ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ (1) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 18 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Α. i. Έστω μία συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αοδείξετε ότι: «Αν η f είναι αραγωγίσμη με f (x) σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ». ii. Ισχύει το αντίστροφο του αραάνω θεωρήματος; (Μονάδες 1) Αν ναι να το αοδείξετε, αν όχι να δώσετε κατάλληλο αντί-αράδειγμα. (Μονάδες ) Α. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό α) Αν σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. lim f(x) + ή, τότε xx lim f(x) + xx. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο x του εδίου ορισμού της, τότε η f είναι και αραγωγίσιμη στο x. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Αν το Α(x, f(x )) είναι σημείο καμής της γραφικής αράστασης της f και η f είναι δύο φορές αραγωγίσιμη, τότε f (x ). δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με f(x)dx, τότε κατ ανάγκη θα είναι f(x) για κάθε x στο [α,β]. ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] τότε ισχύει: «Το f(x)dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων ου βρίσκονται άνω αό τον άξονα x x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων ου βρίσκονται κάτω αό τον άξονα x x» (Μονάδες 5x= 1). Για τις ροτάσεις ου χαρακτηρίσατε ως Λάθος, να βρείτε κατάλληλο αράδειγμα ου να ειβεβαιώνει τον ισχυρισμό σας (Μονάδες 1). ΘΕΜΑ Β Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f: f x 1 για κάθε x και η συνάρτηση: f x g x f (x)+1 Β1. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f. με Β. Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα και «1-1». Μονάδες 5 Β. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση: f g x +1 f g 4x +x έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες και μια αρνητική ρίζα. Β4. Να λύσετε την ανίσωση: fog x +4 fog x ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ Μονάδες 8

3 ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δίνεται η συνάρτηση f: με f x x. Γ1. Να αοδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση «1-1» και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f -1 (). Ειβεβαιώστε γραφικά ότι η συνάρτηση f είναι «1-1», δίνοντας και μία γεωμετρική ερμηνεία για αυτό. (Μονάδες ). Γ. Να αοδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: f 1 ημx f x x 6 Μονάδες 9 Γ. Ένα κινητό (θεωρήστε το ως σημείο) Μ κινείται κατά μήκος της καμύλης y x, x με x xt και y yt ως συναρτήσεις του χρόνου t. Να βρείτε σε οιο σημείο της καμύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης yt του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης κάθε t. xt, αν υοτεθεί ότι x t για (Μονάδες ) Να δώσετε μία εριγραφή, με φυσική ερμηνεία, του αραάνω ροβλήματος. g Γ4. Αν : είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υολογίσετε το ολοκλήρωμα: ΘΕΜΑ Δ 1 Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση -1 f x g x dx, f: f (x) xημx, x, και f() (Μονάδες 1) για την οοία ισχύουν: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 Δ1. i. Να αοδείξετε ότι: ii. Να αοδείξετε ότι: ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Έστω είσης η συνάρτηση: f(x) ημx xσυνx, x, ημx xσυνx, x, xεφx x, g(x) x, Μονάδες Μονάδες Δ. Να μελετήσετε τη g ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ. i. Αν α, να αοδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης g(x) α είναι μηδέν. ii. Έστω x 1, x, x οι θετικές ρίζες των εξισώσεων: g(x) 1, g(x), g(x) αντίστοιχα. Να αοδείξετε ότι υάρχουν ξ 1, ξ, με ξ 1 ξ τέτοια, ώστε: Δ4. i. Να βρείτε το όριο: (x x )g (ξ ) (x x )g (ξ ) 1 1 x ln ημx f x lnx x lim ημx xσυνx x Μονάδες ii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, f και την ευθεία x. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο άνω-άνω να συμληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των ααντήσεών σας να γράψετε άνω-άνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε ουθενά στις ααντήσεις το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεώνυμό σας στο άνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας αραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας άνω άνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία ερίτωση. Κατά την αοχώρησή σας να αραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να ααντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μλε ή μόνο μαύρο στυλό με μελάνι ου δεν σβήνει. 4. Κάθε αάντηση ειστημονικά τεκμηριωμένη είναι αοδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αοχώρησης: 1 ώρα μετά αό την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Ειστημονική ειμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