Επίδραση της Μορφής της Επιφάνειας ιαρροής στην Ελαστοπλαστική Προσοµοίωση της Απόκρισης Συνεκτικών Εδαφών

Transcript

1 Επίδραση της Μορφής της Επιφάνειας ιαρροής στην Ελαστοπλαστική Προσοµοίωση της Απόκρισης Συνεκτικών Εδαφών Effect of Yield Surface Shae on the Elasto-Plastic Simulation of Cohesive Soil Resonse ΠΑΠΑ ΗΜΗΤΡΙΟΥ, Α. Γ. ΒΡΑΝΝΑ, Α.. ΑΦΑΛΙΑΣ, Ι. Φ. MANZARI, M. T. ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας, Π.Θ. Πολιτικός Μηχανικός, Υπ. ιδάκτωρ, Α.Π.Θ. Καθηγητής, Τοµέας Μηχανικής, Ε.Μ.Π. Καθηγητής, George Washington University, USA ΠΕΡΙΛΗΨΗ : ιερευνάται η επίδραση της µορφής της επιφάνειας διαρροής στην προσοµοίωση της απόκρισης συνεκτικών εδαφών, µε τη διαδοχική εφαρµογή δύο επιφανειών διαρροής διαφορετικής µορφής σε ένα πρόσφατα προταθέν ελαστοπλαστικό προσοµοίωµα κρίσιµης κατάστασης (), ως εναλλακτικών της δικής του ελλειπτικής επιφάνειας διαρροής. Οι δύο εναλλακτικές που εξετάσθηκαν έχουν τη µορφή στρεβλωµένου ληµνίσκου και στρεβλωµένου ελλειψοειδούς. Η πρώτη οδηγεί σε επιλεκτικά βελτιωµένες προσοµοιώσεις σε σύγκριση µε το, αλλά συνολικά η προσφερόµενη ακρίβεια είναι µικρότερη. Αντιθέτως, η χρήση της δεύτερης εναλλακτικής προσφέρει µία συνολικώς ελαφρά βελτιωµένη προσοµοίωση σε σχέση µε το, µε το κόστος µίας επιπλέον σταθεράς. ABSTRACT : This aer examines the effect of yield surface shae on the simulated resonse of cohesive soils, y sequentially imlementing two differently shaed yield surfaces to a recently roosed elastolastic critical state (reference) model,, as alternatives to its own ellitical yield surface. The two studied alternatives have the shae of a distorted lemniscate and a distorted ellisoid. It is shown, that the use of the distorted lemniscate may lead to selectively more accurate simulations in comarison to the reference, ut to a less accurate overall resonse. On the contrary, the use of the distorted ellisoid rovides an overall slightly enhanced simulative aility, ut this at the cost of one extra model constant. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η βιβλιογραφία βρίθει παραδειγµάτων από πολύπλοκα καταστατικά προσοµοιώµατα, τα οποία προσφέρουν ακριβείς προσοµοιώσεις της εδαφικής συµπεριφοράς. Παράλληλα όµως, απλούστερα καταστατικά προσοµοιώ- µατα (π.χ. ελαστοπλαστικά προσοµοιώµατα µε ελαστική περιοχή που ορίζεται από µία κυρτή επιφάνεια διαρροής στον χώρο των τάσεων) χρησιµοποιούνται ακόµη, ιδιαίτερα σε προβλήµατα συνοριακών συνθηκών, πιθανώς µε κόστος τη µειωµένη ακρίβεια. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ευρεία χρήση ενός κατάστατικού προσοµοιώµατος συνδέεται µε την ικανότητα διαµόρφωσης ενός αποτελεσµατικού ισοζυγίου µεταξύ της προσφερόµενης ακρίβειας και της απλότητας στις εξισώσεις και τη διαδικασία βαθµονόµησής του. Υπό αυτή την έννοια, «απλά» προσοµοιώ- µατα προτείνονται συνεχώς ακόµη και σήµερα στη βιβλιογραφία. Η ακρίβεια τέτοιων προσο- µοιωµάτων εξαρτάται, εν πολλοίς, από τη µορφή της επιφάνειας διαρροής και τον τρόπο µε τον οποίο αυτή εξελίσσεται κατά τη διάρκεια της φόρτισης. Στο παρόν άρθρο διερευνάται η επίδραση της µορφής της επιφάνειας διαρροής στην προσοµοίωση της απόκρισης συνεκτικών εδαφών, εφαρµόζοντας διαδοχικά δύο διαφορετικές µορφές επιφάνειας διαρροής σε ένα πρόσφατα προταθέν προσοµοίωµα κρίσιµης κατάστασης, το (Dafalias et al, 6), ως εναλλακτικές επιφάνειες στη δική του επιφάνεια διαρροής. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 1

2 . ΤΟ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Το είναι ένα απλό προσοµοίωµα ανισοτροπικής πλαστικότητας, το οποίο προτάθηκε από τους Dafalias et al. (6) και παρέχει σχετικά ακριβείς προσοµοιώσεις τόσο για αστράγγιστη όσο και για στραγγιζόµενη συµπεριφορά κανονικώς στερεοποιηµένων αργίλων και σε ικανοποιητικό βαθµό υπερστερεοποιηµένων αργίλων, αγνοώντας τα φαινόµενα καταστροφής δοµής που είναι πιθανό να αναπτυχθούν. Μία επέκταση του µε προσοµοίωση των ανωτέρω φαινοµένων προτάθηκε από τους Taieat et al. (9). Το βασίζεται σε µετεξέλιξη του ισοτροπικού προσοµοιώµατος συζευγ- µένης ροής Modified Cam Clay (MCC) (Burland, 1965), µε κόστος τριών µόλις επιπλέον σταθερών, οι τιµές των οποίων προκύπτουν εύκολα από εργαστηριακές δοκιµές. Στην πραγµατικότητα, το αποτελεί την απλούστερη δυνατή ενεργητική µετάβαση του προσοµοιώµατος MCC από την ισοτροπία στην ανισοτροπία. Το υπακούει σε µη συζευγµένο νόµο ροής, ορίζοντας µία επιφάνεια διαρροής διαφορετική της επιφάνειας πλαστικού δυναµικού. Εκτός από την ισοτροπική κράτυνση της επιφάνειας διαρροής, και οι δύο επιφάνειες εξελίσσονται µέσω ενός συνδυασµού κινηµατικής και στρεβλωτικής κράτυνσης. Η διατύπωση του προσοµοιώµατος παρουσιάζεται εδώ στον τριαξονικό χώρο τάσεων - παραµορφώσεων, ως συνάρτηση των ενεργών τάσεων = (σ a + σ r )/3, q = (σ a σ r ) και παραµορφώσεων ε v = (ε a + ε r ), ε q = (ε a ε r )/3, όπου οι δείκτες a και r συµβολίζουν αντίστοιχα την αξονική και ακτινική διεύθυνση ενός τριαξονικού δοκιµίου..1 Οι Επιφάνειες του Προσοµοιώµατος Η επιφάνεια πλαστικού δυναµικού έχει µορφή περιστρεµµένης και στρεβλωµένης έλλειψης και περιγράφεται αναλυτικά από την ακόλουθη εξίσωση (βλ. Σχήµα 1): ( q ) ( Μ α ) ( ) = g = α (1) όπου Μ είναι η κλίση γραµµής κρίσιµης κατάστασης, α είναι µία αδιάστατη µεταβλητή που εισάγει την ανισοτροπία στην επιφάνεια πλαστικού δυναµικού και α είναι η τιµή της α τάσης όταν q=α, έτσι ώστε η Εξ. 1 να ικανοποιείται για δεδοµένο ζεύγος τιµών, q κατά τη διαρροή. Σχήµα 1. Οι επιφάνειες του προσοµοιώµατος στον τριαξονικό χώρο τάσεων. Figure 1. model surfaces in triaxial stress sace. Από το Σχήµα 1 διαφαίνεται ότι Μ=Μ c όταν ο αποκλίνων λόγος τάσεων είναι η=q/ > α και Μ=Μ e όταν η=q/ < α, µε τις τιµές των M c και Μ e να είναι σταθερές του προσοµοιώµατος. Προφανώς πρέπει να ισχύει α < M ώστε οι τιµές των και q να είναι πραγµατικές και η Εξ. 1 να µην