ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΤΕΛΛΑ Α. ΑΡΝΑΟΥΤΗ ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός, MSc DIC ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 2010

2

3 ΣΤΕΛΛΑ Α. ΑΡΝΑΟΥΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΟΥ Ε ΑΦΟΥΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Υ οβλήθηκε στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Τοµέας Γεωτεχνικής Μηχανικής, Εργαστήριο Εδαφοµηχανικής, Θεµελιώσεων και Γεωτεχνικής Σεισµικής Μηχανικής. Ηµεροµηνία Προφορικής Εξέτασης: 12 Σε τεµβρίου 2010 Εξεταστική Ε ιτρο ή: Καθηγητής Θ. Χατζηγώγος, ε ιβλέ ων Καθηγητής Σ. Τσότσος, Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Ε ιτρο ής Καθηγητής. Αγγελίδης, Μέλος Τριµελούς Συµβουλευτικής Ε ιτρο ής Καθηγητής Χ. Αναγνωστό ουλος, Εξεταστής Καθηγητής Κ. Πιτιλάκης, Εξεταστής Καθηγήτρια Θ. Τίκα, Εξετάστρια Λέκτορας Αν. Αναστασιάδης, Εξεταστής

4 Στέλλα Α. Αρναούτη Α.Π.Θ. Γεωστατιστική ανάλυση των µετρήσεων στη γεωτεχνική µηχανική. Εφαρµογή στην εκτίµηση των µετακινήσεων του εδάφους. ISBN «Η έγκριση της παρούσας ιδακτορικής ιατριβής από το Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωµών του συγγραφέως» (Ν.5343, άρθρο 202, παρ.2)

5 Περίληψη Η ενόργανη παρακολούθηση γεωτεχνικών έργων, κατά το διάστηµα κατασκευής και λειτουργίας τους, αποτελεί ενδιαφέρουσα προσέγγιση στη γεωτεχνική µηχανική για τη βαθύτερη κατανόηση της συµπεριφοράς τους, ιδιαίτερα τα τελευταία χρόνια που η ενοργάνωση συνδυάζεται µε τη συνεχή εξέλιξη της τεχνολογίας. Ωστόσο, πολύ συχνά, ο περιορισµένος αριθµός των χρησιµοποιούµενων οργάνων µέτρησης, η καταστροφή κάποιων εξ αυτών και τα σφάλµατα των µετρήσεών τους εισάγουν αβεβαιότητες στον τρόπο ανάπτυξης της υπό διερεύνηση παραµέτρου στο πεδίο, περιορίζοντας την αντίληψη σχετικά µε την απόκριση του έργου. Για την εκτίµηση της παραµέτρου σε όλο το πεδίο µπορούν να υιοθετηθούν οι αρχές της γεωστατιστικής. Πράγµατι, η γεωστατιστική ανάλυση, η οποία αφορά την εκτίµηση µιας χωρικής µεταβλητής στο πεδίο και το σφάλµα αυτής στηριζόµενη στις διαθέσιµες µετρήσεις, προσφέρει τη δυνατότητα ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας. Αξίζει να σηµειωθεί ότι, αν κι η γεωστατιστική ανάλυση αφορά κάθε µετρούµενη παράµετρο, η εργασία πραγµατεύεται κατά κύριο λόγο την εκτίµηση των µετακινήσεων του εδάφους, που αποτελεί µια από τις πιο ουσιαστικής σηµασίας, και ως εκ τούτου πιο συχνά παρακολουθούµενες, παραµέτρους στα γεωτεχνικά έργα. Προέκυψε, λοιπόν, η ανάγκη µιας εµπεριστατωµένης διερεύνησης της εφαρµοσιµότητας της γεωστατιστικής ανάλυσης στα γεωτεχνικά ζητήµατα τόσο για την εκτίµηση των µετακινήσεων στο πεδίο όσο και για τη βελτιστοποίηση της διάταξης συστηµάτων παρακολούθησης µετακινήσεων. Για το σκοπό αυτό, µελετήθηκε, κατά κύριο λόγο, η εφαρµογή της γεωστατιστικής για την εκτίµηση των µετακινήσεων στην κατολίσθηση Σ2, µια µικρού µεγέθους κατολίσθηση εντός τυπικού φλύσχη, στην οποία καταγράφονταν οι επιφανειακές µετακινήσεις µε τοπογραφικές µεθόδους.

6 Αρχικά, διερευνήθηκε η απαίτηση αντιµετώπισης του κατολισθητικού φαινοµένου σε ένα ενιαίο πεδίο ή διαχωρισµού του σε περιοχές µικρών και µεγάλων µετακινήσεων. ιαπιστώθηκε, λοιπόν, ότι ο διαχωρισµός του πεδίου υπερτερεί έναντι της θεώρησης ενιαίου πεδίου. Ο διαχωρισµός βασίζεται στο όριο της κατολίσθησης, γνωστό από την επιτόπια έρευνα. Επίσης, προτείνεται ένας νέος τρόπος προσδιορισµού των ορίων της κατολίσθησης, µε λειτουργία ανεξάρτητη της επιτόπιας έρευνας, όπου το όριο της κατολίσθησης συµπίπτει µε το σηµείο των ευθειών κάθετων στο διάνυσµα µετακίνησης της κατολίσθησης που παρουσιάζει τη µεγαλύτερη µεταβολή στις εκτιµώµενες µέσω γεωστατιστικής ανάλυσης µετακινήσεις. Στη συνέχεια, ελέγχθηκε η δυνατότητα εφαρµογής της γεωστατιστικής ανάλυσης σε περιπτώσεις, όπως η Σ2, όπου το πλήθος των διαθέσιµων µετρήσεων στο χώρο είναι περιορισµένο. Για την αντιµετώπιση της φειδωλότητας των µετρήσεων, συντάχθηκαν θεωρητικά δυο χάρτες απόφασης κι εφαρµόστηκαν πρακτικά, επιτρέποντας τη δοµική ανάλυση στην περίπτωση µικρού πλήθους µετρήσεων. Αναλύοντας γεωστατιστικά τις µετρήσεις µετακινήσεων στην κατολίσθηση Σ2 σε πολλαπλές χρονικές στιγµές, παρατηρήθηκε µια ταύτιση των κανονικοποιηµένων διασπορογραµµάτων µε το χρόνο. Πράγµατι, το διασπορόγραµµα περιγράφει τη συσχέτιση µεταξύ των µετρήσεων κι εφόσον στην προκειµένη περίπτωση η χωρική µεταβλητή είναι οι µετακινήσεις, το διασπορόγραµµα ουσιαστικά απεικονίζει τη σχετική θέση µεταξύ των µετρήσεων. Εξ ορισµού, λοιπόν, το διασπορόγραµµα των µετακινήσεων αντιπροσωπεύει τη κινηµατική του φαινοµένου και συνεπώς, το κανονικοποιηµένο διασπορόγραµµα µετακινήσεων µπορεί να χρησιµοποιηθεί ακριβώς για το σκοπό αυτό, δηλαδή για την ανίχνευση, µέσω των µεταβολών του, των πιθανών αλλαγών στο µηχανισµό της κατολίσθησης. Τέλος, η επιρροή των διαφορετικών µετρητικών σφαλµάτων των οργάνων που συµµετέχουν στην καταγραφή των µετακινήσεων (εν προκειµένω, των τοπογραφικών µεθόδων και των κλισιοµέτρων) διερευνήθηκε τόσο σχετικά µε την εκτίµηση των µετακινήσεων στο πεδίο όσο και σε σχέση µε τη βελτιστοποίηση της διάταξης της ενόργανης παρακολούθησης. Εισήχθη, λοιπόν, η τεχνική Monte Carlo στη γεωστατιστική ανάλυση (ανάπτυξη µεθοδολογίας MC1) κι εφαρµόστηκε στην κατολίσθηση Σ2. Τα διασπορογράµµατα που λήφθηκαν υπ όψη (γραµµικό και Gaussian) παρουσιάζουν µικρή ευαισθησία στην παρουσία των µετρητικών σφαλµάτων. Επίσης, παρατηρούνται, στην πλειοψηφία των σηµείων ελέγχου,

7 χαµηλοί συντελεστές µεταβλητότητας της εκτίµησης της µετακίνησης κι ακόµα µικρότεροι για το MSE, στην περίπτωση του γραµµικού προσοµοιώµατος. Η επιρροή των µετρητικών σφαλµάτων γίνεται πιο έντονη όταν χρησιµοποιείται το Gaussian προσοµοίωµα τόσο στην εκτίµηση της µετακίνησης όσο και στο σφάλµα MSE. Η µικρή µεταβλητότητα των παραµέτρων του διασπορογράµµατος στα τυχαία µετρητικά σφάλµατα σε συνδυασµό µε το µεγάλο υπολογιστικό κόστους της MC1, ωθεί στην ανάπτυξη της απλοποιηµένης µορφής της τεχνικής Monte Carlo (MC2), η οποία στηρίζεται στην παραδοχή ότι το διασπορόγραµµα διατηρείται σταθερό κατά τις Monte Carlo επαναλήψεις κι ίσο µε το διασπορόγραµµα που αντιστοιχεί σε µηδενικά µετρητικά σφάλµατα (ανάλυση MC0). Σύµφωνα µε την παραδοχή της µεθοδολογίας MC2, απλοποιούνται σηµαντικά οι εξισώσεις για τον υπολογισµό των ž και MSE, οδηγώντας στο συµπέρασµα ότι, έπειτα από µεγάλο αριθµό αναλύσεων, η εκτίµηση της µεταβλητής z και του σφάλµατος εκτίµησης MSE ισούνται µε τα αντίστοιχα µεγέθη από την ανάλυση MC0. Συνεπώς, η µεθοδολογία MC2 βασίζει τα αποτελέσµατά της σε µόνο µία γεωστατιστική επίλυση, καταργώντας την απαίτηση για χρονοβόρες πολλαπλές επαναλήψεις. Η MC2 µπορεί να χρησιµοποιηθεί έναντι της MC1 όταν τα µετρητικά σφάλµατα δεν επηρεάζουν τη µορφή του διασπορογράµµατος. Ειδάλλως, τα αποτελέσµατα της MC2 αποκλίνουν από αυτά της MC1 όσο αυξάνονται οι συντελεστές µεταβλητότητας των παραµέτρων του διασπορογράµµατος που καθορίζουν τη µορφή του.

8

9 Summary Instrumentation for monitoring geotechnical projects during construction and operation is an interesting approach for geomechanics, since it contributes to a deeper understanding of field performance, especially the last decades that instrumentation is combined with continuous technical evolution. However, quite often, the restricted number of available measurements, the collapse of some instruments and the effect of measurement errors introduce uncertainties in the way the variable under study distributes in the field. The variable under study can be estimated in the field through the use of the principles of geostatistics. Indeed, geostatistical analysis estimates the spatial variable and the estimation error based on the measurements and thus, it can quantify the uncertainties. It is worth mentioning that, even though geostatistics can be applied to any spatial variable, this work is focused on ground movements, that is one of the most important and most commonly measured variable in geotechnical projects. So, the need for a profound study concerning the applicability of geostatistical analysis in geotechnical issues arise, regarding both the movement estimation on the field and the optimum layout of the movement monitoring network. The main test site for the study was landslide S2, a small size landslide in flysch, where the movements of the ground surface were recorded by topographic methods. The first part of the study concerned the necessity to treat the landslide field as a whole or to separate the field in areas of big and small movements. It was made certain that separating the field produced better results. The separation was based on the landslide limit, which is known from the field investigation. Also, a new method is proposed for determining the landslide limit, independently of the field investigation. The method

10 consists of determining the point of greater change in the movement estimation along lines perpendicular to the landslide direction. Also, the ability to adopt geostatistical analysis in cases like S2, where the monitoring network is restricted, is tested. To face the measurement parsimony, two decision maps were compiled and applied. The geostatistical analysis in movement measurements in S2 in multiple time steps showed that the normalized variograms coincided. Indeed, variogram describes the relation among measurements and since the spatial variable in this case is ground movement, then the variogram reflects the relative movement among measurement locations. So, by definition, changes in the landslide mechanism can be traced through changes in the normalized variogram of ground movements. Lastly, the effect of different measurement errors on the movement estimation as well as on the optimum layout of the monitoring network was studied. The Monte Carlo technique was introduced to the geostatistical analysis (development of MC1 methodology) and applied to case S2. The two variogram models used (linear and Gaussian) showed small sensitivity to measurement errors. For the case of the linear variogram, small coefficients of variation of estimation and of MSE were observed in the majority of control points in the field. When the Gaussian model was adopted, the effect of measurement errors in both estimation and MSE increased. The small variability of the variogram parameters combined with the great computation cost of MC1 resulted in the development of the simplified methodology MC2, which is based on the assumption that the variogram remains constant - and equal to the variogram when no measurement errors are considered (analysis MC0) - throughout Monte Carlo iterations. According to this assumption, the equations that produce the estimation and the MSE are considerably simplified, leading to the result that these are equal to the estimation and the MSE of the MC0 analysis. So, the results of MC2 methodology are based on only one geostatistical analysis, eliminating the need for multiple time-consuming iterations. MC2 methodology can be used instead of MC1 when measurement errors do not affect variogram shape. Otherwise, MC2 results decline from MC1 results as the coefficients of variation of variogram parameters increase.

11 Ευχαριστίες Θα ήθελα, αρχικά, να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Χατζηγώγο για την αδιάλειπτη καθοδήγησή του και τη συνεχή του συµπαράσταση. Το συνεχές ενδιαφέρον και η επιµονή που έδειξε κατά την διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής αποτέλεσαν καθοριστικά στοιχεία για την ολοκλήρωσή της. Ευχαριστώ, επίσης, τον καθηγητή κ. Τσότσο για τις πολύτιµες συµβουλές του, για τη σηµαντική συνεισφορά του στη διάθεση των µετρήσεων και για τη δυνατότητα που µου έδωσε να γνωρίσω το χώρο της ενόργανης παρακολούθησης γεωτεχνικών έργων στην πράξη, εργαζόµενη µαζί του. Θα ήθελα, ακόµη, να σηµειώσω την ουσιαστική συµβολή του καθηγητή. Αγγελίδη στην παρούσα εργασία, τόσο µε τις παρατηρήσεις του όσο και µε την αµέριστη πίστη στη δουλειά µου. Ευχαριστώ, επίσης, τα υπόλοιπα µέλη της εξεταστικής επιτροπής, τον καθηγητή Χ. Αναγνωστόπουλο, τον καθηγητή Κ. Πιτιλάκη, την καθηγήτρια Θ. Τίκα και το λέκτορα Α. Αναστασιάδη για τις σηµαντικές παρατηρήσεις τους. Ουσιαστικής σηµασίας ήταν για µένα κι η διάθεση των µετρήσεων στα έργα Κατολίσθηση Σ2 και Σταθµός Αγία Παρασκευή από τις εταιρίες ΕΓΝΑΤΙΑ Α.Ε. και ΑΤΤΙΚΟ ΜΕΤΡΟ Α.Ε αντίστοιχα. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονίσω τη σηµαντική υλική και ηθική υποστήριξη που είχα καθ' όλη την διάρκεια εκπόνησης της διατριβής µου µέσω χορήγησης υποτροφίας από το Ίδρυµα Κρατικών Υποτροφιών, η οποία και αποτέλεσε σηµαντικό στοιχείο αναγνώρισης και παράγοντα συνέχισης του ερευνητικού µου έργου.

12 Ευχαριστώ, επίσης, τους διδάκτορες και συνοδοιπόρους Άγγελο Γάκη, Φώτιο Καραουλάνη και Όλγα-Joan Κτενίδου που κατέστησαν τη διαδροµή πιο ευχάριστη, καθώς και τους υπόλοιπους θαµώνες του 3 ου ορόφου του κτιρίου Εδρών της Πολυτεχνικής Σχολής Α.Π.Θ. για τη συνύπαρξη και την αρµονική ατµόσφαιρα στο χώρο εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τη µητέρα µου, τα αδέλφια µου και τον άντρα µου για την ηθική τους συµπαράσταση και κατανόηση σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου.

13 Στον ατέρα µου

14

15 Περιεχόµενα i Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Αντικείµενο µελέτης της διατριβής Στόχοι της διατριβής Οργάνωση των περιεχοµένων της διατριβής Η ανάπτυξη της γεωστατιστικής Η γεωστατιστική στην υπηρεσία της γεωτεχνικής µηχανικής Γεωτεχνική ενοργάνωση Κεφάλαιο 2: Θεωρία Γενικές αρχές γεωστατιστικής Η έννοια της χωρικής µεταβλητής Συνδιακύµανση και διασπορόγραµµα οµική ανάλυση Εξισώσεις kriging Ανισοτροπία ιαγνωστικοί έλεγχοι Co-kriging Εξισώσεις co-kriging οµική ανάλυση σε ταυτότοπες µετρήσεις οµική ανάλυση σε ετερότοπες µετρήσεις Χωρο-χρονικό kriging Σφάλµατα µετρήσεων Κοινό σφάλµα µέτρησης ιαφορετικό σφάλµα µέτρησης Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

16 Περιεχόµενα ii 2.5 Βελτιστοποίηση διάταξης ενόργανης παρακολούθησης Μεθοδολογίες για τη βελτιστοποίηση ενοργάνωσης Μέθοδοι µείωσης διασποράς Μέθοδοι βελτιστοποίησης Κεφάλαιο 3: Ανά τυξη λογισµικού Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης A.1 Έναρξη προγράµµατος A.2 Αρχιτεκτονική λογισµικού Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ Γεωλογία περιοχής Ιστορικό κατασκευής σήραγγας Στοιχεία ενόργανης παρακολούθησης Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ ιαχωρισµός πεδίου σε περιοχές µεγάλων και µικρών µετακινήσεων Περιγραφή προβλήµατος Βελτίωση εκτιµήσεων µε χρήση του ορίου της κατολίσθησης Εντοπισµός του ορίου της κατολίσθησης µε τη γεωστατιστική Συµπεράσµατα Φειδωλότητα µετρήσεων Περιγραφή προβλήµατος οµική ανάλυση σε περιορισµένο αριθµό µετρήσεων Εφαρµογή δοµικής ανάλυσης στη Σ Συµπεράσµατα Πολλαπλές µετρήσεις στο χρόνο Περιγραφή προβλήµατος Μεταβλητότητα διασπορογράµµατος στο χρόνο Εφαρµογή εξισώσεων STK, S-STK & Co-K στο χρόνο Συµπεράσµατα ιαφορετικότητα σφαλµάτων Περιγραφή προβλήµατος Εκτίµηση µεταβλητής µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Βελτιστοποίηση διάταξης µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Εκτίµηση µετακινήσεων στη Σ2 µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

17 Περιεχόµενα iii Βελτιστοποίηση διάταξης στη Σ2 µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Συµπεράσµατα Κεφάλαιο 6: Εφαρµογή γεωστατιστικής σε άλλα γεωτεχνικά ροβλήµατα Σταθµός Αγία Παρασκευή του Μετρό Αθήνας Περιοχή µελέτης οµική ανάλυση Υπολογισµοί Αποτελέσµατα Συµπεράσµατα Κατολίσθηση Jinnosuke-dani στην Ιαπωνία Περιοχή µελέτης οµική ανάλυση Υπολογισµοί Αποτελέσµατα Συµπεράσµατα Κεφάλαιο 7: Συµ εράσµατα και Προο τικές Συµπεράσµατα διατριβής Περιοχή µελέτης οµική ανάλυση Υπολογισµοί Αποτελέσµατα Συµπεράσµατα Περαιτέρω έρευνα Παράρτηµα Α: Μετρήσεις το ογραφικών µεθόδων και κλισιοµέτρων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

18 Περιεχόµενα iv Κατάλογος σχηµάτων Σχ. 1.1: Ιστόγραµµα γεωτεχνικών-γεωστατιστικών άρθρων από 1970 έως Σχ. 2.1: Μονοδιάστατη κίνηση Brownian (από 27 Σχ. 2.2: Χαρακτηριστικά διασπορογράµµατος (από Christakos, 2005) Σχ. 2.3: Μορφές διασπορογράµµατος Σχ. 2.4: Προσοµοιώµατα διασπορογράµµατος Σχ. 2.5: Προσεγγίσεις για τη χωρο-χρονική ανάλυση Σχ. 2.6: Σχηµατική απεικόνιση των προσεγγίσεων στη χωρο-χρονική ανάλυση (α) STK εκτίµηση σε οποιοδήποτε σηµείο (x,t) (β) CK-S εκτίµηση στις συγκεκριµένες χρονικές στιγµές (γ) SK-T εκτίµηση στα συγκεκριµένα χωρικά σηµεία Σχ. 2.7: Μεθοδολογίες για τη βελτιστοποίηση της ενοργάνωσης Σχ. 2.8: Συνολικό σφάλµα εκτίµησης (TOTV) και συνολική αύξηση στην πληροφορία (TVR) από την προσθήκη νέων οργάνων µέτρησης (από Rouhani, 1985) Σχ. 3.1: Αρχιτεκτονική λογισµικού GEOsm Σχ. 3.Α.1: Ορισµός GEOms ως τρέχουσα διεύθυνση Σχ. 3.Α.2: Άνοιγµα κεντρικού παραθύρου Σχ. 3.Α.3: Κεντρικό παράθυρο Σχ. 3.Α.4: Αρχιτεκτονική λογισµικού Σχ. 3.Α.5: Παράθυρο εισαγωγής δεδοµένων Σχ. 3.Α.6: Μορφή αρχείου δεδοµένων Σχ. 3.Α.7: Παράθυρο χωρικής µεταβλητότητας Σχ. 3.Α.8: Παράθυρο δοµικής ανάλυσης Α Σχ. 3.Α.9: Παράθυρο διαγνωστικών ελέγχων Q 1 & Q Σχ. 3.Α.10: Παράθυρο δοµικής ανάλυσης Β Σχ. 3.Α.11: Παράθυρο εκτίµησης παραµέτρων γ µε RML Σχ. 3.Α.12: Παράθυρο επιλογής αποτελεσµάτων Σχ. 3.Α.13: Παράθυρο επιλογής καννάβου ανάλυσης πριν την επιλογή Σχ. 3.Α.14: Αρχείο.txt εισαγωγής συντεταγµένων για σηµεία ενδιαφέροντος Σχ. 3.Α.15: Παράθυρο επιλογής καννάβου ανάλυσης µετά την επιλογή Σχ. 3.Α.16: Παράθυρο αποτελεσµάτων Σχ. 3.Α.17: Παράθυρο διαγνωστικών ελέγχων Σχ. 3.Α.18: Παράθυρο γεωστατιστικής ανάλυσης µε Monte Carlo Σχ. 3.Α.19: Παράθυρο συνάρτησης κόστους Σχ. 3.Α.20: Παράθυρο καννάβου ανάλυσης Σχ. 3.Α.21: Παράθυρο αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης Σχ. 3.Α.22: Παράθυρο αποτελεσµάτων Σχ. 3.Α.23: Παράθυρο σηµείων MSE Σχ. 3.Α.24: Παράθυρο προσοµοίωσης ανόπτησης Σχ. 3.Α.25: Παράθυρο αποτελεσµάτων Σχ. 4.1: Τοποθεσία σήραγγας Σ Σχ. 4.2: Γεωλογική τοµή σήραγγας Σ2 (από Hoek et al., 2005) Σχ. 4.3: Προκύπτουσα επιφάνεια ολίσθησης (από Τσότσος & Γάκης, 2006) Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

19 Περιεχόµενα v Σχ. 4.4: Οριζοντιογραφία σήραγγας Σχ. 4.5: Κάτοψη συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης Σχ. 4.6: Χρονοδιάγραµµα ενόργανης παρακολούθησης Σχ. 4.7: ιανύσµατα επιφανειακών µετακινήσεων Σχ. 4.8: Επιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων εντός της κατολίσθησης Σ Σχ. 4.9: Επιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων εκτός της κατολίσθησης Σ Σχ. 5.1: Θέση τοποθέτησης νέου κλισιοµέτρου Σχ. 5.2: Όριο κατολίσθησης Σ Σχ. 5.3: Επιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων περιοχή µεγάλων µετακινήσεων (18/01/07~16/03/07) Σχ. 5.4: Επιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων περιοχή µικρών µετακινήσεων (18/01/07~16/03/07) Σχ. 5.5: Εκτιµώµενες µετακινήσεις των αναλύσεων 1α & 1β Σχ. 5.6: Κανονικοποιηµένη µεταβολή µετακίνησης κατά µήκος των 11 ευθειών Σχ. 5.7: Όριο κατολίσθησης προκύπτον από επιτόπια έρευνα και από γεωστατιστική ανάλυση Σχ. 5.8: Οικογένειες διασπορογραµµάτων (Kitanidis, 1997): (α) προσοµοίωµα Gauss, (β) εκθετικό προσοµοίωµα, (γ) δυναµικό προσοµοίωµα, (δ) γραµµικό προσοµοίωµα Σχ. 5.9: Χάρτης επιλογής προσοµοιώµατος Σχ. 5.10: Επίδραση παραµέτρων διασπορογράµµατος στην εκτίµηση της χωρικής µεταβλητής Σχ. 5.11: Χάρτης υπολογισµού παραµέτρων διασπορογράµµατος Σχ. 5.12: Κάνναβος ανάλυσης Σχ. 5.13: ιασπορογράµµατα γραµµικού προσοµοιώµατος Σχ. 5.14: ιασπορογράµµατα Gaussian προσοµοιώµατος Σχ. 5.15: Εκτιµήσεις µετακινήσεων σύµφωνα µε το διασπορόγραµµα 2α Σχ. 5.16: Σφάλµατα εκτίµησης σύµφωνα µε το διασπορόγραµµα 2α Σχ. 5.17: Συντελεστές µεταβλητότητας σύµφωνα µε το διασπορόγραµµα 2α Σχ. 5.18: Εκτιµήσεις µετακινήσεων σύµφωνα µε το διασπορόγραµµα 2γ Σχ. 5.19: Σφάλµατα εκτίµησης σύµφωνα µε το διασπορόγραµµα 2γ Σχ. 5.20: Συντελεστές µεταβλητότητας σύµφωνα µε το διασπορόγραµµα 2γ Σχ. 5.21: ιαφορά στις εκτιµώµενες µετακινήσεις της ανάλυσης 2γ από την ανάλυση 2α Σχ. 5.22: ιαφορά στο σφάλµα εκτίµησης της ανάλυσης 2γ από την ανάλυση 2α Σχ. 5.23: Γραµµικά διασπορογράµµατα παραλείποντας ένα µάρτυρα Σχ. 5.24: Εκτιµήσεις διεύθυνσης µετακινήσεων Σχ. 5.25: Πειραµατικό διασπορόγραµµα σε 13 ηµεροµηνίες Σχ. 5.26: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα ως προς το τετράγωνο της µέσης τιµής σε 13 ηµεροµηνίες Σχ. 5.27: Οριζόντιες µετακινήσεις µε το χρόνο διαφοροποίηση µαρτύρων στις 26/01/ Σχ. 5.28: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα σε 11 ηµεροµηνίες Σχ. 5.29: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα (29/01, 01/02, 06/02 & 09/02) Σχ. 5.30: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα (09/02, 14/02, 20/02, 23/02 & 28/02) Σχ. 5.31: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα (28/02, 02/03, 07/03 & 16/03) Σχ. 5.32: Οριζόντιες µετακινήσεις µε το χρόνο διαφοροποίηση µαρτύρων στις 29/01, 03/02, 09/02 & 14/ Σχ. 5.33: Οριζόντιες µετακινήσεις µε το χρόνο (µάρτυρες από περιοχή µικρών µετακινήσεων) Σχ. 5.34: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα ανάλυση 3β Σχ. 5.35: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα ανάλυση 3γ Σχ. 5.36: Κανονικοποιηµένο πειραµατικό διασπορόγραµµα ανάλυση 3δ Σχ. 5.37: Σχηµατική απεικόνιση των προσεγγίσεων στη χωρο-χρονική ανάλυση (α) STK εκτίµηση σε οποιοδήποτε σηµείο (x,t) (β) CK-S εκτίµηση µόνο στις διαθέσιµες χρονικές στιγµές (γ) S-ST-K εκτίµηση αρχικά σε κάθε διαθέσιµη ηµεροµηνία και µετά χρονική ανάλυση (δ) S-TS-K εκτίµηση σε κάθε διαθέσιµη θέση και µετά χωρική ανάλυση Σχ. 5.38: Αποτελέσµατα S-ST-K µε χωρικό γραµµικό προσοµοίωµα Σχ. 5.39: Αποτελέσµατα S-ST-K µε χωρικό Gaussian προσοµοίωµα Σχ. 5.40: Αποτελέσµατα S-TS-K Σχ. 5.41: Απόκλιση εκτίµησης µε τη µέθοδο co-kriging από τη µετρούµενη τιµή Σχ. 5.42: Κανονικοποιηµένο σφάλµα εκτίµησης µε τη µέθοδο co-kriging Σχ. 5.43: Κάνναβος ανάλυσης Σχ. 5.44: Μέσος όρος παραµέτρου θ1 γραµµικού διασπορογράµµατος µε πλήθος αναλύσεων Σχ. 5.45: Μέσος όρος κανονικοποιηµένης εκτίµησης µε πλήθος αναλύσεων Σχ. 5.46: Μέσος όρος κανονικοποιηµένης τυπικής απόκλισης εκτίµησης µε πλήθος αναλύσεων Σχ. 5.47: Γραµµικό και Gaussian διασπορογράµµατα που χρησιµοποιούνται στην MC1 ανάλυση Σχ. 5.48: Μεταβλητότητα γραµµικού διασπορογράµµατος Σχ. 5.49: Θηκόγραµµα συντελεστή µεταβλητότητας εκτίµησης στο πεδίο - ανάλυση MC Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

20 Περιεχόµενα vi Σχ. 5.50: Θηκόγραµµα συντελεστή µεταβλητότητας MSE στο πεδίο - ανάλυση MC Σχ. 5.51: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.52: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.53: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.54: Μεταβλητότητα MSE στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.55: Μεταβλητότητα MSE στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.56: Μεταβλητότητα MSE στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.57: Θηκόγραµµα συντελεστή µεταβλητότητας εκτίµησης στο πεδίο - ανάλυση MC Σχ. 5.58: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.59: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.60: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ Σχ. 5.61: Απόκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στην εκτίµηση των µετακινήσεων Σχ. 5.62: Απόκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στην τυπική απόκλιση της εκτίµησης των µετακινήσεων Σχ. 5.63: Απόκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στο σφάλµα MSE Σχ. 5.64: Απόκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στην τυπική απόκλιση του σφάλµατος MSE Σχ. 5.65: Απόκλιση µεταξύ των αναλύσεων MC1 & MC2 στην εκτίµηση της µετακίνησης Σχ. 5.66: Απόκλιση µεταξύ των αναλύσεων MC1 & MC2 στην εκτίµηση της σ(ž) Σχ. 5.67: Κανονικοποιηµένη απόκλιση ž Σχ. 5.68: Κανονικοποιηµένη απόκλιση σ(ž) Σχ. 5.69: ιασπορά εκτίµησης ž γραµµικό προσοµοίωµα Σχ. 5.70: ιασπορά εκτίµησης ž Gaussian προσοµοίωµα Σχ. 5.71: Σφάλµα εκτίµησης MSE γραµµικό προσοµοίωµα Σχ. 5.72: Σφάλµα εκτίµησης MSE Gaussian προσοµοίωµα Σχ. 5.73: Βέλτιστες θέσεις τοποθέτησης οργάνων µέτρησης Σχ. 5.74: Συνολικό σφάλµα Ε πριν την τοποθέτηση των νέων οργάνων ανάλυση 4β, Gaussian προσοµοίωµα Σχ. 5.75: Συνολικό σφάλµα Ε µετά την τοποθέτηση των νέων οργάνων ανάλυση 4β, Gaussian προσοµοίωµα Σχ. 6.1: Κάτοψη σταθµού Αγία Παρασκευή Σχ. 6.2: Κατακόρυφες µετακινήσεις εδάφους στο χρονικό διάστηµα 13/02/09-09/05/ Σχ. 6.3: Κάνναβος ανάλυσης Σχ. 6.4: Υποψήφια διασπορογράµµατα Σχ. 6.5: Εκτίµηση καθιζήσεων (mm) στις 09/ Σχ. 6.6: Σφάλµα εκτίµησης MSE (mm 2 ) στις 09/ Σχ. 6.7: Εκτίµηση ρυθµού καθιζήσεων (mm/d) στο χρονικό διάστηµα 05/05-09/ Σχ. 6.8: Βέλτιστη επιλογή θέσεων προς απόρριψη για Ν= Σχ. 6.9: Βέλτιστη επιλογή θέσεων προς απόρριψη για Ν= Σχ. 6.10: Βέλτιστη επιλογή θέσεων προς απόρριψη για Ν= Σχ. 6.11: Αύξηση του σφάλµατος εκτίµησης κατά την απόρριψη σηµείων µέτρησης Σχ. 6.12: Ποσοστιαία µεταβολή εκτιµώµενων καθιζήσεων κατά µήκος της γραµµής α-α Σχ. 6.13: Κάτοψη κατολίσθησης (από Wang et al., 2007) Σχ. 6.14: Χρονική εξέλιξη των επιφανειακών µετακινήσεων (από Wang et al., 2007) Σχ. 6.15: Κάνναβος ανάλυσης Σχ. 6.16: Αποτελέσµατα ανάλυσης 1 εκτίµηση µετακινήσεων Σχ. 6.17: Αποτελέσµατα ανάλυσης 1 σφάλµα εκτίµησης MSE Σχ. 6.18: Μεταβολή MSE ανάµεσα στις αναλύσεις 1 και Σχ. 6.19: Αποτελέσµατα ανάλυσης 4 σφάλµα E s Σχ. 6.20: Αποτελέσµατα ανάλυσης 4 σφάλµα E MC Σχ. 6.21: Αποτελέσµατα ανάλυσης 5 σφάλµα Ε MC Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

21 Περιεχόµενα vii Κατάλογος ινάκων Πίν. 1.1: Χαρακτηριστικά πιεζοµέτρων Πίν. 1.2: Χαρακτηριστικά µεθόδων µέτρησης µετακινήσεων Πίν. 3.1: υνατότητες λογισµικών γεωστατιστικής Πίν. 5.1: Mετακινήσεις µαρτύρων το χρονικό διάστηµα 18/01/07~16/03/ Πίν. 5.2: Παράµετροι διασπορογράµµατος για την ανάλυση 1α Πίν. 5.3: Παράµετροι διασπορογράµµατος για την ανάλυση 1β Πίν. 5.4: Εκτίµηση και σφάλµα εκτίµησης στη θέση x στις 16/03/ Πίν. 5.5: Παράµετροι προσοµοιωµάτων Πίν. 5.6: Παράµετροι γραµµικού προσοµοιώµατος διασπορογράµµατος Πίν. 5.7: Παράµετροι Gaussian προσοµοιώµατος Πίν. 5.8: Υποψήφια διασπορογράµµατα Πίν. 5.9: Αποτελέσµατα διαγνωστικών ελέγχων Πίν. 5.10: Αποκλίσεις µεταξύ των αναλύσεων Πίν. 5.11: Παράµετροι προσοµοιώµατος Πίν. 5.12: ιαγνωστικοί έλεγχοι Πίν. 5.13: Εκτίµηση και σφάλµα εκτίµησης µετακίνησης στη θέση x στις 16/03/ Πίν. 5.14: Υποθέσεις αναλύσεων Πίν. 5.15: Αποτελέσµατα αναλύσεων S-ST-K & S-TS-K Πίν. 5.16: ιασπορά µαρτύρων Πίν. 5.17: ιασπορά κλισιοµέτρων Πίν. 5.18: Παράµετροι προσοµοιωµάτων Πίν. 5.19: Μεταβλητότητα διασπορογράµµατος από Monte Carlo Πίν. 5.20: Μεταβλητότητα διασπορογράµµατος από την ανάλυση MC Πίν. 5.21: Μεταβλητότητα διασπορογράµµατος από µέθοδο Rosenblueth Πίν. 5.22: Εκτίµηση και σφάλµα εκτίµησης µετακίνησης και διασπορές τους στη θέση x στις 16/03/ Πίν. 6.1: Εκτίµηση διασπορογράµµατος µε τη µέθοδο LS Πίν. 6.2: Εκτίµηση διασπορογράµµατος µε τη µέθοδο RML Πίν. 6.3: Βέλτιστη επιλογή θέσεων προς απόρριψη ανάλογα µε τη συνάρτηση κόστους Πίν. 6.4: Βέλτιστη επιλογή θέσεων προς απόρριψη ανάλογα µε το πλήθος των απορριπτόµενων σηµείων Πίν. 6.5: Εκτίµηση διασπορογράµµατος µε τη µέθοδο RML Πίν. 6.6: Θεωρήσεις αναλύσεων Πίν. 6.7: Συντελεστές µεταβλητότητας παραµέτρων διασπορογράµµατος Πίν. 6.8: Βελτίωση ακρίβειας (%) Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

22 Περιεχόµενα viii Α όδοση ειδικών όρων bias: collocated co-kriging: covariance: cross-covariance: cross-variogram: cross-validation: ergodicity: exact interpolator: generalized covariance: generalized least squares: generalized variogram: intrinsic hypothesis: intrinsic random function of order k: intrinsic variable: nugget effect: ordinary kriging: ordinary least squares: range: raw variogram: residuals: restricted maximum likelihood: risk ranking: separability hypothesis: sill: simple kriging: simulated annealing algorithm: strict stationary variable: strict-sense spatial homogeneous variable: trend: undersampled: universal kriging: validation test: variogram: wide-sense homogeneous variable: στρέβλωση ταυτότοπο co-kriging συνδιακύµανση ετερο-συνδιακύµανση ετερο-διασπορόγραµµα διασταύρωση τιµών εργασιµότητα ακριβής εκτιµητής γενικευµένη συνδιακύµανση γενικευµένη µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων γενικευµένο διασπορόγραµµα εσωτερική υπόθεση εγγενής τυχαία συνάρτηση τάξης k εγγενής µεταβλητή φαινόµενο κόκκου σύνηθες kriging συνήθης µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων εύρος ακατέργαστο διασπορόγραµµα υπόλοιπο µέθοδος περιορισµένης µεγίστης πιθανοφάνειας κατάταξη κινδύνου υπόθεση του διαχωρισµού οριακή τιµή απλό kriging αλγόριθµος προσοµοίωσης ανόπτησης αυστηρώς στάσιµη µεταβλητή αυστηρώς οµοιογενής µεταβλητή τάση µεταβολής υπο-δειγµατοληπτικός γενικευµένο kriging έλεγχοι επιβεβαίωσης διασπορόγραµµα ή διάγραµµα διασποράς ευρείας έννοιας οµοιογενής µεταβλητή Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή

23 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Et ubicumque una inventa vena est, non procul invenitur alia Πλίνιος ο Πρεσβύτερος Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά 1.1 Αντικείµενο µελέτης της διατριβής Η ενόργανη παρακολούθηση γεωτεχνικών έργων, κατά το διάστηµα κατασκευής και λειτουργίας τους, αποτελεί ενδιαφέρουσα προσέγγιση στη γεωτεχνική µηχανική για τη βαθύτερη κατανόηση της συµπεριφοράς τους, ιδιαίτερα τα τελευταία χρόνια που η ενοργάνωση συνδυάζεται µε τη συνεχή εξέλιξη της τεχνολογίας. Ωστόσο, πολύ συχνά, ο περιορισµένος αριθµός των χρησιµοποιούµενων οργάνων µέτρησης, η καταστροφή κάποιων εξ αυτών και τα σφάλµατα των µετρήσεών τους εισάγουν αβεβαιότητες στον τρόπο ανάπτυξης της υπό διερεύνηση παραµέτρου στο πεδίο, περιορίζοντας την αντίληψη σχετικά µε την απόκριση του έργου. Για την εκτίµηση της παραµέτρου σε όλο το πεδίο µπορούν να υιοθετηθούν οι αρχές της γεωστατιστικής. Πράγµατι, η γεωστατιστική ανάλυση, η οποία αφορά την εκτίµηση µιας χωρικής µεταβλητής στο πεδίο και το σφάλµα αυτής στηριζόµενη στις διαθέσιµες Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [1]

24 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά µετρήσεις, προσφέρει τη δυνατότητα ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας. Αξίζει να σηµειωθεί ότι, αν κι η γεωστατιστική ανάλυση αφορά κάθε µετρούµενη παράµετρο, η εργασία πραγµατεύεται κατά κύριο λόγο την εκτίµηση των µετακινήσεων του εδάφους, που αποτελεί µια από τις πιο ουσιαστικής σηµασίας, και ως εκ τούτου πιο συχνά παρακολουθούµενες, παραµέτρους στα γεωτεχνικά έργα. Αδιαµφισβήτητα, η γνώση που προσφέρει η γεωστατιστική, σχετικά µε την ανάπτυξη των µετακινήσεων στο πεδίο και των σφαλµάτων που διέπουν την εκτίµηση, είναι απαραίτητη, ώστε ο Μηχανικός να µπορεί να λάβει τις κατάλληλες αποφάσεις σχετικά µε την πορεία του έργου και τον επανασχεδιασµό του συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης. Προέκυψε, λοιπόν, η ανάγκη µιας εµπεριστατωµένης διερεύνησης της εφαρµοσιµότητας της γεωστατιστικής ανάλυσης στα γεωτεχνικά ζητήµατα τόσο για την εκτίµηση των µετακινήσεων στο πεδίο όσο και για τη βελτιστοποίηση της διάταξης συστηµάτων παρακολούθησης µετακινήσεων. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [2]

25 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά 1.2 Στόχοι της διατριβής Αν κι η χρησιµότητα της γεωστατιστικής ανάλυσης στα γεωτεχνικά προβλήµατα φανερώνεται µε τη συνεχή αύξηση των σχετικών αναφορών στη διεθνή βιβλιογραφία, ο κλάδος αυτός της στατιστικής κάθε άλλο παρά ευρεία εφαρµογή έχει στη γεωτεχνική µηχανική. Οι λόγοι είναι κυρίως δύο: το απαιτούµενο µαθηµατικό υπόβαθρο αποθαρρύνει την προσέγγιση της γεωστατιστικής από επιστήµονες άλλων κλάδων και ταυτόχρονα, τα διαθέσιµα λογισµικά προγράµµατα αδυνατούν να καλύψουν τις ιδιαιτερότητες που συνεπάγεται η υιοθέτηση της γεωστατιστικής από την γεωτεχνική µηχανική. Πιο συγκεκριµένα, οι ιδιαιτερότητες αυτές είναι: α) Τα γεωτεχνικά έργα αναπτύσσονται εντός ποικίλων γεωλογικών σχηµατισµών, µε παρουσίες ρηγµάτων κι ασυνεχειών. Τα ίδια τα γεωτεχνικά έργα µπορεί, επίσης, να λειτουργούν ως εµπόδια στην οµαλή ανάπτυξη του νερού των πόρων και των µετακινήσεων. Ερωτήµατα, λοιπόν, προκύπτουν σχετικά µε τη χρήση του πεδίου ως ενιαίου ή µε την απαίτηση διαχωρισµού του. β) Οι ενόργανες παρακολουθήσεις στα γεωτεχνικά ζητήµατα συνήθως είναι φειδωλές, περιλαµβάνοντας περιορισµένο αριθµό µετρήσεων, κι άρα θέτοντας υπό αµφισβήτηση την εγγυρότητα της γεωστατιστικής ανάλυσης. γ) Σε αντίθεση µε άλλες επιστήµες, η γεωτεχνική µηχανική αφορά παραµέτρους που µεταβάλλονται µε το χρόνο, απαιτώντας την προέκταση της γεωστατιστικής και στην 4 η διάσταση. δ) Η δυνατότητα χρησιµοποίησης διαφορετικών οργάνων µέτρησης για την καταγραφή της ίδιας παραµέτρου προσδίδει διαφορετικά επίπεδα αξιοπιστίας σε κάθε όργανο. Η γεωστατιστική οφείλει να συµπεριλάβει την επιρροή των διαφορετικών σφαλµάτων µέτρησης στις αναλύσεις της. Στόχος της παρούσας διατριβής, λοιπόν, είναι η ανάδειξη των ιδιαίτερων απαιτήσεων της γεωστατιστικής ανάλυσης των µετρήσεων από την παρακολούθηση γεωτεχνικών έργων, η ανάπτυξη µεθοδολογιών ώστε η ανάλυση να καλύπτει τις νέες απαιτήσεις κι η δηµιουργία ενός λογισµικού προσανατολισµένου στις ιδιαιτερότητες αυτές, ώστε να καθιστά πιο προσιτή την εφαρµογή της γεωστατιστικής στα γεωτεχνικά προβλήµατα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [3]

26 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά 1.3 Οργάνωση των εριεχοµένων της διατριβής Η διάρθρωση που ακολουθήθηκε στα επτά κεφάλαια της διατριβής έχει ως ακολούθως: Το παρόν κεφάλαιο περιέχει, εκτός από το αντικείµενο και τους στόχους της διατριβής, µια ιστορική αναδροµή σχετικά µε την ανάπτυξη της γεωστατιστικής, µια αναφορά στις κυριότερες εφαρµογές της γεωστατιστικής στο πλαίσιο της Γεωτεχνικής Μηχανικής και µια συνοπτική παρουσίαση των συστηµάτων ενόργανης παρακολούθησης στα γεωτεχνικά ζητήµατα. Το Κεφάλαιο 2 συγκεντρώνει όλη την απαραίτητη θεωρία για την κατανόηση των περαιτέρω αναλύσεων. Περιλαµβάνει τόσο τις βασικές αρχές της γεωστατιστικής, όσο και τις τελευταίες εξελίξεις σχετικά µε πιο σύνθετα ζητήµατα, όπως η χωρο-χρονική ανάλυση, η εισαγωγή του σφάλµατος µέτρησης στην ανάλυση και οι µεθοδολογίες σχετικά µε τη βελτιστοποίηση της διάταξης συστηµάτων ενόργανης παρακολούθησης. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του γεωστατιστικού λογισµικού GEO s που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής, σε σύγκριση µε τα υπόλοιπα διαθέσιµα λογισµικά πακέτα. Παράρτηµα του Κεφαλαίου 3 (Παράρτηµα 3.Α) αποτελεί το εγχειρίδιο χρήσης του λογισµικού GEO s. Το Κεφάλαιο 4 περιέχει µια περιγραφή της σήραγγας Σ2, των κατολισθητικών φαινοµένων που ανέκυψαν κατά την κατασκευή της και της ενόργανης παρακολούθησης που υιοθετήθηκε στην προσπάθεια κατανόησης της συµπεριφοράς του έργου στο σύνολό του. Το γεωτεχνικό αυτό πρόβληµα αποτελεί την εφαρµογή πάνω στην οποία στηρίζονται οι αναλύσεις που ακολουθούν. Το Κεφάλαιο 5 χωρίζεται σε τέσσερα υπο-κεφάλαια, κάθε ένα από τα οποία µελετάται µια από τις τέσσερις ιδιαιτερότητες που αποσκοπεί να αντιµετωπίσει η παρούσα διατριβή. Το κάθε υπο-κεφάλαιο περιλαµβάνει την περιγραφή του προβλήµατος, το θεωρητικό υπόβαθρο που αναπτύσσεται για την αντιµετώπισή του και τέλος, την εφαρµογή της αναπτυσσόµενης µεθοδολογίας στην κατολίσθηση Σ2. Πιο συγκεκριµένα, στο Υπο-Κεφάλαιο 5.1 διερευνάται η απαίτηση διαχωρισµού του πεδίου λόγω ασυνεχειών, στο Υπο-Κεφάλαιο 5.2 διαµορφώνεται η µεθοδολογία σχετικά µε τη δοµική ανάλυση µε µικρό αριθµό διαθέσιµων µετρήσεων, στο Υπο-Κεφάλαιο 5.3 ερευνάται η χρονική εξέλιξη του κατολισθητικού Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [4]

27 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά φαινοµένου και στο Υπο-Κεφάλαιο 5.4 αναπτύσσεται η µεθοδολογία σχετικά µε την εισαγωγή διαφορετικών τυχαίων σφαλµάτων µέτρησης στη γεωστατιστική ανάλυση. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται άλλα δύο γεωτεχνικά ζητήµατα, µια γιγάντια κατολίσθηση στην Ιαπωνία, η Jinnosuke-dani, και µια βαθιά εκσκαφή για την κατασκευή του σταθµού Αγία Παρασκευή του Μετρό Αθήνας, οι διατάξεις των ενόργανων παρακολουθήσεων των οποίων βελτιστοποιούνται σύµφωνα µε τις µεθοδολογίες που προέκυψαν στο προηγούµενο κεφάλαιο, αναδεικνύοντας την ευρύτητα των εφαρµογών των αναπτυσσόµενων µεθοδολογιών. Στο Κεφάλαιο 7 διατυπώνονται τα βασικά συµπεράσµατα που προέκυψαν στα διάφορα στάδια µελέτης και παρέχονται προτάσεις για περαιτέρω έρευνα. Τέλος, το Παράρτηµα Α περιλαµβάνει αναλυτικά τις τοπογραφικές και κλισιοµετρικές µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν στην κατολίσθηση Σ2 και αναφέρονται στην παρούσα εργασία. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [5]

28 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά 1.4 Η ανά τυξη της γεωστατιστικής Βασιζόµενοι στις πληροφορίες του Cressie (1990), στις αναφορές της Clark (1979) και στις εργασίες των επιστηµόνων εκείνων που έθεσαν τα θεµέλια της µεθόδου και παραθέτονται παρακάτω, ακολουθεί µια ιστορική αναδροµή µε σκοπό την καλύτερη κατανόηση της γεωστατιστικής και των αξιών της. Σύµφωνα µε το Ρωµαίο Πλίνιο τον Πρεσβύτερο στο έργο του Naturalis Historia (77 µ.χ.) όπου βρεθεί µια φλέβα [αργύρου], είναι βέβαιο πως µια άλλη θα βρεθεί όχι µακριά από εκεί. Παρόµοια αντίληψη είχαν από πιο νωρίς κι οι αρχαίοι Έλληνες, θεωρώντας ότι κοντά σε µια µεταλλοφόρο φλέβα θα βρισκόταν και µια άλλη, εξ ου κι η προέλευση της λέξης µέταλλο (µετ άλλης). Περίπου 19 αιώνες αργότερα, η Ορυκτολογία έχει παρουσιάσει µικρές προόδους. Για την εκτίµηση του µέσου όρου της περιεκτικότητας του ορυκτού σε ένα συγκεκριµένο όγκο εδάφους, κι άρα την επιλογή των σηµείων εξόρυξης, γίνεται χρήση του µέσου όρου των παρακείµενων δειγµατοληψιών, δηλαδή η µεθοδολογία τους στηρίζεται στη στοιχειώδη στατιστική. Η στασιµότητα αυτή αρχίζει να κάµπτεται το Η εξόρυξη χρυσού και διαµαντιών στη Νότια Αφρική αποτελεί µια ιδιαίτερα επικερδή επιχείρηση συνδυάζοντας τα πλούσια κοιτάσµατα της χώρας µε τα φτηνά εργατικά χέρια που προσφέρει απλόχερα το απαρχάιντ. Ο επιτυχής εντοπισµός των κοιτασµάτων, δηλαδή των ορυκτών που βρίσκονται σε ικανή περιεκτικότητα στο έδαφος ώστε να καθιστούν επικερδή την εξόρυξή τους, αποτελεί σηµαντική παράµετρο για την αύξηση του κέρδους, µε άµεση συνέπεια την εξέλιξη της επιστήµης της Ορυκτολογίας. Στις αρχές του 1950, ο D. G. Krige, από το Πανεπιστήµιο του Witwatersrand στη Νότια Αφρική, παρουσιάζει ορισµένες πρωτοποριακές προτάσεις. Αρχικά, προτείνει τη χρήση των λογαριθµικών τιµών των µετρήσεων τα ιστογράµµατα των µετρήσεων σε περιεκτικότητες χρυσού παρουσίαζαν µακριά ουρά στις µεγάλες τιµές, καθιστώντας την υιοθέτηση της κανονικής κατανοµής λανθασµένη τακτική. Έτσι, χρησιµοποιείται η λογαριθµική κανονική κατανοµή, βελτιώνοντας αισθητά τις εκτιµήσεις. Η σηµαντική συνεισφορά, όµως, του Krige αφορά την έννοια της στήριξης. Μέχρι τότε, η απόφαση για την εξόρυξη ή µη ενός συγκεκριµένου όγκου εδάφους V καθοριζόταν, όπως προαναφέρθηκε, από τη µέση τιµή και τη διασπορά των σηµειακών µετρήσεων. Αυτό οδηγούσε στη λήψη λανθασµένων αποφάσεων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [6]

29 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά γιατί η διασπορά των σηµειακών µετρήσεων διαφέρει από τη διασπορά σε συγκεκριµένο όγκο εδάφους. Όντως, η διασπορά των τιµών µε στήριξη V είναι σαφώς µικρότερη από τη σηµειακή. Και µάλιστα ο Krige απέδειξε ότι υπάρχει σχέση µεταξύ των δυο µεγεθών. Ωστόσο, παρά τις ουσιαστικές παρατηρήσεις του Krige σχετικά µε τον εντοπισµό της µέσης τιµής και της διασποράς της περιεκτικότητας του εδάφους µε στήριξη V, καµία αναφορά δε γίνεται στη χωρική εξάρτηση µεταξύ των τιµών, εκτός από την αυθαίρετη χρήση µόνο των µετρήσεων κοντά στη θέση που επιδιώκεται η εκτίµηση. Μέσα στην επόµενη δεκαετία ο Krige αρχίζει να χρησιµοποιεί περισσότερα σηµεία µέτρησης για τις εκτιµήσεις του, πλησιάζοντας περισσότερο το πνεύµα της γεωστατιστικής όπως το γνωρίζουµε σήµερα. Αναλυτικότερα, χωρίζει τις µετρήσεις σε γειτονίες ανάλογα µε την απόσταση από την εκτιµώµενη θέση και προσδιορίζει µε τη συνήθη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων τους µέσους όρους της κάθε γειτονιάς. Η µέση τιµή της εκτιµώµενης περιεκτικότητας προκύπτει ως πολυώνυµο των µέσων όρων. Σύµφωνα µε τον Cressie (1990), η γεωστατιστική θεωρείται ολοκληρωµένη όταν περιλαµβάνει τα τρία ακόλουθα στοιχεία: η µέση τιµή της εκτιµώµενης παραµέτρου προκύπτει από τη γενικευµένη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και δε θεωρείται απλά γνωστή. η βαρύτητα της κάθε µέτρησης προκύπτει από τη συνδιακύµανση κι όχι από αυθαίρετες τιµές. η εκτίµηση της συνδιακύµανσης βασίζεται στις µετρήσεις και τη χωρική τους θέση. Η απαρχή της γεωστατιστικής, σύµφωνα µε τους όρους που θέτει ο Cressie, προήλθε από τον G. Matheron το 1963 στη Γαλλία. Μέσα σε µια δίτοµη πραγµατεία 504 σελίδων στα Γαλλικά, ο Matheron συµπεριέλαβε όλες τις έννοιες της γεωστατιστικής, όπως τη γνωρίζουµε σήµερα. Η χρήση του όρου kriging έναντι του βέλτιστη γραµµική αµερόληπτη εκτίµηση προήλθε από τον Matheron τιµώντας τον Krige για την προσφορά του στο θέµα της στήριξης, παρόλο που οι εξισώσεις kriging απέχουν παρασάγγας από τη µεθοδολογία που ακολουθούσε ο Krige. Ταυτόχρονα µε τον Matheron, ο Gandin στη Σοβιετική Ένωση αναπτύσσει παρόµοια εργασία προσπαθώντας να δώσει απαντήσεις στα ερωτήµατα που έθετε η δική του επιστήµη, η Μετεωρολογία. Το βιβλίο του, 238 σελίδων, κυκλοφορεί, επίσης, το 1963 και διακρίνεται, σύµφωνα µε τον Cressie, για την ελκυστική µίξη θεωρίας και εφαρµογών. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [7]

30 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Παρόλο που η γεωστατιστική αναπτύχθηκε στους κόλπους της Ορυκτολογίας, επιστήµονες από διάφορους τοµείς προσέγγισαν το σκεπτικό της γεωστατιστικής πριν από τον Matheron, χωρίς όµως να καταφέρουν να συνδυάσουν και τα τρία στοιχεία που προαναφέρθηκαν. Ακολούθως, παρουσιάζονται κάποιοι από αυτούς, αναδεικνύοντας την πορεία ανάπτυξης των αρχών της γεωστατιστικής. Ήδη, αναφέρθηκε ο Gandin που ανέπτυξε την ίδια θεωρία προσπαθώντας να επιτύχει παρεµβολές σχετικά µε τα ρεύµατα, το πάχος του χιονιού κ.α. Ο Yaglom (1962) από την επιστήµη της Στατιστικής αναπτύσσει βέλτιστες γραµµικές εκτιµήσεις, που αφορούν όµως χρονικά εξαρτηµένες µεταβλητές. Ο Matern το 1960, από το πεδίο της ασολογίας, εκτιµά γραµµικά και αµερόληπτα την τιµή παραµέτρου, που της έχει προσδώσει χωρικές ιδιότητες, χωρίς, ωστόσο, να λαµβάνει βαρύτητες των µετρήσεων σε σχέση µε την απόσταση από τη θέση εκτίµησης. Ο Kolmogorov (1941) προσπαθεί να δώσει απαντήσεις στον τοµέα της Φυσικής και ιδιαίτερα στο πρόβληµα της τυρβώδους ροής. Αναπτύσσει την έννοια της συνδιακύµανσης τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο, αλλά θεωρεί δεδοµένη τη µέση τιµή της παραµέτρου. Την εποχή του ευτέρου Παγκοσµίου Πολέµου, ο Wiener καλείται να προβλέψει τις κινήσεις εχθρικών αεροσκαφών βασισµένος σε µετρήσεις ραντάρ. Προσεγγίζει, λοιπόν, από τη δική του οπτική γωνία τις εξισώσεις του Kolmogorov, παραµένοντας, όµως, σε χρονικό περιβάλλον. Ακόµα και στον τοµέα της Ανάπτυξης της Πανίδας και Χλωρίδας υπάρχουν πρώιµα στοιχεία του kriging. Ο Fairfield Smith (1936), ασχολούµενος µε την ανάπτυξη της χλωρίδας, ανέπτυξε βέλτιστες γραµµικές εκτιµήσεις πολλαπλών παραµέτρων για τον προσδιορισµό της ποιότητας σιταριού. Τέλος, στην επιστήµη της Γεωδαισίας, όπου η κατασκευή ισοϋψών καθιστά την παρεµβολή απαραίτητη, ο Moritz το 1963, θεωρώντας γνωστή τη µέση τιµή και σταθερές διακυµάνσεις, ανέπτυξε τις εξισώσεις του απλού kriging. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [8]

31 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά 1.5 Η γεωστατιστική στην υ ηρεσία της γεωτεχνικής µηχανικής Από την παραπάνω ιστορική αναδροµή γίνεται αντιληπτό, εκτός των άλλων, ότι η γεωστατιστική αποτελεί ένα εργαλείο χρήσιµο για πλήθος επιστηµών, όπως διαφαίνεται και από τη διαφορετικότητα των επιστηµονικών κλάδων που προσέγγισαν τη µέθοδο πριν την οριστική διαµόρφωσή της από τον Matheron. Γενικά, η γεωστατιστική βρίσκει εφαρµογή σε κάθε επιστήµη που περιλαµβάνει χωρικές µετρήσεις µιας παραµέτρου κι αναζητείται η εκτίµηση αυτής της παραµέτρου σε ένα άλλο σηµείο µε το βέλτιστο τρόπο. Ανάµεσα στις επιστήµες αυτές δε θα µπορούσε παρά να περιλαµβάνεται και η Γεωτεχνική Μηχανική. Η σηµασία της γεωστατιστικής στη Γεωτεχνική Μηχανική φαίνεται και από το ακόλουθο ιστόγραµµα που παρουσιάζει το πλήθος των αναφορών που χρησιµοποιούν τις αρχές της γεωστατιστικής σε γεωτεχνικά προβλήµατα από το 1970 µέχρι το Οι αναφορές από το 1970 ως το 2001 αντλήθηκαν από αντίστοιχο διάγραµµα της ιστοσελίδας της RocScience (Hammah & Curran, 2003). Όπως γίνεται φανερό από το Σχ. 1.1, εκτός από µια βιβλιογραφική έξαρση το 1996 (22 αναφορές), η χρήση της γεωστατιστικής στη γεωτεχνική µηχανική παρουσιάζει µια συνεχή αύξηση έως τις µέρες µας, αποδεικνύοντας τη χρηστικότητά της στις γεωτεχνικές απαιτήσεις. Στη συνέχεια, ακολουθεί µια ενδεικτική αναφορά στις κυριότερες εφαρµογές της γεωστατιστικής στο πλαίσιο της Γεωτεχνικής Μηχανικής Πλήθος αναφορών Σχ. 1.1: Ιστόγραµµα γεωτεχνικών-γεωστατιστικών άρθρων α ό 1970 έως 2008 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [9]

32 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Αρχικά, αξίζει να αναφερθεί ο J. P. Delhomme που χρησιµοποίησε τις εξισώσεις kriging το 1978 για να προσδιορίσει τον πιεζοµετρικό χάρτη µιας περιοχής βασισµένος σε µετρήσεις από 40 πηγάδια παρατήρησης. Στην εφαρµογή αυτή γίνεται και µια προσπάθεια προσδιορισµού της βέλτιστης θέσης νέων σηµείων µετρήσεων. Η Υδρολογία αρχίζει να αποτελεί µια από τις πιο συνηθισµένες εφαρµογές γεωστατιστικής, µε σηµαντική συνεισφορά στα γεωτεχνικά προβλήµατα. Είναι σηµαντικό, επίσης, να αναφερθούν οι µεταγενέστερες εφαρµογές, όπως του Krajewski, που συνδυάζει το 1987 µετρήσεις από βροχόµετρα και από ραντάρ µέσω του co-kriging για να επιτύχει πιο ακριβή εκτίµηση της βροχόπτωσης σε µια περιοχή και των Rouhani & Hall (1989), που προσθέτουν την τέταρτη διάσταση αυτήν του χρόνου - στην εκτίµηση του ύψους του υδροφόρου ορίζοντα. Ο χρόνος αρχίζει να συµµετέχει µαζί µε το χώρο στη διαµόρφωση των εξισώσεων του kriging στα γεωτεχνικά ζητήµατα. Άλλα ζητήµατα γεωτεχνικής φύσης που απασχόλησαν τους γεωστατιστικούς είναι οι µεταβολές στα επίπεδα µόλυνσης του εδάφους, ένα χρονο-χωρικό πρόβληµα που αντιµετωπίζουν οι Papritz & Flühler το Η Ορυκτολογία ασχολείται αποκλειστικά µε βαθµωτά µεγέθη, ενώ η Γεωτεχνική Μηχανική περιλαµβάνει συχνά και διανυσµατικά. O Young (1987) προτείνει τη γεωστατιστική ως µέσο για το σχεδιασµό ισο-πιθανοτικών καµπυλών στην επιφάνεια του εδάφους σχετικά µε τον προσανατολισµό των ασυνεχειών στη βραχόµαζα ενός ορύγµατος. Ο προσανατολισµός των ασυνεχειών αντιµετωπίζεται ως µοναδιαίο διάνυσµα κι όχι ως βαθµωτό µέγεθος. Επίσης, το 2002 οι van den Boogaart & Drobniewski συνδύασαν τις µετρήσεις από 9 γεωδαιτικούς σταθµούς κοντά σε ένα εργοστάσιο ηλεκτρισµού µε 82 µετρήσεις παραµορφώσεων στο σώµα ενός αγωγού που διέρχεται από τη περιφέρεια του κτίσµατος για να εκτιµήσουν, µέσω της γεωστατιστικής, το καθεστώς παραµορφώσεων στο έδαφος και να εντοπίσουν περιοχές µε υψηλές τιµές. Οι παραµορφώσεις, στην αναφορά αυτή, αντιµετωπίζονται ως διάνυσµα µε συγκεκριµένη κατεύθυνση και µήκος, σε αντίθεση µε τον Young που τα διανύσµατά του είναι µοναδιαία. Οι δυο αυτές αναφορές είναι από τις λίγες που χρησιµοποιούν τη µετρούµενη παράµετρο ως διάνυσµα κι όχι ως βαθµωτό µέγεθος. Η γεωστατιστική µπορεί να προσφέρει και µια ουσιαστική µατιά στο υπέδαφος. Τέτοια παραδείγµατα αφορούν τη στρωµατογραφία και τις ιδιότητες του εδάφους. Οι Chiasson et al. (1995) προσεγγίζουν γεωστατιστικά τη µεταβλητότητα των αποτελεσµάτων επιτόπου δοκιµών που διενεργήθηκαν σε ευαίσθητη άργιλο στο Μόντρεαλ, ενώ οι Raspa et al. (2008) Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [10]

