Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΘΕΜΑ Α Α. i. Να διατυώσετε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών και στη συνέχεια να το αοδείξετε. ii. Να δώσετε ένα αράδειγμα, σχεδιάζοντας συνάρτησης f ου δεν είναι συνεχής στο διάστημα α, β υοχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές ανάμεσα στα f(α), f(β). ένα ρόχειρο σχήμα, μιας και η οοία δεν αίρνει Α. Να βρείτε το λάθος στον εόμενο συλλογισμό. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. I= d - du=- du -I u +u u (θέσαμε, οότε d du ). u u Άρα I= -I, οότε I. Αυτό, όμως, είναι άτοο, αφού + για κάθε -,. I= d, εειδή - + Α3. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν,, f g h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogof hogof και ισχύει hogof hog of., τότε ορίζεται και η β) Για κάθε συνάρτηση f ου είναι συνεχής στο [α, β], το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι [f(α), f(β)]. ή [f(β), f(α)]. γ) Αν για κάθε συνάρτηση f και για ένα σημείο ισχύει: + f() f( ) f() f( ) = - του εδίου ορισμού της ου, τότε η f είναι αραγωγίσιμη στο. δ) Μια συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a, ] δεν έχει

3 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ασύμτωτες. ε) Για όλες τις συνεχείς στο R συναρτήσεις με ισχύει β γ. β γ f()d= f()d α (α, β, γ R) α, Α4. Στο εόμενο σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση της αραγώγου f μιας συνάρτησης f στο διάστημα [, ]. Ειλέξτε τη σωστή αάντηση και να αιτιολογήσετε την ειλογή σας. Το σημείο A, f() είναι:. θέση τοικού μέγιστου της f. θέση τοικού ελάχιστου της f 3. σημείο καμής της Cf ΛΥΣΗ Α. i. Διατύωση του Θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών: Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υάρχει ένας, τουλάχιστον ϵ (α, β) τέτοιος, ώστε f( ) = η. Αόδειξη του Θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών: Ας υοθέσουμε ότι f(α) < f(β). Τότε θα ισχύει f(α) < η < f(β) (εόμενο σχήμα). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() = f() η, ϵ [α, β], αρατηρούμε ότι :

4 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 η g είναι συνεχής στο [α, β] και g(α) g(β) <, αφού g(α) = f(α) η < και g(β) = f(β) η > Εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υάρχει ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε g( ) = f( ) η =, οότε f( ) = η. ii. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε, όως φαίνεται και στο διλανό σχήμα, δεν αίρνει υοχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές. Α. Το λάθος βρίσκεται στην αντικατάσταση σωστή διότι όταν δεν υάρχει αντίστοιχο u. Α3. α. Σωστό. β. Λάθος. γ. Λάθος. δ. Σωστό. ε. Λάθος.. Η αντικατάσταση u δεν είναι u Α4. Το (Το σημείο A, f() είναι θέση τοικού ελάχιστου της f ) διότι f ( ) για κάθε -, και συνεχής στο, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, f για κάθε, και συνεχής στο Ακόμα ( )., άρα η f είναι γνησίως αύξουσα

5 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 στο,. Εομένως στο θέση τοικού ελάχιστου της f. A, f() είναι έχει τοικό ελάχιστο,δηλαδή το σημείο ΘΕΜΑ Β Δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f. B. Να βρείτε το εδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f. B. Να βρείτε, αν υάρχουν, τα αρακάτω όρια. α) δ) f() β) f() ε) 7 f() γ) 3 f() 9 f() 5 Για τα όρια ου δεν υάρχουν να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. B3. Να βρείτε, αν υάρχουν, τα αρακάτω όρια. α) β) f() 6 Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. γ) f f() f() 8 B4. Να βρείτε τα σημεία στα οοία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. B5. Να βρείτε τα σημεία του εδίου ορισμού της f για τα οοία ισχύει f ( ) =. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας.

6 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΗ Β. Το εδίο ορισμού A της συνάρτησης f είναι A,5 5, 9. Το σύνολο τιμών ( ) Β. Έχουμε: α) f ( ) f ( ) f A είναι f A, 5 β) γ) f ( ) f ( ) (Δεν υάρχει το 3 3 f ( ) f ( ) 3 f ( ) f ( ) ) 3 δ) ε) f ( ) 4 f ( ) (Δεν υάρχει το f ( ) ) 7 7 f ( ) f ( ) Β3. α) Είναι:, διότι f ( ) και f ( ) ( ),διότι f ( ) και f ( ) ( ) Δεν υάρχει το όριο β) Είναι: 6 f ( ) f ( ), διότι f ( ) και ( ) 6. f για κάθε, f για κάθε,3 f για κάθε 5,7 γ) θέτουμε f ( ) Εομένως έχουμε: 8 uu u5 u και έχουμε f ( ) u f ( ) f ( ) 5 u. f f ( ) f ( u) f ( u) Β4. Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στα σημεία 3 και 7 αφού: f ( ) f ( ) (Δεν υάρχει το 3 3 f ( ) ) και 3 f ( ) 4 f ( ) (Δεν υάρχει το f ( ) ) 7 7 7

