ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
|
|
- Μνημοσύνη Αλεξόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie Ενότητα 1: Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 1 / 131
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,όπως εικόνες,που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 2 / 131
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο Άνοικτά Ακαδημαικά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται απο την Ευρωπαική Ενωση (Ευρωπαικό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 3 / 131
4 Περιεχόμενα Ενότητας Εισαγωγή. Απλές και ημίαπλες Lie άλγεβρες. Περιβάλλουσες άλγεβρες. Δομή Hopf. Αναπαραστάσεις και modules. Παραδείγματα εφαρμογών. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 4 / 131
5 Σκοποί Ενότητας Εισαγωγή των μεταπτυχιακών φοιτητών στην μελέτη και στις τεχνικές αλγεβρών μη προσεταιριστικών όπως είναι οι Lie άλγεβρες. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 5 / 131
6 Definition of an Algebra F = Field of characteristic 0 (ex R, C), α, β,... F and x, y,... A Definition of an Algebra A A is a F-vector space with an additional distributive binary operation or product A A (x, y) m m(x, y) = x y A F-vector space αx = xα, (α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy distributivity (x + y) z = x z + y z, x (y + z) = x y + x z α(x y) = (αx) y = x (αy) = (x y)α associative algebra (x y) z = x (y z), NON associative algebra (x y) z x (y z) commutative algebra x y = y x, NON commutative algebra x y y x (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 6 / 131
7 Definitions F = Field of characteristic 0 (ex R, C), g = F-Algebra with a product or bracket or commutator α, β,... F and x, y,... g g g (x, y) [x, y] g Definition :Lie algebra Axioms [αx + βy, z] = α [x, z] + β [y, z] (L-i) bi-linearity: [x, αy + βz] = α [x, y] + β [x, z] (L-ii) anti-commutativity: [x, y] = [y, x] [x, x] = 0 (L-iii) Jacobi identity: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 or Leibnitz rule: [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 7 / 131
8 Examples of Lie algebras (1) (i) g = { x, y,...} real vector space R 3 [ x, y] x y (ii) A associative F- algebra A a Lie algebra with commutator [A, B] = AB BA (iii) Angular Momentum in Quantum Mechanics operators on L 1, L 2, L 3 analytic (holomorphic) f (x, y, z) functions L 1 = y z z y, L 2 = z x x z, g = span {L 1, L 2, L 3 } L 3 = x y y x [L i, L j ] L i L j L j L i [L 1, L 2 ] = L 3, [L 2, L 3 ] = L 1, [L 3, L 1 ] = L 2 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 8 / 131
9 Examples of Lie algebras (2) (iv) V = F-vector space, dim V = n < b bilinear form on V b : V V (v, w) b (u, v) F b(αu + βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w) b(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w) o (V, b) = Orthogonal Lie algebra the set of all T End V b(u, Tv) + b(tu, v) = 0 [T 1, T 2 ] = T 1 T 2 T 2 T 1 T 1 and T 2 o (V, b) [T 1, T 2 ] o (V, b) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 9 / 131
10 Matrix Formulation for bilinear forms a 1 a 2 V a a =., n b 2 a, b = a i b i = (a 1, a 2,..., a n ) i=1. a n b n M 11 M 12 M 1n M 21 M 22 M 2n End(V ) M M = Ma, b = a, M tr b M n1 M n2 M nn b 1 bilinear form b B matrix n n b (x, y) = x, By M O(V, b) b (Mx, My) = b (x, y) M tr BM = B M tr bm = b T o(v, b) b (Tx, y) + b (x, Ty) = 0 T tr B + BT = 0 n n T tr b + bt = 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 10 / 131
11 Poisson algebra (v) A Poisson algebra is a vector space over a field F equipped with two bilinear products, and {, }, having the following properties: (a) The product forms an associative (commutative) F-algebra. (b) The product {, }, called the Poisson bracket, forms a Lie algebra, and so it is anti-symmetric, and obeys the Jacobi identity. (c) The Poisson bracket acts as a derivation of the associative product, so that for any three elements x, y and z in the algebra, one has {x, y z} = {x, y} z + y {x, z} Example: Poisson algebra on a Poisson manifold M is a manifold, C (M) the smooth /analytic (complex) functions on the manifold. ω ij (x) = ω ji (x), {f, g} = ω ij (x) f j x i x g ij ( ) ω ij ω jk ω ki ω km + ω im + ω jm = 0 x m x m x m m (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 11 / 131
12 Structure Constants g = span (e 1, e 2,..., e n ) = Fe 1 + Fe Fe n n [e i, e j ] = cij k e k cij k e k, cij k structure constants k=1 (L-i) bi-linearity (L-ii) anti-commutativity: cij k = cji k (L-iii) Jacobi identity: ci m j cl m k + cm j k cl m i + cm k i cl m j = 0 summation on color indices (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 12 / 131
13 gl(v ) algebra V = F-vector space, dim V = n < general linear algebra gl(v ) gl(v ) End(V ) = endomorphisms on V dim gl(v ) = n 2 gl(v ) is a Lie algebra with commutator [A, B] = AB BA gl(c n ) gl(n, C) M n (C) complex n n matrices Standard basis Standard basis for gl(n, C) = matrices E ij (1 in the (i, j) position, 0 elsewhere) [E ij, E kl ] = δ jk E il δ il E kj (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 13 / 131
14 General Linear Group GL(n, F) =invertible n n matrices M GL(n, F) det M 0 GL(n, C) is an analytic manifold of dim n 2 AND a group. The group multiplication is a continuous application G G G The group inversion is a continuous application G G Definition of the Lie algebra from the Lie group g(n, C) = T I (GL(n, C)) X (t) GL(n, C) X (t) smooth trajectory = { X (0) = x gl(n, C) } X (0) = I Definition of a Lie group from a Lie algebra { } {x gl(n, C)} = X (t) = e xt t n = n! x n GL(n, F) n=0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 14 / 131
15 Jordan decomposition Jordan decomposition A gl(v ) A = A s + A n, [A s, A n ] = A s A n A n A s = 0 A s diagonal matrix (or semisimple) A n nilpotent matrix (A n ) m = 0, the decomposition is unique x = x s + x n e x = x s diagonal matrix = e x s diagonal matrix = k=0 x k k! e x = e (xs+xn) = e xs e xn λ λ λ n m 1 e xn = e λ e λ e λn k=0 x k n k! (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 15 / 131
16 Lie algebra of the (Lie) group of isometries V F-vector space, b : V V C bilinear form O(V, b)=group of isometries on V i.e. O(V, b) M : V V b(mu, Mv) = b(u, v) lin } M(t) smooth trajectory O(V, b) M(0) = I M (0) = T o(v, b) = Lie algebra = b(tu, v) + b(u, Tv) = 0 = T tr b + b T = 0 group of isometries O(V, b) Lie algebra o(v, b) = T I (O(V, b)) The Lie algebra o(v, b) is the tangent space of the manifold O(V, b) at the unity I (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 16 / 131
17 Classical Lie Algebras (1) A l or sl(l + 1, C) or special linear algebra Def: (l + 1) (l + 1) complex matrices T with Tr T = 0 Dimension = dim(a l ) = (l + 1) 2 1 = l(l + 2) Standard Basis: E ij, i j, i, j = 1, 2..., l + 1. H i = E ii E i+1 i+1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 17 / 131