33 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά εξέτασαν διάφορες τεχνικές kriging για να προσδιορίσουν χωρικά τη γωνία τριβής αλλουβιακών αποθεµάτων στη Ρώµη, στηριζόµενοι σε 283 γεωτρήσεις. Οι Naudet et al. (2008) µελετούν τη στρωµατογραφία µιας κατολίσθησης στηριζόµενοι σε γεωστατιστικές αναλύσεις δεδοµένων που προέρχονται από δοκιµές Self-Potential, δοκιµές Ηλεκτρικής Αγωγιµότητας και γεωτρήσεις. Η γεωστατιστική χρησιµοποιήθηκε, επίσης, στην ανάλυση σηράγγων. Ένα από τα πιο σηµαντικά γεωτεχνικά έργα των τελευταίων χρόνων είναι η σήραγγα της Μάγχης (1993). Οι Blanchin & Chilès καλούνται να εκτιµήσουν τη δυσµενή πιθανότητα η χάραξη της σήραγγας να διέλθει από το ευαίσθητο στρώµα της αργίλου Gault που θα δηµιουργήσει πλήθος τεχνικών προβληµάτων στηριζόµενοι σε µια ευρεία γεωφυσική έρευνα και σε 85 γεωτρήσεις. Η δυνατότητα επικύρωσης των εκτιµήσεων κατά τη διάνοιξη της σήραγγας πρόσφερε κύρος στη γεωστατιστική στο χώρο της Γεωτεχνικής Μηχανικής. Επίσης, η κατασκευή της Eyüp σήραγγας στην Τουρκία έδωσε στους Öztürk & Nasuf (2002) την ευκαιρία να συγκρίνουν τις µηχανικές ιδιότητες της βραχόµαζας µε το ρυθµό εκσκαφής. Τα δεδοµένα αποτελούνταν από 34 γεωτρήσεις κατά µήκος της σήραγγας, όπου είχαν µετρηθεί η µονοαξονική αντοχή, ο δείκτης RQD και το SHH (Schmidt hammer). Μέσω των εξισώσεων kriging επετράπη στους ερευνητές να εκτιµήσουν από τις 34 σηµειακές µετρήσεις, τις τιµές αυτών των παραµέτρων σε όλο το µήκος της σήραγγας, παρουσιάζοντας µια πιο εποπτική εικόνα της σύγκρισης. Οι Yamamoto et al. (2003), στηριζόµενοι τόσο σε γεωτρήσεις όσο και σε πληροφορίες κατά τη διάρκεια εκσκαφής της σήραγγας, κατάφεραν να εκτιµήσουν τις γεωλογικές συνθήκες στο µέτωπο του TBM και να βελτιώσουν, έτσι, σηµαντικά το χρόνο εκσκαφής. Επίσης, οι Gonnouni et al. (2005) χρησιµοποίησαν µια από τις πιο συνήθεις εφαρµογές της γεωστατιστικής, τη στρωµατογραφία, για να εκτιµήσουν πιθανοτικά το καθεστώς των επιφανειακών καθιζήσεων κατά τη διάνοιξη µιας σήραγγας. Εκτός από την εκτίµηση µιας παραµέτρου, η γεωστατιστική επιτρέπει και τον προσδιορισµό του σφάλµατος εκτίµησης. Με βάση το σφάλµα αυτό στην εκτίµηση της θέσης των διαφόρων εδαφικών στρωµάτων, οι συγγραφείς διερεύνησαν την πιθανότητα ανάπτυξης των καθιζήσεων. Οι Stavropoulou, Exadaktylos & Saratsis (2007) εκτίµησαν σε τρισδιάστατο επίπεδο την ποιότητα της βραχόµαζας γύρω από µια σήραγγα από δεδοµένα γεωτρήσεων µε τη γεωστατιστική και µε τη βοήθεια των πεπερασµένων στοιχείων προσδιόρισαν τη συµπεριφορά της σήραγγας ορίζοντας σηµειακά τις µηχανικές ιδιότητες της βραχόµαζας. Στο χώρο των κατολισθήσεων, η πρώτη αναφορά απαντάται το 1988, από τους Fredlund & Barbour. Ογδόντα-έξι µετρήσεις από πιεζόµετρα σε ένα πρανές χρησιµοποιούνται για να Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [11]

34 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά εκτιµηθεί το καθεστώς πίεσης πόρων και να προσδιοριστεί µε µεγαλύτερη ακρίβεια ο συντελεστής ασφαλείας σε ολίσθηση. Οι ερευνητές προτείνουν, επίσης, τη γεωστατιστική ως µέθοδο για να εκτιµηθεί το ανάγλυφο του πρανούς από τοπογραφικές σηµειακές µετρήσεις. Ο 21 ος αιώνας αρχίζει µε πλήθος αναφορών σχετικά µε την εφαρµογή της γεωστατιστικής στις κατολισθήσεις. οι πιο συνηθισµένες από τις οποίες αφορούν τον προσδιορισµό του ύψους του υδροφόρου ορίζοντα, όπως αυτές των El Khattabi (2004) και Xie et al. (2007). Πολύ συχνά, επίσης, είναι και τα άρθρα για την καλύτερη αποτύπωση του εδαφικού ανάγλυφου, στοιχείο απαραίτητο για την ακριβέστερη εκτίµηση του συντελεστή ασφαλείας στις κατολισθήσεις. Ενδεικτικά αναφέρονται οι εργασίες των Shou & Chen (2005) και Aringoli et al. (2008). Στο ίδιο αντικείµενο, για τη δηµιουργία DTMs (Digital Terrain Models), δηλ. ψηφιακών µοντέλων που απεικονίζουν την επιφάνεια του εδάφους, υπάρχουν οι αναφορές του Dewitte & Demoulin (2005) που υιοθετούν τη γεωστατιστική για να πυκνώσουν τον κάνναβο του DTM που έχει προκύψει από φωτογραµµετρία. Οι Pecsi et al. (2004) δηµιουργούν, επίσης, DTMs στην περιοχή του Reno River Valley στην Ιταλία µε χρήση GPS, ψηφιακής φωτογραµµετρίας και laser scan. Για να συγκρίνουν την ακρίβεια µεταξύ των τριών αυτών µεθόδων, καταφεύγουν στις εξισώσεις kriging, ώστε να προκύψουν οι τιµές που παρέχουν οι µέθοδοι στο ίδιο σηµείο κι άρα να είναι άµεσα συγκρίσιµες. Ένα νέο εργαλείο για την εκτίµηση του εδαφικού αναγλύφου, αλλά και για τον προσδιορισµό των µετακινήσεων του εδάφους, είναι το InSAR (Synthetic Aperture Radar Interferometry), που µέσω δορυφόρων καταγράφει, σύµφωνα µε τις βασικές αρχές του ραντάρ, την απόσταση µεταξύ δορυφόρου-ποµπού και εδάφους-δέκτη. Παράγονται έτσι εκτιµήσεις µετακινήσεων για µεγάλες εκτάσεις γης, µε µειωµένη, όµως, ακρίβεια, λόγω σφαλµάτων που υπεισέρχονται από παρεµβολές της ατµόσφαιρας κ.α. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τη µέθοδο αυτή, ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στην αναφορά των Colesanti & Wasowski (2006). Προσπαθώντας να διορθώσουν τα σφάλµατα αυτά, οι Ding et al. (2008) ελέγχουν τις πυκνές µετρήσεις του InSAR µε πιο αραιές µετεωρολογικές και GPS µετρήσεις που πυκνώνουν µέσω της γεωστατιστικής. Η γεωστατιστική ανάλυση υπεισέρχεται στη µελέτη των κατολισθήσεων και µέσω της ανάγκης για καλύτερη γνώση του υπεδάφους κι ειδικότερα της ζώνης ολίσθησης. Ενδεικτικά αναφέρονται οι Burton et al. (1998), που πραγµατοποιούν παρεµβολή µε τις εξισώσεις kriging για να προσδιορίσουν τη θέση του κύκλου ολίσθησης, τις µηχανικές ιδιότητες του εδάφους και την κλίση του πρανούς σε όλη την έκταση της κατολίσθησης, οι Simoni et al. (2008) που κατανέµουν µε τη γεωστατιστική τις µηχανικές ιδιότητες του εδάφους στο χώρο Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [12]

35 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά ώστε να τις εισάγουν στο πρόγραµµα GEOtop-FS για να διερευνήσουν την πιθανότητα αστοχίας κατολισθήσεων λόγω σεισµού, οι Dahal et al. (2008), που βασισµένοι σε έναν πλούτο δεδοµένων από 400 σηµεία, εντοπίζουν τη ζώνη ολίσθησης σε όλη την έκταση της κατολίσθησης και οι Bonzanigo et al. (2007) που χρησιµοποιούν δεδοµένα από γεωτρήσεις και γεωφυσικές µεθόδους για τον προσδιορισµό της ζώνης ολίσθησης και µε τη βοήθεια της γεωστατιστικής υπολογίζουν το συνολικό όγκο της µετακινούµενης µάζας. Πιο ιδιαίτερες αναφορές, που σχετίζονται έµµεσα µε τα κατολισθητικά φαινόµενα, αποτελούν αυτές των Schneuwly & Stoffel (2008), των Lee et al. (2008) και των Lenz & Baise (2007). Οι πρώτοι κάνουν χρήση δεδοµένων από 796 πυρήνες και 141 διατοµές από 191 κωνοφόρα δέντρα που έχουν υποστεί σηµαντικές βλάβες. Τα δενδρογεωµορφολογικά δεδοµένα που συγκεντρώθηκαν επεξεργάστηκαν µε τη µέθοδο της γεωστατιστικής για να προκύψουν οι τιµές τους σε όλο το πεδίο έρευνας και τα αποτελέσµατα της επεξεργασίας χρησιµοποιήθηκαν για να προσδιοριστούν οι ρυθµοί πτώσεων βράχων, τα µέγιστα ύψη πτώσεων και η χωρική εµφάνιση των κατολισθήσεων αυτών. Στη δεύτερη αναφορά, µετρήσεις σεισµογράφων βοηθούν στην εκτίµηση της πυκνότητας Arias. Οι σηµειακές αυτές εκτιµήσεις ανάγονται στο χώρο µέσω γεωστατιστικής και βοηθούν στον προσδιορισµό της πιθανότητας έναρξης κατολισθήσεων λόγω σεισµού. Οι δε Lenz & Baise χρησιµοποιούν δεδοµένα από δοκιµές SPT και CPT για να κατασκευάσουν, µέσω της γεωστατιστικής, το χάρτη µε τις τιµές του δείκτη δυνατότητας ρευστοποίησης (LPI liquefaction potential index) Τέλος, στο ζήτηµα των µετακινήσεων, που απασχολεί κατά κύριο λόγο την παρούσα εργασία, υπάρχουν αναφορές που ασχολούνται µε τη γεωστατιστική ανάλυση των επιφανειακών µετακινήσεων του εδάφους και αυξάνονται ταχύτατα τα τελευταία χρόνια. Κοινός τόπος όλων αυτών των αναφορών είναι η χρήση µεθόδων καταγραφής των µετακινήσεων σε µεγάλες επιφάνειες µε πολλά σηµεία µέτρησης, όπως η φωτογραµµετρία και η µέθοδος InSAR που προαναφέρθηκε. Η πρώτη αφορά την εργασία Terrafirma που διεξάγει η European Space Agency χρησιµοποιώντας δεδοµένα που προκύπτουν από τη µέθοδο PS InSAR (Persistent Scatterer InSAR). Στην Ιταλία, βασισµένοι σε µετρήσεις κατακόρυφων µετακινήσεων σε PS σηµεία ένα τεράστιο αρχείο δεδοµένων πραγµατοποιείται γεωστατιστική επεξεργασία ώστε να προκύψει ένας πυκνότερος κάνναβος µε ανάλυση 25mx25m στην έκταση της κατολίσθησης. Μια άλλη αναφορά (TRE: a POLIMI spin-off company) αφορά µετρήσεις καθιζήσεων µε InSAR στη Σαγκάη από την εταιρεία POLIMI PS Technique. Για να ελεγχθεί η ακρίβεια της InSAR πραγµατοποιείται Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [13]

36 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά γεωστατιστική ανάλυση στα σηµεία που υπάρχουν ήδη µετρήσεις από χωροβάτη και εντοπίζονται οι διαφορές τους. Επίσης, η γεωστατιστική χρησιµοποιείται για την εκτίµηση των µετακινήσεων που προκύπτουν από χρήση αρχειακής φωτογραµµετρίας και GPS στην αναφορά του Baldi et al. (2008), ενώ οι Wangensteen et al. (2006) παρουσιάζουν χάρτες µε τις ταχύτητες των µετακινήσεων βασισµένοι στη φωτογραµµετρία. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [14]

37 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά 1.6 Γεωτεχνική ενοργάνωση Στα γεωτεχνικά ζητήµατα, όπως η κατασκευή φραγµάτων & σηράγγων, οι υπόγειες εκσκαφές κι οι κατολισθήσεις, ο Μηχανικός καλείται να αντιµετωπίσει πλήθος αβεβαιοτήτων, µεταξύ των οποίων συγκαταλέγονται η αβεβαιότητα στη διάταξη των γεωλογικών σχηµατισµών, η διασπορά των µηχανικών ιδιοτήτων τους κι η ποικιλοµορφία της καταστατικής τους συµπεριφοράς. Στην προσπάθεια αντιµετώπισης των ανασφαλειών αυτών, υιοθετείται συχνά η ενοργάνωση, δηλαδή η χρήση διατάξεων για την καταγραφή της απόκρισης του έργου. Τα όργανα µέτρησης προσφέρουν ουσιαστικά ένα είδος ασφαλιστικής δικλείδας για το Mηχανικό, αφού µέσω αυτών µπορεί να παρατηρήσει τη συµπεριφορά του εδάφους, να εκτιµήσει την ορθότητα των υποθέσεών του και να εξετάσει την αποτελεσµατικότητα του έργου. Στο παρόν υποκεφάλαιο, παρουσιάζονται, ιδιαίτερα συνοπτικά, µιας και αποτελεί αντικείµενο που εξαντλείται σε άλλες εργασίες, τα βασικότερα εργαλεία µέτρησης που χρησιµοποιούνται στα γεωτεχνικά έργα, στηριζόµενοι κατά κύριο λόγο στον Dunnicliff (1993). Τα συνήθη εργαλεία µέτρησης µπορούν να διαχωριστούν, σύµφωνα µε το µέγεθος που καταγράφουν, σε όργανα µέτρησης της πιεζοµετρικής στάθµης και σε όργανα µέτρησης παραµορφώσεων-µετακινήσεων. Τα τελευταία, ανάλογα µε τη θέση της µετακίνησης, µπορούν περαιτέρω να χωριστούν σε αυτά που καταγράφουν επιφανειακές µετακινήσεις (π.χ. τοπογραφικές µέθοδοι) και σε αυτά που εκτιµούν τις µετακινήσεις στο υπέδαφος (π.χ. επιµηκυνσιόµετρα). Όργανα µέτρησης ιεζοµετρικής στάθµης Η πίεση του νερού των πόρων από όργανα που ονοµάζονται πιεζόµετρα - αποτελεί µια από τις πιο καθοριστικές παραµέτρους στη Γεωτεχνική Μηχανική κι η γνώση της συνεπάγεται καλύτερη κατανόηση του υδραυλικού καθεστώτος του διερευνούµενου πεδίου και της µηχανικής συµπεριφοράς του εδάφους. Τα είδη πιεζοµέτρων που χρησιµοποιούνται σήµερα είναι τα πιεζόµετρα ανοιχτού σωλήνα ή αλλιώς Casagrande -, τα διπλού σωλήνα υδραυλικά πιεζόµετρα, τα πνευµατικά πιεζόµετρα και τα ηλεκτρονικά πιεζόµετρα (ανάλογα µε το είδος του αισθητήρα διακρίνονται σε πιεζόµετρα δονούµενης χορδής και πιεζόµετρα ηλεκτρικής αντίστασης). Όλα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [15]

38 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά τοποθετούνται στο βάθος όπου απαιτείται η εκτίµηση της πίεσης πόρων, περιβάλλονται από ένα θύλακα άµµου ή χαλικιού κι η υπόλοιπη γεώτρηση καθίσταται αδιαπέρατη µε µπετονίτη ή/και κονίαµα. Στα πιεζόµετρα ανοιχτού σωλήνα, το νερό εισχωρεί από το διάτρητο τµήµα της σωλήνωσης (φίλτρο) έως ότου εξισορροπηθεί µε την πιεζοµετρική στάθµη. Το ύψος της νερού στο σωλήνα, το οποίο αντιστοιχεί στην πιεζοµετρική στάθµη, καθορίζεται µε τη βοήθεια βολίδας που παράγουν ήχο µόλις εισέρθουν σε αυτό. Τα υδραυλικά πιεζόµετρα διπλού σωλήνα αποτελούνται από ένα πορώδες φίλτρο που συνδέεται µέσω πλαστικών σωλήνων µε δυο µετρητές πίεσης. Η πιεζοµετρική στάθµη προκύπτει από το άθροισµα της στάθµης των µετρητών µε το µέσο όρο των ενδείξεων των µετρητών. Στα πνευµατικά και ηλεκτρονικά πιεζόµετρα, το φίλτρο φέρει ένα διάφραγµα. Καθώς µεταβάλλεται η πίεση του νερού των πόρων, αντίστοιχες µεταβολές προκαλούνται στην καµπυλότητα του διαφράγµατος. Στα πνευµατικά πιεζόµετρα, το πιεζοµετρικό φορτίο ισούται µε την πίεση που απαιτείται για να επανέλθει το εύκαµπτο διάφραγµα στην αρχική του κατάσταση, η οποία εκτιµάται µέσω ενός µετρητή πιέσεων. Στα ηλεκτρονικά πιεζόµετρα, η καµπυλότητα του διαφράγµατος εκτιµάται µέσω αισθητήρων παραµορφώσεων (αισθητήρες δονούµενης χορδής ή αισθητήρες ηλεκτρικής αντίστασης). Ανάλογα µε τον αισθητήρα, σταθερές συνδέουν την πιεζοµετρική πίεση µε την εκτιµώµενη παραµόρφωση. Τα κυριότερα χαρακτηριστικά των πιεζοµέτρων παρουσιάζονται συνοπτικά στον ακόλουθο πίνακα: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [16]

39 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Είδος ιεζοµέτρου αξιόπιστο µακροχρόνια χρήση γρήγορη απόκριση εύκολη καταγραφή µετρήσεων µικρή παρέµβαση στο πεδίο µέτρηση αρνητικών πιέσεων κατάλληλο για δυναµικές µετρήσεις κατάλληλο για εκτίµηση διαπερατότητας απαίτηση προστασίας από κεραυνό απουσία προβληµάτων πήξης σχόλια ανοιχτού σωλήνα οικονοµικό δι λού σωλήνα υδραυλικά η εφαρµογή τους περιορίζεται σε µακροχρόνιες µετρήσεις επιχωµάτων νευµατικά ηλεκτρονικά (δονούµενης χορδής) ηλεκτρονικά (ηλεκτρικής αντίστασης) Πίν. 1.1: Χαρακτηριστικά ιεζοµέτρων πρόσθετες διατάξεις απαιτούνται για την εξάλειψη του σφάλµατος zero drift πιθανά σφάλµατα από υγρασία Όργανα µέτρησης ε ιφανειακών µετακινήσεων Οι επιφανειακές µετακινήσεις µετρώνται, κατά κύριο λόγο, µε γεωδαιτικές µεθόδους. Εξαίρεση αποτελούν τα επιφανειακά επιµηκυνσιόµετρα, τα οποία χρησιµοποιούνται για την καταγραφή της µετακίνησης µεταξύ ρωγµών που εµφανίζονται στην επιφάνεια του εδάφους ή σε δοµικά στοιχεία και οι φωτογραµµετρικές µέθοδοι, οι οποίες υστερούν σε ακρίβεια, αλλά προσφέρουν µεγάλο πλήθος καταγραφόµενων σηµείων και περιορίζουν την απαίτηση ανθρώπινης παρουσίας στο πεδίο. Τα γεωδαιτικά όργανα που χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση των µετακινήσεων στα τεχνικά έργα έχουν υψηλή ή ιδιαίτερα υψηλή ακρίβεια, δεδοµένου των µικρών τιµών των µετακινήσεων που συνήθως καλούνται να καταγράψουν. Ανάµεσά τους ξεχωρίζουν οι ηλεκτρονικοί χωροβάτες για τη µέτρηση υψοµετρικών διαφορών (γεωµετρική χωροστάθµιση) και οι γεωδαιτικοί σταθµοί για την εκτίµηση των µετακινήσεων και στις Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [17]

40 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά τρεις διευθύνσεις. Αξίζει να αναφερθεί ότι για την ορθότητα των καταγραφών αυτών, αποφασιστικής σηµασίας κρίνεται η επιλογή των σταθερών σηµείων αναφοράς. Από τις γεωδαιτικές µεθόδους δε θα µπορούσε να λείπει το δορυφορικό σύστηµα εντοπισµού θέσης GPS. Στα γεωτεχνικά έργα χρησιµοποιείται ο σχετικός στατικός προσανατολισµός, όπου ένας δέκτης βρίσκεται σταθερός σε ένα σηµείο αναφοράς και ένας δεύτερος δέκτης µετακινείται στις θέσεις των οποίων οι µετακινήσεις αναζητούνται, επιτρέποντας έτσι την εκτίµηση των µετακινήσεων του σηµείου του δεύτερου δέκτη ως προς τον πρώτο, εξαλείφοντας τα κοινά συστηµατικά σφάλµατα που προέρχονται από τους δορυφόρους και την ατµόσφαιρα. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τη µέτρηση των µετακινήσεων στα τεχνικά έργα, ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στις αναφορές Μπαντέλλας & Σαββαΐδης (1990) και Χαλιµούρδας (2007). Όργανα µέτρησης µετακινήσεων στο υ έδαφος Τα όργανα που επιτρέπουν την εκτίµηση των µετακινήσεων κάτω από την επιφάνεια του εδάφους µπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες σε αυτά που εκτιµούν τη µετακίνηση παράλληλα στον άξονά τους κι ονοµάζονται επιµηκυνσιόµετρα και σε αυτά που εκτιµούν τη µετακίνηση κάθετα στον άξονά τους κι ονοµάζονται κλισιόµετρα. Σύµφωνα µε τον Dunnicliff (1993), τα επιµηκυνσιόµετρα µπορούν περαιτέρω να διαχωριστούν ανάλογα µε το αν φέρουν ή όχι βολίδα. Στα επιµηκυνσιόµετρα µε βολίδα, η βολίδα ανιχνεύει τη θέση των σηµείων ελέγχου που βρίσκονται στη σωλήνωση κι εποµένως εκτιµάται η σχετική µετακίνηση µεταξύ των σηµείων ελέγχου. εδοµένου ότι η σωλήνωση κι άρα και τα σηµεία ελέγχου - ακολουθεί την παραµόρφωση του εδάφους, η σχετική µετακίνηση των σηµείων ελέγχου ταυτίζεται µε αυτήν του εδάφους. Αν ζητείται η απόλυτη µετακίνηση, τότε είτε η γεώτρηση χρειάζεται να εδράζεται σε σταθερό έδαφος είτε η θέση του επιφανειακού τµήµατος της γεώτρησης να καθορίζεται χωρικά από τοπογραφικές µεθόδους, ώστε να προσφέρουν ένα σταθερό σηµείο αναφοράς. Στην περίπτωση των επιµηκυνσιοµέτρων χωρίς βολίδα, εκτιµάται η διαφορική µετακίνηση κατά µήκος των άκρων ράβδου ή καλωδίου που βρίσκεται εντός της γεώτρησης. Απόλυτες µετακινήσεις προκύπτουν αναφορικά µε κάποιο σταθερό σηµείο, όπως και στα επιµηκυνσιόµετρα µε βολίδα. Οι διατάξεις παρουσιάζουν ιδιαίτερη µορφή, στην περίπτωση επιχωµάτων, εφόσον τοποθετούνται καθώς κατασκευάζεται το επίχωµα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [18]

41 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Τα δε κλισιόµετρα βασίζονται σε µια βολίδα που φέρει αισθητήρα που µετράει την κλίση του σώµατος της βολίδας από την κατακόρυφο. Σε µια συγκεκριµένη θέση εντός της σωλήνωσης, η γνώση της κλίσης της βολίδας και του µήκους του στελέχους της (συνήθως 0,5m) επιτρέπουν την εκτίµηση της απόκλισης της σωλήνωσης από την κατακόρυφο, δηλαδή της οριζόντιας µετακίνησής της. Καθώς η βολίδα κινείται µέσα στη σωλήνωση καταγράφει την κλίση της διαδοχικά ανά τακτές αποστάσεις. Θεωρώντας ότι η σωλήνωση της γεώτρησης ακολουθεί την παραµόρφωση του εδάφους κι ότι η σωλήνωση εδράζεται σε σταθερό έδαφος, η προσθήκη των οριζόντιων µετακινήσεων από τις διαδοχικές µετρήσεις της βολίδας δηµιουργεί το προφίλ των οριζόντιων µετακινήσεων µε το βάθος. Στον Πίν. 1.2 δίνονται συγκεντρωτικά τα χαρακτηριστικά των κυριότερων µεθόδων εκτίµησης των µετακινήσεων στα γεωτεχνικά έργα. Σχετικά µε την ακρίβεια που παρέχεται στον Πίν. 1.2, χρειάζεται να τονιστεί ότι παρουσιάζει µεγάλη διασπορά ανάλογα µε τον τύπο του οργάνου, το χρήστη του, τη µέθοδο που ακολουθείται κ.α. Επίσης, τα όργανα εξελίσσονται µε το χρόνο, βελτιώνοντας την ακρίβειά τους. Για το λόγο αυτό, οι τιµές που δίνονται αποσκοπούν σε µια ενδεικτική σύγκριση µεταξύ των δυνατοτήτων των εκάστοτε εργαλείων. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [19]

42 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Καταγραφόµενη µετακίνηση Εργαλεία ε ιφανειακή υ όγεια οριζόντια κατακόρυφη αξονική κάθετη Μέθοδος /Τύ ος Πλεονεκτήµατα Μειονεκτήµατα Ακρίβεια Ηλεκτρονικοί χωροβάτες Γεωδαιτικοί σταθµοί έκτες του συστήµατος GPS Φωτογραµµετρία Επιφανειακά επιµηκυνσιόµετρα µπορούν να αυτοµατοποιηθούν Επιµηκυνσιόµετρα µε βολίδα Επιµηκυνσιόµετρα χωρίς βολίδα Γεωµετρική χωροστάθµηση Μέθοδος πολικών συντεταγµένων Σχετικός στατικός προσδιορισµός Ηλεκτρονικός µετρητής ρωγµών Μαγνητικό Μικρόµετρο Με ράβδο Κλισιόµετρα SAA Με αισθητήρα force-balance servoacceleromete r Με αισθητήρα acceleromete r ταχύτητα µετρήσεων, ευρεία χρήση δυνατότητα χρήσης και χωρίς ανακλαστήρα ταχύτητα, ανεξάρτητη καιρικών συνθηκών, ολιγοµελές προσωπικό µετρήσεις σε δυσπρόσιτες περιοχές, µεγάλο πλήθος σηµείων πολλαπλές µετρήσεις µε το βάθος, συνδυάζεται µε κλισιόµετρο πολλαπλές µετρήσεις µε το βάθος, πολύ µεγάλη ακρίβεια µπορούν να αυτοµατοποιηθούν, µεγάλη ακρίβεια πολλαπλές µετρήσεις µε το βάθος πολλαπλές µετρήσεις σε 3D επιρροή από συνθήκες φωτισµού χαµηλή ακρίβεια παρεµβάλλετ αι στις εργασίες πεδίου σχετικές µετακινήσεις σχετικές µετακινήσεις περιορισµένο εύρος µετρήσεων (10~30cm) αντιδιαµετρικ ές µετρήσεις για εξάλειψη σφάλµατος zero shift µικρή εµπειρία Πίν. 1.2: Χαρακτηριστικά µεθόδων µέτρησης µετακινήσεων ±(1mm~3mm) (Μπαλοδήµος, 2005α) ±(1mm+2ppm) (Μπαλοδήµος, 2005β) ±10mm (Φωτίου, 2005) ±(6~50)mm (Dunnicliff,1993) µερικά εκατοστά (Λαζαρίδου, προσωπ. επικοινωνία) ±(0,003~0,13)mm (Dunnicliff,1993) ±2mm (Soil Instruments,2010) ±0,01mm (Kavvadas, 2003) ±(0,5~0,6)mm (Slope Indicator,2010) (Soil Instruments,2010) ±(2~4)mm για 25m (Soil Instruments,2010) ±1,5mm για 30m (Measurand, 2010) Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [20]

43 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικά Η ενόργανη παρακολούθηση τα βασικά στοιχεία της οποίας έχουν µόλις περιγραφεί και η γεωστατιστική ανάλυση η θεωρία της οποίας παρουσιάζεται αναλυτικά στο κεφάλαιο που ακολουθεί - συνδυάζουν τις δυνατότητές τους στην παρούσα εργασία για τη βαθύτερη κατανόηση του κατολισθητικού φαινοµένου Σ2. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [21]

44 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [22]

45 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Statistics, the science of uncertainty, attempts to give structure to chaos Noel Cressie Κεφάλαιο 2: Θεωρία Στο προηγούµενο κεφάλαιο σκιαγραφήθηκε το περιβάλλον που οδήγησε στην ανάπτυξη της γεωστατιστικής. Στο παρόν κεφάλαιο παρατίθενται τόσο οι βασικές αρχές της γεωστατιστικής όσο και πιο σπάνιες εκδοχές της, οι οποίες όµως σχετίζονται άµεσα µε τις αναλύσεις που θα ακολουθήσουν. Οφείλεται να τονιστεί ότι, εκτός από τα σηµεία που υπάρχουν παραποµπές, το κεφάλαιο στηρίζεται σε τρία κλασικά βιβλία γεωστατιστικής, αυτά των Kitanidis (1997), Chilès & Delfiner (1999) και Cressie (1993). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [23]

46 Κεφάλαιο 2: Θεωρία 2.1 Γενικές αρχές γεωστατιστικής Η έννοια της χωρικής µεταβλητής Αντικείµενο της στατιστικής είναι η επεξεργασία τυχαίων µεταβλητών, δηλ. δεδοµένων που προκύπτουν από θεωρητικώς άπειρες δοκιµές, οι οποίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Αντίθετα, σε πολλές γεω-επιστήµες, η µέτρηση που λαµβάνεται σε ένα σηµείο µε συντεταγµένες (x,y) στο χώρο δεν µπορεί να επαναληφθεί. Κι αν αυτό θεωρηθεί ως πείραµα, τότε δυο γειτονικά πειράµατα, σίγουρα, δεν είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Με αυτές τις παρατηρήσεις, ο Matheron (1963) θέτει τις βάσεις για την κατανόηση των χωρικών µεταβλητών (regionalized variables) κι απορρίπτει την υιοθέτηση της στατιστικής στην Ορυκτολογία. Σύµφωνα µε τον Matheron, µια χωρική µεταβλητή {z(s): s D R n } διαθέτει τρία χαρακτηριστικά: α) είναι τοπική, δηλ. µεταβάλλεται στο πεδίο. β) παρουσιάζει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, συνέχεια στο χώρο. γ) µπορεί να εµφανίζει ανισοτροπία, δηλ. να υπάρχει µια συγκεκριµένη διεύθυνση στο πεδίο που η µεταβλητή να παρουσιάζει µικρότερες διακυµάνσεις σε σχέση µε µια άλλη διεύθυνση. Με µια πιο µαθηµατική διατύπωση, ο ορισµός της χωρικής µεταβλητής δίνεται ακολούθως: εδοµένου ενός πεδίου D Rn και ενός πιθανοτικού χώρου (probability space) (Ω,Α,Ρ), ως συνάρτηση χωρικής µεταβλητής Ζ(s,ω) ορίζεται η τυχηµατική συνάρτηση µε δυο παραµέτρους, τις s και ω, όπου s R n και ω Ω. Κάθε µία από τις συναρτήσεις Ζ(s, ) αποτελεί µια τυχηµατική συνάρτηση στο πεδίο (Ω,Α,Ρ). Κάθε µία από τις συναρτήσεις Ζ(,ω), ορισµένης στο D, αποτελεί µια πραγµάτωση της τυχηµατικής συνάρτησης. Στη γεωστατιστική, θεωρείται ότι οι µετρήσεις µιας παραµέτρου αποτελούν τη χωρική µεταβλητή z(s), δηλ. µια πραγµάτωση της τυχηµατικής συνάρτησης Z. Πριν αναλυθούν οι ιδιότητες της χωρικής µεταβλητής, κρίνεται ουσιαστική η επεξήγηση της υπόθεσης της εργασιµότητας, που αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για τη γεωστατιστική ανάλυση. Όπως αναφέρθηκε, συνήθως είναι διαθέσιµη µια σειρά από µετρήσεις, που αντιστοιχούν σε µια πραγµάτωση της Ζ. Για να προχωρήσει η ανάλυση χρειάζεται να υποτεθεί ότι η Ζ είναι εργάσιµη, δηλαδή ότι η µέση τιµή, το διασπορόγραµµα κι άλλα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [24]

47 Κεφάλαιο 2: Θεωρία χαρακτηριστικά της Ζ ταυτίζονται µε αυτά που υπολογίζονται στηριζόµενοι στη µια και µόνη διαθέσιµη πραγµάτωσή της. Για να είναι δυνατή η στατιστική επεξεργασία της χωρικής µεταβλητής z(s) είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι ιδιότητές της. Για το λόγο αυτό, οι χωρικές µεταβλητές ταξινοµούνται στη γεωστατιστική, κυρίως, µε βάση την ισχύ ή όχι της στασιµότητας. Αν και στις περισσότερες αναφορές χρησιµοποιείται ο όρος στασιµότητα, δανεισµένος από τις χρονοσειρές, ο Christakos (2005) χρησιµοποιεί τον όρο οµοιογένεια, που φαίνεται να ταιριάζει περισσότερο στις χωρικές µεταβλητές κι είναι ο όρος που υιοθετείται στην παρούσα εργασία. Θεωρούµε ότι η χωρική µεταβλητή z(s) είναι χωρικά αυστηρώς οµοιογενής (ή αυστηρώς στάσιµη) (strict-sense spatial homogeneous ή strict stationary) όταν το φαινόµενο είναι οµοιογενές κι αυτό-επαναλαµβανόµενο στο χώρο. Με άλλα λόγια, η κατανοµή της χωροµεταβλητής είναι αµετάβλητη στο πεδίο, δηλ. υπάρχει ακριβώς η ίδια κατανοµή της χωροµεταβλητής σε κάθε θέση του πεδίου που εξετάζεται. Στην περίπτωση της οµοιογενούς χωρικής µεταβλητής, οι ροπές της, αν υπάρχουν, είναι ανεξάρτητες της µετατόπισης. Μια λιγότερο αυστηρή θεώρηση από την προηγούµενη είναι αυτή της ευρείας έννοιας οµοιογένειας (wide-sense homogeneous) ή αλλιώς της αδύναµης ή 2 ου βαθµού στασιµότητας (second order stationary), όπου µόνο οι δυο πρώτες ροπές λαµβάνονται υπόψη. Πιο συγκεκριµένα, θεωρούµε ότι η χωρική µεταβλητή z(s) παρουσιάζει µε ευρεία έννοια οµοιογένεια όταν ισχύουν: Η µέση τιµή της z(s) είναι σταθερή κι ανεξάρτητη του s, όπου s η θέση της z στο πεδίο D. Η συνδιακύµανση C (covariance) της z(s) εξαρτάται µόνο από την απόσταση h κι όχι από τη θέση s. Στην πράξη, η αυστηρή οµοιογένεια είναι σπανίως εφαρµόσιµη και έτσι, από εδώ και πέρα, όταν θα υπάρχει αναφορά σε οµοιογένεια, θα εννοείται η οµοιογένεια µε την ευρεία έννοια, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά. Μια ακόµα πιο αδύναµη θεώρηση είναι η εσωτερική υπόθεση (intrinsic hypothesis). Στην περίπτωση αυτή, αν και η χωρική µεταβλητή z(s) δεν είναι οµοιογενής, για κάθε διάστηµα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [25]

48 Κεφάλαιο 2: Θεωρία h η διαφορά των z είναι οµοιογενής. Οπότε, αν η συνάρτηση Υ {Υ h (s)=z(s+h)-z(s)} είναι οµοιογενής, τότε η χωρική µεταβλητή z(s) καλείται εγγενής (intrinsic). Βασιζόµενοι στις ιδιότητες της οµοιογένειας για τη συνάρτηση Υ, µπορούν να προκύψουν οι ιδιότητες που χαρακτηρίζουν την εγγενή χωρική µεταβλητή z(s). Πράγµατι, µία εγγενής µεταβλητή z(s) δεν έχει πάντα σταθερή µέση τιµή, αλλά η διαφορά των µέσων τιµών σε απόσταση h είναι σταθερή. Επίσης, ως οµοιογενής, η συνδιακύµανση της Υ εξαρτάται αποκλειστικά και µόνο από την απόσταση h. Συνεπώς, στις εγγενείς χωρικές µεταβλητές δεν είναι η συνδιακύµανση, αλλά το variogram που εξαρτάται αποκλειστικά από την απόσταση h. Το variogram γ ορίζεται, για µεταβλητές z(s) µε σταθερή ή µε µεταβαλλόµενη µέση τιµή αντίστοιχα, ως: γ s,s+h =γ h = 1 2 E[ z s+h -z(s ]2, για m(s) σταθερό Εξ.: 2.1 γ s,s+h =γ h = 1 Var z s+h -z s, για m(s) µη σταθερό Εξ.: Αξίζει, στο σηµείο αυτό, να τονιστεί ότι στην ελληνική βιβλιογραφία ο όρος variogram εµφανίζεται µε διάφορες εκδοχές, µεταξύ των οποίων ηµιδιασπορά, βαριόγραµµα, ηµιµεταβλητόγραµµα. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιείται ο όρος διασπορόγραµµα (ή διάγραµµα διασποράς ), που περιλαµβάνει τόσο την έννοια της διασποράς-variance, όσο και του γραφήµατος. Συνοψίζοντας, η εσωτερική υπόθεση αφορά χωρικές µεταβλητές των οποίων τόσο η µέση τιµή όσο και το διασπορόγραµµα δεν εξαρτώνται από τη θέση s στο πεδίο αλλά από την απόσταση h. Στις συνηθισµένες εφαρµογές, η εγγενής χωροµεταβλητή θεωρείται ότι έχει σταθερή τιµή στο πεδίο κι άρα η µέση τιµή της Υ είναι µηδενική, κι είναι αυτός ο ορισµός που θα χρησιµοποιηθεί στην παρούσα εργασία εκτός κι αν δηλώνεται διαφορετικά. Με βάση αυτήν την αρχή, τα χαρακτηριστικά µιας εγγενούς χωρικής µεταβλητής z(s) είναι: Η µέση τιµή της µεταβολής της z(s) είναι σταθερή, δηλ. ισχύει: Ε z s+h -z s =0 Εξ.: 2.3 To διασπορόγραµµα της z(s) υπάρχει κι εξαρτάται µόνο από την απόσταση h κι όχι από τη θέση s. 2 γ(s,s+h)=2 γ(h)=var z s+h -z s =E z s+h -z(s) -E z s+h -z(s) 2 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [26]

49 Κεφάλαιο 2: Θεωρία γ(h)=e{[z(s+h)-z(s)] 2 }/2 Εξ.: 2.4 Παράδειγµα µιας µεταβλητής που είναι εγγενής, αλλά όχι οµοιογενής είναι η µονοδιάστατη κίνηση Brownian (1-D Brownian motion). Η κίνηση αυτή, που φαίνεται στο Σχ.2.1, παρουσιάζει την ίδια εικόνα αν κάποιος µεγεθύνει κάποιο κοµµάτι της, απόδειξη ότι η διασπορά των τιµών της παραµέτρου αυξάνει µε την απόσταση. Για αυτό το λόγο, το διασπορόγραµµά της µπορεί να οριστεί κι είναι γραµµικό (Chung, 2004). Για την παράµετρο αυτή ισχύει η Εξ. 2.3, αλλά δεν ισχύει η σχέση C(h)=cov[z(s+h),z(s)], µιας κι η συνδιακύµανση C(h) δεν είναι στάσιµη (Cressie, 1986). Σχ. 2.1: Μονοδιάστατη κίνηση Brownian (α ό Συνδιακύµανση και διασ ορόγραµµα Εφόσον ως εγγενής χωροµεταβλητή, στην παρούσα εργασία, ορίζεται η µεταβλητή µε σταθερή µέση τιµή, τίθεται βάσιµα το ερώτηµα Ποια η διαφορά µεταξύ της εγγενούς και της οµοιογενούς µεταβλητής; Γιατί να χρησιµοποιηθεί η πρώτη έναντι της δεύτερης;. Μια πρώτη απάντηση έρχεται µέσω της κίνησης Brownian, η οποία δεν µπορεί να καλυφθεί από τη θεωρία των οµοιογενών χωρικών µεταβλητών. Ωστόσο, υπάρχουν κι άλλες διαφορές ανάµεσα στις δυο θεωρήσεις. Μία από τις κυριότερες είναι η εισαγωγή ή όχι της µέσης τιµής της z(s) στους υπολογισµούς. Θεωρώντας κανείς εγγενή µεταβλητή, οδηγείται στη χρήση του διασπορογράµµατος έναντι της συνδιακύµανσης. Το µεγάλο πλεονέκτηµα αυτής της ανάλυσης είναι η µη απαίτηση γνώσης της µέσης τιµής m. Πράγµατι, ο συνήθως περιορισµένος αριθµός µετρήσεων δεν επιτρέπει τη γνώση της m µε ακρίβεια. Για το λόγο Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [27]

50 Κεφάλαιο 2: Θεωρία αυτό, είναι δυνατή η χρήση του διασπορογράµµατος έναντι της συνδιακύµανσης µε σκοπό την αποφυγή του υπολογισµού της m. Στην περίπτωση θεώρησης οµοιογένειας, η συνδιακύµανση µπορεί να συσχετιστεί µε το διασπορόγραµµα σύµφωνα µε τη σχέση: γ(h)=c(0)-c(h) Εξ.: 2.5 όπου C(0) η συνδιακύµανση για h=0. Η παραπάνω εξίσωση δηλώνει πως γνωρίζοντας τη συνδιακύµανση µιας οµοιογενούς χωροµεταβλητής, είναι δυνατόν να ορίσουµε το διασπορόγραµµά της. Ωστόσο, δεν ισχύει το αντίστροφο. Η γνώση του διασπορογράµµατος δεν επιτρέπει τον υπολογισµό της συνδιακύµανσης, µιας και υπολείπεται η γνώση της µέσης τιµής οµική ανάλυση Η γεωστατιστική ανάλυση µπορεί να χωριστεί σε δυο τµήµατα, τη δοµική ανάλυση και τη µαθηµατική επίλυση. Το πρώτο κοµµάτι αφορά την εκτίµηση της συνδιακύµανσης ή του διασπορογράµµατος, ενώ το δεύτερο την επίλυση των εξισώσεων kriging. Κι ενώ το δεύτερο κοµµάτι, παρά την πολυπλοκότητα των υπολογισµών, αφορά µια πλήρως ορισµένη διαδικασία που θα µπορούσε εύκολα να αυτοµατοποιηθεί στηριζόµενοι σε ένα µαθηµατικό πρόγραµµα ηλεκτρονικών υπολογισµών, κάτι τέτοιο δεν ισχύει για τη δοµική ανάλυση. Πράγµατι, η δοµική ανάλυση απαιτεί βαθειά κατανόηση των ιδιοτήτων της χωροµεταβλητής, εµπειρία και διαίσθηση, στοιχεία που σαφώς δεν µπορούν να υλοποιηθούν αυτόµατα από τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται οι βασικές αρχές προσδιορισµού του διασπορογράµµατος, του µαθηµατικού αυτού εργαλείου που είναι απαραίτητο για την ανάπτυξη των µαθηµατικών εξισώσεων του kriging. Αν και η κύρια αναφορά στην παρούσα εργασία σχετίζεται µε το διασπορόγραµµα, οδηγίες παρατίθενται σε περιορισµένη έκταση και για τη συνδιακύµανση. Το διασπορόγραµµα περιγράφει τον τρόπο που µεταβάλλονται οι τιµές της χωροµεταβλητής στο πεδίο. Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει ο Matheron (1963β), το διασπορόγραµµα για τη γεωστατιστική είναι ό,τι το φάσµα Fourier για τη σεισµολογία. Παρόλο που δεν περιγράφει το γενικό φαινόµενο ή τοπικά του στοιχεία, καταφέρνει να Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [28]

51 Κεφάλαιο 2: Θεωρία παρουσιάσει τα κύρια χαρακτηριστικά της χωροµεταβλητής, που είναι η µεταβλητότητά της στο χώρο. Το διασπορόγραµµα περιγράφει τη διαφορά ανάµεσα στις µετρήσεις που απέχουν απόσταση h σε συνάρτηση µε την απόσταση αυτή. Όπως ενστικτωδώς αντιλαµβάνεται κανείς, η τιµή του γ αυξάνεται όσο αυξάνεται το h, µιας και µετρήσεις που απέχουν µεγάλη απόσταση αναµένεται να παρουσιάζουν και µεγαλύτερη απόκλιση µεταξύ τους. Συνήθως, το διασπορόγραµµα τείνει να σταθεροποιήσει την τιµή του µετά από απόσταση L, που ονοµάζεται εύρος (range) του διασπορογράµµατος κι ουσιαστικά αποτελεί την απόσταση πέρα από την οποία οι µετρήσεις θεωρούνται ανεξάρτητες µεταξύ τους. Ή σύµφωνα µε τους Chilès & Delfiner (1999), το εύρος εκφράζει τη ζώνη επιρροής µιας µέτρησης. Ένα άλλο χαρακτηριστικό µέγεθος του διασποροδιαγράµµατος είναι η οριακή τιµή C o (sill). Πρόκειται για τη µέγιστη τιµή που παρουσιάζει το διασπορόγραµµα κι ουσιαστικά ισούται µε τη διασπορά των µετρήσεων. Ουσιαστικά, διαλέγοντας έναν τύπο διασπορογράµµατος, είναι σα να γίνεται επιλογή της οικογένειας που ανήκει η χωροµεταβλητή. Πιο συγκεκριµένα, όταν επιλέγεται ένα διασπορόγραµµα που τείνει να σταθεροποιηθεί µετά από κάποιο διάστηµα h, σηµαίνει ότι η χωροµεταβλητή θεωρείται οµοιογενής, δηλ. ότι η χωρική µεταβλητή κυµαίνεται γύρω από µια σταθερή τιµή. Αν πάλι θεωρείται ότι η χωρική µεταβλητή δεν παρουσιάζει σταθερή µέση τιµή, τότε χρειάζεται να υιοθετηθεί ένα προσοµοίωµα, όπως το δυναµικό ή το γραµµικό, των οποίων οι τιµές αυξάνονται συνεχώς. Ένα άλλο χαρακτηριστικό του διασπορογράµµατος είναι η κλίση του κοντά στην αρχή των αξόνων, η οποία σχετίζεται άµεσα µε τη δυνατότητα της χωροµεταβλητής για παραγοντοποίηση. Το προσοµοίωµα Gauss, µε ελάχιστη κλίση κοντά στο µηδέν, σχετίζεται µε παραγοντοποιήσιµες µεταβλητές, δηλ. µε µεταβλητές που σε πολύ κοντινές περιοχές (h 0) παρουσιάζουν παρόµοιες µετρήσεις. Όσο η κλίση του διασπορογράµµατος αυξάνει, τόσο πιο έντονες εµφανίζονται οι διακυµάνσεις της παραµέτρου στο χώρο. Τα χαρακτηριστικά του διασπορογράµµατος κι η συσχέτισή τους µε τις ιδιότητες της χωρικής µεταβλητής δίνονται ιδιαίτερα παραστατικά στο ακόλουθο σχήµα (από Christakos, 2005). Πέρα από τη συµπεριφορά του γ στα µικρά και τα µεγάλα h που σχολιάστηκαν προηγουµένως, το σχήµα του διασπορογράµµατος µπορεί να φανερώσει ανισοτροπία ή και Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [29]

52 Κεφάλαιο 2: Θεωρία περιοδικότητες της χωρικής µεταβλητής. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε τη σύνδεση των χαρακτηριστικών του γ µε τη µορφή της z παρέχονται στο 4 ο κεφάλαιο. Σχ. 2.2: Χαρακτηριστικά διασ ορογράµµατος (α ό Christakos, 2005) Γίνεται, λοιπόν, φανερό ότι επιλέγοντας τύπο διασπορογράµµατος, ουσιαστικά κανείς επιλέγει την οικογένεια στην οποία ανήκει η χωρική µεταβλητή. Στις περισσότερες εφαρµογές της γεωστατιστικής υπάρχει διαθέσιµη πληθώρα δεδοµένων κι έτσι, τόσο το προσοµοίωµα όσο και οι παράµετροι του διασπορογράµµατος πηγάζουν από τα δεδοµένα, όπως θα περιγραφεί ακολούθως. Έστω ότι είναι διαθέσιµες n µετρήσεις της παραµέτρου z στις θέσεις s i, όπου i=1,,n. Η πρώτη διεργασία που χρειάζεται να πραγµατοποιηθεί είναι η στατιστική επεξεργασία των µετρήσεων κι η απαλλαγή τους από τις ακραίες τιµές που θεωρούνται λανθασµένες, ώστε ο γεωστατιστικός να αποκτήσει µια γενική εικόνα των µετρήσεων που καλείται να µελετήσει. Στη συνέχεια, για κάθε ζεύγος µετρήσεων (για n µετρήσεις δηµιουργούνται ζευγάρια) υπολογίζεται η ποσότητα: γ m =γ ij = 1 2 z s i -z s j 2, m=1,,n c Εξ.: 2.6 και η απόσταση h µεταξύ των θέσεων των µετρήσεων: h m =h ij =s i -s j, m=1,,n c Εξ.: 2.7 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [30]

53 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Τοποθετώντας τις τιµές αυτές σε ένα διάγραµµα, προκύπτει το ακατέργαστο (raw) διασπορόγραµµα (Σχ. 2.3). Ακολούθως, σχηµατίζεται το πειραµατικό διασπορόγραµµα, χωρίζοντας το ακατέργαστο διάγραµµα σε διαστήµατα. Πιο συγκεκριµένα, επιλέγονται k διαστήµατα απόστασης [ µέσα στα οποία εµπεριέχονται Ν k ζευγάρια µετρήσεων κι υπολογίζεται η µέση τιµή του γ και του h για τα διαστήµατα αυτά. Με αυτόν τον τρόπο δηµιουργούνται k ζεύγη τιµών (γ k, h), τα οποία αποτελούν το πειραµατικό διασπορόγραµµα (στο Σχ. 2.3 διακρίνονται και τα επιλεγµένα διαστήµατα). Αξίζει, στο σηµείο αυτό, να αναφερθεί και το σθεναρό (robust) διασπορόγραµµα, που υιοθετείται όταν στα δεδοµένα έχουν εισχωρήσει εσφαλµένες µετρήσεις. Τα σθεναρά διασπορογράµµατα στηρίζονται σε µία ή περισσότερες από τις ακόλουθες µεταβολές από την κλασική θεωρία (Chilés & Delfiner, 1999): αντικατάσταση της δεύτερης δύναµης της Εξ. 2.6 µε µικρότερη, απορροφώντας, έτσι, τις ανωµαλίες των δεδοµένων, αντικατάσταση της µέσης τιµής από τον ενδιάµεσο για την εκτίµηση των γ k ή αποβολή των ιδιαίτερα µεγάλων τιµών γ ij από την ανάλυση. Για περισσότερες πληροφορίες, ο αναγνώστης καλείται να ανατρέξει στην αναφορά των Cressie & Hawkins (1980). Επανερχόµενοι στο πειραµατικό διασπορόγραµµα, διαφαίνεται ότι η τεθλασµένη αυτή γραµµή δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί απευθείας στο επόµενο στάδιο των εξισώσεων kriging, γιατί οφείλει να ακολουθεί ορισµένους κανόνες, όπως ότι η ποσότητα [ γ(h)] να είναι θετικά ορισµένη κι ότι χρειάζεται να είναι διαθέσιµες τιµές του γ για οποιοδήποτε h. Για αυτούς τους λόγους, είναι απαραίτητο ο µελετητής να περάσει από το πειραµατικό διασπορόγραµµα στο θεωρητικό. Υπάρχουν διαθέσιµα στη βιβλιογραφία ποικίλα προσοµοιώµατα που καλύπτουν τις παραπάνω απαιτήσεις, στην παρούσα, όµως, εργασία θα περιοριστούµε στα ακόλουθα τέσσερα, που απαντώνται και πιο συχνά: Gaussian προσοµοίωµα: γ h =C 0 1-exp - h2 L 2 +ne (1-δ(h)) Εξ.: 2.8 εκθετικό προσοµοίωµα: γ h =C 0 1-exp - h L +ne (1-δ(h)) Εξ.: 2.9 δυναµικό προσοµοίωµα: γ h =s h a +ne (1-δ(h)) Εξ.: 2.10 γραµµικό προσοµοίωµα: γ h =s h+ne (1-δ(h)) Εξ.: 2.11 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [31]

54 Κεφάλαιο 2: Θεωρία όπου C 0 η οριακή τιµή, L το εύρος, s η κλίση, α ο εκθέτης, ne το φαινόµενο κόκκου (nugget effect) και δ(h) το δέλτα του Kronecker (δ=1 όταν h=0 και δ=0 όταν h 0). Στο σηµείο αυτό χρειάζεται να επεξηγηθεί ο όρος του φαινόµενου κόκκου ne. Σε κάθε περίπτωση, το θεωρητικό προσοµοίωµα οφείλει να τέµνει την αρχή των αξόνων, δηλ. γ(h)=0 για h=0, γεγονός που ισχύει σε κάθε ένα από τα τέσσερα προσοµοιώµατα που έχουν παρουσιαστεί. Όταν το διασπορόγραµµα περιλαµβάνει και φαινόµενο κόκκου (ne 0), τότε δηµιουργείται µια ασυνέχεια στην αρχή των αξόνων, εφόσον γ(h=0)=0 και γ(h 0)=ne. Πράγµατι, σε µετρήσεις που απέχουν ελάχιστα µεταξύ τους (h 0), αναµένει κανείς ότι οι τιµές τους δε θα διαφέρουν σηµαντικά (γ 0). Κάτι τέτοιο, όµως, δε συµβαίνει όταν επικρατούν φαινόµενα µικρο-µεταβλητότητας (δηλαδή οι αποστάσεις των µετρήσεων είναι µεγαλύτερες από την κλίµακα στην οποία µεταβάλλεται η µεταβλητή) ή όταν στις µετρήσεις περιλαµβάνονται και σφάλµατα, κι είναι αυτά τα φαινόµενα που το ne καλείται να περιγράψει. Σχηµατικά, τα τέσσερα προσοµοιώµατα δίνονται στο Σχ. 2.4 που ακολουθεί. Οι παράµετροι που χρησιµοποιούνται στο σχήµα είναι C 0 =1, L=23m, s=0,01, a=1,2 και ne=0,3. γ 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 ακατέργαστο πειραματικό θεωρητικό h Σχ. 2.3: Μορφές διασ ορογράµµατος Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [32]

55 Κεφάλαιο 2: Θεωρία γ 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 Gauss πρ. εκθετικό πρ. δυναμικό πρ. γραμμικό πρ h Σχ. 2.4: Προσοµοιώµατα διασ ορογράµµατος Αξίζει να σηµειωθεί ότι αποδεκτό προσοµοίωµα για το διασπορόγραµµα αποτελεί κι οποιοδήποτε προσοµοίωµα προκύπτει από άθροισµα των µαθηµατικώς αποδεκτών προσοµοιωµάτων που προαναφέρθηκαν. Όπως γίνεται φανερό από τα παραπάνω, ο µελετητής χρειάζεται να λάβει δυο αποφάσεις για να οδηγηθεί από το ακατέργαστο διασπορόγραµµα στο θεωρητικό. Πρώτον, να αποφασίσει για το πόσα και ποια θα είναι τα διαστήµατα που θα χωρίσει το ακατέργαστο διάγραµµα για να σχηµατιστεί το πειραµατικό και δεύτερον, να κρίνει ποιο θα είναι το θεωρητικό προσοµοίωµα και µε ποιο τρόπο θα καθοριστούν οι παράµετροί του σε σχέση µε το πειραµατικό. Όσο αφορά τα επιλεγόµενα διαστήµατα, ο Kitanidis (1997) κρίνει ότι δεν είναι ιδιαίτερα επικερδές να δαπανηθεί πολύς χρόνος για να βρεθεί ο βέλτιστος καθορισµός των διαστηµάτων και προτείνει τη χρήση λίγων (τριών ως έξι) διαστηµάτων. Γενικά, η αξιοπιστία κάθε σηµείου του πειραµατικού διασπορογράµµατος αυξάνεται όσο αυξάνεται το N k. Μικρότερου εύρους διαστήµατα προτιµώνται κοντά στην αρχή των αξόνων, ώστε ο µελετητής να µπορέσει να αντιληφθεί τη κρίσιµη συµπεριφορά της παραµέτρου για µικρά h, και πιο µεγάλα για µεγάλες τιµές του h. Σχετικά µε τη δεύτερη απόφαση, της µετατροπής του πειραµατικού διασπορογράµµατος σε θεωρητικό, η µεθοδολογία που ακολουθείται είναι να καθορίζονται οι παράµετροι του προσοµοιώµατος, ώστε να περιορίζονται οι αποκλίσεις µεταξύ του πειραµατικού και του Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [33]

56 Κεφάλαιο 2: Θεωρία θεωρητικού διαγράµµατος, είτε αυτό γίνεται οπτικά είτε µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Επίσης, ο Cressie (1985) προτείνει µια εναλλακτική των ελαχίστων τετραγώνων δίνοντας µεγαλύτερο βάρος στα διαστήµατα κοντά στην αρχή των αξόνων Εξισώσεις kriging Το kriging ή αλλιώς BLUE (best linear unbiased estimation) βέλτιστος γραµµικός αµερόληπτος εκτιµητής - αποτελεί µια µεθοδολογία που επιτρέπει την εκτίµηση ž(s o ) της z(s) στη ζητούµενη θέση s o χρησιµοποιώντας γραµµικό εκτιµητή και ικανοποιώντας δυο κριτήρια, πρώτον, η εκτίµηση να είναι αµερόληπτη (unbiased) και δεύτερον, το µέσο τετραγωνικό σφάλµα εκτίµησης (mean square error MSE) να είναι το ελάχιστο. Από αυτά τα δυο κριτήρια προκύπτουν κι οι εξισώσεις kriging. Οι εξισώσεις kriging χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες όταν η µέση τιµή m(s) της χωρικής µεταβλητής z δεν είναι σταθερή, τότε χρησιµοποιούνται οι εξισώσεις του γενικευµένου kriging (universal kriging). Ειδάλλως, υιοθετούνται οι εξισώσεις του απλού kriging (simple kriging) και του συνήθους kriging (ordinary kriging) µε χρήση της συνδιακύµανσης και του διασπορογράµµατος αντίστοιχα. Στην περίπτωση του απλού kriging, η χωρική µεταβλητή z(s) θεωρείται ότι είναι οµοιογενής. Όπως αναφέρει ο Kitanidis (1997), οι εξισώσεις του kriging δεν εξαρτώνται από το είδος της χωρικής µεταβλητής. Είναι το διασπορόγραµµα (ή η συνδιακύµανση) που καθορίζεται από το είδος της µεταβλητής. Εποµένως, γνωρίζοντας από τις n µετρήσεις που έχουν πραγµατοποιηθεί τις τιµές z(s 1 ), z(s 2 ),, z(s n ) του µεγέθους z(s) στις θέσεις s 1, s 2,, s n, η εκτίµηση ž(s o ) θα προκύψει ως γραµµικός συνδυασµός των µετρήσεων αυτών, δηλ. n z s o = λ i z(s i ) Εξ.: 2.12 i=1 Συνεπώς, το πρόβληµα εστιάζεται στον υπολογισµό των συντελεστών βαρύτητας λ i. Στο σηµείο αυτό αξίζει να αναφερθεί η σχέση που δίνει το σφάλµα της εκτίµησης. Πράγµατι, αν ž(s o ) είναι η εκτίµηση σύµφωνα µε το kriging και z(s o ) είναι η πραγµατική Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [34]

57 Κεφάλαιο 2: Θεωρία τιµή της χωρικής µεταβλητής, τότε το σφάλµα εκτίµησης MSΕ στη συγκεκριµένη θέση είναι: n MSE s o =z s o -z(s o )= λ i z(s i ) -z(s o ) Εξ.: 2.13 i=1 Απαίτηση αµεροληψίας Κατά µέση τιµή (δηλ. πέρα από όλες τις πιθανές λύσεις και πραγµατοποιήσεις), το σφάλµα της εκτίµησης πρέπει να είναι µηδενικό: Ε MSE s o = Εξ.: 2.14 Ελάχιστη διακύµανση σφάλµατος Η διασπορά του σφάλµατος εκτίµησης πρέπει να είναι η ελάχιστη, δηλ. να ισχύει: Var[MSE s o ] 0 Εξ.: 2.15 Οι Εξ και Εξ. 2.15, έπειτα από επεξεργασία, ισοδυναµούν µε τα ακόλουθα δυο κριτήρια για τους συντελεστές βαρύτητας λ i : Απαίτηση αµεροληψίας n λ i i=1 =1 Εξ.: 2.16 Ελάχιστη διακύµανση σφάλµατος n n n min λ i λ j C(s i -s j )-2 λ i C(s i -s o )+C(0) Εξ.: 2.17 i=1 j=1 i=1 Με χρήση της µεθόδου των παραµέτρων Lagrange (Lagrange multipliers), προκύπτει, τελικά, το ακόλουθο γραµµικό σύστηµα εξισώσεων: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [35]

58 Κεφάλαιο 2: Θεωρία C 11 C 12 C 1n 1 C A X=B 21 C 22 C 2n 1 λ 1 λ C 1o 2 C C n1 C n2 1 1 C nn = 2o λ n v C no 1 Εξ.: 2.18 όπου C ij =C(s i -s j ) η συνδιακύµανση ανάµεσα στα σηµεία i, j, λ i ο συντελεστής βάρους της µέτρησης i για την εκτίµηση της παραµέτρου στη ζητούµενη θέση s o και ν η παράµετρος Lagrange. Οι πίνακες Α, Β και Χ έχουν διαστάσεις (n+1)x(n+1), (n+1)x1 και (n+1)x1 αντίστοιχα. Στην περίπτωση του συνήθους kriging, η χωρική µεταβλητή z(s) θεωρείται ότι βασίζεται στην εσωτερική υπόθεση. Εποµένως, το εργαλείο που χρησιµοποιείται είναι το διασπορόγραµµα έναντι της συνδιακύµανσης. Κάνοντας χρήση της Εξ. 2.5, το σύστηµα εξισώσεων 2.18, µε όρους διασπορογράµµατος, παίρνει τη µορφή: -γ -γ γ 1n 1 -γ 21 -γ 22 -γ 2n 1 λ -γ 1 1o λ 2 -γ A X=B = 2o -γ n1 -γ n2 -γ nn 1 λ n v -γ no 1 Εξ.: 2.19 όπου γ ij =γ(s i -s j ) το διασπορόγραµµα ανάµεσα στα σηµεία i, j. Στην περίπτωση των εξισώσεων συνήθους kriging, το µέσο τετραγωνικό σφάλµα εκτίµησης της παραµέτρου z στη θέση s o δίνεται από τη σχέση: n MSE=σ 2 o =E z s o -z s o 2 =-v+ λ i γ(s i - s o )=-Β' Χ Εξ.: 2.20 Η περίπτωση του γενικευµένου kriging χρησιµοποιείται, όπως προαναφέρθηκε, όταν η χωρική µεταβλητή z(s) δεν παρουσιάζει µια σταθερή µέση τιµή στο χώρο, δηλ. όταν περιγράφεται από τη σχέση: i=1 z(s)=m(s)+ε(s) Εξ.: 2.21 όπου m(s) µια ντετερµινιστική συνιστώσα και ε(s) η στοχαστική συνιστώσα µε µηδενική µέση τιµή. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [36]

59 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Θεωρείται ότι η m(s) έχει µορφή: m+1 m(s)= f l-1 (s) β (l-1) l=1 Εξ.: 2.22 όπου f 1 (s),, f m (s) είναι γνωστές συναρτήσεις των χωρικών συντεταγµένων s και β 1,, β m είναι ντετερµινιστικοί, αλλά άγνωστοι, συντελεστές που ονοµάζονται συντελεστές τάσης. Ας σηµειωθεί ότι το f o (s) 1, ώστε να προκύπτει ο σταθερός όρος στη µέση τιµή. Συνήθως οι συναρτήσεις f 1 (s),, f m (s) είναι πολυώνυµα. Στην περίπτωση που m=1, τότε m(s)=c και πρόκειται για την περίπτωση του συνήθους kriging, η οποία ουσιαστικά αποτελεί απλοποιηµένη περίπτωση του γενικευµένου kriging. Στην περίπτωση αυτή, δε µεταβάλλονται τα κριτήρια από τα οποία προκύπτουν οι εξισώσεις του kriging, αλλά προβλήµατα ανακύπτουν στον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος, µιας και µε τη συνηθισµένη µεθοδολογία εµπλέκεται στους υπολογισµούς και η ντετερµινιστική συνιστώσα, διαστρεβλώνοντας την πραγµατική φύση του διασπορογράµµατος. Γενικά, για να εκτιµηθεί η µεταβλητή z(s), πρέπει να προσδιοριστεί και η µέση τιµή και το διασπορόγραµµα. Το kriging επιτρέπει τον προσδιορισµό του πρώτου αν το δεύτερο είναι γνωστό κι αντίστροφα. Ωστόσο, σε πολύ λίγες περιπτώσεις ένα από τα δυο αυτά στοιχεία είναι γνωστά a priori. Αξίζει να αναφερθεί ότι σε κάποιες ειδικές περιπτώσεις, παρόλη την ύπαρξη της τάσης µεταβολής, επιτρέπεται να καταφύγουµε στην κλασική αντιµετώπιση µε το σύνηθες kriging, όπως όταν η τάση µεταβολής είναι αρκετά ήπια ή όταν η τάση παρουσιάζεται µόνο στη µια διεύθυνση (Chilès & Delfiner, 1999). Στην περίπτωση που η µέση τιµή m(s) είναι γνωστή, τότε αυτή αφαιρείται από τις µετρήσεις z(s) και το διασπορόγραµµα προκύπτει από τα δεδοµένα έχοντας αφαιρέσει τη µέση τιµή (z d ). Έχοντας προσδιορίσει το διασπορόγραµµα, είναι δυνατή η υιοθέτηση των εξισώσεων του συνήθους kriging για την παράµετρο z d, µιας και είναι πια απαλλαγµένη από στοχαστικές τάσεις (η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως regression kriging Hengl et al., 2003). Το διασπορόγραµµα της z d διαφέρει πολύ από αυτό των αρχικών δεδοµένων τόσο σε τιµές όσο και σε µορφή, αλλά σύµφωνα µε τον Kitanidis (1997), και τα δυο διασπορογράµµατα µοιράζονται την ίδια γενικευµένη συνδιακύµανση, γεγονός που Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [37]

