Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ενότητα # 7: Σχεσιακά Μοντέλα Αποφάσεων Διονύσης Γιαννακόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

4 Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητά τα σχεσιακά μοντέλα αποφάσεων

5 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Η μέθοδος ELECTRE Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων στις μεθόδους υπεροχής Αγορά μοτοσικλέτας

6 Εισαγωγή () Η μοντελοποίηση των προτιμήσεων μέσω των μοντέλων αυτού του κεφαλαίου πραγματοποιείται με διμερείς σχέσεις (binary relations) που ορίζονται στο σύνολο Α των δράσεων. Η σχέση που δεσπόζει τόσο σε θεωρητικό όσο και πρακτικό επίπεδο είναι η σχέση της υπεροχής (outranking relation γαλλ. relation de surclassement). Η σχέση της υπεροχής συμβολίζεται με το γράμμα «S» και δηλώνει για κάθε ζεύγος (a b) A A: asb «a τουλάχιστον εξίσου καλή με b» Συνήθως εισάγουμε δυο διμερείς σχέσεις P και I για να παραστήσουμε τις καταστάσεις και παραπάνω: bsa. αpb αsb και (προτίμηση reference). αib αsb και bsa (αδιαφορία indifference). αrb bsa και (ασυγκρισιμότητα) 6

7 Εισαγωγή () Η τελευταία σχέση σημαίνει ανυπαρξία υπεροχής προς τις δυο κατευθύνσεις και μοντελοποιεί την κατάσταση όπου «ο αποφασίζων δεν μπορεί δεν θέλει ή δεν ξέρει πώς να συγκρίνει δυο δράσεις». Στις μεθόδους ELECTRE για παράδειγμα η σχέση R χρησιμοποιείται για τον έλεγχο των μεγάλων διαφορών μεταξύ δράσεων. Δυο αυτοκίνητα που το ένα είναι υπερπολυτελές και το άλλο μικρό και χρηστικό όπου οι διαφορές σε χώρους άνεση και τιμή είναι πολύ μεγάλες υπέρ του ενός (χώροι άνεση) ή του άλλου (τιμή) στα μάτια ενός υποψήφιου αγοραστή δεν μπορούν να συγκριθούν. Η σχέση της υπεροχής μεταξύ δυο δράσεων (asb) παριστάνεται με ένα προσανατολισμένο γράφημα δυο κορυφών και ενός τόξου που έχει για αρχή την κορυφή a και τέλος την κορυφή b. Ένα τέτοιο γράφημα που συνδέει όλες τις δράσεις του συνόλου A ονομάζεται γράφημα υπεροχής (outranking grah). 7

8 Η μέθοδος ELECTRE I () Η μέθοδος ELECTRE I εκτός από τον πίνακα πολυκριτήριων αξιολογήσεων των δράσεων του συνόλου A η μέθοδος απαιτεί την ύπαρξη δεδομένων τριών τύπων: - συντελεστές σημαντικότητας (βάρη weights) των κριτηρίων n : πρόκειται για θετικά βάρη των κριτηρίων χωρίς συγκεκριμένη φυσική σημασία τα οποία κανονικοποιούνται από τη σχέση: n i i Τα βάρη αυτά εκφράζουν τη σχετική βαρύτητα των κριτηρίων και δίνονται από τον αποφασίζοντα ή υπολογίζονται έμμεσα (βλ. 7.9 στο παρόν κεφάλαιο). - κατώφλι συμφωνίας (concordance threshold s): Είναι καθαρός αριθμός που δίνεται από τον μοντελοποιό του προβλήματος και κυμαίνεται από 0 έως δηλαδή s(0 ]. - κατώφλια βέτο (veto thresholds) v v v v n : Πρόκειται για n αριθμούς όσα και τα κριτήρια που έχουν ως στόχο τους τον έλεγχο των μεγάλων διαφορών μεταξύ των τιμών των δράσεων. 8

9 Η μέθοδος ELECTRE I () Το λογικό διάγραμμα της μεθόδου δίνεται στο επόμενο σχήμα. Για ένα ζεύγος δράσεων (a b) η σχέση της υπεροχής ορίζεται με τον εξής τρόπο: asb (a b) ικανοποιεί τις συνθήκες συμφωνίας και διαφωνίας 9