18 Classical Lie Algebras (2) C l or sp(2l, C) or symplectic algebra Def: (2l) (2l) complex matrices T with Tr T = 0 leaving infinitesimally invariant the bilinear form ( ) 0l I b l I l 0 l U, V C 2l } b(u, TV ) + b(tu, V ) = 0 T sp(2l, C) ( ) { M N N T = P M tr tr = N, P tr = P bt + T tr b = 0 btb 1 = T tr (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 18 / 131
19 Classical Lie Algebras (3) B l or o(2l + 1, C) or (odd) orthogonal algebra Def: (2l + 1) (2l + 1) complex matrices T with Tr T = 0 leaving infinitesimally invariant the bilinear form b 0 tr 0 l I l 0 tr I l 0 l 0 = (0, 0,..., 0) U, V C 2l T o(2l + 1, C) T = 0 b c c tr M N b tr P M tr } b(u, TV ) + b(tu, V ) = 0 { N tr = N, P tr = P (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 19 / 131
20 Classical Lie Algebras (4) D l or o(2l, C) or (even) orthogonal algebra Def: (2l) (2l) complex matrices T with Tr T = 0 leaving infinitesimally invariant the bilinear form ( ) 0l I b l I l U, V C 2l } b(u, TV ) + b(tu, V ) = 0 T o(2l, C) ( ) { M N N T = P M tr tr = N, P tr = P 0 l (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 20 / 131
21 Subalgebras Definition (Lie subalgebra) h Lie subalgebra g (i) h vector subspace of g (ii) [h, h] h Examples of gl(n, C) subalgebras Diagonal matrices d(n, C)= matrices with diagonal elements only [d(n, C), d(n, C)] = 0 n d(n, C) Upper triangular matrices t(n, C), Strictly Upper triangular matrices n(n, C), n(n, C) t(n, C) [t(n, C), t(n, C)] n(n, C), [n(n, C), n(n, C)] n(n, C) [n(n, C), t(n, C)] n(n, C) ex. sl(2, C) Lie subalgebra of sl(3, C) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 21 / 131
22 sl(2, C) Algebra sl(2, C) = span (h, x, y) [h, x] = 2x [h, y] = 2y [x, y] = h ex. 2 2 matrices with trace 0 [ ] 1 0 h = x = 0 1 [ ] y = [ ] ex. first derivative operators acting on polynomials of order n h = z z n 2, x = z2 z nz, y = z (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 22 / 131
23 sl(3, C) Algebra sl(3, C) = span (h 1, h 2, x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3 ) ex. 3 3 matrices with trace 0 [h 1, h 2 ] = 0 [h 1, x 1 ] = 2x 1, [h 1, y 1 ] = 2y 1, [x 1, y 1 ] = h 1, [h 1, x 2 ] = x 2, [h 1, y 2 ] = y 2, [h 1, x 3 ] = x 3, [h 1, y 3 ] = y 3, [h 2, x 2 ] = 2x 2, [h 2, y 2 ] = 2y 2, [x 2, y 2 ] = h 2, [h 2, x 1 ] = x 1, [h 2, y 1 ] = y 1, [h 2, x 3 ] = x 3, [h 2, y 3 ] = y 3, [x 1, x 2 ] = x 3, [x 1, x 3 ] = 0, [x 2, x 3 ] = 0 [y 1, y 2 ] = y 3, [y 1, y 3 ] = 0, [y 2, y 3 ] = 0 [x 1, y 2 ] = 0, [x 1, y 3 ] = y 2, [x 2, y 1 ] = 0, [x 2, y 3 ] = y 1, [x 3, y 1 ] = x 2, [x 3, y 2 ] = x 1, [x 3, y 3 ] = h 1 + h 2 h 1 = h 2 = x 1 = y 1 = x 2 = y 2 = x 3 = y 3 = (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 23 / 131
24 Ideals Definition (Ideal) Ideal I is a Lie subalgebra such that [I, g] I Center Z(g) = {z g : [z, g] = 0} Prop: The center is an ideal. Prop: The derived algebra Dg = [g, g] is an ideal. Prop: If I, J are ideals I + J, [I, J ] and I J are ideals. Theorem I ideal of g g/i {x = x + I : x g} is a Lie algebra [x, y] [x, y] = [x, y] + I (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 24 / 131
25 Simple Ideals Def: g is simple g has only trivial ideals and [g, g] {0} (trivial ideals of g are the ideals {0} and g) Def: g is abelian [g, g] = {0} Prop: Prop: Prop: g/ [g, g] is abelian g is simple Lie algebra Z(g) = 0 and g = [g, g]. The Classical Lie Algebras A l, B l, C l, D l are simple Lie Algebras (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 25 / 131
26 Direct Sum of Lie Algebras g 1, g 1 Lie algebras direct sum g 1 g 2 = g 1 g 2 with the following structure: α(x 1, x 2 ) + β(y 1, y 2 ) (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2 ) g 1 g 2 vector space commutator definition: [(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )] ([x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]) Prop: g 1 g 2 is a Lie algebra } (g 1, 0) g { 1 iso (g1, 0) (0, g 2 ) = {(0, 0)} g 1 g2 = 0 (0, g 2 ) g 2 [(g 1, 0), (0, g 2 )] = {(0, 0)} [g 1, g 2 ] = 0 iso Prop: g 1 and g 2 are ideals of g 1 g 2 Prop: a, b ideals of g a b = {0} a + b = g { a b iso } { } a + b a b = g (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 26 / 131
27 Lie homomorphisms homomorphism: g { φ (i) φ linear g (ii) φ ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] monomorphism: Ker φ = {0}, epimorphism: Im φ = g isomorphism: mono+ epi, automorphism: iso+ {g = g } Prop: Ker φ is an ideal of g Prop: Im φ = φ(g) is Lie subalgebra of g Theorem I ideal of g canonical map g π(x) = x = x + I π g/i { canonical map is a Lie epimorphism } (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 27 / 131
28 Linear homomorphism theorem Theorem V, U, W linear spaces f : V U and g : V W linear maps { f f epi V U Ker f Ker g g W ψ } {! ψ : g = ψ f Ker ψ = f (Ker g) } Corollary f V g f U V g ψ W W { } { f epi, g epi, Ker f = Ker g! ψ iso : g = ψ f, U iso W } ψ 1 U (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 28 / 131
29 Lie homomorphism theorem Theorem g, h, l Lie spaces, φ : g epi h and ρ : g l Lie homomorphisms g φ h { φ Lie-epi, Ker φ Ker ρ } {! ψ : Lie-homo ρ = ψ φ } ρ l ψ Corollary ρ φ g φ h g ρ ψ l l { } { φ Lie-epi, ρ Lie-epi, Ker φ = Ker ρ! ψ : Lie-iso ρ = ψ φ, h iso l ψ 1 h } (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 29 / 131
30 First isomorphism theorem Theorem (First isomorphism theorem) φ : g g Lie-homomorphism, φ g φ(g) π φ g/ker φ =! φ : g/ker φ φ(g) g Lie-iso φ(g) iso g/ker φ (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 30 / 131
31 K L (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 31 / 131 Noether Theorems Theorem K, L ideals of g K L (i) (ii) L/K ideal of g/k (g/k) / (L/K) iso (g/l) Theorem ( Noether Theorem (2nd isomorphism theor.)) { } { } K, L (K + L) /L K/ (K L) ideals of g iso Parallelogram Low: K + L K L
32 Derivations A an F algebra (not necessary associative) with product A A (a, b) a b A bilinear mapping, is a derivation of A if is a linear map A A satisfying the Leibnitz property: Der (A) = all derivations on A Prop: (A B) = A ( (B)) + ( (A)) B Der (A) is a Lie Algebra gl(a) with commutator [, ] (A) ( (A)) ( (A)) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 32 / 131
33 Derivations on a Lie algebra g a F Lie algebra, is a Lie derivation of g if is a linear map: g x (x) g satisfying the Leibnitz property : ([x, y]) = [ (x), y] + [x, (y)] Der (g) = all derivations on g Prop: Der (g) is a Lie Algebra gl(g) with commutator [, ] (x) ( (x)) ( (x)) Prop: δ Der(g) δ n ([x, y]) = n ( n [ k) δ k (x), δ n k (y) ] Prop: Proposition k=0 δ Der(g) e δ ([x, y]) = [ e δ (x), e δ (y) ] e δ Aut(g) φ(t) smooth monoparametric familly in Aut(g) and φ(0) = Id φ (0) Der(g) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 33 / 131
34 Adjoint Representation Definition (Adjoint Representation) Let x g and ad x : g g : ad x (y) = [x, y] Prop: ad [x, y] = [ad x, ad y ] Prop: ad g {ad x } Lie-subalgebra of Der (g) x g Definition: Inner Derivations=ad g Definition Outer Derivations= Der (g) \ad g { } x g Prop: δ Der(g) { [ad x, δ] = ad δ(x) } ad g ideal of Der(g) Prop: τ Aut (g) τ ([x, y]) = [τ(x), τ(y)] ad τ(x) = τ ad x τ 1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 34 / 131
