Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ"

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

4 Σκοποί ενότητας Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού

5 Περιεχόμενα ενότητας Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Παραδείγματα

6 Εγκλεισμός - Αποκλεισμός Συνολο-θεωρητική μέθοδος μέτρησης Εστω S σύνολο με πληθικό αριθμό N, S = N c 1, c 2, c 3,...c t : συλλογή από συνθήκες που ικανοποιούνται από μερικά ή από όλα τα στοιχεία του S Κάποια στοιχεία στοιχεία του S μπορεί να ικανοποιούν παραπάνω από μία συνθήκες και άλλα καμία N(c i ), 1 i t: πλήθος στοιχείων του S που ικανοποιούν τη συνθήκη c i N(ci ), 1 i t: πλήθος στοιχείων του S που δεν ικανοποιούν τη συνθήκη c i N(ci ) + N(c i ) = N = S N(c i c j ), i, j {1, 2,..., t}, i j: πλήθος στοιχείων του S που ικανοποιούν και τις δύο συνθήκες c i, c j N(ci c j ), i, j {1, 2,..., t}, i j: πλήθος στοιχείων του S που δεν ικανοποιούν καμία από τις δύο συνθήκες c i, c j N(ci c j ) = N N(c i ) N(c j ) + N(c i c j )

7 Εγκλεισμός - Αποκλεισμός

8 Σε μια τάξη υπάρχουν 100 άτομα που παρακολουθούν ένα μάθημα. Από αυτά, 30 άτομα έχουν το μάθημα σαν επιλογή. Πόσα άτομα έχουν το μάθημα σαν υποχρεωτικό ; c 1 : έχω το μάθημα σαν επιλογή N(c 1 ) = 30: 30 μαθητές έχουν το μάθημα σαν επιλογή N(c 1 ) = S N(c 1 ) = = 70: 70 μαθητές έχουν το μάθημα σαν υποχρεωτικό

9 Σε μια ομάδα υπάρχουν 100 άτομα από τα οποία 50 μιλάνε αγγλικά, 40 γαλλικά και 20 μιλάνε και τις 2 γλώσσες. Πόσα άτομα δε μιλάνε ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά; S = N = 100 c 1 : μιλάω αγγλικά, N(c 1 ) = 50 c 2 : μιλάω γαλλικά, N(c 2 ) = 40 c 1 c 2 : μιλάω αγγλικά και γαλλικά, N(c 1 c 2 ) = 20 c 1 c 2 : δε μιλάω ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά, N(c 1 c 2 ) = N N(c 1 ) N(c 2 ) + N(c 1 c 2 ) = = 30

10 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Principle of Inclusion and Exclusion) Εστω S σύνολο με πληθικό αριθμό N, S = N c 1, c 2, c 3,...c t : συλλογή από συνθήκες που ικανοποιούνται από μερικά ή από όλα τα στοιχεία του S Το πλήθος των στοιχείων του S που δεν ικανοποιούν καμία από τις συνθήκες είναι: N = N(c 1 c 2... c t ) = N N(c 1 ) N(c 2 )... N(c t ) + N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) N(c 1 c t ) + N(c 2 c 3 ) +...N(c t 1 c t ) N(c 1 c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 4 )... N(c 1 c 2 c t ) N(c 1 c 3 c 4 )... N(c 1 c 3 c t ) N(c t 2 c t 1 c t ) ( 1) t N(c 1 c 2 c 3...c t ) = N N(c i ) + N(c i c j ) N(c i c j c k ) + 1 i t 1 i<j t... + ( 1) t N(c 1 c 2 c 3...c t ) 1 i<j<k t Συμπέρασμα: το πλήθος των στοιχείων του S που ικανοποιούν τουλάχιστον μία από τις συνθήκες είναι N N

11 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού: Απόδειξη N = N 1 i t N(c i ) ( 1) t N(c 1 c 2 c 3...c t ) 1 i<j t N(c i c j ) 1 i<j<k t N(c i c j c k ) + Προφανώς, γίνεται με επαγωγή στο t Αλλά γίνεται και με συνδυαστικά επιχειρήματα: Αν το x S δεν ικανοποιεί καμία συνθήκη μετριέται μια φορά στο N και μία φορά στο N και δε μετριέται σε κανέναν άλλον όρο. Αν το x S ικανοποιεί ακριβώς r από τις συνθήκες (1 r t) δε μετριέται στο N αλλά μετριέται στο δεξί μέρος της σχέσης. Πόσες φορές;