εκφυλίζεται στην ευθεία q=α. Η επιφάνεια διαρροής του προσοµοιώµατος εκφράζεται αναλυτικώς µε παρόµοιο τρόπο µε την επιφάνεια πλαστικού δυναµικού, σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: ( q ) ( N β ) ( ) = f = β () όπου οι µεταβλητές o, β και N αντικαθιστούν τις αντίστοιχες µεταβλητές α, α και Μ στην Εξ.1. Συγκεκριµένα, η µεταβλητή β περιγράφει την κινηµατική κράτυνση της επιφάνειας διαρροής, η οποία εισάγει την ανισοτροπία όπως ακριβώς και η µεταβλητή α στην επιφάνεια πλαστικού δυναµικού. Η σταθερά Ν είναι σταθερά του προσοµοιώµατος, ίδιας φύσης µε τη σταθερά Μ, αλλά έχει την ίδια τιµή τόσο κατά τη θλίψη όσο και κατά τον εφελκυσµό, για λόγους απλότητας. Προφανώς πρέπει να ισχύει β < Ν ώστε οι τιµές των και q να είναι πραγµατικές στην Εξ.. Σηµειώνεται ότι η µέγιστη αποκλίνουσα τάση q στην επιφάνεια f= δεν παρατηρείται πάνω στη γραµµή η=μ αλλά πάνω στη γραµµή η=ν. Αυτή ακριβώς είναι η ιδιότητα που επιτρέπει ο 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος

3 την προσοµοίωση χαλάρωσης κατά την αστράγγιστη θλίψη που ακολουθεί µονοδιάστατη Κ ο -στερεοποίηση.. Οι Εξισώσεις του Ρυθµού Μεταβολής των Παραµέτρων Κράτυνσης Για τη µεταβλητή o ισχύει η κλασσική εξίσωση της Εδαφοµηχανικής Κρίσιµης Κατάστασης (Burland 1965): 1 + e g & in o = L o = L o (3) λ κ όπου e in είναι η αρχική τιµή του δείκτη πόρων e και λ, κ είναι οι κλίσεις των γραµµών φόρτισης και αποφόρτισης-επαναφόρτισης σε ισοτροπική στερεοποίηση στο χώρο των e-ln. Ο ρυθµός µεταβολής της µεταβλητής α δίδεται από την εξίσωση: 1+ ein & α = L C λ κ η / x > α α = Μ c o g η xα ; η / x < α α ( α α ) = Μ e (4) όπου C είναι µία σταθερά του προσο- µοιώµατος που ελέγχει επίσης την εξίσωση του ρυθµού µεταβολής της µεταβλητής β: ( β β ) & 1 + ein g β = L C η β λ κ o η > β β = N ; η < β β = N (5) Σηµειώνεται ότι ο όρος g στις Εξ. 3 έως 5 εισάγει το ρυθµό µεταβολής της ογκοµετρικής πλαστικής παραµόρφωσης και σταθεροποιεί όλες τις επιφάνειες στην Κρίσιµη Κατάσταση. Επιπρόσθετα, οι «ελκυστές» α και β στις Εξ. 4 και 5 επιβάλλουν τις προαναφερθείσες προϋποθέσεις α < M και β < Ν, ώστε οι τιµές, q να είναι πραγµατικές στις Εξ. 1 και, αντίστοιχα..3 Απόδοση του προσοµοιώµατος αναφοράς Tο προσοµοίωµα αναφοράς απαιτεί τη βαθµονόµηση οχτώ (8) σταθερών (βλέπε Πίνακα 1), από τις οποίες οι 5 είναι οι σταθερές του MCC (M c, M e, κ, λ, ν) και µόνον οι υπόλοιπες 3 είναι καινούριες (N, C, x). Πίνακας 1. Οι σταθερές του προσοµοιώµατος και οι τιµές τους για LCT. Tale 1. constants and their values for Lower Cromer Till Σταθερά Περιγραφή Τιµή M c Η τιµή του η στην Κρίσιµη Κατάσταση για θλίψη 1.18 M e Η τιµή του η στην Κρίσιµη Κατάσταση για εφελκυσµό.86 κ Συµπιεστότητα OC αργίλου.9 λ Συµπιεστότητα ΝC αργίλου.63 ν Ελαστικός λόγος Poisson. Ν Μορφή της επιφάνειας διαρροής.91 x Όριο κορεσµού της ανισοτροπίας 1.56 C Ρυθµός εξέλιξης της ανισοτροπίας 16 Η απόδοση του προσοµοιώµατος µελετήθηκε για διάφορες τασικές