35 Matrix Form of the adjoint representation g = span (e 1, e 2,..., e n ) = Ce 1 + Ce Ce n n [e i, e j ] = cij k e k, cij k structure constants k=1 Antisymmetry: c k ij = c k ji Jacobi identity c m i j cl m k + cm j k cl m i + cm k i cl m j = 0 e l = e l g e l.e p = e l.e p = δ l p P i gl(g) : e k.p i e j = (P i ) k j = c k ij n [P i, P j ] = cij k P k k=1 P i = ad ei (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 35 / 131
36 Representations, Modules V F-vector space, u, v,... V, α, β,... F Definition Representation (ρ, V ) g x ρ ρ(x) gl(v ) V v ρ(x) ρ(x)v V ρ(x) Lie homomorphism ρ(α x + β y) = α ρ(x) + β ρ(y) ρ ([x, y]) = [ρ(x), ρ(y)] = = ρ(x) ρ(y) ρ(y) ρ(x) V = C n ρ(x) M n (C) = gl(v ) = gl (C, n) W V invariant (stable) subspace ρ(g)w W (ρ, W ) is submodule (ρ, W ) (ρ, V ) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 36 / 131
37 1.pdf (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 37 / 131
38 Theorem (1) Theorem W invariant subspace of V (ρ, W ) (ρ, V ) (ρ, V )! induced representation (ρ, V /W ) ρ(g)w W =! ρ(x) : V /W V /W V π V /W = ρ(x) V ρ(x) π V /W ρ(x) π = π ρ(x) Ker ρ = C ρ (g) = {x g : ρ(x)v = {0}} is an ideal Ker ad = C ad (g) = Z(g)= center of g (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 38 / 131
39 Reducible and Irreducible representation (ρ, V ) irreducible/simple representation (irrep) (non trivial) invariant subspaces ρ(g)w W W = {0} or V (ρ, W ) (ρ, V ) W = {0} or V (ρ, V ) reducible/semisimple representation V = V 1 V 2, (ρ, V 1 ) and (ρ, V 2 ) submodules V = V 1 V 2 ρ(g)v 1 V 1, ρ(g)v 2 V 2 trivial representation V = F dim V = 1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 39 / 131
40 Induced Representation (ρ, W ) (ρ, V ) V π V /W ρ(x) V ρ(x) π V /W ρ(x) π = π ρ(x) ρ(x) is the induced representation (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 40 / 131
41 Jordan Hölder decomposition (1) (ρ, W ) (ρ, V ) and (ρ, V /W ) not irrep nor trivial ( ρ, U ) (ρ, V /W ) W U = π 1 (U) V ρ(x) V V π V /W ρ(x) π V /W ρ(x) π = π ρ(x) (π ρ(x)) (U) = (ρ(x) π) (U) = ρ(x) ( U ) U = π(u) ρ(x)(u) U (ρ, W ) (ρ, U) (ρ, V ) Theorem (Jordan Hölder decomposition) (ρ, V ) representation V = V 0 V 1 V 2 V m = {0}, (ρ, V i ) (ρ, V i+1 ) (ρ Vi /Vi+1, V i /V i+1 ) irrep or trivial (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 41 / 131
42 Jordan Hölder decomposition (2) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 42 / 131
43 Direct sum of representations (ρ 1, V 1 ), (ρ 2, V 2 ) representations of g Def: Direct sum of representations (ρ 1 ρ 2, V 1 V 2 ) (ρ 1 ρ 2 ) (x) : V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 (v 1, v 2 ) (ρ 1 (x)v 1, ρ 2 (x)v 2 ) V 1 V 2 V 1 V 2 v 1 + v 2 ρ 1 (x)v 1 + ρ 2 (x)v 2 V 1 V 2 1b.pdf (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 43 / 131
44 Theorem (Jordan- Hölder) Theorem Jordan- Hölder Any representation of a simple Lie algebra is a direct sum of simple representations or trivial representations (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 44 / 131
45 Important = The important is to study the simple representations! Theorem (Jordan Hölder decomposition) (ρ, V ) representation V = V 0 V 1 V 2 V m = {0}, (ρ, V i ) (ρ, V i+1 ) (ρ Vi /Vi+1, V i /V i+1 ) irrep or trivial V = V m 1 V m 2 /V m 1 V 1 /V 2 V /V 1 ρ = ρ m 1 ρ m 2 ρ 1 ρ 0 ρ m 1 = ρ Vm 1 trivial, ρ i = ρ Vi /V i+1 simple (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 45 / 131
46 Tensor Product of linear spaces- Universal Definition F field, F vector spaces A, B Definition Tensor Product A F B is a F-vector space AND a canonical bilinear homomorphism : A B A B, with the universal property. Every F-bilinear form φ : A B C, lifts to a unique homomorphism φ : A B C, such that φ(a, b) = φ(a b) for all a A, b B. Diagramatically: A B bilinear φ A B! φ C (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 46 / 131
47 Tensor product - Constructive Definition Definition Tensor product A F B can be constructed by taking the free F-vector space generated by all formal symbols a b, a A, b B, and quotienting by the bilinear relations: (a 1 + a 2 ) b = a 1 b + a 2 b, a (b 1 + b 2 ) = a b 1 + a b 2, r(a b) = (ra) b = a (rb) a 1, a 2 A, b B, a A, b 1, b 2 B, r F (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 47 / 131
48 Examples (1) Examples: U and V linear spaces u = u 1 u 2. u n U, v = v 1 u 2. v m V u v = u 1 v 1 u 1 v 2. u 1 v m u 2 v 1 u 2 v 2. u 2 v m.. u n v 1 u n v 2. u n v m U V (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 48 / 131
49 Examples (2) U End(U), V End(V ) u 11 u 12 u 1n u 21 u 22 u 2n U =.... u n1 u q2 u nn V = v 11 v 12 v 1m v 21 v 22 v 2m.... v m1 v m2 v mm U V = u 11 V u 12 V u 1n V u 21 V u 22 V u 2n V.... u n1 V u n2 V u nn V U V End (U V ) (U V) (u v) Uu Vv (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) U 1 U 2 V 1 V 2 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 49 / 131
50 Tensor product of representations (ρ 1, V 1 ), (ρ 2, V 2 ) repsesentations of the Lie algebra g. ) L Tensor product representation (ρ 1 ρ2, V 1 V 2 ) L (ρ 1 ρ2 (x) : V 1 V 2 V 1 V 2 ) L v 1 v 2 (ρ 1 ρ2 (x) (v 1 v 2 ) (ρ 1 L ρ2 ) (x) (v 1 v 2 ) = ρ 1 (x)v 1 v 2 + v 1 ρ 2 (x)v 2 (ρ 1 L ρ2 ) (x) = ρ 1 (x) Id 2 + Id 1 ρ 2 (x) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 50 / 131
51 Dual representation V dual space of V, V u : V v u.v C (ρ, V ) representation of g! dual representation ( ρ D, V ) ρ D (x) : V u ρ D (x)u V ρ D (x) = ρ (x) ρ D (x)u.v = u.ρ(x)v ρ D (αx + βy) = αρ D (x) + βρ D (y) ρ D ([x, y]) = [ ρ D (x), ρ D (y) ] (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 51 / 131
52 sl(2, C) representations (1) sl(2, C) = span (h, x, y) [h, x] = 2x [h, y] = 2y [x, y] = h (ρ, V ) irrep of sl(2, C) Jordan decomposition V = V λ, λ eigenvalue of ρ(h), λ V λ = Ker (ρ(h) λi) n λ, v V λ ρ(h)v = λv, V λ Vµ = {0} If v eigenvector of ρ(h) with eigenvalue λ v V λ ρ(x)v eigenvector with eigenvalue λ + 2 ρ(x)v V λ+2 ρ(y)v eigenvector with eigenvalue λ 2 ρ(y)v V λ 2 ρ(h)v = λv ρ(h)ρ(x)v = (λ + 2)ρ(x)v and ρ(h)ρ(y)v = (λ 2)ρ(y)v v 0 V, v eigenvector of ρ(h) such that ρ(x)v 0 = 0 If (ρ, V ) is a finite dimensional representation of sl(2, C) then for every z sl(2, C) Trρ(z) = 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 52 / 131
53 sl(2, C) representations (2) Let ρ(h)v 0 = µv 0 and ρ(x)v 0 = 0 n N : ρ(y) n+1 v 0 = 0 ρ(x)v 0 = 0, v k = 1 k! (ρ(y))k v 0 ρ(h)v k = (µ 2k)v k ρ(y)v k = (k + 1)v k+1 ρ(x)v k = (µ k + 1)v k 1 W = span (v 0, v 1,..., v n ) and ρ(z)w W z sl(2, C) ρ(h) = (ρ, W ) submodule of (ρ, V ) µ µ µ µ 2n Tr ρ(h) = 0 µ = n (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 53 / 131