12 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού: Απόδειξη N = N 1 i t N(c i ) ( 1) t N(c 1...c t ) 1. 1 φορά στο N 2. r φορές στο 1 i t που ικανοποιεί 3. ( ) r 2 φορές στο 1 i<j t N(c i c j ) 1 i<j<k t N(c i c j c k ) + (c i ), μία για κάθε μία από τις r συνθήκες 1 i<j t (c i c j ), μία για κάθε ζεύγος συνθηκών που επιλέγεται από τις r συνθήκες που ικανοποιεί 4. ( ) r 3 φορές στο (c i c j c k ), μία για κάθε τριάδα 1 i<j<k t συνθηκών που επιλέγεται από τις r συνθήκες που ικανοποιεί... r + 1. ( r r) = 1 φορά στο (ci1 c i2...c ir )

13 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού: Απόδειξη N = N 1 i t N(c i ) ( 1) t N(c 1...c t ) 1 i<j t N(c i c j ) 1 i<j<k t N(c i c j c k ) + Άρα στο δεξιό μέρος της σχέσης το x μετριέται: 1 r + ( ( r 2) r ) ( 1) r ( r r) = [1 + ( 1)] r = 0 r = 0 φορές Αλλά τα δύο μέρη της σχέσης μετρούν τα ίδια στοιχεία του S και επομένως η σχέση ικανοποιείται.

14 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού: Απόδειξη με επαγωγή Παρατηρούμε τα εξής: N(c i ) = N N(c i ) N(c i c j ) = N(c j ) N(c i c j ) N(c i c j ) = N N(c i c j ) N(c i c j ) N(c i c j ) = N [N(c i c j ) + N(c i c j )] [N(c i c j ) + N(c i c j )] + N(c i c j ) = N N(c i ) N(c j ) + N(c i c j ) Γενικεύοντας θα αποδείξουμε ότι: N(c 1 c 2...c r ) = N N(c 1 ) N(c 2 )... N(c r ) +N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) N(c r 1 c r ) N(c 1 c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 4 )... N(c r 2 c r 1 c r ) ( 1) r N(c 1 c 2 c 3...c r ) = N N(c i ) + N(c i c j ) N(c i c j c k ) i ( 1) r N(c 1 c 2...c r ) i,j;i j i,j,k;i j k

15 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού: Απόδειξη με επαγωγή Βασικό βήμα: Ισχύει για 1 ιδιότητα: N(c 1 ) = N N(c 1 ) Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι ισχύει για r 1 ιδιότητες: N(c 1 c 2...c r 1 ) = N N(c 1 ) N(c 2 )... N(c r 1 ) +N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) N(c r 2 c r 1 ) N(c 1 c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 4 )... N(c r 3 c r 2 c r 1 ) ( 1) r 1 N(c 1 c 2 c 3...c r 1 ) Επαγωγικό βήμα: από N στοιχεία που μπορούν να πληρούν μέχρι r ιδιότητες, ασχολούμαστε με εκείνα που πληρούν την ιδιότητα r και μπορούν φυσικά να πληρούν κάθε μία από τις υπόλοιπες r 1 ιδιότητες. Ισχύει από την επαγωγική υπόθεση: N(c 1 c 2...c r 1 c r ) = N(c r ) N(c 1 c r ) N(c 2 c r )... N(c r 1 c r ) +N(c 1 c 2 c r ) + N(c 1 c 3 c r ) N(c r 2 c r 1 c r ) N(c 1 c 2 c 3 c r ) N(c 1 c 2 c 4 c r )... N(c r 3 c r 2 c r 1 c r ) ( 1) r 1 N(c 1 c 2 c 3...c r 1 c r )

16 Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού: Απόδειξη με επαγωγή Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο προηγούμενες ισότητες έχουμε: N(c 1 c 2...c r 1 ) N(c 1 c 2...c r 1 c r ) = N N(c 1 ) N(c 2 )... N(c r 1 ) N(c r ) +N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) N(c 1 c r ) N(c r 1 c r )... + ( 1) r N(c 1 c 2 c 3...c r 1 c r ) Ομως: N(c 1 c 2...c r 1 ) N(c 1 c 2...c r 1 c r ) = N(c 1 c 2...c r 1 c r )