60 Κεφάλαιο 2: Θεωρία επιτρέπει την υιοθέτηση του απαλλαγµένου από την τάση µεταβολής - διασπορογράµµατος γ d για την εκτίµηση της µεταβλητότητας της στοχαστικής συνιστώσας. Στην περίπτωση που είναι γνωστό το γ d, είναι δυνατός ο προσδιορισµός της τάσης µεταβολής (πιο συγκεκριµένα των συντελεστών β) και στη συνέχεια χρησιµοποιούνται οι εξισώσεις του γενικευµένου kriging, όπως περιγράφονται ακολούθως. A X=B -γ -γ γ f 1n 0,(1) f m,(1) -γ 21 -γ 22 -γ f 2n 0,(2) f m,(1) λ 1 λ 2 -γ n1 -γ n2 -γ f nn 0,(n) f m,(n) λ n = f 0,(1) f 0,(2) f 0,(n) 0 0 v o f m,(1) f 0 0 v m,(2) f m m,(n) 0 0 -γ 1o -γ 2o -γ no f 0,(o) f m,(o) Εξ.: 2.23 όπου γ ij =γ(s i -s j ) και f m,(o) =f m (s o ). Οι πίνακες Α, Β και Χ έχουν διαστάσεις (n+m+1)x(n+m+1), (n+m+1)x1 και (n+m+1)x1 αντίστοιχα. Στην περίπτωση του γενικευµένου kriging, το MSE δίνεται από τη σχέση: m n MSE=σ 2 o =E z s o -z s o 2 =- v i f io + λ i γ(s i - s o )=-Β' Χ i=0 i=1 Εξ.:2.24 Όπως γίνεται φανερό από τα παραπάνω, οι εξισώσεις του kriging δεν οδηγούν άµεσα στον προσδιορισµό των συντελεστών τάσης β. Για την εκτίµησή τους µπορούν να ακολουθηθούν δυο διαδικασίες που οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσµα. Η πρώτη αφορά τον υπολογισµό των συντελεστών τάσης β m από την ακόλουθη σχέση (Hudson & Wackernagel, 1994): n β m = λ mi z(s i ) i=1 Εξ.: 2.25 όπου οι συντελεστές βαρύτητας λ m προκύπτουν από την επίλυση του συστήµατος kriging θέτοντας στον πίνακα Β όλους τους όρους µηδενικούς εκτός από τον όρο στην n+m σειρά που γίνεται µοναδιαίος. Επιλύοντας το σύστηµα m φορές προκύπτουν οι συντελεστές βαρύτητας κι άρα κι οι συντελεστές τάσης β m. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [38]

61 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Η δεύτερη διαδικασία αφορά τη γενικευµένη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, σύµφωνα µε την οποία ο πίνακας-γραµµή Β gls που περιέχει σε κάθε µία από τις m στήλες του τους συντελεστές τάσης β m, προκύπτει από τη σχέση (24) και τα δεδοµένα, απαλλαγµένα από την τάση µεταβολής από τη σχέση (25): Β gls = X T f A -1 X f -1 X T f A -1 z Εξ.: 2.26 z d, ls =z-x f B ls =(I-X f X T f A -1 X f -1 X T f A -1 )z Εξ.: 2.27 όπου Χ f πίνακας [nxm] µε τις συναρτήσεις χωρικών συντεταγµένων f 1 (s),, f m (s). Πιο αναλυτικά, η κάθε γραµµή του πίνακα X f αντιστοιχεί σε κάθε σηµείο s i των µετρήσεων και η κάθε στήλη σε κάθε µία από τις συναρτήσεις f j. Ο πίνακας αυτός δεν πρέπει να συγχέεται µε τον πίνακα Χ, τον άγνωστο στις εξισώσεις kriging Ωστόσο, στις περισσότερες των περιπτώσεων η m(s) είναι άγνωστη. Τότε οδηγούµαστε στο γνωστό πρόβληµα του αυγού και της κότας, µιας και ο προσδιορισµός του διασπορογράµµατος απαιτεί τη γνώση της m(s) και ο προσδιορισµός της m(s) προκύπτει µε τη γενικευµένη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, εφόσον είναι γνωστό το διασπορόγραµµα (Armstrong, 1984). Σύµφωνα µε τον Kitanidis (1993), για τον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος µπορεί να θεωρηθεί γνωστή από προηγούµενες εµπειρίες η µορφή της m(s), δηλ. οι m συναρτήσεις βάσης f(s), οπότε µε τη συνήθη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προσδιορίζονται οι τιµές των συντελεστών τάσης β ols και τα δεδοµένα z d,ols, απαλλαγµένα από την τάση που υπολογίζεται: Β οls = X T f X f -1 X T f z Εξ.: 2.28 z d,ols =z-x f B ols =(I-X f X T f X f -1 X T f )z Εξ.: 2.29 Η εκτίµηση των z d,ols επιτρέπει τον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος γ d και άρα την εκτίµηση των z d,gls σύµφωνα πια µε τη γενικευµένη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (Εξ και Εξ. 2.27). Οδηγείται, λοιπόν, το πρόβληµα σε µια επαναληπτική διαδικασία υπολογισµού των Β gls και γ d, έως ότου οι τιµές Β gls να συµπίπτουν. Πέρα από το υπολογιστικό κόστος, η µεθοδολογία αυτή παρουσιάζει κι άλλα µειονεκτήµατα, µε κυριότερο την παρουσία αρνητικής στρέβλωσης σε µεγάλες τιµές του h στο γ d (Cressie, 1987) και την ανάγκη γνώσης a priori της µορφής της τάσης µεταβολής, δηλ. των συναρτήσεων f m (s). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [39]

62 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Πέρα από την κλασική προσέγγιση που περιγράφηκε παραπάνω, οι Chilès & Delfiner (1999) προτείνουν την υιοθέτηση των γενικευµένων διασπορογραµµάτων (generalized variograms), όπου αντί να αφαιρεθεί η τάση µεταβολής από τα δεδοµένα, γίνεται χρήση των διαφορών για να απαλειφθεί το πρόβληµα της στρέβλωσης. Πιο συγκεκριµένα, όπως το διασπορόγραµµα απαλείφει µέσω των διαφορών την ανάγκη προσδιορισµού της σταθερής µέσης τιµής στο σύνηθες kriging, έτσι και αν χρησιµοποιηθεί διασπορόγραµµα µε δευτεροβάθµιες διαφορές είναι δυνατή η απαλοιφή µιας γραµµικής τάσης µεταβολής. Η µεθοδολογία αυτή φαίνεται δελεαστική µιας και τα διασπορογράµµατα προκύπτουν χωρίς στρέβλωση και δεν απαιτείται επαναληπτική διαδικασία. Ωστόσο, µπορεί να βρει εφαρµογή µόνο όταν ο κάνναβος των µετρήσεων είναι τετραγωνικός, δηλ. τα σηµεία µετρήσεων ισαπέχουν µεταξύ τους. Για την αποφυγή τόσο της στρέβλωσης στο διασπορόγραµµα µε την επαναληπτική διαδικασία όσο και την απαίτηση τετραγωνικού καννάβου µε τη χρήση γενικευµένων διασπορογραµµάτων, αναπτύχθηκε η θεωρία των εγγενών τυχαίων συναρτήσεων τάξης k IRF-k (intrinsic random functions of order k). Αξίζει, στο σηµείο αυτό, να αναφερθεί συνοπτικά και η περίπτωση της γεωστατιστικής ανάλυσης µε εξωτερική τάση - external drift (KED). Η µεθοδολογία ταυτίζεται πλήρως µε αυτή του γενικευµένου kriging (U.K.), µε µόνη διαφορά ότι ενώ στο γενικευµένο kriging η µέση τιµή εξαρτάται από τις χωρικές συντεταγµένες f 1 (s),, f m (s), ενώ στο KED η µέση τιµή εξαρτάται από µια βοηθητική παράµετρο q 1 (s),,q m (s), της οποίας οι τιµές είναι γνωστές τόσο στις θέσεις που υπάρχουν µετρήσεις της z όσο και στις θέσεις που επιδιώκεται η εκτίµηση της z (Hengl et al., 2003). Ως αποτέλεσµα της διαφοροποίησης αυτής, ο προσδιορισµός του διασπορογράµµατος είναι ανεξάρτητος από την εξωτερική τάση µεταβολής, σε αντίθεση µε το UK όπου η τάση µεταβολής, όπως αναφέρθηκε διεξοδικά, επηρεάζει σηµαντικά το διασπορόγραµµα. Για παράδειγµα, οι Hudson & Wackernagel (1994) παρουσίασαν ένα χάρτη µε τη µέση θερµοκρασία του Ιανουαρίου στη Σκωτία βασισµένοι στη µέθοδο KED, χρησιµοποιώντας ως εξωτερική τάση αυτήν του υψοµέτρου, το οποίο ήταν γνωστό σε όλο το πεδίο από τοπογραφικούς χάρτες. Σύµφωνα µε αυτήν την αναφορά, η µέθοδος KED δικαιολογείται µόνο όταν η ζητούµενη παράµετρος z έχει γραµµική σχέση µε τη βοηθητική παράµετρο q. Ειδάλλως, χρειάζεται να είναι γνωστή η σχέση που συνδέει τα δυο µεγέθη και να πραγµατοποιηθεί KED µε τάση ως προς µια νέα παράµετρο q που πηγάζει από τη σχέση αυτή. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [40]

63 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Ανισοτρο ία Ισοτροπία στη γεωστατιστική σηµαίνει ότι το διασπορόγραµµα εξαρτάται µόνο από την απόσταση h µεταξύ δυο σηµείων µέτρησης κι όχι από τη διεύθυνση της απόστασης αυτής, δηλ. η µέση τετραγωνική διαφορά µεταξύ δυο µετρήσεων σε απόσταση h είναι η ίδια είτε η απόσταση αυτή είναι οριζόντια είτε κατακόρυφη. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις που δεν ισχύει η θεώρηση ισοτροπίας, δηλ. η δοµή της παραµέτρου εξαρτάται από τη διεύθυνση. Η ανισοτροπία µπορεί να χωριστεί σε δυο κατηγορίες (Chilès & Delfiner, 1999): στη γεωµετρική ανισοτροπία. Πρόκειται για την ανισοτροπία όπου τα διασπορογράµµατα στις δυο διευθύνσεις παρουσιάζουν ίδια οριακή τιµή αλλά διαφορετικό εύρος. στη ζωνική ανισοτροπία, όπου τα διασπορογράµµατα στις δυο διευθύνσεις παρουσιάζουν διαφορετική οριακή τιµή. Το σύνηθες αίτιο της ανισοτροπίας είναι η γεωλογική ανισοτροπία. Π.χ. στην κατακόρυφη διεύθυνση η διαπερατότητα µεταβάλλεται πιο γρήγορα απ ότι στην οριζόντια διεύθυνση. Έτσι, στην οριζόντια διεύθυνση υπάρχει µεγαλύτερη συσχέτιση. Για αυτό το λόγο, π.χ. µια µέτρηση της διαπερατότητας 10m µακριά σε οριζόντια διεύθυνση µπορεί να περιέχει τόση πληροφορία (βαρύτητα) όσο µία µέτρηση σε απόσταση 1m σε κατακόρυφη διεύθυνση. Επίσης διαφορετική διακύµανση αναµένεται σε µια χωρική µεταβλητή, όταν αυτή µετράται σε διεύθυνση κάθετη και παράλληλη µε ένα ρήγµα. Εκτός από τη γεωλογική ανισοτροπία, ανισοτροπία µπορεί να εµφανιστεί και στην περίπτωση δυναµικών µηχανισµών. Π.χ. ας θεωρηθεί η περίπτωση δισδιάστατης ροής ενός οµογενούς και ισότροπου µέσου µέσα στο οποίο διαλύεται µια ουσία. Η διασπορά της ουσίας αναµένεται να είναι µεγαλύτερη στη διεύθυνση της ροής. Εάν θεωρηθεί ότι η χωρική µεταβλητή συµπεριφέρεται ανισότροπα, τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα ανισότροπο προσοµοίωµα, που θα περιγράφει πιο ικανοποιητικά την πραγµατικότητα και θα προσφέρει πιο ακριβείς προβλέψεις, αν και θα απαιτεί τον προσδιορισµό περισσότερων παραµέτρων απ ότι το αντίστοιχο ισότροπο προσοµοίωµα. Το πειραµατικό διασπορόγραµµα διευθύνσεων γ dir αποτελεί ένα χρήσιµο εργαλείο για τη διερεύνηση της αναγκαιότητας υιοθέτησης ανισοτροπικού µοντέλου. Για τον προσδιορισµό Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [41]

64 Κεφάλαιο 2: Θεωρία του, αρχικά, ορίζεται ένα εύρος διευθύνσεων και καθορίζονται τα ζεύγη τιµών που ανήκουν στο εύρος αυτό. Στη συνέχεια, υπολογίζεται το διασπορόγραµµα του εκάστοτε εύρους λαµβάνοντας υπόψη µόνο τα ζεύγη που ανήκουν σε αυτό. Αν το γ dir παρουσιάζει σηµαντικές διαφορές ανάλογα µε το εύρος διευθύνσεων, τότε υπάρχει σηµαντική ένδειξη ότι το ανισότροπο µοντέλο µπορεί να υιοθετηθεί. Ωστόσο, χρειάζεται προσοχή µιας και η τάση µεταβολής είναι δυνατόν να προκαλέσει παρόµοια συµπεριφορά. Ανάλογα µε το είδος της ανισοτροπίας, ακολουθείται διαφορετική προσέγγιση στο πρόβληµα: Στην περίπτωση της γεωµετρικής ανισοτροπίας, η µόνη αλλαγή στη µεθοδολογία είναι ότι αντί να χρησιµοποιηθεί η συµβατική απόσταση µεταξύ δυο σηµείων µέτρησης h, χρησιµοποιείται η γενικευµένη ευκλείδεια απόσταση h g : d d h g = h i H ij h j i=1 j=1 Εξ.: 2.30 H= cos2 φ+α 2 sin 2 φ (1-a 2 ) sinφ cosφ (1-a 2 ) sinφ cosφ sin 2 φ+α 2 cos2 φ Εξ.: 2.31 όπου d: ο αριθµός των διαστάσεων (για δισδιάστατο πρόβληµα d=2), h i : η απόσταση µεταξύ των δυο σηµείων µέτρησης στη διεύθυνση i, H ij : το ij στοιχείο του συµµετρικού και θετικά ορισµένου πίνακα Η, φ: η γωνία περιστροφής τους συστήµατος και α: ο βαθµός ανισοτροπίας, όπως προκύπτει από το γ dir. Για την ζωνική ανισοτροπία θα µπορούσε να θεωρηθεί ότι το διασπορόγραµµα αποτελεί το άθροισµα δυο διασπορογραµµάτων, όπου το καθένα εξαρτάται µόνο από µια διεύθυνση (γ 1 (x) και γ 2 (y)). Ωστόσο, σύµφωνα µε τους Myers & Journel (1990), αυτό µπορεί να οδηγήσει σε ιδιόµορφο πίνακα (µηδενική ορίζουσα). Για το λόγο αυτό, ο Myers (2007) παρέχει κάποιους τρόπους αντιµετώπισης του συγκεκριµένου προβλήµατος: Με λίγα λόγια, η µεθοδολογία που χρησιµοποιείται στην περίπτωση της ανισοτροπίας δε διαφέρει µε αυτήν της ισοτροπίας, πέρα από το γεγονός ότι µεταβάλλεται αναλόγως το διασπορόγραµµα. Οι εξισώσεις του kriging παραµένουν αµετάβλητες. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [42]

65 Κεφάλαιο 2: Θεωρία ιαγνωστικοί έλεγχοι Έχοντας ήδη παραθέσει τη µεθοδολογία σύµφωνα µε την οποία πραγµατοποιείται η εκτίµηση (s o ) της παραµέτρου z στη θέση s o, γίνεται φανερό ότι η εκτίµηση αυτή εµπεριέχει µια σωρία υποθέσεων, η φύση των οποίων θα µπορούσε να κατηγοριοποιηθεί ως εξής (βασιζόµενοι στην αναφορά του Kitanidis, 1988): Φύση της παραµέτρου z (δισδιάστατη ή τρισδιάστατη ανάλυση, σχέση µε βοηθητικές παραµέτρους co-kriging, KED, παρουσία τάσης µεταβολής κ.τ.λ.) Συνοριακές συνθήκες (αντιµετώπιση του πεδίου ως ένα ενιαίο ή διαχωρισµός του, κριτήρια που διέπουν το διαχωρισµό του) Χωρική συσχέτιση µετρήσεων (στασιµότητα ή µη, ισοτροπία ή ανισοτροπία, επιλεγόµενο προσοµοίωµα διασπορογράµµατος, παράµετροι διασπορογράµµατος) οµή σφάλµατος (παρουσία σφάλµατος στις µετρήσεις, εισαγωγή φαινόµενου κόκκου στο διασπορόγραµµα) Καθίσταται, λοιπόν, επιτακτική η ανάγκη επαλήθευσης των υποθέσεων µε χρήση των ελέγχων επιβεβαίωσης (validation tests). Η επιβεβαίωση, σαφώς, δεν µπορεί να σχετιστεί µε το σφάλµα εκτίµησης MSE, εφόσον αυτό εξαρτάται άµεσα από το διασπορόγραµµα που καλείται ο έλεγχος να κρίνει. Ούτε η κλασική προσέγγιση των statistical hypothesis tests µπορεί να βρει εφαρµογή σε ένα πεδίο όπου οι µετρήσεις παρουσιάζουν χωρική εξάρτηση. Για αυτό το λόγο, η µέθοδος που χρησιµοποιείται στους ελέγχους επιβεβαίωσης στη γεωστατιστική είναι η επιβεβαίωση τιµών (cross-validation). Συνοπτικά, η ιδέα πίσω από τον έλεγχο επιβεβαίωσης τιµών είναι να αποκλείονται κάποιες µετρήσεις από την ανάλυση και να εκτιµάται στις θέσεις των µετρήσεων αυτών η τιµή της z βασιζόµενοι στις υπόλοιπες µετρήσεις. Η απόκλιση µεταξύ των εκτιµώµενων και µετρούµενων τιµών αποτελεί κριτήριο για την ορθότητα ή µη των υποθέσεων. Στη βιβλιογραφία παρουσιάζεται σχετικά µικρός αριθµός άρθρων αναφορικά µε τους ελέγχους επιβεβαίωσης στη γεωστατιστική. Ανάµεσά τους ξεχωρίζουν οι Delfiner (1976), Davis (1987), Borgman (1988), Laslett et al. (1987), Voltz & Webster (1990) και Kitanidis (1991). Στην παρούσα εργασία γίνεται αναφορά µόνο της µεθόδου αποβολής-ενός (leaveone-out), που αποτελεί τη βασική µεθοδολογία πάνω στις οποίες στηρίζονται οι Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [43]

66 Κεφάλαιο 2: Θεωρία περισσότεροι έλεγχοι επιβεβαίωσης που έχουν αναπτυχθεί και αντιπαραβάλλεται µε τους ελέγχους επιβεβαίωσης που προτείνει ο Kitanidis (1991). Αν και επικρατεί η άποψη ότι τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται στον υπολογισµό του διασπορογράµµατος δεν πρέπει να συµµετέχουν στους ελέγχους επιβεβαίωσης κι αντίστροφα (Kitanidis, 1988, Voltz & Webster, 1990), κάτι τέτοιο δε συµβαίνει συχνά στην πράξη, όπου ο αριθµός των διαθέσιµων µετρήσεων είναι περιορισµένος. Πράγµατι, ένας από τους πιο διαδεδοµένους τρόπους επιβεβαίωσης τιµών είναι η µέθοδος αποβολής-ενός (leave-one-out) - David, Ας θεωρηθεί, λοιπόν, ότι υπάρχουν n διαθέσιµες µετρήσεις της παραµέτρου z(s i ) στις θέσεις s i, i=1..n. Με βάση τις υποθέσεις και στηριζόµενοι στις n µετρήσεις, υπολογίζεται το διασπορόγραµµα γ(h). Στη συνέχεια, πραγµατοποιούνται n αναλύσεις kriging, µε το ίδιο γ(h), αποκλείοντας κάθε φορά από τα δεδοµένα µία από τις µετρήσεις, την z(s i ), και εκτιµώντας την τιµή της παραµέτρου στη θέση αυτή s i. Έτσι, για κάθε θέση s i, i=1..n, προκύπτει από την ανάλυση η εκτιµώµενη τιµή ž(s i ) και το σφάλµα της εκτίµησης MSE i. Εφόσον η πραγµατική τιµή της παραµέτρου είναι γνωστή σε κάθε θέση από τις µετρήσεις, προκύπτουν εύκολα n τιµές του σφάλµατος i και του κανονικοποιηµένου σφάλµατος e i για κάθε µία από τις n θέσεις µέτρησης, σύµφωνα µε τους ακόλουθους τύπους: i =z s i -z s i, i=1,,n Εξ.: 2.32 e i = z s i -z s i MSE i, i=1,,n Εξ.: 2.33 Με δεδοµένο ότι το διασπορόγραµµα γ(h) που υιοθετήθηκε είναι το σωστό, το σφάλµα ε αποτελεί µια τυχαία µεταβλητή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά MSE, ενώ το κανονικοποιηµένο διάγραµµα e είναι µια τυχαία µεταβλητή µε µηδενική µέση τιµή και µοναδιαία διασπορά. Εποµένως, όσο πιο κοντά στο θεωρητικό διασπορόγραµµα βρίσκεται το γ(h), τόσο αναµένεται ο όρος S 1 (µέση τιµή του e i ) να τείνει στο µηδέν, ενώ ο όρος S 2 (διασπορά του e i ) να πλησιάζει στη µονάδα, δηλ.: n S 1 = 1 n e i i=1 n S 2 = 1 n e i 2 i=1 0 Εξ.: Εξ.: 2.35 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [44]

67 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Ωστόσο, η συγκεκριµένη µέθοδος έχει συγκεντρώσει αρκετά επικριτικά σχόλια. Όπως τονίζει ο Kitanidis (1991), οι τιµές του σφάλµατος e i δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους µιας και εξαρτώνται µε σύνθετο τρόπο τόσο από τη δοµή του διασπορογράµµατος όσο κι από τη θέση των µετρήσεων. Η συσχέτιση αυτή περιορίζει το διαγνωστικό ρόλο του e, γιατί ο έλεγχος επιβεβαίωσης απαιτεί τη χρήση ανεξάρτητων υπολοίπων (residuals). Επίσης, σύµφωνα µε τους Chilés & Delfiner (1999), ο προσδιορισµός του γ δε µπορεί να προκύψει λειτουργώντας αντίστροφα, δηλ. θέτοντας S 1 =0 & S 2 =1, γιατί έτσι θα προέκυπτε µεγάλο βάρος σε µετρήσεις µε ακραίες τιµές. Οι Voltz & Webster (1990) χαρακτηρίζουν τη µέθοδο µεροληπτική και αισιόδοξη. Πιο συγκεκριµένα, θεωρούν ότι χρειάζεται να διαχωρίζονται οι µετρήσεις που συµµετέχουν στον προσδιορισµό του γ σε σχέση µε αυτές που παίρνουν µέρος στον έλεγχο επιβεβαίωσης κι επίσης να επαναπροσδιορίζεται το διασπορόγραµµα κάθε φορά που αφαιρείται µια µέτρηση. Εξυπακούεται ότι µια τέτοια προσέγγιση, αν και θεωρητικά πληρέστερη, απαιτεί µεγάλο αριθµό δεδοµένων. Όπως αναφέρει ο Davis (1987), συχνά επέρχεται κακοποίηση του ελέγχου επιβεβαίωσης γιατί κατά τη σύγκριση αυτό που προκύπτει είναι η καταλληλότερη θεώρηση (είτε αυτό σηµαίνει µέθοδο παρεµβολής, είτε τεχνική kriging είτε παραµέτρους του διασπορογράµµατος) ανάµεσα στις υποψήφιες κι όχι η βέλτιστη εν γένει, κάτι που πολύ συχνά οι µελετητές φαίνεται να αγνοούν. Το ίδιο θέµα τίθεται από τον Kitanidis (1991), που δηλώνει ότι καµιά θεώρηση δε θα δώσει ακριβώς S 1 =0 και S 2 =1, άρα πόσο επιτρέπεται να απέχει το S 1 από το 0 ή το S 2 από το 1 για να χαρακτηριστεί η θεώρηση ως συνεπής µε τα δεδοµένα;. Με πιο απλά λόγια, ας θεωρηθεί ότι συγκρίνονται µε τη µέθοδο αποβολής-ενός δυο θεωρήσεις που είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι είναι εσφαλµένες, µιας και καµία δεν περιγράφει τη χωρική διάσταση των δεδοµένων επαρκώς. Η µέθοδος θα απαντήσει στο ποια από τις δύο είναι η βέλτιστη, δηλ. στην περίπτωση αυτή η λιγότερο εσφαλµένη, κι ο µελετητής λανθασµένα θα υιοθετήσει τη βέλτιστη, χωρίς να του προσφέρεται ένα κριτήριο που θα τον καθοδηγούσε να αναζητήσει µία τρίτη ορθή θεώρηση. Σε αυτό το πρόβληµα έρχεται να απαντήσει ο Kitanidis µε τους ελέγχους επιβεβαίωσης Q 1 και Q 2, χρησιµοποιώντας ορθοκανονικά υπόλοιπα. Στη συγκεκριµένη εργασία θα αναφερθεί η µεθοδολογία που αναπτύσσει ο Kitanidis (1991) για την περίπτωση του συνήθους kriging, αν και εύκολα η µεθοδολογία αυτή µπορεί να επεκταθεί σε κάθε είδος kriging. Θεωρείται, λοιπόν, ότι είναι διαθέσιµες n µετρήσεις της παραµέτρου z(s i ) στις θέσεις s i. Κατατάσσονται µε τυχαίο τρόπο οι µετρήσεις κι υπολογίζεται µε το διασπορόγραµµα η εκτίµηση (s k ) στη θέση s k, χρησιµοποιώντας ως δεδοµένα µόνο τις (k-1) προηγούµενες Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [45]

68 Κεφάλαιο 2: Θεωρία µετρήσεις στην κατάταξη. Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία για όλες τις µετρήσεις, προκύπτουν (n-1) εκτιµήσεις. Σύµφωνα, λοιπόν, µε τον Kitanidis, το ορθοκανονικό υπόλοιπο δίνεται από τη σχέση: ε i = z s i -z s i MSE i, i=1,,n-1 Εξ.: 2.36 Με τον τρόπο αυτό προκύπτουν (n-1) που, όπως φανερώνει και η ονοµασία τους, είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους µε µοναδιαία διασπορά. Ακολούθως, υπολογίζεται η µέση τιµή Q 1 και η διασπορά Q 2 των ε: n-1 Q 1 = 1 n-1 ε i i=1 Q 2 = 1 n-1 n-1 ε i 2 i=1 Εξ.: 2.37 Εξ.: 2.38 Εφόσον τα ε ακολουθούν κανονική κατανοµή, τότε ο όρος Q 1 ακολουθεί κανονική κατανοµή κι ο όρος (n-1) Q 2 ακολουθεί κατανοµή χ 2 µε k=n-1. Συνεπώς, η θεώρηση κρίνεται ως εσφαλµένη (µε 5% πιθανότητα να απορριφθεί το σωστό προσοµοίωµα) αν ισχύει µία από τις ακόλουθες σχέσεις: Q 1 >2/ n-1 Εξ.: 2.39 Q 2 >U ή Q 2 <L Εξ.: 2.40 όπου οι τιµές των U, L προέρχονται από την κατανοµή χ 2. Αν cdf είναι η συνάρτηση της αθροιστικής κατανοµής, τότε τα U, L προκύπτουν ως ακολούθως µε βάση την πιθανότητα 5%: U= cdf-1 (0.025) n-1 L= cdf-1 (0.975) n-1 Εξ.: 2.41 Εξ.: 2.42 Οι έλεγχοι επιβεβαίωσης Q 1 και Q 2 έχουν ευρεία απήχηση στη γεωστατιστική διότι µε απλούς υπολογισµούς είναι δυνατόν να εντοπιστεί τόσο η βέλτιστη θεώρηση ανάµεσα στις Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [46]

69 Κεφάλαιο 2: Θεωρία υποψήφιες όσο και η αν η θεώρηση είναι αντιπροσωπευτική των δεδοµένων. Για τους λόγους αυτούς, στην παρούσα εργασία θα υιοθετηθούν οι έλεγχοι επιβεβαίωσης Q 1 & Q 2. Επίσης, όταν η θεώρηση είναι ορθή, τότε τα υπόλοιπα ε i ακολουθούν κανονική κατανοµή και είναι ασυσχέτιστα. Ο Kitanidis (1997) προτείνει τη δοκιµή Filliben (Filliben, 1975) και τον υπολογισµό της κλίσης του διασπορογράµµατος των ε για να δοκιµαστούν αντίστοιχα οι απαιτήσεις αυτές. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [47]

70 Κεφάλαιο 2: Θεωρία 2.2 Co-kriging Πολλές φορές στην ορυκτολογία δε µετράται µία µόνο παράµετρος, αλλά περισσότερες, π.χ. η περιεκτικότητα ενός εδάφους σε χαλκό και µόλυβδο. Εάν η µία από τις δυο µετρήσεις (π.χ. η Α) είναι πιο δαπανηρή ή πιο χρονοβόρα από τη δεύτερη (π.χ. τη Β), τότε συχνά στην πράξη οι µετρήσεις της Α είναι λιγότερες από αυτές της Β. Σύµφωνα µε το υποκεφάλαιο 2.1, οι µετρήσεις αυτές πρέπει να αναλυθούν ξεχωριστά, δηλ. να προσδιοριστούν τα γ Α (h) και γ Β (h) και να εφαρµοστούν για το κάθε ένα από τα µεγέθη οι εξισώσεις του kriging. Βέβαια, λόγω των λιγότερων µετρήσεων, τόσο η αβεβαιότητα στον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος όσο και τα σφάλµατα στην εκτίµηση θα είναι αυξηµένα για την παράµετρο Α. Το co-kriging βασίζεται στο γεγονός ότι οι µετρήσεις της παραµέτρου Β θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν για την εκτίµηση της παραµέτρου Α, εάν οι παράµετροι αυτές παρουσιάζουν κάποια συσχέτιση µεταξύ τους. Στην περίπτωση που οι παράµετροι Α και Β είναι αµοιβαία ασυσχέτιστες και οι µέσες τιµές τους είναι αλγεβρικά ανεξάρτητες, τότε η χρήση των µετρήσεων της Β για την εκτίµηση της Α δε θα προσφέρει καµιά βοήθεια (το σφάλµα εκτίµησης παραµένει σταθερό). Οι Asli & Marcotte (1995) παρουσιάζουν µια εκτενή αναφορά για το πότε η υιοθέτηση του co-kriging οδηγεί σε βελτιωµένες εκτιµήσεις. Σύµφωνα µε αυτήν, η εισαγωγή των δευτερευουσών παραµέτρων στους υπολογισµούς δικαιολογείται όταν ο βαθµός συσχέτισής τους είναι µεγαλύτερος του 0,4. Τα αποτελέσµατα όµως βελτιώνονται σηµαντικά για βαθµό συσχέτισης µεγαλύτερο του 0,75. Συνοψίζοντας, η µέθοδος co-kriging προσφέρει τη δυνατότητα να εκτιµηθεί µε µεγαλύτερη ακρίβεια µια παράµετρος µε λίγες µετρήσεις, όταν στο πεδίο έχουν πραγµατοποιηθεί περισσότερες µετρήσεις για µια άλλη δεύτερη παράµετρο που σχετίζεται µε την πρώτη Εξισώσεις co-kriging Ας θεωρηθεί, λοιπόν, πως υπάρχουν m στάσιµες παράµετροι z 1 (s), z 2 (s),, z m (s) που µετρώνται σε n σηµεία στο πεδίο και το ζητούµενο είναι να προσδιοριστεί το διάνυσµα ž(s o ), δηλ. οι τιµές των παραµέτρων z 1 (s), z 2 (s),, z m (s) στη θέση s o. z s o = z 1 s o,z 2 s o,.,z m (s o ) Εξ.: 2.43 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [48]

71 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Οι εξισώσεις που συνοπτικά παρουσιάζονται παρακάτω αφορούν το απλό και το σύνηθες cokriging. Πιο αναλυτική παρουσίαση των εξισώσεων µπορεί να αναζητηθεί στην αναφορά του Myers (1982). Η εκτίµηση του διανύσµατος ž(s o ) προκύπτει από την ακόλουθη σχέση, εφόσον το ž(s o ) είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων z(s k ): n z s o = z(s k )Γ k k=1 Εξ.: 2.44 όπου z(s k ) είναι διάνυσµα µε τις µετρηθείσες τιµές των m παραµέτρων στη θέση s k και Γ k ένας πίνακας mxm που αποτελείται από τα στοιχεία λ k ij, δηλ. τους συντελεστές βαρύτητας της παραµέτρου i για τον προσδιορισµό της παραµέτρου j όσο αφορά τις µετρήσεις στη θέση k. Υπάρχουν εποµένως n πίνακες Γ k. Για τον προσδιορισµό της συσχέτισης µεταξύ των παραµέτρων χρειάζεται να οριστεί η ij ετερο-συνδιακύµανση C kl που αφορά τη διασπορά των τιµών µεταξύ των παραµέτρων i και j, σε απόσταση h ίση µε την απόσταση µεταξύ των θέσεων k και l: ij C kl =E z i s -m i s z j s+h kl -m j s Εξ.: 2.45 Σύµφωνα µε τις απαιτήσεις αµεροληψίας και περιορισµού του σφάλµατος, οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι: Εξ.: 2.46 Στην περίπτωση που µετρώνται m παράµετροι σε n σηµεία, τότε οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να αναλυθούν ως εξής: C 11 C 12 C 1n I C A X=B 21 C 22 C 2n I Γ 1 Γ 2 C 1o C n1 C n2 I I C nn I I O Γ n C = 2o C no µ Ι Εξ.: 2.47 όπου οι πίνακες C 11 και C 12 είναι: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [49]

72 Κεφάλαιο 2: Θεωρία C 11 = C C C 11 m1 C C C 11 1m 2m 11 C 11,C 12 = m2 C mm 11 C 11 C C C 12 m1 C C C 12 1m 2m 12 C 12 m2 C mm 12 C 12 Εξ.: 2.48 µε το στοιχείο C m2 11 να αφορά την ετερο-συνδιακύµανση της παραµέτρου m ως προς την παράµετρο 2 σε απόσταση ίση µε την απόσταση µεταξύ των θέσεων των µετρήσεων 1 και 1 και το στοιχείο C mm 12 να αφορά την αυτό-συνδιακύµανση της παραµέτρου m σε απόσταση ίση µε την απόσταση µεταξύ των θέσεων των µετρήσεων 1 και 2. Κατά τα άλλα, ο πίνακας Ι είναι ο µοναδιαίος mxm πίνακες, ενώ οι πίνακες µ και Γ i διαστάσεων mxm έχουν τη µορφή: µ 11 µ 12 µ 1m µ 21 µ 22 µ λ i λ i 2m µ=,γ i = λ i λ i µ m1 µ m2 µ mm λ i m1 λ i m2 1m λ i 2m λ i Εξ.: 2.49 λ mm i ηλαδή το στοιχείο 12 λ 2 αφορά τo συντελεστή βαρύτητας λ της παραµέτρου 2 για τον προσδιορισµό της παραµέτρου 1 σχετικά µε την τιµή που έχει η 2 στο σηµείο 2. Τελικά, δηµιουργείται ένα σύστηµα εξισώσεων (mxn+m)x(mxn+m). Ο πίνακας C είναι ij ij ij ij T γενικά µη συµµετρικός, δηλ. C kl Clk και Ckl Ckl, αλλά πάντα ικανοποιεί τη σχέση ij T ij C kl Clk. περικλείει είναι. Παρόλο που ο πίνακας C είναι µη συµµετρικός, ο πίνακας Α που τον Στην περίπτωση που οι παράµετροι είναι εγγενείς, τότε οι παραπάνω όροι µπορούν να εκφραστούν µε τη βοήθεια διασπορογραµµάτων και ετερο-διασπορογραµµάτων. Πράγµατι, η Εξ.2.47 παίρνει τη µορφή: γ 12 γ 11 γ 1n I γ 21 γ 22 γ 2n I Γ 1 Γ 2 A X=B γ n1 γ n2 I I γ I nn Γ n = I O µ γ 1o γ 2o γ no Ι Εξ.: 2.50 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [50]

73 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Οι εξισώσεις αυτές προσφέρουν την ταυτόχρονη εκτίµηση όλων των παραµέτρων σε µια θέση s o, δηλ. όλων των στοιχείων του διανύσµατος ž(s o ). Εάν ζητείται η εκτίµηση π.χ. µόνο της πρώτης παραµέτρου z 1 (s o ), τότε οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να περιοριστούν, κρατώντας από τους πίνακες Χ και Β µόνο την πρώτη στήλη. Το µεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος οφείλεται στην αντιστροφή του πίνακα Α, ο οποίος παραµένει ο ίδιος είτε υπολογίζεται η µία είτε όλες οι παράµετροι. Εποµένως, η διαφορά στο χρόνο υπολογισµού της εκτίµησης της µίας έναντι όλων των παραµέτρων δεν είναι ουσιαστική. Γίνεται, λοιπόν, φανερό από τις εξισώσεις που προηγήθηκαν ότι πέρα από κάποια αύξηση στην πολυπλοκότητα του συστήµατος, η µέθοδος co-kriging µπορεί να παρέχει εκτιµήσεις για µια παράµετρο µε µειωµένη διασπορά στα σφάλµατα χωρίς ιδιαίτερα προβλήµατα στους υπολογισµούς, αρκεί να υπάρχει γνώση µιας ή περισσοτέρων παραµέτρων που να συσχετίζονται µε την πρώτη. Ωστόσο, υπάρχουν κάποια προβλήµατα µε τη συγκεκριµένη µέθοδο, όπως η εκτίµηση των ετερο-συνδιακυµάνσεων και των ετερο-διασπορογραµµάτων. Πράγµατι, µέχρι στιγµής έχει σχολιαστεί εκτενώς ο υπολογισµός της συνδιακύµανσης και του διασπορογράµµατος µιας παραµέτρου, αλλά στη µέθοδο co-kriging, εκτός από τις συναρτήσεις αυτές, απαιτείται και ο προσδιορισµός των ετερο-συνδιακυµάνσεων και των ετερο-διασπορογραµµάτων στις περιπτώσεις του απλού και του συνήθους co-kriging αντίστοιχα οµική ανάλυση σε ταυτότο ες µετρήσεις Εξ ορισµού, οι σχέσεις που παρέχουν την ετερο-διακύµανση και το ετεροδιασπορόγραµµα είναι (Matheron, 1971): C ij h =E z i s+h -m i z j s+h -m j Εξ.: 2.51 γ ij h = 1 E z 2 i s+h -z i (s) z j s+h -z j (s) Εξ.: 2.52 Σύµφωνα µε τις σχέσεις αυτές, εκτιµάται η C ij (h) ή το γ ij (h) και προσδιορίζεται το προσοµοίωµα που περιγράφει καλύτερα τα αποτελέσµατα. Βέβαια, η παραπάνω ανάλυση έχει νόηµα µόνο αν οι µετρήσεις είναι ταυτότοπες, δηλαδή όταν έχουν πραγµατοποιηθεί µετρήσεις των µεταβλητών z i, z j στις ίδιες θέσεις (collocated). Ειδάλλως είναι δύσκολο να γίνει χρήση των παραπάνω σχέσεων, εφόσον απαιτείται να βρίσκονται ζεύγη και των δυο µεταβλητών που να απέχουν απόσταση h. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [51]

74 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Ένας άλλος τρόπος προσδιορισµού των ετερο-διακυµάνσεων και των ετεροδιασπορογραµµάτων ταυτότοπων µετρήσεων προτείνεται από τον Myers (1982). Η µέθοδος συνίσταται στον υπολογισµό της αυτό-συνδιακύµανσης C + i,j της νέας µεταβλητής z + i,j που προκύπτει από το άθροισµα των µετρήσεων των z i, z j. Τότε, η ετερο-συνδιακύµανση C ij µεταξύ των παραµέτρων z i και z j δίνεται τότε από τη σχέση (κι αντίστοιχα και του ετεροδιασπορογράµµατος): C ij h = 1 C 2 ij + h -C ii h -C jj h Εξ.: 2.53 γ ij h = 1 2 ij + h -γ ii h -γ jj h Εξ.: 2.54 Συνεπώς, αντί για τον υπολογισµό των πειραµατικών ετερο-διακυµάνσεων και την τοποθέτηση σε αυτό κάποιου προσοµοιώµατος, είναι δυνατόν να εκτιµηθεί η αυτόδιακύµανση του αθροίσµατός τους. Το προσοµοίωµα που θα χρησιµοποιηθεί για το C ij προκύπτει από το άθροισµα των επιµέρους προσοµοιωµάτων. Η ίδια λογική ακολουθείται και για τα ετερο-διασπορογράµµατα οµική ανάλυση σε ετερότο ες µετρήσεις Οι σχέσεις της προηγούµενης ενότητας αφορούν, όπως αναφέρθηκε, την περίπτωση των ταυτότοπων µετρήσεων. Αν κάποιες τιµές κάποιων παραµέτρων απουσιάζουν (υποδειγµατοληψία), τότε απλά µπορούν οι αντίστοιχες τιµές των άλλων παραµέτρων να εξαιρεθούν από τη µελέτη. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, είτε οι τιµές που πρέπει να παραληφθούν είναι πολλές και έτσι καθίσταται άχρηστο µεγάλο µέρος από τις µετρήσεις, µειώνοντας την αξιοπιστία της εκτίµησης, είτε οι µετρήσεις της κάθε παραµέτρου βρίσκονται σε εντελώς διαφορετικά σηµεία. Στις περιπτώσεις αυτές (ετερότοπη δειγµατοληψία), η υιοθέτηση π.χ. Εξ.2.52 για τον προσδιορισµό του ετερο-διασπορογράµµατος είναι ανέφικτη. Για την αντιµετώπιση αυτού του προβλήµατος, οι Clark et al. (1987) πρότειναν τον υπολογισµό του ετεροδιασπορογράµµατος από τη σχέση: γ ij h = 1 Ε z 2 i s -z j s+h 2 Εξ.: 2.55 Σύµφωνα µε την ίδια δηµοσίευση, ο παραπάνω τρόπος υπολογισµού του γ ij παρουσιάζει ορισµένα πλεονεκτήµατα, όπως την απουσία αρνητικών τιµών του γ και τη χρησιµοποίηση περισσότερων ζευγαριών µετρήσεων µιας και όλες οι µετρήσεις µπορούν να συµµετέχουν Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [52]

75 Κεφάλαιο 2: Θεωρία στη µελέτη. Ο Myers (1991) ονόµασε την ποσότητα που πρότειναν οι Clark et al. σχέση (55) ως ψευδο-ετερο-διασπορόγραµµα g ij (pseudo-cross-variogram) και µια µεγάλη διαµάχη ξέσπασε στις δηµοσιεύσεις για τον τρόπο υπολογισµού του γ ij στις ετερότοπες µετρήσεις. Ο Myers όρισε σαν το συνηθισµένο ετερο-διασπορόγραµµα την ποσότητα: γ ij h = 1 2 Ε z i s+h -z i s z j s+h -z j s Εξ.: 2.56 κι απέδειξε ότι στην περίπτωση οµοιογενών παραµέτρων, µε µέση τιµή m i και m j αντίστοιχα, το γ συνδέεται µε το g σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση, δηλ. ότι τα δυο διασπορογράµµατα δεν αποτελούν την ίδια ποσότητα, εκτός κι αν οι δυο παράµετροι έχουν την ίδια µέση τιµή: g ij h =γ ij + 1 (m 2 i-m j ) 2 Εξ.: 2.57 Ωστόσο, καταλήγει ότι στην περίπτωση των ετερότοπων µετρήσεων, η εξίσωση της Clark δεν επηρεάζει σηµαντικά τα αποτελέσµατα. Οι Cressie & Wikle (1998) τονίζουν πως η ονοµασία ψευδο-ετερο-διασπορόγραµµα είναι λανθασµένη και προτείνει την ονοµασία βασισµένο στη συνδιακύµανση (covariance based) για το συνηθισµένο ετεροδιασπορόγραµµα του Myers και την ονοµασία βασισµένο στη διασπορά (variance based) για το ετερο-διασπορόγραµµα των Clark et al. Βέβαια, η εξίσωση των Clark et al. αναγκάζει να αφαιρεθούν µήλα από πορτοκάλια, όπως πολύ παραστατικά αναφέρουν οι Cressie & Wikle (1998), µιας και αφαιρούνται οι τιµές z i από τις τιµές z j, παρόλο που οι δυο αυτές παράµετροι µπορούν να αφορούν διαφορετικά φυσικά µεγέθη. Για την υπέρβαση αυτού του προβλήµατος, οι ίδιοι συγγραφείς προτείνουν τη µετατροπή των τιµών των z i και z j σε κανονικοποιηµένες τιµές, ώστε οι νέες αυτές τιµές να είναι αδιάστατες, να µπορούν να αφαιρεθούν και να παρουσιάζουν µηδενική µέση τιµή. Ένα άλλο στοιχείο που πρέπει να τονιστεί στο co-kriging είναι η ανάγκη για θετικά ορισµένο πίνακα Α. Αν δεν ισχύει, τότε ο πίνακας Α είναι µη αντιστρέψιµος και το σύστηµα των εξισώσεων δεν έχει λύση. Στη µονοπαραµετρική περίπτωση, το ότι ο Α είναι θετικά ορισµένος εξασφαλιζόταν µε την επιλογή ενός από τα δοθέντα προσοµοιώµατα του διασπορογράµµατος, όπως το εκθετικό, το γραµµικό κτλ. Στο co-kriging, όµως, χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή µιας και είναι πολύ πιθανό ο πίνακας Α που θα προκύψει να είναι µη αντιστρέψιµος εξαιτίας της επιλογής του προσοµοιώµατος του ετερο-διασπορογράµµατος. Εκτός από την πρόταση του Myers (1982) σχέση (54), κάθε άλλος τρόπος προσδιορισµού Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [53]

76 Κεφάλαιο 2: Θεωρία του ετερο-διασπορογράµµατος απαιτεί έλεγχο για την επιβεβαίωση του θετικά ορισµένου πίνακα Α. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [54]

77 Κεφάλαιο 2: Θεωρία 2.3 Χωρο-χρονικό kriging Η γεωστατιστική, όπως παρουσιάστηκε µέχρι τώρα, αφορά καταγραφές που µεταβάλλονται χωρικά. Ωστόσο, πολλά µεγέθη στη φύση µεταβάλλονται και χρονικά κι εποµένως, προέκυψε η ανάγκη να επεκταθεί η θεωρία της γεωστατιστικής, ώστε να συµπεριλάβει και τα δυναµικά φαινόµενα. Οι διαθέσιµες προσεγγίσεις φαίνονται συνοπτικά στο Σχ Γεωµετρική ανισοτροπία Προσθήκη διάστασης χρόνου Ζωνική ανισοτροπία Χωρο-χρονική ανάλυση Υπόθεση του διαχωρισµού Πολλαπλές χρονο-σειρές στο χώρο Co-kriging Πολλαπλές πραγµατοποιήσεις χωρικής τυχηµατικής συνάρτησης στο χρόνο Σχ. 2.5: Προσεγγίσεις για τη χωρο-χρονική ανάλυση Μια πρώτη προσέγγιση σε αυτό το πρόβληµα είναι η προσθήκη µιας επιπλέον διάστασης, αυτής του χρόνου (στην παρούσα εργασία υιοθετείται ο όρος της διεθνούς βιβλιογραφίας STK space time kriging). Θεωρητικά, µε µια τέτοια προσέγγιση δε µεταβάλλει καθόλου το χαρακτήρα των εξισώσεων kriging, αλλά διάφορα προβλήµατα προκύπτουν στη δοµική ανάλυση, εφόσον απαιτείται ο προσδιορισµός του χωρο-χρονικού διασπορογράµµατος γ (x,t) (ή της αντίστοιχης συνδιακύµανσης). Όπως αναφέρουν οι Rouhani & Myers (1990), υπάρχουν δυο τρόποι για να προκύψει το γ (x,t) ο πρώτος αφορά τη θεώρηση γεωµετρικής ανισοτροπίας στις δυο διαστάσεις (µεταξύ της χωρικής απόστασης h και του χρονικού διαστήµατος t), ενώ ο δεύτερος προκύπτει µέσω της υπόθεσης του διαχωρισµού ( separability hypothesis ). Σύµφωνα µε αυτήν, το γ (x,t) αποτελεί προϊόν δυο διασπορογραµµάτων του χρονικού γ t και του χωρικού γ x, που περιγράφουν αποκλειστικά το ένα τη µεταβλητότητα στο χρόνο και το άλλο τη µεταβλητότητα στο χώρο αντίστοιχα. Στην πραγµατικότητα, υπάρχει και µια τρίτη, αυτή της ζωνικής ανισοτροπίας που θα µπορούσε εν µέρει να ενταχθεί στην υπόθεση διαχωρισµού -, η οποία, λόγω της Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [55]

78 Κεφάλαιο 2: Θεωρία πιθανότητας να δηµιουργήσει ιδιάζων πίνακα Α, δε χρησιµοποιείται συχνά. Εφαρµογή της δίνεται στην αναφορά του Bilonick (1985). Η θεώρηση γεωµετρικής ανισοτροπίας εξαναγκάζει την υπό διερεύνηση παράµετρο να µεταβάλλεται µε τον ίδιο τρόπο τόσο χρονικά όσο και χωρικά, εφόσον χρησιµοποιείται το ίδιο προσοµοίωµα. Κάτι τέτοιο, όµως, δεν απαντάται συχνά στην πράξη. O δεύτερος τρόπος απαιτεί τόσο τα προσοµοιώµατα όσο κι ο συνδυασµός τους να είναι έγκυρα, παραδείγµατα των οποίων παραθέτουν οι De Cesare et al. (2001 & 2002). Εφαρµογές της υπόθεσης του διαχωρισµού απαντώνται στις αναφορές των Rodríguez-Iturbe & Mejía (1974) και Rouhani & Hall (1989). Βέβαια, όπως αναφέρουν οι Kyriakidis & Journel (1999), παρόλη τη δελεαστική από µαθηµατική σκοπιά - πρόταση του διαχωρισµού, στη φύση ο διαχωρισµός αυτός ασφαλώς δεν ευσταθεί. Επίσης, ο διαχωρισµός επαφίεται καθαρά στην κρίση του µελετητή, εφόσον δε µπορεί να στηριχτεί στα πειραµατικά δεδοµένα µιας και η µεταβλητότητα του ενός επηρεάζει τη µεταβλητότητα του άλλου. Τα παραπάνω αναφέρονται στο θέµα των στάσιµων χρονικά και οµοιογενών χωρικά (ή τουλάχιστον εγγενών) µεταβλητών. Αν η µεταβλητή παρουσιάζει κάποια τάση µεταβολής είτε στο χρόνο είτε στο χώρο, αυτή χρειάζεται να αφαιρεθεί πριν αναλυθούν γεωστατιστικά τα στοιχεία ή να υιοθετηθούν οι εγγενείς τυχαίες συναρτήσεις τάξης k (Delfiner, 1976). Μια δεύτερη προσέγγιση είναι να θεωρηθούν οι µετρήσεις ως µια συλλογή χρονικά σχετιζόµενων τυχαίων χωρικών συναρτήσεων (Σχ. 2.6-β) ή ως µια συλλογή χωρικά σχετιζόµενων χρονο-σειρών (Σχ. 2.6-γ) και να αντιµετωπιστούν σύµφωνα µε τις αρχές του co-kriging. Η επιλογή σχετίζεται µε το πλήθος και την κατανοµή των µετρήσεων. Η πρώτη (CK-S) προτιµάται όταν υπάρχουν δεδοµένα σε αρκετές θέσεις στο πεδίο µετρούµενα σε λίγες χρονικές στιγµές, ενώ η δεύτερη (CK-T) όταν πολλαπλές µετρήσεις καταγράφονται σε λίγες θέσεις. Στα γεωτεχνικά προβλήµατα, τα δεδοµένα αντιµετωπίζονται ως πολλαπλές χρονοσειρές µιας και συχνά, η προσθήκη µιας νέας θέσης µέτρησης είναι συνήθως πιο δαπανηρή από την καταγραφή σε όλο το πεδίο. Παράδειγµα χρήσης του συστήµατος εξισώσεων co-kriging παρέχουν οι αναφορές των Papritz & Flühler (1994) και Rouhani & Wackernagel (1990). Κυρίαρχο όφελος από την εφαρµογή του CK-Τ για την χωρο-χρονική ανάλυση αποτελεί η αποφυγή ορισµού του γ (x,t), αν και το σύστηµα εξισώσεων γίνεται ιδιαίτερα πολύπλοκο καθώς αυξάνεται το πλήθος των χρονοσειρών (αντίστοιχα και για το CK-S). Η πιο εύκολη δοµική Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [56]

79 Κεφάλαιο 2: Θεωρία ανάλυση έχει, όµως, µια σηµαντική συνέπεια: πλέον ο µελετητής δεν µπορεί να εκτιµήσει τη µεταβλητή σε οποιοδήποτε σηµείο στο χώρο ή στο χρόνο (x,t), αλλά αναγκάζεται να παραµείνει χρονικά στις στιγµές που παρέχονται οι µετρήσεις (θεωρώντας πολλαπλές πραγµατοποιήσεις) ή χωρικά στα σηµεία από όπου παρέχονται οι µετρήσεις (θεωρώντας πολλαπλές χρονοσειρές). Σχηµατικά, τα σηµεία που επιτρέπεται η εκτίµηση φαίνονται στο Σχ Ο Bogaert (1996) παρέχει µια σύγκριση µεταξύ των δυο προσεγγίσεων, της προσθήκης της διάστασης του χρόνου και του co-kriging. Σύµφωνα µε αυτήν, η προσθήκη της διάστασης του χρόνου περιορίζει το σφάλµα εκτίµησης σε σχέση µε το co-kriging, ειδικά όταν οι µετρήσεις δεν παρέχονται σε αφθονία. χρόνος χρόνος χρόνος t3 t2 s2 s4 s5 t1 x x x (α) (β) (γ) Σχ. 2.6: Σχηµατική α εικόνιση των ροσεγγίσεων στη χωρο-χρονική ανάλυση (α) STK εκτίµηση σε ο οιοδή οτε σηµείο (x,t) (β) CK-S εκτίµηση στις συγκεκριµένες χρονικές στιγµές (γ) SK-T εκτίµηση στα συγκεκριµένα χωρικά σηµεία s1 s3 s6 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [57]

80 Κεφάλαιο 2: Θεωρία 2.4 Σφάλµατα µετρήσεων Η θεωρία που έχει παρουσιαστεί έως τώρα αφορά µετρήσεις απαλλαγµένες από σφάλµατα, κάτι που σαφώς δεν απαντάται συχνά στην πράξη, όπως φανερώνουν κι οι ακρίβειες των οργάνων µέτρησης που παρατίθενται στον Πίν Για να εισαχθούν τα σφάλµατα µέσα στην ανάλυση έχουν αναπτυχθεί διάφορες µεθοδολογίες, ανάλογα µε το αν το σφάλµα µέτρησης είναι κοινό σε όλες τις καταγραφές ή όχι. Στο σηµείο αυτό αξίζει να σηµειωθεί ότι η αναφορά στα σφάλµατα στην παρούσα ενότητα σχετίζονται αποκλειστικά µε τα τυχαία σφάλµατα κι όχι µε τα συστηµατικά Κοινό σφάλµα µέτρησης Όταν οι καταγραφές µιας µεταβλητής παρουσιάζουν κοινό σφάλµα µέτρησης, τότε αναµένεται ότι το διασπορόγραµµα θα περιλαµβάνει φαινόµενο κόκκου ne ίσο µε τη διασπορά του σφάλµατος αυτού (Cressie, 1988). Μέχρι τώρα, οι εξισώσεις του kriging που έχουν παρουσιαστεί, λειτουργούν σαν ακριβής εκτιµητής (exact interpolator), δηλ. αν ζητείται η τιµή στο σηµείο s o, θέση στην οποία βρίσκεται κάποιο από τα σηµεία µέτρησης, τότε η γεωστατιστική θα δώσει ως αποτέλεσµα την τιµή της µέτρησης αυτής. Επίσης, το MSE της εκτίµησης θα είναι µηδενικό. Το ερώτηµα που γεννάται, όταν περιλαµβάνεται φαινόµενο κόκκου στο διασπορόγραµµα, είναι αν υπάρχει εµπιστοσύνη στις µετρήσεις ή όχι, δηλ. αν θέλουµε οι εξισώσεις kriging να λειτουργήσουν ως ακριβής εκτιµητής ή όχι. Στην πρώτη περίπτωση, όπου υπάρχει εµπιστοσύνη στις µετρήσεις, θεωρείται ότι το ne οφείλεται σε φαινόµενα µικρο- µεταβλητότητας και χρησιµοποιούνται οι εξισώσεις όπως έχουν δοθεί µέχρι τώρα. Τι συµβαίνει, όµως, όταν δεν υπάρχει εµπιστοσύνη στις µετρήσεις, δηλ. όταν θεωρηθεί ότι το φαινόµενο κόκκου στο διασπορόγραµµα οφείλεται σε σφάλµατα των µετρήσεων; Στην περίπτωση αυτή, αν η παράµετρος που ζητείται είναι αυτή περιλαµβανοµένου του σφάλµατος, τότε χρησιµοποιούνται οι σχέσεις όπως έχουν δοθεί. Ωστόσο, η παράµετρος που ζητείται συνήθως είναι η παράµετρος z -e, δηλ. της παραµέτρου απαλλαγµένης από τα σφάλµατα µέτρησης. Για να εκτιµηθεί η z -e αρκεί να αλλάξει το σύστηµα εξισώσεων και πιο συγκεκριµένα, ο πίνακας Β. Πράγµατι, οι πίνακες Α, Χ της σχέσης (19) - παραµένουν Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [58]

81 Κεφάλαιο 2: Θεωρία αµετάβλητοι, ενώ ο πίνακας Β συµπληρώνεται σύµφωνα µε την ακόλουθη αρχή (Cressie, 1988): s o s i γ * io =γ io +ne=0+ne=ne s o s i γ * Εξ.: 2.58 io =γ io Σύµφωνα µε το νέο σύστηµα εξισώσεων, για την εκτίµηση του z -ε σε µια θέση µέτρησης, δε θα προκύψει πλέον η τιµή της µέτρησης αλλά µια άλλη τιµή, παύει δηλ. λειτουργεί το σύστηµα ως ακριβής εκτιµητής. Ταυτόχρονα, η εκτίµηση δε θα προσδώσει µηδενικό σφάλµα εκτίµησης. Συνοψίζοντας τα ανωτέρω, είναι δυνατόν να διακριθούν δυο τρόποι υπολογισµού της µεταβλητής z όταν το διασπορόγραµµα που προκύπτει παρουσιάζει ασυνέχεια στην αρχή των αξόνων µε µια µετατόπιση των τιµών του κατά ne. Ο ένας τρόπος είναι να τιµηθούν οι µετρήσεις, δηλ. να θεωρηθεί ότι οι µετρήσεις δεν περιέχουν σφάλµα και το φαινόµενο κόκκου προκύπτει από φαινόµενα µικρο-µεταβλητότητας. Τότε, εφαρµόζεται κανονικά η µέθοδος kriging (ας ονοµαστεί ΟΚ σύµφωνα µε τον Kitanidis). Ο άλλος τρόπος εφαρµόζεται όταν θεωρηθεί ότι το ne οφείλεται σε σφάλµατα µετρήσεων και εφαρµόζονται οι σχέσεις που δίνονται στον Cressie, οδηγούµενοι µε αυτόν τον τρόπο σε µια οµαλοποίηση των εκτιµήσεων (continuous part kriging CPK σύµφωνα µε τον Kitanidis). Συγκρίνοντας τις δυο µεθόδους σε θέσεις διάφορες από τις θέσεις µέτρησης, προκύπτει ότι οι δυο µέθοδοι δε διαφέρουν στην εκτίµηση της z. Το σφάλµα στην εκτίµηση µε ΟΚ που προκύπτει είναι κατά ne µεγαλύτερο από αυτό που προκύπτει µε τη µέθοδο CPK, µιας και στη δεύτερη µέθοδο εντοπίζονται οι τιµές της µεταβλητής που είναι απαλλαγµένες από τα λάθη µέτρησης. Στις θέσεις που υπάρχουν µετρήσεις, η µέθοδος ΟΚ εκτιµά την παράµετρο ίση µε αυτήν που προκύπτει από τις µετρήσεις και παρουσιάζει µηδενικό MES, ενώ η CPK προσδίδει διαφορετικές τιµές από αυτές των µετρήσεων και µη µηδενικό MES ιαφορετικό σφάλµα µέτρησης Η αναφορά που έγινε µέχρι τώρα για τα σφάλµατα µέτρησης αφορά τις περιπτώσεις όπου οι διαθέσιµες µετρήσεις παρουσιάζουν το ίδιο σφάλµα µέτρησης, περίπτωση που στην πράξη αντιστοιχεί σε µετρήσεις που πραγµατοποιούνται µε τον ίδιο τρόπο (ίδιο είδος οργάνου µέτρησης, ίδιοι περιβαλλοντικοί παράµετροι κτλ). Σε κάποιες περιπτώσεις, όµως, για τη Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [59]

82 Κεφάλαιο 2: Θεωρία µέτρηση της ίδιας µεταβλητής µπορεί να χρησιµοποιούνται περισσότεροι του ενός τρόποι. Τέτοιες περιπτώσεις εµφανίζονται στη βιβλιογραφία π.χ. για την εκτίµηση της διαπερατότητας σε ένα έδαφος, όπου οι µετρήσεις πραγµατοποιούνται από δοκιµές άντλησης και από µετρήσεις ηλεκτρικής αντίστασης του εδάφους (El Idrysy & De Smedt, 2007) ή για την εκτίµηση της βροχόπτωσης, χρησιµοποιώντας δεδοµένα που προκύπτουν τόσο από βροχόµετρα όσο και από ραντάρ βροχόπτωσης (rainfall radar) (Krajewski, 1987). Για να πραγµατοποιηθεί παρεµβολή µε µετρήσεις µε διαφορετικά σφάλµατα, έχουν εντοπιστεί στη βιβλιογραφία τρεις µέθοδοι, αυτές του Krajewski (1987), του Abbaspour (1998) και του Todini (2001), πέραν της δυνατότητας χρησιµοποίησης της τεχνικής Μόντε Κάρλο. Πιο αναλυτικά, ο Krajewski προτείνει την υιοθέτηση ενός συνήθους co-kriging για την εκτίµηση της βροχόπτωσης, όταν είναι διαθέσιµες πολλές µετρήσεις χαµηλής ακρίβειας από τα ραντάρ βροχόπτωσης και λιγότερες - αλλά ακριβέστερες - µετρήσεις από τα βροχόµετρα. Για τον υπολογισµό, χρειάζεται αρχικά ο προσδιορισµός του Cov RR (συνδιακύµανση από τις µετρήσεις βροχοµέτρων) και η προσαρµογή ενός εκθετικού προσοµοιώµατος σε αυτό. Έπειτα, οι σηµειακές µετρήσεις των βροχοµέτρων ανάγονται σε χώρο ίσο µε έναν κάδο ραντάρ (radar bin), για να αντιστοιχούν οι µετρήσεις των δυο οργάνων στον ίδιο χώρο. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα Cov GG, Cov RR, Cov RG, δηλ. οι συνδιακυµάνσεις των µετρήσεων του ραντάρ και των βροχοµέτρων και η ετεροσυνδιακύµανση των µεταξύ τους µετρήσεων αντίστοιχα. Για την επίλυση του συστήµατος εξισώσεων απαιτείται κι ο προσδιορισµός των Cov VG και Cov VR, δηλ. των ετεροσυνδιακυµάνσεων µεταξύ της πραγµατικής βροχόπτωσης V που ζητείται και του βροχοµέτρου και ραντάρ αντίστοιχα. Μιας και η ποσότητα V είναι άγνωστη, τα Cov VG και Cov VR προσεγγίζονται µε τους ακόλουθους τύπους: Cov VR =β R Cov RR, β R (0,1) Εξ.: 2.59 Cov G =β Cov, β (0,1) Εξ.: 2.60 Τα β R και β G είναι άγνωστα βαθµωτά µεγέθη και ο υπολογισµός τους είναι δυσχερής, αν όχι αδύνατος. Κατά έναν τρόπο αντιπροσωπεύουν την ακρίβεια των µετρήσεων του κάθε οργάνου. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [60]