54 Theorem (2.1) Theorem (ρ, V ) irrep of sl(2, C) V = span (v 0, v 1,..., v n ) ρ(x)v 0 = 0, v k = 1 k! (ρ(y))k v 0 ρ(h)v k = (n 2k)v k ρ(y)v k = (k + 1)v k+1 ρ(x)v k = (n k + 1)v k 1 ρ(x)v k = µ k v k µ k = n 2k, µ k are the weights of the representation. µ k = n, n 2, n 4,..., n + 4, n + 2, n n is the highest weight of the irrep (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 54 / 131
55 Theorem (2.2) ρ(x)v 0 = 0, v k = 1 k! (ρ(y))k v 0 ρ(h)v k = (n 2k)v k, ρ(y)v k = (k + 1)v k+1, ρ(x)v k = (n k + 1)v k 1 n n ρ(h) = n n 0 n n ρ(x) = ρ(y) = n 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 55 / 131
56 Theorem (2.3) dim V = n + 1 Eigenvalues n, n + 2,..., n 2, n irreducible representation (ρ, V ) ρ(x)v 0 = 0, v k = 1 k! (ρ(y))k v 0 ρ(y) n+1 v 0 = 0 ρ(h)v k = (n 2k)v k ρ(y)v k = (k + 1)v k+1 ρ(x)v k = (n k + 1)v k 1 α = α = α = g = [g, g] (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 56 / 131
57 Weyl Theorem Weyl Theorem Any representation V = n k n V n, V n irrep Theorem For any finite dimensional representation (ρ, V ) the decomposition in direct sum of irreps is unique. The eigenvalues of ρ(h) are integers. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 57 / 131
58 Weyl Theorem sl(2) Casimir definition (ρ, V ) a representation of g = sl(2, C). The Casimir (operator) K ρ corresponding to this representation is an element in End V such that K ρ = ρ 2 (h) + 2 (ρ(x)ρ(y) + ρ(y)ρ(x)) [K ρ, ρ(g)] = {0} V = λ V λ, λ are eigenvalues of K ρ (ρ, V λ ) is submodule of (ρ, V ). Any representation (module) of g = sl(2, C) contains a submodule (ρ, V n ), which is an irreducible representation. The eigenvalues λ of the Casimir (operator) are given by the formula λ = n(n + 2), where n = 0, 1, 2, 3,.... Let V λ the submodule corresponding to the eigenvalue λ = n(n + 2) of the Casimir. If v V λ then we can found an irreducible submodule V n of V λ and v V n. Therefore V λ = V n V n V }{{ n = k } n V n k ntimes (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 58 / 131
59 sl(3, C) sl(3, C) = span (h 1, h 2, x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3 ) [h 1, h 2 ] = 0 [h 1, x 1 ] = 2x 1, [h 1, y 1 ] = 2y 1, [x 1, y 1 ] = h 1, [h 1, x 2 ] = x 2, [h 1, y 2 ] = y 2, [h 1, x 3 ] = x 3, [h 1, y 3 ] = y 3, [h 2, x 2 ] = 2x 2, [h 2, y 2 ] = 2y 2, [x 2, y 2 ] = h 2, [h 2, x 1 ] = x 1, [h 2, y 1 ] = y 1, [h 2, x 3 ] = x 3, [h 2, y 3 ] = y 3, [x 1, x 2 ] = x 3, [x 1, x 3 ] = 0, [x 2, x 3 ] = 0 [y 1, y 2 ] = y 3, [y 1, y 3 ] = 0, [y 2, y 3 ] = 0 [x 1, y 2 ] = 0, [x 1, y 3 ] = y 2, [x 2, y 1 ] = 0, [x 2, y 3 ] = y 1, [x 3, y 1 ] = x 2, [x 3, y 2 ] = x 1, [x 3, y 3 ] = h 1 + h 2 sl(2, C) subalgebras: span(h 1, x, 1, y 1 ), span(h 2, x, 2, y 2 ), span(h 1 + h2, x, 3, y 3 ) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 59 / 131
60 Weights-Roots (1) (ρ, V ) is a representation of sl(3, C) Def: µ = (m 1, m 2 ) is a weight v V : ρ(h 1 )v = m 1 v, ρ(h 2 )v = m 2 v, v is a weightvector Prop: Every representation of sl(3, C) has at leat one weight Prop: µ = (m 1, m 2 ) Z 2 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 60 / 131
61 Weights-Roots (2) Def: If (ρ, V ) = (ad, g) weight α is called root α = (a 1, a 2 ) ad h1 z = a 1 z, ad h2 z = a 2 z z = x 1, x 2, x 3, y 1, y 2, y 3 root α rootvector z α α 1 (2, 1) x 1 α 2 ( 1, 2) x 2 α 1 + α 2 (1, 1) x 3 α 1 ( 2, 1) y 1 α 2 (1, 2) y 2 α 1 α 2 ( 1, 1) y 3 Def: α 1 and α 2 are the positive simple roots (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 61 / 131
62 Highest weight Def: h = span(h 1, h 2 ) is the maximal abelian subalgebra of sl(3, C), the Cartan subalgebra. Theorem The weights µ = (m 1, m 2 ) and the roots α = (a 1, a 2 ) are elements of the h µ(h i ) = m i, α(h i ) = a i ρ(h)v = µ(h)v ρ(h)ρ(z α )v = (µ(h) + α(h)) ρ(z α )v Def: µ 1 µ 2 µ 1 µ 2 = aα 1 + bα 2, a 0 and b 0 Def: µ 0 is highest weight if for all weights µ µ 0 µ (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 62 / 131
63 Highest Weight Cyclic Representation Definition (ρ, V ) is a highest weight cyclic representation with highest weight µ 0 iff 1 v V ρ(h)v = µ 0 (h)v, v is a cyclic vector 2 ρ(x 1 )v = ρ(x 2 )v = ρ(x 3 )v = 0 3 if (ρ, W ) is submodule of (ρ, V ) and v W W = V (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 63 / 131
64 Theorem (3) Theorem If z 1, z 2,... z n are elements of sl(3, C) then n ( p=1 k 1 +k 2 + +k 8 =p ρ(z n) ρ(z n 1 ) ρ(z 2 ) ρ(z 1 ) = c k1,k 2,...,k 8 ρ k 3 (y 3 )ρ k 2 (y 2 )ρ k 1 (y 1 )ρ k 4 (h 1 )ρ k 5 (h 2 )ρ k 6 (x 3 )ρ k 7 (x 2 )ρ k ) 8 (x 1 ) = c k1,k 2,...,k 8 ρ k 3 (y 3 )ρ k 2 (y 2 )ρ k 1 (y 1 )ρ k 4 (h 1 )ρ k 5 (h 2 )ρ k 6 (x 3 )ρ k 7 (x 2 )ρ k 8 (x 1 ) k 1 +k 2 + +k 8 =n } {{ } order n terms + ( ) order n 1 terms (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 64 / 131
65 Corollary (1) Corollary If z 1, z 2,... z n are elements of sl(3, C) and (ρ, V ) is a highest weight cyclic representation with highest weight µ 0 and cyclic vector v then ρ(z n) ρ(z n 1 ) ρ(z 2 ) ρ(z 1 )v = n ( p=1 l 1 +l 2 +l 3 =p ) d l1,l 2,l 3 ρ l 3 (y 3 )ρ l 2 (y 2 )ρ l 1 (y 1 ) v and ) V = span (ρ l 3 (y 3 )ρ l 2 (y 2 )ρ l 1 (y 1 )v, l i N 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 65 / 131
66 Theorem (4) Theorem Every irrep (ρ, V ) of sl(3, C) is a highest weight cyclic representation with highest weight µ 0 = (m 1, m 2 ) and m 1 0, m 2 0 Theorem The irrep (ρ, V ) with highest weight µ 0 is a direct sum of linear subspaces V µ where µ = µ 0 (kα 1 + lα 2 + mα 3 ) = µ (k α 1 + l α 2 ) and k, l, m, k and l are positive integers. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 66 / 131
67 Corollary (2) Corollary The set of all possible weights µ is a subset of Z 2 R 2 The set of all possible weights corresponds on a discrete lattice in the real plane (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 67 / 131
68 sl(3, C) Fundamental Representations Representation (1, 0) ρ(x 1 ) = ρ(y 1 ) = ρ(h 1 ) = ρ(x 2 ) = ρ(y 2 ) = ρ(h 2 ) = ρ(x 3 ) = ρ(y 3 ) = The dual of the representation (1, 0) is the representation (0, 1), i.e (1, 0) D = (0, 1) The representation (1, 0) L (0, 1) is the direct sum (0, 0) (1, 1) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 68 / 131
69 Weight Lattice for sl(3, C) Let (ρ, V ) the fundamental representation (1, 0) then ρ(sl(3, C)) = iso traceless 3 3 matrices Def: (r, s) def Tr (ρ(r) ρ(s)) (x,{ y) is a non-degenerate } bilinear form on g = sl(3, C) (x, g) = {0} x = 0 Det (x i, x j ) 0, where x k = h, x, y Proposition (.,.) is a non-degenerate bilinear form on h { } ν h h ν h : ν(h) = (h ν, h) (h) iso h Definition µ, ν h (µ, ν) def (h µ, h ν ) (α 1, α 1 ) = (α 2, α 2 ) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 69 / 131
70 Roots (h α1, h 1 ) = α 1 (h 1 ) = 2, (h α1, h 2 ) = α 1 (h 2 ) = 1 (h α2, h 1 ) = α 2 (h 1 ) = 1, (h α2, h 2 ) = α 2 (h 2 ) = 2 h α1 = h 1, h α2 = h 2 (α 1, α 1 ) = 2, (α 2, α 2 ) = 2, (α 1, α 2 ) = 1 α 1 = α 2 = 2, angle α 1 α 2 = 120 o (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 70 / 131
71 Fundamental weights (1) µ 1 (h 1 ) = 1, µ 1 (h 2 ) = 0, µ 2 (h 1 ) = 0, µ 2 (h 2 ) = 1 µ 1 = 2 3 α α 2, µ 2 = 1 3 α α 2 2 µ 1 = µ 2 = 3, angle µ 1µ 2 = 60 o µ = m 1 µ 1 + m 2 µ 2, m i N 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 71 / 131