17 Πόσες τοποθετήσεις των ψηφίων 0,1,2,...,9 υπάρχουν στις οποίες το πρώτο ψηφίο να είναι μεγαλύτερο από το 1 και το τελευταίο ψηφίο να είναι μικρότερο από το 8; Εστω S το σύνολο όλων των πιθανών μεταθέσεων των στοιχείων 0,1,2,...,9. S = N = 10! c 1 : το πρώτο ψηφίο μιας μετάθεσης είναι μικρότερο ή ίσο με 1, N(c 1 ) = 2 9! c 2 : το τελευταίο ψηφίο μιας μετάθεσης είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 8, N(c 2 ) = 2 9! Αυτό που ζητάμε είναι το N(c 1 c 2 ). N(c 1 c 2 ) = N N(c 1 ) N(c 2 ) + N(c 1 c 2 ) = 10! 2 9! 2 9! + 4 8! =

18 Πόσοι ακέραιοι μεταξύ 1 και 70 είναι σχετικά πρώτοι με το 70; (Σχετικά πρώτοι είναι δύο αριθμοί με μόνο κοινό διαιρέτη τη μονάδα.) Είναι 70 = Εστω S = {1, 2,..., 70}. S = N = 70 c 1 : ο αριθμός διαιρείται με 2, N(c 1 ) = 35 c 2 : ο αριθμός διαιρείται με 5, N(c 2 ) = 14 c 3 : ο αριθμός διαιρείται με 7, N(c 3 ) = 10 Αυτό που ζητάμε είναι το N(c 1 c 2 c 3 ). N(c 1 c 2 c 2 ) = N N(c 1 ) N(c 2 ) N(c 3 )+N(c 1 c 2 )+N(c 1 c 3 )+ N(c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 3 ) = = 24

19 Πόσες λέξεις των n συμβόλων από το αλφάβητο {0, 1, 2} υπάρχουν με ένα τουλάχιστον 0, ένα τουλάχιστον 1 και ένα τουλάχιστον 2 ; Εστω S το σύνολο όλων των πιθανών μεταθέσεων των στοιχείων 0,1,2 σε n θέσεις. S = N = 3 n c 1 : η λέξη δεν περιέχει κανένα 0, N(c 1 ) = 2 n c 2 : η λέξη δεν περιέχει κανένα 1, N(c 2 ) = 2 n c 3 : η λέξη δεν περιέχει κανένα 2, N(c 3 ) = 2 n Αυτό που ζητάμε είναι το N(c 1 c 2 c 3 ). N(c 1 c 2 c 2 ) = N N(c 1 ) N(c 2 ) N(c 3 ) + N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) + N(c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 3 ) = 3 n 2 n 2 n 2 n = 3(3 n 1 2 n + 1)

20 Με πόσους τρόπους μπορούμε να μοιράσουμε r αντικείμενα σε 5 διαφορετικά κουτιά έτσι ώστε ένα τουλάχιστον κουτί να είναι άδειο; Ενα τουλάχιστον κουτί άδειο = 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 κουτιά άδεια 1 κουτί άδειο: πλήθος τρόπων = ( 5 1) 4 r (διαλέγω 1 από τα 5 κουτιά να είναι το άδειο και μοιράζω τα r αντικείμενα στα υπόλοιπα 4 κουτιά) 2 κουτιά άδεια: πλήθος τρόπων = ( ) r 3 κουτιά άδεια: πλήθος τρόπων = ( ) 5 2 r 4 κουτιά άδεια: πλήθος τρόπων = ( κουτιά άδεια: πλήθος τρόπων = ( 5 5) 0 r = 0 Άρα συνολικά: 5 4 r + ( ) r + ( ) r + ( 5 4) τρόποι 3 ) 1 r = ( ) 5

21 Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r διαφορετικά αντικείμενα σε n διαφορετικά κουτιά έτσι ώστε κανένα κουτί να μη μείνει άδειο; Καλούμε c 1, c 2,...c n τις συνθήκες το 1ο, το 2ο,... το n ό (αντίστοιχα) κουτί να μένει άδειο. Ζητάμε το N(c 1 c 2...c n ) ( ) ( ) n n N(c 1 c 2...c n ) = n r (n 1) r + (n 2) r ( ) ( ) n n n ( ) n ( 1) n 1 1 r + ( 1) n 0 r = ( 1) i (n i) r n 1 n i i=1

