ΕΑΠ/ΠΛΗ-22/ΑΘΗ.3 1 η τηλεδιάσκεψη 03/11/2013. επικαιροποιημένη έκδοση Ν.Δημητρίου

Transcript

1 ΕΑΠ/ΠΛΗ-/ΑΘΗ.3 1 η τηλεδιάσκεψη 03/11/013 επικαιροποιημένη έκδοση Ν.Δημητρίου

2 Συμπληρωματικές υποδείξεις Octave Εκκίνηση με την εντολή octave -i --line-editing Μετατροπή γραφήματος σε name.jpg print -djpg /Octave/name.jpg Αντιγραφή εντολών από παράθυρο στον editor Δεξί κλικ στο παράθυρο, επιλογή Mark, επισήμανση εντολών, <Εnter> και paste ή CTRL-V στον editor. Επανάληψη γραμμής εντολής στο παράθυρο Γράφουμε τα πρώτα γράμματα και διαδοχικά πατάμε το πάνω βελάκι μέχρι να εμφανιστεί η επιθυμητή γραμμή Διακοπή εκτέλεσης κώδικα στο παράθυρο CTRL-C

3 Πεδίο χρόνου/συχνοτήτων Κάθε σήμα μπορεί να περιγραφεί είτε στο πεδίο του χρόνου (κυματομορφή) είτε στο πεδίο των συχνοτήτων (φάσμα) Για τη μετάβαση από το ένα πεδίο στο άλλο χρησιμοποιείται ο ΜΣ ourier

4 Περιοδικά σήματα Περιοδική κυματομορφή m 1 T 1 =m T =m 3 T 3 με m 1, m, m 3 φυσικούς Διακριτό Φάσμα Πλάτους ισχύει n 1 f 1 =n f =n 3 f 3 με n 1, n, n 3 φυσικούς Χρόνος Συχνότητα

5 Μη Περιοδικά σήματα Μη Περιοδική κυματομορφή ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΦΑΣΜΑ Πλάτους χωρίς να ισχύει n 1 f 1 =n f =n 3 f 3 με n 1, n, n 3 φυσικούς Ή Χρόνος ΣΥΝΕΧΕΣ ΦΑΣΜΑ ΠΛΑΤΟΥΣ Συχνότητα

6 ΜΣ ourier Σχέσεις Υπολογισμού με ολοκληρώματα Διαφάνεια 61 ΜΣ ourier βασικών σημάτων - ιδιότητες Διαφάνειες 71,74 και πίνακες.3.5α-β τόμου Β/Β Πιο συχνοί μετασχηματισμοί Τετραγωνικοί/τριγωνικοί παλμοί, συναρτήσεις sinc, sinc, τριγωνομετρικές (cos sin ), συνάρτηση dirac (δ(t), δ(f)) Πιο συχνές ιδιότητες Γραμμικότητα, αλλαγή κλίμακας, χρονική μετατόπιση, ολίσθηση συχνότητας, δυϊσμός,συνέλιξη

7

8 Ω=πf =cos(πf 0 t) =sin(πf 0 t) tri(t)

9 Παράδειγμα Ιδιότητα αλλαγής κλίμακας Γραμμικότητα

10 Παράδειγμα Ιδιότητα αλλαγής κλίμακας Ιδιότητα αλλαγής κλίμακας Γραμμικότητα

11 Παράδειγμα με συνημίτονο (1) 1 cos 1 f t f f f f t t t t cos ft Δυϊσμός 0.5 t -f 0 f 0 f 0.5 f -t 0 t 0 t

12 Παράδειγμα με συνημίτονο () t t t t e 1 e Εναλλακτικός τρόπος 1 t t e 1 e Γραμμικότητα j ft j ft 0 0 j ft j ft 0 0 j ft0 j ft0 t t t t e e 0 0 Χρονική Μετατόπιση Χρονική Μετατόπιση 1 1 j ft 0 j ft0 t t t t e e cos ft Σχέση Euler

13 Συστήματα - Συνέλιξη Διαφάνειες Σήμα Εισόδου Κρουστική Απόκριση h(t) Σήμα Εξόδου x t X f h t H f y t Y f φάσμα εισόδου συνάρτηση μεταφοράς φάσμα εξόδου * y t x t h t Y f X f H f