72 Fundamental weights (2) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 72 / 131
73 Chain (1) µ weight v V : ρ(h)v = µ(h)v p N o : v 0 = ρ p (x i )v 0 and ρ(x i )v 0 = 0, ρ(h)v 0 = (µ(h) + pα i (h))v 0 q N o : v 1 = ρ(y i ) p+q v 0 and ρ(y i )v 1 = ρ(y i ) p+q+1 v 0 = 0, ρ(h)v 1 = (m(h) qα i (h))v 1. W = span ( ρ p+q (y i )v 0, ρ p+q 1 (y i )v 0,..., ρ(y i ) 2 v 0,..., ρ(y i )v 0, v 0 ) (ρ, W ) is a sl(2, C) submodule Def: If µ is a weight and α i, i = 1, 2, 3 a root, a chain is the set of permitted values of the weights µ qα i, µ (q 1)α i,..., µ + (p 1)α i, µ + pα i The weights of a chain (as vectors) are lying on a line perpendicular to the vertical of the vector α i. This vertical is a symmetry axis of this chain. Prop: The weights of a representation is the union of all chains (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 73 / 131
74 Theorem (Weyl transform) Theorem (Weyl transform) If µ is a weight and α any root then there is another weight given by the transformation (µ, α) (µ, α) S α (µ) = µ 2 α and 2 (α, α) (α, α) Z (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 74 / 131
75 sl(3, C)-Representation (4,0) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 75 / 131
76 sl(3, C)-Representation (1,2) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 76 / 131
77 sl(3, C)-Representation (2,2) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 77 / 131
78 Killing form (ρ, V ) representation of g B ρ (x, y) def Tr (ρ(x) ρ(y)) Prop: B ρ ([x, y], z) = B ρ (x, [y, z]) B ρ (ad y x, z) + B ρ (x, ad y z) = 0 Definition (Killing form) B(x, y) def B ad (x, y) = Tr (ad x ad y ) g = span (e 1, e 2,..., e n ) g = span ( e 1, e 2,..., e n), e i (e j ) = e i.e j = δj i n n B(x, y) = e k.ad x ad y e k = e k. [x, [y, e k ]] k=1 k=1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 78 / 131
79 Propositions (1) Prop: δ Der(g) B(δ(x), y) + B(x, δ(y)) = 0 Prop: τ Aut(g) ad τx = τ ad x τ 1 B(τx, τy) = B(x, y) Prop: k ideal of g x, y k B(x, y) = B k (x, y) Prop: k ideal of g, k = {x g : B(x, k) = {0}} k is an ideal. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 79 / 131
80 Derived Series Def: Derived Series g (0) = g g (1) = D(g) = [g, g] g (2) = D 2 (g) = [ g (1), g (1)] g (n) = D n (g) = [ g (n 1), g (n 1)] g (k) is an ideal of g Definition (Solvable Lie Algebra) g solvable n N : g (n) = {0} (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 80 / 131
81 Exact sequence - extensions Def: exact sequence, a, b, g Lie spaces a µ g λ b Im µ = Ker λ Def: g extension of b by a 0 a µ 1:1 g λ epi b 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 81 / 131
82 Solvable Lie Algebra Def: Solvable Lie Algebra g solvable n N : g (n) = {0} Prop: g solvable, k Lie-subalgebra k solvable Prop: Prop: Prop: g solvable, φ : g Lie Hom g φ(g) solvable I solvable ideal AND g/i solvable g solvable a and b solvable ideals a + b solvable ideal (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 82 / 131
83 Theorem (5) Theorem µ a g λ b Im µ = Ker λ a solvable AND b solvable g solvable (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 83 / 131
84 Theorem (6) Theorem {0} a µ 1:1 g π g/ker λ λ epi iso b {0} Im µ = Ker λ g solvable a solvable AND b solvable (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 84 / 131
85 Equivalent definitions Theorem (a) g solvable g (n) = {0} (b) exists g = g 0 g 1 g 2 g n = 0 g i ideals and g i /g i+1 abelian. (c) exists g = h 0 h 1 h 2 h p = 0 h i subalgebras of g h i+1 ideal of h i and h i /h i+1 abelian. (d) exists g = h 0 h subalgebras of g h i h i+1 1 h 2 h q = 0 ideal of h i and dim h i /h i+1 = 1. g solvable Lie algebra m ideal such that dim(g/m) = 1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 85 / 131
86 Theorem (7) Theorem g solvable ad g t(n, C). There is a basis in g, where ALL the matrices ad x, x g. are upper triangular matrices. λ 1 (x) 0 λ 2 (x) ad x = 0 0 λ 3 (x) λ n (x) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 86 / 131
87 Radical Definition Rad(g) = radical = maximal solvable ideal = sum of all solvable ideals Def: Rad(g) = {0} g semi-simple Theorem (Radical Property) Rad (g/rad (g)) = { 0 } g/rad(g) is semisimple Prop: g = g 1 g 2 Rad(g) = Rad(g 1 ) Rad(g 2 ) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 87 / 131
88 Nilpotent Lie Algebras g 0 = g, g 1 = [g, g], g 2 = [ g, g 1],..., g n = [ g, g n 1] g k ideals Definition g nilpotent g n = 0 g nilpotent g solvable Prop: g nilpotent m : ad x1 ad x2 ad xm = 0 (ad x ) m = 0 Prop: g nilpotent g i ideals g = g 0 g 1 g 2 g r = {0} [g, g i ] g i+1 and dim g i /g i+1 = 1 Prop: g nilpotent basis e 1, e 2,..., e n where ad x is strictly upper triangular Prop: g nilpotent B(x, y) = 0 Prop: g nilpotent Z(g) {0} Prop: g/z(g) nilpotent g nilpotent (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 88 / 131
89 Engel s Theorem (1) Theorem ( Engel s theorem) g nilpotent n : (ad x ) n = 0 g nilpotent g ad-nilpotent Lemma g gl(v ) and x g x n = 0 { } = (ad x ) 2n = 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 89 / 131
90 Engel s Theorem in Linear Algebra Prop: g gl(v ) and x g x n = 0 { } = v V : x g xv = 0 step #1 x m (ad x ) m = 0 m Lie subalgebra of g g π g/m adx g π adx g/m ( adx ) m = 0 step #2 Induction hypothesis m ideal such that dim g/m = 1 g = Cx 0 + m step #3 Induction hypothesis and g = Cx 0 + m U = {v V : x m xv = 0} {0} v V : x g xv = 0 and gu U (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 90 / 131
91 Engel s Theorem (2) Prop : { } g gl(v ) and x g x n = = 0 V = V 0 V 1 V 2 V n = 0, V i+1 = gv i (g) n V = 0 x 1 x 2 x 3 x n = 0 V = V 0 V 1 V 2 V n = 0, V i+1 = gv i is a flag Theorem ( Engel s-theorem) g nilpotent n : (adx) n = 0 Theorem g nilpotent exists a basis in g such that all the matrices ad x, x g are strictly upper diagonal. Prop: g nilpotent {x g Tr ad x = 0} B(x, y) = Tr (ad x ad y ) = 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 91 / 131
92 Lie Theorem in Linear Algebra Theorem (Lie Theorem) g solvable Lie subalgebra of gl(v ) v V : x g xv = λ(x)v, λ(x) C step #1 Lemma (Dynkin Lemma) g gl(v ) a ideal λ a : W = {v V : a a av = λ(a)v} step # 2 g and [g, g] {0}, { a ideal gw W } : g = Ce 0 + a step # 3 induction hypothesis on a Lie theorem on g (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 92 / 131
93 Lie Theorem Lemma g solvable and (ρ, V ) irreducible module dim V = 1 Theorem g solvable and (ρ, V ) a representation exists a basis in V where all the matrices ρ(x), x g are upper diagonal. Theorem g nilpotent and (ρ, V ) a representation exists a basis in V all the matrices ρ(x), x g satisfy the relation (ρ(x) λ(x)i) n = 0, where λ(x) C or the matrices (ρ(x) λ(x)i) are strictly upper diagonal. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 93 / 131
