. Ο ρόλος των προβλημάτων είναι καθοριστικός. Η εκλογή εύστοχων προβλημάτων μπορεί να προκαλέσει όχι μόνο την τροποποίηση ή την απόρριψη, από τον μαθητή, των προηγούμενων αντιλήψεών του διότι δεν του επιτρέπουν να καταλήξει σε μία λύση- αλλά επίσης και στη δημιουργία καινούριων αντιλήψεων περισσότερο προσαρμοσμένων. Η στρατηγική επίλυσης προβλημάτων απαιτεί από τους μαθητές να αναπτύξουν ποικίλες δεξιότητες. Σε πολλά προβλήματα η χρήση του Excel τους βοηθά να οργανώσουν τις σκέψεις τους αλλά και να αποδείξουν την λύση τους. Τα παιδιά κινητοποιούν γνώσεις από προηγούμενα μαθήματα, συνεργάζονται μεταξύ τους και συνειδητοποιούν ότι ο υπολογιστής είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο και δεν έχουμε ακόμα εξαντλήσει τις δυνατότητές του. Συσχετισμός Μαθηματικών εννοιών με έννοιες Λογιστικών Φύλλων Είδαμε και παραπάνω, ότι υπάρχει μια αμφίδρομη και αλληλεπιδραστική σχέση ανάμεσα στο Αναλυτικό Πρόγραμμα των Μαθηματικών και το πρόγραμμα Σπουδών της Πληροφορικής όσον αφορά τη διδασκαλία συγκεκριμένων Μαθηματικών εννοιών σε σχέση με έννοιες των Λογιστικών Φύλλων. Τα Λογιστικά Φύλλα θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν συμπληρωματικά για την όσο το δυνατόν πιο επιτυχημένη καλλιέργεια Μαθηματικών εννοιών και δεξιοτήτων. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την αλληλεπίδραση που θα μπορούσαν να έχουν όλα τα παραπάνω μεταξύ τους, ώστε να συνεισφέρουν στη μάθηση: 33

34 Αναλυτικό Πρόγραμμα Λογιστικά Φύλλα Επικοινωνία Εκτίμηση Ενοποίηση ύλης Επίλυση προβλήματος (διερεύνηση, λογική σκέψη, πειραματισμός) Με ανάλυση περιεχομένου του Αναλυτικού Προγράμματος για τα Μαθηματικά και την Πληροφορική στο Γυμνάσιο, σύμφωνα με τους στόχους διδασκαλίας, θα μπορούσε να γίνει μια συσχέτιση ανάμεσα σε βασικές έννοιες των Μαθηματικών και των Λογιστικών Φύλλων ξεχωριστά για κάθε τάξη του Γυμνασίου. Πρέπει βέβαια οι συγκεκριμένες προτάσεις για δραστηριότητες με τα Λογιστικά Φύλλα, να συμβαδίζουν με την διδαχθείσα ύλη στο μάθημα της Πληροφορικής. Οι έννοιες των Μαθηματικών της Α τάξης Γυμνασίου, που θα μπορούσαν να συσχετιστούν με έννοιες των Λογιστικών Φύλλων είναι λίγες, αφού οι μαθητές δεν διδάσκονται τα Λογιστικά Φύλλα στην Α τάξη, παρά μόνο την αναγκαιότητά τους και το πώς μπορούν να αξιοποιήσουν τις δυνατότητες που τους προσφέρουν τα Λογιστικά Φύλλα στις διάφορες εργασίες τους. Θα μπορούσε λοιπόν να γίνει μια αναφορά σε κάποιες δυνατότητες που προσφέρουν τα Λογιστικά Φύλλα και σχετίζονται άμεσα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα των Μαθηματικών, όπως οι εντολές αυτόματης λειτουργίας που διαθέτουν (αθροίσματος, αυτόματης αρίθμησης, στρογγυλοποίησης κλπ). Πιθανώς θα μπορούσε να γίνει και κάποια αναφορά στην έννοια της μεταβλητής στα Λογιστικά Φύλλα (κελί), σε συσχέτιση πάντα με την ίδια έννοια στα Μαθηματικά. Τέλος, θα μπορούσε να αναφερθεί ότι τα Λογιστικά Φύλλα επιτρέπουν την μορφοποίηση αξόνων συστήματος συντεταγμένων και την κατασκευή γραφημάτων. 34

35 Ένας από τους στόχους του Αναλυτικού Προγράμματος για το μάθημα της Πληροφορικής στην Β τάξη Γυμνασίου είναι, οι μαθητές να αξιοποιούν τις δυνατότητες που προσφέρει το λογισμικό γενικής χρήσης (όπως επεξεργαστές κειμένου, Λογιστικά Φύλλα κλπ) για έκφραση και επικοινωνία, για ανάπτυξη δεξιοτήτων μοντελοποίησης, διαχείρισης πληροφοριών κλπ. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με το Πρόγραμμα Σπουδών Πληροφορικής Γυμνασίου (ΔΕΠΠΣ), στη θεματική ενότητα «Χρήση εργαλείων έκφρασης, επικοινωνίας, ανακάλυψης και δημιουργίας», που πρόκειται να διδαχθεί σε 12 ώρες διδασκαλίας, οι μαθητές επιδιώκεται να μπορούν να αναγνωρίζουν τα βασικά στοιχεία των Λογιστικών Φύλλων και να εκτελούν βασικές και σύνθετες λειτουργίες που σχετίζονται μ αυτά (Βλέπε, «Πώς προσεγγίζεται διδακτικά το Excel», σελ. 21). Στη Β τάξη λοιπόν, είναι φανερό πως μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα Λογιστικά Φύλλα στη διδασκαλία των Μαθηματικών με μεγαλύτερη ευχέρεια, καθώς διδάσκονται αναλυτικά και στο μάθημα της Πληροφορικής. Συγκεκριμένα, θα μπορούσε να δοθεί στους μαθητές εργασία υπολογισμού και μετατροπής ποσών από δραχμές σε ευρώ και αντίστροφα, καθώς αυτό προτείνεται και στο Αναλυτικό Πρόγραμμα των Μαθηματικών. Μπορεί να γίνει εκτενέστερη περιγραφή της έννοιας της μεταβλητής και να συνδυαστεί πλέον με την ονοματολογία και τις διευθύνσεις των κελιών στα Λογιστικά Φύλλα. Μπορεί επίσης να γίνει αναφορά σε πολλές άλλες συναρτήσεις σε σχέση με τη διδασκαλία των Μαθηματικών, όπως οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις κ.ά. Μία από τις σημαντικότερες εφαρμογές των Λογιστικών Φύλλων στη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι η κατασκευή και μελέτη των γραφικών παραστάσεων. Με βάση αυτά που παρουσιάζονται στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Γυμνασίου, όσον αφορά την έννοια της αναλογίας που καλύπτουν βέβαια τους στόχους του Αναλυτικού Προγράμματος για τα Μαθηματικά, όλα μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια των Λογιστικών Φύλλων, με κατάλληλες βέβαια δραστηριότητες. Τα δεδομένα για την κατασκευή μιας γραφικής παράστασης μπορούν εύκολα να καταχωρηθούν σε μορφή πίνακα κι έπειτα με την εισαγωγή γραφήματος να 35

36 μετατραπούν σε γραφική παράσταση. Έτσι αυξάνεται ο χρόνος που διατίθεται στην ανάλυση των δεδομένων και της ίδιας της γραφικής παράστασης παρά στη διαδικασία της κατασκευής της (Davis et al, 1997). Επίσης μπορεί να δοθεί μια έτοιμη γραφική παράσταση για να μελετηθεί, αλλά και να παρατηρηθούν οι αλλαγές που γίνονται σε μια γραφική παράσταση με την αλλαγή κάποιων παραμέτρων. Αν και στο μάθημα της Πληροφορικής της Γ τάξης Γυμνασίου δεν γίνεται καμιά αναφορά στα Λογιστικά Φύλλα, παρόλα αυτά θεωρούνται γνωστά καθότι έχουν διδαχθεί στην Β τάξη Γυμνασίου. Έτσι θα μπορούσε να γίνει οποιαδήποτε δραστηριότητα με Λογιστικά Φύλλα, στα πλαίσια της διδασκαλίας των Μαθηματικών, δεδομένου ότι θα γίνουν όποιες διευκρινίσεις ή υπενθυμίσεις χρειάζονται. Έτσι, όπως και στην Β Γυμνασίου, μπορεί να συνδυαστεί το κεφάλαιο των συναρτήσεων στα Μαθηματικά με την δημιουργία γραφημάτων στα Λογιστικά Φύλλα. Επιπλέον στην Γ τάξη μπορεί να γίνει αναφορά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις των Λογιστικών Φύλλων σε αντιστοιχία με των Μαθηματικών, αλλά και στην επίλυση γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια των Λογιστικών Φύλλων. Εκτός απ την αλγεβρική επίλυση, η γραφική επίλυση ενός συστήματος στο Excel, μπορεί εύκολα να γίνει με τη βοήθεια ενός γραφήματος (προσαρμοσμένοι τύποι έγχρωμες γραμμές). 36

37 Διδακτική προσέγγιση - Εποικοδομισμός Ορισμός Περιγραφή Τα παραδοσιακά διδακτικά μοντέλα που κυριάρχησαν τα χρόνια πριν το 1960, αλλά τα οποία συναντάμε ακόμα και σήμερα, αντιμετώπιζαν τη διδακτική διαδικασία σαν ένα σύστημα επικοινωνίας, στο οποίο βασικό στοιχείο ήταν η παρουσίαση από το δάσκαλο του περιεχομένου της γνώσης. Αντιμετώπιζαν τη διδακτική διαδικασία σαν διαδικασία δυο βημάτων, διδακτικό ερέθισμα μαθησιακή ανταπόκριση, χωρίς να επικεντρώνονται στο ενδιάμεσο στάδιο, την ανάλυση της μαθησιακής διαδικασίας. Τα διδακτικά αυτά μοντέλα επικεντρώνονται περισσότερο στο δάσκαλο και στις ενέργειές του, με τις οποίες θα μεταδοθεί η γνώση, παρά στο μαθητή ο οποίος θα δεχθεί μάλλον παθητικά τις γνώσεις που του παρέχονται. Θεωρήθηκε λοιπόν ότι τα παραδοσιακά διδακτικά πρότυπα ήταν ανεπαρκή για να επιτευχθεί μάθηση, ιδιαίτερα όταν επιδιώκεται ουσιαστική κατανόηση πολύπλοκων γνωστικών αντικειμένων. Το κενό αυτό ήρθε να καλύψει ο εποικοδομισμός (ή κονστρουκτιβισμός), ένα επιστημολογικό παράδειγμα που εμφανίζει ραγδαία ανάπτυξη κατά τις τελευταίες δεκαετίες στο χώρο των επιστημών γενικότερα. Χρησιμοποιήθηκε ως θεωρητικό επιστημολογικό πλαίσιο από τις αρχές του 20ου αιώνα στο χώρο των φυσικών επιστημών αλλά και στην Ανθρωπολογία, την Εθνολογία, την Ψυχολογία, την Παιδαγωγική, τις τέχνες, την Κοινωνιολογία και σε άλλες επιστήμες. Ετυμολογικά ο όρος εποικοδομισμός προέρχεται από τη λέξη δομώ που σημαίνει κατασκευάζω κάτι. Η ιδέα του εποικοδομισμού εμφανίστηκε συστηματικά στην φιλοσοφία και την ιστορία των ιδεών, με το έργο του Ιταλού φιλόσοφου της ιστορίας Giambattista Vico, Scienza Nuova, το 1725, όπου διατύπωσε μια πρώτη άποψη για τον εποικοδομισμό σύμφωνα με την οποία «γνωρίζω κάτι» σημαίνει «δομώ κάτι». Η κεντρική ιδέα του εποικοδομισμού είναι ότι ο μαθητής μαθαίνει όταν οικοδομεί ενεργητικά τη γνώση και δεν την απορροφά παθητικά αποδεχόμενος τις απόψεις των άλλων. Το ερέθισμα για την κατασκευή της νέας γνώσης ξεκινάει από μια προβληματική κατάσταση η οποία δεν μπορεί αρχικά να συμβιβαστεί με την 37

38 προϋπάρχουσα γνώση, η οποία δεν επαρκεί για να λύσει ή να εξηγήσει τη νέα κατάσταση. Στη συνέχεια, η αστάθεια αυτή οδηγεί σε διανοητική δράση και σε τροποποίηση των προηγούμενων αντιλήψεων και γνώσεων ώστε να ερμηνευθεί η νέα εμπειρία. Υπάρχει βέβαια το ενδεχόμενο οι νέες γνώσεις να μην είναι συμβατές ή και να είναι αντίθετες με τις προϋπάρχουσες, οπότε χρειάζεται μικρή ή μεγάλη τροποποίηση της γνωστικής δομής. Βασικές θέσεις του εποικοδομισμού Ο εποικοδομισμός εμφανίστηκε σαν μια θεωρία της επιστήμης η οποία επεξεργάζεται και δίνει απαντήσεις στο ερώτημα πως μπορούμε να φτάσουμε στην βέβαιη γνώση. Με αυτή τη βάση εντοπίζονται οι παρακάτω βασικές θέσεις του εποικοδομισμού οι οποίες αποτελούν το κοινό θεωρητικό υπόβαθρο όλων των εποικοδομητικών προσεγγίσεων: 1. Ο εποικοδομισμός δεν αρνείται ούτε την πραγματικότητα ούτε την αλληλεπίδραση των ατόμων μεταξύ τους και με το περιβάλλον. Εκείνο το οποίο αρνείται είναι η αδυναμία του ανθρώπου να γνωρίσει την πραγματικότητα με οντολογική έννοια. 2. Η γνώση βρίσκεται σε σύνδεση με τον παρατηρητή. Δεν υπάρχει γνώση ανεξάρτητη από τον παρατηρητή. 3. Η παρατήρηση και η περιγραφή προϋποθέτουν διαφοροποιήσεις, οι οποίες δεν προέρχονται από την πραγματικότητα, αλλά καθορίζονται κάθε φορά από τον παρατηρητή. 4. Η επιστήμη μέσα από τους ορισμούς και την ανάλυση βασικών εννοιών προδιαμορφώνει διακρίσεις μεταξύ αντικειμένων, απόψεων κλπ. Οι διακρίσεις αυτές υλοποιούνται μέσα σε ένα πλαίσιο δραστηριοτήτων και η χρησιμότητά τους μέσα στο πλαίσιο αυτό είναι κριτήριο για την καταλληλότητά τους. Εποικοδομισμός και Μαθηματικά Πέρα από τις παιδαγωγικές επιστήμες, ένα προνομιακό πεδίο ανάπτυξης του εποικοδομισμού είναι οι θετικές επιστήμες και ιδιαίτερα τα Μαθηματικά. Εκτός από 38

39 τη βασική παραδοχή του εποικοδομισμού ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει τη γνώση και δεν τη δέχεται παθητικά η θεωρία του εποικοδομισμού περιλαμβάνει τρεις ακόμα βασικές ιδέες: α) Οι μαθητές επινοούν προσωπικές μεθόδους επίλυσης Μαθηματικών προβλημάτων. β) Η μάθηση συντελείται μέσα από την επίλυση Μαθηματικών προβλημάτων. γ) Ο ρόλος της κοινωνικής ομάδας για τη μάθηση είναι καθοριστικός. Όσον αφορά την πρώτη ιδέα της εποικοδομητικής θεωρίας, έχει παρατηρηθεί ότι τα παιδιά προτιμούν να επινοούν και να κατασκευάζουν δικούς τους τρόπους επίλυσης Μαθηματικών προβλημάτων, παρά να ακολουθούν τις υποδείξεις των καθηγητών. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούν οι μαθητές βασίζονται στις προηγούμενες μαθηματικές τους γνώσεις. Έτσι, η διαφορά αυτών των μεθόδων είναι ουσιαστικά η διαφορά των προϋπάρχουσων γνώσεων. Σχετικά με τη δεύτερη ιδέα του εποικοδομισμού, είναι γεγονός πως οι καταστάσεις, τις οποίες οι μαθητές βρίσκουν προβληματικές, προσελκύουν κατά πολύ το ενδιαφέρον τους. Τα παιδιά, ανάλογα με τη μαθηματική τους ωριμότητα και με το στάδιο νοητικής τους ανάπτυξης, προσπαθούν να επιλύσουν εκείνα τα προβλήματα που τους κάνουν αίσθηση. Με αυτό τον τρόπο ενεργοποιείται η μάθηση και οι μαθητές αποκτούν τις διάφορες γνώσεις. Η θεωρία του εποικοδομισμού δίνει, τέλος, μεγάλη έμφαση στο ρόλο και τη συμβολή της κοινωνικής ομάδας στην κατασκευή της γνώσης. Η διαφορά των ιδεών και των απόψεων των μελών της ομάδας προκαλεί αστάθεια, με αποτέλεσμα να γίνεται αναδιοργάνωση της προηγούμενης γνώσης και κατάκτηση της νέας μέσα σε κλίμα επικοινωνίας και συνεργασίας. 39

40 ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Στόχοι έρευνας Ο στόχος της συγκεκριμένης έρευνας είναι να μελετηθεί η δυνατότητα χρήσης ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος ως εργαλείο για τη συνεργατική επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Στο πλαίσιο αυτό, δυάδες μαθητών της Β Γυμνασίου, με κατάλληλα προσαρμοσμένα φύλλα εργασίας και με τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων, καλούνται να επιλύσουν καθημερινά προβλήματα που βασίζονται σε συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες (ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά). Κατά τη διάρκεια της έρευνας γίνονται διδακτικές παρεμβάσεις από τον ερευνητή, οι οποίες στη συνέχεια αναλύονται, μαζί με την αλληλεπίδραση ανάμεσα στους μαθητές και ανάμεσα στο λογισμικό και τους μαθητές, υπό το πρίσμα της αλληλεπίδρασης ανθρώπου υπολογιστή και της διδακτικής των επιστημών. Οι επιμέρους στόχοι της έρευνας βασίζονται σε δύο άξονες: α) Αρχικά θέλουμε να μελετήσουμε τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων και συγκεκριμένα του Excel, όσον αφορά τις βασικές λειτουργίες του και τα γνωστικά διδακτικά προβλήματα που προκύπτουν από τις βασικές του έννοιες. β) Σε δεύτερη φάση θέλουμε να δούμε πώς το Excel υποστηρίζει συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες (ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά) και πιο συγκεκριμένα πως το Excel μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν υποστηρικτικό εργαλείο για διερευνητική και εκφραστική μοντελοποίηση πραγματικών καταστάσεων. Όσον αφορά τον πρώτο στόχο, αρχικά ζητήθηκε στους μαθητές να αντιμετωπίσουν κάποια ερωτήματα, αποκλειστικά πάνω στις βασικές έννοιες των Λογιστικών Φύλλων, όπως αυτές προέκυψαν απ το θεωρητικό πλαίσιο. Στη συνέχεια τους ζητήθηκε να εμπλακούν σε δύο προβληματικές καταστάσεις μαθηματικής μοντελοποίησης, που είχαν στόχο να αναδείξουν την έννοια της αναλογίας στα Μαθηματικά. Η διαδικασία αυτή έγινε με έτοιμα φύλλα εργασίας, που δίνονταν τμηματικά από τους ερευνητές. 40