14 Φίλτρα Διαφάνειες 84-88

15 Παράδειγμα-Φίλτρα Διαφάνειες

16 Δειγματοληψία Διαφάνειες

17 Δίνεται sinc x t B Bt Παράδειγμα Εύρεση φάσματος sinc t tri f sinc Bt tri 1 B f x t B Bt tri X f B sinc f B x(t) 1 X(f) -Β 0 Β f ΠΛΗ : Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ 17

18 Δειγματοληψία του x(t) με συχνότητα f s Περίοδος Δειγματοληψίας Τ s =1/ f s Χρονική έκφραση δειγματισμένου σήματος x n x t Bsinc BnT, n ακέραιος s tnt s Φάσμα δειγματισμένου σήματος f mf s s s s m m B s f f X f mf f tri, m ακέραιος s x s (n) X s (f) -f s -B 0 B f s -B f s f s +B f

19 Ανάκτηση του αρχικού σήματος από τα δείγματά του Το περνάμε μέσα από ένα βαθυπερατό φίλτρο το οποίο επιτρέπει την διέλευση μόνο του φάσματος γύρω από το f=0. x s (t) X s (f) Βαθυπερατό φίλτρο με εύρος ζώνης W όπου Β W f s -B y(t)=x(t) X(f) -W B 0 B W f s -B Αν f s -B B δηλ. f s B το x(t) ανακτάται ακριβως απο τα δειγματα του ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΝYQUIST ΠΛΗ : Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ 19

20 Υποδειγματοληψία και aliasing Αν το σήμα υποστεί δειγματοληψία με συχνότητα f s Β τότε θα έχουμε υπερκάλυψη των περιοδικά επαναλαμβανόμενων φασμάτων X(f-nf s ) στο φάσμα του X s (f), όπως φαίνεται στο σχήμα: Χ s (f) -W W f s f s To σημα στην εξοδο του κατωδιαβατου φιλτρου θα διαφερει απο το αρχικο σημα (aliasing) X a (f) Παράδειγμα Διαφάνειες W W ΠΛΗ : Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ 0

21 Διαμορφώσεις DSB Διαφάνειες M Διαφάνειες Παράδειγμα Διαφάνειες

22 Επιπλέον σχόλια

23 Διερεύνηση περιοδικότητας Για περισσότερες από περιόδους, έστω Τ 1, Τ,, Τ N ακολουθούμε την εξής διαδικασία: 1. Θέτουμε κ 1 Τ 1 = κ Τ = =κ Ν Τ N. Απλοποιούμε την παρακάτω έκφραση με απαλοιφή κοινών παραγόντων και τη φέρνουμε στη μορφή κ 1 /Α 1 = κ /Α = =κ Ν /Α N δηλ. τα κλάσματα να έχουν ως αριθμητές μόνο τα κ 1, κ,,κ Ν 3. Από την παραπάνω σχέση θα ισχύει ότι κ 1 =Α 1, κ =Α,,κ Ν =Α N, κι εφόσον τα Α 1,Α,, Α N είναι ακέραιοι το σήμα θα είναι περιοδικό με περίοδο ίση με Τ ολ =κ 1 Τ 1 = κ Τ = =κ Ν Τ N Παραδείγματα στις επόμενες διαφάνειες: ΕΑΠ/ΠΛΗ/ΑΘΗ.3/ε-ΟΣΣ/ /Ν.Δημητρίου

24 ,, Θέτουμε / 3 / ,, 3 3 Θέτουμε / ΕΑΠ/ΠΛΗ/ΑΘΗ.3/ε-ΟΣΣ/ /Ν.Δημητρίου

25 5 1,, 3 3 Θέτουμε / π / 5 / , 3 5 Τα,, δεν είναι φυσικοί αριθμοί (θετικοί ακέραιοι), άρα το σήμα δεν είναι περιοδικό. ΕΑΠ/ΠΛΗ/ΑΘΗ.3/ε-ΟΣΣ/ /Ν.Δημητρίου

26 Ορισμός διαστημάτων στο Octave Γενικά εάν έχουμε ένα διάστημα με όρια Α,Β και ορίζουμε ισομήκη διαστήματα με Ν συνολικά σημεία (που συμπεριλαμβάνουν τα Α,Β) καθένα από τα οποία (διαστήματα) έχει μήκος Δ, τότε ισχύει η σχέση Δ=(Β-Α)/(Ν-1). Το διάστημα αυτό μπορεί να οριστεί στο MATLAB είτε ως t=α:δ:β είτε ως t=linspace(a,b,ν).