οδεύσεις, συνθήκες στράγγισης και τιµές OCR από τους Dafalias et al. (6). Όπως περιγράφεται εκεί, το οδηγεί σε σχετικά ακριβείς προσοµοιώσεις για χαµηλές τιµές OCR, µε µία πιθανή υποεκτίµηση της αστράγγιστης διατµητικής αντοχής κατά τη θλίψη, έπειτα από Κ ο -στερεοποίηση. Η απόκριση του προσο- µοιώµατος σε µεγάλες τιµές OCR είναι παρόµοια µε αυτή που προκύπτει από το προσοµοίωµα MCC, δηλαδή οδηγεί σε υπερεκτίµηση των τάσεων διαρροής και ως εκ τούτου σε µία γενικώς πιο δύστµητη συµπεριφορά κατά τα πρώτα στάδια της φόρτισης. Θεωρητικά, αυτές οι προβληµατικές προσοµοιώσεις µπορούν να διορθωθούν αλλάζοντας τη µορφή της επιφάνειας διαρροής, δηλαδή «διευρύνοντας» το σχήµα της σε µεγάλες τιµές / o (οδηγώντας σε µεγαλύτερες τιµές q κατά τη διαρροή) και «στενεύοντάς» την σε µικρές τιµές / o (οδηγώντας σε µικρότερες τιµές q κατά τη διαρροή). Σε αυτήν ακριβώς την παρατήρηση στηρίχθηκε η έρευνα που παρουσιάζεται εδώ. 3. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ: ΣΤΡΕΒΛΩΜΕΝΟΣ ΛΗΜΝΙΣΚΟΣ (ΣΛ) 3.1. Παρουσίαση του ΣΛ Η πρώτη εναλλακτική µορφή επιφάνειας διαρροής είναι αυτή που εισήχθη από τους Pestana & Whittle (1999) για το προσοµοίωµα MIT-S1, η οποία έχει τη µορφή Στρεβλωµένου Ληµνίσκου (distorted lemniscate, DL) και περιγράφεται αναλυτικά από: 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 3

4 .8 (a).8.6 Στρ. Ληµνίσκος () OCR TC TE TC TE OCR / o / o Σχήµα. Σύγκριση δεδοµένων LCT από αστράγγιστες τριαξονικές δοκιµές και µορφές επιφανειών διαρροής ΣΛ και, έπειτα από: a) ισότροπη στερεοποίηση (δοκιµές CIU) και Κ ο - στερεοποίηση (δοκιµές CK o U). Figure. Comarison of from undrained triaxial tests and shaes of the DL and the yield surface, after: a) isotroic comression (CIU) and ) K o -consolidation (CK o U). f ζ = ζ 1 q + β β ( q β ) = m o n = (6) όπου m, n είναι σταθερές της νέας επιφάνειας διαρροής οι οποίες αντικαθιστούν τη σταθερά Ν του. Συγκεκριµένα, η σταθερά m καθορίζει το άνοιγµα της επιφάνειας διαρροής (σε όρους η=q/) όταν προσεγγίζεται ασυµπτωτικά η τιµή =, ενώ η σταθερά n ελέγχει το εύρος της επιφάνειας (σε όρους q) από την καµπύλη q = β(/ o ) n. Επισηµαίνεται ότι αύξηση των τιµών των m, n οδηγεί εν γένει σε «διεύρυνση» της επιφάνειας διαρροής εκατέρωθεν της καµπύλης q = β(/ o ) n. Η επίλυση της Εξ. 6 ως προς q καταδεικνύει την ισχύ της ακόλουθης ανίσωσης, ώστε οι τιµές, q να είναι σε κάθε περίπτωση πραγµατικές: n / ο β (7) m Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, η απόλυτη τιµή του «ελκυστή» β στην Εξ. 5 πρέπει να είναι ίση µε τον όρο στα δεξιά της ανίσωσης 7. Για λόγους σύγκρισης, όλες οι υπόλοιπες εξισώσεις του δεν µεταβάλλονται. Το Σχήµα παρουσιάζει ένα παράδειγµα σύγκρισης του ΣΛ (για m = 1.4, n =.77) µε την επιφάνεια διαρροής του (για N =.91), καθώς και δεδοµένα δοκιµών αστράγγιστης τριαξονικής θλίψης και εφελκυσµού έπειτα από ισοτροπική (CIU) και µονοδιάστατη (CK o U) στερεοποίηση σε δείγµατα αργίλου Lower Cromer Till. Σύµφωνα µε το Σχήµα a, η Εξ. 6 προσφέρει τις προδιαγραφείσες απαραίτητες αλλαγές στη µορφή της επιφάνειας διαρροής για δοκιµές CIU. Παράλληλα, το Σχήµα αποδεικνύει ότι η Εξ. 6 κάνει το ίδιο και για τις δοκιµές CK o U, µε πιθανή εξαίρεση στις δοκιµές εφελκυσµού. 