10 Η μέθοδος ELECTRE I () Έλεγχος συμφωνίας Ορίζεται ως δείκτης συμφωνίας (indicateur de concordance) για κάθε ζεύγος δράσεων (a b) η συνάρτηση: C(a C(a b) A A [0] b) i* i i* i / g i (a) g (b) Δηλαδή C(a b) είναι το άθροισμα των βαρών των κριτηρίων για τα οποία η δράση a προτιμάται ή είναι αδιάφορη της b. Λόγω της σχέσης (7.6) η ποσότητα αυτή δεν μπορεί να υπερβεί τη μονάδα (ισούται με τη μονάδα όταν η a κυριαρχεί της b δηλαδή a b). Το ζεύγος (a b) ικανοποιεί τη συνθήκη συμφωνίας όταν ισχύει: i C(a b) s όπου s το κατώφλι συμφωνίας 0

11 Η μέθοδος ELECTRE I () Έλεγχος διαφωνίας Το ζεύγος (a b) ικανοποιεί τη συνθήκη διαφωνίας (discordance) όταν ισχύει: g j* (b) g j* (a) v j* όπου j*{j/g j (a) < g j (b)} Ο δείκτης j* ανήκει στο σύνολο των κριτηρίων για τα οποία η δράση b προτιμάται της a ενώ v j* είναι το κατώφλι βέτο του κριτηρίου j*. Σε περίπτωση που μια διαφορά τιμών υπέρ της δράσης b υπερβεί το κατώφλι βέτο ενός κριτηρίου το κριτήριο αυτό θέτει βέτο στην υπεροχή της a έναντι της b.

12 Η μέθοδος ELECTRE I () Συνοπτικά πλέον η σχέση της υπεροχής στην ELECTRE I ορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις παρακάτω: Εξυπακούεται ότι για να γίνει ο έλεγχος διαφωνίας για ένα ζεύγος δράσεων πρέπει πρώτα να είναι θετικός ο έλεγχος συμφωνίας δεν έχει έννοια δηλαδή ο έλεγχος διαφωνίας για ζεύγη που ο έλεγχος συμφωνίας έχει διαπιστωθεί αρνητικός. Η σχέση υπεροχής S όπως ορίστηκε παραπάνω θα μπορούσε να παρασταθεί με τη βοήθεια μήτρας (όταν asb τίθεται αλλιώς 0) και/ή γραφήματος.

13 Η μέθοδος ELECTRE I (7) Κατασκευή του πυρήνα Ορίζουμε ως πυρήνα (kernel) του γραφήματος υπεροχής ένα υποσύνολο Π του Α για το οποίο ισχύουν οι δυο παρακάτω ιδιότητες Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό ο πυρήνας θα περιέχει τις καλύτερες μη συγκρίσιμες δράσεις του συνόλου Α που θα πρέπει να απασχολήσουν τον αποφασίζοντα. Φυσικά ο αναλυτής θα πρέπει να καταβάλλει προσπάθεια ώστε ο πυρήνας να περιέχει μια η ελάχιστες έστω δράσεις στο εσωτερικό του.

14 Η μέθοδος ELECTRE I (8) Διαχείριση κυκλωμάτων Ως κύκλωμα (circuit) μέσα σε ένα γράφημα ορίζεται μια διαδοχή τόξων η οποία καταλήγει στην κορυφή από την οποία αρχίζει. Ένα γράφημα υπεροχής που έχει κυκλώματα μπορεί να μην περιέχει πυρήνα ή αντίθετα να περιέχει περισσότερους από έναν πυρήνες. Απεναντίας γράφημα χωρίς κανένα κύκλωμα περιέχει πάντα έναν μοναδικό πυρήνα (θεώρημα του Richardson) Όταν ένα γράφημα υπεροχής περιέχει κυκλώματα κάθε μέγιστο κύκλωμα αντικαθίσταται από μια πλασματική κορυφή (σύνολο αδιάφορων δράσεων) η οποία συνδέεται με τις υπόλοιπες κορυφές του γραφήματος αρκεί να υπάρχει σύνδεση των κορυφών αυτών προς και από μια κορυφή του κυκλώματος.

15 Η μέθοδος ELECTRE I (9) Απαλοιφή μέγιστου κυκλώματος σε γράφημα υπεροχής Στο γράφημα υπεροχής του σχήματος διαπιστώνεται η ύπαρξη ενός κυκλώματος C = {} που εμπεριέχει τα μικρότερα κυκλώματα {} {}. Τούτο οφείλει να αποτελέσει μια πλασματική δράση C η οποία θα συνδεθεί με τις δράσεις και 6. Ο πυρήνας του γραφήματος είναι: Π = {} δηλαδή η δράση που θα προταθεί για επιλογή.