41 Μεθοδολογία έρευνας Ποιοτική έρευνα Για να γίνει ανάλυση μιας διδακτικής παρέμβασης, ένας αξιόπιστος τρόπος είναι η ποιοτική έρευνα. Στην περίπτωση αυτή, ένας ερευνητής παρατηρεί τη συμπεριφορά των ατόμων, ή των ομάδων, κατά τη διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος, για να βγάλει συμπεράσματα σχετικά με την αλληλεπίδραση των ατόμων μεταξύ τους, ή μεταξύ αυτών και του μέσου που χρησιμοποιείται. Στην περίπτωσή μας γίνεται ποιοτική έρευνα για να μπορέσει ο ερευνητής μελετώντας τους διαλόγους μεταξύ των δυάδων των μαθητών, να κατανοήσει την αλληλεπίδραση που μπορεί να υπάρξει μεταξύ των δύο μαθητών, ή μεταξύ των μαθητών και του υπολογιστικού περιβάλλοντος, κατά τη διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος. Με την ποιοτική έρευνα, την παρουσία και συμμετοχή του παρατηρητή, αποφεύγονται κάποια απ τα μειονεκτήματα άλλων τύπων έρευνας. Έτσι, οι αντιδράσεις των ατόμων είναι πραγματικές, κι αυτά που λένε ανταποκρίνονται στις τρέχουσες σκέψεις τους. Καθώς ο ερευνητής έχει άμεση επαφή με τα μέλη της ομάδας, μπορεί να αποτυπώσει τις αντιδράσεις τους και να κατανοήσει καλύτερα τον τρόπο που σκέφτονται. Στο γεγονός αυτό έρχεται να προστεθεί ένα άλλο χαρακτηριστικό της ποιοτικής έρευνας, το ότι ο ερευνητής δεν παραμένει παθητικός δέκτης του υλικού, αλλά παρεμβαίνει αναπτύσσοντας διάλογο, στην όποια διαδικασία λαμβάνει χώρα. Έτσι, στην περίπτωσή μας με τις δυάδες μαθητών, ο ερευνητής μπορεί να παρέμβει διδακτικά στην όλη διαδικασία. Μπορεί να διορθώσει τυχόν παρανόηση κάποιου ερωτήματος από τους μαθητές, μπορεί να τους παροτρύνει να σκεφτούν περισσότερο για κάποιο ερώτημα, ή ακόμα και να τους οδηγήσει στην εξαγωγή κάποιων συμπερασμάτων που να υποστηρίζουν τους στόχους της έρευνας. Δημιουργώντας συνεχώς νέα ερωτήματα στους μαθητές, ο ερευνητής προσπαθεί να κατανοήσει τον τρόπο με τον αντιλαμβάνονται κάποιες έννοιες, αντιδρούν σε κάποιες καταστάσεις, και γενικά τη διαδικασία που ακολουθούν για να επιλύσουν μια προβληματική κατάσταση. 41

42 Επίλυση προβλήματος Αν και τα προβλήματα κατέχουν σημαντική θέση στα σχολικά Μαθηματικά, δεν συμβαίνει το ίδιο και με τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος. Μόνο πρόσφατα, οι ερευνητές κατέληξαν στο ότι η ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων έχει ιδιαίτερη σημασία. Έτσι, ένας λόγος που καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμη τη διδασκαλία των Μαθηματικών, είναι γιατί βοηθούν στην επίλυση πολλών και διαφόρων ειδών προβλημάτων. Τα προβλήματα που μπορεί να κληθούμε να αντιμετωπίσουμε κατά τη διάρκεια της ζωής μας μπορούν να αναφέρονται σε οποιοδήποτε τομέα όπως στα Μαθηματικά, στη Φυσική, στη Λογική κλπ. Μπορεί επίσης να απαιτούν γνώσεις συγκεκριμένων επιστημών ή απλά οι βιωματικές εμπειρίες να επαρκούν για την αντιμετώπισή τους. Μπορεί να είναι απλά ή πολύπλοκα, πρωτόγνωρα ή συνηθισμένα αλλά σε κάθε περίπτωση, τα προβλήματα πρέπει να γίνονται απολύτως κατανοητά πριν γίνει οποιαδήποτε προσπάθεια αντιμετώπισής τους. Αυτό αποτελεί συνάρτηση δύο παραγόντων: της σωστής διατύπωσης του προβλήματος και της κατανόησης του προβλήματος απ τη μεριά του λύτη. Όλοι οι άνθρωποι δεν λύνουν τα προβλήματα με τον ίδιο τρόπο κι αυτό γιατί ο κάθε λύτης κατασκευάζει τη δική του νοητική αναπαράσταση του προβλήματος, δηλαδή ο κάθε άνθρωπος έχει τον τρόπο του να αντιμετωπίζει μια κατάσταση κάνοντας διαφορετικές ενέργειες. Ο τρόπος με τον οποίο ένα άτομο αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα επηρεάζει σημαντικά την ευκολία με την οποία μπορεί να λυθεί το πρόβλημα ή ακόμα το αν μπορεί να λυθεί. Κατά τη διάρκεια επίλυσης του προβλήματος, οι άνθρωποι ανακαλούν τις γνώσεις που έχουν και θεωρούν ότι είναι σχετικές με το πρόβλημα. Οι πληροφορίες αυτές που ο λύτης διαθέτει σε κάθε σημείο της διαδικασίας επίλυσης του προβλήματος ή αυτές που μπορεί να συγκεντρώσει, ονομάζονται κατάσταση γνώσης. Ο λύτης μετασχηματίζει μια κατάσταση γνώσης σε μια άλλη χρησιμοποιώντας νοητικές διεργασίες. Επειδή οι καταστάσεις γνώσης και οι νοητικές διεργασίες των λυτών διαφέρουν, διαφέρει και ο τρόπος με τον οποίο αντιμετωπίζουν μια κατάσταση. 42

43 Ένας νέος παράγοντας που βοηθάει στην επίλυση προβλήματος είναι οι νέες τεχνολογίες, που παρέχουν στους μαθητές πολλές μεθόδους για να αναπαριστάνουν τις γνώσεις τους. Όταν οι μαθητές χρησιμοποιούν τεχνολογίες για να αναπαραστήσουν τις γνώσεις τους, οι τεχνολογίες λειτουργούν σαν γνωστικά εργαλεία. Με τον όρο γνωστικό εργαλείο εννοούμε τις εφαρμογές και τα περιβάλλοντα που έχουν δημιουργηθεί ή προσαρμοστεί έτσι ώστε να λειτουργούν ως διανοητικοί συνεργάτες του μαθητή υποστηρίζοντας και ενισχύοντας την κριτική σκέψη και την ανάπτυξη γνώσεων και δεξιοτήτων υψηλού επιπέδου (Κόμης, 2004). Όπως και οι τρόποι αναπαράστασης της γνώσης έτσι και τα γνωστικά εργαλεία βασίζονται στην ιδέα ότι οι άνθρωποι μαθαίνουν περισσότερο κατασκευάζοντας και αιτιολογώντας τα δικά τους μοντέλα παρά μελετώντας τα μοντέλα των άλλων. Κατασκευάζοντας γνωστικά εργαλεία για να αναπαραστήσουν τις γνώσεις τους οι μαθητές μπαίνουν σε κριτική, δημιουργική και σύνθετη σκέψη καθώς αναλύουν, συνδέουν, συνθέτουν, σχεδιάζουν, λύνουν προβλήματα, λαμβάνουν αποφάσεις. Στην έρευνά μας, οι μαθητές, με τη βοήθεια του ερευνητή, ενός φύλλου εργασίας κι ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος, καλούνται να αντιμετωπίσουν δύο προβλήματα μοντελοποίησης, καθημερινής φύσεως, που σχετίζονται άμεσα με τις μαθηματικές έννοιες των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών. Συγκεκριμένα, ζητήθηκε στις τρεις δυάδες των μαθητών να κατασκευάσουν με τη χρήση του Excel, ένα μοντέλο για να υπολογίσουν αρχικά, το κόστος κινητής τηλεφωνίας με σταθερό πάγιο αλλάζοντας τα λεπτά ομιλίας (ανάλογα ποσά) κι έπειτα τα λεπτά ομιλίας με μηδενικό πάγιο και σταθερό κόστος κινητής τηλεφωνίας (αντιστρόφως ανάλογα ποσά). Επίσης, πριν την κατασκευή του μοντέλου είχαν κάποια ερωτήματα να απαντήσουν σχετικά με τις σκέψεις που κάνουν και τους οδηγούν στην κατασκευή του μοντέλου, επιλύοντας μικρότερα ανάλογα προβλήματα στο χαρτί. Τέλος, μετά την επίλυση του προβλήματος και την κατασκευή του μοντέλου, έπρεπε να καταλήξουν στους ορισμούς για τις συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες και σε κάποιες ιδιότητες που έχουν αυτές, σύμφωνα και μ αυτά που προτείνει το αντίστοιχο κεφάλαιο στα σχολικά Μαθηματικά. 43

44 Μελέτη περίπτωσης Τα δεδομένα της παρούσας έρευνας είναι ποιοτικά και ο τρόπος παρατήρησης βασίζεται στη μελέτη περίπτωσης (Louis Cohen-Lawrence Manion, Μεθοδολογία εκπαιδευτικής έρευνας, Μελέτες περίπτωσης (σελ )). Ο ερευνητής της μελέτης περίπτωσης κατά κανόνα παρατηρεί τα χαρακτηριστικά μιας μονάδας ενός παιδιού, μιας παρέας, μιας σχολικής τάξης, ενός σχολείου ή μιας κοινότητας. Ο σκοπός αυτής της παρατήρησης είναι να εξερευνήσει βαθιά και να αναλύσει συστηματικά τα διάφορα φαινόμενα που συνθέτουν τον κύκλο ζωής της μονάδας, προκειμένου να κάνει γενικεύσεις σχετικά με τον ευρύτερο πληθυσμό στον οποίο ανήκει αυτή η μονάδα. Στις μέρες μας γίνεται ευρεία χρήση της μελέτης περίπτωσης, στη σύγχρονη κοινωνική επιστήμη και την εκπαιδευτική έρευνα. Αυτή η ευρεία χρήση χαρακτηρίζεται από ένα εξίσου ποικιλόμορφο φάσμα τεχνικών, που αξιοποιούνται στη συλλογή και ανάλυση τόσο ποιοτικών όσο και ποσοτικών δεδομένων. Όποιο κι αν είναι το πρόβλημα ή η προσέγγιση, στην καρδιά κάθε μελέτης περίπτωσης βρίσκεται μια μέθοδος παρατήρησης. Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι παρατήρησης: συμμετοχική παρατήρηση και μη συμμετοχική παρατήρηση. Στην πρώτη, οι παρατηρητές εμπλέκονται στις ίδιες τις δραστηριότητες που επιχειρούν να παρατηρήσουν και συχνά θεωρούνται από τους άλλους συμμετέχοντες σαν μέλη της ομάδας. Αντίθετα, στη μη συμμετοχική παρατήρηση, οι παρατηρητές απλά παρατηρούν, χωρίς να επεμβαίνουν με κάποιο τρόπο στη διεξαγωγή της έρευνας. Η μελέτη μας στηρίζεται στη συμμετοχική παρατήρηση. Κάποια από τα πλεονεκτήματα της συμμετοχικής παρατήρησης είναι ότι: 1. Οι μελέτες παρατήρησης είναι καλύτερες από τα πειράματα και τις επισκοπήσεις, όταν συλλέγονται δεδομένα σχετικά με τη μη λεκτική συμπεριφορά. 2. Στις μελέτες παρατήρησης, οι ερευνητές μπορούν να διακρίνουν τη συνεχιζόμενη συμπεριφορά όσο αυτή λαμβάνει χώρα και μπορούν να κρατήσουν κατάλληλες σημειώσεις σχετικά με τα χαρακτηριστικά της. 44

45 3. Οι παρατηρήσεις στο πλαίσιο της μελέτης περίπτωσης είναι λιγότερο αναδραστικές απ ότι είναι άλλοι τύποι μεθόδων συλλογής δεδομένων. Σύμφωνα με τον Adelman (1980) οι μελέτες ατομικής περίπτωσης έχουν μια σειρά από πλεονεκτήματα που τις κάνουν ελκυστικές στους ερευνητές ή σ αυτούς που ασχολούνται με την αξιολόγηση στο χώρο της εκπαίδευσης. Έτσι: 1. Τα δεδομένα της μελέτης περίπτωσης είναι «ισχυρά στην πραγματικότητα», αλλά είναι δύσκολο να οργανωθούν. Αντιθέτως, άλλα ερευνητικά δεδομένα είναι συχνά «αδύναμα στην πραγματικότητα», αλλά επιδέχονται εύκολη οργάνωση. Αυτό οφείλεται στο ότι οι μελέτες περίπτωσης είναι ρεαλιστικές και συγκρατούν την προσοχή σε αρμονία με την εμπειρία του ίδιου του ερευνητή, και έτσι παρέχουν μια φυσική βάση για γενίκευση. 2. Οι μελέτες περίπτωσης επιτρέπουν γενικεύσεις είτε σχετικά με μία περίσταση είτε από μια περίσταση σε μια τάξη περιστάσεων. Η ιδιαίτερη δύναμή τους έγκειται στην προσοχή που δίνουν στην λεπτομέρεια και στην πολυπλοκότητα της ίδιας της περίπτωσης. 3. Οι μελέτες περίπτωσης, αν τις δούμε ως προϊόντα, μπορούν να αποτελέσουν ένα αρχείο περιγραφικού υλικού, που είναι αρκετά πλούσιο, ώστε να επιδέχεται μεταγενέστερη επανερμηνεία. Δεδομένου ότι οι εκπαιδευτικοί σκοποί και τα περιβάλλοντα είναι ποικίλα και πολύπλοκα, το να υπάρχει μία πηγή δεδομένων για ερευνητές και χρήστες των οποίων οι σκοποί μπορεί να διαφέρουν από τους δικούς μας έχει εμφανή αξία. 4. Οι μελέτες ατομικής περίπτωσης παρουσιάζουν τα δεδομένα έρευνας ή αξιολόγησης σε μορφή που είναι περισσότερο προσβάσιμη σε σχέση με άλλα είδη ερευνητικών εκθέσεων, παρ ότι αυτή η αρετή συνήθως έχει ως ένα βαθμό ως τίμημα την έκτασή τους. Η γλώσσα και η μορφή της παρουσίασης είναι λιγότερο εσωτερική και λιγότερο εξαρτώμενη από την εξειδικευμένη ερμηνεία απ ότι συμβαίνει με τις παραδοσιακές ερευνητικές εκθέσεις. Η μελέτη περίπτωσης, έχει τη δυνατότητα να εξυπηρετεί πολλά είδη κοινού. 45

46 Πλαίσιο έρευνας Σχεδιασμός της δραστηριότητας Η έρευνα έγινε με μαθητές της Β τάξης Γυμνασίου, στους οποίους ζητήθηκε αρχικά να αντιμετωπίσουν κάποια ερωτήματα, αποκλειστικά πάνω στις βασικές έννοιες των Λογιστικών Φύλλων, όπως αυτές προέκυψαν απ το θεωρητικό πλαίσιο. Συγκεκριμένα, στο πρώτο μέρος δεν δόθηκε φύλλο εργασίας στους μαθητές, αλλά ο ερευνητής έδινε προφορικά στους μαθητές, τα ερωτήματα ενέργειες που έπρεπε να κάνουν σχετικά με βασικές λειτουργίες των Λογιστικών Φύλλων, κι αυτοί έπρεπε να κάνουν τις αντίστοιχες ενέργειες στο κατάλληλα διαμορφωμένο φύλλο υπολογισμών που είχαν μπροστά τους (στην οθόνη του υπολογιστή). Τα ερωτήματα που αφορούσαν τις βασικές λειτουργίες του Excel, βασίστηκαν στο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Πληροφορικής στο Γυμνάσιο, και συγκεκριμένα στην ενότητα των Λογιστικών Φύλλων, όπως τα διδάσκονται οι μαθητές της Β τάξης Γυμνασίου. Επιπλέον λήφθηκαν υπόψη οι συνεντεύξεις που πήραμε από καθηγητές Πληροφορικής σχετικά με τα λάθη που κάνουν οι μαθητές στην κατανόηση βασικών εννοιών και λειτουργιών στα Λογιστικά Φύλλα. Τέλος, οι έννοιες και οι λειτουργίες που εντάξαμε στα ερωτήματα, είχαν να κάνουν κυρίως μ αυτά που θα χρειαζόταν οι μαθητές για την κατασκευή του μοντέλου στο δεύτερο μέρος της έρευνας. Στο δεύτερο μέρος της έρευνας ζητήθηκε από τους μαθητές να εμπλακούν σε δύο προβληματικές καταστάσεις μαθηματικής μοντελοποίησης, με έτοιμα φύλλα εργασίας τα οποία δίνονταν τμηματικά απ τους ερευνητές. Εκτός από τα φύλλα εργασίας, όπου οι μαθητές σε κάποια ερωτήματα - προβλήματα έπρεπε να απαντήσουν γραπτά, στο δεύτερο κομμάτι του φύλλου εργασίας, τα ερωτήματα τους ζητούσαν να κατασκευάσουν το μοντέλο στο οποίο κατέληξαν γραπτά στα προηγούμενα ερωτήματα, με τη βοήθεια του επίσης κατάλληλα διαμορφωμένου φύλλου υπολογισμών στην οθόνη του υπολογιστή τους. Για την κατασκευή του φύλλου εργασίας και του κατάλληλα διαμορφωμένου λογιστικού φύλλου, λήφθηκε υπόψη το Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών και 46

47 Πληροφορικής για την Β τάξη Γυμνασίου, τα Βιβλία Πληροφορικής και Μαθηματικών της Β τάξης Γυμνασίου και οι προγενέστερες γνώσεις των μαθητών σχετικά με τις έννοιες των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών. Επίσης, το πρόβλημα που επιλέχθηκε να μοντελοποιήσουν και να επιλύσουν οι μαθητές, προσπαθήσαμε να είναι όσο το δυνατόν πιο ενδιαφέρον, σύγχρονο και αληθινό για αυτούς, και η επιφάνεια εργασίας στο Excel, ελκυστική και κατανοητή για τους μαθητές για να τους κεντρίσει το ενδιαφέρον. Δείγμα Το δείγμα αποτέλεσαν τρεις δυάδες μαθητών της Β τάξης Γυμνασίου που φοιτούν σε σχολείο της Πάτρας. Οι δύο πρώτες δυάδες αποτελούνταν από κορίτσια ενώ η τρίτη από ένα αγόρι κι ένα κορίτσι. Οι μαθητές αυτοί επιλέχθηκαν τυχαία, χωρίς ιδιαίτερη έμφαση στην επίδοση που είχαν στα μαθήματα της Πληροφορικής και των Μαθηματικών. Όλοι οι μαθητές, κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς είχαν διδαχθεί την ενότητα των Λογιστικών Φύλλων στο μάθημα της Πληροφορικής, αλλά και το κεφάλαιο με τις «Συναρτήσεις» που περιέχει τα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά στο μάθημα των Μαθηματικών. Διαδικασία και χρόνος διεξαγωγής Η έρευνα έγινε σε κατάλληλα διαμορφωμένη αίθουσα με υπολογιστή, αλλά και όλα τα απαραίτητα μέσα για τη συλλογή των δεδομένων. Όσον αφορά το πρώτο μέρος της έρευνας, προσαρμόσαμε το περιβάλλον εργασίας του Excel, ώστε να φαίνονται τέσσερις δραστηριότητες στις οποίες ζητήθηκαν απ τους μαθητές να απαντήσουν σε κάποιες απλές σχετικά ερωτήσεις για να διαπιστωθεί αν είχαν κατανοήσει τις βασικές έννοιες και λειτουργίες των Λογιστικών Φύλλων: ονομασία διεύθυνση κελιών, μορφοποίηση κελιών, εισαγωγή και καταχώρηση δεδομένων, εισαγωγή τύπων, δυναμική αναπαράσταση δεδομένων με διαγράμματα, κατασκευή διαγράμματος κλπ. Η διαδικασία αυτή διήρκησε περίπου ένα τέταρτο για την κάθε ομάδα. 47

48 Στο δεύτερο μέρος, που διήρκησε το υπόλοιπο της ώρας, δόθηκε στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας (Βλέπε, Παράρτημα, σελ. 100), αποτελούμενο από δύο μέρη, στο οποίο οι μαθητές κλήθηκαν να απαντήσουν σε κάποια ερωτήματα γραπτώς πάνω στα φύλλα τους και σε κάποια ερωτήματα να χρησιμοποιήσουν το Excel για να βγάλουν κάποια συμπεράσματα. Οι δύο προβληματικές καταστάσεις είχαν να κάνουν με τις έννοιες των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών στα Μαθηματικά, αλλά δόθηκαν σε μορφή προβλήματος καθημερινής φύσεως (κόστος κινητής τηλεφωνίας). Οι μαθητές όριζαν απ την αρχή ποιος θα χρησιμοποιεί το ποντίκι και ποιος θα γράφει, χωρίς αυτό να μένει απαραίτητα αμετάβλητο στη συνέχεια, κι επιπλέον είχαν την δυνατότητα να συζητούν μεταξύ τους κάθε τι που τους προβλημάτιζε και να ανταλλάσσουν απόψεις. Σε κάθε δυάδα ακολουθήθηκε η ίδια ερευνητική πορεία η οποία διήρκησε για την καθεμία ξεχωριστά, περίπου μία ώρα. Διδακτική παρέμβαση Ο ρόλος του ερευνητή στο πρώτο μέρος ήταν να διαπιστώσει τυχόν αδυναμίες των μαθητών πάνω στις βασικές έννοιες και λειτουργίες του Excel, να τους υπενθυμίζει όπου χρειαζόταν τη χρήση του λογισμικού και να τους υποδείξει τον σωστό τρόπο αντιμετώπισης των δραστηριοτήτων. Τους έδινε βέβαια πρώτα τον απαραίτητο χρόνο να σκεφτούν, ή να θυμηθούν πιθανώς πριν απαντήσουν, και το περιθώριο να συζητήσουν μεταξύ τους, πριν παρέμβει ο ίδιος. Ο ρόλος του ερευνητή στο δεύτερο μέρος ήταν ως διακριτικός παρατηρητής που συμμετείχε στη διαδικασία μόνο όταν χρειαζόταν να τους υπενθυμίσει τη χρήση του λογισμικού. Πάνω σε κάθε ερώτημα ακολουθούσε συζήτηση πριν οι μαθητές καταλήξουν στις απαντήσεις τους. Αναπτύσσοντας διάλογο, ο ερευνητής οδηγούσε τους μαθητές στο να βγάλουν κάποια συμπεράσματα σχετικά με τους στόχους της έρευνας, αλληλεπιδρώντας μεταξύ τους και με το λογισμικό. 48