94 Propositions (2) Prop: g solvable Dg = [g, g] is nilpotent Lie algebra ( W (ρ, W ) (ρ, V ) ρ(x) = 0 V /W ) Solvable Nilpotent ρ(x) = ρ(x) = λ 1 (x)... 0 λ 2 (x) λ 3 (x) λ 4 (x) λ(x)... 0 λ(x) λ(x) λ(x) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 94 / 131
95 Linear Algebra (1) A End V M n (C) p A (t) = Det(A ti) = characteristic polynomial p A (t) = ( 1) n m (t λ i ) m i m, m i = n, λ i eigenvalues i=1 i=1 i=1 V = m V i, V i = Ker (A λ i I) m i p A (A) = 0 and AV i V i Q i (t) = p A(t) (t λ i ) m If v V i j and j i Q i (A)v = 0 Prop: Chinese remainder theorem Q(t), (Q(0) 0) and P(t), (P(0) 0) polynomials with no common divisors, i.e (Q(t), P(t)) = 1 s(t), s(0) = 0 and r(t) polynomials such that s(t)q(t) + r(t)p(t) = 1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 95 / 131
96 Linear Algebra (2) Prop: Prop: s i (t) and r i (t) polynomials such that s i (t)q i (t) + r i (t) (t λ i ) m i = 1 S(t) = k µ i s i (t)q i (t) v V j S(A)v = µ j v i (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 96 / 131
97 Jordan decomposition (1) Prop: Jordan decomposition A gl(v ) A = A s + A n, [A s, A n ] = A s A n A n A s = 0 A s diagonal matrix (or semisimple) and v V i A s v = λ i v, A n nilpotent matrix (A n ) n = 0, the decomposition is unique Prop:! p(t) and q(t) polynomials such that A s = p(a) and A n = q(a) E ij n n matrix with zero elements with exception of the ij element, which is equal to 1 [E ij, E kl ] = δ jk E il δ il E kj (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 97 / 131
98 Jordan decomposition (2) Prop: A = n λ i E ii The eigenvalues of ad A are equal to λ i λ j i=1 ad A E ij = (λ i λ j ) E ij Prop: ad A = ad As + ad An and (ad A ) s = ad As, (ad A ) n = ad An (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 98 / 131
99 Cartan Criteria (1) Lemma { g gl(v ) x, y g Tr(xy) = 0 } [g, g] = Dg = g (1) nilpotent Theorem ( 1st Cartan Criterion) g solvable B Dg = 0 Corollary B(g, g) = {0} g solvable B is non degenerate, a ideal of g a = {x g : B (x, a) = {0}} is an ideal. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 99 / 131
100 Cartan Criteria (2) Theorem ( 2nd Cartan Criterion) g semisimple B non degenerate Prop a semi-simple ideal of g g = a a, a is an ideal. Prop: g semisimple, a ideal g = a a Theorem g semisimple g direct sum of simple Lie algebras g = i g i, g i is simple (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 100 / 131
101 Cartan Criteria (3) Theorem g semisimple Der(g) = adg Theorem g semisimple g = [g, g] = Dg = g (1) g semisimple, (ρ, V ) a representation ρ(g) sl(v ). (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 101 / 131
102 Abstract Jordan decomposition Prop: g semisimple Z(g) = {0} Prop: g semisimple g iso ad g Prop: Der(g), = s + n the Jordan decomposition s Der(g) and n Der(g) Theorem (Abstract Jordan Decomposition) g semisimple ad x = (ad x ) s + (ad x ) n Jordan decomposition and x = x s + x n where x s g, (ad x ) s = ad xs and x n g, (ad x ) n = ad xn (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 102 / 131
103 Toral subalgebra g is semisimple Definition semisimple element x s is semisimple x g : x = x s + x n x s is semisimple element ad xs is diagonalizable on g x s and y s semisimple elements x s + y s is semisimple and [x s, y s ] is semisimple. Definition Toral/ Cartan subalgebra Toral subalgebra h = {x s, x = x s + x n g} i.e the set of all semisimple elements Theorem The toral or Cartan subalgebra is abelian (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 103 / 131
104 Lie epimorphism φ is a Lie epimorphism g φ epi g and g simple g is simple and isomorphic to g. φ is a Lie epimorphism g φ epi g and g semisimple g is semisimple. Proposition g semisimple, (ρ, V ) a representation, x = x s + x n ρ(x) = ρ(x s ) + ρ(x n ) and ρ(x s ) = (ρ(x)) s, ρ(x n ) = (ρ(x)) n the Jordan decomposition of ρ(x) ρ(x n ) m = 0 for some m N. There is some basis in V where all the matrices ρ(x s ) are diagonal and all matrices ρ(x n ) are either strictly upper either lower triangular matrices. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 104 / 131
105 Roots construction g semi-simple algebra, h = {x s, x g, x = x s + x n } Toral subalgebra or Cartan subalgebra, h = Ch 1 + Ch 2 + Ch l. ad h is a matrix Lie algebra of commuting matrices all the matrices have common eigenvectors Σ i = eigenvalues of h i g = g λi, g λi linear vector space λ i Σ i x g λi ad hi x = λ i x and λ i ν i g λi g νi = {0} x g λ1 g λ2 g λl, h = c 1 h 1 + c 2 h c l h l ad h x = (c 1 λ 1 + c 2 λ c l λ l ) x h = Cµ 1 + Cµ Cµ l, µ i h, µ i (h j ) = δ ij Definition of the roots h λ = λ 1 µ 1 + λ 2 µ λ l µ l c 1 λ 1 + c 2 λ c l λ l = λ(h) λ is a root x g λ = g λ1 g λ2 g λl [h, x] = ad h x = λ(h)x g = λ g λ, λ µ g λ gµ = {0} (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 105 / 131
106 Root space g semisimple algebra, h = {x s, x g, x = x s + x n } Toral subalgebra ad h is a matrix Lie algebra of commuting matrices all the matrices have common eigenvectors Theorem (Root space) Exists root space h g = h g α α x g α, h h ad h x = [h, x] = α(h)x h is a Lie subalgebra, g α are vector spaces [g λ, g µ ] g λ+µ if λ + µ Prop: λ, µ [g λ, g µ ] = {0} if λ + µ (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 106 / 131
107 Semisimple roots g semisimple Lie algebra, h Toral/Cartan subalgebra B(g λ, g µ ) = 0 if λ + µ 0 h, h h B(h, h ) = λ n λ λ(h)λ(h ), n λ = dim g λ α, x g α (ad x ) m = 0 Proposition The Killing form is a non degenerate bilinear form on the Cartan subalgebra h {h h, B(h, h) = 0} {h = 0} (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 107 / 131
108 Killing form-non degenerate bilinear form on the Cartan subalgebra { α, α(h) = 0 h = 0} {span( ) = h } {α α } {α g α {0}} Killing form B non degenerate on h h φ 1:1 epi t φ h, φ(h) = B(t φ, h) x g α, y g α [x, y] = B(x, y)t α, t α h is unique [g α, g α ] = Ct α, α(t α ) = B(t α, t α ) h α = 2t α B(t α, t α ) S α = Ch α + Cx α + Cy a iso sl(2, C) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 108 / 131
109 Propositions (3) Prop: dim g α = 1 Prop: α and pα p = 1 S α = Ch α + Cx α + Cy a sl(2, C) iso g = h (Cx α + Cy a ) = h g + g α + g + = Cx α, g = Cy α α + α + Example g = sl (3, C) h = Ch 1 + Ch 2, g + = Cx 1 + Cx 2 + Cx 3, g = Cy 1 + Cy 2 + Cy 3 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 109 / 131
110 Strings of Roots β, α String of Roots β g β β + α g β+α β α g β α β + 2α g β+2α β 2α g β 2α β + pα g β+pα β qα g β qα β + (p + 1)α β (q + 1)α {β qα, β (q 1)α,..., β α, β, β + α,..., β + (p 1)α, β + pα} g α β = g β qα g β (q 1)α g β α g β g β+α g β+(p 1)α g β+pα ( ) Prop: ad, g α β is an irreducible representation of S a sl(2, C) iso Prop: β, α β(h α ) = q p Z, β β(h α )α (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 110 / 131
111 Cartan and Cartan-Weyl basis Cartan Basis [E α, E α ] = t α, [h α, E α ] = α(t α )E α, [E α, E β ] = k αβ E α+β, if α + β B(E α, E α ) = 1, B(t α, t β ) = α(t β ) = β(t α ) Cartan Weyl Basis α t α root H α = 2 α(t α ) t α coroot [X α, X α ] = H α, [H α, X α ] = 2X α, [H α, X α ] = 2X α [X α, X β ] = N αβ X α+β, if α + β CX α + CH α +CX α iso sl(2) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 111 / 131