16 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια () Ένας επαγγελματίας θέλει να επιλέξει το καλύτερο μεταφορικό μέσο για την καθημερινή του διαδρομή Πεύκης - Πατησίων μεταξύ των τριών λύσεων: - Λ + Μ: Λεωφορείο μέχρι το σταθμό του μετρό και μετά μετρό. - Μ: Πεζοπορία μέχρι το σταθμό του μετρό και μετά μετρό. - Τ: Ταξί. Τα κριτήρια αυτής της επιλογής είναι τρία: g : Τιμή του εισιτηρίου (αρνητικό κόστος σε ) g : Χρόνος διαδρομής (αρνητική διάρκεια σε λεπτά της ώρας) g : Άνεση ταξιδιού (υποκειμενικός βαθμός - ). 6

17 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια () Πολυκριτήρια αξιολόγηση τριών μεταφορικών μέσων για τη διαδρομή Πεύκη Πατήσια: Μέσο - Τιμή εισιτηρίου - Χρόνος (λεπτά) Άνεση Λεωφορείο + Μετρό Μετρό Ταξί Βάρη ELECTRE Συντελεστές Βέτο 0 D = {() () ()} Στον πολυκριτήριο πίνακα έχουν μπει αρνητικές τιμές στα δυο κριτήρια κόστους ενώ το κριτήριο της άνεσης μοντελοποιείται ως κριτήριο διάταξης με κλίμακα: : Κοπιώδες ταξίδι καμία πιθανότητα να βρεθεί ελεύθερο κάθισμα. : Καμία πιθανότητα τα βρεθεί ελεύθερο κάθισμα. : Μικρές πιθανότητες να βρεθεί ελεύθερο κάθισμα. : Σχετικά άνετο ταξίδι αρκετές πιθανότητες να βρεθεί ελεύθερο κάθισμα. : Άνετο ταξίδι σίγουρο ελεύθερο κάθισμα. 7

18 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια () Για τον προσδιορισμό των βαρών των κριτηρίων και στη συνέχεια των συντελεστών βέτο ακολουθεί ο εξής διάλογος: Αναλυτής: Ποιο από τα τρία κριτήρια επιλογής μεταφορικού μέσου θεωρείτε ότι είναι το ποιο σημαντικό; Αποφασίζων: Η άνεση του ταξιδιού βεβαίως. Αναλυτής: Η τιμή του εισιτηρίου ή η διάρκεια του ταξιδιού είναι πιο σημαντικό για σας; Αποφασίζων: Τα θεωρώ ισοβαρή. Αναλυτής: Πόσο επί τοις εκατό θα εκτιμούσατε το βάρος του κριτηρίου «άνεση ταξιδιού»; Αποφασίζων: 0 % περίπου. 8

19 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια () Αναλυτής: Ας θεωρήσουμε τώρα δυο μεταφορικά μέσα εκ των οποίων το πρώτο είναι φτηνότερο και ταχύτερο από το δεύτερο στην άνεση όμως το πρώτο βαθμολογείται με και το δεύτερο. Συμφωνείτε ότι το πρώτο υπερέχει συνολικά του δεύτερου; Αποφασίζων: Συμφωνώ. Αναλυτής: Εάν το δεύτερο είχε άνεση ; Αποφασίζων: Το ίδιο. Αναλυτής: Ισχύει το ίδιο όταν το δεύτερο έχει άνεση ; Αποφασίζων: Όχι η υπεροχή ανατρέπεται. Αναλυτής: Εάν το πρώτο είχε άνεση και το δεύτερο ; Αποφασίζων: Το ίδιο. 9

20 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια () Με τον ίδιο τρόπο ο αναλυτής προσδιορίζει το veto στο κριτήριο του κόστους: Διαφορά τιμής εισιτηρίου > δεν αντισταθμίζει οποιοδήποτε πλεονέκτημα έχει ένα μεταφορικό μέσο λόγω υπεροχής στα άλλα κριτήρια. Άρα v = Ομοίως διαφορά χρόνου >0 min δεν αντισταθμίζει οποιοδήποτε πλεονέκτημα έχει ένα μεταφορικό μέσο λόγω υπεροχής στα άλλα κριτήρια. Άρα v = 0 0

21 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια (6) Από τον παραπάνω διάλογο ο αναλυτής συμπεραίνει ότι: v = v = 0 ενώ για το κριτήριο διάταξης «άνεση» το σύνολο διαφωνίας δηλαδή τα ζεύγη τιμών της κλίμακας που προκαλούν βέτο στο κριτήριο είναι: D = {() () ()} Τα βήματα της ELECTRE I εφαρμόζονται με τον ακόλουθο τρόπο: C(a b) = Λ + Μ Μ Τ Λ+ Μ 0 0 Μ 07 0 Τ Για παράδειγμα ο δείκτης C(Μ Λ + Μ) = = 07 αθροίζει τα βάρη των κριτηρίων «τιμή» και «άνεση» όπου τα Μετρό υπερτερεί του Λ + Μ (τα στοιχεία της διαγώνιου του πίνακα δεν έχουν έννοια).