7 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 Β5. Τα σημεία στα οοία έχουμε f ( ) είναι , αφού αό την αρατήρηση του δοσμένου σχήματος σε αυτά δέχεται οριζόντια εφατομένη (αράλληλη με τον άξονα ) οότε (και εειδή στα σημεία αυτά είναι συνεχής) θα έχουμε f ( 3) f ( 4) f ( 5). ή εναλλακτικά : Η f αρουσιάζει τοικά ακρότατα στα σημεία 3, 4, 5 στα οοία είναι 8 αραγωγίσιμη και εομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, f ( ) f ( ) f ( ) θα είναι ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση: f e, Γ. Να αοδείξετε ότι υάρχει ακριβώς ένας αριθμός α, τέτοιος, ώστε να ισχύει: α e α. f α α για κάθε R, όου α ο αριθμός του Γ. Να δείξετε ότι: ερωτήματος Γ. Γ3. Να βρείτε το λήθος των ραγματικών ριζών της εξίσωσης f Γ4. Να αοδείξετε ότι: f f f f 3, για κάθε 7 6. Γ5.Έστω ένα σημείο M(t), y(t), όου t o χρόνος, το οοίο διατρέχει τη γραφική αράσταση της f με (t), ( t). Να αοδείξετε ότι υάρχει χρονική στιγμή t, με t, το χρόνο, να μηδενίζεται. ΛΥΣΗ, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του M, ως ρος Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) e,. Εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano για την g στο [, ] Η g είναι συνεχής στο [, ] (ως αοτέλεσμα ράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] ). g()

8 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 g ( ) e Άρα υάρχει a(, ) τέτοιο, ώστε g( a) ea a. Η g είναι αραγωγίσιμη στο (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ), με g ( ) e για κάθε και εειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και «-», δηλαδή η η g έχει μοναδική ρίζα την Γ. Η f είναι αραγωγίσιμη στο (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με f ( ) e,. Άρα f ( ) g( ), και η g έχει μοναδική ρίζα την a. Έχουμε: a. a g( ) g( a) f ( ) a g( ) g( a) f ( ) Δηλαδή f ( ) για κάθε (, ) και εειδή η f είναι συνεχής στο (, ] είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. Ακόμα f ( ) για κάθε ( a, ) και εειδή η f είναι συνεχής στο [, ) είναι γνησίως αύξουσα στο[, ). Εομένως η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το f ( a) ea a (). Όμως έχουμε: Άρα η () δίνει: Άρα έχουμε: Γ3. Είναι: g( a) ea a ea a () f a e a ( ) a f ( ) f ( a) f ( ) για κάθε. και e e Αν Δ,,, Είναι: f ( f ( θα έχουμε: ) ) Εομένως:,, e. (εειδή η f γν. φθίνουσα στο Δ και γν. άυξουσα στο Δ ) (, ) και 7 6.

9 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 7 7 f (Δ ), άρα υάρχει (, α) τέτοιος, ώστε f (ρ ) και είναι 6 6 μοναδικός αφού η f, ως γνησίως φθίνουσα στο,είναι και «-». 7 7 f (Δ), άρα υάρχει ( a, ) τέτοιος, ώστε f (ρ ) και είναι 6 6 μοναδικός αφού η f, ως γνησίως αύξουσα στο, είναι και «-». Εομένως η f έχει δύο ακριβώς ρίζες, τις,. Γ4. Η σχέση ου θέλουμε να αοδείξουμε γράφεται διαδοχικά: f ( ) f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) () ( ) ( 3) ( ) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την συνάρτηση f στα διαστήματα, και, 3, : Η f αραγωγίσιμη στα διαστήματα, και, 3, (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ). Άρα η f είναι και συνεχής στα διαστήματα αυτά. Εομένως υάχουν αντίστοιχα : f (ξ ) ξ (, ), (, 3) με: f ( ) f ( ) ( ) και f (ξ ) f ( 3) f ( ) ( 3) ( ) Έτσι η ρος αόδειξη σχέση () γίνεται f (ξ ) f (ξ ), η οοία είναι αληθής αφού: ξ f (ξ ) f (ξ ), εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διότι f ( ) e για κάθε ( f συνεχής στο ). Γ5. Έχουμε ότι y( t) e( t) ( t) ( t), t (). Τα μέλη της σχέσης () είναι αραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε t (ως ράξεις και σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων για κάθε t ). Εομένως έχουμε: e (3) y ( t) e( t) ( t) ( t) ( t) ( t) y ( t) ( t) ( t) ( t) Αν t t είναι η χρονική στιγμή ου το σημείο Μ διέρχεται αό το ( a, f ( a )), τότε ( t ),. Η σχέση (3) για t t γίνεται: t y t ( t ) e t (4) με (t) ( ) ( ) ( ) ( t Ισχύει ακόμα ότι ) e ( t ) ea a (5). Η σχέση (4), λόγω της σχέσης (5) γίνεται y ( t ) ( t ).