49 Συλλογή δεδομένων Για τη συλλογή των δεδομένων βοήθησε ο κατάλληλα διαμορφωμένος χώρος. Έγινε βιντεοσκόπηση και των τριών ομάδων, καθ όλη της διάρκειας της συνέντευξης και της διδακτικής παρέμβασης, αλλά και σύλληψη των οθόνων προσωπικής χρήσης του κάθε μαθητή με ειδικά σχεδιασμένο πρόγραμμα. Τα δεδομένα που συλλέχθηκαν (βίντεο, φύλλα εργασίας, άλλες σημειώσεις) αναλύθηκαν με τη βοήθεια του Collaboration Analysis Tool (Περιβάλλον ανάλυσης συμπεριφοράς, Βλέπε «Collaboration Analysis Tool», σελ. 60) απ όπου προέκυψαν ή επαληθεύθηκαν κάποιες σημαντικές πληροφορίες σύμφωνα με τον αρχικό στόχο της έρευνας. 49

50 Περιγραφή της δραστηριότητας Περιγραφή δομημένης συνέντευξης στο Excel Στο πρώτο μέρος της έρευνας, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στόχος ήταν, με μια δομημένη συνέντευξη, να διαπιστώσουμε αν οι μαθητές γνωρίζουν κάποιες βασικές έννοιες και λειτουργίες στο Excel, και να τους υπενθυμίσουμε κάποια πράγματα που πιθανώς να μην θυμούνται ή να έχουν κατανοήσει λάθος. Αυτό έγινε με την προοπτική οι μαθητές να μην αντιμετωπίσουν πρακτικά προβλήματα χρήσης του λογισμικού στο δεύτερο μέρος της έρευνας που αφορά τα Μαθηματικά. Η δομημένη λοιπόν συνέντευξη της χρήσης βασικών λειτουργιών στο Excel, διήρκεσε περίπου ένα τέταρτο για την καθεμιά από τις τρεις δυάδες μαθητών. Δεν δόθηκαν φωτοτυπίες στους μαθητές, παρά μόνο τα αντίστοιχα ψηφιακά φύλλα του Excel «δραστηριότητα 1-4» (Βλέπε Παράρτημα, σελ. 98). Η διαδικασία καταγράφηκε (οθόνη και πρόσωπα). Η πρώτη δραστηριότητα αφορούσε την εισαγωγή περιεχομένου και ειδικές μορφοποιήσεις εμφάνισης στα κελιά. Συγκεκριμένα, ζητήθηκε από τους μαθητές να βρουν σε ποιο κελί είναι γραμμένη η λέξη «μαθητής» (Σχ. 1), να γράψουν στο κελί Β13 τη λέξη «πολυκατοικία» και να κάνουν την κατάλληλη μορφοποίηση ώστε να φαίνεται σωστά η λέξη. Επιπλέον, τους ζητήθηκε να γράψουν στο κελί Β3 ένα δεκαδικό αριθμό (24789,2) και να κάνουν την κατάλληλη μορφοποίηση ώστε αυτός να μην στρογγυλοποιείται αυτόματα. 50

51 (Σχ. 1) Η δεύτερη δραστηριότητα αφορούσε τη χρήση τύπων, σχετικών διευθύνσεων και τη δυναμική αντικατάσταση του αποτελέσματος. Συγκεκριμένα ζητήθηκε από τους μαθητές να υπολογίσουν την τιμή μιας αριθμητικής παράστασης ( ) και να 14 τοποθετήσουν το αποτέλεσμα στο κελί Ε4 (Σχ. 2). Στη συνέχεια τους ζητήθηκε να αλλάξουν το περιεχόμενο του κελιού Β4 και να παρατηρήσουν τι θα συμβεί. Τέλος τους ζητήθηκε να βάλουν στο κελί D19 την τιμή 78, να παρατηρήσουν ότι ταυτόχρονα αλλάζει και το περιεχόμενο του κελιού Ε19 και να εξηγήσουν γιατί γίνεται αυτό. (Σχ. 2) 51

52 Η τρίτη δραστηριότητα αφορούσε τη δυναμική αλλαγή ενός γραφήματος. Δόθηκε στους μαθητές ένας πίνακας τιμών μαζί με το αντίστοιχο ραβδόγραμμα και τους ζητήθηκε να αλλάξουν την τιμή του κελιού D2 και να παρατηρήσουν τι θα συμβεί στο ραβδόγραμμα. (Σχ. 3). (Σχ. 3) Τέλος, η τέταρτη δραστηριότητα αφορούσε τη δεξιότητα αυτόματης κατασκευής γραφήματος στο Excel και συγκεκριμένα ζητήθηκε από τους μαθητές να κατασκευάσουν ένα ραβδόγραμμα με δεδομένο πίνακα τιμών. (Σχ. 4) (Σχ. 4) 52

53 Περιγραφή φύλλου εργασίας Στη δεύτερη φάση της έρευνας, θέλουμε να δούμε πώς το Excel υποστηρίζει συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες (ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά) και πιο συγκεκριμένα πως το Excel μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν υποστηρικτικό εργαλείο για διερευνητική και εκφραστική μοντελοποίηση πραγματικών καταστάσεων. Έτσι, ζητήθηκε στους μαθητές να εμπλακούν σε δύο προβληματικές καταστάσεις μαθηματικής μοντελοποίησης, που είχαν στόχο να αναδείξουν την έννοια της αναλογίας στα Μαθηματικά. Η διαδικασία αυτή έγινε με έτοιμα φύλλα εργασίας (Βλέπε Παράρτημα, σελ. 100), που δίνονταν τμηματικά από τους ερευνητές. Αρχικά δόθηκε ένα ανοιχτό πρόβλημα στους μαθητές που είχε να κάνει με τις σκέψεις που κάνει ένας συνδρομητής κινητής τηλεφωνίας για να πάρει κάποιες αποφάσεις. Σ αυτό καλούνται να τον βοηθήσουν οι μαθητές. Το πρόβλημα δόθηκε με τη μορφή που φαίνεται πιο κάτω (Σχ. 5). Το φύλλο εργασίας ουσιαστικά χωρίστηκε σε δύο επιμέρους ενότητες (ανάλογα ποσά αντιστρόφως ανάλογα ποσά) που όμως στηρίχθηκαν στην ίδια προβληματική κατάσταση. Πρόβλημα Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει κάθε μήνα ένα σταθερό πόσο ανεξάρτητα από την χρήση του τηλεφώνου, το ποσό αυτό ονομάζεται πάγιο. Επιπλέον κάθε λεπτό συνομιλίας χρεώνεται με ένα σταθερό ποσό, δηλαδή υπάρχει χρονοχρέωση. Ένας φίλος σας θα ήθελε να γίνει συνδρομητής σ αυτή την εταιρεία. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να κάνει κάποιες σκέψεις;.. Σχ. 5 Στην πρώτη ενότητα, οι μαθητές καλούνται να λύσουν ένα πρόβλημα υπολογισμού κόστους κινητής τηλεφωνίας με γνωστό πάγιο. Πρέπει συγκεκριμένα να σκεφτούν ποια άλλα στοιχεία πρέπει να συνυπολογίσουν για τον υπολογισμό αυτό (Σχ. 6) Α1 Μέρος) Ας προσπαθήσουμε να σκεφτούμε Αν η εταιρεία κινητής τηλεφωνίας χρεώνει το πάγιο με 15,60 για κάθε μήνα, ποια άλλα στοιχεία θα πρέπει να συνυπολογίσει ο φίλος σας για να βρει πόσο θα πληρώνει κάθε μήνα; Δώστε ένα δικό σας παράδειγμα με συγκεκριμένες τιμές. Σχ. 6 53

54 Σε επόμενο στάδιο ζητήθηκε από τους μαθητές να συμπληρώσουν κατάλληλα τα βέλη σε έναν εννοιολογικό χάρτη με δεδομένα τα στοιχεία που χρησιμοποίησαν παραπάνω και στη συνέχεια να ορίσουν τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν αυτά τα στοιχεία (Σχ. 7). Α2 Μέρος) 1 ο βήμα Με βάσει τις προηγούμενες σκέψεις σας, προσδιορίστε τα αντίστοιχα στοιχεία που χρησιμοποιήσατε τα οποία συμπεριλαμβάνονται στον πίνακα από κάτω. Συνδέστε με βέλη αυτά τα στοιχεία. Δικαιολογήστε αυτή σας την ενέργεια. Κόστος για το κάθε λεπτό Λεπτά ομιλίας Πάγιο Ποσό πληρωμής λεπτών Συνολικό ποσό πληρωμής 2 ο βήμα Ορίστε τώρα τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Πώς προκύπτει ο τύπος που μας δίνει το «ποσό πληρωμής λεπτών» και πώς ο τύπος για το «συνολικό ποσό πληρωμής»; Συμπληρώστε κατάλληλα τις παρακάτω σχέσεις: Ποσό πληρωμής λεπτών = Συνολικό ποσό πληρωμής = Σχ. 7 Μέχρι αυτό το σημείο οι μαθητές έπρεπε να γράφουν στα φύλλα τους, τα οποία δίνονταν τμηματικά από τον ερευνητή, τις απαντήσεις τους. Στην επόμενη φάση ο ερευνητής ανοίγει μπροστά τους στην οθόνη του υπολογιστή το κατάλληλα διαμορφωμένο φύλλο στο Excel. Οι μαθητές λοιπό στο εξής κάνουν ότι ενέργειες χρειάζεται στον υπολογιστή τους για να απαντήσουν στα επόμενα ερωτήματα. Ο σκοπός είναι να κατασκευάσουν οι μαθητές ένα μοντέλο για την πρόβλεψη της χρέωσης (Σχ. 8). Και γι αυτό το λόγο τους ζητείται να μετατρέψουν τις σχέσεις που απάντησαν γραπτώς, σε τύπους στο Excel και να τους γράψουν στα αντίστοιχα κελιά Β9 και Ε9 του φύλλου εργασίας στο Excel (Σχ. 9) 54

55 Α3 Μέρος) Για να βοηθήσετε τον φίλο σας θα αξιοποιήσετε τo Microsoft Excel κατασκευάζοντας ένα μοντέλο για την πρόβλεψη της χρέωσης. Ξεκινήστε το Microsoft Excel και ανοίξτε το αρχείο «συναρτήσεις.xls». Βρίσκεστε στο φύλλο «ανάλογα ποσά». Παρατηρείστε την επιφάνεια εργασίας που βλέπετε μπροστά σας. 3 ο βήμα Με βάση τις γνώσεις σας για τη σύνταξη τύπων στο Excel, πρέπει να μετατρέψετε κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις σε μορφή τύπων στα αντίστοιχα κελιά του φύλλου σας στο Excel. Ποιοι θα είναι λοιπόν οι τύποι που θα γράψετε στα κελιά Β9 και Ε9; Πληκτρολογήστε τους στα αντίστοιχα κελιά. Σχ. 8 Σχ. 9 Στη συνέχεια οι μαθητές πρέπει να λύσουν το αρχικό πρόβλημα που τους δόθηκε με αριθμητικά πλέον δεδομένα και με τη βοήθεια των τύπων που κατασκεύασαν στο Excel. Και συνεπώς πρέπει να καταλήξουν στην ίδια λύση που είχαν βρει (Σχ. 10) 4 ο βήμα Τώρα είστε σε θέση να λύσετε το πρόβλημα του φίλου σας. Συμπληρώστε τα αντίστοιχα κελιά στον υπολογιστή σας με τις τιμές που βάλατε στο παράδειγμα που σκεφτήκατε στην αρχή. Αν έχετε συμπληρώσει σωστά τους τύπους, πρέπει στο πλαίσιο «συνολικό ποσό πληρωμής» να βρείτε την ίδια απάντηση που βρήκατε λύνοντας μόνοι σας το πρόβλημα στο χαρτί!!! Σχ

56 Προκειμένου τώρα οι μαθητές να ανταποκριθούν στο ζητούμενο στόχο της έρευνας, δηλαδή μέσα από όλη τη διαδικασία να καταλήξουν σε κάποιους ορισμούς και ιδιότητες για τα ανάλογα ποσά, χρήζει η επανάληψη. Γι αυτό καλούνται να επαναλάβουν την παραπάνω διαδικασία ώστε να βγάλουν κάποια γενικά συμπεράσματα (Σχ. 11). Έτσι, με τη βοήθεια του κατάλληλα διαμορφωμένου φύλλου εργασίας στο Excel, μπορούν να παρατηρήσουν γραφικά ότι τα σημεία που αντιστοιχούν σε ανάλογα ποσά σχηματίζουν μια ευθεία και ακόμη ότι ο λόγος των τιμών τους παραμένει σταθερός (Σχ. 12). 5 ο βήμα Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία (με κόστος ανά λεπτό ομιλίας 0,20 και πάγιο 0 ), υπολογίστε το συνολικό ποσό πληρωμής για 4, 40, 30, 45 και 50 λεπτά ομιλίας και συμπληρώστε τον πίνακα που βλέπετε (με τα λεπτά ομιλίας και το συνολικό ποσό πληρωμής). Παρατηρείστε ότι τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που έχετε μπροστά σας. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; Αν δεν είναι αρκετά τα σημεία που έχετε, συμπληρώστε και τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα βάζοντας κι άλλες τιμές. Τι παρατηρείτε; 6 ο βήμα Συμπληρώστε τέλος την κίτρινη στήλη του πίνακα με το πηλίκο του «συνολικού ποσού πληρωμής» προς τα «λεπτά επικοινωνίας» για τις αντίστοιχες τιμές του πίνακά σας. Τι παρατηρείτε; Σχ. 11 Σχ.12 56

57 Όλη η παραπάνω διαδικασία μπορούμε να πούμε ότι επαναλαμβάνεται στην ενότητα με τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Αλλάζει λίγο το πρόβλημα που έχουν να σκεφθούν οι μαθητές, και στα υπόλοιπα ερωτήματα αλλάζουν τα δεδομένα και τα ζητούμενα (Σχ. 13) Β 1 Μέρος) Ας προσπαθήσουμε να σκεφτούμε.. Αν ο φίλος σας πλήρωσε 25 για τον μήνα που πέρασε, προσδιορίστε ποια άλλα στοιχεία θα πρέπει να συνυπολογίσουμε για να βρούμε πόσα λεπτά μίλησε; Δώστε ένα δικό σας παράδειγμα με συγκεκριμένες τιμές. Β 2 Μέρος) 1 ο βήμα Με βάσει τις προηγούμενες σκέψεις σας, προσδιορίστε τα αντίστοιχα στοιχεία που χρησιμοποιήσατε τα οποία συμπεριλαμβάνονται στον πίνακα από κάτω. Συνδέστε με βέλη αυτά τα στοιχεία. Δικαιολογήστε αυτή σας την ενέργεια. Συνολικό ποσό πληρωμής Πάγιο Κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας Ποσό πληρωμής λεπτών Λεπτά ομιλίας 2 ο βήμα Τώρα πρέπει όπως και πριν να ορίσετε τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Πώς προκύπτει δηλαδή ο τύπος που θα μας δίνει το «ποσό πληρωμής λεπτών» και τα «λεπτά ομιλίας»; Συμπληρώστε κατάλληλα τις παρακάτω σχέσεις: Ποσό πληρωμής λεπτών = Λεπτά ομιλίας = Σχ. 13 Ακόμα και όσον αφορά τη μοντελοποίηση με το Excel, η διαδικασία που ακολουθείται είναι παρόμοια με το πρώτο μέρος (Σχ. 14). Συγκεκριμένα οι μαθητές κατασκευάζουν αρχικά τους τύπους στο Excel, περνάνε τα δεδομένα στα αντίστοιχα κελιά και καλούνται να διαπιστώσουν από τη γραφική παράσταση που σχηματίζεται ότι η γραφική παράσταση δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών είναι υπερβολή και το γινόμενο των τιμών τους είναι σταθερό (Σχ. 15). 57

58 Β 3 Μέρος) 3 ο βήμα Βρίσκεστε στο φύλλο «αντιστρόφως ανάλογα ποσά». Παρατηρείστε την επιφάνεια εργασίας που βλέπετε μπροστά σας. Με βάση τώρα τις γνώσεις σας για τη σύνταξη τύπων στο Excel, πρέπει να μετατρέψετε κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις σε μορφή τύπων στα αντίστοιχα κελιά του φύλλου σας στο Excel. Ποιοι θα είναι λοιπόν οι τύποι που θα γράψετε στα κελιά Β9 και Ε9; Γράψτε τους στα αντίστοιχα κελιά. 4 ο βήμα Τώρα είστε σε θέση να λύσετε το πρόβλημα του φίλου σας. Συμπληρώστε τα αντίστοιχα κελιά στον υπολογιστή σας με τις τιμές που βάλατε παράδειγμα που σκεφτήκατε στο «Β1 Μέρος». Αν έχετε συμπληρώσει σωστά τους τύπους, πρέπει στο πλαίσιο «λεπτά ομιλίας» να βρείτε την ίδια απάντηση που βρήκατε λύνοντας μόνοι σας το πρόβλημα στο χαρτί!!! 5 ο βήμα Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία (με συνολικό ποσό πληρωμής 27 και πάγιο 0 ), υπολογίστε τα λεπτά ομιλίας όταν το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας γίνεται 0,40, 0,60, 0,80, 1,00, 1,20 και συμπληρώστε τον πίνακα που βλέπετε (με το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας και τα λεπτά ομιλίας). Παρατηρείστε ότι τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που έχετε μπροστά σας. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; 6 ο βήμα Συμπληρώστε τέλος την κίτρινη στήλη του πίνακα με το γινόμενο του «κόστους για κάθε λεπτό ομιλίας» επί τα «λεπτά επικοινωνίας» για τις αντίστοιχες τιμές του πίνακά σας. Τι παρατηρείτε; Σχ. 14 Σχ

59 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Συλλογή δεδομένων Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, όλη η διαδικασία βιντεοσκοπήθηκε από κάμερα και επιπλέον με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού κρατήθηκαν σε logfiles (αρχεία καταγραφής συμβάντων) τα βίντεο αλλά και όλες οι ενέργειες των μαθητών στον υπολογιστή. Καταγράφηκαν δηλαδή όλες οι λεκτικές και μη λεκτικές αντιδράσεις των μαθητών, καθώς και οτιδήποτε άλλαζαν στην οθόνη του υπολογιστή τους. Επιπλέον, υπήρχε κι ένας εξωτερικός παρατηρητής που κρατούσε σημειώσεις με οτιδήποτε θεωρούσε ότι θα βοηθήσει στην ανάλυση των δεδομένων. Έτσι για την ανάλυση των δεδομένων μας, τελικά συγκεντρώσαμε: τρία logfiles, ένα για κάθε δυάδα, αποθηκευμένα σε cd έξι φύλλα εργασίας συμπληρωμένα ξεχωριστά από κάθε μαθητή τρία αρχεία Excel ένα για κάθε δυάδα, με τη διαδικασία μοντελοποίησης του προβλήματος που είχε στόχο να αναδείξει την έννοια της αναλογίας στα Μαθηματικά Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήσαμε το Collaboration Analysis Toolkit (ColAT, Collaboration Analysis Tool Περιβάλλον Ανάλυσης Συμπεριφοράς) για την απομαγνητοφώνηση και καταγραφή των διαλόγων, τα φύλλα εργασίας των μαθητών, τις παρατηρήσεις του ερευνητή και τις σημειώσεις του παρατηρητή. 59