22 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια (7) Έλεγχος συμφωνίας Το κατώφλι συμφωνίας στη βάση των τιμών του πίνακα C πρέπει να επιλεγεί ίσο με s = 07. Έτσι θετικό έλεγχο συμφωνίας παρουσιάζουν τα ζεύγη: Μ Λ + Μ Τ Λ + Μ Τ Μ Έλεγχος διαφωνίας Ο έλεγχος διαφωνίας αφορά μόνο τα τρία παραπάνω ζεύγη: g (Λ + Μ) g (Μ) = - 0 (- 0) = 0 = v θετικός g (Λ + Μ) g (Τ) = - 0 (- 6) = 80 > v αρνητικός g (Μ) g (Τ) = -080 (- 6) = 0 > v αρνητικός

23 Επιλογή μεταφορικού μέσου στη διαδρομή Πεύκη Πατήσια (8) Γράφημα υπεροχής και πυρήνας Π Μ Τ Λ + Μ Οι δυο καλύτερες αλλά μη συγκρίσιμες λύσεις είναι το Μετρό και το Ταξί. Στη φάση της υποστήριξης της απόφασης ο αναλυτής κρίνει ότι ο ταξιδιώτης θα πρέπει να επιλέξει τη λύση του Μετρό η οποία υπερέχει του συνδυασμού «Λεωφορείο και μετά Μετρό». Η λύση του Ταξί δεν μπορεί να συγκριθεί με το Μετρό λόγω της μεγάλης διαφοράς στο κόστος. Θα μπορούσε να συστηθεί μόνο σε ειδικές περιπτώσεις που η παραχώρηση 0 δεν ενοχλεί τον ταξιδιώτη (άρση του βέτο στην τιμή του εισιτηρίου).

24 Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων στις μεθόδους υπεροχής () Άμεση εκτίμηση (direct assessment) Στη μέθοδο αυτή ο αποφασίζων ερωτάται από τον αναλυτή να προσδιορίσει πόσο σημαντικό είναι ένα κριτήριο π.χ. σε μια απόλυτη κλίμακα (ελάχιστα σημαντικό) έως 0 (πάρα πολύ σημαντικό). Μετά την αξιολόγηση της απόλυτης σημαντικότητας υπολογίζεται η σχετική σημαντικότητα (relative imortance) των κριτηρίων διαιρώντας κάθε απόλυτη βαθμολογία κριτηρίων με το άθροισμα που έχει επιτευχθεί ώστε το άθροισμα των βαρών να είναι η μονάδα. Έμμεση εκτίμηση από διμερείς συγκρίσεις Στη μέθοδο αυτή ο αποφασίζων καλείται να συγκρίνει ανά δυο και σε όρους σημαντικότητας μεμονωμένα κριτήρια ή ενώσεις κριτηρίων. Στο σύστημα των διμερών συγκρίσεων (airwise comarisons) που παράγεται ο αναλυτής αναζητά τα σχετικά βάρη τα οποία επαληθεύουν το σύστημα αυτό. Επειδή ενδέχεται το σύστημα των ανισοεξισώσεων να είναι κενό επιστρατεύεται η τεχνική του προγραμματισμού στόχων (goal rogramming) του γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυσή του με το ελάχιστο σφάλμα συμβατότητας του συστήματος.

25 Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων στις μεθόδους υπεροχής () Παράδειγμα Ας δούμε πρακτικά πως λειτουργεί η μέθοδος αυτή σε ένα πολυκριτήριο πρόβλημα κριτηρίων: Οικονομικά κριτήρια: {} Κοινωνικά κριτήρια: {} Αναπτυξιακά κριτήρια: {} Μετά από σχετικές ερωτήσεις του αναλυτή ο αποφασίζων κρίνει ότι:. Τα οικονομικά κριτήρια είναι ισοβαρή.. Τα οικονομικά κριτήρια έχουν μικρότερη βαρύτητα από τα κοινωνικά.. Το κριτήριο είναι πιο σημαντικό από το με διαφορά τουλάχιστον 0 %.. Το αναπτυξιακό κριτήριο είναι λιγότερο σημαντικό από το.. Το κριτήριο είναι πιο σημαντικό από το. 6. Το κριτήριο πρέπει να μετρήσει τουλάχιστον στο 0 % της αξιολόγησης.

