Ταλαντώσεις Αρμονική κίνηση, θέση

Transcript

1 1/13 ΣτησυζήτησηγιαταΔιαγράμματα Ενέργειας και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης που προκύπτουν από αυτά, είχαμε δει ότι για μικρές αποκλίσεις από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας ενός σώματος που εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση, το σώμα τείνει να επανέλθει σε αυτήν και τελικά εκτελεί μία φραγμένη και περιοδική κίνηση γύρω από τη θέση αυτή. Γενικά κάθε σύστημα του οποίου η ισορροπία διαταράσσεται «λίγο» οδηγείται σε μία τέτοια περιοδική «κίνηση». Φαινόμενα του είδους αυτού είναι πολύ συχνά στη Φύση και ονομάζονται ταλαντώσεις, όπως ένα βάρος στην άκρη ελατηρίου, των ατόμων ενός μορίου, ενός διαπασών που πάλλεται, του ρεύματος σε μία κεραία αλλά και των διακυμάνσεων στα χρηματοοικονομικά συστήματα ή τον πληθυσμό κ.τ.λ. Όλες οι περιοδικές κινήσεις μπορούν γενικά να περιγραφούν ως μία επαλληλία λί κινήσεων ημιτονοειδούς μορφής με δεδομένες συχνότητες, και πλάτη (μετασχηματισμός Furier), τις αρμονικές ταλαντώσεις. Η μελέτη των αρμονικών ταλαντώσεων είναι λοιπόν στη βάση της κατανόησης ης όλων των περιοδικών κινήσεων στη Φύση, και φυσικά του σημαντικότατου Κεφαλαίου της διάδοσή τους (Κύματα).

2 Αρμονική κίνηση, θέση /13 Θεωρούμε μονοδιάστατη αρμονική κίνηση στον άξονα x γύρω από την αρχή του: πλάτος (συχνότητα (=π/τ) αρχική φάση x=asin(ωt+a) = Bsin(ωt) +Ccs(ωt) φάση x 1 Αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και αρχικής φάσης a είναι ισοδύναμη με την επαλληλία δύο αρμονικών ταλαντώσεων sin και cs ίδιας συχνότητας και με πλάτη Β=Α csa και C=A sina. περίοδος Τ t -0.5 Α=1 1, Τ=3 3, a=π/8-1

3 Αρμονική κίνηση ταχύτητα, επιτάχυνση, Δ.Ε. κίνησης 3/13 x=a sin(ωt+a) = Bsin(ωt) +C cs(ωt) dx d(a sin(ωt+a)) d(sin(ωt)) d(cs(ωt)) υ= =B +C dt dt dt dt υ=a ωcs(ωt+a)= Bωcs(ωt) Cωsin(ωt) dυ dx a= =-A ω sin(ωt+a)= Bω sin(ωt)- Cω cs(ωt) dt dt A i ( t+ ) B i ( t) C ( t) dx dx Διαφορική εξίσωση -ω x ω x=0 dt dt Διαφορική εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης Αντίστροφα,, οποιαδήποτε κίνηση ηπεριγράφεται ργρ τελικά από Δ.Ε. της παραπάνω μορφής περιγράφει αρμονική ταλάντωση με συχνότητα την ρίζα του συντελεστή του x. Λύσεις της είναι οι παραπάνω συναρτήσεις για τα x και υ με πλάτος Α και αρχική φάση a (ή πλάτηb και C) που προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες (για t=0, x=x αρχ., υ=υ αρχ. )

4 l, πηγή: wiipedia Ταλαντώσεις Αρμονική κίνηση ελατήριο Η Δ.Ε. της μονοδιάστατης κίνησης ενός σώματος μάζας συνδεδεμένου με ελατήριο φυσικού μήκους ελατηρίου l 0 και σταθεράς, γύρω από το θέση ισορροπίας του είναι: dp dx - (x- l) - (x- l) dt dt dx X=0, X= x-l l dt Η κίνηση είναι λοιπόν αρμονική ταλάντωση με συχνότητα Ηθέσηκαι ηταχύτηταθαδίδονται από τις σχέσεις: ω= X=A sin(ωt+a) 4/13 υ=a ωcs(ωt+a) Τα Α και a προκύπτουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων που προκύπτει αν στις προηγούμενες χρησιμοποιήσουμε τις αρχικές συνθήκες. Αν για t=t έχουμε x=x και υ=υ ο, τότε: ο x- l=asin(ω t+a) x- l υ A= (x a arctan(ω ) ωt - l) υ =A ωcs(ωt+a) ω υ