3.. Σύγκριση µε το Προσοµοίωµα Αναφοράς Για να εξακριβωθεί εάν η επιφάνεια διαρροής του ΣΛ έχει τη δυνατότητα να προσφέρει αναβαθµισµένη ακρίβεια, εκτελέσθηκαν προσοµοιώσεις των υπαρχόντων δοκιµών σε άργιλο LCT µε το νέο διαφοροποιηµένο προσοµοίωµα ΣΛ και συγκρίθηκαν µε αυτές του προσοµοιώµατος αναφοράς. Σε κάθε περίπτωση, στις σταθερές του προσοµοιώµατος ΣΛ δόθηκαν οι τιµές του Πίνακα 1, µε εξαίρεση τη σταθερά Ν η οποία δεν υπάρχει πλέον και αντικαθίσταται από τις σταθερές (m, n) = (1.4,.77). Τα Σχήµατα 3 και 4 παρουσιάζουν τα δεδοµένα LCT και τις προσοµοιώσεις µε τη χρήση του και του προσοµοιώ- µατος ΣΛ, για CIU και CK o U δοκιµές αντίστοιχα. Σηµειώνεται ότι στα Σχήµατα 3 και 4 παρουσιάζονται συγκρίσεις προσοµοιώσεων µόνο για OCR = 1, και 7. Οι συγκρίσεις για τις υπόλοιπες τιµές OCR οδηγούν σε παρόµοια συµπεράσµατα, αλλά δεν περιλαµβάνονται στα ακόλουθα σχήµατα για λόγους σαφήνειας της παρουσίασης. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 4

5 .8.8 Στρ. Ληµνίσκος OCR 1 1 TC TE / o ε a (%) Σχήµα 3. Σύγκριση δεδοµένων και προσοµοιώσεων µε χρήση και ΣΛ για δοκιµές CIU, σε όρους : a) ενεργών τασικών οδεύσεων, ) τάσεων-παραµορφώσεων Figure 3. Comarison of data to simulations with the use of the and the DL model variant for CIU tests, in terms of: a) effective stress ath, ) stress-strain resonse TC TE OCR Στρ. Ληµνίσκος / o ε a (%) Σχήµα 4. Σύγκριση δεδοµένων και προσοµοιώσεων µε χρήση και ΣΛ για δοκιµές CK o U, σε όρους : a) ενεργών τασικών οδεύσεων, ) τάσεων-παραµορφώσεων Figure 4. Comarison of data to simulations with the use of the and the DL model variant for CK o U tests, in terms of: a) effective stress ath, ) stress-strain resonse Όπως συνάγεται από τις συγκρίσεις, το νέο προσοµοίωµα προσφέρει καλύτερες προσοµοιώσεις τουλάχιστον για µεγάλες τιµές OCR. Για µικρές τιµές OCR ωστόσο, αν και το νέο προσοµοίωµα προσφέρει καλύτερη προσοµοίωση της µέγιστης αντοχής, η απόκριση µετά από αυτή είναι ποιοτικά λάθος, καθώς χαρακτηρίζεται από µεγάλη χαλάρωση της παραµόρφωσης για δοκιµές CIU και CK o U, συµπεριφορά ακριβώς αντίθετη από αυτή που παρουσιάζουν τα δεδοµένα και προβλέπεται από το (βλ. Σχήµατα 3 & 4). Μία εκτενής παραµετρική διερεύνηση της απόκρισης προσοµοίωσης µε το νέο προσοµοίωµα ΣΛ δείχνει ότι µε κατάλληλη επιλογή των τιµών (m, n), είναι δυνατό να επιτύχει κανείς βελτιωµένη απόκριση για το ζητούµενο εύρος τιµών OCR. Ωστόσο, δεν υπάρχει µοναδικό ζεύγος τιµών (m, n) που µπορεί να οδηγήσει σε ακριβέστερες προσοµοιώσεις για όλα τα OCR, σε σύγκριση µε το προσοµοίωµα αναφοράς. 4. ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ: ΣΤΡΕΒΛΩΜΕΝΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΕΣ (ΣΕ) 4.1. Παρουσίαση του ΣΕ Η δεύτερη εναλλακτική µορφή επιφάνειας διαρροής που µελετήθηκε, προτάθηκε από τους Collins & Hilder () για άλλους καταστατικούς στόχους. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 5