60 Μοντελοποίηση πειραματικών ευρημάτων Collaboration Analysis Toolkit (Περιβάλλον Ανάλυσης Συμπεριφοράς) Το περιβάλλον Collaboration Analysis Toolkit (ColAT) αναπτύχθηκε από την Ερευνητική Ομάδα Επικοινωνία Ανθρώπου-Υπολογιστή (Human - Computer Interaction Group) του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών για να βοηθήσει την εθνογραφική έρευνα και χρησιμοποιείται κυρίως για σκοπούς ποιοτικής ανάλυσης. Κάνοντας εκτεταμένη χρήση πολυμέσων επιτρέπει στους ερευνητές να δουλέψουν με αρχεία κειμένου, γραφικών, ήχου, βίντεο καθώς και αρχεία καταγραφής συμβάντων (logfiles) που έχουν προκύψει από κατάλληλα πειράματα. Παράλληλα το ColAT αποτελεί ένα περιβάλλον ανάλυσης συμπεριφοράς, εκμεταλλευόμενο την ανάγκη που υπάρχει για ευκολότερη κατανόηση των επιμέρους στόχων και διεργασιών που θέτει ένας χρήστης ή μία ομάδα χρηστών κατά την διάρκεια της αλληλεπίδρασής τους με την διεπιφάνεια (περιβάλλον) ενός συστήματος. Τέλος αποτελεί μία πλατφόρμα συλλογής, ανάλυσης, παρουσίασης και διαχείρισης των δεδομένων που έχουν προκύψει από την παρατήρηση. Ανοίγοντας το περιβάλλον ColAT, ο χρήστης βλέπει το αρχικό παράθυρο (Σχ. 16) όπου στο αριστερό τμήμα φαίνεται το παράθυρο προβολής των πολυμεσικών αρχείων, ενώ στο δεξί τμήμα υπάρχει ο χώρος προβολής του αρχείου πληκτρολογήσεων. Το αρχείο πληκτρολογήσεων ή αρχείο καταγραφής συμβάντων (logfile) είναι ένα αρχείο το οποίο περιέχει τις κινήσεις του χρήστη κατά την διάρκεια της παρατήρησης και αποτελεί μία σημαντική πηγή πληροφορίας για τον αναλυτή. Το αρχείο πληκτρολογήσεων αποθηκεύεται σε xml μορφή και περιέχει πληροφορία για την απόλυτη ώρα, την σχετική ώρα εμφάνισης των συμβάντων, το όνομα του χρήστη, την περιγραφή και τις ιδιότητες του συμβάντος. Σ αυτό το περιβάλλον κάναμε απομαγνητοφώνηση των διαλόγων, σημειώνοντας παράλληλα τις μη λεκτικές εκφράσεις των μαθητών, τους μορφασμούς και τις χειρονομίες τους (Σχ. 17). 60

61 Σχ. 16 Σχ. 17 Επιπλέον το ColAT δίνει τη δυνατότητα να εξάγει κανείς το αρχείο πληκτρολογήσεων στο Excel, κι έτσι μετά το τέλος των απομαγνητοφωνήσεων μεταφέραμε τα δεδομένα σε αρχεία Excel, που θα χρησιμοποιήσουμε και στις ενδεικτικές απαντήσεις των μαθητών, για την ανάλυση των δεδομένων μας. 61

62 Τυπολογίες Πέρα από τα παραπάνω υπάρχουν και άλλα πεδία που μπορούν να συμπληρωθούν από τον αναλυτή χρησιμοποιώντας το ColAT. Τα πεδία αυτά είναι η τυπολογία και τα σχόλια με τα οποία μπορεί ο αναλυτής να περιγράψει ένα συμβάν. Με τον όρο τυπολογία ενός συμβάντος εννοούμε μία περιγραφή που προσδιορίζει τον τύπο του συμβάντος. Με άλλα λόγια ο αναλυτής καλείται να κατηγοριοποιήσει τα συμβάντα με βάση το τι περιγράφουν και σε ποιον τύπο ανήκουν. Εμείς χρησιμοποιήσαμε αυτή τη δυνατότητα που προσφέρει το ColAT, δηλαδή τις τυπολογίες, για να χαρακτηρίσουμε τις παρανοήσεις και τα λάθη των μαθητών όσον αφορά τις βασικές έννοιες και λειτουργίες του Excel. Συγκεκριμένα δημιουργήσαμε εννέα διαφορετικές τυπολογίες όπως φαίνονται και παραπάνω (Σχ. 17): CellName: λάθος στην ονομασία διεύθυνση κελιού CellFormat: λάθος μορφοποίηση περιεχομένου κελιού InsertData(enter): λάθος ή μη καταχώρηση δεδομένων (με το enter) OverwriteData: εισαγωγή δεδομένων με σβήσιμο και επαναπληκτρολόγηση FormulaEqual: λάθος εισαγωγή τύπων MathSymbols: λάθη σε Μαθηματικά σύμβολα MathSkills: λάθη σε μαθηματικές δεξιότητες DiagramConstruction: λάθη στην κατασκευή γραφήματος DiagramComprehension: ελλιπής κατανόηση γραφήματος Οι παραπάνω τυπολογίες μπορούν να ομαδοποιηθούν σε τρεις άξονες: κελί τύπος διάγραμμα. Έτσι οι τέσσερις πρώτες τυπολογίες (CellName, CellFormat, InsertData, OverwriteData) μπορούμε να πούμε ότι αφορούν την κατηγορία κελί, οι επόμενες τρεις (Formulaequal, Mathsymbols, Mathskills) την κατηγορία τύπος, και οι υπόλοιπες δύο (DiagramConstruction, DiagramComprehension) τα διαγράμματα. 62

63 Μελέτη διαλόγων όσον αφορά τη χρήση των Λογιστικών Φύλλων Παρακάτω θα δείξουμε αναλυτικά τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές ανταποκρίνονται στις δραστηριότητες του Excel. Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε ξεχωριστά κάθε ομάδα, είναι απαραίτητο να κάνουμε κάποιες διευκρινίσεις σχετικά με τον τρόπο που παρουσιάζονται οι ενδεικτικές απαντήσεις των μαθητών. Όπως προαναφέρθηκε, οι απαντήσεις των μαθητών αρχικά αποθηκεύτηκαν σε αρχεία καταγραφής (logfiles) του CoLAT κι έπειτα σε αρχεία Excel. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αρχεία του Excel για πιο εύκολη ανάλυση των δεδομένων. Στην πρώτη στήλη θα αναφέρονται τα ονόματα των μαθητών (Ε Ρ για την Α ομάδα, Χ Μ για την Β ομάδα, G - Ε για την Γ ομάδα), ή του ερευνητή (Κ). Στη δεύτερη στήλη παρουσιάζονται οι διάλογοι όπως καταγράφηκαν με τη χρήση του CoLAT και στην τρίτη στήλη οι τυπολογίες όπως χρησιμοποιήθηκαν για την περιγραφή των συμβάντων. Ικανότητες ανταπόκρισης σε βασικές λειτουργίες του Εxcel Με βάση τη μελέτη των διαλόγων, βλέπουμε ότι οι μαθητές δεν κάνουν ιδιαίτερα λάθη όσον αφορά το κελί σαν έννοια. Συγκεκριμένα, είναι σε θέση να ονομάσουν ένα κελί αλλά συχνά ξεχνούν να καταχωρήσουν το περιεχόμενό του (ξεχνούν να πατήσουν Enter). Όσον αφορά την μορφοποίηση του περιεχομένου των κελιών, καταλαβαίνουν πότε υπάρχει πρόβλημα μορφοποίησης (βλέπουν ότι δε χωράει μια λέξη σε ένα κελί - πολλές φορές το αναφέρει με κάποιο μήνυμα ο υπολογιστής), αλλά δεν είναι πάντα σε θέση να το αντιμετωπίσουν (δεν θυμούνται καλά το μενού). Τέλος σε σχέση με τις λειτουργίες διαγραφής, αντιγραφής, μετακίνησης μπορεί να γνωρίζουν κάποια διαδικασία για να τις πετύχουν αλλά δεν είναι πάντα η πιο σύντομη (μπορεί να διαγράψουν το περιεχόμενο ενός κελιού αντί να διορθώσουν το περιεχόμενό του στη γραμμή τύπων). 63

64 Αναλυτικά για κάθε ομάδα Α ομάδα Όσον αφορά την κατηγορία κελί, τα μέλη της πρώτης ομάδας (Ρ - Ε), για την εισαγωγή δεδομένων αντί για enter κάνουν κλικ σε άλλο κελί. Κάνουν λάθος στη χρήση της διεύθυνσης ενός κελιού (δεν βάζουν κεφαλαίους αγγλικούς χαρακτήρες) και επίσης, ξέρουν ότι γίνεται στρογγυλοποίηση αλλά δεν θυμούνται πώς μπορούν να αλλάξουν τη μορφή κελιού (δεν θυμούνται που ακριβώς βρίσκεται αυτό στο μενού). K Ωραία, το έγραψες, το καταχώρησες; E (κάνει κλικ σε ένα άλλο κελί) InsertData(enter) P (κάνει κλικ σε άλλο κελί) InsertData(enter) P (πληκτρολογεί b, το σβήνει με backspace, πατάει CapsLock και Β) CellName K Το καταχώρησες; P (κάνει κλικ από κάτω) InsertData(enter) Θέλω να πάτε στο κελί B3 και να γράψετε τον αριθμό K 24789,5,,,,,, K Μήπως έγραψες λάθος; P Ξέρω γω... CellFormat E Όχι, το κάνει στρογγυλοποίηση...νάτο (δείχνει με το χέρι στη γραμμή τύπων) K Που το είδες; E Νάτο...εδώ πάνω. Εδώ βλέπουμε τον αριθμό (δείχνει τη γραμμή τύπων), κι εδώ τον έχει στρογγυλοποιημένο (δείχνει το κελί) K Μάλιστα, το είδες πάνω δηλαδή, στη γραμμή που φαίνεται το περιεχόμενο του κελιού K Και γιατί μας έβγαλε 24790; E Ξέρω γω... CellFormat K Μήπως το γράψαμε λάθος; P Όχι K Όχι, αφού φαίνεται εκεί πάνω δεν το γράψαμε λάθος K Άρα λοιπόν... P Κάνει τη στρογγυλοποίηση K Μπορούμε να κάνουμε κάτι γι' αυτό ετσι ώστε να φαίνεται μέσα στο κελί το 24789,5 έτσι όπως φαίνεται από πάνω; P Αλλάζουμε τη στρογγυλοποίηση K Δηλαδή, πως θα την αλλάξουμε τη στρογγυλοποίηση; E Εδώ έχει ένα που... δε θυμάμαι... που έχει πόσα δεκαδικά ψηφία να έχουμε, αν έχουμε δεκαδικά ψηφία, πότε να τα εμφανίζουμε...δε θυμάμαι που είναι (δοκιμάζει τα μενού) CellFormat 64

65 Όσον αφορά την εισαγωγή τύπων, αντί για ίσον θυμούνται ότι μπορούν να βάζουν το Σ(sum) για την εισαγωγή συνάρτησης ενώ κάποιες φορές ξεχνούν τελείως να βάλουν το σύμβολο ίσον. Αντί να χρησιμοποιήσουν το «overwrite» για να διορθώσουν το περιεχόμενο ενός κελιού, το σβήνουν με backspace κι επίσης όσον αφορά τις μαθηματικές δεξιότητες ξεχνούν παρενθέσεις σε αριθμητική παράσταση. E K K E E E P Φτιάχνουμε έναν τύπο... που είναι = sum ή sum = και βάζουμε το B4 συν το C4...και όλο δια 14 Και όλα...; Αυτό το όλα πως το εννοείς;...να το κάνουμε; Να το κάνουμε...ποιό σύμβολο βάζουμε είπες; Ε..., το ίσον (πληκτρολογεί ίσον) Και γράφουμε (πληκτρολογεί sum και σκέφτεται) Ίσον...κεφαλαία; Δεν θυμάμαι Εγώ αλλιώς το θυμάμαι...μ' αυτό (δείχνει με το ποντίκι στη γραμμή εργαλείων το κουμπί με το Σ) FormulaEqual FormulaEqual P Πρέπει να βάλουμε όμως το = FormulaEqual E (κάνει κλικ και στο D4 κι έτσι στο κελί Ε4 γράφει =Β4+C4+D4) E Α ναι, θέλει παρένθεση MathSkills P P Ναι, αφού το ξαναγράφουμε σβήστηκε, είναι... Αφού ξαναγράφω πάνω, σβήστηκε. Αν δεν το καταχωρήσω, υπάρχει μέσα το 12 OverwriteData E (κάνει κλικ στο κελί Ε9, το σβήνει με backspace και πληκτρολογεί μηδέν) OverwriteData P (πληκτρολογεί 62 αλλά αυτό γράφεται δίπλα από το 64 που υπήρχε) OverwriteData K Μην το δοκιμάσετε ακόμα, θέλω να το συζητήσουμε πρώτα P (με Backspace σβήνει το περιεχόμενο του κελιού) OverwriteData Τέλος, όσον αφορά την κατασκευή γραφήματος, η μόνη παρανόηση είναι ότι ξεκινούν την κατασκευή γραφήματος χωρίς πρώτα να έχουν επιλέξει δεδομένα για το γράφημα. P Δεν διαλέξαμε αυτό που θέλουμε να βάλουμε DiagramConstruction 65

66 Β ομάδα Όσον αφορά την κατηγορία κελί, τα μέλη της δεύτερης ομάδας (Χ Μ) ξεχνούν να πατήσουν το enter για την εισαγωγή δεδομένων. Στη μορφοποίηση κελιού θεωρούν ότι αν το πλάτος μιας στήλης είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο απ όσο πρέπει είναι λάθος, κάτι που δεν ισχύει. Επίσης καταλαβαίνουν πότε γίνεται στρογγυλοποίηση αλλά νομίζουν ότι αυτό δεν μπορεί ν αλλάξει. Κ Και τι θα πατήσουμε για να το δείτε; Χ Enter (κοιτάζει τον εισηγητή) InsertData(enter) Μ (ξανααλλάζει το πλάτος της στήλης ώστε να χωράει ακριβώς η λέξη) CellFormat Χ Το στρογγυλοποίησε CellFormat Κ Κάνει στρογγυλοποίηση; Χ Ναι Κ Εσύ συμφωνείς...μαριλίζα; Μ (γνέφει καταφατικά) Κ Κάνει στρογγυλοποίηση...μάλιστα, ας τ' αφήσουμε Κ Μπορούμε να κάνουμε κάτι για να το εμφανίζει 24789,5; (σκέφτονται...και κοιτάζουν τον εισηγητή) Κ Μην κοιτάτε εμένα, μεταξύ σας Μ (κάνει διπλό κλικ στο κελί Β3) Χ Όχι, δε νομίζω CellFormat Μ (κάνει κλικ σε ένα άλλο κελί οπότε στο κελί Β3 φαίνεται το και ξανά διπλό κλικ στο Β3 οπότε εμφανίζεται το 24789,5) Χ Αυτό δεν το ξέρουμε, πως μπορεί να το βγάλει χωρίς τη στρογγυλοποίηση... Μ Δεν μπορεί να το βγάλει CellFormat Χ...ίσως το κάνει κατευθείαν το πρόγραμμα Για την εισαγωγή τύπων θυμούνται ότι για να βγει ένα οποιοδήποτε αποτέλεσμα πρέπει να πατήσουν sum και ξεχνούν να βάλουν το ίσον για την εισαγωγή συνάρτησης. Δεν θυμούνται το σύμβολο της διαίρεσης (/). Αντί για overwrite σβήνουν με backspace ή delete το περιεχόμενο κελιού και το ξαναγράφουν. Χ Εγώ θυμάμαι οτι πρέπει να μαρκάρουμε το 12, 13, 14 και να πατήσουμε το sum...για να βγει το αποτέλεσμα FormulaEqual Χ (επιλέγει με το ποντίκι τα κελιά B1,C1 και κάνει κλικ στη συνάρτηση Sum στη γραμμή εργαλείων) FormulaEqual 66

67 (με Backspace σβήνει το ":" και πληκτρολογεί "=" με Μ το πλήκτρο δίπλα απ' το Backspace, το σβήνει πάλι) Χ (πληκτρολογεί Shift+= οπότε βγαίνει "+") Μ...διά (βρίσκεται στο τέλος του τύπου) Χ Δε νομίζω οτι κάνει τόσες πολλές πρ... Κ Το διά ποιό είναι, θυμάστε; Αυτό... (δείχνει στο πληκτρολόγιο την "\"), Μ αυτό...(δείχνει την ":")...όχι αυτό είναι άνω κάτω τελεία MathSymbols MathSymbols Στα Μαθηματικά υπάρχει κάποιος τρόπος να Κ προσδιορίσεις τη σειρα Χ Η παρένθεση MathSkills Κ Λοιπόν, τι ξεχάσαμε εδώ; Μ Την παρένθεση Μ (πηγαίνει με τα βελάκια στο τέλος του τύπου και με Bacspace τον σβήνει) OverwriteData Μ (κάνει κλικ στο D19 και το σβήνει με Backspace) OverwriteData Μ (κάνει κλικ στο κελί Β5, κλικ στο τέλος, σβήνει με Backspace) OverwriteData Χ (σβήνει με Backspace το μηδέν και γράφει 2 και ατάει Enter) OverwriteData Χ (πατάει Delete και πληκτρολογεί 3 και enter) OverwriteData Κ Πόσο είναι; Μ Πρέπει να βάλουμε εδώ 0,60 κι εδώ 3 (δείχνει μια γραμμή του πίνακα) Κ Για πάμε να το κάνουμε, για βάλε 3 εκεί... Χ (κάνει κλικ στο κελί Β14, πατάει Delete, πληκτρολογεί 3, κάνει κλικ δίπλα, Delete, πληκτρολογεί 0,60 και enter) OverwriteData (κάνουν κλικ στα αντίστοιχα κελιά, σβήνουν κάθε φορά με Backspace το περιεχόμενο του κελιού και πληκτρολογούν το αντίστοιχο νούμερο και στη συνέχεια συμπληρώνουν την αντίστοιχη γραμμή του πίνακα πατώντας κάθε φορά Enter) OverwriteData Τέλος, όσον αφορά τα γραφήματα δεν θυμούνται αν πρέπει πρώτα να επιλέξουν τα δεδομένα για ένα γράφημα ή όχι. Χ Μήπως πρέπει να μαρκάρουμε πρώτα τα στοιχεία που μας δίνει και μετά να πάρουμε... DiagramConstruction 67

68 Γ ομάδα Οι μαθητές της τρίτης δυάδας (G E) δεν θυμούνται την ονομασία των κελιών και ονομάζουν ένα κελί σαν στήλη δηλαδή με τον λατινικό χαρακτήρα. Δεν έχουν καταλάβει τη διαφορά διεύθυνση-περιεχόμενο ενός κελιού. Ξεχνούν να πατήσουν enter για την εισαγωγή δεδομένων. Στη μορφοποίηση του κελιού βάζουν κόμμα αντί για τελεία για υποδιαστολή και δεν ξέρουν γιατί δεν φαίνεται ο δεκαδικός αριθμός. Να μου πείτε παραδείγματος χάρη, η λέξη μαθητής Κ πού βρίσκεται; G Στο γράμμα C... CellName Κ...και τι πατάμε για να το δεχθεί; E (πατάει Enter) InsertData(enter) G (πληκτρολογεί ) CellFormat Κ Τι θα πατήσουμε για να το δεχθεί; G (πατάει Enter) InsertData(enter) G (βλέπει τον αριθμό στο κελί Β3 και κάνει κλικ πάλι στο Β3, πατάει Delete και τον σβήνει) Κ Τι λάθος έχεις κάνει; G Εδώ έβαλα τελεία αντί για κόμμα MathSymbols Κ Για λέγε Γιάννη, του είπαμε να το κάνει στρογγυλοποίηση; G Όχι Κ Τότε, τι έγινε; Κ Εύα; E Δεν ξέρω CellFormat G (απορεί κι αυτός) Κ Δεν το έχετε ξανασυναντήσει αυτό; G Όχι E (επιλέγει το κελί Β4 κι ετοιμάζεται να το ξαναγράψει) OverwriteData Κ Γιατί Β4 κι όχι 12; E Σ' αυτό το κελί βρίσκεται Κ Σ' αυτό το κελί βρίσκεται...β4 λοιπόν Κ Δεν θα μπορούσα εναλλακτικά δηλαδή να γράψω 12; Κ (δεν παίρνει απάντηση) CellName Ξεχνούν να βάλουν ίσον για την εισαγωγή συνάρτησης. Κ Πατήστε λοιπόν...το ίσον ξέχασες E (πληκτρολογεί = στο κελί Β9) FormulaEqual Τέλος, δεν θυμούνται πώς χρησιμοποιούν τον οδηγό γραφημάτων, τα βήματα. G (κάνει κλικ στον Οδηγό Γραφημάτων, στη γραμμή εργαλείων, πατάει επόμενο, κάνει κλικ στην επιλογή Στήλες 68