83 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Έχοντας προσδιορίσει όλες τις απαιτούµενες παραµέτρους, είναι δυνατόν να επιλυθεί το σύστηµα εξισώσεων και να προκύψουν οι συντελεστές βαρύτητας λ Ri και λ Gi ώστε να εκτιµηθεί, τελικά, η πραγµατική βροχόπτωση V στη θέση u o. Ο Krajewski, λοιπόν, κάνει µια προσπάθεια υπολογισµού της πραγµατικής τιµής της βροχόπτωσης χρησιµοποιώντας µετρήσεις από όργανα µε διαφορετικά σφάλµατα. Ωστόσο, υπάρχει αβεβαιότητα ως προς τον προσδιορισµό των τιµών των β R και β G. Αν και ο συγγραφέας προτείνει τιµές για τα µεγέθη αυτά από 0,2-0,4, δεν µπορούν οι τιµές αυτές να χρησιµοποιηθούν µε σιγουριά ούτε για περιπτώσεις µετρήσεων µε διαφορετική χρονική πυκνότητα ούτε για άλλα µεγέθη, περιορίζοντας τη χρήση της µεθόδου αποκλειστικά στην εκτίµηση της βροχόπτωσης µε χρήση των συγκεκριµένων οργάνων. Σύµφωνα, άλλωστε, µε τους Mazzetti & Todini (2002), η επιλογή των τιµών των β R και β G είναι καταλυτικής σηµασίας για την ορθότητα των αποτελεσµάτων, εφόσον οι τιµές τους επηρεάζουν σηµαντικά τα αποτελέσµατα. Επίσης, παρόλο που το θέµα της διαφορετικής ακρίβειας των οργάνων είναι ιδιαίτερα σηµαντικό, τα σφάλµατα υπεισέρχονται στους υπολογισµούς µόνο µέσω των τιµών των β R και β G χωρίς όµως να διαφαίνεται πώς. O Todini (2001) προτείνει µια Bayesian µέθοδο για την εκτίµηση της βροχόπτωσης µε χρήση µετρήσεων προερχόµενων από βροχόµετρα και ραντάρ βροχόπτωσης. Εφόσον οι µετρήσεις των βροχοµέτρων διορθωθούν και αναχθούν µε block-kriging σε χωρικά τµήµατα που αντιστοιχούν στις µετρήσεις του ραντάρ, χρησιµοποιούνται ως µετρήσεις στο πλαίσιο της bayesian µεθόδου, ενώ οι µετρήσεις από το ραντάρ σαν a priori εκτιµήσεις. Τελικά, οι a posteriori εκτιµήσεις της βροχόπτωσης y t και ο πίνακας συνδιακύµανσης των σφαλµάτων Ρ t δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: y '' t =y ' t -µ εt R+V εt RV -1 εt Λx G t -y R t +µ εt R Εξ.: 2.61 P '' t =V εt R-V εt RV -1 εt V εt R Εξ.: 2.62 Ωστόσο, ο προσδιορισµός των µ ερ,t και V εr,t προκύπτει από την εκτίµηση των µ ε,t και V ε,t, και αυτοί µε τη σειρά τους από τη χρονική ακολουθία του σφάλµατος ε t. ιαφαίνεται, λοιπόν, πως η συγκεκριµένη µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί µόνο αν υπάρχει πληθώρα µετρήσεων µε το χρόνο. Οι Todini & Mazzetti (2002) εφαρµόζουν τη µέθοδο που προτείνουν σε ένα υποθετικό παράδειγµα και τη συγκρίνουν µε άλλες υπάρχουσες µεθόδους, ανάµεσα στις οποίες και αυτή του Krajewski. Σύµφωνα µε τα πορίσµατά τους, η Bayesian Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [61]

84 Κεφάλαιο 2: Θεωρία µέθοδος κρίνεται πιο επαρκής από τις υπόλοιπες όσο αφορά την ακρίβεια των εκτιµήσεων και τον περιορισµό της διασποράς του σφάλµατος. Μια εναλλακτική προσέγγιση παρουσιάζουν οι Abbaspour et al. (1998). Η µέθοδος, που ονοµάζεται Co_Est, βρίσκει εφαρµογή στην περίπτωση που ο αριθµός των µετρήσεων είναι περιορισµένος. Για την αντιµετώπιση της έλλειψης µετρήσεων, η Co_Est ανάγει δευτερεύουσες µετρήσεις σε αρχικές πυκνώνοντας τον κάνναβο των µετρήσεων και µεταφέροντας τα σφάλµατα των δευτερευουσών µετρήσεων µαζί µε το σφάλµα της αναγωγής στις αρχικές. Πιο αναλυτικά, το πρώτο βήµα της µεθόδου είναι να εντοπιστεί η συνάρτηση ψευδο-µεταφοράς, δηλ. η συνάρτηση που θα συνδέει τις δευτερεύουσες µετρήσεις Υ i µε την κύρια µεταβλητή z, που ζητείται να εκτιµηθεί και της οποίας οι µετρήσεις είναι περιορισµένες. Για τον εντοπισµό της συνάρτησης είναι δυνατόν είτε να χρησιµοποιηθούν σχέσεις από τη βιβλιογραφία που να συνδέουν τα µεγέθη µεταξύ τους είτε, αν υπάρχουν αρκετές ταυτότοπες µετρήσεις, να δηµιουργήσει ο µελετητής τη συνάρτηση, σίγουρα εισάγοντας κάποιο σφάλµα στην εκτίµηση. Τελικά το πρόβληµα οδηγείται σε ένα ισοδύναµο, όπου υπάρχουν διαθέσιµες n τιµές- µετρήσεις της z µε σφάλµατα ίσα µε τα σφάλµατα µέτρησης και m τιµές-εκτιµήσεις της z (που προέκυψαν από τις m θέσεις που ήταν διαθέσιµες µόνο µετρήσεις των Y) µε σφάλµατα ίσα µε τα σφάλµατα εκτίµησης. Οι τιµές της z που έχουν προκύψει απευθείας από µετρήσεις ονοµάζονται σκληρά δεδοµένα, ενώ οι υπόλοιπες, που έχουν προκύψει έµµεσα (στη συγκεκριµένη µέθοδο µέσω της συνάρτησης ψευδο-µεταφοράς), µαλακά δεδοµένα. Οπότε το πρόβληµα έχει µετατραπεί σε ένα πρόβληµα µε n σκληρά δεδοµένα και m µαλακά δεδοµένα για τη µεταβλητή z. Στη συνέχεια, το πλήθος των (n+m) τιµών της z χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό της συνδιακύµανσης C(h) της z. Αν οι διάφορες τιµές της z δεν έφεραν διαφορετικά σφάλµατα, τότε το πρόβληµα θα µπορούσε να αντιµετωπιστεί µε την κλασική προσέγγιση της γεωστατιστικής. Ωστόσο, µε τα διαφορετικά σφάλµατα, ο συγγραφέας επικαλείται τη µέθοδο του Bryson & Ho (1975) για να εκτιµήσει ένα διάνυσµα Χ µε k όρους σύµφωνα µε την εξίσωση: {Ζ}=[Η]{Χ}+{ε} Εξ.: 2.63 Ακολουθώντας την επίλυση Bayesian, η λύση της εξίσωσης δίνεται από τη σχέση: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [62]

85 Κεφάλαιο 2: Θεωρία µ cp = µ ' + C H T H C H T + R -1 Z - H µ' Εξ.: 2.64 C cp = C - C H T H C H T + R -1 H C Εξ.: 2.65 Όπου {µ } είναι η a priori εκτίµηση της µέσης τιµής του {Χ}, [C] η a priori εκτίµηση της συνδιακύµανσης του {Χ}, [Η] το µητρώο που συνδέει τις τιµές του {Ζ} µε το {Χ} και [R] η συνδιακύµανση των σφαλµάτων. Για να επανέλθουµε στο θέµα των µετρήσεων µε διαφορετικά σφάλµατα, η προσέγγιση του Abbaspour µπορεί να δώσει λύση στο πρόβληµα, θέτοντας ως {Ζ} τις τιµές των µετρήσεων και ως {ε} τις αντίστοιχες τιµές των σφαλµάτων. Ο πίνακας [Η] είναι ο µοναδιαίος µιας και το µέγεθος {Χ} δεν διαφέρει από το µέγεθος {Ζ} πέρα από την απαλοιφή των σφαλµάτων. Όσο αφορά τους πίνακες των συνδιακυµάνσεων, ο πίνακας [C] προκύπτει σύµφωνα µε τη γνωστή διαδικασία, ενώ ο πίνακας [R] των σφαλµάτων είναι ένας διαγώνιος πίνακας, αν θεωρηθεί ότι τα σφάλµατα είναι ασυσχέτιστα µεταξύ τους στο χώρο. Ο µόνος περιορισµός στην εφαρµογή αυτής της µεθόδου είναι η a priori επιλογή της µέσης τιµής {µ }. Αν και µέχρι τώρα, µε την εφαρµογή του διασπορογράµµατος, δεν απαιτούταν ο προσδιορισµός της µέσης τιµής, στο συγκεκριµένο πρόβληµα είναι απαραίτητος. Ουσιαστικά, η εφαρµογή αυτή παρέχει (n+m) τιµές για την παράµετρο Χ, απαλλαγµένες, όµως, πλέον από τα σφάλµατα ε. Σε θέσεις όπου τα σφάλµατα είναι σηµαντικά, οι τιµές του Χ τείνουν να εξισορροπηθούν µε τη µέση τιµή. Οπότε, η εκλογή της µέσης τιµής φαίνεται αρκετά καθοριστική, αν και για µια τελική αποτίµηση της µεθόδου χρειάζεται να γίνουν περισσότερες εφαρµογές. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [63]

86 Κεφάλαιο 2: Θεωρία 2.5 Βελτιστο οίηση διάταξης ενόργανης αρακολούθησης Ο σχεδιασµός ενός συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης αποτελεί αναπόσπαστο µέρος σε κάθε επιστηµονικό κλάδο. Ως σχεδιασµός ορίζεται, αρχικά, η επιλογή των παραµέτρων που θα παρακολουθούνται κι έπειτα η επιλογή του αριθµού και του είδους των οργάνων µέτρησης, η τοποθέτησή τους στο χώρο και η πυκνότητα των µετρήσεων στο χρόνο. Σκοπός του σωστού σχεδιασµού είναι η απόκτηση περισσότερης πληροφορίας για την παράµετρο που εξετάζεται µε όσο το δυνατόν µικρότερο κόστος Μεθοδολογίες για τη βελτιστο οίηση ενοργάνωσης Το άρθρο των Loaiciga et al. (1992) κατηγοριοποιεί τις µεθοδολογίες που έχουν αναπτυχθεί για το βέλτιστο σχεδιασµό της ενοργάνωσης στον τοµέα της ποιότητας υπόγειου νερού, όµως εύκολα µπορεί κανείς να επεκτείνει την αναφορά τους και σε άλλες εφαρµογές. Στο σηµείο αυτό αξίζει να αναφερθεί ότι οι µεθοδολογίες που αναφέρονται στοχεύουν κυρίως στην εκτίµηση της βέλτιστης θέσης οργάνων. Κάποιες από αυτές δίνουν απαντήσεις και στο βέλτιστο αριθµό µετρήσεων. Ωστόσο, ελάχιστες είναι αυτές που απαντούν και στα ερωτήµατα σχετικά µε την πυκνότητα των µετρήσεων στο χρόνο και καµία δεν αναφέρει το είδος των οργάνων. Στο Σχ. 2.7 που ακολουθεί δίνονται οι κύριες µεθοδολογίες που αναφέρουν οι συγγραφείς. Βελτιστοποίηση ενοργάνωσης Κρίση ειδικών Γεωστατιστική προσέγγιση Μέθοδοι προσοµοίωσης Μέθοδοι µείωσης διασποράς Μέθοδοι βελτιστοποίησης Σχ. 2.7: Μεθοδολογίες για τη βελτιστο οίηση της ενοργάνωσης Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [64]

87 Κεφάλαιο 2: Θεωρία Η βελτιστοποίηση της ενοργάνωσης µπορεί να πραγµατοποιηθεί, καταρχήν, από τους ειδικούς, οι οποίοι καλούνται να αξιοποιήσουν τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος, να λάβουν υπόψη τα ερωτήµατα που το σύστηµα καλείται να απαντήσει και να συµπεριλάβουν την εµπειρία τους από ανάλογες εφαρµογές. Παρόλο που η συγκεκριµένη µεθοδολογία είναι γενική και εφαρµόσιµη σε κάθε περίπτωση ενοργάνωσης, στερείται αντικειµενικότητας. Στην προσπάθεια να περιοριστεί η υποκειµενικότητα, διάφορες χώρες περιλαµβάνουν στους κανονισµούς τους µερικά πρότυπα για το σχεδιασµό των συστηµάτων παρακολούθησης, χωρίς όµως να µπορούν αυτά να καλύψουν την ιδιαιτερότητα του κάθε προβλήµατος και τον τεράστιο όγκο των µετρούµενων µεγεθών της κάθε επιστήµης. Μια πιο αντικειµενική µατιά στο σχεδιασµό των συστηµάτων ενοργάνωσης µπορεί να προσφέρει η γεωστατιστική µέθοδος. Οι προσεγγίσεις που σχετίζονται µε τη γεωστατιστική έχουν χωριστεί σε τρεις κατηγορίες, τις µεθόδους προσοµοίωσης, τις µεθόδους µείωσης διασποράς και τις µεθόδους βελτιστοποίησης. Οι µέθοδοι προσοµοίωσης χρησιµοποιούν τις δυνατότητες της γεωστατιστικής (turning band method) για να παράγουν πολλαπλά σύνθετα πεδία της υπό διερεύνηση µεταβλητής σύµφωνα µε τις χωρικές ιδιότητές της. Εποµένως, συγκρίνοντας τα σύνθετα πεδία µε κάθε υποψήφιο σχεδιασµό του συστήµατος ενοργάνωσης, µπορεί να προκύψει το σύστηµα που παρουσιάζει τις µεγαλύτερες πιθανότητες να εντοπίσει κάποια βλάβη ή που περιγράφει καλύτερα το πεδίο. Κάποια από τα µειονεκτήµατα που παρουσιάζει η µέθοδος αυτή είναι το υπολογιστικό κόστος και η κατά περιπτώσεις ανάγκη εισαγωγής κάποιου λογισµικού για τη µετατροπή της παραµέτρου που µετράται σε αυτή που αναζητείται. Ως παράδειγµα µεθόδου προσοµοίωσης αξίζει να αναφερθεί το άρθρο των James & Gorelick (1994) που χρησιµοποιεί τις µετρήσεις υδραυλικής αγωγιµότητας Κ για την εκτίµηση του χώρου µολυσµένων υδάτων. Οι συγγραφείς συνδυάζουν τη Bayesian λογική, µεθόδους προσοµοίωσης και τις γεωστατιστικές ιδιότητες της υδραυλικής αγωγιµότητας για να εκτιµήσουν τη βέλτιστη θέση νέων οργάνων, µε κριτήριο το κόστος των νέων µετρήσεων να µην υπερβαίνει το οικονοµικό όφελος από τον περιορισµό των µέτρων αντιµετώπισης, ο οποίος αναµένεται από τη µείωση της αβεβαιότητας σχετικά µε την έκταση του µολυσµένου πεδίου (λόγω των νέων µετρήσεων). Η γεωστατιστική, εκτός από την εκτίµηση της παραµέτρου σε µια συγκεκριµένη θέση, επιτρέπει και τον υπολογισµό της διασποράς της εκτίµησης αυτής µέσω του µεγέθους MSE (βλ. σχέσεις 20 & 24). Η δυνατότητα αυτή οδήγησε στο σχεδιασµό των δικτύων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [65]

88 Κεφάλαιο 2: Θεωρία παρακολούθησης µε κριτήριο να παρουσιάζουν τη µικρότερη διασπορά στο σφάλµα εκτίµησης. Οι Loaiciga et al. χώρισαν τη µέθοδο αυτή σε δυο υποκατηγορίες, την γενικευµένη (global) και την µείωση διασποράς. Η πρώτη αφορά το σχεδιασµό εξ αρχής του δικτύου κι όχι της προσθήκης κάποιων οργάνων σε υφιστάµενο σύστηµα. Έτσι, διερευνάται το καλύτερο µοτίβο (π.χ. τετραγωνικό, τριγωνικό) και η βέλτιστη πυκνότητα στο χώρο των θέσεων µέτρησης. Η διερεύνηση αυτή δε µπορεί να λάβει υπόψη τις τοπικές ιδιαιτερότητες του κάθε πεδίου, κι εποµένως, η χρήση της περιορίζεται σε προκαταρκτικούς σχεδιασµούς ή σε µεγάλης κλίµακας συστήµατα (από όπου πήρε και το όνοµά της). Χαρακτηριστικά παραδείγµατα της προσέγγισης αυτής είναι οι αναφορές των McBratney et al. (1981α & 1981β), Christakos & Olea (1988), van Groenigen et al. (1999). Η δεύτερη υποκατηγορία της µείωσης της διασποράς αφορά την επιλογή βέλτιστων θέσεων για την τοποθέτηση νέων οργάνων σε υφιστάµενο δίκτυο, µε µόνο κριτήριο τον περιορισµό του MSE. Οι αρχικές αναφορές σχετίζονται µε την τοποθέτηση ενός νέου οργάνου µέτρησης στη θέση που παρουσιάζεται η µέγιστη διασπορά της εκτίµησης της z (Matalas (1968), DeMarsily (1979)), ενώ οι κατοπινές εργασίες έχουν ως σκοπό τον περιορισµό του συνολικού σφάλµατος εκτίµησης στο πεδίο µε την τοποθέτηση νέων οργάνων µέτρησης (Rouhani, 1985). Τέλος, η τρίτη µέθοδος προσεγγίζει το πρόβληµα από τη µαθητική πλευρά, αναζητώντας το σχεδιασµό του συστήµατος που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση κόστους (cost function ή objective function). Η συνάρτηση κόστους, η οποία ποικίλλει ανάλογα µε τη φύση του προβλήµατος, σχεδόν πάντα περιλαµβάνει κάποια έννοια σχετική µε το σφάλµα εκτίµησης, αλλά και άλλες, όπως π.χ. το κόστος αγοράς των νέων οργάνων. Παραδείγµατα τέτοιων αναφορών είναι αυτές των Rodríguez-Iturbe & Mejía (1974) που συνδυάζει τη µείωση της διασποράς µε την χωρική και χρονική απόσταση µεταξύ των µετρήσεων, των Rouhani & Hall (1988), σύµφωνα µε την οποία η νέα θέση οργάνων µέτρησης έχει ως σκοπό τόσο τον περιορισµό της αβεβαιότητας του συστήµατος όσο και την ανάγκη για περισσότερη πληροφορία στις περιοχές όπου η µεταβλητή παρουσιάζει υψηλές τιµές και των Bras & Rodríguez-Iturbe (1976) που εξισορροπούν την απαίτηση για µείωση του συνολικού σφάλµατος στο πεδίο µε την ανάγκη για περιορισµό του κόστους αγοράς και τοποθέτησης των νέων οργάνων. Τέλος, οι Nunes, Cunha & Riebeiro (2004) εισάγουν την έννοια της χρονικής αφθονίας, που, ουσιαστικά, αποτελεί δείκτη της οµοιότητας ή όχι µεταξύ των χρονοσειρών των µετρήσεων. Η συνάρτηση κόστους αποτελείται τόσο από τη χρονική αφθονία όσο κι από τη διασπορά σφάλµατος, µε συντελεστές βαρύτητας που επιλέγει ο Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [66]

89 Κεφάλαιο 2: Θεωρία µελετητής. Εποµένως, επιλέγονται σταθµοί µέτρησης χωρικά διάσπαρτοι, όταν δίνεται µεγαλύτερος συντελεστής βαρύτητας στη διασπορά της εκτίµησης, ενώ όταν ισχυροποιείται ο παράγοντας της χρονικής αφθονίας, επιλέγονται σταθµοί που µπορεί να µην απέχουν πολύ, αλλά παρουσιάζουν µεταξύ τους αποκλίνουσες χρονοσειρές. Χρειάζεται να τονιστεί ότι, µε εξαίρεση τη γενικευµένη προσέγγιση, όλες οι µέθοδοι που σχετίζονται µε τη γεωστατιστική απαιτούν µια θεώρηση για τη µορφή του διασπορογράµµατος. Αυτή µπορεί να προκύψει είτε από προηγούµενη εµπειρία του µελετητή σε παρόµοιες εφαρµογές είτε, συχνότερα, από µετρήσεις που υπάρχουν ήδη στο πεδίο. Για το λόγο αυτό, οι περισσότερες αναφορές σχετίζονται µε την προσθήκη οργάνων σε υφιστάµενο δίκτυο κι όχι µε το σχεδιασµό του συστήµατος από την αρχή, πάντα µε τη θεώρηση ότι οι νέες µετρήσεις δε µεταβάλλουν το διασπορόγραµµα. Επίσης, σε περιπτώσεις όπου η παράµετρος που µετράται µεταβάλλεται στο χρόνο, η γεωστατιστική µπορεί να προσφέρει απαντήσεις για τη βελτιστοποίηση του δικτύου µόνο µε την υπόθεση ότι το διασπορόγραµµα παρουσιάζει σταθερή µορφή µε το πέρασµα του χρόνου. Ειδάλλως, η επίλυση θα αφορά την παρούσα κατανοµή της παραµέτρου κι όχι τη µελλοντική. Επανερχόµενοι στο Σχ. 2.7, κρίνεται σκόπιµο για την πληρότητά του να αναφερθεί ότι κι άλλες µεθοδολογίες έχουν αναπτυχθεί από την αναφορά των Loaiciga et al. (1992) µέχρι σήµερα, κυρίως σχετιζόµενες µε την εντροπία, αλλά και µε αποφάσεις πολλαπλών κριτηρίων. Ενδεικτικά αναφέρονται οι Harmanciogloy & Alpansan (1992), Chen et al. (2008) και οι Woldt & Bogardi (1992). Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούµε µε τη βελτίωση των συστηµάτων ενοργάνωσης στηριζόµενοι στη γεωστατιστική µέθοδο, και πιο συγκεκριµένα στις µεθόδους µείωσης της διασποράς και βελτιστοποίησης Μέθοδοι µείωσης διασ οράς Ο Rouhani (1985) πρότεινε έναν αλγόριθµο για να εκτιµηθεί η µείωση του MSE σε όλο το πεδίο λόγω της τοποθέτησης µιας νέας µέτρησης, ο οποίος αναλύεται ακολούθως: Έστω ένα πεδίο µε n υφιστάµενες µετρήσεις, στο οποίο ζητείται να βρεθεί η βέλτιστη θέση s για την τοποθέτηση ενός νέου οργάνου. Η µόνη θεώρηση που χρειάζεται να γίνει είναι ότι το διασπορόγραµµα ή η συνδιακύµανση παραµένουν αµετάβλητα από την τοποθέτηση του Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [67]

90 Κεφάλαιο 2: Θεωρία νέου οργάνου. Αν και η θεώρηση αυτή είναι σωστή στην περίπτωση ενός πυκνού δικτύου µε µικρό αριθµό πρόσθετων οργάνων, µπορεί να είναι εντελώς αβάσιµη όταν ο αριθµός των υφιστάµενων µετρήσεων δεν υπερέχει σηµαντικά των πρόσθετων. Σύµφωνα µε τον Rouhani (1985), η µείωση του σφάλµατος εκτίµησης VR o - µε όρους διασπορογράµµατος - σε ένα σηµείο s o λόγω της τοποθέτησης ενός οργάνου µέτρησης στη θέση s είναι: VR o* = 1 V * (n) γ *o - λ i*γ io - v i* f io n i=1 m i=1 Εξ.: 2.66 όπου V (n): το MES στη θέση s λαµβάνοντας υπόψη τα n σηµεία µέτρησης, λ i : ο συντελεστής βαρύτητας της µέτρησης στη θέση s i για την εκτίµηση της παραµέτρου στη θέση s λαµβάνοντας υπόψη τα n σηµεία µέτρησης, v i : ο συντελεστής Lagrange για την εκτίµηση της παραµέτρου στη θέση s λαµβάνοντας υπόψη τα n σηµεία µέτρησης. Θεωρώντας ότι έχουµε k υποψήφιες θέσεις για την τοποθέτηση του οργάνου, υπολογίζεται για κάθε µία από αυτές το VR o* σε κάθε σηµείο s o του καννάβου. Η θέση που θα επιλεχθεί ανάµεσα στις υποψήφιες k θα είναι αυτή µε τη µεγαλύτερη συνολική µείωση του σφάλµατος εκτίµησης TVR στο πεδίο, δηλ. αυτή µε το µεγαλύτερο: ΤVR i = VR ji j Εξ.: 2.67 Αξίζει να αναφερθούν κάποιες παρατηρήσεις που προκύπτουν από την αναφορά του Rouhani (1985). Αρχικά, η επιλογή της καταλληλότερης θέσης για ένα νέο όργανο είναι ανεξάρτητη των τιµών των µετρήσεων. Οι µετρήσεις χρησιµοποιούνται µόνο έµµεσα για τον καθορισµό του διασπορογράµµατος. Επιπλέον, το πρόβληµα συνήθως περιορίζεται στην τοποθέτηση νέων οργάνων σε ένα υφιστάµενο δίκτυο ενοργάνωσης κι όχι στο σχεδιασµό από την αρχή ενός συστήµατος παρακολούθησης. Ο λόγος είναι ότι στην πρώτη περίπτωση υπάρχει διαθέσιµο το διασπορόγραµµα από τις υπάρχουσες µετρήσεις, ενώ στη δεύτερη χρειάζεται να θεωρηθεί. Επίσης, στις περισσότερες περιπτώσεις, οι πρώτες θέσεις που επιλέγονται από την ανάλυση ως βέλτιστες για την τοποθέτηση οργάνων είναι αυτές που βρίσκονται περιφερειακά του δικτύου ενοργάνωσης, µιας και στα σηµεία αυτά η εκτίµηση δεν προέρχεται από εσωτερική παρεµβολή αλλά από εξωτερική (extrapolation έναντι Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [68]

91 Κεφάλαιο 2: Θεωρία interpolation). Εάν κάτι τέτοιο δεν είναι επιθυµητό, αρκεί να αφαιρεθούν από τις υποψήφιες θέσεις τα περιφερειακά σηµεία. Τέλος, η προσθήκη νέων οργάνων προκαλεί όλο και µικρότερη µείωση στα σφάλµα εκτίµησης, όπως γίνεται φανερό από το ακόλουθο σχήµα που δείχνει το συνολικό σφάλµα εκτίµησης σε συνάρτηση µε τον αριθµό των πρόσθετων οργάνων (Rouhani, 1985). Εποµένως, η προσθήκη νέων οργάνων πέρα από κάποιο αριθµό προσδίδει σχεδόν µηδενικές βελτιώσεις στη συνολική ακρίβεια των εκτιµήσεων. Οπότε η µέθοδος αυτή µπορεί να δώσει απαντήσεις και σχετικά µε το βέλτιστο αριθµό των οργάνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν. Σχ. 2.8: Συνολικό σφάλµα εκτίµησης (TOTV) και συνολική αύξηση στην ληροφορία (TVR) α ό την ροσθήκη νέων οργάνων µέτρησης (α ό Rouhani, 1985) Οι εξισώσεις που δόθηκαν παρουσιάζουν το µεγάλο πλεονέκτηµα ότι δε χρειάζεται να επιλυθεί ένα νέο σύστηµα εξισώσεων, αλλά όλα τα µεγέθη που υπεισέρχονται στις σχέσεις προκύπτουν από το υπάρχον σύστηµα. Πιο συγκεκριµένα, οι παράµετροι V (n), λ i, v i προκύπτουν από το υπάρχον σύστηµα εξισώσεων, µε τα n σηµεία µέτρησης, αν επιλυθεί για s o =s. Ωστόσο υπάρχουν και µειονεκτήµατα στην ανάλυση, όπως το ότι απαιτείται η προεπιλογή των διερευνώµενων σηµείων και ότι η επίλυση γίνεται διαδοχικά. ηλαδή, στην περίπτωση που αναζητείται η βέλτιστη τοποθέτηση k οργάνων µέτρησης (k>1) σε ένα υπάρχον δίκτυο µε n όργανα παρακολούθησης, η ανάλυση του Rouhani (1985) εντοπίζει τη Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [69]

92 Κεφάλαιο 2: Θεωρία βέλτιστη θέση για το πρώτο όργανο και στη συνέχεια, θεωρώντας ως υπάρχον δίκτυο αυτό µε τα (n+1) σηµεία µέτρησης, εντοπίζει τη βέλτιστη θέση για το δεύτερο όργανο κ.ο.κ. O Rouhani επανέρχεται το 2001 σε συνεργασία µε τον Lin για να παρουσιάσει τον αλγόριθµο MPV (multiple point variance analysis), που προσδιορίζει τις βέλτιστες θέσεις για την προσθήκη ή αφαίρεση οργάνων ταυτόχρονα. Όπως αναφέρθηκε, στις προηγούµενες αναφορές η βελτιστοποίηση του δικτύου γινόταν διαδοχικά. Η αναφορά αυτή αποδεικνύει ότι η ταυτόχρονη επιλογή k βέλτιστων θέσεων δε συµπίπτει µε τη διαδοχική επίλυση ισάριθµων θέσεων και µάλιστα, η πρώτη παρουσιάζει λύσεις µε µικρότερη διασπορά. Για τη λύση της πιο επίπονης ταυτόχρονης επιλογής, οι συγγραφείς υιοθετούν την τεχνική σχεδίου έρευνας Balzano ( Balzano search plan ), η οποία επίσης δεν απαιτεί τον ορισµό από πριν των υποψήφιων θέσεων Μέθοδοι βελτιστο οίησης Όπως αναφέρθηκε, οι Bras & Rodríguez-Iturbe (1976) θεωρούν ως βέλτιστη θέση για τα νέα όργανα αυτήν που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση κόστους, η οποία εµπεριέχει τους όρους σφάλµατος εκτίµησης από τη γεωστατιστική και το κόστος αγοράς και τοποθέτησης των νέων οργάνων. Το 1998, ο Pardo-Igúzquiza χρησιµοποιεί τη συνάρτηση κόστους που θέσπισαν οι Bras & Rodríguez-Iturbe για να προσδιορίσουν τη βέλτιστη θέση νέων σηµείων µέτρησης για την εκτίµηση της βροχόπτωσης. Η καινοτοµία του άρθρου είναι ότι εισάγει, για την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης, τον αλγόριθµο προσοµοίωσης ανόπτησης (simulated annealing), ο οποίος παρουσιάζει σηµαντικά πλεονεκτήµατα, όπως το περιοριστικό υπολογιστικό κόστος, την ταυτόχρονη επίλυση για πολλαπλές νέες θέσεις, την υπερπήδηση τοπικών ελαχίστων, τη δυνατότητα επίλυσης σε ένα υποσύνολο του πεδίου και τη διερεύνηση σε όλες τις θέσεις άπειρες στον αριθµό - στο υποσύνολο που ορίζεται. Η ονοµασία του προέρχεται από το γεγονός ότι ο αλγόριθµος προσπαθεί να προσοµοιώσει τη διαδικασία θέρµανσης και κατοπινής σταδιακής ψύχρανσης των στερεών. Τα άτοµα του υλικού στις υψηλές θερµοκρασίες κινούνται ελεύθερα, ενώ όσο η θερµοκρασία µειώνεται, η ενέργεια των ατόµων περιορίζεται και το ίδιο συµβαίνει και µε το πλήθος των δυνητικών του θέσεων. Αντίστοιχα, επιλέγεται µια αρχική θερµοκρασία που µειώνεται σταδιακά µε τις επαναλήψεις του αλγόριθµου. Ο αλγόριθµος επιτρέπει πάντα τη µετάβαση σε θέσεις χαµηλότερης συνάρτησης κόστους, ενώ, για την αποφυγή τοπικών ελαχίστων, επιτρέπει τις µετακινήσεις Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [70]

93 Κεφάλαιο 2: Θεωρία σε θέσεις που παρουσιάζουν µεγαλύτερες τιµές της συνάρτησης κόστους, συχνότερα όταν η θερµοκρασία είναι υψηλή και σπανιότερα καθώς η θερµοκρασία µειώνεται (κριτήριο Metropolis). Περισσότερα για τη µέθοδο προσοµοίωσης ανόπτησης µπορούν να αναζητηθούν στο άρθρο του Kirkpatrick et al. (1983) ή στα βιβλία των Pham & Karaboga (1998) και Aarts & Korst (1990). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [71]

94

95 Κεφάλαιο 3: Ανάπτυξη λογισµικού Defect-free software does not exist Wietse Venema Κεφάλαιο 3: Ανά τυξη λογισµικού Η γεωστατιστική ανάλυση εµπεριέχει πλήθος υπολογισµών κι επίλυση µεγάλου αριθµού εξισώσεων. Για τις ανάγκες αυτές αναπτύχθηκαν ποικίλα λογισµικά πακέτα, ορισµένα από τα οποία παρατίθενται στον Πίν. 3.1, µαζί µε τα κύρια χαρακτηριστικά τους. Σύµφωνα µε το άρθρο των Hammah & Curran (2003), ένας από τους πιο σηµαντικούς λόγους που οι αρχές της γεωστατιστικής δεν έχουν βρει την πρέπουσα εφαρµογή τους στον τοµέα της Γεωτεχνικής Μηχανικής είναι η απουσία λογισµικού που να προσανατολίζει τις ιδιότητές του στις ανάγκες του συγκεκριµένου τοµέα. Από τη συγγραφή του άρθρου έως σήµερα, τα προγράµµατα γεωστατιστικής παρουσίασαν αλµατώδη ανάπτυξη, προσθέτοντας κι εξελίσσοντας δυνατότητες, όπως η πιο αναλυτική δοµική ανάλυση, οι διαγνωστικοί έλεγχοι κι η επέκταση των εξισώσεων kriging σε co-kriging, γενικευµένο kriging κ.α. (βλ. Πίν. 3.1). Παρόλη, όµως, την εξέλιξη, κανένα από τα υφιστάµενα λογισµικά πακέτα δε Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [73]

96 Κεφάλαιο 3: Ανάπτυξη λογισµικού φαίνεται να ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις των γεωτεχνικών για λογισµικό χαµηλού κόστους, απλοποιηµένη δοµική ανάλυση και ελέγχους των αποτελεσµάτων. Ονοµασία δωρεάν λογισµικό ( )/ εµπορικό λογισµικό (Ε) χρονολογία έκδοσης αριθµός διαστάσεων αριθµός προσοµοιωµάτων αναλυτική δοµική ανάλυση 1 ανισοτροπία στατιστική ανάλυση διαγνωστικοί έλεγχοι co-kriging γενικευµένο kriging indicator kriging block kriging ασυνέχειες βελτιστοποίηση διάταξης περιβάλλον ArcGIS E Windows EasyKrig Matlab GeoEAS DOS GeoPack E Windows Geovariances E Windows Gstat Windows G+ v.9 E Windows SAS v.9.22 E Windows SGeMS Windows Surfer v.9 E Windows Πίν. 3.1: υνατότητες λογισµικών γεωστατιστικής Για το λόγο αυτό ήταν αναγκαία η δηµιουργία ενός λογισµικού, ο σχεδιασµός του οποίου στοχεύει στην εφαρµογή της γεωστατιστικής στα γεωτεχνικά προβλήµατα. Έτσι, στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας, δηµιουργήθηκε το πρόγραµµα GEO s, που λειτουργεί σε περιβάλλον Matlab. Η αρχιτεκτονική του δίνεται στο Σχ Ο χρήστης µπορεί να εισάγει τις µετρήσεις και να πραγµατοποιήσει τη δοµική ανάλυση - µε τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων επιλέγοντας ένα από τα τέσσερα διαθέσιµα προσοµοιώµατα (Gaussian, εκθετικό, δυναµικό και γραµµικό) που ικανοποιεί περισσότερο το πειραµατικό διασπορόγραµµα. Ταυτόχρονα, έχει τη δυνατότητα να µεταβάλει τα διαστήµατα στα οποία χωρίζεται το πειραµατικό διασπορόγραµµα ή να επιλέξει τις παραµέτρους του θεωρητικού διασπορογράµµατος κατά την κρίση του. Σε κάθε περίπτωση, η ορθότητα του επιλεγόµενου 1 Περιλαµβάνει την επιλογή του πλήθους και του εύρους των διαστηµάτων απόστασης, τη δυνατότητα µεταβολής των παραµέτρων του διασπορογράµµατος και τη σύγκριση µεταξύ του θεωρητικού και πειραµατικού διασπορογράµµατος. 2 Το λογισµικό Surfer επιτρέπει τη γεωστατιστική ανάλυση στην περίπτωση των ασυνεχειών, όπως ονοµάζει περιοχές όπου η εκτίµηση πηγάζει από τη στενή γειτονία του σηµείου ελέγχου, κι όχι στην περίπτωση των ρηγµάτων, όρος που χρησιµοποιείται για τα εµπόδια ροής πληροφοριών. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [74]

97 Κεφάλαιο 3: Ανάπτυξη λογισµικού διασπορογράµµατος µπορεί να ελεγχθεί µέσω των διαγνωστικών ελέγχων Q 1 και Q 2. Στη συνέχεια, εφαρµόζονται οι εξισώσεις συνήθους kriging, µε σκοπό είτε να εκτιµηθεί η χωρική µεταβλητή z και το σφάλµα εκτίµησης MSE είτε να βελτιστοποιηθεί η διάταξη της ενόργανης παρακολούθησης. Στην πρώτη περίπτωση, ο χρήστης έχει την επιλογή να ορίσει τον κάνναβο ανάλυσης, ώστε να υπολογιστούν τα µεγέθη z & MSE σε κάθε κόµβο του καννάβου ή να επιλέξει συγκεκριµένα σηµεία του πεδίου που τον ενδιαφέρουν. Όσο αφορά τη βελτιστοποίηση της ενοργάνωσης, το πρόγραµµα παρέχει τη δυνατότητα προσδιορισµού των βέλτιστων προς αφαίρεση ή προσθήκη σηµείων ενός ή περισσότερων οργάνων µέτρησης µέσω της εφαρµογής του αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης, τις παραµέτρους του οποίου µπορεί να διαχειριστεί ο χρήστης. Η βελτιστοποίηση της ενοργάνωσης αφορά την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους το πρόγραµµα παρέχει πέντε διαφορετικές συναρτήσεις κόστους, οι οποίες περιλαµβάνουν ένα ή συνδυασµό των ακόλουθων στοιχείων: σφάλµα εκτίµησης, τιµή της µεταβλητής και ρυθµός µεταβολής της µεταβλητής. Στο σηµείο αυτό αξίζει να τονιστεί ότι αυτός ο κεντρικός κορµός του λογισµικού συµβαδίζει πλήρως µε τις γενικές αρχές της γεωστατιστικής, όπως αυτές περιγράφηκαν στο Κεφάλαιο 2. Καθώς θα πραγµατοποιούνται οι αναλύσεις (Κεφ. 5), νέες απαιτήσεις θα προκύπτουν για τη χρήση της γεωστατιστικής στα γεωτεχνικά προβλήµατα κι αναλόγως θα προσαρτώνται ή θα διαφοροποιούνται οι δυνατότητες στο εν λόγω λογισµικό. Οι οριστικές δυνατότητες του GEO περιγράφονται αναλυτικότερα στο Παράρτηµα 3.Α. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [75]

98 Κεφάλαιο 3: Ανάπτυξη λογισµικού Μεταβολή διαστηµάτων πειραµατικού γ Μεταβολή παραµέτρων γ Εισαγωγή δεδοµένων οµική ανάλυση ιαγνωστικοί έλεγχοι Gaussian πρ. Εκθετικό πρ. υναµικό πρ. Γραµµικό πρ. Q 1 Q 2 Εξισώσεις kriging Σύνηθες kriging Σε συγκεκριµένα σηµεία του πεδίου Σε όλο το πεδίο Εκτίµηση z & MSE Βελτιστοποίηση δικτύου Προσθήκη σηµείων µέτρησης Αφαίρεση σηµείων µέτρησης Επιλογή συνάρτησης κόστους Αλγόριθµος προσοµοίωσης ανόπτησης Εξαγωγή αποτελεσµάτων Σχ. 3.1: Αρχιτεκτονική λογισµικού GEO ηµιουργία αρχείου excel ηµιουργία γραφήµατος Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [76]

99 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Το λογισµικό λειτουργεί σε περιβάλλον Matlab }, εποµένως για την εκτέλεσή του είναι απαραίτητη η εγκατάσταση στον Η/Υ του µαθηµατικού προγράµµατος Matlab } έκδοσης Α.1 Έναρξη ρογράµµατος Για την έναρξη του προγράµµατος απαιτείται η ακόλουθη διαδικασία: α) Εγκατάσταση του προγράµµατος Matlab στον Η/Υ. β) Αντιγραφή του φακέλου GEOms σε µια συγκεκριµένη διεύθυνση, π.χ. στη C:\Program Files\MATLAB71\work γ) Εκκίνηση του προγράµµατος Matlab Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [77]

100 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης δ) Στη θέση του Current Directory αναγράφεται η διεύθυνση του φακέλου GEOms, π.χ. C:\Program Files\MATLAB71\work\GEOms (Σχ. 3.Α.1) Σχ. 3.Α.1: Ορισµός GEOms ως τρέχουσα διεύθυνση ε) Πληκτρολόγηση στο Command Window της λέξης GEOms και πιέστε Enter (Σχ. 3.Α.2) στ) Το κεντρικό παράθυρο του προγράµµατος µε τίτλο GEOms εµφανίζεται (Σχ. 3.Α.3) και το πρόγραµµα είναι έτοιµο για χρήση. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [78]

101 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.2: Άνοιγµα κεντρικού αραθύρου Σχ. 3.Α.3: Κεντρικό αράθυρο Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [79]

102 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης 3.Α.2 Αρχιτεκτονική λογισµικού Η γενική αρχιτεκτονική του λογισµικού δίνεται στο Σχ Στην παρούσα ενότητα δίνεται η αρχιτεκτονική πιο αναλυτικά (Σχ. 3.Α.4), µαζί µε τις πρόσθετες δυνατότητες του λογισµικού, συµβαδίζοντας παράλληλα περισσότερο µε τα παράθυρα που αναδύονται κατά τη ροή του προγράµµατος. Εισαγωγή δεδοµένων Εξισώσεις cokriging στο χρόνο (Μελ.Χρ.) Μεταβολή διαστηµάτων πειραµατικού γ Μεταβολή παραµέτρων γ ιαγνωστικοί έλεγχοι Q 1, Q 2 Χωρική µεταβλητότητα Χρονική µεταβλητότητα Εξισώσεις O.K. οµική ανάλυση (variogram) Επάρκεια δεδοµένων; ναι όχι Εκτίµηση z & MSE οµική ανάλυση (variogram) Αποτελέσµατα: Εκτίµηση µεταβλητής ή βελτιστοποίηση δικτύου; Κάνναβος ανάλυσης Μεταβολή διαστηµάτων πειραµατικού γ Εκτίµηση παραµέτρων γ µε τη RML Βελτιστοποίηση δικτύου Καθορισµός παραµέτρων βελτιστοποίησης Κάνναβος ανάλυσης Επιλογή συνάρτησης κόστους Πλήθος πρόσθετων ή αφαιρούµενων σηµείων Συµµετοχή σφαλµάτων µέτρησης Εξαγωγή αποτελεσµάτων Σχ. 3.Α.4: Αρχιτεκτονική λογισµικού ηµιουργία αρχείου excel ηµιουργία γραφήµατος Καθορισµός παραµέτρων αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης Ακολούθως, περιγράφεται η δοµή του κάθε παραθύρου και οι επιλογές που έχει ο χρήστης σύµφωνα µε την αρχιτεκτονική του Σχ. 3.Α.4. Εισαγωγή δεδοµένων Το παράθυρο για την εισαγωγή δεδοµένων δίνεται στο Σχ. 3.Α.5. Ως παράδειγµα θα χρησιµοποιηθεί το πρόβληµα που απασχολεί το υπο-κεφάλαιο 5.4, όπου τα όργανα µέτρησης παρουσιάζουν διαφορετικό µετρητικό σφάλµα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [80]

103 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.5: Παράθυρο εισαγωγής δεδοµένων Για την εισαγωγή δεδοµένων χρησιµοποιείται το πλήκτρο Browse, όπου γίνεται αναζήτηση εντός του Η/Υ του αρχείου σε µορφή.txt που περιέχει τα δεδοµένα (Στο συγκεκριµένο παράδειγµα χρησιµοποιήθηκε το αρχείο input_test.txt). Με χρήση του πλήκτρου show monitoring layout παρέχεται η κάτοψη του πεδίου µε τις θέσεις των σηµείων µέτρησης και τις ασυνέχειες του προβλήµατος, ενώ το πλήκτρο measurements vs. time παρέχει την εξέλιξη των µετρήσεων σε κάθε σηµείο καταγραφής µε το χρόνο. Εφόσον έχει γίνει η εισαγωγή των δεδοµένων, µε το πλήκτρο OK γίνεται µετάβαση στο επόµενο παράθυρο. Ένα χαρακτηριστικό αρχείο δεδοµένων.txt δίνεται στο Σχ. 3.Α.6. Στην πρώτη σειρά δίνεται το πλήθος n των σηµείων µέτρησης (π.χ. 15) και το πλήθος d των διαθέσιµων ηµεροµηνιών (π.χ. 2). Στη δεύτερη σειρά δίνεται η ονοµασία του κάθε σηµείου µέτρησης µπορούν να χρησιµοποιηθούν γράµµατα, αριθµοί ή συνδυασµός τους, αρκεί το πλήθος των λέξεων να ισοδυναµεί µε το πλήθος των σηµείων µέτρησης (δηλ. 15 στο παράδειγµα). Στην τρίτη σειρά παρέχεται η τυπική απόκλιση των µετρητικών σφαλµάτων κάθε σηµείου καταγραφής. Από την τέταρτη σειρά παρέχονται οι ηµεροµηνίες στις οποίες υπάρχουν διαθέσιµες µετρήσεις χρησιµοποιείται µία σειρά για κάθε ηµεροµηνία και η µορφή που παρέχονται είναι αυστηρά έτος µήνας ηµέρα, µε τέσσερα ψηφία για το έτος, δύο για το µήνα και δύο για την ηµέρα. Εποµένως, για τις ηµεροµηνίες χρησιµοποιούνται οι σειρές (3+1) έως (3+d). Στις επόµενες n σειρές αντιστοιχεί µία σειρά για κάθε σηµείο µέτρησης, Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [81]

104 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης όπου οι πρώτοι δυο αριθµοί περιλαµβάνουν τις συντεταγµένες του σηµείου µέτρησης στο πεδίο και οι υπόλοιποι d αριθµοί την καταγραφή που αντιστοιχεί σε κάθε µία από τις d ηµεροµηνίες. Τέλος, αν υπάρχουν ασυνέχειες στο πρόβληµα, δίνεται στην επόµενη σειρά το πλήθος τους a. Ακολουθούν 2a σειρές, σε κάθε µία από τις οποίες περιλαµβάνονται οι συντεταγµένες της αρχής και του τέλους της ασυνέχειας a. Στο πρόβληµα που παρουσιάζεται, υπάρχουν δύο ασυνέχειες, η πρώτη είναι το ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ των σηµείων (126,00, 65,423) & (201,00, 119,365) και η δεύτερη το ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ των σηµείων (201,00, 119,365) & (186,00, 158,66). Αν δεν υπάρχουν ασυνέχειες, τότε ως πλήθος ασυνεχειών µπαίνει το µηδέν. Ως ασυνέχειες στο πρόγραµµα ορίζονται τα ευθύγραµµα τµήµατα, τα οποία απαγορεύουν τη σύνδεση σηµείων µέτρησης µε σηµεία ελέγχου, όταν ανάµεσά τους παρεµβάλλεται η ασυνέχεια. Σχ. 3.Α.6: Μορφή αρχείου δεδοµένων Χωρική µεταβλητότητα Το παράθυρο που αφορά τη χωρική µεταβλητότητα δίνεται στο Σχ. 3.Α.7. Στο κελί available measurement point couples, υπολογίζεται το πλήθος των διαθέσιµων ζευγαριών µετρήσεων που συµµετέχει στην ανάλυση, συνυπολογίζοντας την επίδραση των ασυνεχειών. Ο χρήστης καλείται να επιλέξει αν θεωρεί επαρκή ( abundant data ) ή όχι ( non-abundant data ) τα δεδοµένα. Βοήθεια στην επιλογή αυτή προσφέρει η ενότητα Αν ο χρήστης θεωρήσει επαρκή τα δεδοµένα, τότε η γεωστατιστική ανάλυση που ακολουθεί στηρίζεται αποκλειστικά στον υπολογισµό του διασπορογράµµατος µε τη µέθοδο LS. Παράλληλα, ενεργοποιείται το αριστερό κουτί specify spatial variability characteristics, όπου ο χρήστης χρειάζεται να διαλέξει τη µορφή της τάσης µεταβολής της µεταβλητής. Αν Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [82]

105 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης θεωρεί ότι η µεταβλητή είναι εγγενής, επιλέγεται το ordinary kriging, αν η µεταβλητή θεωρείται ότι παρουσιάζει τάση µεταβολής, τότε επιλέγεται το universal kriging κι αν η µεταβλητή είναι IRF-k, επιλέγεται το kriging of IRF-k. Στην παρούσα φάση, η µόνη δυνατή επιλογή είναι η πρώτη οι υπόλοιπες έχουν τοποθετηθεί για µελλοντική χρήση. Αν ο χρήστης θεωρήσει ανεπαρκή τα δεδοµένα, τότε ενεργοποιείται το δεξιά κουτί specify spatial variability characteristics, όπου ο χρήστης επιλέγει σχετικά µε τη χωρική µεταβλητότητα, αν πρόκειται για µεταβλητή εγγενής ή IRF-k. Στην παρούσα φάση, η µόνη δυνατή επιλογή είναι η πρώτη η δεύτερη υπάρχει µόνο για µελλοντική επέκταση του λογισµικού. Όσο αφορά την αβεβαιότητα της δοµικής ανάλυσης, ο χρήστης µπορεί να επιλέξει την unknown variogram model, την unknown variogram parameters ή και τις δύο, αν θεωρεί ότι δεν έχει την απαιτούµενη γνώση/κρίση σχετικά µε τον προσδιορισµό του προσοµοιώµατος του διασπορογράµµατος ή/και των παραµέτρων του διασπορογράµµατος. Στην πρώτη περίπτωση, το πρόγραµµα ενεργοποιεί τη διαδικασία για την εκτίµηση του προσοµοιώµατος σύµφωνα µε το Σχ. 5.9, ενώ στη δεύτερη περίπτωση ακολουθείται η ροή του Σχ για τον προσδιορισµό των παραµέτρων του διασπορογράµµατος, όπως θα εξηγηθεί ακολούθως. Σχ. 3.Α.7: Παράθυρο χωρικής µεταβλητότητας οµική ανάλυση Το παράθυρο της δοµικής ανάλυσης δίνεται στα Σχ. 3.Α.8 και Σχ. 3.Α.10, όταν έχει θεωρηθεί ότι είναι γνωστές οι παράµετροι του διασπορογράµµατος ή όχι αντίστοιχα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [83]

106 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Στην πρώτη περίπτωση, αρχικά ο χρήστης χρειάζεται να επιλέξει την ηµεροµηνία για την οποία θα πραγµατοποιηθεί η ανάλυση, από το πάνω αριστερά κουτί πολλαπλών επιλογών. Μόλις επιλεγεί η ηµεροµηνία, το πρόγραµµα εκτιµά για κάθε ένα από τα διαθέσιµα προσοµοιώµατα (gaussian, εκθετικό, δυναµικό και γραµµικό) τα διασπορογράµµατα µε τη µέθοδο LS (βλ. Εξ. 2.8 ~ 2.11), χρησιµοποιώντας ως προεπιλεγµένα διαστήµατα τέσσερα διαστήµατα µε συντελεστές [0-0,10-0,30-0,60-1,0] επί του µέγιστου µήκους ανάµεσα στα σηµεία µέτρησης. Πιο συγκεκριµένα, τα διασπορογράµµατα εκτιµώνται επιλέγοντας ως παραµέτρους τις τιµές που ελαχιστοποιούν τη διαφορά ανάµεσα στο θεωρητικό και το πειραµατικό διασπορόγραµµα, όπου το πειραµατικό διασπορόγραµµα αποτελείται από τέσσερα σηµεία, το κάθε ένα από τα οποία προκύπτει από το µέσο όρο των ζευγαριών σηµείων που βρίσκονται εντός των διαστηµάτων που προαναφέρθηκαν. Ο χρήστης δεν έχει τη δυνατότητα µεταβολής του πλήθους των σηµείων (ο Kitanidis, 1997 προτείνει τρία έως έξι σηµεία), αλλά µπορεί να αλλάξει τους συντελεστές των διαστηµάτων από το πλήκτρο support change. Αν για οποιονδήποτε λόγο ο χρήστης διαφωνεί µε τις εκτιµώµενες παραµέτρους, έχει τη δυνατότητα να τις µεταβάλλει από το πλήκτρο parameters change. Τέλος, χρειάζεται να επιλέξει ένα ή περισσότερα διασπορογράµµατα για τη συνέχιση των υπολογισµών πριν κλείσει το παράθυρο από το πλήκτρο OK. Στην επιλογή αυτή µπορεί να βοηθήσουν τα αποτελέσµατα των διαγνωστικών ελέγχων Q 1 & Q 2 (βλ. ενότητα 2.1.6), που προκύπτουν από το πλήκτρο Q1, Q2 test. Το παράθυρο των διαγνωστικών ελέγχων Q 1 & Q 2 δίνεται στο Σχ. 3.Α.9. Όπως αναφέρει ο Kitanidis (1997), η τιµή του Q 1 παρουσιάζει ιδιαίτερη ευαισθησία στην κατάταξη των µετρήσεων για την πραγµατοποίηση του ελέγχου. Το Q 2 επηρεάζεται, επίσης, αλλά σε πολύ µικρότερο βαθµό. Για το λόγο αυτό, το λογισµικό παρέχει υπολογισµούς των Q1 & Q2 για πολλαπλές τυχαίες κατατάξεις. Ο προκαθορισµένος αριθµός είναι 10 (κουτί µε τίτλο no. of permutations - used ), αλλά παρέχεται στο χρήστη η δυνατότητα µεταβολής του. Για τη καθοδήγηση του χρήστη σχετικά µε τον επαρκή αριθµό κατατάξεων, παρέχονται τα δεξιά διαγράµµατα (το άνω για το Q 1 και το κάτω για το Q 2 ), όπου φαίνεται αν σταθεροποιείται η µέση τιµή των Q µε το πλήθος των κατατάξεων. Τα αριστερά διαγράµµατα (άνω και κάτω) αφορούν την κατανοµή των Q (Q 1 και Q 2 αντίστοιχα), λαµβάνοντας ως Q για το κάθε προσοµοίωµα τη µέση τιµή από το σύνολο των κατατάξεων που λήφθηκαν υπ όψη. Ουσιαστικά, στα διαγράµµατα αυτά παρέχεται η τιµή των Q 1 και Q 2 για κάθε ένα από τα προσοµοιώµατα διασπορογραµµάτων, καθώς και τα επιτρεπτά όρια που αντιστοιχούν στην Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [84]

107 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης πιθανότητα 5% να απορριφθεί το σωστό προσοµοίωµα. Για την επιστροφή στο παράθυρο της δοµικής ανάλυσης πιέζεται το πλήκτρο OK. Στο σηµείο αυτό αξίζει να τονιστεί η έννοια της κατάταξης στο συγκεκριµένο λογισµικό. Χωρίς την παρουσία ασυνεχειών, η κατάταξη για τους διαγνωστικούς ελέγχους Q 1 & Q 2 αφορά µια τυχαία κατάταξη των (n-1) σηµείων µέτρησης. Κάτι τέτοιο, όµως, δεν είναι δυνατό µε την προσθήκη ασυνεχειών στο πεδίο, διότι ο προσδιορισµός του k ου σηµείου µέτρησης είναι αδύνατος, εάν ανάµεσα στο k και στα προηγούµενα (k-1) σηµεία µέτρησης παρεµβάλλονται ασυνέχειες. Για το λόγο αυτό, το λογισµικό αποδέχεται µόνο τις κατατάξεις αυτές που επιτρέπουν την εκτίµηση της µεταβλητής στο k ο σηµείο µέτρησης, έστω κι αν η εκτίµηση βασίζεται σε ένα µόνο από τα προηγούµενα σηµεία. Το παράθυρο δοµικής ανάλυσης, όταν οι παράµετροι του διασπορογράµµατος από τα ανεπαρκή δεδοµένα είναι άγνωστες, δίνεται στο Σχ. 3.Α.10. Η µόνη διαφορά σε σχέση µε το Σχ. 3.Α.8 είναι το πλήκτρο RML method που αντικαθιστά το parameters change. Το πλήκτρο αυτό ανοίγει το παράθυρο variogram_rml, που επιτρέπει τον υπολογισµό των παραµέτρων του διασπορογράµµατος µε τη µέθοδο RML (Σχ. 3.Α.11). Οι υπολογισµοί πραγµατοποιούνται µόνο για τα προσοµοιώµατα που έχουν επιλεγεί. Για κάθε ένα από αυτά τα προσοµοιώµατα, το παράθυρο περιλαµβάνει τις τιµές των παραµέτρων, όπως έχουν προκύψει από τη µέθοδο LS. Ο χρήστης µπορεί να επιλέξει ποιες από τις παραµέτρους θεωρεί γνωστές επιλέγοντας το κουτάκι known και να µεταβάλλει τις τιµές τους σύµφωνα µε την κρίση του. Κάθε παράµετρος που έχει οριστεί γνωστή, δε µεταβάλλεται κατά τη µέθοδο RML. Με το πλήκτρο reset changes, όλες οι παράµετροι επιστρέφουν στις τιµές που υπολογίστηκαν σύµφωνα µε τη µέθοδο LS. Με το πλήκτρο minimize RML, εφαρµόζεται για κάθε ένα προσοµοίωµα η µέθοδς RML, όπως περιγράφεται στην ενότητα Για την πιο γρήγορη ελαχιστοποίηση της συνάρτησης L(z θ), το λογισµικό χωρίζει σε k διαστήµατα το εύρος τιµών της κάθε παραµέτρου, κι αφού εντοπιστεί το διάστηµα αυτό, η διαδικασία επαναλαµβάνεται χωρίζοντας σε άλλα k διαστήµατα το επιλεγόµενο διάστηµα. Ο αριθµός k (προκαθορισµένη τιµή: 100) µπορεί να µεταβληθεί από το χρήστη, ισορροπώντας ανάµεσα στην ακρίβεια των υπολογισµών και τον απαιτούµενο χρόνο, θέτοντας την τιµή του στο κουτί set intervals. Το πλήκτρο min RML (Kit+) πραγµατοποιεί τον υπολογισµό των παραµέτρων του γ σύµφωνα µε το χάρτη απόφασης του Σχ. 5.11, όπου πέρα από τη µέθοδο RML, χρησιµοποιούνται, όταν είναι δυνατό, οι πιο απλοί και σύντοµοι υπολογισµοί µε χρήση των ορθοκανονικών καταλοίπων (βλ. ενότητα 5.2.2). Η επιστροφή στο παράθυρο της δοµικής ανάλυσης γίνεται µε το πλήκτρο OK. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [85]

108 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.8: Παράθυρο δοµικής ανάλυσης Α Σχ. 3.Α.9: Παράθυρο διαγνωστικών ελέγχων Q 1 & Q 2 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [86]

109 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.10: Παράθυρο δοµικής ανάλυσης Β Σχ. 3.Α.11: Παράθυρο εκτίµησης αραµέτρων γ µε RML Ε ιλογή α οτελεσµάτων Το παράθυρο της επιλογής αποτελεσµάτων αφορά τη δυνατότητα που παρέχεται στο χρήστη είτε να εκτιµήσει τη µεταβλητή που ερευνά και το σφάλµα αυτής στις θέσεις που επιθυµεί (επιλογή parameter and error estimation ) είτε να προσδιορίσει τη βέλτιστη θέση για την προσθήκη ή αφαίρεση σηµείων µέτρησης στην υπάρχουσα διάταξη ενόργανης παρακολούθησης (επιλογή location of new measurements ). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [87]

110 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.12: Παράθυρο ε ιλογής α οτελεσµάτων Εκτίµηση αραµέτρου και MSE Στην περίπτωση που επιλέγεται η εκτίµηση παραµέτρου και το MSE, εµφανίζεται το παράθυρο output που φαίνεται στο Σχ. 3.Α.13. Ο χρήστης µπορεί να επιλέξει την εκτίµηση της παραµέτρου σε συγκεκριµένα σηµεία ( points of interest ) ή/και στα σηµεία του καννάβου ανάλυσης. Στην πρώτη περίπτωση, τα σηµεία ενδιαφέροντος εισάγονται µέσω ενός αρχείου.txt που περιλαµβάνει τις συντεταγµένες των σηµείων αυτών στο κουτί points of interest (βλ. Σχ. 3.Α.14), ενώ στη δεύτερη ο χρήστης επιλέγει το συνολικό µήκος του καννάβου ανάλυσης, την απόσταση ανάµεσα στα σηµεία µέτρησης και τη συντεταγµένη του κάτω αριστερά σηµείου του καννάβου για κάθε διεύθυνση στα κουτιά x axis και y axis αντίστοιχα. Τα σηµεία ελέγχου φαίνονται στο διάγραµµα που προσφέρει το παράθυρο ( view output layout ), µαζί µε τις υπάρχουσες ασυνέχειες και τα σηµεία µέτρησης (Σχ. 3.Α.15). Σχ. 3.Α.13: Παράθυρο ε ιλογής καννάβου ανάλυσης ριν την ε ιλογή Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [88]

111 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.14: Αρχείο.txt εισαγωγής συντεταγµένων για σηµεία ενδιαφέροντος Σχ. 3.Α.15: Παράθυρο ε ιλογής καννάβου ανάλυσης µετά την ε ιλογή Όταν έχουν οριστεί τα σηµεία ελέγχου, µε το πλήκτρο OK κλείνει το παράθυρο output κι αναδύεται το παράθυρο results_1 (βλ. Σχ. 3.Α.16). Το παράθυρο περιλαµβάνει τα κουτιά variogram model, weights, differences & AIC. Το πρώτο κουτί περιλαµβάνει τα τέσσερα προσοµοιώµατα, έχοντας ενεργοποιηµένα µόνο τα προσοµοιώµατα που ο χρήστης αποδέχτηκε στο παράθυρο δοµικής ανάλυσης. Τα υπόλοιπα τρία κουτιά αφορούν πληροφορίες σχετικά µε τη σύγκριση των προσοµοιωµάτων µεταξύ τους και για αυτό το λόγο είναι ενεργά µόνο αν ο χρήστης έχει επιλέξει το unknown variogram model στο παράθυρο χωρικής µεταβλητότητας. Επίσης, το πλήκτρο Monte Carlo εµφανίζεται µόνο όταν τα όργανα µέτρησης παρουσιάζουν διαφορετικό σφάλµα (όπως έχει οριστεί από το αρχείο.txt εισαγωγής δεδοµένων), ενώ το πλήκτρο Check εµφανίζεται όταν ο χρήστης έχει επιλέξει το unknown variogram parameters στο παράθυρο χωρικής µεταβλητότητας. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [89]

112 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.16: Παράθυρο α οτελεσµάτων Από τον κατάλογο στο πάνω µέρος του παραθύρου, µε το Act ο χρήστης µπορεί να επιλέξει ανάµεσα από τις δράσεις: ενεργοποίηση προσοµοιώµατος, υπολογισµός µε συντελεστές βαρύτητας και υπολογισµός διαφορών από τις αντίστοιχες επιλογές enable each model, provide weights & calculate differences. Με την πρώτη επιλύεται το πρόβληµα σύµφωνα µε το επιλεγόµενο προσοµοίωµα, πιέζοντας το πλήκτρο plot. Στη δεύτερη, ενεργοποιείται το κουτί weights, όπου ο χρήστης µπορεί να προσαρτήσει συντελεστές βαρύτητας στο κάθε προσοµοίωµα και µε το πλήκτρο plot να δει τα αποτελέσµατα. Στην τρίτη επιλογή, ο χρήστης χρειάζεται να επιλέξει δυο προσοµοιώµατα και στο κουτί norm να θέσει την παράµετρο p για τη νόρµα υπολογισµού των διαφορών (Εξ. 5.1). Τo πρόγραµµα δέχεται τις τιµές p=1~2 σύµφωνα µε την Εξ. 5.1, ενώ αν τεθεί p=3, τότε στο κουτί norm παρέχεται η µέγιστη τιµή. Στο κουµπί result δίνεται το αποτέλεσµα και µε το πλήκτρο plot, εµφανίζεται ο χάρτης µε τις διαφορές. Σε κάθε περίπτωση, το τέταρτο κουτί παρέχει τον αριθµό AIC (Εξ. 5.2) για κάθε ένα από τα επιλεγόµενα στάσιµα προσοµοιώµατα. Συνεχίζοντας τις δυνατότητες που παρέχονται στον κατάλογο, επιλέγοντας το Show, ο χρήστης ουσιαστικά διαλέγει το µέγεθος της εκτίµησης, του σφάλµατος MSE και του λόγου αυτών (CV) που εµφανίζεται στο γράφηµα, από τις αντίστοιχες επιλογές: parameter estimation, error estimation & coefficient of variation. Ο κατάλογος, από τη λίστα Add to graph, επιτρέπει την εισαγωγή πρόσθετων στοιχείων στο χάρτη, όπως των σηµείων µέτρησης, των ασυνεχειών και των σηµείων ενδιαφέροντος ( measuring points, boundaries, points of interest ). Από το Graph type επιλέγεται το είδος του γραφήµατος Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [90]