112 Definitions-Propositions Def: (α, β) B(t α, t β ) = α(t β ) = β(t α ) = (β, α) Prop: < β, α > 2 (β, α) (α, α) = q p Z Prop: w α (β) β < β, α > α, w α (β) Def: Weyl Transform w α : (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 112 / 131
113 Propositions (4) Prop: β α < β, α >< 0, Prop: β + α < β, α >> 0 Prop: β(h α ) = < β, α > Z, B(h α, h β ) = γ(h α )γ(h β ) Z Prop: Prop: Prop: B(h α, h α ) = γ ( < α, γ >) 2 > 0 γ β and β = m c i α i, α i c i Q i=1 span Q ( ) = E Q, E Q is a Q-euclidean vector space. Prop: (α, β) B(t α, t β ) Q, (α, α) > 0, (α, α) = 0 α = 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 113 / 131
114 Propositions (5) Prop: There are not strings with five members < β, α >= 0, ±1, ±2, ±3 (α, β) = α β cos θ < β, α >= 2 β cos θ = 0, ±1, ±2, ±3 α < α, β > < β, α >= 4 cos 2 θ < α, β > < β, α > θ β / α 0 0 π/2 1 1 π/ π/ π/ π/ π/ π/6 3 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 114 / 131
115 Propositions (6) (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 115 / 131
116 Simple Roots =roots is a finite set and span R ( ) =<< >>= E = R l Proposition E is not a finite union of hypersurfaces of dimension l 1 E is not the union of hypersurfaces vertical to any root z E : α (α, z) 0 Definition of positive/negative roots + = {α : (α, z) > 0}, positive roots = {α : (α, z) < 0}, negative roots = +, + = Definition of Simple roots } Σ = {β + : is not the sum of two elements of + Σ Proposition β + β = σ Σ n σ σ, n σ 0, n σ Z (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 116 / 131
117 Coxeter diagrams (1) α i ɛ i = α i (αi, α i ) = unit vector Σ simple roots Admissible unit roots Def: Admissible unit vectors A = {ɛ 1, ɛ 2,... ɛ n } 1 ɛ i linearly independent vectors 2 i j (ɛ i, ɛ j ) (ɛ i, ɛ j ) 2 = 0, 1, 2, 3, Coxeter diagrams for two points ɛ i ɛ j 4 (ɛ i, ɛ j ) 2 = 0 ɛ i ɛ j 4 (ɛ i, ɛ j ) 2 = 1 ɛ i ɛ j 4 (ɛ i, ɛ j ) 2 = 2 ɛ i ɛ j 4 (ɛ i, ɛ j ) 2 = 3 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 117 / 131
118 Coxeter diagrams (2) Prop: A = A {ɛ i } admissible Prop: The number of non zero pairs is less than n Prop: The Coxeter graph has not cycles Prop: The maximum number of edges is three Prop: If {ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ m } A and 2 (ɛ k, ɛ k+1 ) = 1, i j > 0 (ɛ i, ɛ j ) = 0 ɛ = m ɛ k A = (A {ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ m }) {ɛ} admissible k=1 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 118 / 131
119 Coxeter diagrams (3) Rank 2 root systems Root system A1 A1 Root system A2 Root system B2 Root system G2 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 119 / 131
120 Dynkin diagrams (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 120 / 131
121 Serre relations g = h g + g, simple roots Σ = {α 1, α 2,..., α r } x i g αi, y i g αi, B(x i, y i ) = 2 (α i, α i ) h i = h αi α i (h i ) = 2, α i (h j ) Z Serre Relations Cartan Matrix: a ij = α j (h i ) = 2 (α j, α i ) (α i, α i ) 1 [h i, h j ] = 0 2 [h i, x j ] = a ij x j, [h i, y j ] = a ij y j 3 [x i, y j ] = δ ij h i 4 (ad xi ) 1 a ij x j = 0, (ad yi ) 1 a ij y j = 0 [ 2 1 Example sl (3, C) Cartan Matrix = 1 2 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 121 / 131 ]
122 Weight ordering (1) Theorem The weights µ and the roots α are elements of the h h h, z α g α ρ(h)v = µ(h)v ρ(h)ρ(z α )v = (µ(h) + α(h)) ρ(z α )v Definition of weight ordering µ 1 µ 2 µ 1 µ 2 = α + k α α, k α 0 (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 122 / 131
123 Weight ordering (2) If (α, β) > 0 α β If α β (α, β) < 0 If α, β Σ (α, β) < 0 Let µ α span such that µ α (h β ) = (µ α, β) = δ α,β, where α, β Σ µ o = α Σ n α µ α, n α N {0} µ = α Σ m α µ α, m α Z + or Z, µ µ o (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 123 / 131
124 Highest weight Definition of Highest weight µ 0 is highest weight if for all weights mu µ 0 µ Def: (ρ, V ) is a highest weight cyclic representation with highest weight µ 0 iff 1 v V ρ(h)v = µ 0 (h)v, v is a cyclic vector 2 α + ρ(x α )v = 0 3 if (ρ, W ) is submodule of (ρ, V ) and v W W = V (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 124 / 131
125 Highest weight representation Theorem Every irrep (ρ, V ) of g is a highest weight cyclic representation with highest weight µ 0 and µ o (h α ) N {0}, α + Theorem The irrep (ρ, V ) with highest weight µ 0 is a direct sum of linear subspaces V µ where µ = µ 0 ( α + k α α) and k α are positive integers. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 125 / 131
126 Chain (2) µ weight v V : ρ(h)v = µ(h)v p, q N o : (ρ, W ) is a g submodule Def: If µ is a weight and α a root, a chain is the set of permitted values of the weights µ qα, µ (q 1)α,..., µ + (p 1)α, µ + pα The weights of a chain (as vectors) are lying on a line perpendicular to the vertical of the vector α. This vertical is a symmetry axis of this chain. Prop: The weights of a representation is the union of all chains Theorem (Weyl transform) If µ is a weight and α any root then there is another weight given by the transformation (µ, α) (µ, α) S α (µ) = µ 2 α and 2 (α, α) (α, α) Z (Α.Π.Θ.) Αναπαραστασεις Αλγεβρων Lie 126 / 131
127 Βιβλιογραφία J. E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer Alex. Kirillov An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge Univ. Press R. W. CARTER Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge Univ. Press K. Erdmann and M. J. Wildon Introduction to Lie Algebras, Spinger Hans Samelson, Notes on Lie Algebras. B. C. Hall Lie Groups, Lie Algebras and Representations, Grad. Texts in Maths. Springer Andreas Čap, Lie Algebras and Representation Theory, Univ. Wien, Lecture Notes Alberto Elduque, Lie algebras, Univ. Zaragoza, Lecture Notes (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 127 / 131
128 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Δασκαλογιάννης Κωνσταντίνος. Άναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie. Εκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 128 / 131
129 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Παρόμοια Διανομή 4.0[1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 129 / 131
130 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 130 / 131
131 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία:Αναστασία Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο (Α.Π.Θ.) Αναπαραστάσεις Αλγεβρών Lie 131 / 131
Lie Algebras Representations- Bibliography
Lie Algebras Representations- Bibliography J. E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1980 Alex. Kirillov An Introduction to Lie Groups
Διαβάστε περισσότεραLie Algebras Representations- Bibliography
Lie Algebras Representations- Bibliography J. E. Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1980 Hans Samelson, Notes on Lie Algebras B. C.