5 l Ταλαντώσεις Αρμονική κίνηση απλό εκκρεμές 5/13 ΗΔ.Ε. τηςκίνησηςενόςεκκρεμούςμάζας και μήκους l 0 είναι (Τ είναι η τάση του νήματος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας): dp g+t dt πηγή: wiipedia dυ υ u ˆ ˆ ˆ ˆ T + uν g sinθ u T +(T- g csθ) uν dt l dθ d( l) dυ d(ω l ) dt d θ gsinθ l gsinθ dt dt dt dt Για μικρές τιμές του θ,, sinθ θ (σε ακτίνια) ) d θ g θ=0 dt l Ηκίνηση η του εκκρεμούς είναι λοιπόν σε πρώτη προσέγγιση αρμονική μεσυχνότητα και περίοδο: ω= g και Τ= l l g

6 Αρμονική κίνηση Έργο, Ενέργεια 6/13 Το έργο της δύναμης: x 1 1 F -x W= -xdx -( x x) x E(x)-E(x) p p 1 E(x)= p x άρα η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας θα έχει τη μορφή: Και εφόσον δεν υπάρχουν μη συντηρητικές δυνάμεις η Μηχανική Ενέργεια διατηρείται: E=E + E 1 1 p= υ + x E p(x)=σταθ. Ενέργεια Ε Ε p Ε x

7 Πιο ρεαλιστικά δυναμικά Δυναμικό Lennard Jnes 7/13 Τα δυναμικά στη Φύση δεν είναι κατά κανόνα αρμονικά. Αλλά για μικρές μετατοπίσεις γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας μπορούν πάντοτε να προσεγγιστούν με ένα αρμονικό δυναμικό. Από το ανάπτυγμα Taylr της E p έχουμε: de d E d E E()E( E(x)=E (x )+ (x-x )+ (x-x )+ (x-x ) p 1 p 1 p 3 p p 3 1! dx! dx 3! dx x=x x=x x=x Ηστάθμη μηδενός τηςδυναμικήςή Ενέργειας μπορεί να τεθεί αυθαίρετα, οπότε θέτουμε E p (x )=0. ΗπρώτηπαράγωγοςτηςΔυναμικής Ενέργειας ως προς τη θέση (με ένα μείον) είναι η δύναμη που θα είναι μηδέν στο x=x αφού είναι θέση (ευσταθούς) ισορροπίας. Κρατώντας τον πρώτο λοιπόν όρο του αναπτύγματος: de de E (x) (x-x ) (x-x ), dx dx 1 p 1 p p x=x δηλαδή για μικρές αποκλίσεις από τη θέση ισορροπίας η κίνηση θα είναι αρμονική με «σταθερά ελατηρίου». x=x

8 Πιο ρεαλιστικά δυναμικά Δυναμικό Lennard Jnes 8/13 Το δυναμικό Lennard Jnes είναι μία από τις ευρέως χρησιμοποιούμενες μορφές μη αρμονικών δυναμικών (Ε ο, r, θετικές σταθερές) ) για την περιγραφή π.χ. μοριακών αλληλεπιδράσεων. Για διατομικό μόριο με απόσταση r μεταξύ των ατόμων του: Ενέργεια 6 1 r r E p (r) -E r r E p (r) r Αρμονική προσέγγιση r de 1 E r r - dr r r r 6 1 p de E r r dr r r r 6 1 p Για τη θέση ισορροπίας (πρώτη παράγωγος=0) προκύπτει r=r, όπου έχουμε θέση ευσταθούς ισορροπίας (δεύτερη παράγωγος>0). dep dr r r=r 7 E δηλαδή για μικρές αποκλίσεις από τη θέση ισορροπίας η κίνηση θα είναι αρμονική με «σταθερά ελατηρίου». Αν συμπιέσουμε/τεντώσουμε το αναρμονικό ελατήριο με σταθερή δύναμη F ext και ισορροπήσει σε νέα θέση r, η θέση αυτή προκύπτει από την συνθήκη ισορροπίας: de p F=0 +Fext 0 Στη νέα αυτή θέση ευσταθούς ισορροπίας η τιμή της δευτέρας παραγώγου, είναι dr προφανώς διαφορετική από την τιμή στη θέση r=r και η τιμή συχνότητας της ταλάντωσης ω αλλάζει, σε αντίθεση με ένα αρμονικό ελατήριο όπου η ω είναι ανεξάρτητη της θέσης ισορροπίας. Ανθέλουμεναυπολογίσουμετηνσυχνότητατότεωςμάζαπρέπειναχρησιμοποιήσουμε την ανηγμένη μάζα των δύο ατόμων. Αν η κίνηση δεν είναι μονοδιάστατη, τότε τα παραπάνω αφορούν στην ακτινική μόνον συμπεριφορά του μορίου (βλ. συζήτηση κεφ. Ενέργειας) και το μόριο μπορεί να περιστρέφεται και να δονείται.