113 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης ( contours, full contours & 3D plot ), ενώ το Colormap σχετίζεται µε τη δυνατότητα έγχρωµου ή ασπρόµαυρου γραφήµατος. Τέλος, η πρώτη λίστα File επιτρέπει την αποθήκευση του γραφήµατος ως εικόνα ( save plot ) ή των αποτελεσµάτων σε αρχείο excel ( save results ) τόσο για τον κάνναβο ανάλυσης ( Grid points ) όσο και για τα σηµεία ενδιαφέροντος ( Points of interest ). Πιέζοντας το πλήκτρο CHECK, εµφανίζεται το παράθυρο check_model (Σχ. 3.Α.17) που περιλαµβάνει τους τέσσερις διαγνωστικούς ελέγχους που περιγράφονται στην ενότητα για τα επιλεγόµενα προσοµοιώµατα. Όταν οι απαιτήσεις του ελέγχου δεν καλύπτονται, τα αποτελέσµατά τους εµφανίζονται µε κόκκινο χρώµα. Οι υπολογισµοί βασίζονται κατά κύριο λόγο στα ορθοκανονικά κατάλοιπα, µε αποτέλεσµα οι έλεγχοι να επηρεάζονται, σε µεγάλο ή µικρό βαθµό, από την κατάταξη των µετρήσεων. Για το λόγο αυτό, προστέθηκε στο λογισµικό το πλήκτρο change order, όπου οι υπολογισµοί επαναλαµβάνονται για µια νέα κατάταξη, παρέχοντας στο χρήστη τη δυνατότητα να παρακολουθεί τη µεταβλητότητα των αποτελεσµάτων. Επίσης, µε το πλήκτρο compute all, ως αποτελέσµατα δίνονται οι µέσοι όροι από 30 κατατάξεις. Σχ. 3.Α.17: Παράθυρο διαγνωστικών ελέγχων Με το πλήκτρο MONTE CARLO αναδύεται το παράθυρο Monte_Carlo_results (Σχ. 3.Α.18), το οποίο αφορά τη γεωστατιστική ανάλυση λαµβάνοντας υπ όψη τα διαφορετικά σφάλµατα. Οι αναλύσεις πραγµατοποιούνται για το προσοµοίωµα που επιλέγεται από το κουτί variogram model. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τη µέθοδο ανάλυσης Monte Carlo. Επιλέγοντας το MC1, το λογισµικό επιλύει το σύστηµα σύµφωνα µε τη γενικευµένη µεθοδολογία Monte Carlo, όπως αυτή περιγράφεται στην ενότητα Ο προκαθορισµένος αριθµός επαναλήψεων του Monte Carlo ( iterations ) βασίζεται στην Εξ. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [91]

114 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης 5.4, µε C=0,95 & p=0,02, αλλά ο χρήστης µπορεί να µεταβάλει τον αριθµό των επαναλήψεων. Βοήθεια για να κρίνει ο χρήστης την επάρκεια του αριθµού επαναλήψεων παρέχουν τα διαγράµµατα f(k), όπου δίνονται οι µέσες τιµές των παραµέτρων του γ, της εκτίµησης και του σφάλµατος µε το πλήθος των επαναλήψεων (από κατάλογο Parameter iteration progress ). Με την επιλογή MC2, η ανάλυση πραγµατοποιείται όπως περιγράφεται στην ενότητα 5.4.2, ενώ µε την επιλογή input constant, εκτιµάται η µεταβλητότητα των παραµέτρων του διασπορογράµµατος µε τη µέθοδο Rosenblueth (βλ. ενότητα 5.4.2) και µε σταθερές τις µετρήσεις ερευνάται η επιρροή της µεταβλητότητας του γ στα αποτελέσµατα. Οι υπόλοιπες επιλογές του καταλόγου έχουν την ίδια λειτουργία µε αυτήν του παραθύρου αποτελεσµάτων. Σχ. 3.Α.18: Παράθυρο γεωστατιστικής ανάλυσης µε Monte Carlo Βελτιστο οίηση διάταξης ενόργανης αρακολούθησης Στην περίπτωση που επιλέγεται η βελτιστοποίηση διάταξης, εµφανίζεται το παράθυρο συνάρτησης κόστους cost_function που φαίνεται στο Σχ. 3.Α.19, το οποίο αποτελείται από 4 επιµέρους κουτιά, αυτό των παραµέτρων της συνάρτησης κόστους ( cost function parameters ), της επιθυµητής µεταβολής στη διάταξη ενόργανης παρακολούθησης ( monitoring layout ), του προσοµοιώµατος του γ ( variogram model ) και της εισαγωγής των µετρητικών σφαλµάτων στην ανάλυση ( account of measurement errors ). Το τελευταίο κουτί εµφανίζεται µόνο όταν στην εισαγωγή δεδοµένων οι µετρήσεις περιλαµβάνουν µη µηδενικά σφάλµατα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [92]

115 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Στο πρώτο κουτί cost function parameters επιλέγονται οι παράµετροι που συµµετέχουν στη συνάρτηση κόστους, πέραν του σφάλµατος εκτίµησης που συµµετέχει σε όλες τις επιλογές. Ο χρήστης µπορεί να επιλέξει αν η ανάλυση θα πραγµατοποιηθεί σύµφωνα µε τη µέθοδο risk ranking, θέτοντας την τιµή της πιθανότητας υπέρβασης a (Rouhani & Hall, 1988) επιλογή risk value µε προκαθορισµένη τιµή a=10%, ή αν η συνάρτηση κόστους θα παρέχει συντελεστές βαρύτητας στα σφάλµατα εκτίµησης ανάλογα µε την τιµή της παραµέτρου ( alarm limits ) ή την ταχύτητα µεταβολής της ( value change ). Στην περίπτωση alarm limits, η συνάρτηση κόστους δίνεται στην Εξ. 6.2, στην περίπτωση value change στην Εξ. 6.3 κι όταν επιλέγονται κι οι δύο παράµετροι, ουσιαστικά η συνάρτηση κόστους δίνεται από την Εξ Η ταχύτητα µεταβολής αφορά το χρονικό διάστηµα ανάµεσα στην ηµεροµηνία που επιλέγεται στη λίστα δεξιά του value change και την ηµεροµηνία για την οποία εκτιµήθηκε το διασπορόγραµµα. Η επιθυµητή µεταβολής της διάταξης αφορά την επιλογή της προσθήκης ή της αφαίρεσης σηµείων - augmentation by: & reduction by: αντίστοιχα και το πλήθος αυτών. Στο κουτί variogram model επιλέγεται το διασπορόγραµµα µε βάση το οποίο πραγµατοποιούνται οι υπολογισµοί. Τέλος, στο κουτί account of measurement errors ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να διαλέξει αν θα συµπεριλαµβάνονται ( yes ) ή όχι ( no ) τα µετρητικά σφάλµατα στους υπολογισµούς. Σχ. 3.Α.19: Παράθυρο συνάρτησης κόστους Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [93]

116 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Όταν έχει επιλεγεί η αύξηση της διάταξης της ενόργανης παρακολούθησης και µε το πλήκτρο OK, το παράθυρο συνάρτησης κόστους σβήνει κι αναδύεται το παράθυρο του καννάβου ανάλυσης 2. Στο κουτί candidate locations επιλέγεται ο κάνναβος που περιλαµβάνει τις υποψήφιες θέσεις για την τοποθέτηση των νέων σηµείων. Πιέζοντας το πλήκτρο OK του κουτιού αυτού, οι υποψήφιες θέσεις φαίνονται στο γράφηµα view candidate locations. Αν κάποιες από τις θέσεις αυτές δεν µπορούν να λειτουργήσουν ως υποψήφιες λόγω αδυναµίας πρόσβασης ή για άλλους λόγους, τότε πλησιάζοντας τον κέρσορα στη θέση αυτή και πιέζοντας το αριστερό κλικ του ποντικιού, η θέση διαγράφεται από το γράφηµα και ως υποψήφια. Στο κουτί MSE grid επιλέγεται ο κάνναβος των σηµείων στα οποία υπολογίζεται η συνάρτηση κόστους και που η ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος της CF στα σηµεία αυτά αποτελεί το κριτήριο επιλογής της βέλτιστης θέσης. Ο χρήστης µπορεί να επιλέξει τον πολλαπλασιαστή 1, αν ο κάνναβος MSE ταυτίζεται µε τον κάνναβο υποψήφιων θέσεων ή οποιοδήποτε άλλο αριθµό βάση του οποίου ο κάνναβος MSE θα αποτελεί υποπολλαπλάσιο του καννάβου υποψήφιων θέσεων. Σχ. 3.Α.20: Παράθυρο καννάβου ανάλυσης 2 Με το πλήκτρο OK, οι κάνναβοι έχουν επιλεγεί κι εµφανίζεται το παράθυρο του αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης. Στο πρώτο κουτί transition mechanism, επιλέγεται ο τρόπος κίνησης του αλγόριθµου, όπου το κουτί µε την προκαθορισµένη τιµή 1 αφορά τα βήµατα που επιτρέπεται να κάνει ο αλγόριθµος, ενώ στο δεύτερο φαίνεται η απόσταση του κάθε βήµατος (ίση µε τη µέγιστη απόσταση ανάµεσα σε δυο υποψήφιες θέσεις). Εποµένως, αυξάνοντας ο χρήστης τον πρώτο αριθµό, ουσιαστικά επιτρέπει πιο γρήγορες µετατοπίσεις στον αλγόριθµο, αποτρέποντας τον Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [94]

117 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης εγκλωβισµό σε τοπικά ακρότατα. Η αύξηση της τιµής προτείνεται όταν υπάρχουν τέτοιες ασυνέχειες στο πεδίο που να καθιστούν τον εγκλωβισµό της ανάλυσης πιθανό. Το δεύτερο κουτί cooling schedule αφορά τη διαδικασία ανόπτησης. Ως αρχική θερµοκρασία Τ ο χρησιµοποιείται συνάρτηση κόστους στην αρχική κατάσταση του δικτύου ενοργάνωσης. Για να κριθεί η ορθότητα της αρχικής θερµοκρασίας, πιέζοντας το διπλανό πλήκτρο µε το χ?, υπολογίζεται για την προσθήκη ενός µόνο σηµείου µέτρησης και το αποτέλεσµα αναγράφεται στο πλήκτρο ο λόγος αποδοχής χ, σύµφωνα µε τον ορισµό που δίνουν οι Aarts & Korst (1990). Οι ίδιοι συγγραφείς θεωρούν ότι η τιµή της αρχικής θερµοκρασίας είναι ικανοποιητική, όταν χ 1. Επίσης, στο ίδιο κουτί ορίζεται και ο µειωτικός συντελεστής a. Η προκαθορισµένη τιµή είναι 0,9, σύµφωνα µε τους Aarts & Korst (1990), που ως τυπικές τιµές αναφέρουν το εύρος από 0,8~0,99. Το µήκος της αλυσίδας Markov ( Markov chain length ) και το πλήθος των αποδεκτών µετατοπίσεων ( accepted transitions ) έχουν ως προκαθορισµένες τιµές το 100xN και 10xN αντίστοιχα, σύµφωνα µε τις υποδείξεις του Pardo-Igúzquiza (1998), όπου Ν ο αριθµός των πρόσθετων σηµείων. Τέλος, ο αλγόριθµος σταµατάει τελείως έπειτα από m=150 κύκλους επίλυσης ή όταν, για τρεις συνεχόµενες αποδεκτές µετατοπίσεις, η βελτίωση στη συνάρτηση κόστους δεν ξεπερνάει την ποσότητα a^(m-1)/10 επί της Τ ο. Σε κάθε περίπτωση, το λογισµικό παρέχει τη δυνατότητα στο χρήστη να µεταβάλλει οποιαδήποτε από τις προαναφερθέντες παραµέτρους. Οι υπολογισµοί ξεκινάνε µε το πλήκτρο START και όταν ολοκληρωθούν, εµφανίζεται το παράθυρο αποτελεσµάτων β. Στην περίπτωση που Ν=1, τότε στο παράθυρο αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης εµφανίζεται και το πλήκτρο straight forward, που επιλύει το πρόβληµα χωρίς τη χρήση του αλγόριθµου, υπολογίζοντας τη συνάρτηση κόστους σε κάθε υποψήφια θέση και επιλέγοντας την ελάχιστη. Οι υπολογισµοί αυτοί δεν είναι χρονοβόροι, όταν έχει να προσδιοριστεί η βέλτιστη θέση για µόνο ένα σηµείο. Το πλήκτρο αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιµο και για να κριθεί η ορθότητα των παραµέτρων µέσω της αποτελεσµατικότητας του αλγόριθµου. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [95]

118 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Σχ. 3.Α.21: Παράθυρο αλγόριθµου ροσοµοίωσης ανό τησης Το παράθυρο αποτελεσµάτων 2 δίνεται στο Σχ. 3.Α.22. Ο κατάλογος βρίσκεται σε αντιστοιχία µε αυτόν του παραθύρου αποτελεσµάτων. ιαφορά αποτελεί η δυνατότητα εµφάνισης των βέλτιστων θέσεων µέσω της λίστας Add to graph. Επίσης, στο κουτί total value of cost function, δίνονται οι τιµές της συνάρτησης κόστους πριν και µετά την προσθήκη των νέων σηµείων µέτρησης, καθώς κι η διαφορά τους. Σχ. 3.Α.22: Παράθυρο α οτελεσµάτων 2 Στην περίπτωση που είναι επιθυµητή η αφαίρεση κάποιων από τα σηµεία µέτρησης (επιλογή reduction by: στο παράθυρο συνάρτησης κόστους, τότε το επόµενο αναδυόµενο παράθυρο είναι αυτό που φαίνεται στο Σχ. 3.Α.23. Πράγµατι, δεν είναι απαραίτητο να οριστεί πλέον ο κάνναβος υποψήφιων θέσεων, εφόσον υποψήφιες θέσεις είναι οι υπάρχουσες Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [96]

119 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης θέσεις µέτρησης. Ο χρήστης χρειάζεται να επιλέξει µόνο τον κάνναβο των σηµείων MSE, των θέσεων δηλαδή στα οποία υπολογίζεται η συνάρτηση κόστους, από το κουτί MSE grid. Σχ. 3.Α.23: Παράθυρο σηµείων MSE Όταν έχει επιλεγεί ο κάνναβος MSE, µε το κεντρικό πλήκτρο OK κλείνει το παράθυρο σηµείων MSE και ανοίγει το παράθυρο προσοµοίωσης ανόπτησης 2. Οι επιλογές του χρήστη είναι ίδιες µε αυτές του αντίστοιχου παραθύρου στην περίπτωση της προσθήκης σηµείων µέτρησης, µε τη διαφορά ότι εδώ απουσιάζει το κουτί περί του µηχανισµού µετατόπισης, κι αυτό γιατί στις περιορισµένου πλήθους διαθέσιµες µετρήσεις επιλέχθηκε η µετατόπιση του αλγόριθµου να γίνεται τυχαία στα γειτονικά 10 σηµεία µέτρησης. Σχ. 3.Α.24: Παράθυρο ροσοµοίωσης ανό τησης 2 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [97]

120 Παράρτηµα 3.Α: Εγχειρίδιο χρήσης Όταν οι υπολογισµοί ολοκληρωθούν, το παράθυρο προσοµοίωσης ανόπτησης 2 κλείνει κι ανοίγει το παράθυρο αποτελεσµάτων 3, µε λειτουργίες παρόµοιες µε αυτές του παραθύρου αποτελεσµάτων 3. Σχ. 3.Α.25: Παράθυρο α οτελεσµάτων 3 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [98]

121 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 The major difference between a thing that might go wrong and a thing that cannot possibly go wrong is that when a thing that cannot possibly go wrong goes wrong it usually turns out to be impossible to get at or repair Douglas Adams Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 Η σήραγγα Σ2, που αποτελεί τµήµα της Εγνατίας Οδού, βρίσκεται στην τοποθεσία «Τζαµαλή Αγά», στο τµήµα «Κουµαριά-Αγία Αναστασία», µεταξύ Ιωαννίνων και Ηγουµενίτσας (Σχ. 4.1). Πρόκειται για δίδυµη σήραγγα µήκους 770m και διαµέτρου περίπου 13m. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [99]

122 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 Σχ. 4.1: Το οθεσία σήραγγας Σ2 Το παρόν κεφάλαιο στηρίζεται κατά κύριο λόγο στην τεχνική έκθεση Hoek et al. (2005) και σε στοιχεία που παραχώρησε ο καθ. Στ. Τσότσος και περιλαµβάν περιλαµβάνουν ουν µια σύντοµη περιγραφή των προβληµάτων αστάθειας που αντιµετώπισε η κατασκευή της σήραγγας Σ2 στα Ιωάννινα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [100]

123 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 4.1 Γεωλογία εριοχής Η γεωλογία της περιοχής περιλαµβάνει τυπικό φλύσχη, µε εναλλαγές ψαµµίτη και ιλυόλιθου. Το πάχος των στρώσεων κυµαίνεται από µερικά εκατοστά έως µέτρα. Οι λεπτές στρώσεις αφορούν κυρίως τον ιλυόλιθο, ενώ τα παχύτερα στρώµατα αποτελούνται ουσιαστικά από ψαµµίτη. Ο φλύσχης παρουσιάζει τις τυπικές πτυχώσεις και ασυνέχειες, οι οποίες φαίνονται στη γεωλογική τοµή του Σχ. 4.2 (από Hoek et al., 2005), µαζί µε τη θέση των διατοµών της σήραγγας. Σχ. 4.2: Γεωλογική τοµή σήραγγας Σ2 (α ό Hoek et al., 2005) Ο υδροφόρος ορίζοντας εντοπίζεται σε βάθος 8m (αφορά την καλοκαιρινή περίοδο), αν και η παρουσία της σήραγγας έχει υποβιβάσει τη στάθµη στη γύρω ζώνη στα 18m. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [101]

124 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 4.2 Ιστορικό κατασκευής σήραγγας Η εκσκαφή της σήραγγας, που γινόταν σε δυο στάδια, ξεκίνησε από το δεξιό κλάδο το εκέµβριο του 03. Η υποστήριξη περιλάµβανε την υποστήριξη τύπου B2 και τύπου C, µεταλλικά πλαίσια και παθητικά αγκύρια. Όταν το µέτωπο του δεξιού κλάδου (ανατολικός κλάδος) είχε προχωρήσει 90m (Φεβρουάριος 04), ξεκίνησε κι η εκσκαφή στον αριστερό (δυτικός κλάδος). Τα πρώτα προβλήµατα στο έργο εµφανίστηκαν το Μάρτιο του 04 κι αφορούσαν ρωγµές που αναπτύχθηκαν στο εκτοξευόµενο σκυρόδεµα. Οι βλάβες αποκαταστάθηκαν, η επένδυση επιδιορθώθηκε κι ενισχύθηκε κι οι εργασίες εκσκαφής συνεχίστηκαν. Η ίδια πρακτική ακολουθήθηκε και σε παρόµοιες αστοχίες που ανιχνεύτηκαν κατά τη διάρκεια εκσκαφής του πρώτου τµήµατος της σήραγγας και µέρους του δεύτερου. Τα δεδοµένα άλλαξαν όταν κάποιες εργασίες που αφορούσαν την καταστροφή τµήµατος του σκυροδέµατος προκάλεσαν νέα αστάθεια στο σύστηµα. Για την αντιµετώπισή της επιλέχθηκε η επίχωση της µισής διατοµής του αριστερού κλάδου σε µήκος 70m. Όµως οι παραµορφώσεις της επένδυσης συνέχιζαν να αναπτύσσονται και στους δυο κλάδους, οπότε και αποφασίστηκε η ολική επίχωση και των δυο κλάδων σε µήκος 100m και δόθηκε εντολή για µελέτη αποκατάστασης του υπόγειου έργου. Η µελέτη πρότεινε την τµηµατική αφαίρεση της επίχωσης, την καταστροφή του εκτοξευόµενου σκυροδέµατος και την τοποθέτηση νέας προσωρινής επένδυσης πάχους 10cm. Η τελική επένδυση αποτελούνταν από 50cm σκυροδέµατος, ενισχυµένη µε µεταλλικά πλέγµατα. Οι εργασίες αποκατάστασης ξεκίνησαν το Μάρτιο του 05 και συνεχίστηκαν µέχρι τα µέσα του επόµενου µήνα (18/04/05), όταν πραγµατοποιήθηκε εκ νέου µερική αστοχία της επένδυσης. Πράγµατι, έντονη καθίζηση διαµέτρου 3m (υπό µορφή καµινάδας) εκδηλώθηκε στην επιφάνεια του εδάφους (Χ.Θ ), δηλαδή 15m πάνω από το δεξιό κλάδο της σήραγγας. εύτερη επιφανειακή καθίζηση µε µορφή καµινάδας εντοπίστηκε τον Ιούνιο της ίδιας χρονιάς (14/06/05) στη Χ.Θ Κλισιόµετρα που είχαν εγκατασταθεί στην περιοχή επιβεβαίωσαν τις αρχικές εκτιµήσεις των ειδικών, οι οποίες απέδιδαν την εκτεταµένη αστοχία της σήραγγας Σ2 στο κατολισθητικό φαινόµενο που διαδραµατιζόταν ανάντη του αριστερού κλάδου. Πράγµατι, την ίδια χρονική στιγµή, επιφανειακές ρωγµές έκαναν την εµφάνισή τους σε απόσταση 70m από τον αριστερό κλάδο της σήραγγας προς τα ανάντη του πρανούς. Οι αναλύσεις πεπερασµένων στοιχείων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [102]

125 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 που πραγµατοποιήθηκαν, σε συνδυασµό µε τις διαθέσιµες µετρήσεις, φανέρωσαν περισσότερα στοιχεία για την κατολίσθηση, όπως την πιθανή ζώνη ολίσθησης (Σχ. 4.3 από Τσότσος & Γάκης, 2006) και το γεγονός ότι η ολίσθηση δεν είχε επαναληφθεί στο παρελθόν οι εδαφικές παραµορφώσεις που προκλήθηκαν από τη διάνοιξη της σήραγγας ήταν αρκετές για να διαταράξουν την εύθραυστη ισορροπία και να οδηγήσουν στην έναρξη του κατολισθητικού φαινοµένου. Σχ. 4.3: Προκύ τουσα ε ιφάνεια ολίσθησης (α ό Τσότσος & Γάκης, 2006) Οι προτάσεις σταθεροποίησης της κατολίσθησης περιλάµβαναν, µεταξύ άλλων, τη διενέργεια εκσκαφών στην ολισθαίνουσα µάζα, µε σκοπό τη µείωση των δυνάµεων ανατροπής του πρανούς. Στο Σχ. 4.4 παρέχεται η οριζοντιογραφία του έργου, όπου φαίνεται το σχέδιο των εκσκαφών, οι δυο κλάδοι της σήραγγας και τα σηµεία των επιφανειακών καθιζήσεων (καµινάδες). Οι εργασίες εκσκαφής στο πρανές ξεκίνησαν το Σεπτέµβριο του 2006 και συνεχίστηκαν τους επόµενους τρεις µήνες, έως ότου νέες επιφανειακές ρωγµές παρατηρήθηκαν κατά την επιτόπια έρευνα (05/12/06) - βλ. Σχ Η νέα αυτή αστοχία, όπως προέκυψε από την επιτόπια έρευνα, είχε διαστάσεις σε κάτοψη περίπου 60x110m. Οι ενδείξεις, όπως ο προσανατολισµός των µετακινήσεων κι η συσχέτιση των νέων µε τις παλιότερες ρωγµές, συνηγορούσαν στο γεγονός ότι η συγκεκριµένη κατολίσθηση είναι µικρού βάθους άρα δεν επηρεάζει τη σήραγγα, κινείται πιθανόν κατά µήκος παλιότερης επιφάνειας ολίσθησης και ενεργοποιήθηκε από τις εκσκαφές, σε συνδυασµό µε τις έντονες βροχοπτώσεις της συγκεκριµένης περιόδου. Πρόκειται, λοιπόν, για ένα µικρού βάθους κατολισθητικό φαινόµενο που εκτυλίχθηκε εντός της βαθύτερης κατολίσθησης. Οι µετρήσεις των επιφανειακών µετακινήσεωνν στο πεδίο της ρηχής κατολίσθησης φανερώνουν ότι η Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [103]

126 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 κατολίσθηση παρέµεινε ενεργή τουλάχιστον ως την 16/03/07 που υπάρχουν διαθέσιµες καταγραφές. Αυτή η ρηχή κατολίσθηση είναι που θα απασχολήσει κατά κύριο λόγο την παρούσα εργασία, δεδοµένου του επαρκούς πλήθους των διαθέσιµων µετρήσεων, και θα χρησιµοποιείται ο όρος Κατολίσθηση Σ2. Σχ. 4.4: Οριζοντιογραφία σήραγγας Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [104]

127 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 4.3 Στοιχεία ενόργανης αρακολούθησης Μέσα στο διάστηµα των τριών και πλέον ετών που η περιοχή της σήραγγας Σ2 παρακολουθείται, εφαρµόστηκε µια ποικιλία οργάνων και µεθόδων καταγραφής, όπως πιεζόµετρα, κλισιόµετρα και τοπογραφικές µέθοδοι, µε στόχο την κατανόηση του µηχανισµού αστοχίας, την εκτίµηση της βέλτιστης µεθόδου υποστήριξης και την εκτίµηση σχετικά µε την αποτελεσµατικότητα των µέτρων αυτών. Το σύστηµα ενόργανης παρακολούθησης περιλαµβάνει γεωδαιτικούς σταθµούς για την εκτίµηση των συγκλίσεων των δυο κλάδων της σήραγγας και για τον προσδιορισµό των επιφανειακών εδαφικών µετακινήσεων (M1~M21, S1-S10, R1~R2, N1~N12). Οι µετακινήσεις αυτές συνδυάζονται µε τις καταγραφές από τα κλισιόµετρα (Γ1~Γ3, K1~K9, KN1~KN3, A1~A5), ενώ το καθεστώς πιέσεως πόρων στην περιοχή περιγράφεται από τα διαθέσιµα βροχόµετρα (S1, R1) και πιεζόµετρα (Γ1~Γ4, ΓΠ1~ΓΠ2). Οι θέσεις των οργάνων µέτρησης και των επιφανειακών µαρτύρων δίνονται στο Σχ Σχ. 4.5: Κάτοψη συστήµατος ενόργανης αρακολούθησης ιάφοροι λόγοι, µε πρωτεύοντα τις σηµαντικές εδαφικές µετακινήσεις, κατέστησαν κάποια στοιχεία της ενόργανης παρακολούθησης, µε την πάροδο του χρόνου, άχρηστα. Για ορισµένα από αυτά κρίθηκε σκόπιµη η αντικατάστασή τους. Στο διάγραµµα του Σχ. 4.6 βασισµένο σε Τσότσος & Γάκης, παραθέτονται τα χρονικά διαστήµατα στα οποία Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [105]

128 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 λειτουργούσε κάθε κοµµάτι της ενοργάνωσης, ταυτόχρονα µε τις ηµεροµηνίες που παρατηρήθηκαν τα σηµαντικότερα γεγονότα στο πεδίο της σήραγγας. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [106]

129 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 Σχ. 4.6: Χρονοδιάγραµµα ενόργανης αρακολούθησης Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [107]

130 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [108]

131 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 Όπως συµβαίνει συχνά στις ενοργανώσεις, έτσι και σε αυτήν της κατολίσθησης Σ2, η λειτουργία σε πολλά όργανα έπαυσε κατά τη διάρκεια παρακολούθησης της συµπεριφοράς του έργου, όπως γίνεται φανερό κι από το χρονοδιάγραµµα του Σχ Οι λήξεις των µετρήσεων, πέραν ιδιαίτερων καταστάσεων - όπως η αδυναµία καταγραφής της σύγκλισης των σηράγγων µετά την επίχωσή τους και της επιφανειακής µετακίνησης κατά τη διάρκεια των εκσκαφών - ή σκόπιµης διακοπής, οφείλονται σε καταστροφές των οργάνων µέτρησης, τα αίτια των οποίων ποικίλουν ανάλογα µε το είδος τους. Στην παρούσα εφαρµογή επήλθε καταστροφή σε αρκετά κλισιόµετρα, κυρίως εξαιτίας της φραγής της σωλήνωσής τους λόγω στρέβλωσής της από τις µεγάλες εδαφικές µετακινήσεις. Άλλα αίτια µπορεί να είναι η φραγή της σωλήνωσης από εισαγωγή χώµατος ή ο τραυµατισµός του άνω τµήµατος της σωλήνωσης κατά τη διάρκεια των εκσκαφών στο πεδίο. Μέρος των κατεστραµµένων κλισιοµέτρων αντικαταστάθηκε από νέα (βλ. Σχ. 4.6), χάνοντας, ωστόσο, τη συνέχεια στις καταγραφές κι άρα, ένα πολύ σηµαντικό κοµµάτι πληροφορίας. Από τις προαναφερόµενες µετρήσεις, αυτές που κυρίως θα απασχολήσουν την παρούσα εργασία είναι αυτές που σχετίζονται µε την κατολίσθηση Σ2, δηλαδή οι καταγραφές των επιφανειακών µαρτύρων S1~S10, R1~R2, N1~N12, που πραγµατοποιούνταν σχεδόν καθηµερινά στο χρονικό διάστηµα που ερευνάται (11/06~03/07). Για το λόγο αυτό, δίνονται στο Σχ. 4.7 τα διανύσµατα των επιφανειακών µετακινήσεων και οι αναπτυσσόµενες ρωγµές στις 16/03/07. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [109]

132 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 B 7N R1 S1 S3 S4 9N 1N 2N 3N 4N S5 S6 8N 11N 5N ΑΞΟΝΕΣ N 17 17A 18 6N A 18 Σχ. 4.7: ιανύσµατα ε ιφανειακών µετακινήσεων Οι µετρήσεις των επιφανειακών µαρτύρων παραθέτονται αναλυτικά στο Παράρτηµα Α. Στο παρόν υποκεφάλαιο δίνονται, στα σχήµατα που ακολουθούν, οι µετρούµενες οριζόντιες µετακινήσεις από τις 13/11/06 (ηµεροµηνία τοποθέτησης των πρώτων µαρτύρων) έως τις 16/03/07, που είναι η τελευταία ηµεροµηνία που παρέχονται µετρήσεις από το έργο. Στο πρώτο διάγραµµα (Σχ. 4.8) δίνονται οι µετακινήσεις των µαρτύρων που βρίσκονται εντός της κατολίσθησης Σ2 (S1~S2, R1~R2, N7), όπως προέκυψε από την επιτόπια έρευνα, ενώ στο δεύτερο διάγραµµα (Σχ. 4.9) των µαρτύρων εκτός αυτής. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [110]

133 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ Οριζόντια μετακίνηση (mm) S1 S2 R1 R2 N /10/06 19/11/06 09/12/06 29/12/06 18/01/07 07/02/07 27/02/07 19/03/07 08/04/07 Ημερομηνία Σχ. 4.8: Ε ιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων εντός της κατολίσθησης Σ2 300 Οριζόντια μετακίνηση (mm) S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N8 N9 N10 N11 N /10/06 19/11/06 09/12/06 29/12/06 18/01/07 07/02/07 27/02/07 19/03/07 08/04/07 Ημερομηνία Σχ. 4.9: Ε ιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων εκτός της κατολίσθησης Σ2 Οι συνολικά 24 διαθέσιµοι µάρτυρες δεν τοποθετήθηκαν ταυτόχρονα, αλλά διαδοχικά, ακολουθώντας την πρόοδο των εκσκαφών στο πρανές. Συνεπώς, υπάρχουν διαθέσιµοι τέσσερις µάρτυρες εντός της κατολίσθησης (δεν ήταν δυνατό να ληφθούν µετρήσεις για το µάρτυρα R2 µετά τις 29/01) και 19 εκτός της κατολίσθησης. Στους εντός της κατολίσθησης διακρίνονται δυο περίοδοι έντονης αύξησης των µετακινήσεων (στις 26/01 και στις 12/02 περίπου), που συµπίπτουν χρονικά µε φαινόµενα έντονων βροχοπτώσεων. Η µέγιστη καταγραφόµενη οριζόντια µετακίνηση φτάνει τα 4m (µάρτυρας S1). Περισσότερα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [111]

134 Κεφάλαιο 4: Περιγραφή κατολίσθησης Σ2 στοιχεία σχετικά µε την εξέλιξη των µετακινήσεων και τα αίτιά τους µπορούν να αναζητηθούν στη διδακτορική διατριβή του Γάκη, Στους µάρτυρες εκτός κατολίσθησης κι ειδικότερα σε αυτούς που απέχουν µεγαλύτερη απόσταση από το όριό της, οι µετρήσεις είναι περιορισµένες (π.χ. συνισταµένη οριζόντια µετακίνηση του S7: 58mm). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [112]

135 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Nothing would be done at all if a man waited till he could do it so well that no one could find fault with it J.H. Newman Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σε πολλές ενόργανες παρακολουθήσεις γεωτεχνικών έργων παρατηρείται καταστροφή κάποιων οργάνων µέτρησης κι αντικατάστασή τους, όπως αναλυτικά περιγράφηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο για την περίπτωση της ενοργάνωσης στη Σ2. Σε ένα τέτοιο τυπικό πρόβληµα ενόργανης παρακολούθησης, όπου αναζητείται η συνέχεια των καταγραφών κατά την αντικατάσταση ενός οργάνου µέτρησης µπορεί να δώσει απαντήσεις η γεωστατιστική. Πράγµατι, αν θεωρηθεί ότι το όργανο µέτρησης της µεταβλητής z στη θέση Α καταστράφηκε κι ότι πρόκειται να αντικατασταθεί από ένα αντίστοιχο στη γειτονική θέση Β, τότε, για να εξασφαλιστεί η συνέχεια των καταγραφών, καλείται η γεωστατιστική ανάλυση να εκτιµήσει, βάση των υπόλοιπων διαθέσιµων µετρήσεων, τη z στη θέση Β τις ηµεροµηνίες πριν την τοποθέτηση του νέου οργάνου και έως αυτήν. Με αυτόν τον τρόπο, η αρχική µέτρηση του νέου οργάνου δε θα είναι πλέον µηδενική, αλλά, προκύπτουσα από τις Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [113]

136 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 υπόλοιπες µετρήσεις θα εξασφαλίζει τη χρονική συνέχεια στην καταγραφή της συµπεριφοράς του έργου. Στην προκειµένη εφαρµογή, διερευνάται το τυπικό αυτό πρόβληµα, θεωρώντας ότι ένα κλισιόµετρο πρόκειται να τοποθετηθεί στις 16/03/2007, προς αντικατάσταση ενός υποτιθέµενου γειτονικού κλισιοµέτρου που καταστράφηκε, στην τυχαία θέση x που υποδεικνύεται µε σταυρό στο Σχ Εποµένως, αναζητείται η τιµή των µετακινήσεων στη θέση του νέου κλισιοµέτρου τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή. x Σχ. 5.1: Θέση το οθέτησης νέου κλισιοµέτρου Με εφαλτήριο τον προσδιορισµό των επιφανειακών µετακινήσεων στη θέση του νέου οργάνου µέτρησης στην κατολίσθηση Σ2, στο παρόν κεφάλαιο διατυπώνονται τα ερωτήµατα που προκύπτουν κατά την εφαρµογή της γεωστατιστικής ανάλυσης στα γεωτεχνικά προβλήµατα και πραγµατοποιούνται οι κατάλληλες αναλύσεις για να απαντηθούν. Σε όλο το κεφάλαιο, εκτός κι αν αναφέρεται αλλιώς, η οριζόντια µετακίνηση της κατολίσθησης Σ2 θεωρείται εγγενής χωρική µεταβλητή και γίνεται η παραδοχή ότι ισχύει η αρχή της εργασιµότητας, σύµφωνα µε όσα αναφέρθηκαν στο Κεφ. 2. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [114]

137 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 5.1 ιαχωρισµός εδίου σε εριοχές µεγάλων και µικρών µετακινήσεων Περιγραφή ροβλήµατος Όπως αναλυτικά επεξηγήθηκε στο Κεφάλαιο 3, η κατολίσθηση Σ2 αποτελεί µια ολίσθηση εντός ενός µεγαλύτερου ολισθαίνοντος τµήµατος. Το όριο της κατολίσθησης εντοπίστηκε από την επιτόπια έρευνα και σκιαγραφείται στο Σχ Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα των τοπογραφικών µεθόδων (Παράρτηµα Α), οι µάρτυρες που βρίσκονται εντός του ορίου της κατολίσθησης παρουσιάζουν οριζόντιες µετακινήσεις που ξεπερνούν σε κάποιες περιπτώσεις τα 4m, ενώ οι υπόλοιποι εµφανίζουν µετακινήσεις που ποικίλουν ανάλογα µε την απόσταση του µάρτυρα από το όριο της κατολίσθησης. Πράγµατι, οι µάρτυρες εκτός της περιοχής που οριοθετεί το όριο, παρουσιάζουν µεγάλες µετακινήσεις όταν βρίσκονται στη γειτονία του ορίου, (π.χ. ο µάρτυρας S3 µε µετακίνηση 193mm), ενώ αυτοί που βρίσκονται πιο µακριά σαφώς µικρότερες (π.χ. ο µάρτυρας S7 µε 58mm). B 7N R1 S1 S3 S4 1N 2N 3N 4N S5 S6 5N ΑΞΟΝΕΣ 13 12N 17 17A 18 6N A 18 Σχ. 5.2: Όριο κατολίσθησης Σ2 Το διασπορόγραµµα περιγράφει τη µεταβλητότητα της χωρικής µεταβλητής, εν προκειµένω της οριζόντιας µετακίνησης, στο πεδίο. εδοµένης της προαναφερόµενης χωρικής ανοµοιοµορφίας στο καθεστώς µετακινήσεων στο χώρο, το πρώτο ερώτηµα που προκύπτει από την εφαρµογή της γεωστατιστικής ανάλυσης στη Σ2 είναι αν το πεδίο χρειάζεται να αντιµετωπιστεί ως ενιαίο κι άρα όλοι οι µάρτυρες να συµµετέχουν στην ανάλυση ή αν Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [115]

138 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 οφείλει να διαχωριστεί σε περιοχές µεγάλων και µικρών µετακινήσεων, σύµφωνα µε κάποιο κριτήριο, όπως το όριο από την επιτόπια έρευνα, κι άρα να αναλυθούν ξεχωριστά οι δυο περιοχές. Ένα δεύτερο ερώτηµα είναι αν η γεωστατιστική µπορεί να αποτελέσει το εργαλείο για τον προσδιορισµό του ορίου της κατολίσθησης, θεωρώντας το άγνωστο, είτε γιατί δεν έχει επισκεφθεί το πεδίο κάποιος ειδικός είτε γιατί οι ρωγµές δεν είναι εµφανείς στην επιφάνεια του πεδίου. Στο σηµείο αυτό αξίζει να σηµειωθεί ότι για τις αναλύσεις που πρόκειται να ακολουθήσουν χρησιµοποιήθηκαν οι οριζόντιες µετακινήσεις που καταγράφηκαν εντός του χρονικού διαστήµατος από 18/01/07 (ηµεροµηνία τοποθέτησης του µάρτυρα Ν7) έως τις 16/03/07, µε σκοπό οι µετρήσεις να έχουν κοινή χρονική αναφορά (βλ. Σχ. 5.3 & Σχ. 5.4). Στις ηµεροµηνίες αυτές συµµετέχουν 18 µάρτυρες (S1~S10, R1, N1~N7). Αναλυτικά, οι µετακινήσεις στο διάστηµα αυτό, µαζί µε τη γωνία που σχηµατίζει η διεύθυνση µετακίνησης µε το Βορρά, δίνονται στον Πίν Σχηµατικά, οι µετακινήσεις φαίνονται στο Σχ Η επιλογή του χρονικού αυτού διαστήµατος βασίστηκε στην προσπάθεια να συµµετέχουν όσο το δυνατόν περισσότεροι µάρτυρες και να υπάρχουν διαθέσιµες πολλαπλές µετρήσεις στο χρόνο S1 S2 R1 R2 N Οριζόντια μετακίνηση (mm) /01/07 18/01/07 28/01/07 07/02/07 17/02/07 27/02/07 09/03/07 19/03/07 Ημερομηνία Σχ. 5.3: Ε ιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων εριοχή µεγάλων µετακινήσεων (18/01/07~16/03/07) Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [116]

139 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Οριζόντια μετακίνηση (mm) S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 N1 N2 N3 N4 N5 N /01/07 18/01/07 28/01/07 07/02/07 17/02/07 27/02/07 09/03/07 19/03/07 Ημερομηνία Σχ. 5.4: Ε ιφανειακές µετακινήσεις µαρτύρων εριοχή µικρών µετακινήσεων (18/01/07~16/03/07) Mάρτυρας Μετακίνηση κατά x (mm) Μετακίνηση κατά y (mm) Συνισταµένη µετακίνηση (mm) Γωνία διεύθυνσης ( o ) S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 R1 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N Πίν. 5.1: Mετακινήσεις µαρτύρων το χρονικό διάστηµα 18/01/07~16/03/ Βελτίωση εκτιµήσεων µε χρήση του ορίου της κατολίσθησης Στην παρούσα ενότητα, διερευνάται αν, µε το όριο της κατολίσθησης γνωστό από την επιτόπια έρευνα, το πεδίο χρειάζεται να χωριστεί σε περιοχές µεγάλων και µικρών µετακινήσεων ή αν µπορεί να αντιµετωπιστεί ως ένα ενιαίο. Πραγµατοποιούνται, λοιπόν, δυο αναλύσεις, οι 1α & 1β στην πρώτη, το πεδίο λαµβάνεται ως µια ενιαία περιοχή και χρησιµοποιούνται οι µετρήσεις και των 18 διαθέσιµων µαρτύρων. Στη δεύτερη, η ανάλυση Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [117]

140 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 διασπάται σε δυο περιοχές, χρησιµοποιώντας ως διαχωριστικό κριτήριο το όριο που προέκυψε από την επιτόπια έρευνα. Οι αναλύσεις 1α & 1β ουσιαστικά αποτελούνται από 18 & 14 αυτοτελείς αναλύσεις αντίστοιχα, σε κάθε µία από τις οποίες διαγράφεται εκ περιτροπής ένας µάρτυρας κι εκτιµάται, µέσω των εξισώσεων συνήθους kriging, η τιµή της οριζόντιας µετακίνησης στη θέση του. Η απόκλιση z µεταξύ µετρούµενης τιµής z m και εκτιµώµενης τιµής z e αποτελεί δείκτη της δυνατότητας της ανάλυσης να περιγράψει τη µεταβλητότητα των µετακινήσεων στο πεδίο. Πράγµατι, όσο η διαφορά z µειώνεται, τόσο θεωρείται ότι η γεωστατιστική προσέγγιση αναπαριστά καλύτερα την πραγµατικότητα. Ανάλυση 1α Αρχικά, εκτιµάται το διασπορόγραµµα του ενιαίου πεδίου για κάθε µία από τις αναλύσεις. Η εκτίµησή του βασίζεται στη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (LS). Τα διαστήµατα που επιλέγονται έχουν συντελεστές [0-0,1-0,3-0,6-1,0], σύµφωνα µε τις οδηγίες που θέτει ο Kitanidis (1997). Ως υποψήφιο προσοµοίωµα λήφθηκε το γραµµικό, λόγω της µη στασιµότητας που παρουσίαζαν οι καταγραφές και της απλοϊκότητάς του. ε διερευνήθηκαν πιο εξεζητηµένα προσοµοιώµατα, π.χ. περιπτώσεις τάσεων ή ανισοτροπίας, λόγω του περιορισµένου αριθµού των διαθέσιµων µετρήσεων. Εφόσον έχει ολοκληρωθεί η δοµική ανάλυση, εκτιµώνται, µέσω των εξισώσεων συνήθους kriging, οι µετακινήσεις στον εκάστοτε µάρτυρα. Ανάλυση 1β Αντίστοιχα, πραγµατοποιείται κι η ανάλυση 1β, µε τη µόνη διαφορά ότι συµµετέχουν µόνο οι 14 µάρτυρες που βρίσκονται έξω από το χώρο που ορίζουν οι επιφανειακές ρωγµές, δηλαδή οι µάρτυρες S3~S10 και N1~N6. Η δοµική ανάλυση ακολούθησε την προσέγγιση της ανάλυσης 1α 3. Χρειάζεται να αναφερθεί ότι η ανάλυση 1β πραγµατοποιείται µόνο για την περιοχή εκτός του ορίου, διότι η περιοχή εντός περιλαµβάνει ελάχιστα σηµεία (τέσσερα έπειτα από την απώλεια του µάρτυρα R2) και συνεπώς, δεν είναι εφικτή η δοµική ανάλυση (βλ. υποκεφάλαιο 5.2). 3 Στις αναλύσεις 1β-8 & 1β-9, δηλ. σε αυτές που απουσιάζουν οι µάρτυρες S8 & S9, τα διαστήµατα για την εκτίµηση του διασπορογράµµατος µεταβάλλονται από [0-0,10-0,30-0,60-1,00] σε [0-0,17-0,35-0,60-1,00], ειδάλλως το πρώτο διάστηµα δε θα περιλάµβανε κανένα ζεύγος σηµείων µέτρησης. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [118]

141 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Ανάλυση 1α παράµετροι διασπορογράµµατος διαγνωστικοί έλεγχοι παραλειπό -µενος µάρτυρας S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 N1 N2 N3 N4 N5 N6 αριθµός ανάλυση ς κλίση 19602, , , , , , , , , , , , , ,29 φαινόµενο κόκκου 166,53 133,49 264, ,99 142,34 134,22 108,47 96,96 84,52 49,64 114,49 170,89 179,55 221,63 Q1 ( Q1 <0,5) 0,05 0,07 0,09 0,08 0,04 0,02-0,10 0,00 0,05-0,01-0,01 0,08 0,07 0,02 Πίν. 5.2: Παράµετροι διασ ορογράµµατος για την ανάλυση 1α Q2 (Q2>0,43 & Q2<1.80) 1,22 1,23 1,23 1,26 1,17 1,08 1,11 1,15 0,97 1,20 1,22 1,23 1,21 1,09 Ανάλυση 1β παράµετροι διασπορογράµµατος διαγνωστικοί έλεγχοι παραλειπό- µενος µάρτυρας S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 N1 N2 N3 N4 N5 N6 αριθµός ανάλυσης κλίση 83,80 84,22 81,47 86,05 86,39 93,59 93,68 94,90 27,89 90,52 84,35 86,17 83,27 82,37 φαινόµενο κόκκου 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Q1 ( Q1 <0,58) 0,08 0,00 0,08 0,04 0,06 0,07 0,01-0,03 0,01 0,06-0,04 0,06-0,05 0,03 Πίν. 5.3: Παράµετροι διασ ορογράµµατος για την ανάλυση 1β Q2 (Q2>0,37& Q2<1.94) 0,74 0,74 0,77 0,73 0,73 0,64 0,67 0,66 0,60 0,56 0,74 0,71 0,75 0,76 Από τους παραπάνω πίνακες προκύπτει, αρχικά, ότι το γραµµικό προσοµοίωµα καλύπτει τις απαιτήσεις των διαγνωστικών ελέγχων Q 1 & Q 2 σε κάθε ανάλυση. Επίσης, παρατηρείται ότι η κλίση του διασπορογράµµατος στην ανάλυση 1α είναι κατά πολύ µεγαλύτερη αυτής της ανάλυσης 1β. Πράγµατι, όταν συµµετέχουν τόσο οι εντός όσο και οι εκτός µάρτυρες, η τάση που εµφανίζουν οι µετακινήσεις να αυξάνονται προς την περιοχή που ορίζει το όριο Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [119]

142 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 της κατολίσθησης δεν αποδίδεται σε ντετερµινιστική συνιστώσα, αλλά ενσωµατώνεται στη στοχαστική συνιστώσα της µεταβλητής, µε αποτέλεσµα να αυξάνεται η µεταβλητότητα των µετακινήσεων στο πεδίο, γεγονός που ανακλάται στις παραµέτρους του διασπορογράµµατος. Τα αποτελέσµατα των αναλύσεων δίνονται στο Σχ. 5.5, όπου φαίνεται καθαρά ότι η ανάλυση 1β εκτιµά καλύτερα τις µετρούµενες τιµές από ότι η ανάλυση 1α. Πράγµατι, η 1α αποκλίνει από τις µετρούµενες τιµές των µετακινήσεων 3 φορές περισσότερο κατά µέσο όρο από την 1β (48% έναντι 160%). Λεπτοµερέστερα, η ανάλυση 1α τείνει να υπερεκτιµά τις µετακινήσεις στα σηµεία εκτός αλλά κοντά στο όριο της κατολίσθησης, όπως στους µάρτυρες S8 & Ν1, εφόσον αυτοί επηρεάζονται αισθητά από τις υψηλές µετακινήσεις που καταγράφονται στα γειτονικά εντός σηµεία µέτρησης. Αντίθετα, υποεκτιµάει τις µετακινήσεις που αναπτύσσονται στα σηµεία S4, S10, N2 & N3, δηλ. στο µέσο της περιοχής των µικρών µετακινήσεων, λόγω της απότοµης πτώσης που θεωρεί η ανάλυση 1α ότι παρουσιάζουν οι µετακινήσεις εκεί. Η ανάλυση 1β περιγράφει καλύτερα την πραγµατικότητα, αν και αποκλίσεις παρατηρούνται στα σηµεία κοντά στο όριο της κατολίσθησης, όπως στο N1, όπου η αποµάκρυνση των έντονα µετακινούµενων µαρτύρων µειώνει την τιµή της εκτιµώµενης µεταβλητής μετρηθείσες τιμές ανάλυση 1α ανάλυση 1β Οριζόντια μετακίνηση (mm) S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 N1 N2 N3 N4 N5 N6 παραλειπόμενος μάρτυρας Σχ. 5.5: Εκτιµώµενες µετακινήσεις των αναλύσεων 1α & 1β Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [120]

143 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Προκύπτει, λοιπόν, αβίαστα το συµπέρασµα ότι οι εκτιµήσεις της γεωστατιστικής ανάλυσης βελτιώνονται ουσιαστικά, στην παρούσα εφαρµογή, όταν το πεδίο δεν παραµένει ενιαίο, αλλά χωρίζεται σε περιοχές µικρών και µεγάλων µετακινήσεων. Επανερχόµενοι, λοιπόν, στο αρχικό πρόβληµα του προσδιορισµού της µετακίνησης στη θέση x του νέου κλισιοµέτρου, υπολογίζονται η µετακίνηση και το σφάλµα εκτίµησης αυτής για τις δυο αναλύσεις 1α και 1β που παρουσιάστηκαν στο παρόν υπο-κεφάλαιο. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίν Η ανάλυση 1α παρουσιάζει µικρότερη εκτίµηση έναντι της 1β παρόλη τη συµµετοχή µαρτύρων µε υψηλές καταγραφές, διότι οι µετρήσεις αυτές φέρουν αρνητικό συντελεστή βαρύτητας. Έντονη είναι κι η διαφορά ανάµεσα στο σφάλµα εκτίµησης των δυο αναλύσεων, µε την 1α να παρουσιάζει ιδιαίτερα υψηλές τιµές, αντανακλώντας την αβεβαιότητα στην εκτίµηση που προκαλεί η µεγάλη µεταβλητότητα των µετακινήσεων στο πεδίο. Σύµφωνα πάντως, µε τα πορίσµατα της ενότητας, ως εκτιµώµενη µετακίνηση στη θέση x επιλέγεται αυτή της ανάλυσης 1β. Ανάλυση εκτίµηση (mm) MSE (mm 2 ) 1α 116, β 132, ,8 Πίν. 5.4: Εκτίµηση και σφάλµα εκτίµησης στη θέση x στις 16/03/ Εντο ισµός του ορίου της κατολίσθησης µε τη γεωστατιστική Από την προηγούµενη αναφορά φαίνεται ότι η γνώση του ορίου της κατολίσθησης είναι ιδιαίτερα σηµαντική για να βελτιωθούν οι εκτιµήσεις της χωρικής µεταβλητής. Στην παρούσα ενότητα εξετάζεται η δυνατότητα να εντοπιστεί το όριο της κατολίσθησης µε τη βοήθεια της γεωστατιστικής. Για το λόγο αυτό σχεδιάζονται ευθείες, κάθετες στην κύρια διεύθυνση µετακίνησης του πρανούς και µήκους 120m, έτσι ώστε να καλύπτουν το µεγαλύτερο µέρος του πεδίου. Για την ανάλυση αυτή (1γ) χρησιµοποιήθηκαν και οι 18 µάρτυρες και η δοµική ανάλυση ακολούθησε την προσέγγιση της ανάλυσης 1α. Εποµένως, το προκύπτον διασπορόγραµµα είναι γραµµικό µε παραµέτρους s=18971,21mm 2 /m & ne=50,39mm 2. Οι ευθείες που χρησιµοποιήθηκαν φαίνονται στο Σχ Στην ανάλυση 1γ, λοιπόν, εκτιµώνται οι οριζόντιες µετακινήσεις κατά µήκος των 11 ευθειών (σε σηµεία που απέχουν 10m µεταξύ τους). Αν ονοµαστούν z 1 και z 2 οι εκτιµώµενες µετακινήσεις σε δυο γειτονικά σηµεία της ίδιας ευθείας, τότε ως κανονικοποιηµένη µεταβολή περιγράφεται η ποσότητα (z 2 -z 1 )/z 1. Οι κανονικοποιηµένες µεταβολές κατά µήκος των ευθειών δίνονται στο Σχ Παρατηρείται ότι οι κανονικοποιηµένες µεταβολές Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [121]

144 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 κάθε ευθείας παρουσιάζουν κάποιο ελάχιστο, περισσότερο ή λιγότερο έντονο, που ουσιαστικά αντιστοιχεί στο σηµείο της ευθείας όπου οι µετακινήσεις µειώνονται µε το µέγιστο ρυθµό. Αν θεωρηθεί ότι το σύνορο µεταξύ των περιοχών µεγάλων και µικρών µετακινήσεων σηµατοδοτείται από το µέγιστο ρυθµό µείωσης των µετακινήσεων, τότε το όριο της κατολίσθησης σε κάθε ευθεία προκύπτει στις θέσεις που δηλώνονται στο Σχ Παρατηρείται ότι το όριο που προκύπτει από τη γεωστατιστική ανάλυση ανταποκρίνεται εξαιρετικά στο πραγµατικό όριο που ανέκυψε από την επιτόπια έρευνα στην πλειοψηφία των ευθειών. Αποκλίσεις παρατηρούνται στις ευθείες j & k, οι οποίες παρουσιάζουν το λιγότερο έντονο ελάχιστο και ταυτόχρονα, το µεγαλύτερο σφάλµα εκτίµησης, δεδοµένου ότι βρίσκονται πιο µακριά από τις διαθέσιµες µετρήσεις. 0,2 0,1 κανονικοποιημένη μεταβολή μετακίνησης 0-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0, a'-a b'-b c'-c d'-d e'-e f'-f g'-g h'-h i'-i j'-j k'-k -0,7-0,8 Μήκος ευθείας (m) Σχ. 5.6: Κανονικο οιηµένη µεταβολή µετακίνησης κατά µήκος των 11 ευθειών Συνεπώς, η γεωστατιστική ανάλυση κατά µήκος ευθειών κάθετων στη διεύθυνση κίνησης σε συνδυασµό µε τη θεώρηση του ορίου της κατολίσθησης στο σηµείο µε την πιο έντονη αύξηση των µετακινήσεων προσφέρουν ένα πρόσφορο εργαλείο, στην παρούσα εφαρµογή, για την εκτίµηση του ορίου της κατολίσθησης αποκλειστικά από τις µετρήσεις, χωρίς την απαίτηση επιτόπιας έρευνας. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [122]

145 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 B 7N R1 S1 S3 S4 9N 1N 2N 3N 4N S5 S6 8N 11N 5N ΑΞΟΝΕΣ N A 17A N ίχνος κατολίσθησης από επιτόπια έρευνα ίχνος κατολίσθησης από γεωστατιστική ανάλυση Σχ. 5.7: Όριο κατολίσθησης ροκύ τον α ό ε ιτό ια έρευνα και α ό γεωστατιστική ανάλυση Συµ εράσµατα Στηριζόµενοι στις αναλύσεις που περιγράφηκαν στις προηγούµενες ενότητες, είναι δυνατόν να εξαχθούν τα ακόλουθα συµπεράσµατα, πάντα έχοντας υπόψη ότι προήλθαν από την εφαρµογή σε µια συγκεκριµένη κατολίσθηση: Στην περίπτωση των κατολισθήσεων, ο διαχωρισµός του πεδίου γεωστατιστικής ανάλυσης σε περιοχές µικρών και µεγάλων µετακινήσεων, µπορεί να περιορίζει το διαθέσιµο αριθµό των µετρήσεων, αλλά επιτυγχάνει ουσιαστική βελτίωση των εκτιµήσεων και σηµαντική ελάττωση της ασάφειας της χωρικής µεταβλητής, µέσω της µείωσης στις τιµές του διασπορογράµµατος. Ο διαχωρισµός, ο οποίος βασίζεται στο όριο της κατολίσθησης, µπορεί να στηριχτεί είτε στην επιτόπια έρευνα µε καταγραφή των επιφανειακών ρωγµών που αναπτύσσονται στο πεδίο είτε στη γεωστατιστική ανάλυση. Πράγµατι, η θεώρηση ότι το όριο της κατολίσθησης συµπίπτει µε το σηµείο των ευθειών κάθετων στο διάνυσµα µετακίνησης της κατολίσθησης που παρουσιάζει τη µεγαλύτερη µεταβολή στις εκτιµώµενες µέσω γεωστατιστικής ανάλυσης µετακινήσεις προσφέρει ιδιαίτερα ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Συνεπώς, προτείνεται ένας νέος τρόπος προσδιορισµού των ορίων της κατολίσθησης, που λειτουργεί ανεξάρτητα από την επιτόπια έρευνα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [123]

146 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 5.2 Φειδωλότητα µετρήσεων Περιγραφή ροβλήµατος Η γεωστατιστική ξεκίνησε για να καλύψει τις ανάγκες στο πεδίο της Ορυκτολογίας, όπου οι µετρήσεις λαµβάνονται, κατά κύριο λόγο, σε αφθονία. Ωστόσο, στα γεωτεχνικά προβλήµατα, ο αριθµός των διαθέσιµων µετρήσεων είναι συνήθως µικρός, δηµιουργώντας εύλογα ερωτήµατα σχετικά µε την εφαρµοσιµότητα της γεωστατιστικής σε αυτά. Πράγµατι, οι γεωστατιστικοί επιστήµονες έρχονται συχνά σε διαφωνία σχετικά µε το πλήθος των διαθέσιµων µετρήσεων που είναι απαραίτητο για µια αξιόπιστη γεωστατιστική ανάλυση. Πιο συγκεκριµένα, η διαφωνία αφορά το κοµµάτι της δοµικής ανάλυσης συχνά θεωρείται ότι το διασπορόγραµµα, πάνω στο οποίο βασίζεται όλη η ανάλυση, δε µπορεί να χρησιµοποιηθεί, όταν τόσο το είδος του προσοµοιώµατος όσο κι οι παράµετροί του προέρχονται από περιορισµένο αριθµό ζεύγους σηµείων. εν είναι λίγοι οι γεωστατιστικοί που θεωρούν απαραίτητη προϋπόθεση για τον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος το πλήθος των µετρήσεων να µην υπολείπεται ενός συγκεκριµένου αριθµού. Παραδείγµατος χάρη, οι Webster & Oliver (2001) δηλώνουν ρητά ότι ο προσδιορισµός του διασπορογράµµατος που βασίζεται σε λιγότερες από 50 µετρήσεις δεν µπορεί παρά να είναι εσφαλµένος. Σύµφωνα µε το παράδειγµα που παραθέτουν, επαρκές πλήθος µετρήσεων για ισοτροπικό πεδίο είναι οι 144 µετρήσεις, ενώ αν το πλήθος ξεπερνάει τα 225, τότε το προκύπτον διασπορόγραµµα είναι σχεδόν σίγουρα αξιόπιστο. Αντίστοιχα, οι Chilès & Delfiner (1999) αναφέρουν ότι ένα εχέγγυο σηµείο πειραµατικού διασπορογράµµατος οφείλει να στηρίζεται σε περισσότερα από 50 ζευγάρια µετρήσεων. Για 4-5 σηµεία πειραµατικού διασπορογράµµατος που συνήθως χρειάζονται για να προκύψει το προσοµοίωµα του διασπορογράµµατος, αυτή η απαίτηση µεταφράζεται σε µετρήσεις. Οι συγγραφείς, ωστόσο, δηλώνουν ότι το πλήθος αυτό είναι απλά ενδεικτικό και κανείς οφείλει να λάβει υπόψη κι άλλους παράγοντες, όπως τη θέση των διαθέσιµων µετρήσεων και το σχήµα του διασπορογράµµατος. Η Isobel Clark (1979) χρησιµοποιεί στο παράδειγµά της σηµεία που προκύπτουν από 21 ζευγάρια και τονίζει πως δεν υπάρχει κάποιος κανόνας για το πόσα ζευγάρια χρειάζεται να υποστηρίζουν ένα σηµείο στο πειραµατικό διασπορόγραµµα αν και γενικώς, όσο αυξάνει ο αριθµός των ζευγαριών τόσο πιο αξιόπιστο είναι το σηµείο αυτό. Τέλος, ο Myers (2007) αναφέρει πως ο περιορισµός που θέτουν κάποιοι συγγραφείς αναφορικά µε το πλήθος των δεδοµένων ( µετρήσεις κατ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [124]

147 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 ελάχιστο) είναι αυθαίρετος και δεν εξασφαλίζει ότι το προσοµοίωµα του διασπορογράµµατος που θα προκύψει θα είναι αξιόπιστο. Από την άλλη πλευρά, στη βιβλιογραφία µπορεί κανείς να συναντήσει πλήθος αναφορών που εφαρµόζουν τη γεωστατιστική ανάλυση µε πολύ λιγότερα σηµεία από ότι οι προαναφερόµενες απαιτήσεις. Για παράδειγµα, οι Rouhani & Hall (1989) εκτιµούν την τάση και τις τέσσερις παραµέτρους της συνδιακύµανσης της διαρροής που παρουσιάζει ένας υδροφορέας στηριζόµενοι σε καταγραφές 29 πηγαδιών. Οι Bastin et al. (1984) έχoυν στη διάθεσή τους 16 µετρήσεις (k=10, N k =12). Οι Öztürk & Nasuf (2002) παρουσιάζουν την κατανοµή των µηχανικών ιδιοτήτων της βραχόµαζας κατά µήκος µιας σήραγγας, βασισµένοι σε 34 δειγµατοληψίες. Οι El Idrysy & De Smedt (2007) έχουν διαθέσιµες 13 µετρήσεις στην περιοχή, µε αποτέλεσµα τα 13 διαστήµατα που χρησιµοποιούν για τον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος να έχουν κατά µέσο όρο περίπου N k =5. Ο Pardo- Igúzquiza (1998γ) καταφέρνει µε n=25 µετρήσεις να παράγει ανισότροπο διασπορόγραµµα. Οι Lin & Rouhani (2001) χρησιµοποιούν 13 µετρήσεις σε ένα διάγραµµα µε k=10, δηλ. µε µέσο N k =9. Οι Chen et al. (2008) χρησιµοποιούν τις µετρήσεις από µόλις 9 βροχόµετρα για να σχεδιάσουν το ύψος βροχής σε όλη τη λεκάνη απορροής, µε απώτερο σκοπό τη χρήση της εντροπίας για την αύξηση του ολιγοµελούς συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης. Οι Zimmerman & Holland (2005), επίσης, εκτιµούν το όφελος από το συνδυασµό δυο ξεχωριστών δικτύων µέτρησης της συγκέντρωσης υγρού νατρίου έναντι της αντιµετώπισής τους ξεχωριστά. Η γεωστατιστική ανάλυση του δεύτερου δικτύου βασίζεται σε 17 µετρήσεις. Γίνεται, συνεπώς, φανερό ότι για τις περιπτώσεις των γεωτεχνικών έργων, που οι µετρήσεις είναι συνήθως λιγοστές, η εκλογή διασπορογράµµατος, βασιζόµενη αποκλειστικά στις µετρήσεις, καθίσταται αµφισβητήσιµη. Στην ενότητα αυτή, λοιπόν, γίνεται µια προσπάθεια συγκέντρωσης των αναφορών σχετικά µε τον προσδιορισµό του διασπορογράµµατος σε περίπτωση περιορισµένου αριθµού µετρήσεων και δηµιουργίας µιας ενιαίας µεθοδολογίας. Η µεθοδολογία θα χωριστεί σε δυο τµήµατα, το πρώτο αφορά τον προσδιορισµό του προσοµοιώµατος του θεωρητικού διασποροδιαγράµµατος και το δεύτερο τις παραµέτρους του, παρόλη την προφανή αλληλεξάρτηση µεταξύ τους οµική ανάλυση σε εριορισµένο αριθµό µετρήσεων Ε ιλογή ροσοµοιώµατος διασ ορογράµµατος Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [125]