69 Κ Εύα συμφωνείς; E Μέχρι εδώ ναι G (κάνει κλικ στο Επόμενο και περιμένουν...) DiagramConstruction Σχολιασμός των απαντήσεων Τα λάθη που κάνουν οι μαθητές κατά τη διάρκεια χρήσης των Λογιστικών Φύλλων, είτε ως αυτόνομο εργαλείο, είτε ως εργαλείο μοντελοποίησης και επίλυσης προβλήματος, όπως προέκυψε από την έρευνά μας, μπορεί να οφείλονται σε τέσσερις παράγοντες: στις προηγούμενες γνώσεις των μαθητών (από άλλα γνωστικά αντικείμενα) και τις λανθασμένες μεταφορές από την καθημερινή τους ζωή στη διεπιφάνεια (περιβάλλον εργασίας) του Excel (π.χ. όταν γνωρίζουν ότι για να υπολογίσουν την αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης βάζουν το ίσον στο τέλος της παράστασης κάθε φορά, ενώ στο excel πρέπει πρώτα να βάζουν το ίσον και μετά τις τιμές) σε κάποια λάθη της διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας (των Λογιστικών Φύλλων) στην έλλειψη γνώσεων από άλλα αντικείμενα (όπως π.χ. Μαθηματικά) Πιο συγκεκριμένα, το ότι οι μαθητές ξεχνούν να καταχωρήσουν τα δεδομένα τους οφείλεται βεβαίως στην ιδιαιτερότητα του εργαλείου αλλά και πιθανώς στην περιορισμένη διδασκαλία της συγκεκριμένης ενέργειας που απαιτείται. Το ότι ξεχνούν το ίσον πριν από κάθε τύπο οφείλεται κυρίως στο ότι από τις σχολικές πρακτικές έχουν μάθει ότι το ίσον σε μια πράξη δεν μπαίνει στην αρχή αλλά ενδιάμεσα. Τα λάθη στην προτεραιότητα των πράξεων έχουν να κάνουν με έλλειψη γνώσεων στα Μαθηματικά και η απερίσκεπτη χρήση της συνάρτησης Sum πιθανώς οφείλεται σε λανθασμένη διδασκαλία απ τον διδάσκοντα. Τέλος η σύγχυση του περιεχομένου και της εμφάνισης ενός κελιού οφείλεται στην ιδιαιτερότητα του εργαλείου, όπως και η κατασκευή διαγραμμάτων με τη χρήση του οδηγού. 69

70 Μοντέλο Ανάλυσης Αλγεβρική γνώση Λειτουργικότητα Λογιστικών Φύλλων Για να μπορέσουμε να αναλύσουμε τα δεδομένα μας στο δεύτερο στάδιο της έρευνας που αφορά το κομμάτι των Μαθηματικών, είναι καλό να δούμε πως συνδυάζεται η αλγεβρική γνώση με τη λειτουργικότητα των Λογιστικών Φύλλων. Συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με τους τύπους, τις μεταβλητές και την ανάλυση αλγεβρικών προβλημάτων. Όσον αφορά τους τύπους (εισαγωγή συμβολισμού, μεταβλητές), η ανακάλυψη της ύπαρξης σχέσεων ανάμεσα σε αριθμούς στα Μαθηματικά, μπορεί να θεωρηθεί σαν παιχνίδι ανάμεσα στη δυναμική σχέση δύο κελιών στα Λογιστικά Φύλλα. Το να αναγνωρίσει κανείς αυτές τις σχέσεις σαν μορφές τύπων σχετίζεται με τις αντίστοιχες έννοιες των Λογιστικών Φύλλων: «κελιά μεταβλητές», «κελιά τύποι». Στα Μαθηματικά απομένει να ερμηνεύσει κανείς αυτές τις σχέσεις και να ανακαλύψει ένα νέο τύπο συμβολισμού. Δουλεύοντας πάνω σε τύπους και μεταβλητές στα Μαθηματικά, δηλαδή σε ότι αφορά τη μεταφορά από το αριθμητικό (ψηφιακό) ή λεκτικό στο συμβολικό και τη μεταφορά από το συγκεκριμένο στο γενικό, η προσέγγιση της γενικότητας μέσα από αριθμητικούς υπολογισμούς πάνω στον ίδιο τύπο, μπορεί να συνδυαστεί με το παιχνίδι στη σχέση δύο στηλών στα Λογιστικά Φύλλα. Όταν βρίσκω και γράφω έναν τύπο στα Μαθηματικά, στα Λογιστικά Φύλλα μπορώ να χρησιμοποιήσω τη λειτουργία της αντιγραφής κελιών. Τέλος, όταν χρησιμοποιώ αλγεβρικούς μετασχηματισμούς για να εξηγήσω την αναλογία ανάμεσα σε δύο ομάδες αποτελεσμάτων από δύο διαφορετικούς τύπους, στα Λογιστικά Φύλλα μπορώ να χρησιμοποιήσω τα αντικείμενα: «στήλες τύποι», «στήλες μεταβλητές». Σε ότι αφορά τον χειρισμό των τύπων στα Μαθηματικά για την προσέγγιση της έννοιας της μεταβλητής μέσα από αντικαταστάσεις, τις αριθμητικές αντικαταστάσεις σε τύπους μπορώ να τις αντιστοιχίσω με τις συνεχείς σχέσεις ανάμεσα σε πολλά κελιά στα Λογιστικά Φύλλα. Όταν μια μεταβλητή μιας έκφρασης αντικαθίσταται από 70

71 μια άλλη έκφραση, στα Λογιστικά Φύλλα γίνεται χρήση της αντιστοιχίας «κελιά μεταβλητές». Τέλος, όταν στα Μαθηματικά χειρίζομαι μεταβλητές για να βρω μια ισοδύναμη έκφραση ή να «αλλάξω» έναν δοσμένο τύπο, στα Λογιστικά Φύλλα γίνεται λόγος για την ασάφεια της αναφοράς κελιού, που περιέχει τύπο αλλά επίσης μια μεταβλητή για έναν άλλο τύπο. Προσεγγίζοντας τώρα την ανάλυση αλγεβρικών προβλημάτων σε σχέση με τη λειτουργικότητα των Λογιστικών Φύλλων και συγκεκριμένα τη μεταφορά από μια εργασία με συγκεκριμένες τιμές σε μια εργασία με μεταβλητές και τη μεταφορά από την εφαρμογή διαισθητικών μεθόδων (μη αλγεβρικών) προς την εφαρμογή (αλγεβρικών) αυστηρών σχολικών μεθόδων, όταν βρίσκω τους ενδιάμεσους τύπους που ανταποκρίνονται σε ενδιάμεσες ισότητες ενός πιο σύνθετου αλγεβρικού προβλήματος, στην ουσία οργανώνω ένα φύλλο υπολογισμών. Σύμφωνα με το παραπάνω μοντέλο ανάλυσης των δεδομένων μας, εργάστηκαν οι τρεις δυάδες των μαθητών για να καταλήξουν στη μοντελοποίηση του προβλήματος καθημερινής φύσεως που τους δόθηκε, σχετικά με το κόστος κινητής τηλεφωνίας. Το φύλλο εργασίας που τους δόθηκε περιέχει αρκετά στοιχεία αλγεβρικής γνώσης, τα οποία καλούνται οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν για την κατασκευή του μοντέλου τους στο Excel, όπως και κάνουν. 71

72 Μελέτη διαλόγων για την ανάδειξη της έννοιας της αναλογίας Εκτός από τις βασικές έννοιες και λειτουργίες των Λογιστικών Φύλλων, μελετήσαμε τη χρήση αυτού του εργαλείου για την ανάδειξη κάποιων Μαθηματικών εννοιών μέσα απ την αντιμετώπιση μιας προβληματικής κατάστασης καθημερινής φύσεως. Πρόκειται για τις έννοιες των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών, όπως αυτές παρουσιάζονται στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Γυμνασίου. Παρακάτω, θα μελετήσουμε ξεχωριστά για τα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά τους διαλόγους κάθε δυάδας μαθητών για να δούμε αν επιτεύχθηκε ο αρχικός στόχος, να οδηγηθούν οι μαθητές μέσα από μια κατάσταση μοντελοποίησης στις παραπάνω έννοιες. Όσον αφορά την παρουσίαση των δεδομένων, των ενδεικτικών απαντήσεων των μαθητών, ισχύουν όσα προαναφέρθηκαν. Ανάλογα ποσά Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, στο μάθημα που αναφέρεται στα ανάλογα ποσά (Σχολικό εγχειρίδιο, Μαθηματικά Β Γυμνασίου, 2005, σελ. 162), οι μαθητές καλούνται να γνωρίζουν τέσσερα βασικά πράγματα σχετικά με τα ανάλογα ποσά, μετά το πέρας του μαθήματος. Συγκεκριμένα, πρέπει να γνωρίζουν ότι: δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε ο λόγος των τιμών του ενός προς τις αντίστοιχες τιμές του άλλου είναι σταθερός αν δύο ποσά είναι ανάλογα, τότε οι τιμές y του ενός εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών x του άλλου με την ισότητα y=αx η γραφικά παράσταση της συνάρτησης y=αx, με x πραγματικό αριθμό, είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 72

73 Με τη μελέτη των στοιχείων που συλλέξαμε στην έρευνά μας, στο δεύτερο κομμάτι της έρευνας που αφορά το πρόβλημα μοντελοποίησης με τη χρήση του Excel, παρατηρούμε τα εξής, για κάθε ομάδα ξεχωριστά: Α ομάδα Στο δεύτερο βήμα του φύλλου εργασίας, ζητείται από τους μαθητές Ορίστε τώρα τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Πώς προκύπτει ο τύπος που μας δίνει το «ποσό πληρωμής λεπτών» και πώς ο τύπος για το «συνολικό ποσό πληρωμής»; Συμπληρώστε κατάλληλα τις παρακάτω σχέσεις: Ποσό πληρωμής λεπτών = Συνολικό ποσό πληρωμής = Και τα δύο μέλη της πρώτης ομάδας καταλήγουν στις σωστές σχέσεις: Ρ: Ποσό πληρωμής λεπτών = κ. για λεπτό * λεπτά ομιλίας Συνολικό ποσό πληρωμής = πάγιο + ποσό πλ. λ Ε: Ποσό πληρωμής λεπτών = Κ * Λ Συνολικό ποσό πληρωμής = Π + ΠΛ Δηλαδή καταλήγουν στη συνάρτηση y πληρωμής λεπτών» και «λεπτά ομιλίας». = ax που συνδέει τα ανάλογα ποσά «ποσό Σε επόμενο βήμα τους ζητείται να μετατρέψουν την παραπάνω αλγεβρική γνώση σε τύπο στο Excel: Με βάση τις γνώσεις σας για τη σύνταξη τύπων στο Excel, πρέπει να μετατρέψετε κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις σε μορφή τύπων στα αντίστοιχα κελιά του φύλλου σας στο Excel. Ποιοι θα είναι λοιπόν οι τύποι που θα γράψετε στα κελιά Β9 και Ε9; Πληκτρολογήστε τους στα αντίστοιχα κελιά. Και το κάνουν αυτό σύμφωνα με το μοντέλο ανάλυσης που περιγράψαμε παραπάνω: 73

74 P εε στο Β9 γράφουμε τον τύπο είναι P ειναι B5 επι D5 K Πάμε να το γράψουμε. Και γιατί αυτό; P Γιατί έτσι συνδέεται εδω E (κάνει κλικ στο Β9) P Β, τι είναι... Β5; P επί το D5 (πληκτρολογεί D5) P Και στο συνολικό ποσό πληρωμής. ειναι... K Δηλαδή τι θα βάλουμε; E (κάνει κλικ στο Ε9) E Εεε...F5 (πληκτρολογεί =F5) συν το B9 (πληκτρολογεί Β9 και πατάει enter) Αφού συμπληρώσουν σωστά τους τύπους στα αντίστοιχα κελιά, το επόμενο βήμα ζητάει από τους μαθητές/τριες να διαπιστώσουν ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης που έφτιαξαν (βάζοντας πάγιο μηδέν έχουν καταλήξει στη γραμμική συνάρτηση y = ax ) είναι ευθεία γραμμή. Συγκεκριμένα τους ζητάμε Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία (με κόστος ανά λεπτό ομιλίας 0,20 και πάγιο 0 ), υπολογίστε το συνολικό ποσό πληρωμής για 4, 40, 30, 45 και 50 λεπτά ομιλίας και συμπληρώστε τον πίνακα που βλέπετε (με τα λεπτά ομιλίας και το συνολικό ποσό πληρωμής). Παρατηρείστε ότι τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που έχετε μπροστά σας. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; Αν δεν είναι αρκετά τα σημεία που έχετε, συμπληρώστε και τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα βάζοντας κι άλλες τιμές. Τι παρατηρείτε; Και οι απαντήσεις τους: Να πάμε να επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία, αυτή δηλαδή που κάνατε τώρα και να βάλουμε για...με κόστος ανα λεπτό 0,20 ευρώ και πάγιο K μηδέν K Πάμε να το κάνουμε, γιατί δεν έχουμε καθόλου πάγιο E (κάνει κλικ στο κελί Ε9, το σβήνει με backspace και πληκτρολογεί μηδέν) K Και 0,2 E (κάνει κλικ στο κελί Β5 και πληκτρολογεί 0,2 και πατάει Enter) Να πάμε να βάλουμε...να πάμε να βάλουμε 4 λεπτά,40 λεπτά,30 λεπτά,45 K λεπτά και 50 λεπτά και να τα καταχωρήσουμε εδώ απο κάτω Το αποτέλεσμα θα καταχωρούμε απο κάτω. Πάμε να το βάλουμε πρώτα K εκεί.4 λεπτά. P K P Ναι, μια ευθεία (δείχνουν με το ποντίκι στη γραφική παράσταση) Μια ευθεία Μια ευθεία γιατί τα ποσά είναι ανάλογα 74

75 Επομένως οι μαθητές/τριες φτάνουν στο στόχο να διαπιστώσουν ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δύο ανάλογων ποσών είναι ευθεία γραμμή. Τέλος, στο τελευταίο βήμα του πρώτου μέρους τους ζητάμε Συμπληρώστε τέλος την κίτρινη στήλη του πίνακα με το πηλίκο του «συνολικού ποσού πληρωμής» προς τα «λεπτά επικοινωνίας» για τις αντίστοιχες τιμές του πίνακά σας. Τι παρατηρείτε; και κάνοντας την παραπάνω διαδικασία καταλήγουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα: Συμπληρώστε τέλος λέει την κίτρινη στήλη. Βλέπετε την κίτρινη στήλη, την K πολύ κίτρινη στήλη... K...με το πηλίκο... P Συνολικού ποσού πληρωμής προς τα λεπτά ομιλίας. K Τι παρατηρείτε παιδία; E Οτι είναι όλα ίδια ας πούμε και κάπως... K Γιατί; Αν τα ποσά είναι ανάλογα θα είναι όλες ίδιες οι τιμές; E Θα έχουν όλα το ίδιο πηλίκο K Ποιά ποσά είναι ανάλογα; P Λοιπόν διαρέσαμε το συνολικό ποσό δια τα λεπτά επικοινωνίας P Αλλα επειδή τα... K Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα γι αυτό... E Γι αυτό έχουν όλα το ίδιο πηλίκο K Δηλαδή ποια ποσά είναι ανάλογα; Το πάγιο; E Επειδή δεν έχουμε πάγιο... P Το πάγιο δεν υπάρχει K Το ποσό πληρωμής των λεπτών είναι ανάλογο; Δεν καταλαβαίνω P Τα λεπτά επικοινωνίας είναι ανάλογα με το συνολικό ποσό πληρωμής Β ομάδα Όσον αφορά τη δεύτερη δυάδα, καταλήγουν σωστά στον ορισμό των αλγεβρικών σχέσεων που συνδέουν το «ποσό πληρωμής λεπτών» και το «συνολικό ποσό πληρωμής» με το «κόστος για το κάθε λεπτό», τα «λεπτά ομιλίας» και το «πάγιο»: Μ: Ποσό πληρωμής λεπτών = κόστος για το κάθε λεπτό * λεπτά ομιλίας Συνολικό ποσό πληρωμής = ποσό πληρωμής λεπτών + πάγιο Χ: Ποσό πληρωμής λεπτών = κόστος για το κάθε λεπτό * λεπτά ομιλίας Συνολικό ποσό πληρωμής = ποσό πληρωμής λεπτών + πάγιο 75

76 Σύμφωνα με το μοντέλο ανάλυσης μετατρέπουν τους παραπάνω αλγεβρικούς τύπους σε τύπους στο Excel, συμπληρώνουν με τις αντίστοιχες τιμές τα κελιά και προσπαθούν να διαπιστώσουν ποια είναι η μορφή της γραφικής παράστασης που σχηματίζεται στο σύστημα συντεταγμένων: (διαβάζουν το φύλλο τους και κοιτούν το γράφημα) Μ Να βάλουμε κι άλλες τιμές; Κ Ναι. Τι παρατηρούμε καταρχήν; Μ Ότι έχει άνοδο... Κ Και τι είπες εσύ (Μ); Ότι αν ενώσουμε τα σημεία πάνω στον πίνακα, θα σχηματιστεί ένα Χ ευθύγραμμο τμήμα Κ Από πού αλλού περνάει αυτό το ευθύγραμμο τμήμα; Χ Από τις τελείες αυτές εδώ (δείχνει στο γράφημα) Κ Είναι λοιπόν ένα ευθύγραμμο τμήμα λέτε Έχει άνοδο, δηλαδή σημαίνει οτι θα έχει συνέχεια άνοδο; Δεν το Κ καταλαβαίνω Δηλαδή άμα εδώ πέρα βάλουμε κι άλλα (δείχνει στον πίνακα) θα πηγαίνει Μ πιο πάνω Δηλαδή κι άλλα τι εννοείς. Παραδείγματος χάρη ποιά τίμη θα μπορούσες Κ να βάλεις; Μ 60 Κ 60...και τι περιμένεις ας πούμε να πάρεις; Μ Παραπάνω απ'αυτό που έχουμε εμείς Κ Δηλαδή έχει άνοδο όπως λες Μ Εκτός αν βάλουμε ας πούμε 20, οπότε θα πάει πιο κάτω Κ Α, πάμε να το κάνουμε, μάλλον έχεις δίκιο νομίζω (δοκιμάζει την τιμή 20 στα λεπτά ομιλίας και πατάει Enter και βάζει το ζεύγος Χ τιμών στον πίνακα και Enter) Κ Οπ, εγώ δεν βλέπω να πηγαίνει πιο κάτω Χ Όχι, απλώς πρόσθεσε στα 20 λεπτά, έβαλε το αντίστοιχο σημείο Μ Όσο είναι μεγαλύτερο τόσο πιο ψηλά πάει Χ Όσο αυξάνονται τα λεπτά επικοινωνίας αυξάνεται και το ποσό πληρωμής Μ ενώ όσο θα μειώνεται θα το βάλει κάπου αντίστοιχα Κ Να βάλουμε και μηδέν; Πόσο περιμένετε οτι θα βγει; Μ Μηδέν (βάζουν την τιμή μηδέν για τα λεπτά και συμπληρώνουν τον πίνακα) Κ Τι είναι λοιπόν αυτό που βγήκε; με τι μοιάζει; Κ Με άνοδο...και τι άλλο είπατε, με ευθύγραμμο τμήμα Κ Και τι κάνει, από που περνάει για πεστε μου Μ Περνάει από τα σημεία μηδέν,... Χ Από την ένωση των αξόνων...και συνεχίζει Βλέπουμε ότι οι συγκεκριμένοι μαθητές καταλήγουν στο ότι η συγκεκριμένη γραφική παράσταση είναι ευθεία, που περνάει μάλιστα από την αρχή των αξόνων. Τέλος, σχετικά με τη διαπίστωση ότι ο λόγος δύο ανάλογων ποσών είναι σταθερός 76

