Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις)

Transcript

1 Ν6_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_0_Έλεγχος_Υποθέσεων0 Ανεξάρτητα δείγματα Εξαρτημένα δείγματα Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις) Διαφορετικά άτομα σε κάθε μέτρηση η Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Τα ίδια άτομα σε κάθε μέτρηση

2 Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις) Διαφορετικά άτομα σε κάθε μέτρηση η 3 Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητων μετρήσεων Δεδομένα που προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς, που δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Παράδειγμα: Ένας γυμναστής στο δημοτικό σχολείο θέλει να διαπιστώσει αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε ένα τεστ ευστοχίας μεταξύ της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Β τάξης του δημοτικού σχολείου και της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Α τάξης. 4

3 Αν οι μέσοι όροι X, X των δύο δειγμάτων που προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς (ανεξάρτητες μετρήσεις) διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους η ομάδα Χ Χ Χ3 Χ4 η ομάδα Χ Χ Χ3 Χ ΧΝ ΧΝ 5 Ο αμερόληπτος εκτιμητής της διαφοράς των μέσων όρων των δύο πληθυσμών (μ-μ) είναι ο Αν και οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή τότε και η διαφορά τους ακολουθεί κανονική κατανομή X X και η τυπική απόκλιση της διαφοράς των δύο πληθυσμών είναι σ, σ σ Μηδενική υπόθεση Η ο : μ = μ ή Η ο : μ-μ = 0 Εναλλακτική υπόθεση Η Α : μ μ ή Η Α : μ-μ 0 6 3

4 Α. Αν γνωρίζουμε τις διακυμάνσεις, των πληθυσμών Εφόσον, = γνωστές και οι πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή χρησιμοποιούμε τις z-τιμές (z-κατανομή) (X z X) (μ μ) σ σ (X σ X σ ) επειδή μ-μ=0 7 Παράδειγμα: Ένας γυμναστής στο δημοτικό σχολείο θέλει να διαπιστώσει αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε ένα τεστ ευστοχίας μεταξύ της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Β τάξης του δημοτικού σχολείου και της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Α τάξης. Β τάξη: Ν = 0, X =, σ = 0 A τάξη: Ν = 4, X = 8, σ = 9 ερώτημα: υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων όρων των δύο πληθυσμών (από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα), σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 με την προϋπόθεση ότι οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν την κανονική κατανομή. 8 4

5 . διατύπωση μηδενικής υπόθεσης: Η ο : μ μ. διατύπωση εναλλακτικής υπόθεσης: Η A : μ μ Εφόσον οι πληθυσμοί από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα ακολουθούν την κανονική κατανομή και είναι γνωστές οι διακυμάνσεις των πληθυσμών z - κατανομή 9 Β τάξη: Ν = 0, X =, σ = 0 A τάξη: Ν = 4, X = 8, σ = 9 z (X X) σ σ ( 8)

6 εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ Άρα: δίπλευρος έλεγχος για α= 0.05 ή α/= 0.05 από πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής το αντίστοιχο εμβαδόν ( =) είναι Ητιμή βρίσκεται στην διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή.9 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 6. Η περιοχή αποδοχής βρίσκεται μεταξύ των τιμών z =.96 και z=

7 Εφόσον z=.038 < z-κρίσιμη= ρ.96 αποδεχόμαστε την Η ο : μ = μ 3 Α. Αν ΔΕΝ γνωρίζουμε τις διακυμάνσεις Όταν, = άγνωστες και οι πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή χρησιμοποιούμε τις t-τιμές (t-κατανομή), των πληθυσμών Προϋπόθεση: ομοιογένεια των διακυμάνσεων σ σ σ 4 7

8 σ σ σ Όταν για την εκτίμηση του σ χρησιμοποιείται ο αμερόληπτος εκτιμητής του S S ( ) S( ) Το τυπικό σφάλμα της διαφοράς των μέσων τιμών των δύο ανεξάρτητων μετρήσεων θα είναι S X X S ( ) 5 Για τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών χρησιμοποιείται το στατιστικό (X t X ) (μ μ ) S X X ( S (X X ) ) επειδή μ-μ=0 για (Ν +Ν -) βαθμούς ελευθερίας 6 8