Διαβάστε περισσότεραLecture 13 - Root Space Decomposition II
Lecture 13 - Root Space Decomposition II October 18, 2012 1 Review First let us recall the situation. Let g be a simple algebra, with maximal toral subalgebra h (which we are calling a CSA, or Cartan Subalgebra).
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραLecture 10 - Representation Theory III: Theory of Weights
Lecture 10 - Representation Theory III: Theory of Weights February 18, 2012 1 Terminology One assumes a base = {α i } i has been chosen. Then a weight Λ with non-negative integral Dynkin coefficients Λ
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραg-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King
Ole Warnaar Department of Mathematics g-selberg integrals The Selberg integral corresponds to the following k-dimensional generalisation of the beta integral: D Here and k t α 1 i (1 t i ) β 1 1 i
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραLecture 15 - Root System Axiomatics
Lecture 15 - Root System Axiomatics Nov 1, 01 In this lecture we examine root systems from an axiomatic point of view. 1 Reflections If v R n, then it determines a hyperplane, denoted P v, through the
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραCongruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραLECTURE NOTES TO HUMPHREYS INTRODUCTION TO LIE ALGEBRAS AND REPRESENTATION THEORY
LECTURE NOTES TO HUMPHREYS INTRODUCTION TO LIE ALGEBRAS AND REPRESENTATION THEORY ZHENGYAO WU Abstract. Reference: [Hum78]. Since our course is called Finite Dimensional Algebra, we assume that a vector
Διαβάστε περισσότεραAffine Weyl Groups. Gabriele Nebe. Summerschool GRK 1632, September Lehrstuhl D für Mathematik
Affine Weyl Groups Gabriele Nebe Lehrstuhl D für Mathematik Summerschool GRK 1632, September 2015 Crystallographic root systems. Definition A crystallographic root system Φ is a finite set of non zero
Διαβάστε περισσότεραΑνάκτηση Πληροφορίας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Λανθάνουσα Σημασιολογική Ανάλυση (Latent Semantic Analysis) Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραLecture 16 - Weyl s Character Formula I: The Weyl Function and the Kostant Partition Function
Lecture 16 - Weyl s Character Formula I: The Weyl Function and the Kostant Partition Function March 22, 2013 References: A. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction. Ch V Fulton-Harris, Representation
Διαβάστε περισσότεραUNIT - I LINEAR ALGEBRA. , such that αν V satisfying following condition
UNIT - I LINEAR ALGEBRA Definition Vector Space : A non-empty set V is said to be vector space over the field F. If V is an abelian group under addition and if for every α, β F, ν, ν 2 V, such that αν
Διαβάστε περισσότεραJordan Form of a Square Matrix
Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =
Διαβάστε περισσότεραLie algebras. Course Notes. Alberto Elduque Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza Zaragoza, Spain
Lie algebras Course Notes Alberto Elduque Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza 50009 Zaragoza, Spain c 2005-2015 Alberto Elduque These notes are intended to provide an introduction to the
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραLifts of holonomy representations and the volume of a link. complement. Hiroshi Goda. (Tokyo University of Agriculture and Technology)
Lifts of holonomy representations and the volume of a link complement Hiroshi Goda (Tokyo University of Agriculture and Technology) Intelligence of Low-dimensional Topology at RIMS May 26, 2017 1 $ 1.
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Επίλυση Διακριτών Γραμμικών Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 22. Ανατροφοδότηση εξόδου Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7. Ισοδύναμες Περιγραφές Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραSpace-Time Symmetries
Chapter Space-Time Symmetries In classical fiel theory any continuous symmetry of the action generates a conserve current by Noether's proceure. If the Lagrangian is not invariant but only shifts by a
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Συνάρτηση Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραOn the Galois Group of Linear Difference-Differential Equations
On the Galois Group of Linear Difference-Differential Equations Ruyong Feng KLMM, Chinese Academy of Sciences, China Ruyong Feng (KLMM, CAS) Galois Group 1 / 19 Contents 1 Basic Notations and Concepts
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12. Παρατηρησιμότητα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραEuropean Human Rights Law
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Prohibition of Discrimination due to Nationality Teacher: Lina Papadopoulou, Ass. Prof. of Constitutional Law Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραFrom root systems to Dynkin diagrams
From root systems to Dynkin diagrams Heiko Dietrich Abstract. We describe root systems and their associated Dynkin diagrams; these notes follow closely the book of Erdman & Wildon ( Introduction to Lie
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 9: Inversion Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΙστορία νεότερων Μαθηματικών
Ιστορία νεότερων Μαθηματικών Ενότητα 3: Παπασταυρίδης Σταύρος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Περιγραφή Ενότητας Ιταλοί Αβακιστές. Αλγεβρικός Συμβολισμός. Άλγεβρα στην Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία.
Διαβάστε περισσότεραAbstract Storage Devices
Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Διακριτοποίηση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραTridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008
Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠαράκτια Τεχνικά Έργα
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραContraction of a Lie Algebra with respect to one of its Subalgebras and its application to Group Representations
Contraction of a Lie Algebra with respect to one of its Subalgebras and its application to Group Representations Maury LeBlanc Department of Mathematics The University of Georgia 1 December 2011 Motivation
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 21. Επανατοποθέτηση πολών με ανάδραση εκτιμώμενης κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικοί Υπολογιστές IV
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # 17: Ταχύτητα Αντιδράσεων Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραx j (t) = e λ jt v j, 1 j n
9.5: Fundamental Sets of Eigenvector Solutions Homogenous system: x 8 5 10 = Ax, A : n n Ex.: A = Characteristic Polynomial: (degree n) p(λ) = det(a λi) Def.: The multiplicity of a root λ i of p(λ) is
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1. Ελεγξιμότητα (μέρος 1ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18. Ασυμπτωτική ευστάθεια και σταθεροποιησιμότητα γραμμικών συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραCyclic or elementary abelian Covers of K 4
Cyclic or elementary abelian Covers of K 4 Yan-Quan Feng Mathematics, Beijing Jiaotong University Beijing 100044, P.R. China Summer School, Rogla, Slovenian 2011-06 Outline 1 Question 2 Main results 3
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραThe ε-pseudospectrum of a Matrix
The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 () The ε-pseudospectrum of a Matrix Feb 16, 2015 1 / 18 1 Preliminaries 2 Definitions 3 Basic Properties 4 Computation of Pseudospectrum of 2 2 5 Problems
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος 13 η ενότητα: Ημερίδα «οι δρόμοι των μεταφραστών» Ελένη Κασάπη Τμήμα Ιταλικής Γλώσσας και Φιλολογίας
Διαβάστε περισσότεραLecture Notes Introduction to Cluster Algebra
Lecture Notes Introduction to Cluster Algebra Ivan C.H. Ip Update: May 29, 2017 7.2 Properties of Exchangeable roots The notion of exchangeable is explained as follows Proposition 7.20. If C and C = C
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Πραγματοποιήσεις Συνάρτησης Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραThe Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices
The Jordan Form of Complex Tridiagonal Matrices Ilse Ipsen North Carolina State University ILAS p.1 Goal Complex tridiagonal matrix α 1 β 1. γ T = 1 α 2........ β n 1 γ n 1 α n Jordan decomposition T =
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων Ενότητα 3
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Στοίβα Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Διαβάστε περισσότεραΣυμπεριφορά Καταναλωτή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 : Ομάδες αναφοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Σχεδιασμός εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τον αγροτικό χώρο Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραGeneral 2 2 PT -Symmetric Matrices and Jordan Blocks 1
General 2 2 PT -Symmetric Matrices and Jordan Blocks 1 Qing-hai Wang National University of Singapore Quantum Physics with Non-Hermitian Operators Max-Planck-Institut für Physik komplexer Systeme Dresden,
Διαβάστε περισσότερα