10 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση Δ. i. Να δείξετε ότι: ii. Να δείξετε ότι: Δ. Έστω είσης η συνάρτηση: f:, R για την οοία ισχύουν: f ()=ημ,, και f()= f()=ημ συν,,, f() ημ συν, g() εφ,, Να μελετήσετε τη g ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ3. i. Αν α, να δείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης g() α είναι Δ4. μηδέν. ii. Έστω,, 3 οι θετικές ρίζες των εξισώσεων g(), g(), g() 3 αντίστοιχα. Να δείξετε ότι υάρχουν ξ, ξ, με ξ ι. Να βρείτε το όριο: ( )g (ξ ) ( )g (ξ ) 3 + ln ημ f ln ημ συν ξ τέτοια, ώστε: ιι. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f και την ευθεία.

11 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΗ Δ. i. Έχουμε διαδοχικά: f ' ( ) ' ' ' f ( ) ( f ( )) ( ) για άρα: έχουμε f ( ) c, όου c σταθερά f () c cc f ( ) ii. f ( ). Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο, με f ( ),, και η f είναι συνεχής στο,, εομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και ισχύει: f f Δ. g( ) Αό το ερώτημα (Δ ii) ισχύει:,,. Εχουμε: αν, τότε, και ισχύει: για g Άρα g( ),,. Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη στο, συναρτήσεων στο, ) με: (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων αν g ( ), τότε και άρα g ( )

12 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 αν, τότε και άρα g ( ) για g () Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, Η g αρουσιάζει για = ολικό ελάχιστο το g()=. ος τρόος: g ( ) = g () αν, τότε, και Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο,,, έστω με τότε: g g Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, Η g αρουσιάζει για = ολικό ελάχιστο το g()=. Δ3. i. g a, όου a g g άρα g ( ) g,, και a,, άρα υάρχει μοναδικό o, ( γιατί η g είναι γνησίως αύξουσα στο, ) τέτοιο, ώστε g o a o, και g o o o o g o a Το o είναι μοναδικό ( γιατί η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, ) Άρα το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης g a, όταν a είναι : o o. ii. Εειδή,, 3 οι θετικές ρίζες των εξισώσεων g, g, g 3 αντίστοιχα, έχουμε:

13 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 g, g, g 3 3 και είναι: 3 g( ) g( ) g( ) 3 3 αό την εφαρμογή του Θ.Μ.Τ του Διαφορικού Λογισμού για την g στα,,, 3 (αφού ληρούνται οι ροϋοθέσεις διότι g αραγωγίσιμη στο,, εομένως και στα,,, 3, άρα και συνεχής σε αυτά) έχουμε: g g g,, g g 3 g 3,, 3 3 Προσθέτοντας τις ροηγούμενες σχέσεις κατά μέλη ροκύτει: Δ4. i. Έχουμε διαδοχικά: ος τρόος: g 3 ln g.. ln f ln D L P D. L. P ln ln f ln ln D. L. H D. L. H D. L. H ln l Άρα:

14 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ii. Για ln f ln (I) (αό το ερώτημα Δ ii) και (ΙΙ) για κάθε,. Άρα με ρόσθεση κατά μέλη έχουμε: (ΙΙΙ), για κάθε, Άρα οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο (,) (αφού f () f () ). Το εμβαδόν του χωρίου Ω ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f και την ευθεία είναι (λόγω της σχέσης (ΙΙΙ) έχουμε για κάθε d 3 3, ): ( ) f ( ) f () d d ( ) d d d d I I I d ( ) d ημ d I d d d ( ) Άρα: Ε(Ω)= 3.. Εναλλακτικά για το μοναδικό σημείο τομής των f, f έχουμε: () Οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο (,) αφού : f ( ) f ( ) () Προφανώς για η () εαληθεύεται, δηλαδή οι f, f τέμνονται στο Ο (,).

15 Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ),, η οοία είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με ( ) για κάθε, θα είναι γνησίως αύξουσα στο,, και εειδή η είναι συνεχής στο, άρα και «-» και εομένως η είναι η μοναδική ρίζα της (). Άρα οι f, f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο (,). Ειστημονική ειμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρουμελιώτης Αντώνης, Καθηγητής Μαθηματικών