148 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Στην περίπτωση των άφθονων µετρήσεων, το προσοµοίωµα επιλέγεται µε βασικό κριτήριο την ταύτισή του µε το πειραµατικό διασπορόγραµµα, ειδικά στην περιοχή των µικρών h. Στην περίπτωση που οι µετρήσεις είναι περιορισµένες, ο µελετητής χρησιµοποιεί την κρίση του και τις γνώσεις του σχετικά µε τη φύση της παραµέτρου που καλείται να εκτιµήσει για να προσδώσει το κατάλληλο προσοµοίωµα. Στο σηµείο αυτό αξίζει να αναφερθούν κάποιες οδηγίες από τη διεθνή βιβλιογραφία που συνδέουν τη φύση της παραµέτρου µε το επιλεγόµενο προσοµοίωµα: Αν η χωρική µεταβλητή είναι ένα φυσικό µέγεθος που εκτιµάται ότι παρουσιάζει σταθερή µέση τιµή στο πεδίο που ερευνάται, τότε είναι καλύτερο να υιοθετηθεί ένα στάσιµο προσοµοίωµα, όπως το Gaussian ή το εκθετικό. Αν κριθεί ότι η µεταβλητή παρουσιάζει µη σταθερή µέση τιµή, τότε είναι προτιµότερη η στροφή στα γραµµικά ή δυναµικά προσοµοιώµατα, δηλ. σε προσοµοιώµατα που δε σταθεροποιούνται στις µεγάλες αποστάσεις (h). Το πεδίο έρευνας είναι πολύ κρίσιµο για την παραπάνω επιλογή. Π.χ. το υψόµετρο, όταν µελετάται ένα βουνό, αποτελεί σίγουρα µια µη στάσιµη µεταβλητή. Αν όµως το υψόµετρο µελετάται στο εύρος µιας χώρας, τότε µπορεί να γίνει η υπόθεση της στάσιµης µεταβλητής. Επίσης, χαρακτηριστικό είναι και το εύρος που θα επιλεγεί στα στάσιµα προσοµοιώµατα. Αν το εύρος ενός Gauss προσοµοιώµατος είναι παραπλήσιο µε το µήκος του πεδίου, τότε δεν αναµένεται να παρουσιάσει ιδιαίτερα στάσιµη συµπεριφορά. Αν η χωρική µεταβλητή είναι παραγωγίσιµο µέγεθος, τότε µπορεί να υιοθετηθεί το Gauss προσοµοίωµα που παρουσιάζει πολύ µικρές τιµές γ στα µικρά h. Αν, όµως, το µέγεθος θεωρηθεί µη παραγωγίσιµο, τότε ο µελετητής µπορεί να στραφεί στο εκθετικό ή στο δυναµικό µοντέλο. Ως παράδειγµα µπορεί να αναφερθεί η µελέτη της αντοχής της βραχόµαζας ή του ύψους του υδροφόρου ορίζοντα. Στην πρώτη περίπτωση, το φυσικό µέγεθος αναµένεται να µεταβάλλει έντονα τις τιµές του εξαρτώµενο από τη διαφοροποίηση του εδάφους ή από την παρουσία ασυνεχειών, ενώ στη δεύτερη περίπτωση κανείς αναµένει µια πιο ήπια µεταβολή στο ύψος του νερού στο χώρο. Αν τα όργανα µέτρησης παρουσιάζουν σφάλµατα ίσης τιµής, τότε µπορεί να προστεθεί το φαινόµενο κόκκου στο διασπορόγραµµα, αντίστοιχο σε µέγεθος µε το µέγεθος των σφαλµάτων. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [126]

149 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Στην µετάβαση από τη γνώση του φυσικού µεγέθους στην επιλογή του προσοµοιώµατος του διασπορογράµµατος, καθοριστικές είναι κι οι εικόνες από το βιβλίο του Kitanidis (1997) που παραθέτονται ακολούθως: (α) (β) (γ) (δ) Σχ. 5.8: Οικογένειες διασ ορογραµµάτων (Kitanidis, 1997): (α) ροσοµοίωµα Gauss, (β) εκθετικό ροσοµοίωµα, (γ) δυναµικό ροσοµοίωµα, (δ) γραµµικό ροσοµοίωµα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [127]

150 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Εύκολα µπορεί να διακριθεί η παραγωγισιµότητα της χωρικής µεταβλητής στο προσοµοίωµα Gauss σε αντιδιαστολή µε αυτήν του εκθετικού προσοµοιώµατος. Επίσης, διαφαίνεται η σταθερή µέση τιµή των προσοµοιωµάτων Gauss και εκθετικού σε σχέση µε τη µεταβαλλόµενη µέση τιµή που παρουσιάζουν το δυναµικό και γραµµικό προσοµοίωµα. Στην περίπτωση που ούτε το πλήθος των µετρήσεων είναι επαρκές ούτε ο µελετητής διαθέτει την απαραίτητη γνώση σχετικά µε το φυσικό µέγεθος που καλείται να ερευνήσει, εµφανίζονται δυο επιλογές η πρώτη σχετίζεται µε την αρχή της φειδωλότητας (Kitanidis, 1997), όπου ελλείψει στοιχείων προτείνεται να επιλεχθεί το πιο απλό προσοµοίωµα. Με βάση το προσοµοίωµα αυτό, προσδιορίζονται οι παράµετροί του κι έπειτα ελέγχονται, σύµφωνα µε διαγνωστικούς ελέγχους που δίνονται αναλυτικά από τους Kitanidis & Vomvoris (1983), θεωρώντας ότι οι µετρήσεις παρουσιάζουν κανονική κατανοµή. Οι διαγνωστικοί έλεγχοι βασίζονται στην αρχή ότι αν το προσοµοίωµα περιγράφει ικανοποιητικά την πραγµατικότητα, τότε τα κατάλοιπα θα είναι ανεξάρτητα και θα παρουσιάζουν κανονική κατανοµή µε µηδενική µέση τιµή και µοναδιαία διασπορά. Αν το προσοµοίωµα απορριφθεί, τότε επιλέγεται το δεύτερο απλούστερο προσοµοίωµα κι η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Η δεύτερη επιλογή αφορά τη χρήση όλων των υποψήφιων προσοµοιωµάτων (δηλ. αυτών που ο µελετητής κρίνει ότι συµβαδίζουν µε τη φύση της χωρικής µεταβλητής) κι όχι την επιλογή του πιο απλού µεταξύ αυτών. Οµοίως, προσδιορίζονται οι παράµετροί τους και τα υποψήφια προσοµοιώµατα ελέγχονται σύµφωνα µε τους διαγνωστικούς ελέγχους - παράρτηµα Α των Kitanidis & Vomvoris (1983). Αν τα προσοµοιώµατα που ικανοποιούν τις αρχές των διαγνωστικών ελέγχων είναι παραπάνω του ενός, αξίζει να διερευνηθεί κατά πόσο τα προσοµοιώµατα αυτά παράγουν διαφορετικές εκτιµήσεις. Για την εκτίµηση των διαφορών µεταξύ των προσοµοιωµάτων, γίνεται χρήση των σχέσεων που διατυπώνονται στους Parsopoulos & Vrahatis (2002): m δz ij = δz p ij p i=1 1/p, 1 p< Εξ.: 5.1 όπου δz ij η διαφορά ανάµεσα στις εκτιµήσεις του προσοµοιώµατος i από το προσοµοίωµα j σε m θέσεις του πεδίου. Οι πιο γνωστές νόρµες είναι η νόρµα l 1 (για p=1) και η νόρµα l 2 (για p=2), ενώ η νόρµα l για p= οδηγεί στον προσδιορισµό της µέγιστης τιµής του δz ij. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [128]

151 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σύµφωνα µε τους συγγραφείς, η νόρµα l 2 χρησιµοποιείται κατά κόρον, µε χαρακτηριστικό στοιχείο τον υπερτονισµό των µεγάλων αποκλίσεων λόγω της ύψωσής τους στο τετράγωνο, κάτι που δε συµβαίνει στη νόρµα l 1. Στο πρόγραµµα GEO m s γίνεται χρήση και των τριών (l 1, l 2 & l ), ώστε οι ειδικοί να έχουν µια πιο γενικευµένη εικόνα των διαφορών στο πεδίο. Σύµφωνα µε τον Kitanidis (1997), το πιο πιθανό είναι πως τα προσοµοιώµατα αυτά δε θα παράγουν ιδιαίτερα διαφορετικές εκτιµήσεις. Αν, όµως, σηµαντικές διαφορές εµφανίζονται ανάµεσα στις προβλέψεις τους, τότε θεωρεί απαραίτητο να παρουσιάζονται όλες οι εκτιµήσεις. Στηριζόµενοι σε αυτή τη λογική, µπορούν όλα τα αποτελέσµατα των προσοµοιωµάτων να συµπεριληφθούν στο τελικό αποτέλεσµα, εάν δοθούν από ειδικούς, συντελεστές βαρύτητας σε κάθε µοντέλο. Ο Pardo-Igúzquiza (1998α) προσφέρει µια, επίσης, ελκυστική επιλογή. Όταν τα εναποµείναντα υποψήφια προσοµοιώµατα είναι στάσιµα, η τελική επιλογή µπορεί να βασιστεί στο κριτήριο πληροφορίας Akaike, σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: ΑΙC=2 NLLF+2 l Εξ.: 5.2 όπου NLLF (Νegative Log-Likelihood Function) είναι ένα µέγεθος που σχετίζεται µε την πιθανότητα οι επιλεγόµενες παράµετροι να είναι λανθασµένες και l είναι ο αριθµός των παραµέτρων του κάθε προσοµοιώµατος. Εποµένως, για προσοµοιώµατα µε ίσο αριθµό παραµέτρων (π.χ. το Gaussian και το εκθετικό µε l=3 οριακή τιµή, εύρος, φαινόµενο κόκκου), θα επιλεγεί το προσοµοίωµα µε το µικρότερο NLLF. Στην περίπτωση που συγκρίνονται προσοµοιώµατα µε διαφορετικό αριθµό παραµέτρων, όπως π.χ. ένα ισότροπο εκθετικό µε ένα ανισότροπο εκθετικό, αναµένεται ότι το δεύτερο θα παρουσιάζει µικρότερο NLLF λόγω του αυξηµένου βαθµού ελευθερίας που απορρέει από το µεγαλύτερο αριθµό παραµέτρων, αλλά θα υστερεί στη φειδωλότητα. Το κριτήριο Akaike ισορροπεί τις δυο αντίρροπες επιδράσεις και επιλέγει το προσοµοίωµα µε το µικρότερο AIC. Ωστόσο, περιορίζει την εφαρµογή του µόνο στα στάσιµα προσοµοιώµατα, γιατί εκεί ορίζεται ο πίνακας Q (πίνακας συσχέτισης) που απαιτείται για την εκτίµηση του NLLF. Καταληκτικά, τόσο οι διαφορές που προκύπτουν όσο και το κριτήριο AIC παρέχονται ως πληροφορίες στους ειδικούς για την τελική εκτίµηση των συντελεστών βαρύτητας στο κάθε προσοµοίωµα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [129]

152 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Η µεθοδολογία που προαναφέρθηκε µπορεί να συνοψιστεί στο χάρτη επιλογής προσοµοιώµατος που ακολουθεί (Σχ. 5.9): αριθμός μετρήσεων; προσομοίωμα βασισμένο στις μετρήσεις μεγάλος μικρός υπάρχει προηγούμενη εμπειρία/κρίση; υιοθέτηση όλων των προσομοιωμάτων (τάση προς τα πιο απλά) οχι ναι προσομοίωμα από προηγούμενη εμπειρία/κρίση εκτίμηση παραμέτρων προσομοιώματος υιοθέτηση του πιο απλού προσομοιώματος έχουν μεγάλες διαφορές; διαγνωστικοί έλεγχοι ναι >1 ναι για ένα αποδοχή εκτίμηση παραμέτρων προσομοιώματος δεν έχει διαφορά ποιο θα υιοθετηθεί οχι ναι 1. επιλογή με βάση το AIC 2. συντελεστές βαρύτητας από ειδικούς διαγνωστικοί έλεγχοι απόρριψη οχι ναι αποδοχή Σχ. 5.9: Χάρτης ε ιλογής ροσοµοιώµατος Ε ιλογή αραµέτρων διασ ορογράµµατος Για να προσδιοριστεί πλήρως το διασπορόγραµµα, εκτός από την επιλογή προσοµοιώµατος, χρειάζεται κι η εκτίµηση των παραµέτρων του, όπως π.χ. η οριακή τιµή C o ή το φαινόµενο κόκκου ne. Με το σύµβολο θ θα αναπαριστάται το σύνολο των παραµέτρων που απαιτείται για τον πλήρη προσδιορισµό του εκάστοτε προσοµοιώµατος. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι αντιστοιχίες µεταξύ του συµβόλου θ και των παραµέτρων του εκάστοτε προσοµοιώµατος: Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 Gaussian οριακή τιµή C o εύρος L φαινόµενο κόκκου ne Εκθετικό οριακή τιµή C o εύρος L φαινόµενο κόκκου ne υναµικό κλίση s εκθέτης a φαινόµενο κόκκου ne Γραµµικό κλίση s φαινόµενο κόκκου ne - Πίν. 5.5: Παράµετροι ροσοµοιωµάτων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [130]

153 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Η εκτίµηση των παραµέτρων του γ ακολουθεί τους ίδιους κανόνες µε αυτούς του προσοµοιώµατος, δηλ. η βαρύτητα της κρίσης του µελετητή είναι αντιστρόφως ανάλογη του πλήθους των µετρήσεων. Βέβαια, στην περίπτωση των παραµέτρων, ο ρόλος του µελετητή γίνεται σαφώς πιο δύσκολος, διότι καλείται να εκτιµήσει αριθµητικά το βαθµό συσχέτισης των µετρήσεων στο χώρο έναντι της πιο απλής εκλογής της µορφής της χωρικής µεταβλητής. Η επίδραση των παραµέτρων του διασπορογράµµατος φαίνεται ποιοτικά στο ακόλουθο σχήµα (βασισµένο σε αντίστοιχο σχήµα των Chilès & Delfiner, 1999): Σχ. 5.10: Ε ίδραση αραµέτρων διασ ορογράµµατος στην εκτίµηση της χωρικής µεταβλητής Όταν µειώνεται το εύρος, τότε οι εκτιµήσεις προσκολλώνται περισσότερο στην τιµή της πλησιέστερης µέτρησης, περιορίζοντας την οµαλοποιητική δράση της ανάλυσης. Επίσης, όσο αυξάνεται το φαινόµενο κόκκου, οι εκτιµήσεις στα σηµεία των µετρήσεων διαφέρουν περισσότερο από τις µετρούµενες τιµές (σε µη ακριβείς παρεµβολές). Για τον προσδιορισµό του θ έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές, ανάµεσα στις οποίες διακρίνονται οι µέθοδοι Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood - ML) και Περιορισµένης Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Restricted Maximum Likelihood - RML), οι οποίες προσδιορίζουν το θ ώστε να µεγιστοποιεί την πιθανότητα εµφάνισης των µετρούµενων τιµών p(z θ) ή να ελαχιστοποιούν τον αρνητικό λογάριθµό της (L(z θ)= ln(p(z θ) Negative Log Likelihood Function (NLLF)) (Fisher, 1912). Στην αναφορά Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [131]

154 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 του Kitanidis (1983) συγκρίνονται οι µέθοδοι ML, MVUQ (Minimum variance unbiased quadratic) & LS (Least squares) για την εκτίµηση των παραµέτρων στις γενικευµένες συνδιακυµάνσεις, ενώ ο Pardo- Igúzquiza (1998α) παραθέτει µια λεπτοµερή αναφορά σχετικά µε την ακρίβεια προσδιορισµού του θ από 6 µεθόδους, ανάµεσα στις οποίες οι ML, RML & LS. Αξίζει να αναφερθεί πως και οι δυο αναφορές παράγουν ένα πεδίο τιµών στηριζόµενο σε γνωστό διασπορόγραµµα και στη συνέχεια, επιλέγοντας συγκεκριµένο πλήθος δεδοµένων, προσπαθούν να αναπαράγουν το θ βασισµένοι στις διάφορες µεθόδους. Το σηµαντικό στοιχείο, πάντως, είναι ότι κι οι δυο συγγραφείς συνηγορούν στην καλή εκτίµηση του θ µε τις µεθόδους ML και RML. Πρόκειται για την ίδια µεθοδολογία, µε τη διαφορά ότι στην RML (Corbeil & Searle, 1976) χρησιµοποιούνται οι διαφορές των δεδοµένων - απαλλαγµένες από την τάση - αντί για τα δεδοµένα αυτά καθ αυτά. Σύµφωνα µε τους Kitanidis & Lane (1985), εάν η τάση δεν είναι γνωστή, τότε η µέθοδος ML οδηγεί σε µεροληπτικές εκτιµήσεις, ειδικά αν το εύρος συσχέτισης των µετρήσεων είναι της ίδιας τάξης µε τη µεγαλύτερη απόσταση µεταξύ των µετρήσεων. Αντίθετα, η RML απαλείφει, µέσω των διαφορών, την επίδραση της τάσης και µπορεί, εποµένως, να χρησιµοποιηθεί τόσο για την εκτίµηση των παραµέτρων της συνδιακύµανσης όσο και του διασπορογράµµατος ή της γενικευµένης συνδιακύµανσης, αυξάνοντας όµως την αβεβαιότητα στην εκτίµηση. Εποµένως, η µέθοδος RML θα υιοθετηθεί στο εξής, αν και τα σχόλια που ακολουθούν αφορούν και τις δυο µεθόδους. Για την εφαρµογή της RML απαιτείται να γίνει κάποια θεώρηση ως προς την κατανοµή της χωρικής µεταβλητής. Συνηθέστερα, η κατανοµή θεωρείται κανονική για την απλοποίηση των υπολογισµών. Οι εκτιµήσεις της κρίνονται αµερόληπτες (ιδιαίτερα όταν υπάρχει πληθώρα µετρήσεων), µε ελάχιστη διασπορά και κανονική κατανοµή (Hartley & Rao, 1967). Επίσης, παρουσιάζει το σηµαντικό πλεονέκτηµα ότι παρέχει ένα µέτρο της αβεβαιότητας στην εκτίµηση του θ (µέσω της αναστροφής του πίνακα Fisher) Kitanidis, Πρόκειται για επαναληπτική µέθοδο, αλλά φτάνει σε σύγκλιση αρκετά γρήγορα, ειδικά µε ορθή επιλογή των αρχικών τιµών του θ. Στο σηµείο αυτό χρειάζεται να τονιστεί ότι για την εφαρµογή της RML απαιτείται ο πίνακας Q, που εξαρτάται από τη συνδιακύµανση της χωρικής µεταβλητής. Στην περίπτωση υιοθέτησης στάσιµων προσοµοιωµάτων, ο υπολογισµός της συνδιακύµανσης από το διασπορόγραµµα είναι απλός. Όµως, κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό στην περίπτωση του γραµµικού ή του δυναµικού Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [132]

155 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 προσοµοιώµατος. Η δυσκολία αυτή αντιµετωπίζεται σύµφωνα µε την αναφορά του Pardo- Igúzquiza (1998β). Συνεπώς, για την εφαρµογή της µεθόδου RML, εντοπίζονται δυο δυσκολίες: ο εντοπισµός της κατανοµής της χωρικής µεταβλητής και το περιορισµένο πλήθος των µετρήσεων (υπενθυµίζεται πως αν τα δεδοµένα είναι πολλά, οι παράµετροι του διασπορογράµµατος µπορούν να εκτιµηθούν άµεσα από τα δεδοµένα). Σχετικά µε την υπόθεση της κανονικής κατανοµής του φυσικού µεγέθους, ο Kitanidis (1983) αναφέρει ότι ακόµα κι όταν η θεώρηση κανονικής κατανοµής είναι αδύναµη, η µέθοδος παρέχει ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Όσο αφορά το πλήθος των δεδοµένων, δεν παρέχονται σαφείς οδηγίες, αλλά σηµαντικά πορίσµατα προκύπτουν από τον Pardo- Igúzquiza (1998α) που συγκρίνει την εκτίµηση του εύρους L (το πραγµατικό εύρος είναι γνωστό κι ίσο µε L=5) από 60 δείγµατα 15 και 90 µετρήσεων. Στην περίπτωση των 15 µετρήσεων, οι µέθοδοι ML και RML κατάφεραν να εκτιµήσουν το L εντός του διαστήµατος [2.5, 7.5] στο 45% και 47% των περιπτώσεων αντίστοιχα. Τα ποσοστά παρουσιάζουν αξιοσηµείωτη αύξηση (100% και 98% αντίστοιχα) όταν το δείγµα περιλαµβάνει 90 µετρήσεις. Αξίζει να αναφερθεί ότι τα ποσοστά µε τη συµβατική µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων είναι 33% και 97% για µικρό και µεγάλο δείγµα αντίστοιχα. Αν και τα παραπάνω στοιχεία αφορούν µια συγκεκριµένη εφαρµογή, παρέχουν την ένδειξη ότι η µέθοδος RML µπορεί να δώσει καλύτερες απαντήσεις για τον προσδιορισµό του θ από τη LS µέθοδο, έστω και µε αρκετή αβεβαιότητα στις περιπτώσεις των µικρών δειγµάτων. Όταν µόνο µία παράµετρος είναι προς διερεύνηση µε όλες τις άλλες µηδενικές, λύση στον περιορισµένο αριθµό δεδοµένων µπορεί να δώσει η παρατήρηση του Kitanidis (1983), σύµφωνα µε την οποία η µέθοδος RML εκτιµά αµερόληπτα τη θ, ασχέτως του µεγέθους του δείγµατος ή της ισχύος της κανονικής κατανοµής. Εποµένως, στην περίπτωση π.χ. που αναζητείται µόνο η παράµετρος s σε ένα γραµµικό µοντέλο, µε φαινόµενο κόκκου µηδέν, η µέθοδος RML µπορεί να παρέχει αξιόπιστα αποτελέσµατα ανεξαρτήτου του αριθµού διαθέσιµων µετρήσεων. Βέβαια, η παρατήρηση αυτή δεν ισχύει στην περίπτωση που αναζητάτε µόνο µία παράµετρος, ενώ οι υπόλοιπες είναι γνωστές και µη µηδενικές. Ωστόσο, όταν η δεύτερη µη µηδενική παράµετρος είναι το φαινόµενο κόκκου, που σχετίζεται µε τα σφάλµατα των µετρήσεων, αναµένεται ότι η τιµή της θα είναι µικρή κι άρα χωρίς σηµαντικές διαφοροποιήσεις, µπορεί να γίνει η απλοποιητική παραδοχή ότι το ne τείνει στο µηδέν και να προκύψει άµεσα και χωρίς περιορισµούς η τιµή του s. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [133]

156 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Μετά τον υπολογισµό του s, µπορεί στο διασπορόγραµµα να προστεθεί το φαινόµενο κόκκου. Αξίζει να αναφερθεί ότι στην περίπτωση που το δοµικό στοιχείο σχετίζεται γραµµικά µε τις παραµέτρους θ, ο Kitanidis παρουσιάζει απλοποιηµένες εξισώσεις για την εφαρµογή της RML σε συνδυασµό µε τη µέθοδο Gauss-Newton για την επίτευξη πιο γρήγορης σύγκλισης. Πράγµατι, το 1991, ο Kitanidis εισάγει την έννοια των ορθοκανονικών καταλοίπων. Τα κατάλοιπα αυτά αποτελούν εγκεκριµένα διαστήµατα (authorized increments) κι ως τέτοια µπορούν να χρησιµοποιηθούν άµεσα στη µέθοδο RML για τον προσδιορισµό των παραµέτρων που ορίζουν γραµµικά το διασπορόγραµµα κι ειδικότερα, µπορούν να δώσουν άµεσες απαντήσεις (χωρίς επαναληπτικές διαδικασίες) για την εκτίµηση µίας ή δυο παραµέτρων. Η µέθοδος είναι ισοδύναµη της RML, της οποίας τα πλεονεκτήµατα κι οι περιορισµοί έχουν ήδη περιγραφεί. Συνοψίζοντας, το περιορισµένο πλήθος των διαθέσιµων µετρήσεων στις συνήθεις γεωτεχνικές εφαρµογές δεν επιτρέπει τον προσδιορισµό των παραµέτρων του διασπορογράµµατος άµεσα από τις µετρήσεις. Η µέθοδος ML, κι ειδικότερα η µέθοδος RML για την περίπτωση των µη στάσιµων µεταβλητών, παρουσιάζει µια ελκυστική µεθοδολογία. Ωστόσο, η έλλειψη επαρκούς αριθµού δεδοµένων κι η άγνοια της µορφής της κατανοµής της χωρικής µεταβλητής αποτελεί ανασταλτικό παράγοντα στον επιτυχή προσδιορισµό του θ µέσω της RML. Για την αντιµετώπιση αυτών των προβληµάτων χρειάζεται να περιοριστούµε στον υπολογισµό µόνο µίας παραµέτρου, θεωρώντας τις υπόλοιπες µηδενικές. Αυτό βέβαια περιορίζει τον τύπο των επιλεγόµενων προσοµοιωµάτων στο γραµµικό, που περιγράφεται πλήρως από µία µόνο παράµετρο, θεωρώντας το φαινόµενο κόκκου µηδενικό. Εάν πάλι κριθεί πως ο αριθµός των µετρήσεων είναι ικανοποιητικός και το δοµικό στοιχείο σχετίζεται γραµµικά µε το θ, τότε µε χρήση των ορθοκανονικών καταλοίπων µπορούν να προσδιοριστούν έως δύο παράµετροι του προσοµοιώµατος χωρίς επαναλήψεις, ενώ αν απαιτούνται περισσότερες, τότε µπορεί να υιοθετηθεί ολοκληρωτικά η µεθοδολογία της RML µε τις επαναληπτικές διαδικασίες που περιγράφει ο Kitanidis (1983). Εάν αναζητείται η εκτίµηση του θ που περιλαµβάνει π.χ. το εύρος του εκθετικού διασποροδιαγράµµατος, δηλ. µιας µη γραµµικής παραµέτρου, τότε χρειάζεται να ακολουθηθεί η γενική µεθοδολογία της RML, όπως περιγράφεται στον Pardo- Igúzquiza (1998α). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [134]

157 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 αριθμός μετρήσεων; παράμετροι θ μέσω LS επαληθεύονται οι διαγνωστικοί έλεγχοι; όχι μεγάλος μικρός έχει γραμμική σχέση το δομικό στοιχείο με τις παραμέτρους ; ναι όχι υπολογισμός μέσω RML (με υπολογισμό ελάχιστου) ναι υιοθέτηση παραμέτρων θ πόσες παραμέτρους θ έχει το προσομοίωμα; Σχ. 5.11: Χάρτης υ ολογισµού αραµέτρων διασ ορογράµµατος m=2 m=1 υπολογισμός μέσω ορθοκανονικών καταλοίπων άμεσα υπολογισμός μέσω ορθοκανονικών καταλοίπων (με υπολογισμό ελαχίστου) Εφαρµογή δοµικής ανάλυσης στη Σ2 Για τους λόγους που αναφέρθηκαν στο προηγούµενο υπο-κεφάλαιο, η δοµική ανάλυση αφορά τις µετακινήσεις που καταγράφηκαν από τους 14 µάρτυρες της περιοχής µικρών µετακινήσεων της κατολίσθησης Σ2 στο χρονικό διάστηµα από 18/01/07 έως 16/03/07. Όλες οι εκτιµήσεις πραγµατοποιούνται στα σηµεία ελέγχου που δίνονται στο Σχ Στο ίδιο σχήµα φαίνονται κι οι ασυνέχειες που λήφθηκαν υπόψη. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [135]

158 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 B 7N R1 S1 S3 S4 9N 1N 2N 3N 4N S5 S6 8N 11N 5N ΑΞΟΝΕΣ N 17 17A 18 6N A 18 Σχ. 5.12: Κάνναβος ανάλυσης Ε ιλογή ροσοµοιώµατος Οι 14 διαθέσιµοι µάρτυρες κρίνονται µικρός αριθµός µε βάση τα πορίσµατα από την ενότητα Εποµένως, ο τύπος του διασπορογράµµατος οφείλει να στηριχτεί σε προηγούµενη εµπειρία και κρίση, κι όχι να προκύψει άµεσα από τις διαθέσιµες µετρήσεις. υστυχώς, δεν υπάρχει προηγούµενη εµπειρία σε σχέση µε τις µετακινήσεις, κι ειδικά στις κατολισθήσεις. Οι τρεις αναφορές (Terrafirma, 2010, Tre, 2010, Baldi et al., 2008) που πραγµατεύονται γεωστατιστικές αναλύσεις σε µετακινήσεις κατολισθητικών φαινοµένων δεν παρέχουν στοιχεία σχετικά µε τη µορφή του διασπορογράµµατος. Συνεπώς, αποµένει ο υπολογισµός µε βάση όλα τα υποψήφια προσοµοιώµατα, µε κλίση προς τα πιο απλά. Οι µετακινήσεις, σύµφωνα µε τον περιορισµένο αριθµό διαθέσιµων µετρήσεων, φαίνεται να παρουσιάζουν µια αυξητική τάση προς τα νότιο-ανατολικά, στοιχείο αναµενόµενο, εφόσον προς αυτήν τη διεύθυνση βρίσκονται τα όρια µε την περιοχή µεγάλων µετακινήσεων. Αυτή η παρατήρηση οδηγεί σε θεώρηση µη στάσιµης µεταβλητής κι άρα προς το γραµµικό ή/και εκθετικό προσοµοίωµα. Επίσης, δεδοµένου του ενιαίου χώρου κατολίσθησης, οι µετακινήσεις αναµένεται να είναι σχετικά ήπιες στις µεταβολές τους σε µικρές αποστάσεις, κι άρα η κρίση τείνει σε ένα προσοµοίωµα µε µικρές τιµές διασπορογράµµατος για µικρά h, όπως το Gaussian ή το γραµµικό. Οι παραπάνω παρατηρήσεις, σε συνδυασµό µε την Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [136]

159 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 αρχή της φειδωλότητας, οδηγούν στην υιοθέτηση του γραµµικού προσοµοιώµατος. Για να εξαλειφθούν, όµως, τυχόν αµφιβολίες, γίνεται δεκτό και το Gaussian προσοµοίωµα, λόγω της παραγωγισιµότητάς του, µε τάση να παρουσιάσει µεγάλο εύρος L, επιτρέποντας τον περιορισµό της στάσιµης συµπεριφοράς. Εποµένως, τα δυο υποψήφια προσοµοιώµατα είναι το γραµµικό και το Gaussian. Εκτίµηση αραµέτρων ροσοµοιωµάτων Το επόµενο βήµα αφορά τον προσδιορισµό των παραµέτρων για κάθε υποψήφιο προσοµοίωµα. Εξαιτίας του µικρού αριθµού των µετρήσεων, ακολουθείται ο δεξιός κλάδος του Σχ. 5.9, αν και µια επίλυση µε την κλασική µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δίνεται ενδεικτικά (τα διαστήµατα που επιλέγονται έχουν συντελεστές [0-0,15-0,30-0,60-1,0]). Οι παράµετροι του γραµµικού προσοµοιώµατος (s,ne) σχετίζονται γραµµικά µε το διασπορόγραµµα, αλλά η θεώρηση µη µηδενικού φαινόµενου κόκκου δεν επιτρέπει τον υπολογισµό των παραµέτρων µε χρήση των ορθοκανονικών καταλοίπων. Το προσοµοίωµα Gauss περιλαµβάνει τον προσδιορισµό του εύρους L, που δεν έχει γραµµική σχέση µε το γ. Συνεπώς, η χρήση της επαναληπτικής µεθόδου RML είναι µονόδροµος και για τα δυο υποψήφια προσοµοιώµατα, εκτός κι αν µεταβληθούν οι αρχικές θεωρήσεις. Στο γραµµικό προσοµοίωµα χρειάζεται να υπολογιστούν δυο παράµετροι, η κλίση s (θ 1 ) και το φαινόµενο κόκκου ne (θ 2 ) Εξ οκιµάζονται, λοιπόν, τρεις προσεγγίσεις στην πρώτη (RML-1), οι παράµετροι s & ne εκτιµώνται από τη µέθοδο RML, όπως προαναφέρθηκε. Στη δεύτερη (RML-2), για να απλοποιηθούν περαιτέρω οι υπολογισµοί, θεωρείται ότι το φαινόµενο κόκκου οφείλεται αποκλειστικά στα σφάλµατα των µετρήσεων, κι άρα λαµβάνεται ως γνωστό κι ίσο µε 5mm 2 (βλέπε υπο-κεφάλαιο 5.4). Στην τρίτη προσέγγιση (RML-3), το φαινόµενο κόκκου θεωρείται µηδενικό. Εποµένως, για τις πρώτες δυο προσεγγίσεις θα ακολουθηθεί η κλασική θεωρία της RML, ενώ στην τρίτη προσέγγιση, όπου ne=0, εκτιµάται η κλίση του διασπορογράµµατος µέσω των ορθοκανονικών καταλοίπων. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί (εντός παρένθεσης βρίσκονται οι τιµές των παραµέτρων που θεωρήθηκαν γνωστές στην εκάστοτε προσέγγιση): Μέθοδος υπολογισµού θ 1 θ 2 θ 3 LS 79, RML-1 58, RML-2 45,77 (5) - RML-3 52,03 (0) - Πίν. 5.6: Παράµετροι γραµµικού ροσοµοιώµατος διασ ορογράµµατος Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [137]

160 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Τα διασπορογράµµατα που αντιστοιχούν στις παραµέτρους του Πίν. 5.6 δίνονται σχηµατικά ακολούθως: γ (mm^2) LS RML-1 RML-2 RML h (m) Σχ. 5.13: ιασ ορογράµµατα γραµµικού ροσοµοιώµατος Αρχικά, παρατηρείται ότι τόσο µε τη µέθοδο LS όσο και στην προσέγγιση RML-1, το φαινόµενο κόκκου προκύπτει µηδενικό. Η κλίση του διασπορογράµµατος µειώνεται αισθητά, όταν χρησιµοποιείται η µέθοδος RML. Ένα ακόµα σηµαντικό στοιχείο είναι η διαφορετικότητα των αποτελεσµάτων µεταξύ των προσεγγίσεων RML-1 και RML-3. Επειδή στη RML-1 προκύπτει ne=0, κανείς θα ανέµενε οι κλίσεις που προκύπτουν να είναι παρόµοιες, δεδοµένου ότι οι δυο µεθοδολογίες (RML & χρήση ορθοκανονικών καταλοίπων) είναι ισοδύναµες (σύµφωνα µε Kitanidis, 1991). Ωστόσο, κάτι τέτοιο δε συµβαίνει, γεγονός που µπορεί να αποδοθεί σε δυο λόγους: πρώτον, στην άµεση εξάρτηση της ανάλυσης RML-3 από την τιµή του Q 2, το οποίο µε τη σειρά του εξαρτάται από τη σειρά που παρέχονται οι µετρήσεις. Βέβαια, η µεταβλητότητα που παρουσιάζει το Q 2 είναι µικρή για να εξηγήσει την απόκλιση µεταξύ των δυο αναλύσεων. εύτερον, στην εκτίµηση των z d Εξ που προϋποθέτει την εκτίµηση της µέσης τιµής, η οποία για το µικρό αυτό δείγµα εµπεριέχει αρκετή ασάφεια. Από τις παραπάνω αναλύσεις, θα γίνει τελικά αποδεκτή η RML-3, εφόσον, σύµφωνα µε τον Kitanidis (1993), η εκτίµηση µιας µόνο παραµέτρου είναι αµερόληπτη, ανεξαρτήτως του µεγέθους του δείγµατος και της παραδοχής για κανονική κατανοµή. Επίσης, όλες οι αναλύσεις συνηγορούν στην πολύ χαµηλή τιµή του ne, οπότε µπορεί να θεωρηθεί πρακτικά µηδενικό. Άλλωστε, τα αποτελέσµατα της ανάλυσης RML-3 δε διαφέρουν σηµαντικά από Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [138]

161 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 τα υπόλοιπα, όπως φαίνεται και στο Σχ Με βάση τα παραπάνω, οι παράµετροι του γραµµικού διασπορογράµµατος είναι s=52,03 και ne=0. Οι άγνωστες παράµετροι στο Gaussian προσοµοίωµα είναι τρεις, η οριακή τιµή C o (θ 1 ), το εύρος L (θ 2 ) και το φαινόµενο κόκκου ne (θ 3 ) Εξ Εκτός από τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων LS, δοκιµάζονται τρεις προσεγγίσεις στην πρώτη (RML-1), όλες οι παράµετροι εκτιµώνται µε τη µέθοδο RML 4. Στη δεύτερη (RML-2), για να απλοποιηθούν περαιτέρω οι υπολογισµοί, θεωρείται ότι το φαινόµενο κόκκου οφείλεται αποκλειστικά στα σφάλµατα των µετρήσεων, κι άρα λαµβάνεται ως γνωστό κι ίσο µε 5mm 2 (βλ. υπο-κεφάλαιο 5.4). Στην τελευταία προσέγγιση (RML-3), το φαινόµενο κόκκου θεωρείται µηδενικό. Σε όλες τις προσεγγίσεις θα ακολουθηθεί η κλασική θεωρία της RML, εξαιτίας της παρουσίας του εύρους που δε συνδέεται γραµµικά µε το διασπορόγραµµα. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Μέθοδος υπολογισµού θ 1 θ 2 θ 3 LS 13860,46 100,97 58,83 RML ,46 82,01 339,44 RML ,61 33,98 (5) RML ,76 33,62 (0) Πίν. 5.7: Παράµετροι Gaussian ροσοµοιώµατος Τα διασπορογράµµατα που αντιστοιχούν στις παραµέτρους του Πίν. 5.7 δίνονται σχηµατικά ακολούθως: γ (mm^2) LS RML-1 RML-2 RML h (m) Σχ. 5.14: ιασ ορογράµµατα Gaussian ροσοµοιώµατος 4 Οι αναλύσεις πραγµατοποιήθηκαν µε το λογισµικό χρησιµοποιώντας ανάλυση 35x35. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [139]

162 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Τα αποτελέσµατα µπορούν ουσιαστικά να χωριστούν σε δυο κατηγορίες, σε αυτά µε το µικρό εύρος (π.χ. προσεγγίσεις RML-2 και RML-3), όπου το διασπορόγραµµα σταθεροποιείται όταν h 60m και σε αυτά µε το µεγάλο εύρος (LS και RML-1), όπου το διασπορόγραµµα δε σταθεροποιείται εντός των αποστάσεων που απασχολούν την παρούσα εφαρµογή. Για το λόγο αυτό, επιλέγονται δυο προσεγγίσεις για τη συνέχεια της δοµικής ανάλυσης, οι RML-1 και RML-3, ως αντιπροσωπευτικές των αποτελεσµάτων. Άλλωστε, η πρώτη έχει το πλεονέκτηµα ότι προκύπτει από τη µέθοδο RML, χωρίς καµία κρίση σχετικά µε τις τιµές των παραµέτρων, ενώ η δεύτερη γιατί θεωρείται πιο πιθανό το φαινόµενο κόκκου να τείνει στο µηδέν παρά να έχει τιµή που αγγίζει τα 340mm 2. Συνοψίζοντας, η δοµική ανάλυση θα συνεχιστεί µε τη συµµετοχή τριών υποψήφιων διασπορογραµµάτων, αυτών που φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί και ονοµάζονται αντίστοιχα 2α, 2β και 2γ. Ονοµασία Προσοµοίωµα Παράµετροι θ 1 θ 2 θ 3 2α γραµµικό 52,03mm 2 /m 0-2β Gaussian 13860,46mm 2 82,01m 339,44mm 2 2γ Gaussian 6400,76mm 2 33,62m 0mm 2 Πίν. 5.8: Υ οψήφια διασ ορογράµµατα ιαγνωστικοί έλεγχοι Τα τρία υποψήφια προσοµοιώµατα υποβάλλονται στους διαγνωστικούς ελέγχους που περιγράφονται αναλυτικά στην ενότητα Τα αποτελέσµατα δίνονται στον Πίν. 5.9 κι αφορούν τους µέσους όρους από 30 τυχαίες κατατάξεις των διαθέσιµων µετρήσεων (βλ. Παράρτηµα 3.Α): Ονοµασία Q 1 Q 2 Filliben test Κλίση γ ( Q 1 <0,55) (Q 2>0,39 & Q 2<1,90) (r>0,93) 2α -0,28 1,02 0,01 0,96 2β 0,11 0,91 0,01 0,90 2γ -0,27 0,99 0,01 0,97 Πίν. 5.9: Α οτελέσµατα διαγνωστικών ελέγχων Σύµφωνα µε τον Πίν. 5.9, το προσοµοίωµα 2β απορρίπτεται, επειδή δεν ισχύει η θεώρηση κανονικής κατανοµής για τα υπόλοιπα, όπως φανερώνει ο έλεγχος Filliben. Εποµένως, αποµένουν δυο επιλογές, το γραµµικό προσοµοίωµα 2α και το Gaussian προσοµοίωµα 2γ. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [140]

163 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 ιαφορετικότητα εκτιµήσεων Εφόσον τα εναποµείναντα υποψήφια προσοµοιώµατα, έπειτα από τους διαγνωστικούς ελέγχους, είναι περισσότερα του ενός, σύµφωνα µε το χάρτη απόφασης του Σχ. 5.9, ακολουθείται ο αριστερός κλάδος, όπου διερευνώνται οι διαφορές ανάµεσα στα αποτελέσµατα των δυο προσοµοιωµάτων. Στα σχήµατα που ακολουθούν δίνονται οι εκτιµήσεις των µετακινήσεων, τα σφάλµατα εκτίµησης και ο συντελεστής µεταβλητότητας στο πεδίο, στηριζόµενα στα δύο υποψήφια διασπορογράµµατα (κάνναβος ανάλυσης: 5m). Σχ. 5.15: Εκτιµήσεις µετακινήσεων σύµφωνα µε το διασ ορόγραµµα 2α Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [141]

164 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.16: Σφάλµατα εκτίµησης σύµφωνα µε το διασ ορόγραµµα 2α Σχ. 5.17: Συντελεστές µεταβλητότητας σύµφωνα µε το διασ ορόγραµµα 2α Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [142]

165 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.18: Εκτιµήσεις µετακινήσεων σύµφωνα µε το διασ ορόγραµµα 2γ Σχ. 5.19: Σφάλµατα εκτίµησης σύµφωνα µε το διασ ορόγραµµα 2γ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [143]

166 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.20: Συντελεστές µεταβλητότητας σύµφωνα µε το διασ ορόγραµµα 2γ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις εκτιµώµενες µετακινήσεις παρουσιάζει ο τρόπος µε τον οποίο αναπτύσσονται στο πεδίο. Στο Σχ. 5.15, που αφορά την ανάλυση µε το γραµµικό προσοµοίωµα, οι µετακινήσεις φαίνεται να αυξάνονται από το κάτω δεξιά τµήµα του πεδίου προς το πάνω αριστερά, µε σχεδόν γραµµικό τρόπο, έως ότου συναντήσουν την ασυνέχεια (στην πραγµατικότητα αντιστοιχούν στο βόρειο-ανατολικό και το νότιο-δυτικό κοµµάτι της περιοχής). Από την άλλη, στο Σχ. 5.18, που αφορά την ανάλυση µε το Gaussian προσοµοίωµα, οι µετακινήσεις µοιάζουν να αναβλύζουν από ένα σηµείο (στο κάτω δεξιά µέρος του πεδίου) και να εξαπλώνονται στο υπόλοιπο πεδίο µε τη µορφή κυκλικών κυµατισµών. Οι διαφορετικοί αυτοί τρόποι ανάπτυξης των µετακινήσεων οφείλονται στο προσοµοίωµα της εκάστοτε ανάλυσης. Πράγµατι, το γραµµικό προσοµοίωµα, που θεωρεί µη στάσιµη µεταβλητή, επιτρέπει την ανάπτυξη των µετακινήσεων µε τη µορφή γραµµικής τάσης µεταβολής, ενώ η στάσιµη µεταβλητή του Gauss προσοµοιώµατος λαµβάνει την αύξηση των µετακινήσεων ως µια τοπική ανοµοιοµορφία. Ωστόσο, οι µεταβολές στις εκτιµώµενες µετακινήσεις είναι περιορισµένες στη µεγαλύτερη έκταση του πεδίου, µε εξαίρεση αυτές στην περιφέρεια του διερευνούµενου πεδίου κι ιδιαίτερα στο κάτω αριστερά τµήµα του (Σχ. 5.21). Σηµαντικές διαφορές ανάµεσα στις δυο αναλύσεις εµφανίζονται στα σφάλµατα εκτίµησης (Σχ. 5.22) στα τµήµατα του πεδίου που απέχουν τα µέγιστα από τις µετρήσεις. Το Gauss προσοµοίωµα, µε µεγαλύτερες τιµές διασπορογράµµατος στις Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [144]

167 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 µεγάλες αποστάσεις σε σχέση µε το γραµµικό, οδηγεί σε µεγαλύτερα σφάλµατα εκτιµήσεων στην περιφέρεια του κάνναβου ανάλυσης. Σχ. 5.21: ιαφορά στις εκτιµώµενες µετακινήσεις της ανάλυσης 2γ α ό την ανάλυση 2α Σχ. 5.22: ιαφορά στο σφάλµα εκτίµησης της ανάλυσης 2γ α ό την ανάλυση 2α Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [145]

168 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Για να γίνει πιο σαφής η διαφορά των εκτιµώµενων µετακινήσεων, παρέχονται, στον Πίν οι διαφορές ανάµεσα στις εκτιµήσεις των µετακινήσεων των δυο υποψήφιων προσοµοιωµάτων για p=1, p=2 & p= (Εξ. 5.1). Οι διαφορές αυτές κρίνονται σηµαντικές, ειδικά αν συγκριθούν µε το µέγεθος των καταγραφών. Πράγµατι, αν οι αποκλίσεις εκφραστούν ως ποσοστό της µεγαλύτερης καταγραφής (262mm), τότε φτάνουν το 6% και το 36% για p=1 και p= αντίστοιχα. Ονοµασία i:2γ, j:2a, m= ,6 Πίν. 5.10: Α οκλίσεις µεταξύ των αναλύσεων Ε ιλογή ροσοµοιώµατος Εφόσον οι αποκλίσεις µεταξύ των δυο υποψήφιων προσοµοιωµάτων κρίθηκαν σηµαντικές, ακολουθείται ο δεξιός κλάδος του χάρτη απόφασης του Σχ Το κριτήριο Akaike δεν µπορεί να βοηθήσει στη συγκεκριµένη επιλογή, µιας και το γραµµικό προσοµοίωµα, ως µη στάσιµο, δεν παρουσιάζει AIC. Καταληκτικά, επιλέγεται το γραµµικό προσοµοίωµα από τους ειδικούς (συντελεστής βαρύτητας 100%), µιας και υπερτερεί έναντι του Gaussian σε δυο σηµεία πρώτον, στην απλότητα και δεύτερον, στη δυνατότητα εκτίµησης των παραµέτρων του ανεξαρτήτως του διαθέσιµου αριθµού µετρήσεων και της υπόθεσης κανονικής κατανοµής. Ειδικά στο συγκεκριµένο παράδειγµα που διατίθενται µόνο 14 µετρήσεις, το δεύτερο αυτό χαρακτηριστικό είναι ουσιαστικής σηµασίας. Επίσης, από γεωτεχνικής άποψης, ο τρόπος ανάπτυξης των µετακινήσεων στο πεδίο µε το γραµµικό προσοµοίωµα κρίνεται πιο αληθοφανής από αυτόν µε το προσοµοίωµα Gauss, εφόσον το γραµµικό προσοµοίωµα ενσωµατώνει στη δοµή του την τάση µεταβολής που συχνά παρουσιάζουν οι µετακινήσεις. Έλεγχος ε άρκειας διαθέσιµων µετρήσεων Το γραµµικό προσοµοίωµα που υπολογίζεται µε τη µέθοδο RML, θεωρώντας µηδενικό φαινόµενο κόκκου, έχει επιλεγεί ως το καταλληλότερο για να περιγράψει τη χωρική µεταβλητότητα των µετακινήσεων στο πεδίο, ακολουθώντας τους χάρτες απόφασης (Σχ. 5.9 και Σχ. 5.11). Η εφαρµογή της µεθόδου RML για την εκτίµηση των παραµέτρων του διασπορογράµµατος κι η επιλογή του απλοϊκού γραµµικού προσοµοιώµατος τείνουν να αντιµετωπίσουν τα προβλήµατα που ανακύπτουν από τη γεωστατιστική ανάλυση που Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [146]

169 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 βασίζεται σε µόνο 14 µάρτυρες. Για να αποσαφηνιστεί, λοιπόν, η επάρκεια ή όχι των διαθέσιµων µετρήσεων προσδιορίζονται - µε τη µέθοδο RML και λαµβάνοντας ne=0 - τα διασπορογράµµατα που αντιστοιχούν στα δεδοµένα των 14 µαρτύρων, αφαιρώντας εκ περιτροπής έναν µάρτυρα. Τα διασπορογράµµατα που προκύπτουν δίνονται στο Σχ. 5.23: γ (mm^2) S3 -S4 -S5 -S6 -S7 -S8 -S9 -S10 -N1 -N2 -N3 -N4 -N5 -N h (m) Σχ. 5.23: Γραµµικά διασ ορογράµµατα αραλεί οντας ένα µάρτυρα Παρατηρείται ότι από τα 14 διασπορογράµµατα που υπολογίστηκαν για κάθε ένα αφαιρούµενο µάρτυρα, µόνο το διασπορόγραµµα χωρίς το µάρτυρα Ν1 διαφέρει σηµαντικά από τα υπόλοιπα. Μικρή διαφορά παρουσιάζει και το διασπορόγραµµα που προσδιορίστηκε χωρίς το µάρτυρα Ν2. Ο λόγος οφείλεται στην κεντρική θέση που κατέχουν αυτοί οι µάρτυρες στο πεδίο σε συνδυασµό µε τις ιδιαίτερα υψηλές καταγραφές τους σε σχέση µε των γειτονικών µαρτύρων τους. Σε γενικές γραµµές, πάντως, το πόρισµα είναι ότι οι παράµετροι του διασπορογράµµατος δε µεταβάλλονται κατά την αποχή των µαρτύρων από την ανάλυση, κι εποµένως οι 14 µάρτυρες στην παρούσα εφαρµογή κρίνεται επαρκής αριθµός για τη γεωστατιστική ανάλυση. Εισαγωγή τάσης µεταβολής, ανισοτρο ίας ή IRF Παρόλο που το γραµµικό προσοµοίωµα καλύπτει τις απαιτήσεις των διαγνωστικών ελέγχων, έγινε µια διερεύνηση αρχικά µε την εισαγωγή τάσης µεταβολής. Πιο συγκεκριµένα, θεωρήθηκε πως η µετακίνηση εξαρτάται από την απόσταση του σηµείου από Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [147]

170 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 τα όρια της κατολίσθησης (KED). Η ανάλυση, όµως, δεν ευδοκίµησε, παρέχοντας µεγαλύτερα σφάλµατα από ότι η θεώρηση οµοιογενούς µεταβλητής. Επίσης, η µετακίνηση θεωρήθηκε ως χωρική µεταβλητή IRF-1 και µε τη µέθοδο RML υπολογίστηκαν οι παράµετροι της γενικευµένης συνδιακύµανσης. Οι παράµετροι που προέκυψαν, όµως, δεν πληρούν τους περιορισµούς που αναφέρει ο Delfiner (1976), γεγονός που σύµφωνα µε τον Kitanidis (1983) αποτελεί ένδειξη ότι η θεώρηση της µετακίνησης στην κατολίσθηση Σ2 ως IRF-1 µεταβλητής δεν είναι συµβατή µε τα δεδοµένα. Τέλος, ο περιορισµένος αριθµός µετρήσεων απέτρεψε τη διερεύνηση για παρουσία ανισοτροπίας. Εκτίµηση διεύθυνσης µετακίνησης Έως τώρα, η µετακίνηση αντιµετωπίστηκε ως βαθµωτό µέγεθος, σε αντίθεση µε τη διανυσµατική του ιδιότητα. Στη βιβλιογραφία µπορεί κανείς να εντοπίσει µικρό πλήθος αναφορών σχετικά µε την αντιµετώπιση διανυσµατικών µεγεθών στη γεωστατιστική, όπως οι αναφορές του Young (1987α & 1987β) που θεωρεί τις συνιστώσες της µεταβλητής ως πολλαπλές αλληλοσχετιζόµενες µεταβλητές κι άρα επιλύει το πρόβληµα µέσω των εξισώσεων co-kriging, του Wackernagel (1998) που εισάγει τους µιγαδικούς αριθµούς για να περιγράψει τη διανυσµατική φύση και των van den Boogaart & Schaeben (2002) που σχολιάζει τις παραδοχές περί ισοτροπίας του Young. Στην παρούσα εφαρµογή, η συνισταµένη µετακίνηση αντιµετωπίζεται ως βαθµωτό µέγεθος κι η διανυσµατική φύση της µετακίνησης εξετάζεται µέσω της γεωστατιστικής ανάλυσης της γωνίας α( ο ) που σχηµατίζει η διεύθυνση της µετακίνησης µε το Βορρά. Εποµένως, για την ολοκλήρωση της εκτίµησης των µετακινήσεων στο πεδίο, υπολείπεται ο υπολογισµός της γωνίας α στα σηµεία ελέγχου του πεδίου. Η ανάλυση πρόκειται να παρουσιαστεί συνοπτικά, δεδοµένου ότι δεν παρουσιάζει κάποια ιδιαιτερότητα. Ένα σηµείο που χρειάζεται να τονιστεί είναι η επιλογή των δεδοµένων. Οι διευθύνσεις των µετακινήσεων σε κάθε σηµείο µέτρησης δίνονται στον Πίν. 5.1 για το χρονικό διάστηµα που απασχολεί την ανάλυση (18/01/07~16/03/07). Στον πίνακα αυτό παρατηρείται ότι ο µάρτυρας Ν6 είναι ο µόνος µε θετική µετακίνηση κατά τον x άξονα, γεγονός που οδηγεί σε γωνία διεύθυνσης <90 0. Λαµβάνοντας υπόψη ότι η τιµή της µετακίνησης κατά x είναι εντός του εύρους σφάλµατος της πλειονότητας των τοπογραφικών Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [148]

171 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 µεθόδων, η µέτρηση αυτή θα µπορούσε να παραληφθεί. Ωστόσο, λόγω του περιορισµένου πλήθους των διαθέσιµων µετρήσεων και της τιµής που δε διαφέρει πολύ από τις γειτονικές της (τις διευθύνσεις των µαρτύρων S6, S7 & Ν5), η µέτρηση συµµετέχει στην ανάλυση. Για τη δοµική ανάλυση, ακολουθείται ο κλάδος του µικρού πλήθους µετρήσεων κι επιλέγεται το Gaussian προσοµοίωµα, κρίνοντας ότι η διεύθυνση µετακίνησης στο πεδίο αποτελεί στάσιµη µεταβλητή, δηλ. κυµαίνεται γύρω από µια µέση τιµή. Οι παράµετροι του προσοµοιώµατος προκύπτουν µε τη µέθοδο RML και δίνονται στον Πίν Το Gaussian προσοµοίωµα καλύπτει τις απαιτήσεις των διαγνωστικών ελέγχων (Πίν. 5.12) κι άρα γίνεται αποδεκτό. Η διεύθυνση των µετακινήσεων στο πεδίο δίνεται στο Σχ. 5.24, όπου φαίνεται η αύξηση της γωνίας που σχηµατίζουν οι µετακινήσεις µε το Βορρά στα σηµεία ελέγχου που βρίσκονται εγγύτερα στο όριο της κατολίσθησης, προσπαθώντας να ακολουθήσουν την κίνηση της κατολίσθησης Σ2. Παράµετροι Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 Gaussian 562,31 41,55 4,8 Πίν. 5.11: Παράµετροι ροσοµοιώµατος Προσοµοίωµα Q 1 Q 2 Filliben test Κλίση γ ( Q 1 <0,55) (Q 2>0,39 & Q 2<1,90) (r>0,93) Gaussian -0,03 1,03 0,01 0,97 Πίν. 5.12: ιαγνωστικοί έλεγχοι Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [149]

172 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.24: Εκτιµήσεις διεύθυνσης µετακινήσεων Υ ολογισµός µετακίνησης στη θέση x του νέου κλισιοµέτρου Έχοντας, πλέον, αντιµετωπίσει το πρόβληµα του περιορισµένου πλήθους των διαθέσιµων µετρήσεων, η µετακίνηση και η διεύθυνσή της επανεκτιµάται στη θέση x. Τα αποτελέσµατα µε το νέο προσοµοίωµα 2α, που επιλέχθηκε στην παρούσα ενότητα, φαίνονται στον Πίν. 5.13, µαζί µε τα αποτελέσµατα από τη γεωστατιστική ανάλυση στη διεύθυνση των µετακινήσεων. Η εκτίµηση της µετακίνησης δε διαφέρει από αυτήν της ανάλυσης 1β που παρουσιάστηκε στο προηγούµενο υπο-κεφάλαιο, εφόσον υιοθετήθηκε πάλι το γραµµικό προσοµοίωµα µε ne=0 η διαφορά στις κλίσεις των διασπορογραµµάτων των δυο αναλύσεων προκαλεί µεταβολή στο σφάλµα εκτίµησης, αλλά όχι στην εκτίµηση. Παρατηρείται, επίσης, µείωση του σφάλµατος εκτίµησης, λόγω της µικρότερης κλίσης που προσδίδει η µέθοδος RML. Εποµένως, ως εκτιµώµενη µετακίνηση στη θέση x επιλέγεται αυτή της ανάλυσης 2α. Ανάλυση εκτίµηση µετακίνησης (mm) MSE (mm 2 ) εκτίµηση διεύθυνσης ( ο ) MSE ( ο2 ) 2α 132, ,9 148,7 107,7 Πίν. 5.13: Εκτίµηση και σφάλµα εκτίµησης µετακίνησης στη θέση x στις 16/03/07 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [150]

173 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ Συµ εράσµατα Στην παρούσα ενότητα συντάχθηκε θεωρητικά κι εφαρµόστηκε πρακτικά µια µεθοδολογία σχετικά µε τη δοµική ανάλυση στην περίπτωση µικρού ή µεγάλου πλήθους µετρήσεων. Παρόλο που η κρίση του µελετητή εξακολουθεί να συµµετέχει στη λήψη των αποφάσεων, τα διαγράµµατα ροής, που περιγράφονται στα Σχ. 5.9 και Σχ για τον προσδιορισµό του προσοµοιώµατος και των παραµέτρων του διασπορογράµµατος αντίστοιχα, αποτελούν µια κατευθυντήρια γραµµή για τον τρόπο αντιµετώπισης της δοµικής ανάλυσης όταν οι µετρήσεις είναι περιορισµένες. Πράγµατι, ο µελετητής έχει τη δυνατότητα, σύµφωνα µε τα διαγράµµατα ροής, να λαµβάνει αποφάσεις, να κρίνει µε συγκεκριµένους ελέγχους την ορθότητά τους και να συνεχίζει στο επόµενο βήµα, έως ότου ολοκληρωθεί η δοµική ανάλυση. Εποµένως, τα διαγράµµατα ροής αποτελούν ένα εργαλείο στα χέρια του µελετητή που καθιστούν εφικτή την εφαρµογή της γεωστατιστικής ανάλυσης στα γεωτεχνικά προβλήµατα, όπου ο αριθµός των διαθέσιµων µετρήσεων είναι συνήθως περιορισµένος. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [151]

174 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 5.3 Πολλα λές µετρήσεις στο χρόνο Περιγραφή ροβλήµατος Στην Ορυκτολογία, που αποτελεί την κλασική εφαρµογή των αρχών της γεωστατιστικής, τα συµµετέχοντα µεγέθη είναι στάσιµα στο χρόνο (π.χ. η περιεκτικότητα του εδάφους σε σίδηρο). Εποµένως, δεν υπάρχει διαφορά αν οι µετρήσεις πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα ή σε διαφορετικούς χρόνους. Πράγµατι, αν µετέπειτα πραγµατοποιηθούν επιπλέον µετρήσεις, ουσιαστικά αυξάνεται ο όγκος της διαθέσιµης πληροφορίας, αναφορικά όµως µε την ίδια πραγµάτωση. Αντίθετα, στη γεωτεχνική µηχανική, τα µεγέθη που συµµετέχουν συνήθως µεταβάλλονται µε το χρόνο. Για αυτό, η συνήθης πρακτική είναι οι µετρήσεις να επαναλαµβάνονται στο χρόνο, περιλαµβάνοντας κάθε φορά είτε τις ίδιες θέσεις µέτρησης (ταυτότοπες µετρήσεις) είτε διαφορετικές (ετερότοπες µετρήσεις). Σαφώς, οι µετρήσεις που αφορούν διαφορετικές χρονικές στιγµές, σχετίζονται πλέον µε διαφορετική πραγµάτωση των συµµετεχόντων µεγεθών. Ο προφανής τρόπος προσέγγισης των πολλαπλών µετρήσεων στο χρόνο στη γεωστατιστική είναι να αντιµετωπιστεί κάθε χρονική οµάδα µετρήσεων ξεχωριστά κι άρα, να εφαρµοστούν ανεξάρτητα οι εξισώσεις kriging για κάθε χρονική στιγµή. Ωστόσο, η προσέγγιση αυτή, αν και χαίρει απλότητας, στερεί την ανάλυση από την ολότητά της, εφόσον αντιµετωπίζει το διερευνούµενο φαινόµενο στιγµιαία, αγνοώντας το µεγάλο όγκο δεδοµένων που διατίθεται χρονικά. Στην αντίπερα όχθη βρίσκονται οι εξισώσεις χωρο-χρονικού kriging (STM - space time kriging), όπου όλη η διαθέσιµη πληροφορία µπορεί να συνδυαστεί, επιτρέποντας την εκτίµηση να διαχέεται τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο, αρκεί να προσδιοριστεί το πολύπλοκο χωρο-χρονικό διασπορόγραµµα. Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται αρχικά η µεταβλητότητα του διασπορογράµµατος µετακινήσεων στο χρόνο, κι έπειτα διερευνάται η εφαρµογή των εξισώσεων συνήθους kriging, co-kriging και χωρο-χρονικού kriging στην περίπτωση της κατολίσθησης Σ Μεταβλητότητα διασ ορογράµµατος στο χρόνο Η εξέλιξη των µετακινήσεων µε το χρόνο δίνεται στα Σχ. 5.3 και Σχ Το πειραµατικό διασπορόγραµµα των αναπτυσσόµενων µετακινήσεων, βασιζόµενο και στους 18 µάρτυρες, Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [152]

175 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 (δηλαδή στις µετρήσεις που βρίσκονται τόσο στην περιοχή µεγάλων µετακινήσεων όσο και στην περιοχή των µικρών µετακινήσεων), υπολογίζεται σε 13 διαφορετικές ηµεροµηνίες (τα διαστήµατα που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό του διασπορογράµµατος έχουν συντελεστές [0-0,15-0,30-0,60-1,0]). Ο λόγος που χρησιµοποιούνται και οι 18 µάρτυρες (αντί των 14 της περιοχής των µικρών µετακινήσεων) είναι ότι στην παρούσα ανάλυση επιδιώκεται να προκύψει ένα πόρισµα σχετικά µε τη χωρική µεταβλητότητα των µετακινήσεων σε όλο το πεδίο. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης δίνονται στο Σχ γ (mm2) h (m) Σχ. 5.25: Πειραµατικό διασ ορόγραµµα σε 13 ηµεροµηνίες 20-Ιαν 24-Ιαν 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ Γίνεται φανερό, από το Σχ. 5.25, ότι το πειραµατικό διασπορόγραµµα αυξάνεται µε το χρόνο, ακολουθώντας το µέγεθος των καταγραφόµενων µετακινήσεων. Για να αφαιρεθεί η επίδραση της αύξησης της µετακίνησης µε το χρόνο στη χρονική µεταβολή του διασπορογράµµατος, το διασπορόγραµµα κανονικοποιείται ως προς το τετράγωνο της µέσης τιµής της µετακίνησης από τις 18 καταγραφές σε κάθε χρονική στιγµή, παρέχοντας το Σχ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [153]

176 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 γ/(m2) h (m) Σχ. 5.26: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα ως ρος το τετράγωνο της µέσης τιµής σε 13 ηµεροµηνίες 20-Ιαν 24-Ιαν 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ Παρατηρείται ότι τα διασπορογράµµατα των περισσότερων ηµεροµηνιών ταυτίζονται πλήρως. Εξαίρεση αποτελούν τα πειραµατικά γ των δυο πρώτων ηµεροµηνιών (20/01 & 24/01) που αποκλίνουν ιδιαίτερα από τις τιµές των υπολοίπων. Η απόκριση αυτή µπορεί να αποδοθεί σε δυο αιτίες πρώτον, οι µετακινήσεις παρουσιάζουν πολύ µικρές τιµές (διάµεσοι µικρότεροι των 4mm και 6mm αντίστοιχα) που εµπίπτουν στο εύρος του σφάλµατος µέτρησης, µε αποτέλεσµα οι καταγραφές να αλλοιώνονται κι άρα και το ίδιο το διασπορόγραµµα. Η διαφορετικότητα, επίσης, µπορεί να οφείλεται στην αλλαγή της κινητικότητας της κατολίσθησης. Πράγµατι, στο διάστηµα µεταξύ 25/01 και 28/01, οι µάρτυρες S1 & R1 αρχίζουν να διαφοροποιούνται από τους υπόλοιπους, αυξάνοντας ιδιαίτερα τις µετακινήσεις τους (Σχ. 5.27) κι εποµένως, µεταβάλλοντας τις συσχετίσεις µεταξύ των σηµείων µέτρησης, γεγονός που ανακλάται στο διασπορόγραµµα S1 S R1 N7 S3 S S5 S7 S6 S S9 N2 N1 N3 Οριζόντια μετακίνηση (mm) N4 N6 N /01/07 18/01/07 28/01/07 07/02/07 17/02/07 27/02/07 09/03/07 19/03/07 Ημερομηνία Σχ. 5.27: Οριζόντιες µετακινήσεις µε το χρόνο διαφορο οίηση µαρτύρων στις 26/01/07 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [154]