26 Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων στις μεθόδους υπεροχής () Ένα τέτοιο σύστημα δημιουργεί μεταξύ των βαρών j j = τις παρακάτω σχέσεις:. =. + < <. P > = 8. 0 Οι γνήσιες ανισότητες απαιτούν την εισαγωγή ενός κατωφλίου ελάχιστης διαφοράς έστω ε = 00. Επειδή ένα τέτοιο σύστημα ενδέχεται να μην είναι συμβατό εισάγονται μεταβλητές σφάλματος σ τύπου «προγραμματισμού στόχων» (goal rogramming) και ελαχιστοποιείται το άθροισμά τους σε ένα εξειδικευμένο γραμμικό πρόγραμμα. 6

27 Προσδιορισμός των βαρών των κριτηρίων στις μεθόδους υπεροχής () Έτσι έχουμε: Μια λύση: =0. =0. =0. =0.0 = [min] z [min] z

28 Αγορά μοτοσικλέτας () Ο πανεπιστημιακός φίλος του μοτοσικλετιστή ξέρει καλά τη μέθοδο ELECTRE I. Γι αυτό του θέτει δυο σχετικά ζητήματα που αφορούν στα βάρη και τα κατώφλια βέτο των κριτηρίων. Αναλυτής: Ποια από τα εννέα κριτήρια σου φαίνονται πιο σημαντικά; Μοτοσικλετιστής: Δεν έχω κάποια ιδιαίτερη προτίμηση εκτός από την ασφάλεια στην οποία θα έδινα διπλάσιο βάρος. Αναλυτής: Ποια είναι η μέγιστη υστέρηση που μπορείς να ανεχτείς σε ένα κριτήριο για μια μοτοσικλέτα ώστε να μην ανατραπεί η σύμπραξη όλων των άλλων κριτηρίων υπέρ της αγοράς μοτοσικλέτας και σε ποια κριτήρια αυτό μπορεί να συμβεί. Μοτοσικλετιστής: Στην τιμή αγοράς μέχρι.000 στην ισχύ του κινητήρα στα 0 h και στην ασφάλεια βαθμοί. Από τα παραπάνω ο αναλυτής συνάγει τα δεδομένα: j = 0 για j 7 και 7 = 0 v =.000 v = 0 h v 7 = 8

29 Αγορά μοτοσικλέτας () Ο δείκτης συμφωνίας C(ab) δίνεται στον πίνακα (κατώφλι συμφωνίας s = 07) H-D BMW KAW HON YAM GUZ H-D C(ab) = BMW KAW HON YAM GUZ Εξ αυτού συνάγεται εύκολα ότι τους ελέγχους συμφωνίας και διαφωνίας της ELECTRE I περνούν ταυτόχρονα τα ζεύγη που είναι με γκρι χρώμα στον πίνακα C(ab) (θετικός έλεγχος συμφωνίας) και δεν έχουν διαγραφεί (θετικός έλεγχος διαφωνίας). 9

30 Αγορά μοτοσικλέτας () Το αποτέλεσμα αυτό έχει μεταφερθεί στο γράφημα υπεροχής του σχήματος: BMW H - D GUZ KAW Π YAM HON 0

31 Αγορά μοτοσικλέτας () Ο πυρήνας του γραφήματος υπεροχής περιλαμβάνει τρία μη συγκρίσιμα μοντέλα. Από αυτά όμως ο αναλυτής προτείνει τον αποκλεισμό της H Davidson γιατί υπερέχεται ήδη από τη BMW η οποία με τη σειρά της υπερέχεται από την Kawasaki. Άρα η επιλογή πρέπει να περιοριστεί ανάμεσα στην Kawasaki και τη Honda. Η Honda είναι μια μηχανή που δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι υπερέχει της Kawasaki επειδή είναι ακριβότερη κατά.7 και υστερεί σε ταχύτητα κοντέρ κατά 9 km/h ενώ οι υπέρ της διαφορές έναντι της Kawasaki είναι ελάχιστες σε εύρος (0 σε ποιότητα κατασκευής μονάδα σε αντίληψη μάρκας μονάδα σε ασφάλεια). Ο φίλος από το Πανεπιστήμιο προτείνει λοιπόν στον μοτοσικλετιστή να αγοράσει την Kawasaki Z 70S στη λογική τομή των 8.00.

32 Τέλος Ενότητας