22 Πόσοι θετικοί ακέραιοι n, 1 n 100 δε διαιρούνται από τους 2,3 και 5; Εστω S = {1, 2,..., 100}. S = N = 100 c 1 : ο αριθμός διαιρείται με 2, N(c 1 ) = 50 c 2 : ο αριθμός διαιρείται με 3, N(c 2 ) = 33 c 3 : ο αριθμός διαιρείται με 5, N(c 3 ) = 20 Αυτό που ζητάμε είναι το N(c 1 c 2 c 3 ). N(c 1 c 2 c 2 ) = N N(c 1 ) N(c 2 ) N(c 3 )+N(c 1 c 2 )+N(c 1 c 3 )+ N(c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 3 ) = = 26

23 Πόσες μη αρνητικές λύσεις έχει η εξίσωση x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 18, με x i 7, 1 i 4; Εστω S το( σύνολο όλων ) των ( λύσεων ) της εξίσωσης S = N = = Γιατί; Ισούται με τους τρόπους που μπορώ να τοποθετήσω 18 ίδια αντικείμενα (18 μονάδες) σε 4 διαφορετικές υποδοχές (τις μεταβλητές x 1, x 2, x 3, x 4 ) c 1 : μια λύση (x 1, x 2, x 3, x 4 ) της εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη x 1 > 7 c 2 : μια λύση (x 1, x 2, x 3, x 4 ) της εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη x 2 > 7 c 3 : μια λύση (x 1, x 2, x 3, x 4 ) της εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη x 3 > 7 c 4 : μια λύση (x 1, x 2, x 3, x 4 ) της εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη x 4 > 7 Αυτό που ζητάμε είναι το N(c 1 c 2 c 3 c 4 ).

24 Πόσες μη αρνητικές λύσεις έχει η εξίσωση x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 18, με x i 7, 1 i 4; Θέλω να φτιάξω μια εξίσωση χωρίς περιορισμούς. Αν ισχύει η c 1 τότε ξέρω ότι x 1 > 7 ή ισοδύναμα x 1 8, δηλ. η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η x 1 είναι 8. Λύνω την εξίσωση x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 και από κάθε λύση που θα υπολογίσω παίρνω μία λύση για την αρχική εξίσωση προσθέτοντας στην τιμή του x 1 το 8. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 είναι ( ) ( = 13 ) 10 Επομένως, τόσες είναι και οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης που ικανοποιούν τη συνθήκη c 1 Τα ίδια ισχύουν και για τις συνθήκες c 2, c 3, c 4

25 Πόσες μη αρνητικές λύσεις έχει η εξίσωση x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 18, με x i 7, 1 i 4; Για να υπολογίσω τα N(c 1 c 2 ) = N(c 1 c 3 ) = N(c 1 c 4 ) = N(c 2 c 3 ) = N(c 2 c 4 ) = N(c 3 c 4 ) ακολουθώ ανάλογη διαδικασία Θέλω να φτιάξω μια εξίσωση χωρίς περιορισμούς. Αν ισχύει η c 1 c 2 τότε ξέρω ότι x 1 > 7, x 2 > 7 ή ισοδύναμα x 1 8, x 2 8, δηλ. η μικρότερη τιμή που μπορούν να πάρουν οι x 1, x 2 είναι 8. Λύνω την εξίσωση x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 και από κάθε λύση που θα υπολογίσω παίρνω μία λύση για την αρχική εξίσωση προσθέτοντας στην τιμή των x 1 και x 2 το 8. Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 είναι ( ) ( = 5 2) 2 Επομένως, τόσες είναι και οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης που ικανοποιούν το ζεύγος συνθηκών c 1 c 2 Τα ίδια ισχύουν και για τα υπόλοιπα ζεύγη συνθηκών.