177 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Για να φανούν πιο έντονα οι µεταβολές των γ µε το χρόνο, τα διασπορογράµµατα στο Σχ κανονικοποιούνται, πέραν του τετραγώνου της µέσης τιµής της εκάστοτε χρονικής στιγµής (κ.γ.), και µε το κανονικοποιηµένο διασπορόγραµµα που αντιστοιχεί στις 29/01 (κ.γ.3). Ο όρος που προκύπτει συµβολίζεται ως κ.γ./κ.γ.3, εφόσον η κανονικοποίηση στην προκειµένη περίπτωση αφορά την τρίτη ηµεροµηνία που δίνεται. Τα διασπορογράµµατα στις 20/01 και 24/01 δεν περιλαµβάνονται στις αναλύσεις που ακολουθούν διότι έχουν ήδη σχολιαστεί. κ.γ./κ.γ.3 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, h (m) Σχ. 5.28: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα σε 11 ηµεροµηνίες 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ Στο Σχ διακρίνεται καλύτερα η ταύτιση µεταξύ των διασπορογραµµάτων. Oι τιµές τους δε διαφέρουν σηµαντικά (µέγιστη απόκλιση κατά 34%). Ωστόσο, µε µια πιο προσεκτική µατιά στο παραπάνω σχήµα, γίνονται φανερές κάποιες µικρές διαφορές. Πράγµατι, στα πιο αναλυτικά σχήµατα που ακολουθούν (Σχ. 5.29, Σχ και Σχ. 5.31), διακρίνονται τέσσερα χρονικά διαστήµατα, εντός των οποίων παρατηρούνται ελαφρές µεταβολές στο διασπορόγραµµα. Αυτά είναι τα 29/01~01/02, 01/02~06/02, 09/02~14/02 και 14/02~20/02. Μετά τις 20/02 το διασπορόγραµµα παραµένει πρακτικά αµετάβλητο. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [155]

178 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 1,3 1,2 1,2 1,1 κ.γ./κ.γ.3 1,1 1,0 1,0 0,9 0,9 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 0,8 9-Φεβ h (m) Σχ. 5.29: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα (29/01, 01/02, 06/02 & 09/02) 1,4 1,3 1,2 κ.γ./κ.γ.3 1,1 1,0 0,9 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 0, h (m) Σχ. 5.30: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα (09/02, 14/02, 20/02, 23/02 & 28/02) 1,4 1,3 1,2 κ.γ./κ.γ.3 1,1 1,0 0,9 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 0, h (m) 16-Μαρ Σχ. 5.31: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα (28/02, 02/03, 07/03 & 16/03) Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [156]

179 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Ανατρέχοντας στις χρονοσειρές των µετακινήσεων, παρατηρείται ότι αυτά τα διαστήµατα ταυτίζονται µε µεταβολές στη συµπεριφορά των µαρτύρων. Όπως φαίνεται στο Σχ. 5.32, οι µάρτυρες µε τις µεγαλύτερες καταγραφές (S1 & R1) παρουσιάζουν µια σταθεροποίηση στις µετακινήσεις στις 29/01, η οποία διακόπτεται από µια νέα αύξηση των µετακινήσεων στις 09/02, για να ακολουθήσει νέο στάδιο αδράνειας από τις 14/02 κι ως τις 16/03 που υπάρχει διαθέσιµο το αρχείο των µετρήσεων. Οι δε µάρτυρες στην περιοχή των µικρών καταγραφών συνεχίζουν σε όλο αυτό το διάστηµα να παρουσιάζουν µια αύξηση των µετακινήσεων µε σταθερή ταχύτητα. Οι τρεις αυτές ηµεροµηνίες συµπίπτουν µε τα τρία από τα τέσσερα χρονικά διαστήµατα που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Επίσης, εντός του διαστήµατος 01/02~06/02, στον κύριο όγκο της κατολίσθησης πιθανόν προστίθεται και ένα µικρό τµήµα στα βορειο-δυτικά, όπως µπορεί να φανερώσουν τα σηµεία S8 & S9 που βρίσκονται εντός αυτής της περιοχής κι αρχίζουν σε αυτό το χρονικό διάστηµα να αυξάνουν τις καταγραφές τους (Σχ. 5.33). Οριζόντια μετακίνηση (mm) S1 S2 R1 N7 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 N1 N2 N3 N4 N5 N /01/07 18/01/07 28/01/07 07/02/07 17/02/07 27/02/07 09/03/07 19/03/07 Ημερομηνία Σχ. 5.32: Οριζόντιες µετακινήσεις µε το χρόνο διαφορο οίηση µαρτύρων στις 29/01, 03/02, 09/02 & 14/02 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [157]

180 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Οριζόντια μετακίνηση (mm) S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 N1 N2 N3 N4 N5 N /01/07 18/01/07 28/01/07 07/02/07 17/02/07 27/02/07 09/03/07 19/03/07 Ημερομηνία Σχ. 5.33: Οριζόντιες µετακινήσεις µε το χρόνο (µάρτυρες α ό εριοχή µικρών µετακινήσεων) Συνοψίζοντας, γίνεται φανερό ότι κάθε µεταβολή του διασπορογράµµατος ταυτίζεται χρονικά µε αλλαγή στην κινηµατικότητα του κατολισθητικού φαινοµένου, ενώ αντίστροφα, η σταθερότητά του συµπίπτει µε τα χρονικά διαστήµατα όπου το σύνολο των µαρτύρων συµµετέχει οµοιόµορφα στην κίνηση. Επεκτείνοντας την παρατήρηση αυτή, µπορεί κανείς να οδηγηθεί στο συµπέρασµα ότι η σταθερότητα του κανονικοποιηµένου διασπορογράµµατος ταυτίζεται µε τη σταθερότητα των κανονικοποιηµένων µετακινήσεων στο χρόνο, δηλαδή ότι η µεταβολή των µετακινήσεων σε συγκεκριµένη απόσταση εξαρτάται µόνο από τη µέση τιµή των µετακινήσεων στο πεδίο κι όχι από το χρόνο. Με άλλα λόγια, η σταθερότητα του κανονικοποιηµένου διασπορογράµµατος φαίνεται να συνεπάγεται µια παγίωση του µηχανισµού της κατολίσθησης. Ενώ, δηλαδή, οι µετακινήσεις µπορεί να αυξάνονται µε το χρόνο, η σχετική θέση µεταξύ των σηµείων δε µεταβάλλεται κι άρα ο µηχανισµός της κατολίσθησης παραµένει αµετάβλητος. Για να επιβεβαιωθεί η υπόθεση ότι η χρονική σταθερότητα του κανονικοποιηµένου διασπορογράµµατος ισοδυναµεί µε παγίωση του µηχανισµού κατολίσθησης εντός του διερευνούµενου χρονικού διαστήµατος στη συγκεκριµένη εφαρµογή, πραγµατοποιούνται οι αναλύσεις που δίνονται στον Πίν. 5.14, όπου µεταβάλλονται τεχνητά οι καταγραφές κάποιων µαρτύρων, ώστε να ελεγχθεί αν αυτές οι µεταβολές προκαλούν αντίστοιχες αλλαγές στο διασπορόγραµµα. Στην ανάλυση 3α οι µάρτυρες διατηρούν τις µετρήσεις που έχουν στην πραγµατικότητα, στην ανάλυση 3β τεχνητά παγιώνονται οι µετέπειτα µετρήσεις του µάρτυρα S1 στην καταγραφή που παρουσίαζε στις 09/02/07, στην ανάλυση 3γ γίνεται το Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [158]

181 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 ίδιο για τους µάρτυρες S2 & N7, ενώ στην ανάλυση 3δ επιλέγεται να τριπλασιαστούν οι καταγραφές των µαρτύρων S3 & S4 µετά τις 09/02. Ανάλυση Μάρτυρες ράση Ηµεροµηνία 3α β R1 σταθεροποίηση µετακινήσεων 09/02/07 3γ S2, N7 σταθεροποίηση µετακινήσεων 09/02/07 3δ S3, S4 τριπλασιασµός µετακινήσεων 09/02/07 Πίν. 5.14: Υ οθέσεις αναλύσεων Τα αποτελέσµατα για κάθε µία ανάλυση δίνονται στα σχήµατα που ακολουθούν: κ.γ./κ.γ.3 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, h (m) Σχ. 5.34: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα ανάλυση 3β 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ κ.γ./κ.γ.3 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, h (m) Σχ. 5.35: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα ανάλυση 3γ 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [159]

182 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 κ.γ./κ.γ.3 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, h (m) Σχ. 5.36: Κανονικο οιηµένο ειραµατικό διασ ορόγραµµα ανάλυση 3δ 29-Ιαν 1-Φεβ 6-Φεβ 9-Φεβ 14-Φεβ 20-Φεβ 23-Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ Και στα τρία σχήµατα (Σχ. 5.34, Σχ και Σχ. 5.36) φαίνεται η µεταβολή που υφίστανται τα πειραµατικά διασπορογράµµατα, εξαιτίας της µεταβολής της κινητικότητας κάποιων από τους µάρτυρες από τις 09/02 κι έπειτα. Οι µεταβολές είναι σαφώς πιο έντονες στις αναλύσεις 3β και 3γ, όπου παγιώνονται µάρτυρες µε σηµαντικές καταγραφές, παρά στην ανάλυση 3δ, όπου τριπλασιάζονται οι καταγραφές µαρτύρων που βρίσκονται στην περιοχή µικρών παραµορφώσεων. Από τα παραπάνω αποτελέσµατα προκύπτει ότι το διασπορόγραµµα είναι ευαίσθητο σε αλλαγές στην κινηµατική του φαινοµένου, κι άρα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ακριβώς για το σκοπό αυτό, δηλαδή για την ανίχνευση, µέσω των µεταβολών του, των πιθανών αλλαγών στο µηχανισµό της κατολίσθησης. Η χρησιµότητα του διασπορογράµµατος ως εργαλείου για τον εντοπισµό αλλαγών του µηχανισµού της κατολίσθησης αυξάνεται τόσο από την απλότητα των απαιτούµενων υπολογισµών όσο και από την έλλειψη αντίστοιχων εργαλείων στη διεθνή βιβλιογραφία Εφαρµογή εξισώσεων STK, S-STK και Co-K στο χρόνο Έως τώρα, οι γεωστατιστικές αναλύσεις είχαν στατικό χαρακτήρα, εφόσον τόσο οι µετρήσεις που συµµετείχαν στην ανάλυση όσο κι οι εκτιµήσεις αφορούσαν την ίδια χρονική στιγµή. Στην παρούσα ενότητα γίνεται µια προσπάθεια µετάβασης σε µια πιο δυναµική µορφή ανάλυσης, µε τη βοήθεια των εξισώσεων που παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 2. Πιο συγκεκριµένα, εφαρµόζονται οι εξισώσεις του χωρο-χρονικού kriging (STK), του cokriging (CK) και του απλοποιηµένου χωρο-χρονικού και χρονο-χωρικού kriging (S-ST-K Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [160]

183 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 & S-TS-K). Για να µπορέσουν να συγκριθούν τα αποτελέσµατα των διάφορων προσεγγίσεων µε την πραγµατικότητα, αποµακρύνεται ο µάρτυρας S4 από τα δεδοµένα των µετρήσεων και προσδιορίζεται η απόκλιση της εκτίµησης στη θέση του S4 από τη µετρούµενη τιµή στις 16/03. χρόνος χρόνος χρόνος χρόνος t3 t3 t2 t2 to s2 s5 s4 s3 so s1 t1 t1 x x x x (α) (β) (γ) (δ) Σχ. 5.37: Σχηµατική α εικόνιση των ροσεγγίσεων στη χωρο-χρονική ανάλυση (α) STK εκτίµηση σε ο οιοδή οτε σηµείο (x,t) (β) CK-S εκτίµηση µόνο στις διαθέσιµες χρονικές στιγµές (γ) S-ST-K εκτίµηση αρχικά σε κάθε διαθέσιµη ηµεροµηνία και µετά χρονική ανάλυση (δ) S-TS-K εκτίµηση σε κάθε διαθέσιµη θέση και µετά χωρική ανάλυση s6 STK Οι αρχές του χωρο-χρονικού kriging περιγράφονται συνοπτικά στο υπο-κεφάλαιο 2.3. Στην παρούσα ενότητα αρκεί απλά να αναφερθεί ότι δεν ήταν εφικτό να χρησιµοποιηθούν οι θεωρήσεις του STK, διότι το κάθε σηµείο µέτρησης παρουσιάζει διαφορετική τάση µεταβολής στο χρόνο, εφόσον κάποια εξ αυτών έχουν αυξητικές τάσεις µε το χρόνο (µάρτυρες εντός της κατολίσθησης ή εκτός, αλλά κοντά στο όριο της κατολίσθησης), ενώ άλλα παραµένουν µε σχετικά σταθερή µετακίνηση (µάρτυρες µακριά από το όριο της κατολίσθησης), µε αποτέλεσµα την αδυναµία ορισµού ενός ενιαίου χωρο-χρονικού διασπορογράµµατος. SSTK Αποδεχόµενοι την αδυναµία ενοποίησης όλων των διαθέσιµων µετρήσεων υπό την σκέπη ενός ενιαίου χωρο-χρονικού διασπορογράµµατος, η ανάλυση διασπάται σε δυο κλάδους, σε ένα χρονικό και σε ένα χωρικό. Για την απλοποιηµένη αυτή ανάλυση χρησιµοποιείται ο όρος S-ST-Κ, όταν εφαρµόζονται οι εξισώσεις kriging πρώτα στο χώρο, παρέχοντας σε κάθε διαθέσιµη ηµεροµηνία την εκτίµηση στη θέση του µάρτυρα S4 κι έπειτα, πραγµατοποιείται µια δεύτερη γεωστατιστική ανάλυση στο χρόνο, χρησιµοποιώντας ως Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [161]

184 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 δεδοµένα τη χρονοσειρά των µετακινήσεων στη θέση S4 που προέκυψε από την πρώτη ανάλυση. Αντίστοιχα, η απλοποιηµένη χρονο-χωρική ανάλυση S-TS-K αφορά τη χρήση των εξισώσεων συνήθους kriging πρώτα στο χρόνο, δηλαδή επιλύονται οι χρονοσειρές σε κάθε θέση που υπάρχουν διαθέσιµες µετρήσεις, παρέχοντας τις µετακινήσεις σε κάθε θέση στην ηµεροµηνία που ζητείται κι ακολούθως, πραγµατοποιείται µια γεωστατιστική ανάλυση στο χώρο, µε δεδοµένα τα αποτελέσµατα από τη χρονική ανάλυση. Οι χωρικές αναλύσεις πραγµατοποιήθηκαν, λοιπόν, για τα δύο υποψήφια προσοµοιώµατα, γραµµικό και Gaussian (για να διερευνηθεί κι η επίδραση της επιλογής προσοµοιώµατος στα αποτελέσµατα της ανάλυσης) και τα διασπορογράµµατα προέκυψαν από τη µέθοδο RML, θεωρώντας ne=0 (ανάλυση 35x35 βλ. Παράρτηµα 3.Α), ενώ για τη χρονική ανάλυση χρησιµοποιήθηκε µόνο το Gaussian προσοµοίωµα, θεωρώντας πως η χρονική ανάπτυξη των µετακινήσεων οφείλει να είναι συνεχής. Για την απόδοση της τάσης µεταβολής που φανερά παρουσιάζει η εξέλιξη του φαινοµένου στο χρόνο, χρησιµοποιούνται οι εξισώσεις του γενικευµένου kriging. Η µέση τιµή θεωρείται ότι παρουσιάζει γραµµική τάση µεταβολής µε το χρόνο t (m=1 µε f 1 =t - Εξ. 5.22), κι όταν δεν καλύπτονται οι απαιτήσεις των διαγνωστικών ελέγχων, προστίθεται ένα ακόµα µονώνυµο δευτέρου βαθµού στη µέση τιµή (m=2 µε f 1 =t & f 2 =t 2 - Εξ. 5.22). Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης S-ST-K για τα δυο υποψήφια προσοµοιώµατα δίνονται στα Σχ και Σχ που ακολουθούν. Η σειρά SK αντιστοιχεί στη χωρική ανάλυση που πραγµατοποιήθηκε σε κάθε µία από τις 13 διαθέσιµες ηµεροµηνίες στη θέση S4, η σειρά TK στη χρονική ανάλυση, η οποία επέκτεινε τα πορίσµατα της SK στη ζητούµενη ηµεροµηνία 16/03/07, ενώ η σειρά TV αφορά τις πραγµατικές τιµές της οριζόντιας µετακίνησης, όπως προέκυψαν από τις µετρήσεις στη θέση S4 στις 14 διαθέσιµες ηµεροµηνίες, συµπεριλαµβανοµένης και της 16/03. Παρατηρείται ότι το γραµµικό προσοµοίωµα της χωρικής ανάλυσης σε κάθε ηµεροµηνία τείνει να υποεκτιµά τη µετακίνηση στη θέση S4, µε αποτέλεσµα κι η τελική εκτίµηση να προκύπτει πιο µικρή από τη µετρούµενη (εκτίµηση µετακίνησης 68mm αντί της πραγµατικής µετακίνησης 84mm). Από την άλλη, οι εκτιµήσεις µε το Gaussian προσοµοίωµα στις διαθέσιµες ηµεροµηνίες είναι στην πλειονότητά τους ιδιαίτερα επιτυχείς. Σε συνδυασµό, µάλιστα, µε την καλή προσέγγιση της χρονικής τάσης µεταβολής της µετακίνησης, οδηγεί σε µια καλή εκτίµηση της µετακίνησης (88mm έναντι 84mm). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [162]

185 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 100 Οριζόντια μετακίνηση S4 (mm) Χρόνος (μέρες) SK TK TV TV Σχ. 5.38: Α οτελέσµατα S-ST-K µε χωρικό γραµµικό ροσοµοίωµα 100 Οριζόντια μετακίνηση S4 (mm) Χρόνος (μέρες) SK TK TV TV Σχ. 5.39: Α οτελέσµατα S-ST-K µε χωρικό Gaussian ροσοµοίωµα Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης S-TS-K δίνονται στο Σχ για τη χρονική ανάλυση, όπου πέραν της εκτιµώµενης και µετρούµενης τιµής, φαίνεται και ο βαθµός του πολυωνύµου της τάσης µεταβολής που χρησιµοποιήθηκε σε κάθε θέση µάρτυρα (1 ου ή 2 ου βαθµού). Η ανάλυση δίνει αποτελέσµατα πολύ κοντά στις µετρούµενες τιµές, εκτός από το µάρτυρα S3 που η ανάλυση υπερτιµά τη µετακίνησή του. Έπειτα, πραγµατοποιείται µια χωρική ανάλυση µε τις τιµές που προέκυψαν από τη χρονική ανάλυση, εκτιµώντας τη µετακίνηση στη θέση του µάρτυρα S4 στις 16/03 στα 75,7mm και 97,9 mm, µε θεώρηση γραµµικού και Gaussian προσοµοιώµατος αντίστοιχα. Το γραµµικό προσοµοίωµα παρέχει εκτίµηση χαµηλότερη από τη µετρούµενη, λόγω της τάσης που έχει επιδείξει στην υποεκτίµηση στη συγκεκριµένη θέση. Το δε Gaussian προσοµοίωµα υπερεκτιµά τη Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [163]

186 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 µετακίνηση στο S4, κυρίως επειδή δίνει µεγάλο συντελεστή βαρύτητας στη µέτρηση του S3, που είναι υψηλότερη της καταγραφόµενης. 300 εκτιμώμενη τιμή 250 μετρώμενη τιμή βαθμός πολυωνύμου Οριζόντια μετακίνηση (mm) S3 S5 S6 S7 S8 S9 S10 N1 N2 N3 N4 N5 N6 μάρτυρας Σχ. 5.40: Α οτελέσµατα S-TS-K Τα αποτελέσµατα από κάθε µία ανάλυση δίνονται στον Πίν Ως σφάλµατα εκτίµησης δίνονται τόσο τα µέγιστα σφάλµατα από κάθε πολλαπλή ανάλυση όσο κι ο µέσος όρος τους. Η καλύτερη εκτίµηση παρέχεται µε την υιοθέτηση του Gaussian προσοµοιώµατος στην ανάλυση S-ST-K, όπου τόσο η χωρική όσο κι η χρονική ανάλυση φαίνεται να λειτουργούν επιτυχώς, δίνοντας τιµές πολύ κοντά στις µετρούµενες. Όσο αφορά το σφάλµα µέτρησης, η ανάλυση TK, γενικά, παρέχει περιορισµένα σφάλµατα, επειδή η χρονική τάση µεταβολής απορροφά µεγάλο µέρος της στοχαστικής φύσης της µεταβλητής, ενώ η ανάλυση SK παρουσιάζει έντονο σφάλµα µέτρησης, διότι η χωρική τάση µεταβολής έχει ενσωµατωθεί στη µεταβλητότητα της στοχαστικής µεταβλητής. Ως αποτέλεσµα, στην παρούσα εφαρµογή, η ανάλυση S-ST-K εµφανίζει µικρότερο σφάλµα εκτίµησης από την ανάλυση S-TS-K, είτε η αναφορά γίνεται στο µέσο είτε στο µέγιστο σφάλµα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [164]

187 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 S-ST-K S-TS-K Γραµµικό προσοµοίωµα Gaussian προσοµοίωµα Γραµµικό προσοµοίωµα Gaussian προσοµοίωµα εκτίµηση 68,0 87,8 75,5 97,9 µέσο MSE µέγιστο MSE ΤΚ SK άθροισµα ΤΚ SK άθροισµα Πίν. 5.15: Α οτελέσµατα αναλύσεων S-ST-K & S-TS-K Συνοψίζοντας, από την παρούσα εφαρµογή, δεν προκύπτει κάποιο συµπέρασµα σχετικά µε την προσφορότερη ανάλυση από τις δύο (S-ST-K & S-TS-K) σύµφωνα µε τα αποτελέσµατά τους, εφόσον αυτά φαίνεται να επηρεάζονται πρωτίστως από το υιοθετούµενο προσοµοίωµα παρά από το είδος ανάλυσης. Ωστόσο, οι δυο αναλύσεις διαφέρουν σηµαντικά ως προς την ευκολία στην εφαρµογή τους. Πράγµατι, η χρονική ανάλυση απαιτεί, πέραν της απόφασης του χρήστη σχετικά µε το υιοθετούµενο προσοµοίωµα, κι αποφάσεις σχετικά µε το βαθµό του πολυωνύµου της τάσης µεταβολής, εφόσον, στην προκείµενη εφαρµογή, οι µετακινήσεις παρουσιάζουν έντονη τάση µεταβολής µε το χρόνο. Στη χωρική ανάλυση, από την άλλη, η µεταβολή των µετακινήσεων στο χώρο (αύξηση των µετακινήσεων καθώς µειώνεται η απόσταση από το όριο της κατολίσθησης) είναι πιο περιορισµένη, καθιστώντας δυνατή την ενσωµάτωσή της στη στοχαστική φύση της µεταβλητής. Ως αποτέλεσµα, η ανάλυση S-TS-K (13 χρονικές αναλύσεις & 1 χωρική ανάλυση) παρουσιάζει µεγαλύτερη δυσκολία από την ανάλυση S-ST-K (1 χρονική ανάλυση & 13 χωρικές αναλύσεις), διότι ο χρήστης καλείται να λάβει περισσότερες αποφάσεις. Co-kriging Αξίζει, τέλος, να διερευνηθεί η επίδραση της εκτίµησης των µετακινήσεων και του σφάλµατος αυτής, όταν υιοθετούνται οι εξισώσεις του co-kriging. Οι αναλύσεις πραγµατοποιήθηκαν για τα δύο υποψήφια προσοµοιώµατα (γραµµικό και Gaussian) στη θέση του µάρτυρα S4. Ο προσδιορισµός των διασπορογραµµάτων βασίστηκε στη µέθοδο RML (µε ne=0 κι ανάλυση 35x35 βλ. Παράρτηµα 3.Α), ενώ για την εκτίµηση των ετεροδιασπορογραµµάτων, θεωρώντας προσοµοιώµατα ίδια µε των απλών διασπορογραµµάτων, έγινε χρήση της Εξ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [165]

188 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Αρχικά, αξίζει να αναφερθεί ότι τα αποτελέσµατα του γραµµικού προσοµοιώµατος (τόσο η εκτίµηση όσο και το MSE) παραµένουν ανεπηρέαστα από την εισαγωγή στις αναλύσεις µετρήσεων από άλλες ηµεροµηνίες. Ο λόγος είναι ότι η γραµµική φύση του διασπορογράµµατος και του ετερο-διασπορογράµµατος καθιστά µηδενικούς τους συντελεστές βαρύτητας άλλων ηµεροµηνιών. Όσο αφορά το Gaussian προσοµοίωµα, αυτό παρουσιάζει κάποια ευαισθησία στην προσθήκη µετρήσεων από άλλες ηµεροµηνίες. Πραγµατοποιήθηκαν, λοιπόν, πέντε διαφορετικές αναλύσεις µε τη συµµετοχή των µετρήσεων από τις ηµεροµηνίες: 23/02/07, 28/02/07, 02/03/07, 07/03/07 και 16/03/07. Σε κάθε ανάλυση αυξανόταν το πλήθος των συµµετεχόντων ηµεροµηνιών κατά ένα, µε χρήση των πιο σύγχρονων, π.χ. η ανάλυση 3 πραγµατοποιήθηκε µε τη συµµετοχή των µετρήσεων από τις ηµεροµηνίες 02/03/07, 07/03/07 και 16/03/07. Η ανάλυση 1 ουσιαστικά αντιστοιχεί στις εξισώσεις OK, εφόσον αφορά µόνο µία ηµεροµηνία. Στο Σχ παρέχονται οι αποκλίσεις µεταξύ των εκτιµώµενων σε κάθε ανάλυση µετακινήσεων και της µετρούµενης µετακίνησης στο µάρτυρα S4, ενώ στο Σχ δίνονται τα σφάλµατα εκτίµησης της κάθε ανάλυσης, κανονικοποιηµένα ως προς το τετράγωνο της καταγραφόµενης τιµής του S4 την εκάστοτε χρονική στιγµή. Οι εκτιµήσεις της µετακίνησης του µάρτυρα S4 µε τις εξισώσεις συνήθους kriging αποκλίνουν έως ±4mm από τη µετρούµενη τιµή. Σύµφωνα µε τις εξισώσεις co-kriging, όταν περισσότερες ηµεροµηνίες συµµετέχουν στην ανάλυση, οι εκτιµήσεις για τις 16/03 φαίνεται να προσεγγίζουν περισσότερο την πραγµατικότητα. Όσο αφορά τις ηµεροµηνίες 23/02 και 07/03, η προσθήκη των επιπλέον ηµεροµηνιών δε βελτιώνει την εκτίµηση, ενώ η ίδια δράση για τις 28/02 και 02/03 οδηγεί σε σηµαντικές αποκλίσεις µεταξύ εκτιµώµενης και µετρούµενης τιµής. Όσο αφορά το κανονικοποιηµένο σφάλµα εκτίµησης, παρατηρείται µια τάση µείωσής του, καθώς περισσότερη πληροφορία υπεισέρχεται στην ανάλυση µέσω των επιπλέον µετρήσεων που συµµετέχουν στην ανάλυση. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [166]

189 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 6 Απόκλιση εκτίμησης από μετρούμενη τιμή (mm) Φεβ 28-Φεβ 2-Μαρ 7-Μαρ 16-Μαρ -10 Πλήθος ημερομηνιών Σχ. 5.41: Α όκλιση εκτίµησης µε τη µέθοδο co-kriging α ό τη µετρούµενη τιµή Κανονικοποιημένο σφάλμα εκτίμησης 0,28 0,26 0,24 0,22 23-Φεβ 0,20 28-Φεβ 0,18 2-Μαρ 0,16 7-Μαρ 0,14 16-Μαρ 0,12 0, Πλήθος ημερομηνιών Σχ. 5.42: Κανονικο οιηµένο σφάλµα εκτίµησης µε τη µέθοδο co-kriging Συµ εράσµατα Όσο αφορά τη µεταβλητότητα του διασπορογράµµατος µε το χρόνο, προκύπτει, σύµφωνα µε την παρούσα εφαρµογή, ότι το κανονικοποιηµένο διασπορόγραµµα µεταβάλλεται καθώς αλλάζει η κινηµατική του φαινοµένου, παρέχοντας τη δυνατότητα της ανίχνευσης µεταβολών στο µηχανισµό κίνησης του γεωτεχνικού προβλήµατος µε ιδιαίτερα απλούς υπολογισµούς. Επίσης, στο παρόν υπο-κεφάλαιο διερευνήθηκε η δυνατότητα χρησιµοποίησης επιπλέον µετρήσεων που είναι διαθέσιµες σε διαφορετικές χρονικές στιγµές για τη βελτίωση των Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [167]

190 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 αποτελεσµάτων, µέσω της υιοθέτησης τεσσάρων µεθόδων, του χωρο-χρονικού kriging (STK), των απλοποιηµένων χωρο-χρονικών εξισώσεων S-ST-K & S-TS-K και του Cokriging. Η πρώτη µέθοδος δεν µπόρεσε να εφαρµοστεί, διότι ο κάθε µάρτυρας που συµµετέχει στην ανάλυση παρουσιάζει διαφορετική χρονική εξέλιξη, καθιστώντας τον προσδιορισµό ενός κοινού χωρο-χρονικού διασπορογράµµατος αδύνατο για το πολύπλοκο αυτό φαινόµενο. Η διάσπαση του προβλήµατος σε δυο σαφώς ορισµένες διαστάσεις, του χρόνου και του χώρου, κατορθώνει να εκτιµήσει στο µέλλον τη µετακίνηση στη ζητούµενη θέση σε ικανοποιητικό βαθµό. Ωστόσο, η επιτυχία της πρόβλεψης βασίζεται κατά κύριο λόγο στον ορθό προσδιορισµό της χρονικής τάσης µεταβολής της µετακίνησης και τα σφάλµατα εκτίµησης είναι µεγαλύτερα αυτών από το OK, δεδοµένου ότι αποτελούν άθροισµα των σφαλµάτων που προκύπτουν από τη χωρική και χρονική ανάλυση. Ο µελετητής, πάντως, µπορεί να επιλέξει ανάµεσα από δυο αναλύσεις, τις S-ST-K & S-TS-K, κυρίως µε βάση την ευχέρεια των υπολογισµών. Στην παρούσα εφαρµογή που το χωρικό διασπορόγραµµα διατηρεί τη µορφή του στο χρόνο και που η µετακίνηση µεταβάλλεται έντονα µε το χρόνο, η ανάλυση S-ST-K καθίσταται πιο ελκυστική, εφόσον οι αποφάσεις του µελετητή είναι πιο περιορισµένες. Τέλος, η εφαρµογή των εξισώσεων co-kriging περιορίζει το σφάλµα εκτίµησης, χωρίς, ωστόσο, να βελτιώνει πάντα τις εκτιµήσεις. Το όφελος από το µειωµένο MSE συνοδεύεται από σηµαντική αύξηση στον όγκο των υπολογισµών κι από πρόσθετες αποφάσεις του χρήστη σχετικά µε το προσοµοίωµα και τις παραµέτρους των ετερο-διασπορογραµµάτων. Αξίζει να σηµειωθεί, επίσης, ότι η υιοθέτηση των εξισώσεων co-kriging µπορεί να αυξάνει την ακρίβεια της εκτίµησης, αλλά η πληροφορία παραµένει αυστηρά στα χρονικά πλαίσια που υπάρχουν διαθέσιµες µετρήσεις, χωρίς τη δυνατότητα εκτίµησης της µεταβλητής στο µέλλον. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [168]

191 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 5.4 ιαφορετικότητα σφαλµάτων Περιγραφή ροβλήµατος Κάθε µέτρηση περιλαµβάνει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, σφάλµατα (χονδροειδή, συστηµατικά, παρατήρησης, τυχαία κ.α.). Η παρούσα αναφορά σχετίζεται µόνο µε τα τυχαία σφάλµατα, θεωρώντας απλοποιητικά ότι οι υπόλοιπες µορφές σφαλµάτων µπορούν να εντοπισθούν και να διορθωθούν ή τουλάχιστον να περιοριστούν. Τα τυχαία σφάλµατα οφείλονται σε φαινόµενα θορύβου, τριβών και σε περιβαλλοντικές επιδράσεις κι ο µόνος τρόπος αντιµετώπισής τους είναι η στατιστική ανάλυση πολλαπλών µετρήσεων (Dunnicliff, 1993). Η γεωστατιστική αντιµετωπίζει τις περιπτώσεις όπου όλες οι µετρήσεις παρουσιάζουν το ίδιο τυχαίο σφάλµα, όπως περιγράφεται στην ενότητα Επίσης, εντοπίζονται κάποιες προσπάθειες για τον συνυπολογισµό της διαφορετικής ακρίβειας των µετρήσεων στη διεθνή βιβλιογραφία, προερχόµενες κυρίως από το χώρο καταγραφής της βροχόπτωσης. Πρόκειται για τις αναφορές των Krajewski (1987), Todini (2001) και Abbaspour et al. (1998) - βλ. ενότητα Αν και το πρόβληµα αντιµετωπίζεται θεωρητικά, στην εφαρµογή των προτεινόµενων µεθοδολογιών εµφανίζονται δυσκολίες στους µεν δυο πρώτους λόγω του δυσχερούς, αν όχι αδύνατου, προσδιορισµού των παραµέτρων που απαιτούνται, στην δε τρίτη αναφορά, επειδή απαιτεί τη θεώρηση σταθερής µέσης τιµής στο πεδίο, κάτι που δεν απαντάται συχνά στις γεωτεχνικές εφαρµογές. Οι µετρήσεις στη γεωτεχνική µηχανική µπορεί να περιλαµβάνουν µετρήσεις από διαφορετικά είδη οργάνων κι άρα µε διαφορετική ακρίβεια, όπως π.χ. η µέτρηση των οριζόντιων επιφανειακών µετακινήσεων του εδάφους µε χρήση τοπογραφικών µεθόδων και κλισιοµέτρων. Για να µπορέσουν να συµµετέχουν όλες οι µετρήσεις στη γεωτεχνική ανάλυση, δυνατότητα σηµαντική αν ληφθεί υπόψη και το συνήθως µικρό πλήθος των διαθέσιµων µετρήσεων, χρειάζεται είτε να χρησιµοποιηθούν οι µέθοδοι που περιγράφηκαν στην ενότητα 2.4.2, µε τις αναφερόµενες δυσκολίες κατά την εφαρµογή τους, είτε να υιοθετηθεί η τεχνική Monte Carlo. Στην παρούσα ενότητα, η µεθοδολογία επεκτείνεται, περιλαµβάνοντας όργανα διαφορετικής ακρίβειας, µέσω της εισαγωγής της τεχνικής Monte Carlo. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [169]

192 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ Εκτίµηση µεταβλητής µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Ας θεωρηθεί ότι υπάρχουν n διαθέσιµες µετρήσεις της µεταβλητής z στα σηµεία s i του πεδίου, οι z(s i ), µε i=1,2,,n, κι ότι η κάθε µία από αυτές παρουσιάζει τυχαίο σφάλµα ε i µε µηδενική µέση τιµή και τυπική απόκλιση σ(ε i ). εδοµένου ότι η ανάλυση αφορά τυχαία σφάλµατα, θεωρείται ότι τα σφάλµατα είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους κι ότι η κατανοµή τους είναι κανονική. Στη συνέχεια, εφαρµόζεται η τεχνική Monte Carlo, πραγµατοποιώντας k (k Ν) αναλύσεις, µεταβάλλοντας σε κάθε µία από αυτές τις τιµές των καταγραφών, σύµφωνα µε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση κάθε σηµείου µέτρησης. Από τις παραγόµενες τιµές υπολογίζεται κάθε φορά το διασπορόγραµµα - µε τη µέθοδο LS ή µε τη µέθοδο RML - κι επιλύονται οι εξισώσεις kriging. Τελικά, έπειτα από k αναλύσεις, προκύπτουν η εκτίµηση ž j και η διασπορά της εκτίµησης var(ž j ) ως η µέση τιµή κι η διασπορά των k εκτιµήσεων της µεταβλητής z σε κάθε σηµείο ελέγχου j. Αντίστοιχα, προκύπτουν το σφάλµα MSE j και η διασπορά του var(mse j ) από τα k σφάλµατα εκτίµησης. Για τη γενικευµένη αυτή προσέγγιση χρησιµοποιείται από εδώ και πέρα ο συµβολισµός MC1, έναντι του συµβολισµού MC0 που αντιστοιχεί στη γεωστατιστική ανάλυση µε χρήση των µετρήσεων απαλλαγµένων από τα σφάλµατα. Τελικά, το συνολικό σφάλµα Ε j στην εκτίµηση της z στο σηµείο ελέγχου j προκύπτει ως άθροισµα των δυο επιµέρους σφαλµάτων, του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος Ε S,j λόγω της στοχαστικής φύσης της µεταβλητής (MSE j ) και του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος λόγω της ανακρίβειας των µετρήσεων Ε MC,j, που δεν είναι άλλο από τη διασπορά var(ž j ) που παρουσιάζουν οι εκτιµήσεις της µεταβλητής z στο σύνολο των αναλύσεων Monte Carlo. Συνοψίζοντας, το σφάλµα εκτίµησης ΣΕ σε όλο το διερευνούµενο πεδίο προκύπτει ως άθροισµα των Ε σε κάθε σηµείο ελέγχου, δηλ.: ΣΕ= E j = Ε s,j +Ε MC,j = (MSE) j + var(z j ) Εξ.: 5.3 j j j Σε αυτό το σηµείο αξίζει να γίνουν κάποια σχόλια σχετικά µε τον επαρκή αριθµό αναλύσεων k για την τεχνική Monte Carlo. Όπως αναφέρει ο Melchers (1999), το πλήθος των αναλύσεων k µπορεί να προκύψει σύµφωνα µε εµπειρικές προτάσεις ή από την Εξ. 5.4, η οποία συνδέει τον αριθµό των αναλύσεων k µε το επίπεδο εµπιστοσύνης C και την Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [170]

193 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 ακρίβεια της εκτίµησης p. Η πρώτη προσέγγιση προτείνει ~ αναλύσεις για επίπεδο εµπιστοσύνης C=95%, ανάλογα µε τη συνάρτηση που εκτιµάται, ενώ η δεύτερη προτείνει 3000 αναλύσεις για κάθε ανεξάρτητη µεταβλητή (δηλ. για κάθε διαθέσιµη µέτρηση), λαµβάνοντας C=95% & p=10-3. Από την άλλη, οι Nowak & Collins (2000), λαµβάνοντας p=10-2 και συντελεστή µεταβλητότητας CV=10%, εκτιµούν, µέσω της Εξ.5.5 ότι επαρκούν 9900 αναλύσεις. Επίσης, σύµφωνα µε τον Melchers, η πιο χρήσιµη µέθοδος για να κρίνει ο µελετητής την επάρκεια του αριθµού αναλύσεων και την ακρίβεια που έχει επιτευχθεί είναι η προβολή των διαγραµµάτων εκτίµησης και διασποράς εκτίµησης ως προς τον αριθµό k. k > -ln(1-c) p CV= (1-p) N p Εξ.: 5.4 Εξ.: 5.5 Συνοψίζοντας, οι δυο πρώτες προσεγγίσεις εκτιµούν το πλήθος k στηριζόµενοι στις απαιτήσεις σχετικά µε την ακρίβεια της εκτιµώµενης µεταβλητής z. Στην προκειµένη περίπτωση, όµως, ιδιαίτερη σηµασία, πέραν της εκτίµησης της z, παρουσιάζει κι η εκτίµηση της διασποράς της var(z j ), δεδοµένου ότι αυτή απαιτείται για τον υπολογισµό του σφάλµατος Ε (Εξ. 5.3). Αν και η διασπορά λαµβάνεται υπόψη στην Εξ. 5.5 µέσω του CV, οι προαναφερόµενες προσεγγίσεις είναι καλό να χρησιµοποιούνται ως γνώµονες, αλλά η τελική κρίση του µελετητή οφείλει να στηρίζεται στα διαγράµµατα z=f(k) & var(z)=f(k). Η εκτίµηση της z, όταν οι µετρήσεις παρουσιάζουν διαφορετικό σφάλµα, όπως περιγράφηκε προηγουµένως (MC1), δεν αποτελεί παρά την αυτονόητη προέκταση της θεωρίας για να συµπεριλάβει την τεχνική Monte Carlo. Ωστόσο, ενδιαφέρον παρουσιάζει η ουσιαστική απλοποίηση της µεθοδολογίας στην περίπτωση που θεωρηθεί ότι το διασπορόγραµµα είναι σταθερό σε κάθε ανάλυση κι ίσο µε το διασπορόγραµµα που προκύπτει από την ανάλυση MC0 (ανάλυση MC2). Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας [Χ], που περιλαµβάνει τους συντελεστές βαρύτητας λ i (i=1,..,n) της κάθε µέτρησης, παραµένει σταθερός σε κάθε ανάλυση l (l=1,,k), ως λύση του συστήµατος εξισώσεων 2.18 ή 2.23, εφόσον οι πίνακες [Α] και [Β] των εξισώσεων αυτών είναι σταθεροί, µιας και τόσο το διασπορόγραµµα όσο κι η διάταξη των µετρήσεων παραµένουν αµετάβλητα. Ως συνέπεια, η µέση εκτίµηση ž j της µεταβλητής σε ένα σηµείο j στηριζόµενη σε n µετρήσεις z i,ε, οι Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [171]

194 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 οποίες παρουσιάζουν µέση τιµή z i την τιµή της µέτρησης και τυπική απόκλιση σ(ε i ) λόγω της παρουσίας του τυχαίου σφάλµατος ε i, έπειτα από k αναλύσεις Monte Carlo δίνεται από τη σχέση: k k n k n Ε(z j )= 1 k z l = 1 k λ il z il,e = 1 k λ il (z il +ε il ) l=1 l=1 i=1 l=1 i=1 Εξ.: 5.6 Αλλά, όπως αναφέρθηκε, οι συντελεστές βαρύτητας λ είναι σταθεροί σε κάθε ανάλυση l. Το ίδιο ισχύει και για τη µέση τιµή της κάθε µέτρησης z i. Εποµένως, η Εξ. 5.6 γίνεται: k n k n n Ε(z j )= 1 k λ i z i +ε il = 1 k λ i z i + λ i ε il l=1 i=1 l=1 i=1 i=1 Εξ.: 5.7 Αν ως ž j,o οριστεί η εκτίµηση της µεταβλητής z στη θέση j µε την ανάλυση MC0, τότε: k n Ε(z j )= 1 k z j,o+ λ i ε il = 1 k z j,o + 1 k λ i l=1 i=1 k l=1 n n i=1 Ε(z j )= 1 k k z j,o+ 1 k λ i ε il i=1 k l=1 k l=1 ε il Εξ.: 5.8 Επειδή τα σφάλµατα ε παρουσιάζουν µηδενική µέση τιµή, άρα, για επαρκή αριθµό αναλύσεων k, ισχύει k l=1 ε il 0 κι εποµένως: n k n Ε(z j )=z j,o + 1 k λ i ε il =z j,o + 1 k λ i 0 i=1 l=1 i=1 =z j,o Εξ.: 5.9 Σύµφωνα, λοιπόν, µε την παραπάνω εξίσωση, η εκτίµηση της µεταβλητής z σε µια θέση j του πεδίου, λαµβάνοντας υπόψη τα τυχαία σφάλµατα των µετρήσεων, δε διαφέρει από την εκτίµηση όταν τα σφάλµατα δε ληφθούν υπόψη, εφόσον το διασπορόγραµµα θεωρηθεί σταθερό. Όσο αφορά τη διασπορά της εκτίµησης var(ž j ), που απαιτείται για τον υπολογισµό του συνολικού σφάλµατος Ε j, δίνεται από την ακόλουθη σχέση, όπου ž j,l η εκτίµηση της µετακίνησης στη θέση j στην lη ανάλυση Monte Carlo: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [172]

195 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 var(z j )=E z j,l -E z j,l 2 = 1 k k-1 z j,l-z j,o 2 l=1 Εξ.: 5.10 Κι επειδή οι εκτιµήσεις ž j,l και ž j,o προκύπτουν από τις αντίστοιχες µετρήσεις, πολλαπλασιασµένες µε τους συντελεστές βαρύτητας λ i, η προηγούµενη σχέση παίρνει τη µορφή: k n var(z j )= 1 k-1 λ i z i,l - λ i z i,o l=1 k i=1 n i=1 n i=1 var(z j )= 1 k-1 λ i (z i,l -z i,o ) l=1 k var(z j )= 1 k-1 λ i (ε i,l ) l=1 n i= Εξ.: 5.11 n Ο όρος που αφορά το τετράγωνο αθροίσµατος της Εξ. 5.11, [ i=1 ε i,l 2 ], µπορεί περαιτέρω να αναλυθεί σύµφωνα µε την ακόλουθη ταυτότητα: α 1 +α 2 + +α n-1 +α n 2 =α 2 1 +α α n-1 +α 2 n + 2α 1 α α 1 α n-1 +2α 1 α n +2α 2 α n-1 +2α 2 α n + +2α (n-1) α n Εξ.: 5.12 Εποµένως, η Εξ µετατρέπεται, σύµφωνα µε την ταυτότητα της Εξ σε: k var(z j )= 1 k-1 [λ 1 2 ε 2 l,1 +λ 2 2 ε l, λ(n-1) 2 ε +λ 2 l,(n-1) n ε 2 l,n +2λ 1 λ 2 ε l,1 ε l,2 + +2λ 1 λ (n-1) ε ε l,1 l,(n-1) l=1 +2λ 1 λ n ε l,1 ε l,n + +2λ 2 λ (n-1) ε l,2 ε l,(n-1) +2λ 2 λ n ε l,2 ε l,n + +2λ (n-1) λ n ε l,(n-1) ε l,n ] var(z j )= 1 k-1 λ 2 2 ε l,1 k 2 λ 22 ε l, 2 2 λ (n-1) ε l,(n-1) 2 λ n2 ε l, k λ 1 λ 2 ε 1 ε 2 + +λ 1 λ (n-1) ε 1 ε (n-1) +λ 1 λ n ε 1 ε n + +λ (n-1) λ n ε 1(n-1) ε n ] l=1 k l=1 k l=1 l=1 Εξ.: 5.13 Αλλά, τα τυχαία σφάλµατα είναι ανεξάρτητα, κι άρα κι ασυσχέτιστα, εποµένως, εξ ορισµού, ισχύει: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [173]

196 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Ε[ε i ε j ]=Ε[ε i ]Ε[ε j ] Εξ.: 5.14 και επειδή η µέση τιµή των τυχαίων σφαλµάτων είναι µηδενική, η Εξ παίρνει τη µορφή: Ε[ε i ε j ]=Ε[ε i ]Ε[ε j ]=0 Εξ.: 5.15 Εποµένως, η Εξ. 5.13, λόγω της Εξ. 5.15, γίνεται: var(z j )= 1 k-1 [λ 2 ε 2 1 l,1 k l=1 k 2 +λ 22 ε l,2 l= λ (n-1) ε l,(n-1) k l=1 k 2 +λ n2 ε l,n l=1 Εξ.: 5.16 κι επειδή η µέση τιµή των ε είναι µηδενική, η διασπορά τους σε πλήθος k δίνεται από τη σχέση: k var(ε i )= 1 k-1 ε 2 l,i -E ε 2 i = 1 k-1 ε 2 l,i -0= 1 k-1 ε 2 l,i l=1 k l=1 k l=1 Εξ.: 5.17 Συνδυάζοντας τις Εξ και 5.17 προκύπτει: 2 var(z j )=[λ 12 var(ε 1 )+λ 22 var(ε 2 )+ +λ (n-1) var(ε (n-1) )+λ n2 var(ε n )] n var(z j )= λ i 2 var(ε i ) i=1 Εξ.: 5.18 Οι εξισώσεις 5.9 και 5.18 προσφέρουν τη δυνατότητα, στην περίπτωση που το διασπορόγραµµα θεωρηθεί σταθερό, υπολογισµού της εκτίµησης ž j και της διασποράς της var(ž j ) σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου j άµεσα, χωρίς την ανάγκη πολλαπλών αναλύσεων που απαιτεί η τεχνική Monte Carlo. Πράγµατι, µόνο µία ανάλυση, η MC0, είναι απαραίτητη για τον προσδιορισµό των εκτιµήσεων ž j,o και των συντελεστών βαρύτητας λ i που χρειάζονται οι εξισώσεις 5.9 & Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [174]

197 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Επίσης, η θεώρηση σταθερού διασπορογράµµατος οδηγεί και σε σταθερό MSE σε κάθε ανάλυση Monte Carlo, διότι οι πίνακες [Β] & [Χ] παραµένουν αµετάβλητοι κι άρα, σύµφωνα µε τις Εξ ή Εξ. 2.24, το ίδιο ισχύει και για το σφάλµα εκτίµησης MSE. Συνεπώς, η θεώρηση σταθερού γ οδηγεί άµεσα στο συµπέρασµα ότι το MSE έχει µέση τιµή ίση µε την τιµή MSE που προκύπτει από την ανάλυση ΜC0 και µηδενική διασπορά. Άρα, για τη µετάβαση από την ανάλυση MC1 στην εξαιρετικά απλοποιηµένη ανάλυση MC2 που απαιτεί µόνο µια γεωστατική ανάλυση για να προκύψει η διαφοροποίηση των εκτιµήσεων όταν οι µετρήσεις παρουσιάζουν διαφορετικό σφάλµα, υπολείπεται ένα κριτήριο, σύµφωνα µε το οποίο θα επιτρέπεται ή όχι η παραδοχή σταθερότητας του διασπορογράµµατος. Το κριτήριο αυτό µπορεί να αφορά το σφάλµα των µετρήσεων, τη διασπορά των παραµέτρων του διασπορογράµµατος ή την απόκλιση που παρατηρείται µεταξύ των αποτελεσµάτων των αναλύσεων MC1 & MC2. Κλείνοντας την παρούσα ενότητα, αξίζει να σηµειωθεί η ιδιαιτερότητα των υπολογισµών όταν το διασπορόγραµµα, υπό την επίδραση των σφαλµάτων µέτρησης, µεταβάλλεται, αλλά διατηρώντας τη µορφή του. Ως διατήρηση της µορφής του διασπορογράµµατος ονοµάζεται η κατάσταση όπου το γ µεταβάλλεται αναλογικά, δηλ. µεταβάλλεται µόνο η παράµετρος θ 1, διατηρώντας τις υπόλοιπες σταθερές. Ειδικά το φαινόµενο κόκκου παραµένει ίσο µε µηδέν. Στην περίπτωση αυτή, οι συντελεστές βαρύτητας των µετρήσεων δε µεταβάλλονται, εφόσον η αναλογία του γ στις αποστάσεις των µετρήσεων. Εποµένως, η αλλαγή της θ 1 δεν επηρεάζει τον προσδιορισµό των ž j και var(ž j ), παρά µόνο το MSE, και µάλιστα η µεταβλητότητα του MSE είναι αντίστοιχη µε αυτήν της παραµέτρου θ 1. Άρα, στην περίπτωση που ne=0 και που οι παράµετροι θ 2 θεωρηθούν σταθερές σε κάθε ανάλυση, τότε είναι επιτρεπτή η εκτίµηση των ž j και var(ž j ) σύµφωνα µε τις εξισώσεις Εξ. 5.9 & Εξ. 5.18, ενώ το MSE παρουσιάζει συντελεστή µεταβλητότητας αντίστοιχο µε αυτόν της παραµέτρου θ 1. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, κρίνεται σκόπιµος ο έλεγχος της µεταβλητότητας των παραµέτρων του διασπορογράµµατος, ώστε να εκτιµηθεί αν χρειάζεται να υπολογιστούν τα µεγέθη ž j, var(ž j ), MSE & var(mse) σύµφωνα µε τη γενική µεθοδολογία Monte Carlo (MC1) ή µε τις απλοποιηµένες εξισώσεις που δόθηκαν στην παρούσα ενότητα (MC2). Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [175]

198 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ Βελτιστο οίηση διάταξης µε διαφορετικά σφάλµατα µέτρησης Η θεωρία σχετικά µε τη βελτιστοποίηση της διάταξης συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης θεωρώντας κοινά σφάλµατα µετρήσεων έχει παρουσιαστεί στο υποκεφάλαιο 2.5. Όταν η συνάρτηση κόστους, που καθορίζει την επιλογή των βέλτιστων προς προσθήκη ή αφαίρεση θέσεων, σχετίζεται αποκλειστικά µε το σφάλµα εκτίµησης, τότε ο προσδιορισµός των θέσεων αυτών δεν επηρεάζεται από τις τιµές των µετρήσεων, αλλά από το διασπορόγραµµα, και πιο συγκεκριµένα από τη µορφή του διασπορογράµµατος. Στην περίπτωση των διαφορετικών σφαλµάτων µέτρησης, η βελτιστοποίηση της διάταξης σε ένα σύστηµα ενόργανης παρακολούθησης µπορεί να προκύψει χρησιµοποιώντας την τεχνική Monte Carlo. Πράγµατι, µπορούν να πραγµατοποιηθούν k αναλύσεις, µεταβάλλοντας - κάθε φορά - τις τιµές των µετρήσεων ανάλογα µε το σφάλµα τους, εκτιµώντας το διασπορόγραµµα και προσδιορίζοντας τις βέλτιστες θέσεις. Η οµάδα των θέσεων που προκύπτει ως βέλτιστη από την πλειοψηφία των αναλύσεων είναι κι η πιο κατάλληλη προς επιλογή. Η διαδικασία αυτή, που αποτελεί την αυτονόητη εφαρµογή της τεχνικής Monte Carlo στην περίπτωση βελτιστοποίησης συστήµατος ενοργάνωσης, παρουσιάζει ιδιαίτερα µεγάλο υπολογιστικό κόστος, µιας και απαιτούνται k δοµικές αναλύσεις και k ελαχιστοποιήσεις της συνάρτησης κόστους (µέσω κάποιου αλγόριθµου, όπως του αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης). Η µεθοδολογία αλλάζει άρδην µε τη θεώρηση σταθερού διασπορογράµµατος. Όπως προαναφέρθηκε, η βελτιστοποίηση της ενοργάνωσης εξαρτάται από το διασπορόγραµµα κι όχι από τις τιµές των µετρήσεων. Για αυτό το λόγο, οι µεταβολές στις τιµές των µετρήσεων λόγω σφάλµατος δεν επηρεάζουν την ανάλυση, παρά µόνο µέσω των µεταβολών στο διασπορόγραµµα που αυτές προκαλούν. Το συνολικό σφάλµα Ε στο πεδίο αποτελεί άθροισµα των MSE και του Ε MC - var(ž). Με την παραδοχή ότι το διασπορόγραµµα δεν επηρεάζεται από τα σφάλµατα, το σφάλµα εκτίµησης MSE σε κάθε σηµείο του πεδίου παραµένει σταθερό, ενώ η διασπορά στην εκτίµηση της µεταβλητής z προκύπτει κάνοντας χρήση της Εξ Με βάση το νέο αυτό χάρτη σφαλµάτων που διαµορφώνεται, η βελτιστοποίηση της ενοργάνωσης µπορεί να προκύψει από µια και µόνη ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [176]

199 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σε αυτό το σηµείο αξίζει να επισηµανθεί ότι, όταν ο αριθµός των πρόσθετων ή αφαιρούµενων σηµείων είναι µεγαλύτερος της µονάδας (N>1), τότε, σύµφωνα µε τον Pardo-Igúzquiza (1998), στον αλγόριθµο προσοµοίωσης ανόπτησης που χρησιµοποιείται για την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους, σε σταθερή θερµοκρασία, πραγµατοποιούνται L k N αναλύσεις (L k µήκος της αλυσίδας Markov και N το πλήθος των οργάνων µέτρησης που πρόκειται να προστεθούν ή αφαιρεθούν). Σε κάθε µία από τις Ν οµάδες αναλύσεων πλήθους L k, οι (Ν-1) θέσεις παραµένουν σταθερές και µεταβάλλεται η Ν-οστή. Η µεταβολή VR o* στο σφάλµα εκτίµησης στη θέση ο από την τοποθέτηση του Ν-οστού οργάνου µέτρησης στη θέση υπολογίζεται σύµφωνα µε την Εξ (Rouhani, 1985). Η εξίσωση αυτή επιτρέπει τον υπολογισµό της µεταβολής του σφάλµατος εκτίµησης χωρίς την απαίτηση της επίλυσης του νέου συστήµατος εξισώσεων, το οποίο προκύπτει από την προσθήκη του (n+1)-οστού οργάνου µέτρησης, διευκολύνοντας αισθητά τους υπολογισµούς του αλγόριθµου. Αντίστοιχα, στην περίπτωση που τα όργανα µέτρησης παρουσιάζουν διαφορετικό σφάλµα µέτρησης, χρειάζεται µια εξίσωση για τη µεταβολή της διασποράς της εκτίµησης (var(ž)) λόγω της προσθήκης (ή αφαίρεσης) ενός σηµείου µέτρησης, δηλαδή µια εξίσωση που θα επιτρέπει τον υπολογισµό της (var(ž)), χωρίς την επίλυση του συστήµατος n+1 εξισώσεων. Για την εφαρµογή της εξίσωσης γίνεται η παραδοχή ότι τα πρόσθετα σηµεία µέτρησης δε θα παρουσιάζουν σφάλµα µέτρησης, κι άρα η var(ž) οφείλεται αποκλειστικά στα υπάρχοντα όργανα µέτρησης. Σύµφωνα µε την Εξ. 5.18, ο προσδιορισµός της var(ž) απαιτεί τη γνώση των συντελεστών βαρύτητας λ και της διασποράς του σφάλµατος µέτρησης var(ε). Η var(ε) είναι γνωστή και σταθερή κατά την ανάλυση, κι εποµένως, η εκτίµηση της var(ž) για τα (n+1) σηµεία µέτρησης σε κάθε στάδιο του αλγόριθµου ουσιαστικά αντιστοιχεί στον προσδιορισµό των νέων συντελεστών βαρύτητας. Επεκτείνοντας το σκεπτικό της ανάλυσης των πινάκων που δίνεται στην αναφορά του Rouhani (1985) από τον προσδιορισµό του σφάλµατος εκτίµησης στην περίπτωση των συντελεστών βαρύτητας, προκύπτει: Χ n+1 =B T n+1 A -1 T n+1 =[B γο* n ] Α Β -1 * Τ Β * γ ** Εξ.: 5.19 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [177]

200 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 όπου το σύµβολο στις εξισώσεις αφορά το σύστηµα παρακολούθησης µε τα n σηµεία µέτρησης, όταν ως σηµείο ελέγχου ληφθεί η θέση. Η αναστροφή του πίνακα A n+1 στην Εξ γίνεται σύµφωνα µε τις σχέσεις που παρουσιάζει ο Rouhani (1985) και άρα, η Εξ παίρνει την ακόλουθη µορφή: Χ n+1 =[B n T γ ο* ] Α-1 +aχ * Χ * Τ -αχ * -αχ * Τ α Χ n+1 = Β n T Α -1 +aβ n T Χ * Χ * Τ -aγ ο* Χ * Τ -αβ n T Χ * +αγ ο* Εξ.: 5.20 όπου α η ποσότητα V * (n), δηλ. το σφάλµα εκτίµησης στη θέση λόγω της παρουσίας n σηµείων µέτρησης. Όπως, όµως, αναφέρθηκε προηγουµένως, τα νέα µηδενικού σφάλµατος όργανα µέτρησης δε συνεισφέρουν στη διασπορά της εκτίµησης κι άρα από τον πίνακα Χ n+1 ενδιαφέρουν µόνο οι n πρώτοι όροι του. Συνεπώς: Χ n+1 1:n = Β n T Α -1 +aβ n T Χ * Χ * Τ -aγ ο* Χ * Τ =Χ n 1:n +aβ n T Χ * Χ * Τ -aγ ο* Χ * Τ Εξ.: 5.21 Άρα, η µεταβολή των συντελεστών βαρύτητας δίνονται από την ακόλουθη σχέση: Χ 1:n =a[β n T Χ * -γ ο* ]Χ * Τ = 1 V * (n) [Β n T Χ * -γ ο* ]Χ * Τ Εξ.: 5.22 Συνεπώς, η Εξ επιτρέπει τον υπολογισµό της µεταβολής των συντελεστών βαρύτητας κι άρα και τη µεταβολή της διασποράς της εκτίµησης χρησιµοποιώντας µόνο στοιχεία από τη γεωστατιστική ανάλυση των n µετρήσεων. Εάν η συνάρτηση κόστους εµπεριέχει κι άλλες παραµέτρους, η διαδικασία εξαρτάται από τη νέα σύνθεση της συνάρτησης. Στις πιο συνήθεις περιπτώσεις, όπου χρησιµοποιούνται, πέραν του σφάλµατος εκτίµησης, η τιµή της µεταβλητής z, η διαδικασία δε µεταβάλλεται, εφόσον η εκτίµηση της ž µπορεί να προκύψει άµεσα από µια ανάλυση MC0, σύµφωνα µε την Εξ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [178]

201 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Συνοψίζοντας, µε την παραδοχή του σταθερού διασπορογράµµατος, η επιλογή των βέλτιστων θέσεων ολοκληρώνεται µε µια µόνο ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους, απαιτώντας ιδιαίτερα µικρό υπολογιστικό χρόνο Εκτίµηση µετακινήσεων στη Σ2 µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Στις αναλύσεις που πραγµατοποιήθηκαν στις προηγούµενες ενότητες, χρησιµοποιήθηκαν οι καταγραφές από τους 14 µάρτυρες που είναι διαθέσιµοι στην περιοχή µικρών µετακινήσεων, εντός του χρονικού διαστήµατος από 18/01/07 έως 16/03/07. Στην παρούσα εφαρµογή, για να υπάρχουν ταυτόχρονα µετρήσεις από δυο µεθόδους µέτρησης µε διαφορετική ακρίβεια (εν προκειµένω, εκτίµηση οριζόντιας µετακίνησης από τοπογραφικές µεθόδους και από κλισιόµετρα), χρησιµοποιείται το διάστηµα από 06/02/07 έως 16/03/07, όπου συµµετέχουν οι µάρτυρες S1~S10, R1, N1~N8 και τα κλισιόµετρα A1~A5. Η εφαρµογή πραγµατοποιείται για την περιοχή εκτός της κατολίσθησης, που είναι σχετικά αποµακρυσµένη από τις σήραγγες, ώστε να µην επηρεάζεται από αυτές, οπότε πρόκειται για τους µάρτυρες S3~S10,N1~N6 και το κλισιόµετρο Α3 5. Τα σηµεία µέτρησης, τα σηµεία ελέγχου (κόµβοι του καννάβου), καθώς και οι ασυνέχειες που λήφθηκαν υπόψη στις αναλύσεις, δίνονται στο σχήµα που ακολουθεί: 5 Η τελευταία διαθέσιµη µέτρηση του κλισιοµέτρου Α3 είναι στις 12/03/07, αλλά απλοποιητικά θεωρείται ότι αντιστοιχεί στις 16/03/07. Άλλωστε οι µετρήσεις χρησιµοποιούνται ενδεικτικά. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [179]

202 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 B T3 7N R1 S1 S3 S4 1N 2N B 3N T2 4N T1 S5 S6 5N A3 ΑΞΟΝΕΣ N A A 18 6N A 18 Σχ. 5.43: Κάνναβος ανάλυσης Εκτίµηση σφάλµατος στις το ογραφικές µεθόδους Για την εκτίµηση του σφάλµατος στις τοπογραφικές µεθόδους γίνανε ορισµένες απλοποιητικές παραδοχές, όπως ότι η παρατηρούµενη απόκλιση οφείλεται αποκλειστικά σε τυχαία σφάλµατα, τα οποία είναι ανεξάρτητα της τιµής της µέτρησης και παρουσιάζουν σταθερή τυπική απόκλιση στο περιορισµένο χρονικό διάστηµα που εξετάζεται. Για την εκτίµηση της τυπικής απόκλισης του σφάλµατος χρησιµοποιήθηκαν οι µετρήσεις των µαρτύρων S6, S7, N5 και N6, οι οποίοι είναι αρκετά αποµακρυσµένοι από τα όρια της κατολίσθησης, µε αποτέλεσµα να παρουσιάζουν σχετικά µηδενική τάση µεταβολής εντός του εξεταζόµενου χρονικού διαστήµατος. Η µηδενική τάση µεταβολής επιτρέπει τη θεώρηση σταθερής µέσης τιµής κι εποµένως, η διασπορά προκύπτει εύκολα και δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί: µάρτυρας διασπορά (mm 2 ) S6 7,43 S7 5,57 N5 3,93 N6 2,99 µέση τιµή 4,98 Πίν. 5.16: ιασ ορά µαρτύρων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [180]