6 .8 (a).8.6 Στρ. Ελλειψοειδές () OCR TC TE TC TE OCR / o / o Σχήµα 5. Σύγκριση δεδοµένων LCT για αστράγγιστες τριαξονικές δοκιµές και σχήµατα επιφανειών διαρροής ΣΕ και, έπειτα από: a) ισότροπη στερεοποίηση (δοκιµές CIU) και Κ ο - στερεοποίηση (δοκιµές CK o U). Figure 5. Comarison of for undrained triaxial tests and shaes of the DE and the yield surface, after: a) isotroic consolidation (CIU) and ) Ko-consolidation (CK o U). Έχει τη µορφή ενός Στρεβλωµένου Ελλειψοειδούς (distorted ellisoid, DE), το οποίο περιγράφεται αναλυτικά από: f = ( q β ) ( XN β ) ( ) X = n + 1 ( n) o z o = (8) όπου ο παράγοντας X είναι εκείνος που διαφοροποιεί την Εξ. 8 από την Εξ., και εισάγει τις επιπλέον σταθερές z και n για τη νέα επιφάνεια διαρροής. Σηµειώνεται ότι όταν z = και/ή n = 1, η Εξ. 8 µεταπίπτει στην Εξ., η οποία περιγράφει την επιφάνεια αναφοράς. Έτσι, η σταθερά Ν για το ΣΕ παίζει τον ίδιο ρόλο όπως και για την επιφάνεια διαρροής του, δηλαδή καθορίζει το συνολικό εύρος της επιφάνειας διαρροής (σε όρους η=q/), γύρω από την ευθεία η = β. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο η σταθερά Ν του ΣΕ συµπεριφέρεται οµοίως µε τη σταθερά Ν στο. Αναφορικά µε τις άλλες δύο σταθερές του ΣΕ, παρατηρούνται τα ακόλουθα: Για τιµές n < 1, το ΣΕ στρεβλώνει σε σύγκριση µε την έλλειψη του και «διευρύνεται» σε µεγάλες τιµές / o (>.5), ενώ «στενεύει» σε µικρές τιµές / o (<.5), όπως ακριβώς απαιτείται για ακριβέστερες προσοµοιώσεις σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν στην ενότητα. Για οποιαδήποτε τιµή n < 1, µία αύξηση στην τιµή της σταθεράς z (για τιµές z > n) οδηγεί σε περαιτέρω στρέβλωση της επιφάνειας προς τη σωστή ποιοτικά κατεύθυνση. Για τιµές n > 1, η στρέβλωση του ΣΕ είναι ποιοτικά αντίθετη από εκείνη για n < 1, και γι αυτό δε θα διερευνηθεί περαιτέρω. Αποδεικνύεται εύκολα ότι για οποιοδήποτε ζεύγος τιµών β και N, υπάρχουν διαφορετικά ζεύγη τιµών (z, n) που περιγράφουν πρακτικώς την ίδια επιφάνεια διαρροής (µε διαφορές σε όρους q µικρότερες από %). Σύµφωνα µε τα παραπάνω, το ΣΕ που περιγράφεται από την Εξ. 8, αποτελεί µία καλή εναλλακτική επιφάνεια διαρροής στην έλλειψη του, µε µόλις µία επιπλέον σταθερά z, αφού στη σταθερά n µπορεί πρακτικώς να αποδοθεί συγκεκριµένη τιµή (π.χ. n =.8 < 1). Και πάλι, λύνοντας την Εξ. 8 ως προς q (και για n < 1), προκύπτει ότι για να είναι οι τιµές, q στη διαρροή πραγµατικές σε κάθε περίπτωση, θα πρέπει να ισχύει: z / β (9) < Nn Σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, η απόλυτη τιµή του «ελκυστή» β στην Εξ. 5 πρέπει να είναι ίση µε τον όρο στα δεξιά της ανίσωσης 9. Για λόγους σύγκρισης, όλες οι υπόλοιπες εξισώσεις του παραµένουν αναλλοίωτες. Το Σχήµα 5 παρουσιάζει ένα παράδειγµα σύγκρισης του ΣΕ (για N=.88, z=.88, n=.8) µε την επιφάνεια διαρροής του (για N=.91), καθώς και δεδοµένα δοκιµών αστράγγιστης τριαξονικής θλίψης και εφελκυσµού έπειτα από ισοτροπική (CIU) και 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 6