77 Κ Τι βρίσκουμε πάντα; Μ 0,20 Κ Τι σημαίνει αυτό; Μ Οτι είναι...αντίστροφοι, οτι...είναι όσο ανεβαίνει ανεβαίνει το ίδιο Μ Έχουμε βάλει κάποιες συγκεκριμένες τιμές ώστε η φορά τους να είναι η ίδια Κ Συγκεκριμένες τιμές; Τυχαία τις πήραμε δηλαδή; Μ Όχι Κ Τυχαία δεν τις πήραμε και τις βάλαμε εδώ; Μ (σκέφτεται) Κ Τι είπες οτι είναι ίδια; Μ Όχι Κ Δεν είναι ίδια αυτά; Μ Ναι αυτά είναι ίδια Χ Δείχνουν το κόστος του κάθε λεπτού Κ Δηλαδή θα μπορούσε να μην ήταν ίδιο για κάποια άλλη τιμή; Χ Όχι δεν θα μπορούσε Μ Ας πούμε για το 3, αν βάλουμε εδώ πέρα 3;. Κ Πόσο βγαίνει; Μ Πάλι 0,20 Μ Επειδή είναι το πάγιο μηδέν; Κ Και τι σημαίνει αυτό; Μ (κουνάει το κεφάλι με απορία) Εδώ πάντως βρίσκουμε το συνολικό ποσό πληρωμής πολλαπλασιάζοντας τα λεπτά ομιλίας με το κόστος. Αν διαιρέσουμε το συνολικό ποσό Χ πληρωμής με τα λεπτά θα βρούμε το κόστος του κάθε λεπτού Μ...γι αυτό θα βγαίνει συνέχεια το ίδιο, για πάντα Κ Μα, ούτως ή άλλως πειράξαμε καθόλου το κόστος; Μ Όχι Χ Όχι, γι' αυτό βγαίνει συνέχεια το ίδιο Κ Σας φαίνεται λογικό αυτό δηλαδή; Χ Ναι υπάρχει μια ασάφεια στο αν έχουν καταλάβει γιατί ο λόγος παραμένει σταθερός αν και το βλέπουν στην αντίστοιχη στήλη και το επαληθεύουν με πολλά παραδείγματα. Γ ομάδα Τα μέλη της τρίτης δυάδας ορίζουν σωστά τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Συγκεκριμένα απαντούν: G: Ποσό πληρωμής λεπτών = κόστος/λεπτό * λεπτά ομιλίας Συνολικό ποσό πληρωμής = ποσό πληρωμής λεπτών + πάγιο Ε: Ποσό πληρωμής λεπτών = κόστος για το κάθε λεπτό *λεπτά ομιλίας Συνολικό ποσό πληρωμής = ποσό πληρωμής λεπτών + πάγιο 77

78 Καταλήγουν λοιπόν σωστά στη συνάρτηση y = ax που συνδέει τα ανάλογα ποσά «ποσό πληρωμής λεπτών» και «λεπτά ομιλίας». Όπως θα δούμε όμως παρακάτω, αν και γράφουν σωστά τους τύπους στο Excel, δυσκολεύονται να καταλάβουν ότι η γραφική παράσταση που προκύπτει στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων είναι ευθεία γραμμή, ακόμα και βάζοντας αρκετά σημεία ακόμα στον πίνακά τους. Επίσης, δεν μπορούν να σκεφτούν ότι η ευθεία αυτή αν την προεκτείνουμε θα περάσει από την αρχή των αξόνων. Αυτά τα ζεύγη που συμπληρώσαμε εμείς εδώ, αντιστοιχούν σε σημεία στο Κ ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, τα βλέπετε; (γνέφουν καταφατικά) Κ Με τι μοιάζει αυτό που θα παραχθεί αν βάζαμε πολύ περισσότερα ζεύγη; G Με καμπύλη Κ Με καμπύλη. Εύα; E Με μία λοξή βασικά... Με μια λοξή καμπύλη...να ρωτήσω κάτι, μπορούμε να συμπληρώσουμε και κάποια άλλα ζεύγη έτσι ώστε να μας βοηθήσει να καταλάβουμε Κ καλύτερα τι θα είναι αυτό; E Ναι Κ Ποιά ζεύγη; Ποιοί αριθμοί λέτε να βάλουμε; E Στα λεπτά επικοινωνίας να βάλουμε το Κ Για πάμε να το βάλουμε πάνω ψηλά το 20 G (κάνει κλικ στο κελί D5, πληκτρολογεί 20 και πατάει Enter) Κ Πόσο βγαίνει; 4 (κάνει κλικ στο κελί Β19, πληκτρολογεί 20, κάνει κλικ δίπλα και πληκτρολογεί G 4 και Enter) Κ Και ποιό άλλο να βάλουμε...γιάννη ποιό λες εσύ να βάλουμε; Κ Πώς προέκυψε αυτό το 20 Εύα; Έτσι το είπες τυχαία; Όχι, το είπα επειδή έχουμε βάλει ήδη το 40, το οποίο είναι το μισό...το 20 E είναι το μισό του 40 Να πάμε έτσι; Να πάμε να βάλουμε έναν αριθμό έτσι; Καταρχήν το Κ αναγνωρίζετε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων; (γνέφουν καταφατικά) Δηλαδή εδώ ας πούμε υπάρχει μεγάλη απόσταση σ' αυτά τα δύο σημεία, Κ για ποιά λεπτά ομιλίας; E Για Κ Να πάμε να βάλουμε το 15; Για πάμε να βάλουμε 15 λεπτά ομιλάις (κάνει κλικ στο κελί D5, πληκτρολογεί 15, πατάει Enter, βλέπει το αποτέλεσμα και συμπληρώνει αντίστοιχα την τελευταία γραμμή του G πίνακα) Νά το το σημείο που βγήκε. Τι λέτε μας βοηθάει καθόλου να καταλάβουμε Κ με τι μοιάζει αυτό; G Γραμμή; (διστακτικά) Κ Καμπύλη δε μου είπατε νωρίτερα; Με τι μοιάζει; Με τι νομίζετε οτι μοιάζει; Ή τι θα γίνει αν βάλω όλα αυτά τα σημεία; Ποιά άλλα σημεία μου λείπουν παραδείγματος χάρη;για ποιά Κ λεπτά ομιλίας θα μπορούσα να βάλω ακόμα; G Το...25 (δείχνει στο σύστημα συντεταγμένων) Κ Το 25...μόνο το 25; 78

79 G Το 35 Κ Από πού περνάει αυτή η ευθεία, που λέτε ότι είναι ευθεία ή γραμμή; Κ Τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε ποιό σημείο; Όσον αφορά το σταθερό λόγο των δύο ανάλογων ποσών, το διαπιστώνουν στην αντίστοιχη στήλη και μάλιστα καταλήγουν σαφώς στον ορισμό των ανάλογων ποσών. Συμπληρώστε τέλος λέει την κίτρινη στήλη με το πηλίκο του συνολικού Κ ποσού πληρωμής, πηλίκο...ξέρετε τι σημαίνει πηλίκο; G Διαίρεση Κ Διαίρεση...του συνολικού ποσού πληρωμής προς τα λεπτά ομιλίας Κ Πόσο είναι; G 0,20 0,20. Το ίδιο πρέπει να γράψουμε και από κάτω για το άλλο (κάνει κλικ στο Κ κελί Α15) Να το κάνουμε λίγο διαφορετικά, να το σύρουμε (κάνει αυτόματη συμπλήρωση στα επόμενα κελιά) κι έτσι αντιγράφει τον τύπο και προς τα Κ κάτω. Πόσο βγαίνει αυτό; E 0,20 ευρώ Κ Το ίδιο δηλαδή, ε; Μπορείτε να μου πείτε γιατί συμβαίνει αυτό; G Γιατί είναι τα ποσά, είναι ανάλογα; Κ Γιατί είναι ανάλογα; Τι σημαίνει ανάλογα; Δηλαδή τα λεπτά επικοινωνίας με το συνολικό ποσό πληρωμής είναι κάθε G φορά ανάλογα E Όταν πολλαπλασιάζεται το ένα, πολλαπλασιάζεται και το άλλο Κ Πού το είδατε αυτό βρε παιδιά; (δείχνει στον πίνακα με το ποντίκι) Πολλαπλασιάζουμε ας πούμε το 4 με το G 10 και βγαίνει 40, πολλαπλασιάζουμε το 0,80 με το 10 και βγαίνει 8) Σχολιασμός των απαντήσεων Μπορούμε λοιπόν να βγάλουμε κάποια γενικότερα συμπεράσματα για τις απαντήσεις των μαθητών των τριών δυάδων, στην πρώτη ενότητα που αφορά τα ανάλογα ποσά και συγκεκριμένα να δούμε αν, και μέσα από ποια διαδικασία κατέληξαν στην έννοια και τις ιδιότητες των ανάλογων ποσών. Συγκεκριμένα, οι παρατηρήσεις μας συνοψίζονται στα εξής: όσον αφορά τον ορισμό των ανάλογων ποσών, οι δύο δυάδες κατέληξαν ρητά σ αυτόν, αναφέροντας ότι: «Όσο αυξάνονται τα λεπτά επικοινωνίας αυξάνεται και το ποσό πληρωμής» (Χ, Β ομάδα) και «όταν πολλαπλασιάζεται το ένα, πολλαπλασιάζεται και το άλλο» (Ε, Γ ομάδα), ενώ και οι τρεις δυάδες 79

80 αναγνώρισαν ποια ποσά είναι ανάλογα (ποσό πληρωμής λεπτών με λεπτά ομιλίας) και οι τρεις δυάδες κατέληξαν σωστά στη σχέση που συνδέει δύο ανάλογα ποσά ( y = ax) γράφοντας σωστά τους τύπους και στο πρώτο μέρος στο χαρτί (ποσό πληρωμής λεπτών= κόστος για κάθε λεπτό * λεπτά ομιλίας), αλλά και σαν τύπους στο Excel στα αντίστοιχα κελιά σε ότι αφορά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δύο ανάλογων ποσών, οι δύο δυάδες διακρίνουν κατευθείαν ότι πρόκειται για ευθεία : «Μια ευθεία γιατί τα ποσά είναι ανάλογα» ( Ρ, Α ομάδα), «Αν ενώσουμε τα σημεία πάνω στον πίνακα θα σχηματιστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα» (Χ, Β ομάδα) ενώ στην Τρίτη δυάδα καταλήγουν μετά από συζήτηση σ αυτό: «Γραμμή (διστακτικά)» (G, Γ ομάδα) και μάλιστα η δεύτερη δυάδα βλέπουν ότι αυτή η ευθεία περνάει και από την αρχή των αξόνων Τέλος, όσον αφορά το σταθερό λόγο δύο ανάλογων ποσών, και οι τρεις δυάδες διακρίνουν ότι αυτός είναι σταθερός, αν και αυτός είναι προφανές αφού έχουν συμπληρώσει σωστά την αντίστοιχη στήλη του πίνακα, αλλά επιπλέον η τρίτη δυάδα το αποδίδει αυτό, πολύ σωστά, στο γεγονός ότι τα ποσά είναι ανάλογα. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Όλη η παραπάνω διαδικασία έγινε με αντίστοιχο τρόπο για τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, αλλάζοντας κάποιες παραμέτρους και κάποια ερωτήματα. Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, στο μάθημα που αναφέρεται στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά (Σχολικό εγχειρίδιο, Μαθηματικά Β Γυμνασίου, 2005, σελ. 178), οι μαθητές καλούνται να γνωρίζουν τέσσερα βασικά πράγματα σχετικά με τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, μετά το πέρας του μαθήματος. Συγκεκριμένα, πρέπει να γνωρίζουν ότι: 80

81 δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των τιμών τους είναι σταθερό αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε οι τιμές y του ενός εκφράζονται ως συνάρτηση των τιμών x του άλλου με την ισότητα y=α/x η γραφικά παράσταση της συνάρτησης y=α/x, με x πραγματικό αριθμό, είναι μια υπερβολή Με τη μελέτη των διαλόγων, στο κομμάτι της έρευνας που αφορά το πρόβλημα μοντελοποίησης για τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, με τη χρήση του Excel, παρατηρούμε τα εξής, για κάθε ομάδα ξεχωριστά: Α ομάδα Στο αντίστοιχο κομμάτι στο φύλλο εργασίας, ζητείται αρχικά από τους μαθητές Τώρα πρέπει όπως και πριν να ορίσετε τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Πώς προκύπτει δηλαδή ο τύπος που θα μας δίνει το «ποσό πληρωμής λεπτών» και τα «λεπτά ομιλίας»; Συμπληρώστε κατάλληλα τις παρακάτω σχέσεις: Ποσό πληρωμής λεπτών = Λεπτά ομιλίας = Και τα δύο μέλη της πρώτης ομάδας καταλήγουν στις σωστές σχέσεις: Ρ: Ποσό πληρωμής λεπτών = Σύνολο - Πάγιο Λεπτά ομιλίας = ποσό πλ. λ / κόστος ανά λεπτό Ε: Ποσό πληρωμής λεπτών = Σ - Π Λεπτά ομιλίας = ΠΛ: Κ/λ 81

82 a Δηλαδή καταλήγουν στη συνάρτηση y = που συνδέει τα αντιστρόφως ανάλογα x ποσά «λεπτά ομιλίας» και «κόστος ανά λεπτό ομιλίας». Σε επόμενο βήμα τους ζητείται να μετατρέψουν την παραπάνω αλγεβρική γνώση σε τύπο στο Excel και λίγο πιο κάτω να συμπληρώσουν μια στήλη σε έναν πίνακα υπολογίζοντας τα λεπτά ομιλίας αλλάζοντας το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας και να παρατηρήσουν τη γραφική παράσταση που σχηματίζεται στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων: Με βάση τώρα τις γνώσεις σας για τη σύνταξη τύπων στο Excel, πρέπει να μετατρέψετε κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις σε μορφή τύπων στα αντίστοιχα κελιά του φύλλου σας στο Excel. Ποιοι θα είναι λοιπόν οι τύποι που θα γράψετε στα κελιά Β9 και Ε9; Γράψτε τους στα αντίστοιχα κελιά. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία (με συνολικό ποσό πληρωμής 27 και πάγιο 0 ), υπολογίστε τα λεπτά ομιλίας όταν το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας γίνεται 0,40, 0,60, 0,80, 1,00, 1,20 και συμπληρώστε τον πίνακα που βλέπετε (με το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας και τα λεπτά ομιλίας). Παρατηρείστε ότι τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που έχετε μπροστά σας. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; Αφού μεταφέρουν σωστά τους τύπους στο Excel και συμπληρώσουν σωστά τη στήλη του πίνακα κάνοντας τους κατάλληλους υπολογισμούς, διαπιστώνουν τη μορφή της γραφικής παράστασης που σχηματίζεται στο σύστημα συντεταγμένων: P E P E Λοιπόν, παρατηρείστε τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που βλέπετε μπροστά σας. Ποιό είναι το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; Μια καμπύλη γραμμή Καμπύλη Καμπύλη αφού είναι και αντιστρόφως ανάλογα Στο τελευταίο βήμα τους ζητάμε Συμπληρώστε τέλος την κίτρινη στήλη του πίνακα με το γινόμενο του «κόστους για κάθε λεπτό ομιλίας» επί τα «λεπτά επικοινωνίας» για τις αντίστοιχες τιμές του πίνακά σας. Τι παρατηρείτε; 82

83 και κάνοντας την παραπάνω διαδικασία καταλήγουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα ότι δηλαδή το γινόμενο των δύο ποσών είναι σταθερό γιατί τα ποσά είναι ανάλογα, και μάλιστα καταλήγουν να διατυπώσουν τον ορισμό δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών: P Συμπέρασμα...στο κίτρινο κουτί βγαίνουν όλα 27 K Που σημαίνει... P Οτι είναι αντιστρόφως ανάλογα K Γιατί είναι αντιστρόφως ανάλογα; P Γιατί... K Τι πράξη κάναμε εδώ; P Διαίρεση... E Όσο μικραίνει το ένα, μεγαλώνει το άλλο E Όχι, όσο μεγαλώνει το ένα, μικραίνει το άλλο Β ομάδα Όσον αφορά τις αντίστοιχες απαντήσεις των μαθητών της δεύτερης δυάδας, καταλήγουν και οι δύο μαθήτριες ορθά στον ορισμό των αλγεβρικών σχέσεων (της a συνάρτησης y = ) που συνδέουν το «ποσό πληρωμής λεπτών» και τα «λεπτά x ομιλίας» με το «συνολικό ποσό πληρωμής», το «πάγιο» και το «κόστος για κάθε λεπτό»: Χ: Ποσό πληρωμής λεπτών = συνολικό ποσό πληρωμής - πάγιο Λεπτά ομιλίας = ποσό πληρωμής λεπτών : κόστος για κάθε λεπτό Μ: Ποσό πληρωμής λεπτών = συνολικό ποσό πληρωμής - πάγιο Λεπτά ομιλίας = ποσό πληρωμής λεπτών : κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας Γράφουν σωστά τους αντίστοιχους τύπους στο Excel και συμπληρώσουν τη στήλη με τα λεπτά ομιλίας κάνοντας τους κατάλληλους υπολογισμούς και διαπιστώνουν ότι η γραφική παράσταση είναι καμπύλη ορίζοντας παράλληλα τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά: Κ Μ Με τι μοιάζει αυτό που βλέπετε; Με κάθετο 83

84 Χ Μ Κ Χ Μ Κ Μ Κ Μ Κ Χ Κ Κ Μ Κ Μ Κ Μ Με καμπύλη Με καμπύλη...έτσι προς τα κάτω Η προηγούμενη με τι έμοιαζε; Με ευθύγραμμο τμήμα Όχι...δεν ήταν άνοδος το προηγούμενο; Ανέβαινε...αυτό τι κάνει; Κατεβαίνει Γιατί κατεβαίνει; Πάει έτσι (δείχνει οτι κατεβαίνει). Ξεκινάει από το μηδέν και πάει έτσι Χριστίνα; Ναι, έχει μια καθοδική πορεία... Μια καθοδική πορεία... Δηλαδή αν βάλω μια άλλη τιμή εδώ, ας πούμε 1,30 τι περιμένω να πάρω; Θα πάρω... Να μου πεις που θα ναι πάνω στη γραφική παράσταση; (δείχνει με το ποντίκι σωστά πάνω στο γράφημα) Τι σημαίνει αυτό δηλαδή, μπορείς να μου το πεις λίγο καλύτερα; Ότι όσο ανεβαίνει το κόστος για το κάθε λεπτό, τόσο μειώνονται τα λεπτά επικοινωνίας Τέλος, μετά από αρκετή συζήτηση τα δύο μέλη της ομάδας διαπιστώνουν ότι το γινόμενο των δύο ποσών είναι σταθερό και καταλαβαίνουν γιατί γίνεται αυτό: Για πάμε εδώ τώρα στην κίτρινη στήλη. Την κίτρινη στήλη λέει να την Κ γεμίσουμε με... Μ...με το γινόμενο του κόστους κάθε λεπτού επί τα λεπτά επικοινωνίας.. Κ Πόσο βγήκε; Μ 17 Κ Τι σημαίνει αυτό βρε παιδιά; Οτι τα συγκεκριμένα λεπτά επικοινωνίας επί το συγκεκριμένο κόστος για Χ κάθε λεπτό συν μηδέν πάγιο είναι το συνολικό ποσό πληρωμής Θέλεις να πεις δηλαδή οτι αν εγώ έβαζα κόστος για κάθε λεπτό επικοινωνίας 2 ευρώ και λεπτά επικοινωνίας 100, θα έβγαινε 27 ευρώ να Κ πληρώσω; Χ Όχι Μ Να το κάνουμε; Κ Εγώ αυτό κατάλαβα πάντως Χ Αυτό είπα, αλλά δε βγαίνει Να κάνω μια ερώτηση, αφού όπως και στο προηγούμενο έβγαινε συνέχεια 0,20. Δεν αλλάζει το συνολικό πληρωμής άρα οτι και να βάλουμε αφού δεν Μ το χουμε αλλάξει... Κ Να κάνω εγώ μια ερώτηση Κ Αν λέω βάλω κόστος για κάθε λεπτό 2 ευρώ... Μ (κάνει κλικ στο αντίστοιχο κελί και πληκτρολογεί 2 και enter) Κ...και λεπτά επικοινωνίας 400, θα πληρώσω 27 ευρώ; Μ (κάνει κλικ στο αντίστοιχο κελί πληκτρολογεί 100 και enter) Κ Πόσο έβγαλε; Μ 200 Κ Αυτό δεν μου είπες Χριστίνα ή κάνω λάθος Χ Αυτό είπα ναι 84