9 9/13 Ταλαντώσεις Συζευγμένοι αρμονικοί ταλαντωτές (1/3) Τα πραγματικά συστήματα περιλαμβάνουν πολλούς ταλαντωτές. Στο παράδειγμα μας, δύο ίδιοι αρμονικοί ταλαντωτές αλληλεπιδρούν μέσω ενός τρίτου ελατηρίου. E= 1 x1 1 1(x -x 1) 1 x X 1 =0 X =0 1 dx 1 E = x1( 1( x x1)) ( 1) x1 1x dt x 1 dx E = 1( x x1 ) x 1x1 ( 1) x dt x Εάν θεωρήσω λύσεις της μορφής: x A cs( t) 1 1 x Acs( ta) 1 - x 1 1 ( 1) x11x ( ) x1 x x 1x1( 1) x x1( ) x 0 και επιστρέφοντας στο σύστημα εξισώσεων με τα ω 1 και ω : ( x1 x) 0 x1 x A1 A, a ( x1 x) 0 x1 x A1 A, a0 Γιαναέχειτοσύστημαμητετριμμένηλύση(άλλη από x 1 =x =0) θα πρέπει η ορίζουσά του να είναι μηδέν.

10 X 1 =0 X = Ταλαντώσεις Συζευγμένοι αρμονικοί ταλαντωτές (/3) 1 10/13 Στη λύση δεν θεωρήσαμε συγκεκριμένη διέγερση, απλά ότι το σύστημα είναιεκτός ισορροπίας (x1,x0). Οι λύσεις που προέκυψαν περιγράφουν δύο χαρακτηριστικές, από άποψη συμμετρίας, καταστάσεις: Στη μία οι δύο μάζες μετακινούνται στην ίδια κατεύθυνση κατά την ίδια απόσταση (είναι σε φάση) και συνεπώς το ενδιάμεσο ελατήριο δεν συμπιέζεται. Η συχνότητα εξαρτάται μόνον από το ελατήριο σταθεράς. Στην άλλη, οι μάζες μετακινούνται κατά την ίδια απόσταση σε αντίθετες κατευθύνσεις (αντίθεση φάσης, διαφορά φάσης π) και το ελατήριο σταθεράς 1 διαφοροποιεί την συχνότητα αυτού του τρόπου ταλάντωσης. Οι παραπάνω τρόποι χαρακτηρίζονται ως κανονικοί τρόποι δόνησης, οι συχνότητες ως ιδιοσυχνότητες και τα διανύσματα μετατόπισης ως ιδιοδιανύσματα του συστήματος. Για οποιαδήποτε αρχική διέγερση (αρχικά x 1,x, υ 1, υ ) ηλύσηείναι μία επαλληλία των δύο κανονικών τρόπων δόνησης. Το μοντέλο που λύσαμε μπορεί να περιγράφει, σε μία διάσταση βέβαια, μοριακούς κρυστάλλους, δηλαδή κρυσταλλικά σώματα των οποίων οι δομικές μονάδες είναι μόρια που δεν χάνουν όμως την μοριακή τους ταυτότητα καθώς οι ενδομοριακές αλληλεπιδράσεις () είναι πολύ ισχυρότερες από τις διαμοριακές ( 1 ). Στην περίπτωση αυτή, όπου 1 <<, η επαλληλία των δύο κανονικών τρόπων αποτελεί μία χαρακτηριστική περίπτωση διακροτήματος (επαλληλία δύο αρμονικών ταλαντώσεων με πολύ κοντινές συχνότητες (ω 1 ω ) με αποτέλεσμα μία ταλάντωση υψηλής συχνότητας με πλάτος διαμορφωμένο με χαμηλή συχνότητα) με την υψηλή συχνότητα να καθορίζεται από το και την χαμηλή από το 1.