26 Πόσες μη αρνητικές λύσεις έχει η εξίσωση x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 18, με x i 7, 1 i 4; Είναι N(c 1 c 2 c 3 ) = N(c 1 c 2 c 4 ) = N(c 2 c 3 c 4 ) = 0 αφού αν 3 από τις μεταβλητές έχουν τιμή τουλάχιστον 8 η εξίσωση είναι αδύνατη. Ομοια, N(c 1 c 2 c 3 c 4 ) = 0 αφού αν και οι 4 μεταβλητές έχουν τιμή τουλάχιστον 8 η εξίσωση είναι πάλι αδύνατη. Συνολικά: N(c 1 c 2 c 3 c 4 ) = N N(c 1 ) N(c 2 ) N(c 3 ) N(c 4 ) + N(c 1 c 2 ) + N(c 1 c 3 ) + N(c 1 c 4 ) + N(c 2 c 3 ) + N(c 2 c 4 ) + N(c 3 c 4 ) N(c ( 1 c 2 c 3 ) N(c 1 c 2 c 4 ) N(c 2 c 3 c 4 ) + N(c 1 c 2 c 3 c 4 ) = 21 ( 18) 4 )( 13 ( 1 10) )( 2) = 246

27 Ποιο είναι το πλήθος των θετικών ακέραιων x που είναι τέτοιοι ώστε x και το άθροισμα των ψηφίων τους ισούται με 31; Εστω x 1, x 2,..., x 7 τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού x που ικανοποιεί τις απαιτήσεις του προβλήματος. Ο ζητούμενος αριθμός των ακεραίων ισούται με το πλήθος ακέραιων λύσεων της εξίσωσης x 1 + x x 7 = 31, με 0 x i 9 για 1 i 7. Εστω S το( σύνολο όλων ) των ( λύσεων ) της εξίσωσης S = N = = Γιατί; Ισούται με τους τρόπους που μπορώ να τοποθετήσω 31 ίδια αντικείμενα (31 μονάδες) σε 7 διαφορετικές υποδοχές (τις μεταβλητές x 1, x 2,..., x 7 ) c i : μια λύση (x 1, x 2,..., x 7 ) της εξίσωσης ικανοποιεί τη συνθήκη x i > 9 x i 10, για 1 i 7. Προχωρώντας όπως και πριν:

28 Ποιο είναι το πλήθος των θετικών ακέραιων x που είναι τέτοιοι ώστε x και το άθροισμα των ψηφίων τους ισούται με 31; N(c i ) = ( ) ( = 27 ) 21 N(c i c j ) = ( ) ( = 17 ) 11 N(c i c j c k ) = ( ) ( = 7 ) 1 = 7 N(c i c j c k c l ) = N(c i c j c k c l c m ) =... = N(c i c j c k c l c m...c r ) = 0 ( Οπότε: N(c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 ) = 37 ( 31) 7 )( 27 ( 1 21) + 7 )( 17 ( 2 11) 7 3) 7 =

29 Αν ρίξουμε 8 διαφορετικά ζάρια, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν και τα 6 διαφορετικά ενδεχόμενα; Το σύνολο όλων των πιθανών ενδεχομένων είναι: S = N = 6 8 Καλούμε c i την ιδιότητα: να μην εμφανιστεί το ενδεχόμενο i, για 1 i 6. Αναζητούμε το N(c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 ). Είναι: N(c i ) = 5 8, N(c i c j ) = 4 8, N(c i c j c k ) = 3 8, N(c i c j c k c l ) = 2 8, N(c i c j c k c l c m ) = 1 8, N(c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 ) = 0 Οπότε, συνολικά, το ζητούμενο πλήθος λύσεων είναι: N(c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 ) = 6 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 5) =

30 Με πόσους τρόπους μπορώ να επιλέξω 9 μπάλες από ένα κουτί που περιέχει 12 μπάλες, 3 πράσινες, 3 άσπρες, 3 μπλε και 3 κόκκινες; Ο αριθμός των ζητούμενων τρόπων ισούται με τον αριθμό ακέραιων λύσεων της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 9 με 0 x i 3 και 1 i 4. c i : η ιδιότητα σε κάποια λύση (x 1, x 2, x 3, x 4 ) της παραπάνω εξίσωσης το x i να είναι μεγαλύτερο του 3. Τότε, ο ζητούμενος αριθμός λύσεων είναι: N(c 1 c 2 c 3 c 4 ) Είναι: N = ( ) ( = 12 ) 9, N(ci ) = ( ) ( = 8 ) 5, N(ci c j ) = ( ) ( 1 = 4 ) 1, N(ci c j c k ) = 0, N(c 1 c 2 c 3 c 4 ) = 0 Οπότε είναι: N(c 1 c 2 c 3 c 4 ) = ( ) ( ( 1)( 5) )( 1) = 20