85 Να κάνω μια ερώτηση; Αφού το συνολικό ποσό πληρωμής είναι 27 ευρώ, Μ δεν το χουμε αλλάξει, αυτό μας έχουν δώσει πώς γίνεται να το...περάσουμε; Μου είπε η Χριστίνα οτι τελικά βγάλαμε οτι όταν πολλαπλασιάζουμε το Κ κόστος για το κάθε λεπτό, αν πάρουμε τυχαία νούμερα μου είπες, ε; Χ Δεν είπα τυχαία Κ Μήπως δεν άκουσα εγώ, για λέγε Παρατηρώ οτι το κόστος για κάθε λεπτό αυξάνεται ανά 20 λεπτά, μήπως Χ έχει αυτό κάποια σχέση; Να ρωτήσω κάτι, πόσο περιμένετε να είναι τα λεπτά επικοινωνίας όαταν Κ πληρώνω 2 ευρώ; Μ Μισό λεπτό (κοιτάζει το γράφημα) Κ Τι πας να δεις; Μ Να δω αν έχει καμιά σχέση μ'αυτό Κ Τι περιμένεις να δεις; Μ Τίποτα Κ Άρα μπορεί να είναι 400; Μ Όχι Κ Τι έπαιξε όμως ρόλο σ'αυτό και δεν μπορεί να είναι 400; Οτι το συνολικό ποσό πληρωμής είναι 27 και το πάγιο είναι μηδέν. Αυτά Μ είναι σταθερά δεν μπορούν ν' αλλάξουν Άρα λοιπόν έχουμε κρατήσει και το συνολικό ποσό και το πάγιο σταθερά, δεν τα πειράζουμε και παίζουμε κάθε φορά μόνο με το κόστος για κάθε Κ λεπτό Μ Ναι Κ...και τα λεπτά ομιλίας δεν μπορεί να είναι όποια θέλουμε εμείς Ναι. Αυτό κάναμε λάθος βάλαμε για 2 ευρώ όποια λεπτά θέλαμε εμείς Χ γιαυτό βγήκε 700 Έτσι μπράβο. Αν υπολογίσουμε λοιπόν για τα 2 ευρώ, πάμε να τα Κ υπολογίσουμε... Κ Θα πρέπει να βγει πόσο λογικά; Μ 27 (το βλέπουν) Κ Και επιβεβαιώνει και κάτι άλλο ότι είναι μικρότερο... Μα απ' τη στιγμή που δεν γίνεται να ξεπερνάει τα 27 ευρώ και το χουμε Μ συμπεριλάβει αυτό μέσα... Γ ομάδα Οι μαθητές της τρίτης δυάδας, απάντησαν σωστά ότι: G: Ποσό πληρωμής λεπτών = συνολικό ποσό πληρωμής - πάγιο Λεπτά ομιλίας = ποσό πληρωμής λεπτών : κόστος/λεπτό Ε: Ποσό πληρωμής λεπτών = συνολικό ποσό πληρωμής λεπτών - πάγιο Λεπτά ομιλίας = ποσό πληρωμής λεπτών : κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας 85

86 Γράφουν σωστά τους αντίστοιχους τύπους στο Excel και διαπιστώνουν ότι η γραφική παράσταση είναι καμπύλη: Κ G Κ E Κ Μάλιστα. Για πάμε να δούμε τώρα στο γράφημα, με τι μοιάζει αυτό που φτιάξατε; Με καμπύλη Με μια καμπύλη γραμμή,ε; Ή με τα σημεία ενός κύκλου κάπως Μοιάζει κάπως με ένα κομμάτι ενός κύκλου,ε; Με μια καμπύλη τέλοσπάντων Και ότι το γινόμενο των δύο τιμών παραμένει σταθερό: Κ Κ E Κ E Για πάμε εδώ στην κίτρινη στήλη, να συμπληρώσουμε το γινόμενο αυτή τη φορά (κάνει κλικ στοο πρώτο κελί της κίτρινης στήλης) Τι βγαίνει; Το ίδιο ποσό Το ίδιο ποσό. Γιατί; Γιατί το συνολικό ποσό πληρωμής, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, ακόμα κι αν αλλάξουμε το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας ή το ποσό πληρωμής των λεπτών Σχολιασμός των απαντήσεων Μπορούμε κι εδώ να βγάλουμε κάποια γενικότερα συμπεράσματα για τις απαντήσεις των μαθητών των τριών δυάδων, στην ενότητα που αφορά τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά και να διαπιστώσουμε αν οι μαθητές κατέληξαν στον ορισμό και τις ιδιότητες των ανάλογων ποσών. Συγκεκριμένα, οι παρατηρήσεις μας συνοψίζονται στα εξής: όσον αφορά τον ορισμό των αντιστρόφως ανάλογων ποσών, οι δύο δυάδες κατέληξαν ρητά σ αυτόν, αναφέροντας ότι: «Όσο μικραίνει το ένα, μεγαλώνει το άλλο», «Όχι, όσο μεγαλώνει το ένα, μικραίνει το άλλο» (Ε, Α ομάδα), «Όσο ανεβαίνει το κόστος για το κάθε λεπτό, τόσο μειώνονται τα λεπτά επικοινωνίας» (Μ, Β ομάδα) και οι τρεις δυάδες κατέληξαν σωστά στη σχέση που συνδέει δύο αντιστρόφως a ανάλογα ποσά ( y = ) γράφοντας σωστά τους τύπους και στο πρώτο μέρος x 86

87 στο χαρτί (λεπτά ομιλίας = ποσό πληρωμής λεπτών / κόστος για κάθε λεπτό), αλλά και σαν τύπους στο Excel στα αντίστοιχα κελιά σε ότι αφορά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών, και οι τρεις δυάδες διακρίνουν ότι πρόκειται για καμπύλη, αν και κανένας μαθητής δεν ονόμασε την καμπύλη αυτή σαν υπερβολή, όπως το αναφέρει το σχολικό εγχειρίδιο Τέλος, όσον αφορά το σταθερό γινόμενο δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών, παρατηρούμε ότι υπάρχει μια δυσκολία στο να εξηγήσουν οι μαθητές γιατί συμβαίνει αυτό, αν και το βλέπουν ότι συμβαίνει υπολογίζοντας το γινόμενο για συγκεκριμένες τιμές. 87

88 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΠΙΛΟΓΟΣ Με την παραπάνω μελέτη, καταλήξαμε σε κάποια γενικά συμπεράσματα που έχουν να κάνουν σε πρώτη φάση με την ένταξη των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στην εκπαίδευση. Διαπιστώθηκε λοιπόν, ότι η είσοδος των νέων τεχνολογιών έγινε ιδιαίτερα αισθητή με τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στην εκπαιδευτική διαδικασία και έχει ιδιαίτερη σημασία όχι μόνο όσον αφορά τον σχεδιασμό και την ανάπτυξη κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού, αλλά παράλληλα όσον αφορά τον τρόπο που μπορεί να επηρεάσει τις διαδικασίες μάθησης και διδασκαλίας. Η δεύτερη γενική παρατήρηση έχει να κάνει με τη θέση των Λογιστικών Φύλλων στην ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση και συγκεκριμένα σύμφωνα με το πώς το Excel υποστηρίζει συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες και πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν υποστηρικτικό εργαλείο για διερεύνηση και μοντελοποίηση πραγματικών καταστάσεων στον άξονα μιας διαθεματικής προσέγγισης. Έγινε αναλυτική περιγραφή του τρόπου με τον οποίο γίνεται η συσχέτιση των δύο γνωστικών αντικειμένων Πληροφορικής και Μαθηματικών στη διαδικασία μάθησης στην ελληνική Δευτεροβάθμια εκπαίδευση και μάλιστα με τη συγκεκριμένη μελέτη περίπτωσης διαπιστώθηκε ότι τα δύο αυτά γνωστικά αντικείμενα μπορούν εύκολα και αποτελεσματικά να συνδυαστούν στην διαδικασία επίλυσης προβλημάτων μαθηματικής φύσεως. Ένα σημαντικό κομμάτι στην όλη διαδικασία είναι η αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών, των μαθητών και του ερευνητή και των μαθητών με το λογισμικό. Και τα τρία αυτά είδη αλληλεπίδρασης οδήγησαν τους μαθητές στο να ξεπεράσουν κάποια γνωστικά εμπόδια όσον αφορά την κατασκευή ενός μοντέλου σε υπολογιστικό περιβάλλον και να οδηγηθούν πιο εύκολα στον αρχικό στόχο της έρευνάς μας, δηλαδή να κατανοήσουν κάποιες μαθηματικές έννοιες με τη χρήση ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος. Όπως φάνηκε από την έρευνα οι νέες τεχνολογίες είναι ένα εργαλείο που μπορεί να εφοδιάσει τους μαθητές με νέες αντιλήψεις όσον αφορά τη διαδικασία μάθησης, 88

89 εφόσον βέβαια χρησιμοποιηθεί από τους εκπαιδευτικούς συνετά, με κατάλληλες δραστηριότητες. 89

90 ΜΕΡΟΣ ΙII ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Πρόγραμμα Σπουδών Πληροφορικής Γυμνασίου (ΔΕΠΠΣ) Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών Πληροφορικής Ειδικοί σκοποί Ειδικός σκοπός του μαθήματος της Πληροφορικής στο Γυμνάσιο είναι να δώσει στους μαθητές όλα τα απαιτούμενα εφόδια ώστε να εντρυφήσουν στις βασικές έννοιες και όρους της Τεχνολογίας της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας (ΤΠΕ), δηλαδή των μέσων και των τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία, τη μετάδοση και λήψη κάθε πληροφορίας που μπορεί να παρουσιασθεί σε ψηφιακή μορφή. Να προσεγγίσουν το σύνολο των βασικών απλών εννοιών που αφορούν τη γενική δομή των υπολογιστικών συστημάτων και τις διαχρονικές αρχές που τα διέπουν (αρχιτεκτονική υπολογιστών, διαφορετικότητα υπολογιστικών συστημάτων, πρόγραμμα, οργάνωση και διαχείριση αρχείων κλπ). Να αποκτήσουν τις απαραίτητες δεξιότητες χειρισμού και κριτικής επεξεργασίας, καθώς και δεξιότητες μεθοδολογικού χαρακτήρα, ασκούμενοι σε ένα σύστημα υπολογιστών και στα βασικά εργαλεία που το συνοδεύουν. Να αποκτήσουν γνώσεις σχετικά με τη διαδικασία επίλυσης απλών προβλημάτων με τη χρήση του υπολογιστή. Να διαπιστώσουν και να αντιληφθούν ότι μια απλή μηχανή ελέγχεται και προγραμματίζεται από τον άνθρωπο. Να χρησιμοποιήσουν εφαρμογές πολυμέσων, να κατακτήσουν τις έννοιες της πλοήγησης και της αλληλεπίδρασης, να περιηγηθούν στο Διαδίκτυο, να εκπαιδευτούν στη χρήση κατάλληλου λογισμικού ώστε να αξιοποιήσουν τον υπολογιστή, αρχικά, στο πλαίσιο διαφόρων μαθημάτων τους αλλά και στις μετέπειτα δραστηριότητές τους. 90

91 Να ανακαλύψουν, να επιλέξουν, να αναλύσουν και να αξιολογήσουν πληροφορίες για να τις αξιοποιήσουν στις εκπαιδευτικές τους δραστηριότητες αλλά και στην καθημερινή τους ζωή γενικότερα. Να αναπτύξουν κώδικες δεοντολογίας στο πλαίσιο της συνεργασίας με άλλους, του σεβασμού της εργασίας τους και της διαφορετικότητάς τους. Να γνωρίσουν και να κρίνουν τις τρέχουσες και τις μελλοντικές επιπτώσεις των ΤΠΕ σε ατομικό και κοινωνικό επίπεδο αλλά και στους διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Με τη διδασκαλία της Πληροφορικής στο Γυμνάσιο επιδιώκονται οι παρακάτω επιμέρους ειδικοί σκοποί: Να αποκτήσουν οι μαθητές την ικανότητα να εξηγούν και να αναλύουν βασικές έννοιες και όρους της Πληροφορικής (δεδομένα, πληροφορίες, κωδικοποίηση, επεξεργασία δεδομένων, αρχείο, αποθήκευση, πρόγραμμα, λογισμικό, λογισμικό συστήματος κλπ) καθώς και να αναγνωρίζουν τη βασική ορολογία της σύγχρονης δικτυακής τεχνολογίας και της τεχνολογίας των πολυμέσων. Να χρησιμοποιήσουν εργαλεία λογισμικού γενικής χρήσης για να καταγράψουν τις ιδέες τους, να τις επεξεργασθούν και να τις παρουσιάσουν με διάφορους τρόπους και μέσα, να επιλύσουν απλά προβλήματα, να χρησιμοποιήσουν απλά μοντέλα πρόβλεψης και ελέγχου για να προσομοιάσουν και να δοκιμάσουν απλά προβλήματα ή συμπεράσματα από άλλα γνωστικά αντικείμενα. Να γνωρίσουν τη λειτουργία των κυριότερων μονάδων του υπολογιστή και να χρησιμοποιήσουν με ευχέρεια ένα υπολογιστικό σύστημα. Να αποκτήσουν δεξιότητες συλλογής, επιλογής, ανάλυσης και αξιολόγησης πληροφοριών από διάφορες πηγές (ηλεκτρονικές εγκυκλοπαίδειες, ηλεκτρονικά λεξικά, παγκόσμιος ιστός - www κά) και να τις αξιοποιήσουν για τη δημιουργία ατομικών ή ομαδικών - συνθετικών εργασιών. Να αξιοποιήσουν τις δυνατότητες που προσφέρουν οι ΤΠΕ για να επικοινωνήσουν, να ανταλλάξουν απόψεις, να προβληματισθούν, να διασκεδάσουν, να παρουσιάσουν τις ιδέες και τις απόψεις τους (με τρόπο που οι 91

92 ίδιοι θα επιλέξουν) και να εφαρμόσουν απλές γνώσεις των ΤΠΕ στην καθημερινή ζωή. Να αναπτύξουν κριτικές δεξιότητες για την αντιμετώπιση προβλημάτων με τη χρήση του υπολογιστή και να επιλύσουν απλά προβλήματα σε προγραμματιστικό περιβάλλον. Να συνεργασθούν για την εκτέλεση συγκεκριμένης εργασίας, να αναπτύξουν πρωτοβουλίες, να σχεδιάσουν, να θέσουν στόχους, να διαλεχτούν, να υπερβούν τις αντιθέσεις τους, να διατηρήσουν την ανεξαρτησία τους με σεβασμό στην άποψη των άλλων, να αναγνωρίσουν τη συμβολή της ομαδικής εργασίας στην παραγωγή έργου, να συζητήσουν και να κρίνουν την εργασία τους και την εργασία των άλλων. Να αναπτύξουν έναν κώδικα δεοντολογίας που να αφορά την εργασία τους στο χώρο του εργαστηρίου, το σεβασμό της εργασίας και της διαφορετικότητας των άλλων. Να ευαισθητοποιηθούν σε θέματα προστασίας των πνευματικών δικαιωμάτων, ασφάλειας των πληροφοριών, συμπεριφοράς στο Διαδίκτυο, ασφάλειας και αποφυγής κινδύνων στο "εργασιακό" τους περιβάλλον και να αναγνωρίσουν την αναγκαιότητα ύπαρξης και τήρησης κανόνων. Να αναπτύξουν κριτική στάση σχετικά με τη χρήση των ΤΠΕ, να αναφέρουν εφαρμογές της Πληροφορικής στο σύγχρονο κόσμο και, τέλος, να ευαισθητοποιηθούν, να συζητήσουν και να προβληματισθούν, να ενημερωθούν και να κατανοήσουν τις επιπτώσεις από την εφαρμογή των ΤΠΕ στους ίδιους, το περιβάλλον, τον πολιτισμό, τη γλώσσα, τις αξίες, τις επιστήμες, την εκπαίδευση, τον εργασιακό χώρο και, γενικότερα, την κοινωνία. 92

93 Ενιαίο Πλαίσιο Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικών Γενικές Αρχές της Διδασκαλίας των Μαθηματικών Γενικοί στόχοι της Μαθηματικής Εκπαίδευσης Κατά τη διατύπωση των στόχων της μαθηματικής εκπαίδευσης μπορούμε να ορίσουμε 7 άξονες γενικών στόχων. Κάθε άξονας αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη θεώρηση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Δηλαδή τα θέματα της μαθηματικής εκπαίδευσης μπορούν να αναλυθούν και να μελετηθούν ως προς: τη μαθηματική διάσταση τη γλωσσική διάσταση την εφαρμοσιμότητα και πρακτική χρήση τη μαθηματική δομή τη μεθοδολογική διάσταση τη δυναμική διάσταση τη διάσταση της στάσης των μαθητών απέναντι στα Μαθηματικά α) Μαθηματική διάσταση Στη διάρκεια της μαθηματικής εκπαίδευσης πρέπει να δοθεί ευκαιρία στους μαθητές: Να αποκτήσουν βασικές μαθηματικές γνώσεις και ικανότητες (πχ. αλγοριθμικές ικανότητες, ικανότητες σχεδίασης γεωμετρικών σχημάτων κλπ), οι οποίες για κάθε βαθμίδα καθορίζονται λεπτομερώς από το αντίστοιχο πρόγραμμα σπουδών. Κατά τη συγγραφή των εγχειριδίων που θα αποτελέσουν τον συνδετικό κρίκο μεταξύ προγράμματος σπουδών και διδακτικής υλοποίησης των επιδιωκόμενων στόχων, πρέπει να ληφθούν υπόψη όλες οι διαστάσεις της μαθηματικής εκπαίδευσης και όχι απλά η ορθότητα του μαθηματικού περιεχομένου. Να αποκτήσουν ένα επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων. Απόκτηση επιστημονικού τρόπου σκέψης σημαίνει κυρίως ταυτόχρονη ανάπτυξη της ικανότητας για εξερεύνηση και αξιολόγηση, για φαντασία και κριτική σκέψη. 93

94 Επίλυση προβλημάτων Η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων προσφέρεται ως το πλέον κατάλληλο πεδίο για την καλλιέργεια αυτών των ικανοτήτων. Κατά τη διάρκεια της επίλυσης προβλημάτων, της μοντελοποίησης πραγματικών καταστάσεων και της προοδευτικής μάθησης της διαδικασίας απόδειξης, οι μαθητές συνειδητοποιούν σταδιακά ότι δουλεύω πάνω σε μια μαθηματική δραστηριότητα σημαίνει κυρίως: προσδιορίζω το πρόβλημα, εικάζω για το αποτέλεσμα, πειραματίζομαι με τη βοήθεια παραδειγμάτων, συνθέτω ένα συλλογισμό, διατυπώνω μια λύση, ελέγχω τα αποτελέσματα και αξιολογώ την ορθότητά τους σε συνάρτηση με το αρχικό πρόβλημα. Γι αυτό το λόγο η επίλυση προβλημάτων πρέπει να αποτελεί το κέντρο του ενδιαφέροντος ενός Π.Σ. των Μαθηματικών, όχι απαραίτητα ως ανεξάρτητη θεματική περιοχή, αλλά ως βασικός άξονας γύρω από τον οποίο θα οργανωθεί η διδασκαλία των βασικών Μαθηματικών εννοιών. Στις πρώτες βαθμίδες της εκπαίδευσης, η θεματολογία των προβλημάτων θα προκύπτει από τις άμεσες εμπειρίες των μαθητών ενώ σταδιακά τα προβλήματα θα γίνονται πιο σύνθετα και θα σχετίζονται τόσο με πραγματικές καταστάσεις όσο και με καθαρά Μαθηματικά θέματα. Με τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων οι μαθητές: Ερευνούν και κατανοούν Μαθηματικά περιεχόμενα (έννοιες, συλλογισμούς κλπ). Διατυπώνουν προβλήματα με αφορμή καθημερινές ή μαθηματικές καταστάσεις. Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν ποικίλες στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων. Επαληθεύουν και ερμηνεύουν αποτελέσματα σε σχέση με το αρχικό πρόβλημα. Γενικεύουν λύσεις και στρατηγικές έτσι ώστε να βρίσκουν εφαρμογή σε νέες καταστάσεις. Αποκτούν εμπιστοσύνη ως προς τις μαθηματικές ικανότητές τους. Γίνονται ικανοί να εφαρμόζουν τη διαδικασία της μοντελοποίησης για την επεξεργασία πραγματικών καταστάσεων. 94