7 .8.8 OCR 1 1 TC TE Στρ. Ελλειψοειδές / o ε a (%) Σχήµα 6. Σύγκριση δεδοµένων και προσοµοιώσεων µε χρήση και ΣΕ για δοκιµές CIU, σε όρους : a) ενεργών τασικών οδεύσεων, ) τάσεων-παραµορφώσεων Figure 6. Comarison of data to simulations with the use of the and the DE model variant for CIU tests, in terms of: a) effective stress ath, ) stress-strain resonse TC TE OCR / o ε a (%) Σχήµα 7. Σύγκριση δεδοµένων και προσοµοιώσεων µε χρήση και ΣΕ για δοκιµές CK o U, σε όρους : a) ενεργών τασικών οδεύσεων, ) τάσεων-παραµορφώσεων Figure 7. Comarison of data to simulations with the use of the and the DE model variant for CK o U tests, in terms of: a) effective stress ath, ) stress-strain resonse. -. Στρ. Ελλειψοειδές µονοδιάστατη (CK o U) στερεοποίηση σε δείγµατα LCT. Σύµφωνα µε το Σχήµα 5, η Εξ. 9 προσφέρει ποιοτικά τις προαναφερθείσες απαραίτητες αλλαγές στη µορφή της επιφάνειας διαρροής, τόσο για δοκιµές CI, όσο και για δοκιµές CK o. Παρ όλα αυτά, η διαφορά στη µορφή µεταξύ των δύο επιφανειών διαρροής δεν είναι µεγάλη, καθώς οι τιµές N είναι περίπου οι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις, ενώ η τιµή z δεν είναι δυνατό να αυξηθεί πολύ, αφού έτσι θα οδηγούσε σε καταστρατήγηση της Εξ. 9 για δοκιµές CK o (για τις οποίες β =.77 στο τέλος της K o -στερεοποίησης). 4.. Σύγκριση µε το Προσοµοίωµα Αναφοράς Και πάλι, για να εξακριβωθεί εάν η επιφάνεια διαρροής του ΣΕ έχει τη δυνατότητα να προσφέρει µεγαλύτερη ακρίβεια, εκτελέσθηκαν προσοµοιώσεις των υπαρχόντων δοκιµών σε άργιλο LCT µε το νέο διαφοροποιηµένο προσοµοίωµα ΣΕ και συγκρίθηκαν µε αυτές του προσοµοιώµατος αναφοράς. Σε κάθε περίπτωση, στις σταθερές του προσοµοιώµατος δόθηκαν οι τιµές του Πίνακα 1, µε εξαίρεση τη σταθερά Ν =.88 για το διαφοροποιηµένο προσο- µοίωµα ΣΕ, για το οποίο ισχύουν επίσης (z, n) = (.88,.8). Τα Σχήµατα 6 και 7 παρουσιάζουν τα δεδοµένα LCT και τις προσοµοιώσεις µε τη 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 7

8 χρήση του και του προσο- µοιώµατος ΣΕ, για CIU και CK o U δοκιµές αντίστοιχα και για OCR = 1, και 7. Όπως προκύπτει από τις συγκρίσεις, η χρήση του ΣΕ ως επιφάνειας διαρροής προσφέρει προφανώς βελτιωµένες προσοµοιώσεις σε CIU δοκιµές, τόσο κατά τη θλίψη όσο και κατά τον εφελκυσµό και για όλες τις τιµές OCR. Ωστόσο, µετά από Κ ο -στερεοποίηση η νέα µορφή επιφάνειας διαρροής παρουσιάζει µία βελτιωµένη απόκριση µόνο για δοκιµές θλίψης, και αυτό σε µεγάλες τιµές OCR. Συνολικώς, προκύπτει ότι η χρήση του προσοµοιώµατος ΣΕ οδηγεί σε µία ελαφρώς ακριβέστερη ικανότητα προσοµοίωσης, µε το κόστος µίας µόνο επιπλέον σταθεράς. Το όφελος αυτό υπογραµµίζεται και από τις προσοµοιώσεις στραγγιζόµενων τριαξονικών δοκιµών στην άργιλο LCT (δεν παρουσιάζονται εδώ εξαιτίας περιορισµών στο µέγεθος της εργασίας), οι οποίες εµφανίζουν βελτιωµένη ακρίβεια έπειτα από ισοτροπική και µονοδιάστατη (Κ ο -)στερεοποίηση και για όλες τις τιµές OCR. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την παρούσα εργασία, και τη συναφή των Paadimitriou et al. (1), προκύπτουν συνολικά τα ακόλουθα συµπεράσµατα: α) Η σύγκριση των µορφών των επιφανειών διαρροής µε δεδοµένα αστράγγιστων δοκιµών διάτµησης στον χώρο των τάσεων, προσφέρει τη δυνατότητα εκτίµησης των σχετικών πλεονεκτηµάτων της κάθε µορφής, τουλάχιστον για δοκιµές που δεν προκαλούν µεγάλες περιστροφές στις επιφάνειες διαρροής (π.χ. σε CK o U δοκιµές εφελκυσµού για OCR=1). β) Σε σύγκριση µε την ελλειπτική µορφή επιφάνειας διαρροής στο, ο Στρεβλωµένος Ληµνίσκος (ΣΛ) είναι µία ευέλικτη επιφάνεια διαρροής, µε µόλις µία επιπλέον σταθερά, που µπορεί να οδηγήσει σε επιλεκτικά ακριβέστερες προσοµοιώσεις απόκρισης συνεκτικών εδαφών. Ωστόσο, αποτυγχάνει να παράσχει βελτιωµένη ακρίβεια για όλες τις ιστορίες φόρτισης (CIU και CK o U δοκιµές) µε το ίδιο ζεύγος τιµών των σταθερών του προσοµοιώµατος, τουλάχιστον στην περίπτωση που οι υπόλοιπες εξισώσεις του παραµένουν αµετάβλητες. γ) Η χρήση του Στρεβλωµένου Ελλειψοειδούς (ΣΕ) που προτείνεται εδώ, παρέχει µία ελαφρώς βελτιωµένη απόκριση για όλες τις τιµές OCR, ιστορίες φόρτισης και συνθήκες στράγγισης, σε σύγκριση µε το. Παρ όλα αυτά δεδοµένης της ανάγκης για βαθµονόµηση µίας επιπλέον σταθεράς, η τελική επιλογή µεταξύ αυτού και του επαφίεται στην κρίση του κάθε χρήστη. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Burland, J. B. (1965), The yielding and dilation of clay, Geotechnique, 15 (): Collins, I. F., Hilder, T. (), A theoretical framework for constructing elastic/lastic constitutive models of triaxial tests, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 6: Dafalias, Y. F. (1986), An anisotroic critical state soil lasticity model, Mechanics Research Communications, 13(6): Dafalias, Y. F., Manzari, M. T., Paadimitriou, A. G. (6), : simle anisotroic clay lasticity model, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 3(1): Paadimitriou, A. G., Vranna, A. D., Dafalias, Y. F., Manzari, M. T. (1), Effect of yield surface shae on the simulated elasto-lastic resonse of cohesive soils, Proceedings, 7 th Euroean Conference on Numerical Methods in Geotechnical Engineering, June -4, Trondheim. Pestana, J. M., Whittle, A. J. (1999), Formulation of a unified constitutive model for clays and sands, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 3(1): Taieat, M., Dafalias, Y. F., Peek R. (9), A destructuration theory and its alication to model, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, DOI: 1.1/nag.841 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 1/1 1, Βόλος 8