31 Πόσοι αριθμοί μεταξύ 1 και 250 δε διαιρούνται ακριβώς με κάποιον από τους 2,3,5,7; Καλούμε α 1 την ιδιότητα ένας αριθμός να διαιρείται ακριβώς με το 2, α 2 την ιδιότητα ένας αριθμός να διαιρείται ακριβώς με το 3, α 3 την ιδιότητα ένας αριθμός να διαιρείται ακριβώς με το 5, α 4 την ιδιότητα ένας αριθμός να διαιρείται ακριβώς με το 7. [ ] [ ] N(α 1 ) = 2 = 125 N(α 2 ) = 3 = 83 [ ] [ ] N(α 3 ) = 5 = 50 N(α 4 ) = 7 = 35 [ ] [ ] N(α 1 α 2 ) = 2 3 = 41 N(α 1 α 3 ) = 2 5 = 25 [ ] [ ] N(α 1 α 4 ) = 2 7 = 17 N(α 2 α 3 ) = 3 5 = 16 [ ] [ ] N(α 2 α 4 ) = 3 7 = 11 N(α 3 α 4 ) = 5 7 = 7 [ ] [ ] N(α 1 α 2 α 3 ) = = 8 N(α 1 α 2 α 4 ) = = 5 [ ] [ ] N(α 1 α 3 α 4 ) = = 3 N(α 2 α 3 α 4 ) = = 2 [ ] 250 N(α 1 α 2 α 3 α 4 ) = = 1

32 Πόσοι αριθμοί μεταξύ 1 και 250 δε διαιρούνται ακριβώς με κάποιον από τους 2,3,5,7; Το πλήθος των αριθμών που δε διαιρούνται με κανέναν από τους 2,3,5,7 είναι: N(α 1α 2α 3α 4) = 250 ( ) +( ) ( ) + 1 = 57 Ενώ, π.χ., το πλήθος των αριθμών που δε διαιρούνται με 2 και 7 αλλά διαιρούνται με 5 είναι: N(α 1α 3 α 4) = N(α 3 ) N(α 1 α 3 ) N(α 3 α 4 ) + N(α 1 α 3 α 4 ) = = 21

33 Ο γενικός τύπος Δίνει το πλήθος των αντικειμένων που έχουν m από r ιδιότητες, m = 0, 1, 2, 3,..., r. s i : πλήθος αντικειμένων που πληρούν i από τις r ιδιότητες. e i : πλήθος αντικειμένων που πληρούν ακριβώς i από τις r ιδιότητες, δηλ., πληρούν i από τις r ιδιότητες και δεν πληρούν τις υπόλοιπες r i.

34 Ο γενικός τύπος Αναλυτικά: s 0 = N s 1 = N(a 1 ) + N(a 2 ) N(a r ) = N(a i ) i s 2 = N(a 1 a 2 ) + N(a 1 a 3 ) N(a r 1 a r ) = N(a i a j ) i,j:i j s 3 = N(a 1 a 2 a 3 ) + N(a 1 a 2 a 4 ) N(a r 2 a r 1 a r ) = N(a i a j a k ) i,j,k:i j k... s r = N(a 1 a 2...a r )

35 Ο γενικός τύπος Αναλυτικά: e 0 = N(a 1 a 2...a r ) e 1 = N(a 1 a 2...a r ) + N(a 1 a 2 a 3...a r ) N(a 1 a 2...a r ) e 2 = N(a 1 a 2 a 3...a r + N(a 1 a 2 a 3...a r )) e 3 = N(a 1 a 2 a 3...a r ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4...a r ) N(a 1 a 2 a 3...a r 2 a r 1 a r )... e r = N(a 1 a 2...a r ) Προφανώς, e 0 = s 0 s 1 + s 2 s ( 1) r s r

36 Ο γενικός τύπος ( ) ( ) ( ) m + 1 m + 2 r e m = s m s m+1 + s m+2...+( 1) r m 1 2 r m Η απόδειξη βασίζεται στα εξής: Αντικείμενο που έχει λιγότερες από m ιδιότητες δε συμπεριλαμβάνεται στο e m και δε συνεισφέρει στην έκφραση στο δεξί μέρος της ισότητας. Αντικείμενο που έχει ακριβώς m ιδιότητες συμπεριλαμβάνεται στο e m και συνεισφέρει 1 στην έκφραση στο δεξί μέρος της ισότητας αφού μετριέται μία φορά στο s m και δε μετριέται στους όρους s m+1, s m+2,...s r. Αντικείμενο που έχει m + j ιδιότητες δε συμπεριλαμβάνεται στο e m και συνεισφέρει ( ) m+j m στον όρο sm, ( m+j m+1) στον όρο s m+1,..., ( m+j) στον όρο sm+j που συνολικά ισούται με 0. s r