95 β) Γλωσσική διάσταση Τα Μαθηματικά είναι ένας τρόπος με τον οποίο περιγράφονται όψεις του περιβάλλοντος κόσμου. Η μαθηματική εκπαίδευση πρέπει να προσανατολίζεται προς το να προσφέρει στους μαθητές ένα πλήρη έλεγχο της γλώσσας των Μαθηματικών ως ένα μέσο επικοινωνίας. Για τους μαθητές αυτό σημαίνει: Να έχουν ένα πλήρες λεξιλόγιο Μαθηματικών όρων και συμβόλων υπό τον έλεγχό τους. Να κατανοούν τη σύνταξη της μαθηματικής γλώσσας και να κάνουν σωστή χρήση αυτής της γλώσσας όταν συζητούν, συνθέτουν λύσεις ή διατυπώνουν ερωτήσεις. Να είναι ικανοί να διαβάζουν και να ερμηνεύουν Μαθηματικά κείμενα που είναι διατυπωμένα σε προφορική, διαγραμματική ή συμβολική μορφή. Να διαθέτουν ικανότητα για μετάφραση από τη φυσική γλώσσα στη μαθηματική γλώσσα. Να συσχετίζουν πραγματικά αντικείμενα και καταστάσεις, εικόνες και διαγράμματα με μαθηματικές έννοιες και ιδέες. γ) Εφαρμοσιμότητα και πρακτική χρήση Η μαθηματική εκπαίδευση πρέπει να στοχεύει τόσο στην απόκτηση εφαρμόσιμης γνώσης όσο και στην κατανόηση των πρακτικών εφαρμογών. Για παράδειγμα, πρέπει να γίνονται συνδέσεις μεταξύ καταστάσεων προβληματισμού (εντός και εκτός του μαθηματικού πλαισίου) και μεταξύ Μαθηματικών εννοιών και δομών. Για τους μαθητές αυτό σημαίνει: Μάθηση του τρόπου αναδόμησης και αναδιατύπωσης ενός προβλήματος από μια εξωμαθηματική περιοχή, σε μαθηματικό πρόβλημα. Χρήση Μαθηματικών εργαλείων (π.χ. Μαθηματικών μοντέλων και μεθόδων) για τη λύση προβλημάτων, εντός και εκτός του μαθηματικού περιβάλλοντος. 95

96 Σχεδιασμό και επεξεργασία Μαθηματικών μοντέλων για την αντιμετώπιση προβλημάτων και ως εκ τούτου συνειδητοποίηση της δύναμης και των ορίων των Μαθηματικών. Ικανοποιητική αντιμετώπιση καταστάσεων στις οποίες μπορούν να εφαρμόσουν μαθηματικές διαδικασίες. Αναγνώριση σχέσεων μεταξύ διαφόρων περιοχών των Μαθηματικών και σχέσεων μεταξύ των Μαθηματικών και άλλων γνωστικών περιοχών του προγράμματος σπουδών. Δυνατότητα εφαρμογής των Μαθηματικών σε άλλες επιστημονικές περιοχές (π.χ. στη Φυσική, Βιολογία, Τεχνολογία, Κοινωνιολογία κτλ.) και σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής μέσω επίλυσης προβλημάτων. Μάθηση της χρήσης μέσων της νέας τεχνολογίας που έχουν σχέση με τα Μαθηματικά. Εξερεύνηση και αξιολόγηση στρατηγικών εκτίμησης προσεγγίσεων και αποτελεσμάτων. δ) Δομή Η μαθηματική εκπαίδευση πρέπει να δίνει την ευκαιρία στους μαθητές να εντοπίζουν και να κατανοούν τον τρόπο σύνδεσης των Μαθηματικών εννοιών και να αναγνωρίζουν κάτω από ποικίλες εκφράσεις τους, κοινές αρχές. Για τους μαθητές αυτό σημαίνει: Ανακάλυψη κοινών αρχών και σχέσεων στις περιοχές των αριθμών, των σχημάτων των αλγεβρικών εκφράσεων κτλ. και χρησιμοποίηση αυτών των σχέσεων για την ανάλυση Μαθηματικών καταστάσεων. Ανακάλυψη κοινών ιδιοτήτων Μαθηματικών αντικειμένων (π.χ. πράξεων, σχέσεων, δομών) για κάθε περιοχή του προγράμματος σπουδών. Αναζήτηση και διατύπωση νόμων και κανόνων. Ικανότητα σύνθεσης παραδειγμάτων, όταν δίνονται οι κανόνες. Αιτιολόγηση της πορείας επίλυσης ενός προβλήματος με βάση τη μαθηματική λογική για τις ανώτερες βαθμίδες και την άτυπη λογική για το επίπεδο του Δημοτικού. 96

97 ε) Μεθοδολογική διάσταση Η μαθηματική εκπαίδευση πρέπει να προσανατολισθεί στη μάθηση μεθόδων εξερεύνησης και συλλογιστικών στρατηγικών όπως η διαίσθηση, η αναλογικήεπαγωγική και η παραγωγική σκέψη. Για τους μαθητές αυτό σημαίνει: Εμπειρική προσέγγιση που χαρακτηρίζεται από εξερεύνηση, παρατήρηση, διατύπωση και έλεγχο υποθέσεων και ενδεχομένως παραγωγικό συλλογισμό. Μύηση στη λειτουργία της αποδεικτικής διαδικασίας και συνειδητοποίηση της δυνατότητας αυτονομίας που αυτή τους παρέχει στον έλεγχο της επιτυχίας ή αποτυχίας τους. Συνειδητοποίηση της σημασίας της αναλογικής σκέψης, της εκτίμησης, του τρόπου διατύπωσης μιας υπόθεσης, της απαγωγής και της παραγωγής. Μάθηση κάποιων συγκεκριμένων στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων. στ) Δυναμική διάσταση Τα Μαθηματικά βρίσκονται σε συνεχή ανάπτυξη και εξέλιξη. Η μαθηματική εκπαίδευση πρέπει να βοηθήσει τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν την ευρύτητα και τη δυναμική των Μαθηματικών σε υποκειμενικό και αντικειμενικό επίπεδο. Για τους μαθητές αυτό σημαίνει: Γνώση της ιστορικής εξέλιξης των Μαθηματικών εργαλείων, συμβόλων και εννοιών (πχ. εξέλιξη των αριθμητικών συστημάτων). Γνώση της εξέλιξης και των σύγχρονων εναλλακτικών τρόπων χειρισμού των αριθμητικών τεχνικών (πχ. των διαφόρων αλγορίθμων) για τις βασικές πράξεις. ζ) Διάσταση στάσης απέναντι στα Μαθηματικά Για να επιτευχθούν οι προηγούμενοι στόχοι, οι μαθητές πρέπει να αποκτήσουν μια θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά. 97

98 Για τη μαθηματική εκπαίδευση αυτό σημαίνει ότι πρέπει να δώσει στους μαθητές την ευκαιρία: Να επισημάνουν, να αξιολογήσουν και να διορθώσουν τα λάθη τους, μέσα από ευρετικές δραστηριότητες. Να αξιολογήσουν μια μαθηματική μέθοδο. Να δουλέψουν σε ένα πλούσια δομημένο μαθηματικό περιβάλλον όπου θα υπάρχει χώρος για πρωτοβουλία, εφευρετικότητα και νοητική πρόκληση. Να έχουν απόλυτη ελευθερία ως προς την επιλογή των μοντέλων που θα χρησιμοποιήσουν για να αντιμετωπίσουν μια κατάσταση ή για να εξηγήσουν τη σκέψη τους. Η αυτονομία αυτή θα τους βοηθήσει να αποκτήσουν εμπιστοσύνη στην ικανότητά τους να σκέφτονται και να δημιουργούν σε ένα μαθηματικό περιβάλλον. Γενικοί σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο Τα Μαθηματικά συμβάλλουν στη γενικότερη πνευματική καλλιέργεια και στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του μαθητή, αφού αποτελούν μέρος της πολιτισμικής κληρονομιάς της ανθρωπότητας. Συγκεκριμένα, βοηθούν στην ανάπτυξη του κριτικού πνεύματος και της συγκροτημένης σκέψης, που συνοδεύεται από δημιουργική φαντασία. Ειδικότερα με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο επιδιώκεται: α) Να εμπεδωθεί καλύτερα και να συμπληρωθεί η ύλη που διδάχτηκε στο Δημοτικό Σχολείο, ώστε οι μαθητές να εφοδιαστούν με όλες τις μαθηματικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη ζωή και την περαιτέρω μελέτη και εκπαίδευση. β) Να εμπλουτιστούν οι εμπειρίες των μαθητών με εφαρμογές από την καθημερινή ζωή, την τεχνολογία και τις άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες, ώστε να αναπτυχθεί μια θετική στάση των μαθητών προς τα Μαθηματικά. γ) Να εισαχθούν οι μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία και να συνειδητοποιήσουν ότι αυτό αποτελεί χρήσιμο εργαλείο για την επαλήθευση γενικών νόμων. 98

99 Στις γυμνασιακές τους σπουδές οι μαθητές θα έλθουν σε επαφή με νέες ιδέες και έννοιες καθώς και με κλάδους των Μαθηματικών όπως: Η Γεωμετρία όπου επιδιώκεται: Η αναγνώριση και ταξινόμηση των βασικών γεωμετρικών σχημάτων. Η κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων με χρήση αβαθμολόγητου κανόνα και διαβήτη. Η μελέτη των σχέσεων της ισότητας, της παραλληλίας και της ομοιότητας. Ο υπολογισμός εμβαδών και όγκων. Η Στατιστική όπου με τη συλλογή, οργάνωση και γραφική παράσταση αριθμητικών δεδομένων επιδιώκεται η εξαγωγή σχετικών συμπερασμάτων. Η Άλγεβρα όπου επιδιώκεται: Η ανάπτυξη δεξιοτήτων στο λογισμό με πολυωνυμικές και ρητές παραστάσεις. Η επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων και γραμμικών συστημάτων. Ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών και η χρησιμοποίησή τους στην επίλυση προβλημάτων. Η εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης με κατάλληλα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή. 99

100 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ Δομημένη συνέντευξη της χρήσης βασικών λειτουργιών του Εxcel. Συνολικός χρόνος 15 λεπτά. Στην περίπτωση που ξεφεύγουμε χρονικά θα γίνουν μόνο οι τρεις πρώτες. Δεν θα δοθούν φύλλα εργασίας (φωτοτυπίες στους μαθητές) Η διαδικασία θα καταγράφεται (οθόνη και πρόσωπα) Θα δοθούν τα αντίστοιχα ψηφιακά φύλλα του Εxcel «Δραστηριότητα 1-4». Η συνέντευξη θα πραγματοποιηθεί στο περιβάλλον λειτουργίας του λογισμικού Excel. Προτείνω στο τέλος κάθε δραστηριότητας να υποδεικνύεται το σωστό. Με κόκκινο είναι οι επιπλέον παραινέσεις του διευκολυντή στην συζήτηση Φύλλο (Δραστηριότητα 1) Αφορά την «εισαγωγή περιεχομένου, ειδικές μορφοποιήσεις εμφάνισης» 1.1)Σε ποιο κελί βρίσκεται η λέξη "μαθητής" 1.2)Στο κελί B13 να γράψετε την λέξη, "Πολυκατοικίας". Τι παρατηρείτε; Γιατί συμβαίνει αυτό; Μπορείτε να κάνετε κάτι γι αυτό; 1.3)Στο κελί B3 να γράψετε τον αριθμό 24789,2. Τι παρατηρείτε; Δοκίμασε σε άλλο κελί. Γιατί συμβαίνει αυτό; Μπορείτε να κάνετε κάτι γι αυτό; Φύλλο (Δραστηριότητα 2) Αφορά την «χρήση τύπων σχετικών διευθύνσεων και την δυναμική αντικατάσταση του αποτελέσματος» 2.1)Να βρείτε το αποτέλεσμα (12+13)/14, και να εμφανίζεται αυτό στο κελί E4. 2.2)Πόσο θα ήταν το αποτέλεσμα αν στο κελί B4 υπήρχε ο αριθμός (17,5) Και πόσο αν στο κελί Β2 υπήρχε ο αριθμός 9000; Υπάρχει τρόπος για μια αυτοματοποιημένη εργασία έτσι ώστε κάθε φορά αλλάζοντας το περιεχόμενο ενός κελιού να αλλάζει μόνο του το αποτέλεσμα. 2.3)Στο κελί Ε19 τι υπάρχει; Ας τοποθετήσουμε στο κελί D19 τον αριθμό 78, τι θα γίνει; Γιατί συμβαίνει αυτό; Φύλλο (Δραστηριότητα 3) Αφορά την «δυναμική αλλαγή του γραφήματος» 3.1) Βάσει των δεδομένων που φαίνονται εδώ έφτιαξα με την βοήθεια του Εxcel, το ραβδόγραμμα από κάτω. Αν αλλάξω το περιεχόμενο του κελιού D2 με τον αριθμό 62 θα αλλάξει το ραβδόγραμμα; Αν ναι τι φαντάζεστε ότι θα γίνει; Δοκιμάστε το. Φύλλο (Δραστηριότητα 4) Αφορά την «δεξιότητα αυτόματης κατασκευής γραφήματος στο Εxcel» 4.1)Μπορείτε να φτιάξετε ένα ραβδόγραμμα στο οποίο να φαίνεται γραφικά το αποτέλεσμα της ψηφοφορίας. 100

101 Ψηφιακά φύλλα του Εxcel (Δραστηριότητα 1-4) 101

102 102

103 Φύλλο εργασίας ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σχολείο: Ον/μο μαθητή: Ημερομηνία: Αντικείμενο: Τάξη: Ομάδα: Πρόβλημα Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει κάθε μήνα ένα σταθερό πόσο ανεξάρτητα από την χρήση του τηλεφώνου, το ποσό αυτό ονομάζεται πάγιο. Επιπλέον κάθε λεπτό συνομιλίας χρεώνεται με ένα σταθερό ποσό, δηλαδή υπάρχει χρονοχρέωση. Ένας φίλος σας θα ήθελε να γίνει συνδρομητής σ αυτή την εταιρεία. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να κάνει κάποιες σκέψεις;.. Α1 Μέρος) Ας προσπαθήσουμε να σκεφτούμε Αν η εταιρεία κινητής τηλεφωνίας χρεώνει το πάγιο με 15,60 για κάθε μήνα, ποια άλλα στοιχεία θα πρέπει να συνυπολογίσει ο φίλος σας για να βρει πόσο θα πληρώνει κάθε μήνα; Δώστε ένα δικό σας παράδειγμα με συγκεκριμένες τιμές. Λύση: Α2 Μέρος) 1 ο βήμα Με βάσει τις προηγούμενες σκέψεις σας, προσδιορίστε τα αντίστοιχα στοιχεία που χρησιμοποιήσατε τα οποία συμπεριλαμβάνονται στον πίνακα από κάτω. Συνδέστε με βέλη αυτά τα στοιχεία. Δικαιολογήστε αυτή σας την ενέργεια. Κόστος για το κάθε λεπτό Λεπτά ομιλίας Πάγιο Ποσό πληρωμής λεπτών Συνολικό ποσό πληρωμής 103

104 2 ο βήμα Ορίστε τώρα τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Πώς προκύπτει ο τύπος που μας δίνει το «ποσό πληρωμής λεπτών» και πώς ο τύπος για το «συνολικό ποσό πληρωμής»; Συμπληρώστε κατάλληλα τις παρακάτω σχέσεις: Ποσό πληρωμής λεπτών = Συνολικό ποσό πληρωμής = Α3 Μέρος) Για να βοηθήσετε τον φίλο σας θα αξιοποιήσετε τo Microsoft Excel κατασκευάζοντας ένα μοντέλο για την πρόβλεψη της χρέωσης. Ξεκινήστε το Microsoft Excel και ανοίξτε το αρχείο «συναρτήσεις.xls». Βρίσκεστε στο φύλλο «ανάλογα ποσά». Παρατηρείστε την επιφάνεια εργασίας που βλέπετε μπροστά σας. 3 ο βήμα Με βάση τις γνώσεις σας για τη σύνταξη τύπων στο Excel, πρέπει να μετατρέψετε κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις σε μορφή τύπων στα αντίστοιχα κελιά του φύλλου σας στο Excel. Ποιοι θα είναι λοιπόν οι τύποι που θα γράψετε στα κελιά Β9 και Ε9; Πληκτρολογήστε τους στα αντίστοιχα κελιά. 4 ο βήμα Τώρα είστε σε θέση να λύσετε το πρόβλημα του φίλου σας. Συμπληρώστε τα αντίστοιχα κελιά στον υπολογιστή σας με τις τιμές που βάλατε στο παράδειγμα που σκεφτήκατε στην αρχή. Αν έχετε συμπληρώσει σωστά τους τύπους, πρέπει στο πλαίσιο «συνολικό ποσό πληρωμής» να βρείτε την ίδια απάντηση που βρήκατε λύνοντας μόνοι σας το πρόβλημα στο χαρτί!!! 5 ο βήμα Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία (με κόστος ανά λεπτό ομιλίας 0,20 και πάγιο 0 ), υπολογίστε το συνολικό ποσό πληρωμής για 4, 40, 30, 45 και 50 λεπτά ομιλίας και συμπληρώστε τον πίνακα που βλέπετε (με τα λεπτά ομιλίας και το συνολικό ποσό πληρωμής). Παρατηρείστε ότι τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που έχετε μπροστά σας. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; Αν δεν είναι αρκετά τα σημεία που έχετε, συμπληρώστε και τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα βάζοντας κι άλλες τιμές. Τι παρατηρείτε; 6 ο βήμα Συμπληρώστε τέλος την κίτρινη στήλη του πίνακα με το πηλίκο του «συνολικού ποσού πληρωμής» προς τα «λεπτά επικοινωνίας» για τις αντίστοιχες τιμές του πίνακά σας. Τι παρατηρείτε; 104

105 Β 1 Μέρος) Ας προσπαθήσουμε να σκεφτούμε.. Αν ο φίλος σας πλήρωσε 25 για τον μήνα που πέρασε, προσδιορίστε ποια άλλα στοιχεία θα πρέπει να συνυπολογίσουμε για να βρούμε πόσα λεπτά μίλησε; Δώστε ένα δικό σας παράδειγμα με συγκεκριμένες τιμές. Λύση: Β 2 Μέρος) 1 ο βήμα Με βάσει τις προηγούμενες σκέψεις σας, προσδιορίστε τα αντίστοιχα στοιχεία που χρησιμοποιήσατε τα οποία συμπεριλαμβάνονται στον πίνακα από κάτω. Συνδέστε με βέλη αυτά τα στοιχεία. Δικαιολογήστε αυτή σας την ενέργεια. Συνολικό ποσό πληρωμής Πάγιο Κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας Ποσό πληρωμής λεπτών Λεπτά ομιλίας 2 ο βήμα Τώρα πρέπει όπως και πριν να ορίσετε τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τα παραπάνω στοιχεία. Πώς προκύπτει δηλαδή ο τύπος που θα μας δίνει το «ποσό πληρωμής λεπτών» και τα «λεπτά ομιλίας»; Συμπληρώστε κατάλληλα τις παρακάτω σχέσεις: Ποσό πληρωμής λεπτών = Λεπτά ομιλίας = Β 3 Μέρος) 3 ο βήμα Βρίσκεστε στο φύλλο «αντιστρόφως ανάλογα ποσά». Παρατηρείστε την επιφάνεια εργασίας που βλέπετε μπροστά σας. Με βάση τώρα τις γνώσεις σας για τη σύνταξη τύπων στο Excel, πρέπει να μετατρέψετε κατάλληλα τις παραπάνω σχέσεις σε μορφή τύπων στα αντίστοιχα κελιά του φύλλου σας στο Excel. Ποιοι θα είναι λοιπόν οι τύποι που θα γράψετε στα κελιά Β9 και Ε9; Γράψτε τους στα αντίστοιχα κελιά. 105

106 4 ο βήμα Τώρα είστε σε θέση να λύσετε το πρόβλημα του φίλου σας. Συμπληρώστε τα αντίστοιχα κελιά στον υπολογιστή σας με τις τιμές που βάλατε παράδειγμα που σκεφτήκατε στο «Β1 Μέρος». Αν έχετε συμπληρώσει σωστά τους τύπους, πρέπει στο πλαίσιο «λεπτά ομιλίας» να βρείτε την ίδια απάντηση που βρήκατε λύνοντας μόνοι σας το πρόβλημα στο χαρτί!!! 5 ο βήμα Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία (με συνολικό ποσό πληρωμής 27 και πάγιο 0 ), υπολογίστε τα λεπτά ομιλίας όταν το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας γίνεται 0,40, 0,60, 0,80, 1,00, 1,20 και συμπληρώστε τον πίνακα που βλέπετε (με το κόστος για κάθε λεπτό ομιλίας και τα λεπτά ομιλίας). Παρατηρείστε ότι τα ζεύγη τιμών που συμπληρώνετε αντιστοιχούν σε σημεία στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων που έχετε μπροστά σας. Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα για το είδος της γραμμής που θα προκύψει αν ενώσουμε όλα τα σημεία; 6 ο βήμα Συμπληρώστε τέλος την κίτρινη στήλη του πίνακα με το γινόμενο του «κόστους για κάθε λεπτό ομιλίας» επί τα «λεπτά επικοινωνίας» για τις αντίστοιχες τιμές του πίνακά σας. Τι παρατηρείτε; 106

107 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Περιβάλλον εργασίας στο Excel για το φύλλο εργασίας 107