9 Παράδειγμα: Ένας γυμναστής στο δημοτικό σχολείο θέλει να διαπιστώσει αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε ένα τεστ ευστοχίας μεταξύ της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Β τάξης του δημοτικού σχολείου και της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Α τάξης. Β τάξη: Ν = 0, X =, s = 8 A τάξη: Ν = 4, X = 8, s = 7 ερώτημα: υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων όρων των δύο πληθυσμών (από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα), σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 με την προϋπόθεση ότι οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν την κανονική κατανομή. 7. διατύπωση μηδενικής υπόθεσης: Η ο : μ μ. διατύπωση εναλλακτικής υπόθεσης: Η A : μ μ Εφόσον οι πληθυσμοί από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα ακολουθούν την κανονική κατανομή ΑΛΛΑ δεν είναι γνωστές οι διακυμάνσεις των πληθυσμών t - κατανομή t S (X X ) ( ) 8 9

10 Αρχικά υπολογίζεται ο αμερόληπτος εκτιμητής του σ του πληθυσμού, που είναι S ( ) S( S ) 8 (0 ) 7 (4 ) Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον αμερόληπτο εκτιμητή S της διακύμανσης σ του πληθυσμού, υπολογίζεται το τυπικό σφάλμα της διαφοράς των μέσων τιμών των δύο ανεξάρτητων μετρήσεων που είναι ( ) (0 4) S S X X 04 Χρησιμοποιώντας το τυπικό σφάλμα υπολογίζεται στη συνέχεια η t τιμή t (X X) 8.37 ( ).6 S 9 εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ Άρα: δίπλευρος έλεγχος για α= 0.05 ή (α/)= (0.05/) = = και βαθμούς ελευθερίας (β.ε.): Ν + - = = 4 από πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής ποια είναι η κρίσιμη t τιμή; 0 0

11 α/= /= = df \ p Ν + - = = t.37 t κρίσιμη.0 αποδεχόμαστε την Ηο μ μ

12 Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Τα ίδια άτομα σε κάθε μέτρηση η 3 Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων τιμών δύο εξαρτημένων μετρήσεων ο ίδιο άτομο μετριέται κάτω από δύο διαφορετικές συνθήκες ή σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές πριν μετά Χ Χ Χ Χ Χ3 Χ ΧΝ ΧΝ Αν οι μέσοι όροι X, X των δύο δειγμάτων που προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς (εξαρτημένες μετρήσεις) διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους 4

13 Αν και οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή τότε και η διαφορά τους ακολουθεί κανονική κατανομή μηδενική υπόθεση: Η ο : μ-μ =0 ή Η ο : μ = μ εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ 5 πριν μετά Χ Χ Χ Χ Χ3 Χ ΧΝ ΧΝ διαφορά επιδόσεων του ίδιου ατόμου μέση διαφορά d X d X d Για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης χρησιμοποιείται η ποσότητα t ( d d ) ( d ) εκτιμητής τυπικής απόκλισης των διαφορών S d ( d ) ( ( ) d ) 6 3

14 Παράδειγμα: Ένας προπονητής ενδιαφέρεται να ελέγξει την επίδραση ενός προγράμματος προπόνησης για τη βελτίωση της ευστοχίας. Για το σκοπό αυτό μετρήθηκαν οι επιδόσεις ενός δείγματος Ν= 0 ατόμων σε ένα τεστ ευστοχίας «πριν» και «μετά» την εφαρμογή του προγράμματος προπόνησης. Αυτές οι επιδόσεις παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. α/α πριν μετά Ν=0 7 t ( d d ) ( d ) α/α πριν μετά d d 7 5 (7-5)= (9-5)= (4-7)= (5-)= (6-4)= (3-7)= (9-8)= (5-0)= (6-6)= (-6)= -4 6 d d Ν=0 = -3 =7 t ( d d ) ( d ) 3 07 ( 3)

15 εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ Άρα: δίπλευρος έλεγχος για α= 0.05 ή (α/)= (0.05/) = = και βαθμούς ελευθερίας (β.ε.): Ν- = 0 - = 9 από πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής ποια είναι η κρίσιμη t τιμή; 9 α/= /= = Ν = 0 = 9 t =.8 < t κρίσιμη =.6 αποδεχόμαστε την Ηο μ μ df \ p

16 3 6