37 Αναζητούμε την τιμή της έκφρασης: ( m + j m ) ( m + 1 Παρατηρούμε ότι: ( m + k k 1 )( ) ( )( ) m + j m + 2 m + j +... m m + 2 ( )( ) m + j m + j + ( 1) j j m + j )( ) m + j = m + k (m + j)! (m + k)!(j k)! (m + j)! = m!k!(j k)! (m + j)! j! = m!j! k!(j k)! ( )( ) m + j j = m k (m + k)! m!k!

38 Οπότε: ( m + j m ( m + j = m = 0 ) ( m + j m )[( ) j 0 )( ) j + 1 ( ) j + 1 ( m + j m )( ) j 2 + ( 1) j ( m + j m... )( ) j j ( ) ( )] j j... + ( 1) j 2 j

39 Παράδειγμα 12 μπάλες χρωματίζονται ως εξής: 2 δε λαμβάνουν κανένα χρώμα. 2 χρωματίζονται κόκκινες, 1 μπλε και 1 άσπρη. 2 χρωματίζονται με κόκκινο και μπλε και 1 χρωματίζεται με κόκκινο και άσπρο. 3 χρωματίζονται με κόκκινο, μπλε και άσπρο. Καλούμε a 1, a 2, a 3 την ιδιότητα: η μπάλα χρωματίζεται με το κόκκινο, μπλε, άσπρο χρώμα, αντίστοιχα. Είναι: N(a 1 ) = 8, N(a 2 ) = 6, N(a 3 ) = 5 N(a 1 a 2 ) = 5, N(a 1 a 3 ) = 4, N(a 2 a 3 ) = 3 N(a 1 a 2 a 3 ) = 3 s 1 = 19, s 2 = 12, s 3 = 3 e 1 = 19 ( 2 1) 12 + ( 3 2) 3 = = 4 e 2 = 12 ( 3 1) 3 = 12 9 = 3 e 3 = 3

40 Ο γενικός τύπος για άρτιο και περιττό πλήθος ιδιοτήτων Για δεδομένο πλήθος r ιδιοτήτων: e i είναι το πλήθος των στοιχείων που έχουν i από τις r ιδιότητες και δεν έχουν τις υπόλοιπες r i (ενώ s i είναι το πλήθος των στοιχείων που έχουν i ιδιότητες. Προφανώς, s i e i ). Η γεννήτρια συνάρτηση που μετρά το πλήθος των αντικειμένων που έχουν καμία, μόνο μία, μόνο δύο,..., όλες τις ιδιότητες είναι η r E(x) = e 0 x 0 + e 1 x 1 + e 2 x e r x r = s j (x 1) j j=0 Για x = 1: E(1) = e 0 + e 1 + e e r = s 0

41 ( ) ( ) ( ) m + 1 m + 2 r e m = s m s m+1 + s m+2...+( 1) r m 1 2 r m E(x) = e 0 + e 1 x + e 2 x e r x r = [s 0 s 1 + s ( 1) r s r ] [ ( ) ( ) ( ] 2 3 r + s 1 s 2 + s ( 1) )s r 1 r x 1 2 r 1 [ ( ) ( ) ( ] 3 4 r + s 2 s 3 + s ( 1) )s r 2 r 1 2 r [ ( ) ( ) m + 1 m s m s m+1 + s m ( ] r + ( 1) )s r m r x m r m s r x r x 2 s r

42 = s 0 + s 1 [x 1] ( ) ] 2 + s 2 [x 2 x ( ) ( ) ] s 3 [x 3 x 2 + x ( ) ( ) m m + s m [x m x m 1 + x m ( ] m + ( 1) )x m 1 + ( 1) m m ( ) ( ] r r + s r [x r x r 1 + )x r ( 1) r 1 2 = r sj (x 1) j