203 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Από τα παραπάνω, συνάγεται το συµπέρασµα ότι µια µέση τιµή για τη διασπορά των γεωδαιτικών σταθµών είναι 4,98mm 2, κι άρα η τυπική απόκλιση είναι ±2,2mm. Εκτίµηση σφάλµατος στα κλισιόµετρα Η εκτίµηση του τυχαίου σφάλµατος στα κλισιόµετρα, θεωρώντας ότι όλα τα συστηµατικά σφάλµατα έχουν απαλειφθεί, βασίζεται στο διάγραµµα checksums, που δεν είναι άλλο από το άθροισµα δυο αντιδιαµετρικών µετρήσεων (Mikkelsen, 2003). Παρόλο που τα διαγράµµατα αυτά αποτελούν σφραγίδα της εκάστοτε σωλήνωσης, κι άρα χρειάζεται η εκτίµηση του σφάλµατος να βασιστεί στο συγκεκριµένο κλισιόµετρο, δυστυχώς, για το κλισιόµετρο Α3, δεν είναι διαθέσιµα παρά τα διαγράµµατα των σταδιακών και αθροιστικών µετακινήσεων. Για να αντιµετωπιστεί η απουσία στοιχείων, γίνεται η παραδοχή ότι η ακρίβεια του Α3 δε διαφέρει από αυτές των κλισιοµέτρων KN1~KN3, στηριζόµενοι κυρίως στο γεγονός ότι η ίδια βολίδα κι οι ίδιες τεχνικές εγκατάστασης και µέτρησης χρησιµοποιήθηκαν και στα 4 όργανα. Η ηµεροµηνία που επιλέχθηκε για την εκτίµηση του τυχαίου σφάλµατος των κλισιοµέτρων ΚΝ1~ΚΝ3 είναι η 09/10/06, διότι σε αυτήν και τα τρία διαγράµµατα παρουσιάζουν κάθετη κατανοµή των checksums, δηλ. είναι πιο πιθανό τα συστηµατικά σφάλµατα να έχουν απαλειφθεί. Εποµένως, θεωρώντας σταθερή µέση τιµή, µπορεί να υπολογιστεί η διασπορά var r των checksums για τους δυο άξονες. Η var r αντιστοιχεί σε µονάδες καταγραφής. κλισιόµετρο var r Άξονας Α Άξονας Β ΚΝ1 30,69 110,30 ΚΝ2 12,47 115,82 ΚΝ3 9,89 54,21 µέση τιµή 17,7 93,4 Πίν. 5.17: ιασ ορά κλισιοµέτρων Η µέση τιµή της διασποράς που υπολογίστηκε µετατρέπεται σε µετακίνηση µετρούµενη σε mm. Η τυπική απόκλιση που προκύπτει για κάθε άξονα είναι σ Α =±0,084mm και σ B =±0,194mm. Οι τιµές αυτές είναι σε συµφωνία µε τις εµπειρικές τιµές που παρέχει ο Mikkelsen (±0,080mm και ±0,016mm για τους άξονες Α και Β αντίστοιχα). Η υπολογισθείσα τυπική απόκλιση αφορά το τυχαίο σφάλµα σε µια συγκεκριµένη θέση της βολίδας. Στην επιφάνεια, όµως, του εδάφους, το τυχαίο σφάλµα συσσωρεύεται, σύµφωνα µε τη σχέση που δίνεται στον Mikkelsen: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [181]

204 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 συνολικό σφάλµα=τυχαίο σφάλµα αριθµός διαδοχικών µετρήσεων Εξ.: 5.23 κι άρα, για το σαραντα-τριών µέτρων κλισιόµετρο Α3 είναι: σ Α =±0, =±0,78mm & σ B =±0, =±1,80mm Εξ.: 5.24 Αν κι η ανάλυση οφείλει να γίνει χρησιµοποιώντας ως συνισταµένη µετακίνηση του κλισιοµέτρου αυτήν που προκύπτει από τις συνιστώσες Α και Β µε τις αντίστοιχες αποκλίσεις τους διαφορετικές για κάθε άξονα, στη συγκεκριµένη εφαρµογή, χάρην απλότητας, θεωρείται ότι η συνισταµένη µετακίνηση παρουσιάζει µέση τιµή 11,30mm ((4, ,55 2 ) 0,5 ) και τυπική απόκλιση ίση µε ±1,70mm (είναι η τυπική απόκλιση που προκύπτει για τη συνισταµένη µετακίνηση από διαφορετικές τιµές των συνιστωσών Α και Β). Εφαρµογή τεχνικής Monte Carlo στη Σ2 MC1 Αρχικά, δίνεται ο Πίν µε τις τιµές των παραµέτρων του γραµµικού και Gaussian προσοµοιώµατος, όπως αυτές προέκυψαν θεωρώντας µηδενικά σφάλµατα στις µετρήσεις. Οι τιµές αφορούν τα δυο από τα υποψήφια προσοµοιώµατα που ικανοποιούν τους διαγνωστικούς ελέγχους στην ενότητα Ο λόγος που η συγκεκριµένη εφαρµογή αφορά και στα δύο διασπορογράµµατα, κι όχι µόνο στο γραµµικό που τελικά επιλέχτηκε στην ενότητα 5.2.3, είναι ότι το γραµµικό προσοµοίωµα, ως ιδιαίτερα απλό, µπορεί να επηρεάσει τα αποτελέσµατα µε τρόπο που δε απαντάται στα υπόλοιπα προσοµοιώµατα. Η υιοθέτηση και του Gaussian προσοµοιώµατος κρίνεται απαραίτητα για να αποφευχθούν λανθασµένα συµπεράσµατα. Ως µέθοδος εκτίµησης του διασπορογράµµατος χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος RML, όπου η τιµή του φαινόµενου κόκκου θεωρήθηκε γνωστή κι ίση µε µηδέν. Όντως, λήφθηκε ne=0, διότι κανένα από τα δυο φαινόµενα που προκαλούν αύξηση του ne δεν υφίσταται στην προκειµένη περίπτωση, εφόσον για τα µεν φαινόµενα µικρο- µεταβλητότητας θεωρήθηκε ότι δεν εµφανίζονται στις καταγραφές των µετακινήσεων, για τα δε σφάλµατα µέτρησης, η επίδρασή τους εισάγεται µέσω των πολλαπλών επιλύσεων Monte Carlo κι άρα η κάθε τυχαία µέτρηση θεωρείται απαλλαγµένη από σφάλµατα. Οι τιµές παρουσιάζουν διαφορές συγκρινόµενες µε τις αντίστοιχες του Πίν. 5.8, διότι έχει µεταβληθεί το χρονικό διάστηµα των µετρήσεων (οι µετακινήσεις στο περιορισµένο αυτό διάστηµα είναι σηµαντικά µικρότερες, µε αποτέλεσµα την ουσιαστική µείωση της θ 1 ) και έχει αλλάξει κι η διάταξη της ενοργάνωσης µε την προσθήκη της µέτρησης του Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [182]

205 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 κλισιοµέτρου Α3. Σε κάθε περίπτωση, τα δυο προσοµοιώµατα ικανοποιούν τους διαγνωστικούς ελέγχους. Ονοµασία Προσοµοίωµα Παράµετροι θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 20,76mm 2 /m (0) - 4β Gaussian 1474,15mm 2 31,50m (0) Πίν. 5.18: Παράµετροι ροσοµοιωµάτων Έτσι, πραγµατοποιούνται k= αναλύσεις MC1, σύµφωνα µε τις αρχές της ενότητας 5.4.2, δηλ. παράγονται τυχαίες τιµές για κάθε µέτρηση, από τις οποίες προκύπτει κάθε φορά το διασπορόγραµµα µε τη µέθοδο RML µε ne=0, µε το οποίο επιλύεται γεωστατιστικά το πρόβληµα. Για να κριθεί η επάρκεια του πλήθους των αναλύσεων, σύµφωνα µε την υπόδειξη του Melchers (1999), παρατίθενται τα ακόλουθα διαγράµµατα (Σχ. 5.44, Σχ και Σχ. 5.46), όπου φαίνονται αντίστοιχα ο µέσος όρος της παραµέτρου θ 1 του διασπορογράµµατος, της εκτίµησης της µετακίνησης ž και της τυπικής απόκλισης της εκτίµησης της µετακίνησης σ(ž) µε το πλήθος των αναλύσεων για την περίπτωση που υιοθετείται το γραµµικό διασπορόγραµµα. Αντίστοιχα διαγράµµατα προκύπτουν και για το Gaussian προσοµοίωµα. Και στα τρία σχήµατα, τα αποτελέσµατας έχουν κανονικοποιηθεί ως προς τις τιµές που αντιστοιχούν στην ανάλυση µε k= Στα Σχ και Σχ οι τιµές που παρέχονται αφορούν δυο χαρακτηριστικά σηµεία, τα Α και Β, που βρίσκονται στο άκρο και στο κέντρο του καννάβου ανάλυσης (Σχ. 5.43). Στη συγκεκριµένη εφαρµογή, η παράµετρος θ 1 σταθεροποιείται πολύ γρήγορα (k 500). Το ίδιο συµβαίνει και µε την ž, εφόσον ο µέσος όρος των εκτιµήσεων τείνει να σταθεροποιηθεί όταν k=1500. Ο δε µέσος όρος της τυπικής απόκλισης της ž παρουσιάζει πιο έντονες µεταβολές, οι οποίες περιορίζονται όταν έχουν πραγµατοποιηθεί περισσότερες από 5000 αναλύσεις. Σε κάθε περίπτωση, όλες οι παράµετροι (θ 1, ž, σ(ž)) παρουσιάζουν σταθεροποίηση στις αναλύσεις, εποµένως ο αριθµός των αναλύσεων κρίνεται επαρκής. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [183]

206 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 κανονικοποιημένη τιμή θ1 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0, πλήθος αναλύσεων Σχ. 5.44: Μέσος όρος αραµέτρου θ1 γραµµικού διασ ορογράµµατος µε λήθος αναλύσεων κανονικοποιημένη εκτίμηση 1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 σημείο Α σημείο Β πλήθος αναλύσεων Σχ. 5.45: Μέσος όρος κανονικο οιηµένης εκτίµησης µε λήθος αναλύσεων κανονικοποιημένη τυπική απόκλιση 1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 σημείο Α σημείο Β πλήθος αναλύσεων Σχ. 5.46: Μέσος όρος κανονικο οιηµένης τυ ικής α όκλισης εκτίµησης µε λήθος αναλύσεων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [184]

207 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Έπειτα από αναλύσεις Monte Carlo, προέκυψαν τα ακόλουθα στοιχεία για τη µεταβλητότητα του κάθε προσοµοιώµατος: Μέση τιµή (µ) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 21,00 (0) - 4β Gaussian 1547,70 31,97 (0) Τυπική απόκλιση (σ) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 1,02 (0) - 4β Gaussian 268,35 3,40 (0) Συντελεστής µεταβλητότητας (CV) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 0,05 (0) - 4β Gaussian 0,17 0,11 (0) Πίν. 5.19: Μεταβλητότητα διασ ορογράµµατος α ό Monte Carlo Η γενικευµένη ανάλυση MC1 (Πίν. 5.19) παρέχει µέσες τιµές των παραµέτρων των διασπορογραµµάτων παραπλήσιες µε αυτές από την ανάλυση MC0 (Πίν. 5.18). Επίσης, παρατηρείται, από τον Πίν. 5.19, ότι και τα δυο προσοµοιώµατα παρουσιάζουν ιδιαίτερα µικρή µεταβλητότητα (CV<0,2), όταν τα µετρητικά σφάλµατα συµµετέχουν στην ανάλυση. Πιο µεγάλη ευαισθησία στις µεταβολές των µετρήσεων λόγω σφαλµάτων παρουσιάζει η οριακή τιµή C o του Gaussian προσοµοιώµατος (παράµετρος θ 1 ). Τα δυο προσοµοιώµατα που συµµετέχουν στους υπολογισµούς που ακολουθούν σχεδιασµένα βάση των µέσων τιµών τους - δίνονται στο Σχ. 5.47: 3000 γ (mm^2) 2000 γραμμικό προσομοίωμα gaussian προσομοίωμα h (m) Σχ. 5.47: Γραµµικό και Gaussian διασ ορογράµµατα ου χρησιµο οιούνται στην MC1 ανάλυση Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [185]

208 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Στο ακόλουθο σχήµα παρέχονται 1000 τυχαία διασπορογράµµατα για το γραµµικό προσοµοίωµα, σύµφωνα µε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση του Πίν. 5.19, ώστε να φανεί πιο παραστατικά η µεταβλητότητα των χρησιµοποιούµενων διασπορογραµµάτων. γ Σχ. 5.48: Μεταβλητότητα γραµµικού διασ ορογράµµατος h Για µια πιο εποπτική εικόνα των αποτελεσµάτων των αναλύσεων σε όλο το πεδίο, παρέχονται τα ακόλουθα θηκογράµµατα σχετικά µε το συντελεστή µεταβλητότητας της εκτίµησης και του σφάλµατος εκτίµησης (Σχ και Σχ. 5.50): 0,8 συντελεστής μεταβλητότητας εκτίμησης 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.49: Θηκόγραµµα συντελεστή µεταβλητότητας εκτίµησης στο εδίο - ανάλυση MC1 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [186]

209 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 0,6 συντελεστής μεταβλητότητας MSE 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.50: Θηκόγραµµα συντελεστή µεταβλητότητας MSE στο εδίο - ανάλυση MC1 Το γραµµικό προσοµοίωµα παρουσιάζει, στην πλειονότητα των σηµείων ελέγχου, µικρή µεταβλητότητα των εκτιµήσεων (CV<0,2). Το δε σφάλµα εκτίµησης παρουσιάζει, όπως προαναφέρθηκε, τιµή σταθερή σε όλο το πεδίο. Από την άλλη, η υιοθέτηση του Gaussian προσοµοιώµατος επιτείνει τη µεταβλητότητα εξαιτίας των σφαλµάτων µέτρησης τόσο της εκτίµησης όσο και του MSE (CV=0,74 & CV=0,56). Καταληκτικά, η επιλογή διασπορογράµµατος αποτελεί σηµαντική συνιστώσα της επιρροής των σφαλµάτων µέτρησης στη µεταβλητότητα της εκτίµησης και του MSE. Πράγµατι, στο Gaussian προσοµοίωµα, αν και η διάµεσος των σηµείων ελέγχου παρουσιάζει συντελεστή µεταβλητότητας µικρότερο του 0,2, αρκετές είναι κι οι µεγαλύτερες από αυτήν τιµές στο πεδίο. Από το Σχ φαίνεται ότι η εκτίµηση στο πεδίο, στην πλειονότητα των σηµείων ελέγχου, δε µεταβάλλεται σηµαντικά λόγω της επιρροής των σφαλµάτων µέτρησης, εφόσον διατηρεί κατά µέσο όρο, και στα δυο προσοµοιώµατα, τιµές συντελεστή µεταβλητότητας χαµηλότερες του 0,2. Ωστόσο, στο Gaussian προσοµοίωµα, η ευαισθησία της εκτίµησης στα σφάλµατα παρουσιάζει περισσότερες διακυµάνσεις στο πεδίο, όπως µπορεί να φανεί από το µήκος του θηκογράµµατος. Η συµπεριφορά αυτή οφείλεται τόσο στη µεγαλύτερη µεταβλητότητα που παρουσιάζει η παράµετρος θ 1 του Gaussian προσοµοιώµατος έναντι της αντίστοιχης του γραµµικού όσο και στη µεταβλητότητα, έστω και περιορισµένη, του εύρους L του Gaussian. Σε κάθε περίπτωση δε λείπουν κι ακραίες τιµές, µε σηµεία στο πεδίο που µεταβάλλουν την εκτιµώµενη µετακίνηση περισσότερο από 44% και 74% της εκτίµησης για το γραµµικό και το Gaussian προσοµοίωµα αντίστοιχα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [187]

210 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Όσο αφορά το σφάλµα εκτίµησης, παρατηρείται ιδιαίτερα διαφορετική συµπεριφορά µεταξύ των δυο προσοµοιωµάτων. Πράγµατι, το γραµµικό προσοµοίωµα παρουσιάζει σταθερό συντελεστή µεταβλητότητας σε όλο το πεδίο και µάλιστα ίσο µε το συντελεστή µεταβλητότητας της παραµέτρου θ 1 του διασπορογράµµατος. Πρόκειται, ουσιαστικά, για την περίπτωση που αναφέρθηκε ήδη στην ενότητα 5.4.2, όπου το διασπορόγραµµα διατηρεί τη µορφή του κατά την εισαγωγή των µετρητικών σφαλµάτων, εφόσον το φαινόµενο κόκκου θεωρήθηκε µηδενικό και µεταβάλλεται µόνο η παράµετρος θ 1. Κάτι αντίστοιχο δεν παρατηρείται στο Gaussian προσοµοίωµα, όπου συµµετέχουν δυο παράµετροι ταυτόχρονα (θ 1 & θ 2 ) και δεν υπάρχει γραµµική σχέση µεταξύ h & γ. Επίσης, το Gaussian προσοµοίωµα παρουσιάζει, κατά µέσο όρο, µεταβλητότητα στο πεδίο µεγαλύτερη από τη µεταβλητότητα της παραµέτρου θ 1, εξαιτίας της επιρροής και της µεταβλητότητας της παραµέτρου θ 2. Στα σχήµατα που ακολουθούν δίνονται οι µέσες τιµές, αυξάνοντας και µειώνοντας την τιµή τους κατά την τυπική απόκλιση της µετακίνησης και για τα δυο προσοµοιώµατα (γραµµικό και Gaussian), όπως αυτές προέκυψαν από τη γενικευµένη εφαρµογή της µεθόδου Monte Carlo, σε τρία σηµεία του πεδίου (Τ1, Τ2 και Τ3), τα οποία επιλέχτηκαν έτσι ώστε να βρίσκονται το πρώτο πολύ κοντά σε σηµείο µέτρησης, το δεύτερο ανάµεσα σε σηµεία µέτρησης και το τρίτο µακριά από αυτά (βλ. Σχ. 5.43). Επίσης, περιλαµβάνονται και οι εκτιµήσεις όταν τα σφάλµατα δε λαµβάνονται υπόψη (ανάλυση ΜC0) MC1 MC0 εκτίμηση μετακίνησης (mm) γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.51: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ1 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [188]

211 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 εκτίμηση μετακίνησης (mm) MC1 MC0 25 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.52: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ2 εκτίμηση μετακίνησης (mm) MC1 MC0 24 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.53: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ3 Παρατηρείται, αρχικά, ότι οι µέσες τιµές των µετακινήσεων από τις επαναλήψεις της γενικευµένης εφαρµογής MC1 βρίσκονται σε συµφωνία µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα της απλής ανάλυσης χωρίς θεώρηση σφάλµατος (MC0), αλλά παρουσιάζουν στην πλειοψηφία τους σηµαντική διασπορά. Η τυπική απόκλιση των εκτιµήσεων δεν επηρεάζεται σηµαντικά από το σηµείο ελέγχου που εξετάζεται στην περίπτωση του γραµµικού προσοµοιώµατος, αλλά κάτι τέτοιο δεν ισχύει στην περίπτωση του προσοµοιώµατος Gauss, όπου το πιο αποµακρυσµένο από τις µετρήσεις σηµείο παρουσιάζει και τη µεγαλύτερη τυπική απόκλιση. Αντίστοιχα, δίνονται και τα σχήµατα για το σφάλµα εκτίµησης MSE που προέκυψε από τις αναλύσεις MC1 για τα τρία σηµεία ελέγχου Τ1, Τ2 και Τ3 (Σχ. 5.54, Σχ και Σχ Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [189]

212 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 αντίστοιχα). Όσο αφορά τα αποτελέσµατα της MC1 ανάλυσης, οι µέσες τιµές προκύπτουν παραπλήσιες µε αυτές της ανάλυσης MC0. Και τα δύο διασπορογράµµατα παρουσιάζουν MSE που αυξάνεται καθώς το σηµείο ελέγχου αποµακρύνεται από τις θέσεις των µετρήσεων, δηλ. από το Τ1 προς το Τ3. Το Gaussian διασπορόγραµµα παρέχει µικρότερα σφάλµατα εκτίµησης στις µικρές αποστάσεις σε σχέση µε το γραµµικό (σηµεία ελέγχου Τ1 και Τ2), ενώ στις µεγάλες αποστάσεις (σηµείο ελέγχου Τ3) το σφάλµα του Gaussian προσοµοιώµατος είναι µεγαλύτερο, ακολουθώντας τις τιµές των διασπορογραµµάτων στις αντίστοιχες αποστάσεις. Π.χ. το σηµείο Τ1 ελέγχεται, κατά κύριο λόγο, από το σηµείο µέτρησης Ν4. Η απόσταση µεταξύ τους είναι µικρότερη των 2m και για h<=2m, η τιµή του γ Gaussian <<γ γραµµικό, µε αποτέλεσµα και MSE Gaussian <<MSE γραµµικό. Παρατηρείται, ωστόσο, τάση µείωσης του συντελεστή µεταβλητότητας του MSE καθώς τα σηµεία ελέγχου αποµακρύνονται από τις θέσεις µέτρησης MC1 MC0 MSE (mm^2) γραμμικό gaussian προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.54: Μεταβλητότητα MSE στο σηµείο ελέγχου Τ1 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [190]

213 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ MC1 MC0 MSE (mm^2) γραμμικό gaussian προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.55: Μεταβλητότητα MSE στο σηµείο ελέγχου Τ MC1 MC0 MSE (mm^2) γραμμικό gaussian προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.56: Μεταβλητότητα MSE στο σηµείο ελέγχου Τ3 Εφαρµογή τεχνικής Monte Carlo στη Σ2 MC2 Οι συντελεστές µεταβλητότητας των παραµέτρων και στα δυο προσοµοιώµατα είναι ιδιαίτερα χαµηλοί (Πίν. 5.19) µε εξαίρεση, ίσως, την παράµετρο θ 1 του Gaussian προσοµοιώµατος. Το διασπορόγραµµα επιδεικνύει, λοιπόν, πολύ µικρή µεταβλητότητα, στοιχείο που ενισχύει τη θεώρηση σταθερού διασπορογράµµατος. Για να διερευνηθεί αν η απλοποιητική παραδοχή στην εφαρµογή αυτή είναι βάσιµη, εφαρµόζεται η ανάλυση MC2 και τα αποτελέσµατά της συγκρίνονται µε αυτά της ανάλυσης MC1. Στο Σχ παρέχονται τα θηκογράµµατα των δυο προσοµοιωµάτων για το σύνολο του πεδίου που προκύπτουν από τις αναλύσεις MC1 & MC2. Γίνεται φανερό ότι, στην Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [191]

214 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 περίπτωση του γραµµικού προσοµοιώµατος, τα αποτελέσµατα των δυο αναλύσεων πρακτικά ταυτίζονται. Κάτι αντίστοιχο, όµως, δεν µπορεί να παρατηρηθεί στο Gaussian προσοµοίωµα, όπου η µεταβλητότητα των εκτιµήσεων έχει σηµαντικά συρρικνωθεί, εφόσον το πιο ευµετάβλητο Gaussian διασπορόγραµµα της ανάλυση MC1 µετατρέπεται σε µια σταθερή ποσότητα. Η διαφορά µεταξύ των αναλύσεων, αν και αισθητή στις µέσες τιµές, επικεντρώνεται ουσιαστικά στις µεγαλύτερες τιµές και οφείλεται στην παρεµπόδιση αλλαγής του εύρους του διασπορογράµµατος κατά την εφαρµογή της MC2. συντελεστής μεταβλητότητας εκτίμησης 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 MC1 MC2 0,0 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.57: Θηκόγραµµα συντελεστή µεταβλητότητας εκτίµησης στο εδίο - ανάλυση MC2 Η µεταβλητότητα των εκτιµήσεων στα τρία χαρακτηριστικά σηµεία Τ1, Τ2 και Τ3 δίνεται στα Σχ. 5.58, Σχ και Σχ αντίστοιχα. Και στα τρία αυτά σηµεία παρατηρείται ταύτιση των αποτελεσµάτων των δυο αναλύσεων και στα δυο προσοµοιώµατα, µε µια µικρή απόκλιση στην περίπτωση του Gaussian προσοµοιώµατος αναφορικά µε το σηµείο Τ3. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [192]

215 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 εκτίμηση μετακίνησης (mm) MC2 MC1 MC0 2 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.58: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ1 εκτίμηση μετακίνησης (mm) MC2 MC1 MC0 25 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.59: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ2 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [193]

216 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 εκτίμηση μετακίνησης (mm) MC2 MC1 MC0 24 γραμμικό gaussian 0 προσομοίωμα 0,5 προσομοίωμα 1 Σχ. 5.60: Μεταβλητότητα εκτίµησης στο σηµείο ελέγχου Τ3 Για να φανεί η κατανοµή των αποκλίσεων µεταξύ των δυο αναλύσεων στο πεδίο για το προσοµοίωµα Gauss, παρέχονται οι ακόλουθες τέσσερις κατόψεις του πεδίου, όπου αντίστοιχα δίνονται οι αποκλίσεις της ανάλυσης MC2 από την ανάλυση MC1 στα µεγέθη ž, var(ž), MSE & var(mse). Τα αποτελέσµατα που ακολουθούν αφορούν το προσοµοίωµα Gauss, εφόσον σε αυτό παρατηρούνται κάποιες αποκλίσεις µεταξύ των MC1 & MC2, σε αντίθεση µε το γραµµικό, που όπως προαναφέρθηκε, οι δυο αναλύσεις βρίσκονται σε συµφωνία. Α Σχ. 5.61: Α όκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στην εκτίµηση των µετακινήσεων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [194]

217 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.62: Α όκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στην τυ ική α όκλιση της εκτίµησης των µετακινήσεων Σχ. 5.63: Α όκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στο σφάλµα MSE Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [195]

218 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.64: Α όκλιση αναλύσεων MC2-MC1 στην τυ ική α όκλιση του σφάλµατος MSE Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η ανάλυση MC2 καταφέρνει να προσδιορίσει µε επιτυχία την εκτίµηση, τη διασπορά αυτής και το σφάλµα MSE στο µεγαλύτερο τµήµα του διερευνούµενου πεδίου. Περιορισµένες αποκλίσεις καταγράφονται περιφερειακά του καννάβου ανάλυσης και πιο συγκεκριµένα, στο κάτω αριστερά τµήµα του πεδίου (περιοχή Α στο Σχ. 5.61). Όσο αφορά την τυπική απόκλιση του MSE, οι διαφορές ανάµεσα στις δυο αναλύσεις είναι σηµαντικές, διότι η ανάλυση MC2 θεωρεί εξ ορισµού µηδενική διασπορά στο σφάλµα εκτίµησης, εφόσον το γ είναι σταθερό. Για να προσδιοριστεί η επιρροή του σφάλµατος στις αποκλίσεις µεταξύ των αναλύσεων MC1 και MC2, πραγµατοποιούνται άλλα δυο ζεύγη αναλύσεων MC1 & MC2 (µε ονοµασία 2σ και 3σ), λαµβάνοντας ως τυπική απόκλιση των µετρητικών σφαλµάτων τη διπλάσια και την τριπλάσια της προηγούµενης ανάλυσης. Οι αναλύσεις της MC2 βασίζονται στο σταθερό διασπορόγραµµα του Πίν. 5.18, ενώ από τις αναλύσεις της MC1 προέκυψε η µεταβλητότητα των παραµέτρων του γ που δίνονται στον Πίν. 5.20: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [196]

219 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Μέση τιµή (µ) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 1σ Gaussian 1556,87 31,94 (0) 2σ Gaussian 1699,66 32,69 (0) 3σ Gaussian 1758,46 32,34 (0) Τυπική απόκλιση (σ) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 1σ Gaussian 253,8 3,44 (0) 2σ Gaussian 564,3 6,63 (0) 3σ Gaussian 648,7 7,90 (0) Συντελεστής µεταβλητότητας (CV) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 1σ Gaussian 0,16 0,11-2σ Gaussian 0,33 0,20-3σ Gaussian 0,37 0,24 - Πίν. 5.20: Μεταβλητότητα διασ ορογράµµατος α ό την ανάλυση MC1 Παρατηρείται ότι οι µέσες τιµές των παραµέτρων του γ αυξάνονται λίγο καθώς αυξάνεται η διασπορά των µετρητικών σφαλµάτων, ενώ αυξάνεται αισθητά η τυπική απόκλιση των παραµέτρων. Επίσης, φαίνεται ότι η µεταβλητότητα των παραµέτρων του γ δεν ακολουθεί τη µεταβλητότητα των σφαλµάτων, εφόσον τριπλασιασµός του CV των σφαλµάτων δεν προκαλεί αντίστοιχη αύξηση του CV των παραµέτρων. Οι αποκλίσεις µεταξύ των MC1 & MC2, υιοθετώντας τρεις διαφορετικές τιµές για τα σφάλµατα µέτρησης, στην εκτίµηση της µεταβλητής ž και στην τυπική απόκλιση της εκτίµησης σ(ž) δίνονται στα Σχ και Σχ αντίστοιχα. Τα διαγράµµατα παρουσιάζουν τόσο τη µέση τιµή από όλα τα σηµεία ελέγχου του καννάβου ανάλυσης όσο και τη µέγιστη απόκλιση, που σύµφωνα µε τα Σχ και Σχ παρουσιάζεται στην περιοχή Α. απόκλιση εκτίμησης z (mm) μέση τιμή μέγιστη τιμή Μ.Ο. σ(ε) Σχ. 5.65: Α όκλιση µεταξύ των αναλύσεων MC1 & MC2 στην εκτίµηση της µετακίνησης Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [197]

220 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 απόκλιση σ(z) (mm) μέση τιμή 14 μέγιστη τιμή Μ.Ο. σ(ε) Σχ. 5.66: Α όκλιση µεταξύ των αναλύσεων MC1 & MC2 στην εκτίµηση της σ(ž) Καταρχήν, µε τα σφάλµατα µέτρησης που παρουσιάζει το σύστηµα ενοργάνωσης (ανάλυση 1σ), η απλοποιηµένη θεώρηση του σταθερού διασπορογράµµατος οδηγεί σε απόκλιση στην εκτίµηση των µετακινήσεων 0,28mm, κατά µέσο όρο στο πεδίο. Η τιµή αυτή αγγίζει τα 1,2mm, αν θεωρηθεί ότι οι µετρήσεις περιέχουν τριπλάσια σφάλµα από το αρχικό (ανάλυση 3σ). Οι αποκλίσεις και στα δυο µεγέθη ž & var(ž) µεταξύ των αναλύσεων MC1 & MC2 γίνονται πιο έντονες καθώς αυξάνεται η τυπική απόκλιση των µετρητικών σφαλµάτων, αποτέλεσµα που αναµενόταν, εφόσον η αύξηση των σφαλµάτων µέτρησης προκαλεί µεγαλύτερη διασπορά στις παραµέτρους του διασπορογράµµατος κι άρα εντείνει τη διαφορά µεταξύ του µεταβαλλόµενου γ της MC1 και της απλοποιηµένης παραδοχής του σταθερού γ στην ανάλυση MC2. Όσο αφορά τη µέση τιµή, η µεταβολή της εµφανίζει σχεδόν γραµµική σχέση µε την τυπική απόκλιση των σφαλµάτων. Η µέγιστη υπολογιζόµενη απόκλιση, αν και δεν παρουσιάζεται στο ίδιο σηµείο του καννάβου σε κάθε ανάλυση, παρατηρείται στην ίδια περιοχή Α. Η σχέση ανάµεσα στη µέγιστη απόκλιση στο πεδίο και την τυπική απόκλιση του µετρητικού σφάλµατος µπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί γραµµική, αλλά µε σαφώς πιο έντονη κλίση σε σχέση µε τη µέση τιµή. Κανονικοποιώντας τα αποτελέσµατα ως προς το µέσο όρο του σ(ε), προκύπτουν τα ακόλουθα σχήµατα: Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [198]

221 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 κανονικοποιημένη απόκλιση z 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 μέση τιμή μέγιστη τιμή Μ.Ο. σ(ε) Σχ. 5.67: Κανονικο οιηµένη α όκλιση ž κανονικοποιημένη απόκλιση σ(z) 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 μέση τιμή μέγιστη τιμή Μ.Ο. σ(ε) Σχ. 5.68: Κανονικο οιηµένη α όκλιση σ(ž) Όταν τα αποτελέσµατα κανονικοποιούνται, η µέση τιµή και η µέγιστη τιµή της απόκλισης ουσιαστικά παρουσιάζουν παρόµοια συµπεριφορά, αναδεικνύοντας ότι, για την παρούσα εφαρµογή, η περιοχή Α δεν αποτελεί µια τοπική ιδιαιτερότητα, µε την έννοια ότι τα σηµεία ελέγχου της περιοχής αυτής αντιδρούν µε διαφορετικό τρόπο στη µεταβλητότητα του γ. Πράγµατι, τόσο η µέση τιµή της απόκλισης όσο κι η µέγιστη αυτής φαίνεται, τηρουµένων των αναλογιών, να διατηρούν την ίδια συµπεριφορά καθώς µεταβάλλεται η σ(ε), κι εποµένως, η έντονη ανυπακοή στην απλοποιητική παραδοχή της σταθερότητας του διασπορογράµµατος που παρατηρείται στην περιοχή Α µπορεί να αποδοθεί στη διάταξη του συγκεκριµένου συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης και στην περιφερειακή της θέση. Συνεπώς, είναι απαραίτητη η επιλογή ενός κριτηρίου που θα καθορίζει αν η απλοποιητική παραδοχή της σταθερότητας του διασπορογράµµατος µπορεί να εφαρµοστεί. Το κριτήριο Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [199]

222 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 αυτό µπορεί να σχετίζεται είτε µε το σφάλµα των µετρήσεων, είτε µε τη διασπορά των παραµέτρων του διασπορογράµµατος είτε, τέλος, µε την απόκλιση µεταξύ των αποτελεσµάτων των αναλύσεων MC1 & MC2. Το πρώτο υποψήφιο κριτήριο, το οποίο σχετίζεται µε το σφάλµα των µετρήσεων, πλεονεκτεί έναντι των υπολοίπων επειδή είναι γνωστό χωρίς εκτενείς υπολογισµούς. Ωστόσο, οφείλει κανείς να αποφασίσει αν ως σφάλµα µετρήσεων θα ληφθεί η µέγιστη ή η µέση τιµή των σφαλµάτων των διαθέσιµων οργάνων κι επίσης, χρειάζεται να ληφθεί υπόψη ότι η επιρροή του κάθε µετρητικού σφάλµατος στην εκτίµηση της µεταβλητής στο πεδίο εξαρτάται, πέραν της διασποράς του, κι από τη θέση του κάθε οργάνου στο πεδίο. Για παράδειγµα, αν ένα όργανο µέτρησης παρουσιάζει µεγάλο µετρητικό σφάλµα, η επιρροή του στο διασπορόγραµµα µεταβάλλεται άρδην αν το όργανο αυτό βρίσκεται κοντά ή µακριά από τα υπόλοιπα όργανα µέτρησης. Η διασπορά των παραµέτρων του διασπορογράµµατος αποτελεί, επίσης, ένα σηµαντικό κριτήριο, εφόσον στοχεύει ακριβώς στην ουσία της παραδοχής. Πράγµατι, αν τα σφάλµατα µέτρησης είναι τέτοια που να προκαλούν µηδαµινές µεταβολές στο διασπορόγραµµα, εξυπακούεται ότι η παραδοχή της σταθερότητάς του είναι ισχυρή. Βέβαια, όπως φάνηκε και από την εφαρµογή στην κατολίσθηση Σ2, η θεώρηση σταθερού γ επηρεάζει σε διαφορετικό βαθµό τις εκτιµήσεις ανάλογα µε τη θέση του οργάνου µέτρησης στο πεδίο. Στην ανάλυση 1σ, η απόκλιση των εκτιµήσεων µεταξύ των αναλύσεων MC1 & MC2 ήταν µικρότερη του 1mm στο 94% των σηµείων ελέγχου, ενώ στην περιοχή Α παρατηρήθηκαν αποκλίσεις που έφτασαν τα 1,8mm. Επίσης, ο υπολογισµός της µεταβλητότητας του διασπορογράµµατος λόγω των µετρητικών σφαλµάτων προϋποθέτει τον προσδιορισµό k φορές του διασπορογράµµατος, κι άρα ο µεγαλύτερος όγκος των υπολογισµών που απαιτείται για την ανάλυση MC1 έχει πραγµατοποιηθεί, καθιστώντας την απλοποιητική παραδοχή µη σκόπιµη. Για την υπερπήδηση αυτού του προβλήµατος, µπορεί να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος σηµειακής εκτίµησης 2Κ+1 (Rosenblueth, 1975). Σύµφωνα µε αυτήν, υπολογίζεται η µέση τιµή κι ο συντελεστής µεταβλητότητας των παραµέτρων του διασπορογράµµατος, πραγµατοποιώντας 2n+1 αναλύσεις, όπου n ο αριθµός των διαθέσιµων µετρήσεων. Συνοπτικά, η µέθοδος συνίσταται στην εκτίµηση της παραµέτρου y o - χρησιµοποιώντας τη µέση τιµή των µετρήσεων και στην εκτίµηση της παραµέτρου y i+ /y i του γ, αυξάνοντας ή µειώνοντας τη µέση τιµή της i-οστής µέτρησης κατά σ(s i ) αντίστοιχα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [200]

223 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 και διατηρώντας τις υπόλοιπες µετρήσεις σταθερές. Άρα, για κάθε µία µέτρηση i εκτιµώνται οι ποσότητες: y = y+ +y i ī i 2 Εξ.: 5.25 V yi = y+ - y i ī y + Εξ.: 5.26 i +y ī και τελικά η µέση τιµή Υ και ο συντελεστής µεταβλητότητας CV της κάθε παραµέτρου του διασπορογράµµατος δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: n Υ=y o y i y o i=1 Εξ.: 5.27 n 2 ) CV= (1+V yi -1 Εξ.: 5.28 i=1 Οι παραπάνω σχέσεις εφαρµόζονται για ανεξάρτητες µεταβλητές, γεγονός που ισχύει σύµφωνα µε τις θεωρήσεις σχετικά µε τα σφάλµατα στην αρχή της ενότητας. Η µεταβλητότητα των παραµέτρων των διασπορογραµµάτων που προκύπτουν από την εφαρµογή της µεθόδου σηµειακής εκτίµησης 2Κ+1 δίνονται στον Πίν Μέση τιµή (µ) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 21,00 (0) - 4β Gaussian 1556,87 31,94 (0) Τυπική απόκλιση (σ) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 1,03 (0) - 4β Gaussian 253,83 3,44 (0) Συντελεστής µεταβλητότητας (CV) Ονοµασία Προσοµοίωµα θ 1 θ 2 θ 3 4α γραµµικό 0,05 (0) - 4β Gaussian 0,16 0,11 (0) Πίν. 5.21: Μεταβλητότητα διασ ορογράµµατος α ό µέθοδο Rosenblueth Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [201]

224 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Παρατηρείται ότι τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη µέθοδο Rosenblueth (Πίν. 5.21) βρίσκονται σε συµφωνία µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα από τη µεθοδολογία MC1 (Πίν. 5.19). Επιστρέφοντας στο ζήτηµα του κριτηρίου, ο πιο ασφαλής τρόπος για να κριθεί η δυνατότητα της απλοποίησης είναι από το παραγόµενο αποτέλεσµα, δηλαδή µέσω των αποκλίσεων των αναλύσεων MC1 & MC2. Για το συγκεκριµένο κριτήριο χρειάζεται να επιλεγεί το µέγεθος (ž, var(ž), MSE ή var(mse)) και το σηµείο ελέγχου (µέσος όρος όλων των σηµείων ελέγχου στο πεδίο, σηµείο µε τη µέγιστη απόκλιση) στο οποίο αναφέρεται, ανάλογα µε τις απαιτήσεις του µελετητή. Στην περίπτωση που το κύριο µέληµα είναι η εκτίµηση των µετακινήσεων στο πεδίο, τότε αυτού του µεγέθους η απόκλιση ελέγχεται. Όταν πρόκειται να οριστούν οι βέλτιστες θέσεις για την προσθήκη ή αφαίρεση οργάνων µέτρησης, τότε καθοριστικός παράγοντας είναι η κατανοµή στο πεδίο των µεγεθών var(ž) & MSE, κι άρα προσοχή χρειάζεται να δοθεί στις αποκλίσεις ανάµεσα στις αναλύσεις αυτών των µεγεθών. Όσο αφορά το σηµείο ελέγχου, ο µελετητής µπορεί να κρίνει την παραδοχή σταθερού διασπορογράµµατος χρησιµοποιώντας τόσο το µέσο όρο των αποκλίσεων στο πεδίο όσο και τη µέγιστη απόκλιση. Όµως, το κριτήριο αυτό προϋποθέτει την πραγµατοποίηση των χρονοβόρων υπολογισµών της ανάλυσης MC1. Καταληκτικά, ως κριτήριο για την απλοποιητική παραδοχή της σταθερότητας του διασπορογράµµατος προτείνεται ο συντελεστής µεταβλητότητας CV θ των παραµέτρων του διασπορογράµµατος, επειδή ο CV θ είναι µια παράµετρος που σχετίζεται µε όλο το πεδίο κι επειδή η µεταβλητότητα του διασπορογράµµατος αφορά αυτήν καθ εαυτήν την απλοποιητική παραδοχή. Επιπροσθέτως, η εκτίµηση του CV θ, µέσω της µεθόδου σηµειακής εκτίµησης, µπορεί να πραγµατοποιηθεί χωρίς σηµαντικό υπολογιστικό κόστος. Συνεπώς, αν ο συντελεστής µεταβλητότητας των παραµέτρων του διασπορογράµµατος παρουσιάζει µικρή τιµή, τότε το διασπορόγραµµα δεν επηρεάζεται σηµαντικά από τις διακυµάνσεις των µετρήσεων λόγω των σφαλµάτων κι άρα µπορεί απλοποιητικά να θεωρηθεί σταθερό, οδηγώντας σε ουσιαστική µείωση του απαιτούµενου χρόνου για την εκτέλεση των υπολογισµών. Υ ολογισµός µετακίνησης στη θέση x του νέου κλισιοµέτρου Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [202]

225 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Επιστρέφοντας στο ζήτηµα της εκτίµησης της µετακίνησης στη θέση x που πρόκειται να τοποθετηθεί το νέο κλισιόµετρο, προκύπτουν από τις αναλύσεις που προηγήθηκαν τα ακόλουθα αποτελέσµατα: γραµµικό προσοµοίωµα Ανάλυση εκτίµηση µετακίνησης (mm) 6 MSE (mm 2 ) σ(ž) (mm) σ(mse) (mm 2 ) MC0 46,12 423, MC1 46,13 428,56 1,28 20,74 MC2 46,12 423,66 1,28 0 Gaussian προσοµοίωµα Ανάλυση εκτίµηση µετακίνησης (mm) MSE (mm 2 ) σ(ž) (mm) σ(mse) (mm 2 ) MC0 28,78 412, MC1 28,62 412,25 3,60 78,16 MC2 28,78 412,55 2,57 0 Πίν. 5.22: Εκτίµηση και σφάλµα εκτίµησης µετακίνησης και διασ ορές τους στη θέση x στις 16/03/07 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι οι εκτιµώµενες µετακινήσεις στη θέση x επηρεάζονται σηµαντικά από το επιλεγόµενο προσοµοίωµα. Επίσης, οι αναλύσεις MC1 & MC2 βρίσκονται σε πλήρη συµφωνία στο γραµµικό προσοµοίωµα, ενώ µικρές αποκλίσεις παρατηρούνται στην εκτίµηση της σ(ž) όταν υιοθετηθεί το Gaussian προσοµοίωµα. Άλλωστε η θέση x βρίσκεται κοντά στην περιοχή Α µε τις πιο έντονες διαφορές ανάµεσα στις αναλύσεις MC2-MC1. Σε κάθε περίπτωση, η θεώρηση σταθερού διασπορογράµµατος στην MC2 οδηγεί σε µηδενική τυπική απόκλιση του MSE, στοιχείο που δε συµβαίνει στην ανάλυση MC Βελτιστο οίηση διάταξης στη Σ2 µε διαφορετικά µετρητικά σφάλµατα Στην παρούσα ενότητα πρόκειται να υπολογιστούν, για την περίπτωση και των δυο προσοµοιωµάτων γραµµικού και Gaussian οι βέλτιστες θέσεις για την τοποθέτηση πέντε επιπλέον σηµείων µέτρησης στην κατολίσθηση Σ2. Η επίλυση αφορά την περίπτωση όπου τα σφάλµατα µέτρησης δε λαµβάνονται υπ όψη (ανάλυση 4α) και την περίπτωση που λαµβάνονται υπ όψη (ανάλυση 4β). Ως υποψήφιες θέσεις για την τοποθέτηση των νέων οργάνων µέτρησης έχουν οριστεί τα σηµεία ελέγχου του καννάβου ανάλυσης (βλ. Σχ. 5.43). Οι θέσεις του πεδίου όπου υπολογίζεται το συνολικό σφάλµα Ε ταυτίζονται µε τα σηµεία ελέγχου. Για την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους, η οποία αφορά τον περιορισµό 6 Η εκτίµηση της µετακίνησης στον παρόν πίνακα δεν πρέπει να συγκρίνεται µε τις εκτιµήσεις σε προηγούµενα κεφάλαια της διατριβής διότι αφορά µετακινήσεις που αναπτύχθηκαν σε διαφορετικά χρονικά διαστήµατα. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [203]

226 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 του συνολικού σφάλµατος Ε στο πεδίο, χρησιµοποιήθηκε ο αλγόριθµος προσοµοίωσης ανόπτησης µε παραµέτρους τις προκαθορισµένες τιµές που παρέχει το λογισµικό (βλ. Παράρτηµα 3.Α) Αρχικά, παρέχονται για τα δυο προσοµοιώµατα οι χάρτες της διασποράς της εκτίµησης var(ž) και του σφάλµατος εκτίµησης (MSE) στο πεδίο από την ανάλυση MC2, ώστε να φανεί η κατανοµή του κάθε µεγέθους στο χώρο. Η var(ž) στο γραµµικό προσοµοίωµα διατηρεί χαµηλές τιµές σε όλο το επίπεδο (<4,8mm 2 ), ενώ στο Gaussian προσοµοίωµα, παρόλες τις µικρές τιµές στο µεγαλύτερο τµήµα του πεδίου, παρατηρούνται σαφώς πιο υψηλές τιµές (έως 23,2mm 2 ) στο άνω δεξιά µέρος του καννάβου ανάλυσης. Σχετικά µε το σφάλµα εκτίµησης, στην περίπτωση του γραµµικού προσοµοιώµατος αναπτύσσεται σχεδόν γραµµικά µε την απόσταση από τα σηµεία µέτρησης, φτάνοντας τιµές περίπου έως 1600mm 2. Στο Gaussian προσοµοίωµα, οι περιοχές κοντά στις µετρήσεις διατηρούν πολύ χαµηλό MSE, το οποίο αυξάνει απότοµα στις θέσεις που απέχουν αρκετά από τις µετρήσεις, όπως στην περιφέρεια του καννάβου (MSE 1650mm 2 ). Σχ. 5.69: ιασ ορά εκτίµησης ž γραµµικό ροσοµοίωµα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [204]

227 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.70: ιασ ορά εκτίµησης ž Gaussian ροσοµοίωµα Σχ. 5.71: Σφάλµα εκτίµησης MSE γραµµικό ροσοµοίωµα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [205]

228 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.72: Σφάλµα εκτίµησης MSE Gaussian ροσοµοίωµα Στο σχήµα που ακολουθεί φαίνονται οι βέλτιστες θέσεις για την τοποθέτηση πέντε νέων οργάνων µέτρησης, θεωρώντας γραµµικό ή Gaussian προσοµοίωµα και λαµβάνοντας υπ όψη ή όχι τα µετρητικά σφάλµατα. Γενικά, παρατηρείται η τάση να επιλέγονται θέσεις στην περιφέρεια του καννάβου ανάλυσης, όπου το σφάλµα εκτίµησης είναι ιδιαίτερα υψηλό. Στην ανάλυση 4α µε το γραµµικό προσοµοίωµα, βαρύτητα δίνεται στο κάτω αριστερά τµήµα του καννάβου, εφόσον τα τέσσερα από τα πέντε νέα όργανα τοποθετούνται σε αυτήν την περιοχή. Η βέλτιστη θέση του πέµπτου οργάνου µέτρησης βρίσκεται στην άνω δεξιά περιοχή. Συνεπώς, οι βέλτιστες θέσεις ταυτίζονται µε τις περιοχές που εµφανίζουν µεγάλο σφάλµα µέτρησης (Σχ. 5.71). Λαµβάνοντας υπ όψη τα σφάλµατα µέτρησης, οι θέσεις ανακατανέµονται. Πράγµατι, σηµεία µέτρησης µετακινούνται από την κάτω αριστερά περιοχή προς τη δεξιά άνω και κάτω για να εξισορροπήσουν την προσθήκη της var(ž) στο συνολικό σφάλµα του πεδίου Ε. Για την ανάλυση 4α µε το Gaussian προσοµοίωµα, οι επιλογές κινούνται στην περιφέρεια του καννάβου, συµβαδίζοντας µε τις περιοχές υψηλών σφαλµάτων εκτίµησης. Όταν το µετρητικό σφάλµα υπεισέρχεται στην ανάλυση, τότε οι βέλτιστες θέσεις επικεντρώνονται περισσότερο στην πάνω δεξιά περιοχή του καννάβου, όπου, εκτός από υψηλές τιµές MSE, εµφανίζεται και µεγάλη διασπορά λόγω µετρητικών σφαλµάτων. Συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα µεταξύ του γραµµικού και του Gaussian προσοµοιώµατος, φαίνεται ότι και στις δυο αναλύσεις 4α και 4β, η επίλυση µε το Gaussian Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [206]

229 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 προσδίδει µεγαλύτερη βαρύτητα στην άνω δεξιά περιοχή του καννάβου, λόγω των υψηλότερων τιµών που παρουσιάζουν στην περιοχή αυτή τόσο το σφάλµα εκτίµησης MSE όσο κι η var(ž). B γραµµικό προσοµοίωµα - χωρίς σφάλµα µέτρησης γραµµικό προσοµοίωµα - µε σφάλµα µέτρησης gaussian προσοµοίωµα - χωρίς σφάλµα µέτρησης gaussian προσοµοίωµα - µε σφάλµα µέτρησης 7N R1 S1 S3 S4 1N 2N 3N 4N S5 S6 5N A N 17 17A 18 6N Σχ. 5.73: Βέλτιστες θέσεις το οθέτησης οργάνων µέτρησης Ακολούθως, παραθέτονται ενδεικτικά οι χάρτες µε το συνολικό σφάλµα στο πεδίο πριν και µετά την τοποθέτηση των νέων οργάνων στην ανάλυση 4β για το Gaussian προσοµοίωµα, όπου φανερώνεται η ουσιαστική συµβολή των νέων οργάνων στον περιορισµό του συνολικού σφάλµατος. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [207]

230 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 Σχ. 5.74: Συνολικό σφάλµα Ε ριν την το οθέτηση των νέων οργάνων ανάλυση 4β, Gaussian ροσοµοίωµα Σχ. 5.75: Συνολικό σφάλµα Ε µετά την το οθέτηση των νέων οργάνων ανάλυση 4β, Gaussian ροσοµοίωµα Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [208]

231 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ Συµ εράσµατα Το παρόν υπο-κεφάλαιο αφορά το θέµα της διαφορετικής διασποράς των τυχαίων σφαλµάτων µέτρησης για την καταγραφή του ίδιου µεγέθους, που απαντάται συχνά στα γεωτεχνικά προβλήµατα, δεδοµένης της υιοθέτησης διαφορετικών µεθόδων ή οργάνων. Στη διεθνή βιβλιογραφία ο συνυπολογισµός των διαφορετικών σφαλµάτων στη γεωστατιστική ανάλυση πραγµατοποιείται είτε σύµφωνα µε τις αναφορές των Krajewski (1987), Todini (2001) και Abbaspour et al. (1998) - τα προβλήµατα στην εφαρµογή των οποίων αναλύονται στην ενότητα είτε µε την υιοθέτηση της τεχνικής Monte Carlo. Η υιοθέτηση της τεχνικής Monte Carlo στη γεωστατιστική ανάλυση στη γενική της µορφή (MC1) παρουσιάζεται αναλυτικά κι εφαρµόζεται στην κατολίσθηση Σ2. Παρατηρούνται, στην πλειοψηφία των σηµείων ελέγχου, χαµηλοί συντελεστές µεταβλητότητας της εκτίµησης της z (CV<0,2) και ακόµα µικρότεροι για το MSE, στην περίπτωση του γραµµικού προσοµοιώµατος. Η επιρροή των µετρητικών σφαλµάτων γίνεται πιο έντονη όταν χρησιµοποιείται το Gaussian προσοµοίωµα τόσο στην εκτίµηση της z (CV z =0,34 στο 75% των σηµείων ελέγχου) όσο και στο σφάλµα MSE (CV MSE =0,28 στο 75% των σηµείων ελέγχου). Η µικρή µεταβλητότητα των παραµέτρων του διασπορογράµµατος στα τυχαία µετρητικά σφάλµατα σε συνδυασµό µε το µεγάλο υπολογιστικό κόστος της MC1, οδηγεί στην ανάπτυξη της απλοποιηµένης µορφής της τεχνικής Monte Carlo (MC2), η οποία στηρίζεται στην παραδοχή ότι το διασπορόγραµµα διατηρείται σταθερό κατά τις Monte Carlo επαναλήψεις κι ίσο µε το διασπορόγραµµα που αντιστοιχεί σε µηδενικά µετρητικά σφάλµατα (ανάλυση MC0). Σύµφωνα µε την παραδοχή της νέας µεθοδολογίας MC2, απλοποιούνται οι εξισώσεις της MC1, οδηγώντας στο συµπέρασµα ότι η εκτίµηση της µεταβλητής z και του σφάλµατος εκτίµησης MSE ισούνται µε τα αντίστοιχα µεγέθη από την ανάλυση MC0. Όσο αφορά τη διασπορά της εκτίµησης, µπορεί να υπολογιστεί άµεσα, χωρίς την απαίτηση πολλαπλών επαναλήψεων, σύµφωνα µε την Εξ που αναπτύχθηκε. Συνεπώς, η µεθοδολογία MC2, που στηρίζεται στην παραδοχή σταθερού διασπορογράµµατος κατά τις Monte Carlo αναλύσεις, βασίζει τα αποτελέσµατά της σε µόνο µία γεωστατιστική επίλυση, καταργώντας την απαίτηση για χρονοβόρες πολλαπλές επαναλήψεις. Ωστόσο, η MC2 αδυνατεί να Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [209]

232 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 εκτιµήσει τη διασπορά του MSE, εφόσον, λόγω της θεώρησης σταθερού γ, η διασπορά του MSE προκύπτει µηδενική. Η µέθοδος εφαρµόζεται στην κατολίσθηση Σ2 και για να κριθεί η αποτελεσµατικότητά της, τα αποτελέσµατά της συγκρίνονται µε αυτά της µεθόδου MC1. Βασιζόµενοι στην εφαρµογή τους στην κατολίσθηση Σ2, συµπεραίνεται ότι η MC2 κατορθώνει να εκτιµήσει µε ακρίβεια τα µεγέθη ž, var(ž) και MSE στην πλειονότητα των σηµείων του πεδίου. Περιορισµένες αποκλίσεις παρατηρούνται σε µια συγκεκριµένη περιοχή (περιοχή Α του Σχ. 5.61) στην περιφέρεια του καννάβου ανάλυσης. Περαιτέρω συσχετίσεις µεταξύ της µέσης τιµής των αποκλίσεων στο πεδίο και της µέγιστης παρατηρούµενης απόκλισης ανέδειξαν ότι η απόκλιση από την απλοποιητική παραδοχή της σταθερότητας του διασπορογράµµατος που παρατηρείται στην περιοχή Α µπορεί να αποδοθεί στη διάταξη του συγκεκριµένου συστήµατος ενόργανης παρακολούθησης κι όχι σε τοπικές ανωµαλίες. Συµπερασµατικά, τα αποτελέσµατα της νέας απλοποιηµένης µεθόδου βρίσκονται σε συµφωνία µε αυτά της γενικευµένης εφαρµογής της Monte Carlo όσο αφορά τα µεγέθη ž, var(ž) και MSE στο µεγαλύτερο µέρος του πεδίου. Ωστόσο, αναπόφευκτα προκύπτει µηδενική διασπορά του MSE λόγω της θεώρησης σταθερού γ, η οποία αποκλίνει σηµαντικά από αυτήν που προκύπτει από την MC1 (βλ. Σχ. 5.64). Βέβαια, αξίζει να τονιστεί ότι συνήθως απαιτείται η εκτίµηση ž και το άθροισµα των MSE και var(ž), που αποτελεί το µέτρο της αβεβαιότητας της εκτίµησης. Η µεταβλητότητα του MSE λόγω των µετρητικών σφαλµάτων, που εκφράζεται µε την ποσότητα var(mse), αποτελεί παράµετρο δευτερευούσης σηµασίας κι εποµένως, η αδυναµία εκτίµησής του εφαρµόζοντας τη MC2 είναι ένα σφάλµα που µπορεί κανείς να αποδεχτεί επωφελούµενος από την ταχύτητα της ανάλυσης που προσφέρει η MC2. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι για τη συγκεκριµένη εφαρµογή της Σ2, όπου η δοµική ανάλυση περιλαµβάνει την εκτίµηση δυο παραµέτρων του Gaussian προσοµοιώµατος (θεωρήθηκε ne=0) µε τη µέθοδο RML µε ανάλυση 35x35 (βλ. Παράρτηµα 3.Α) κι ο κάνναβος αποτελείται από 607 σηµεία ελέγχου, η επίλυση µε επαναλήψεις απαιτεί φορές περισσότερο χρόνο επεξεργασίας από τον απαιτούµενο για την MC2. Για την ολοκλήρωση της µεθοδολογίας, απαιτείται ένα κριτήριο για την αποδοχή ή µη της παραδοχής σταθερού διασπορογράµµατος. Για το λόγο αυτό, ορίζονται τα υποψήφια κριτήρια (διασπορά µετρητικού σφάλµατος, µεταβλητότητα παραµέτρων Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [210]

233 Κεφάλαιο 5: Εφαρµογή γεωστατιστικής στην κατολίσθηση Σ2 διασπορογράµµατος, απόκλιση αναλύσεων MC1 & MC2) κι ελέγχονται στη διάταξη ενοργάνωσης της κατολίσθησης Σ2. Κρίνοντας από την ευχέρεια υπολογισµού των παραµέτρων που υπεισέρχονται στο κάθε κριτήριο και την αποτελεσµατικότητα των κριτηρίων στην παρούσα εφαρµογή, προτείνεται η µεταβλητότητα των παραµέτρων του διασπορογράµµατος ως το πιο κατάλληλο κριτήριο. Όσο αφορά στη βελτιστοποίηση της διάταξης της ενόργανης παρακολούθησης, µε την εισαγωγή των σφαλµάτων µέτρησης στην ανάλυση, δε χρησιµοποιείται πλέον στη συνάρτηση κόστους το σφάλµα εκτίµησης MSE, αλλά το άθροισµα του MSE µε τη διασπορά της εκτίµησης της µεταβλητής var(ž), εφόσον η αβεβαιότητα στο πεδίο πηγάζει και από τη στοχαστική φύση της µεταβλητής (MSE) και από τα σφάλµατα µέτρησης (var(ž)). Εφαρµόζοντας την απλοποιητική παραδοχή της σταθερότητας του διασπορογράµµατος και µε γνώµονα τις εξισώσεις του Rouhani (1985) προκύπτει η σχέση που προσδιορίζει τη µεταβολή της var(ž) λόγω της τοποθέτησης ενός νέου σηµείου µέτρησης στο πεδίο, χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα από την αρχική διάταξη της ενοργάνωσης (Εξ. 5.22). Η σχέση αυτή απλοποιεί ιδιαίτερα τους υπολογισµούς που απαιτούνται για την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους µέσω του αλγόριθµου προσοµοίωσης ανόπτησης. Με τη βοήθεια της Εξ. 5.22, εκτιµώνται στη συγκεκριµένη εφαρµογή οι βέλτιστες θέσεις για την τοποθέτηση πέντε νέων οργάνων. Αν κι η αβεβαιότητα στην εκτίµηση της z στη Σ2 οφείλεται κατά κύριο λόγο στη µεταβλητότητά της στο χώρο παρά στα σφάλµατα µέτρησης, όπως φανερώνουν οι ιδιαίτερα χαµηλές τιµές του Ε MC σε σχέση µε το σφάλµα εκτίµησης MSE, η προσθήκη των Ε MC στη συνάρτηση κόστους είναι ικανή για να ανακατανείµει τις θέσεις τοποθέτησης νέων οργάνων και στα δυο προσοµοιώµατα που χρησιµοποιήθηκαν. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [211]

234 Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [212]

235 When a train goes through a tunnel and it gets dark, you don't throw away the ticket and jump off. You sit still and trust the enginee. Corrie Ten Boom Κεφάλαιο 6: Εφαρµογή γεωστατιστικής σε άλλα γεωτεχνικά ζητήµατα Οι επεκτάσεις της θεωρίας, όπως αναπτύχθηκαν και περιγράφηκαν στο προηγούµενο κεφάλαιο, εφαρµόζονται στο παρόν κεφάλαιο και σε περιπτώσεις πέραν της κατολίσθησης Σ2. Η πρώτη εφαρµογή αφορά µετρήσεις από ένα πυκνό δίκτυο χωροστάθµησης κατά την εκσκαφή για την κατασκευή του σταθµού Αγία Παρασκευή του Μετρό Αθήνας. Στην εφαρµογή αυτή αναζητείται η βέλτιστη επιλογή ακίδων προς αφαίρεση ανάλογα µε τα κριτήρια που επιλέγονται. Η δεύτερη εφαρµογή αφορά µετρήσεις οριζόντιων µετακινήσεων του εδάφους στην κατολίσθηση Jinnosuke-dani στην Ιαπωνία και διερευνάται η επιρροή της ακρίβειας του οργάνου µέτρησης στον προσδιορισµό της βέλτιστης θέσης για την τοποθέτησή του. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [213]

236 6.1 Σταθµός Αγία Παρασκευή του Μετρό Αθήνας Περιοχή µελέτης Το έργο αφορά την κατασκευή του σταθµού Αγία Παρασκευή του Μετρό Αθήνας. Πρόκειται για µια βαθιά εκσκαφή µε διαστάσεις κάτοψης 26x110m περίπου και βάθους 24m, εντός Τεταρτογενών αποθέσεων που συνίστανται σε αργίλους, αµµώδεις αργίλους και αµµώδεις αργίλους µε χάλικες. Η κάτοψη του σταθµού δίνεται στο Σχ. 6.1, όπου διακρίνονται, µεταξύ άλλων, η υπόγεια σήραγγα πρόσβασης και η είσοδος των επιβατών στη νότια πλευρά του σταθµού, τα κτίρια περιµετρικά του έργου και το ήδη κατασκευασµένο φρέαρ εξαερισµού στη βόρεια πλευρά του σταθµού. Το συγκεκριµένο έργο παρουσιάζει την ιδιαιτερότητα ότι µέρος της εκσκαφής πραγµατοποιείται καθώς ο συρµός του µετρό βρίσκεται σε λειτουργία. Για το λόγο αυτό, υιοθετήθηκε µια πιο πυκνή διάταξη ενόργανης παρακολούθησης, που περιλαµβάνει πλήθος αυτοµατοποιηµένων και µη οργάνων µέτρησης και τοπογραφικές µεθόδους. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στη χωροστάθµηση του έργου, η οποία περιλαµβάνει την καταγραφή, σχεδόν σε καθηµερινή βάση, των κατακόρυφων µετακινήσεων σε 135 σηµεία (ακίδες) περιµετρικά του σταθµού. Η θέση των ακίδων κι η αρίθµησή τους φαίνεται στο Σχ Σχ. 6.1: Κάτοψη σταθµού Αγία Παρασκευή Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [214]

237 Η εργασία αναφέρεται στις κατακόρυφες µετακινήσεις που αναπτύχθηκαν κατά το χρονικό διάστηµα από 13/02/09 έως τις 09/05/09, δηλ. από την έναρξη εκσκαφής του πρίσµατος που δηµιουργήθηκε γύρω από την σε λειτουργία σήραγγα του µετρό έως την ολοκλήρωση των εκσκαφών και της σκυροδέτησης του πυθµένα του σταθµού. Το εν λόγω πρίσµα παρουσιάζεται στη Φωτ Η εφαρµογή που ακολουθεί δε λαµβάνει υπόψη τις 59 ακίδες που βρίσκονται στο νότιο τµήµα του σταθµού, διότι θεωρείται ότι οι µετρήσεις τους επηρεάζονται από την εκσκαφή της σήραγγας πρόσβασης της νότιας εισόδου. Άλλωστε υπάρχει πληθώρα ακίδων - 76 στο σύνολο - στο υπόλοιπο τµήµα του έργου. Στις 09/05/09 καταγράφηκαν οι κατακόρυφες µετακινήσεις σε 42 σηµεία. Στο Σχ. 6.2 δίνονται οι µετακινήσεις αυτές (οι θετικές τιµές αφορούν καθιζήσεις) εντός του προαναφερόµενου χρονικού διαστήµατος. Φωτ. 6.1: Ά οψη ρίσµατος (λήψη α ό Βορρά) Κατακόρυφη µετακίνηση (mm) 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1, ,0-1,0 06/02/09 16/02/09 26/02/09 08/03/09 18/03/09 28/03/09 07/04/09 17/04/09 27/04/09 07/05/09 17/05/09 Ηµεροµηνία Σχ. 6.2: Κατακόρυφες µετακινήσεις εδάφους στο χρονικό διάστηµα 13/02/09-09/05/09. Στέλλα Αρναούτη ιδακτορική ιατριβή [215]