11 Συζευγμένοι αρμονικοί ταλαντωτές (3/3) 11/13 Μόριο CO Αριθμός δονήσεων: 3Ν 5=4 Εκφυλισμένοι: ίδια ενέργεια αλλά διαφορετική γεωμετρία (δονήσεις σε δύο κάθετα επίπεδα). Μόριο H O Αριθμός δονήσεων: 3Ν 6=3 Γενικεύοντας, όλες οι φαινομενικά τυχαίες κινήσεις των ατόμων στα μόρια και τα στερεά μπορούν να αναχθούν στην επαλληλία ενός μικρού σχετικά αριθμού κανονικών τρόπων δόνησης. Εστιάζοντας σε ένα μόριο με Ν άτομα, με κάθε άτομο να έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή δυνατότητα μετατόπισης σε 3 ανεξάρτητες κατευθύνσεις (π.χ. κατά x,y,z), καταλήγουμε σε 3Ν τρόπους για το μόριο. 3 από αυτούς περιγράφουν την μετατόπιση του μορίου ως στερεό σώμα, δηλαδή, χωρίςνααλλάζουνοιεσωτερικέςαποστάσειςμεταξύ των ατόμων του μορίου, μετακινείται απλώς το κέντρο μάζας του κατά x, y ή z. 3 ακόμη τρόποι περιγράφουν την περιστροφή του μορίου γύρω από το κέντρο μάζας του. (Εάν το μόριο είναι γραμμικό οι περιστροφή ρ γύρω από το άξονα συμμετρίας του δεν αλλάζει κάτι και οι τρόποι περιστροφής περιορίζονται σε ). Οι εναπομείναντες κανονικοί τρόποι του μορίου είναι λοιπόν 3Ν 6 (ή 3Ν 5 για γραμμικά μόρια). Αυτούς τους τρόπους δόνησης (καλύτερα κάποιους από αυτούς ανάλογα με την τεχνική) είναι που βλέπουμε ως κορυφές στις διάφορες φασματοσκοπικές τεχνικές (π.χ. απορρόφηση IR, Raan κ.τ.λ.) )

12 Ταλάντωση με απόσβεση 1/13 ΗΔ.Ε. που περιγράφει την μονοδιάστατη κίνηση ενός σώματος στην περίπτωση ταυτόχρονης δράσης δύναμης επαναφοράς ιδανικού ελατηρίου και τριβώνανάλογων της ταχύτητας είναι: dx dx λ dx -x-λυ ω x=0, ω dt dt dt πλάτος Acs(ω t + a) Η λύση της για μικρές τιμές της απόσβεσης λ, (λ/()<ω, υποκρίσιμη απόσβεση), είναι: -λ t ' ' λ x=a e cs(ω t + a), ω ω A e -λ t περιβάλλουσα t Για ω ο=0 (κρίσιμη απόσβεση, λc ) το κινητό δεν προλαβαίνει να ταλαντωθεί και φτάνει ασυμπτωτικά στη θέση ισορροπίας του, ενώ για υπερκρίσιμες αποσβέσεις (λ>λ c ) και πάλι τείνει ασυμπτωτικά στη θέση ισορροπίας του χωρίς ταλάντωση αλλά με πιο αργό ρυθμό από ότι για την κρίσιμη απόσβεση.

13 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση 13/13 Αν στο προηγούμενο σύστημα δρα μία εξωτερική δύναμη F cs(ω d t), τότε μιλάμε για μία εξαναγκασμένη ταλάντωση με απόσβεση. Η γενική λύση της εξίσωσης είναι άθροισμα δύο όρων: ενός μεταβατικού (λόγω αρχικών συνθηκών) που αργά ή γρήγορα μηδενίζεται (εξαιτίας της τριβής) και ενός σταθερού αρμονικού όρου. πλάτος, Α Πλάτος ταχύτητας υax λ 0 <<λ λ <λ< λ λ 0 <<λ λ <λ< λ ω ο ω d ω d dx λ dx ω x F cs(ω d t) dt dt Εστιάζοντας στον όρο σταθερής κατάστασης, περιμένουμε ότι η δύναμη θα επιβάλλει τελικά ένα σταθερό πλάτος που μεταβάλλεται με την συχνότητά της ω d. Καθώς όμως το σύστημα θα ήθελε να ταλαντωθεί με τη συχνότητα ω ο, το πλάτος θα μικραίνει όσο πιο μακριά είναι η ω d από αυτήν την τιμή. Βάζοντας λύσεις της μορφής x=a sin(ω d t a) στην Δ.Ε. μπορείτε να δείξετε ότι: F/ F A υ - ax ωd ω tan(a) (ω - ω ) (λω /) ( ω -/ω )+λ λ ω / d d Για λ0 το πλάτος τείνει να απειριστεί για ω d =ω ο, έχουμε δηλαδή συντονισμό πλάτους. Για μεγαλύτερες τιμές του λ το πλάτος του συντονισμού μειώνεται, η καμπύλη του διευρύνεται και η συχνότητα συντονισμού πέφτει προς μικρότερες συχνότητες ώσπου στο τέλος εξαφανίζεται. Αντίθετα η αποδοτικότερη μεταφορά ενέργειας από την κινούσα δύναμη στο ταλαντούμενο σώμα (συντονισμός ενέργειας) επιτυγχάνεται πάντα για την ιδιοσυχνότητα του συστήματος χωρίς απόσβεση, δηλ. ω d =ω ο. d d d