43 Ο γενικός τύπος για άρτιο και περιττό πλήθος ιδιοτήτων r E(x) = e 0 x 0 + e 1 x 1 + e 2 x e r x r = s j (x 1) j j=0 Για x = 1: E(1) = e 0 + e 1 + e e r = s 0 r Για x = 1: E( 1) = s j ( 2) j j=0 1 2 [E(1) + E( 1)] = 1 2 [e 0 + e 1 + e 2 + e 3 + e e 0 e 1 + r e 2 e 3 + e 4...] = e 0 + e 2 + e = 1 2 [s 0 + ( 2) j s j ]: j=0 πλήθος αντικειμένων με άρτιο αριθμό ιδιοτήτων 1 2 [E(1) E( 1)] = 1 2 [e 0 + e 1 + e 2 + e 3 + e 4... e 0 + e 1 r e 2 + e 3 e 4...] = e 1 + e 3 + e = 1 2 [s 0 ( 2) j s j ]: j=0 πλήθος αντικειμένων με περιττό αριθμό ιδιοτήτων

44 Ποιος είναι ο αριθμός των τετραδικών ακολουθιών με n ψηφία που περιέχουν άρτιο αριθμό από 0; Καλούμε a i την ιδιότητα το i-τό ψηφίο μιας συμβολοσειράς να είναι 0 για i = 1, 2, 3,..., n Είναι s j = ( n j ) 3 n j με j = 0, 1, 2, 3,..., n. Γιατί; sj : πλήθος τετραδικών συμβολοσειρών με n ψηφία από τα ( οποία j είναι 0. n ) j : πλήθος τρόπων να διαλέξω τα j ψηφία σε κάποια τέτοια συμβολοσειρά που θα είναι 0. Για κάθε τέτοια επιλογή j ψηφίων, τα υπόλοιπα n j μπορούν να έχουν 3 διαφορετικές τιμές: 1,2,3 αφού οι συμβολοσειρές είναι στο τετραδικό σύστημα: 3 n j πιθανές συμβολοσειρές n j ψηφίων. r Επίσης είναι: e 0 + e 2 + e = 1 2 [s 0 + ( 2) j s j ] = 1 2 [3n + j=0 j=0 n ( ) n ( 2) j 3 n j ] = 1 j 2 [3n + (3 2) n ] = 1 2 (3n + 1)

45 Τέλος Ενότητας

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού 1 / 9 Σε ένα σχολείο υπάρχουν 1000 μαθητές. Απ αυτούς οι 400 μιλάνε Γαλλικά, οι 300 Ιταλικά και 200 μιλάνε Γερμανικά. Εάν υπάρχουν 200 μαθητές,που

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι

κ.λπ. Ισχύει πως x = 100. Οι διαφορετικές λύσεις αυτής της εξίσωσης χωρίς κανένα περιορισμό είναι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διακριτά Μαθηματικά 3 η γραπτή εργασία, Σχέδιο Λύσεων Επιμέλεια: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου ΘΕΜΑ (Συνδυαστική,.6 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 5: Ισοδυναμία Πιστωτικών Τίτλων Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #8: Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)! Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 12: Κανονικότητα ή μη των γλωσσών Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 6: Ασκήσεις, 3 η γενική εργασία. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 10: Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 18: Λήμμα Άντλησης για ΓΧΣ Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΝΘΕΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΙΧΜΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ ntua ACADEMIC OPEN COURSES ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ II Β. ΤΣΟΥΡΑΣ Επίκουρος Καθηγητής Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 14: Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 17: Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A)

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A) Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διαισθητική έννοια ανεξαρτησίας Διαισθητική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 5: Ασκήσεις Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ᄃ Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF Ασκήσεις Ενότητας: Πομποδέκτες, Μείκτες, Ενισχυτές Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εγκλεισμός Αποκλεισμός

Εγκλεισμός Αποκλεισμός Εγκλεισμός Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕN μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος για να απαριθμούμε τους τρόπους εκτέλεσης μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 25: Γραμματικές Χωρίς Περιορισμούς Τμήμα Πληροφορικής ΘΥ 25: Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Προγραμματισμού

Αρχές Προγραμματισμού Αρχές Προγραμματισμού Ενότητα: Εργαστηριακή Άσκηση 1 Παλιουράς Βασίλης, Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1. Σκοποί ενότητας----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων: Αριθμητική του Υπολογιστή, Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπές, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης 1. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων

Στατιστική Επιχειρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων Ενότητα # 2: Στατιστικοί Πίνακες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Δομημένος Προγραμματισμός Ενότητα 5(γ): Εργαστηριακή Άσκηση Αναπλ. Καθηγητής: Κωνσταντίνος Στεργίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα