Μουσική και Μαθηματικά

Transcript

1 Μουσική και Μαθηματικά

2 Πρόλογος Ορισμός μουσικής : Ως μουσική ορίζεται η τέχνη που βασίζεται στην οργάνωση ήχων με σκοπό τη σύνθεση, εκτέλεση και ακρόαση /λήψη ενός μουσικού έργου, καθώς και η επιστήμη που επικεντρώνεται σε θέματα συνδεόμενα με την παραγωγή, οργάνωση και λήψη ήχων. Με τον όρο εννοείται επίσης και το σύνολο ήχων από το οποίο απαρτίζεται ένα μουσικό κομμάτι. Ορισμός μαθηματικών : Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά την ποσότητα (δηλαδή τους αριθμούς), τη δομή (δηλαδή τα σχήματα), το διάστημα, τη μεταβολή και τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων αντικειμένων της πραγματικότητας και της φαντασίας μας. Οι Μαθηματικοί περιγράφουν τις σχέσεις με τύπους ή και αλγόριθμους και ερευνούν την αλήθεια τους με αποδεικτική διαδικασία λογικών βημάτων που στηρίζονται σε αξιώματα και θεωρήματα.

3 Ρυθμός η πρώτη μουσική κατάκτηση για τον άνθρωπο, (από έρευνες ανθρωπολόγων, ο ρυθμός προηγήθηκε της ομιλίας) Ο ρυθμός είναι καταγεγραμμένος στο DNA μας (ο ρυθμικός χτύπος της καρδιάς της μητέρας). Η συνειδητή παρακολούθηση της επανάληψης είναι η βάση αυτού που ονομάζουμε αρίθμηση που με τη σειρά της οδηγεί στην αντίληψη του αριθμού. Ο αριθμός είναι η διάρκεια και η στιγμή είναι η μονάδα και ο χρόνος είναι γεμάτος μονάδες. Ο άνθρωπος έχει την ικανότητα να εντοπίζει και να απομονώνει χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας. Αριθμός η πρώτη θεμελιώδης μαθηματική έννοια. Έχουν κοινή καταγωγή.

4 Το μουσικό μέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός μουσικού θέματος, δηλώνεται μέσω ενός κλάσματος, ενός αριθμού δηλ. το οποίο καθοδηγεί το ρυθμό. Άρα οι δύο έννοιες του ρυθμού και του αριθμού συνυπάρχουν στον τρόπο με τον οποίο γράφεται η Δυτική μουσική. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Στο σχήμα φαίνεται ένα μέρος ενός μουσικού κομματιού. Η χρονική αξία τoυ πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς.

5 Η Πυθαγόρεια προσέγγιση των αρμονικών συνηχήσεων μέσω της μελέτης των αριθμητικών σχέσεων δύο ήχων συνεχίστηκε ως τον Μεσαίωνα. Η Μουσική αντιμετωπίστηκε σαν ένας κλάδος της εφαρμοσμένης αριθμητικής και η musica ήταν μία από τις τέσσερις ακαδημαϊκές σπουδές του quadrivium, των τεσσάρων δηλαδή κλάδων των Μαθηματικών (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία και μουσική) (Eli Maor 1998).

6 Οκτάβα Οποιοδήποτε αντικείμενο που δονείται δημιουργεί αρμονικές, οι οποίες είναι σειρές από νότες που αναδύονται από ένα και μόνο αντικείμενο σε δόνηση. Αυτές οι νότες διαμορφώνουν τις αρμονικές σειρές: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, κ.λ.π. εάν διπλασιάσεις τον αριθμό των δονήσεων, λαμβάνεις μία νότα κατά μία οκτάβα υψηλότερα, παρομοίως, εάν μειώσεις στο μισό τον αριθμό των δονήσεων, θα προκύψει μία χαμηλότερη οκτάβα. Δύο νότες ονομάζονται ένα διάστημα, τρεις ή περισσότερες νότες διαμορφώνουν μία συγχορδία.

7 Νότες και διαστήματα οι σχέσεις μεταξύ των νοτών μιας μελωδίας μπορούν να εκφρασθούν μέσα από μια πολύ απλή μαθηματική φόρμουλα. Τα μήκη δύο τμημάτων μιας χορδής τα οποία δίνουν νότες που διαφέρουν κατά μια οκτάβα είναι σε λόγο 2:1, ενώ ο λόγος 4:3 παράγει μια Τετάρτη και ο 3:2 μια πέμπτη. Αυτές οι βασικές αρμονικές σχέσεις είναι ταυτόχρονα βασικές μαθηματικές σχέσεις και ενισχύουν τη θέση ότι όλα τα αρμονικά διαστήματα είναι τέτοια, λόγω των μαθηματικών τους ιδιοτήτων.

8

9 Τόνοι και Ημιτόνια Όπως και κάθε άλλη κλίμακα, έτσι και οι δύο βασικές για την ευρωπαϊκή μουσική, Μείζων και Ελάσσων, μπορούν να αναλυθούν ως προς τη διάταξή τους, ώστε να βρούμε τι είναι αυτό που τις κάνει να διαφέρουν. Το Ημιτόνιο ή αλλιώς, διάστημα δεύτερης μικρής, είναι το "κοντό" σκαλοπάτι στη δομή της κλίμακας, ενώ Ο Τόνος ή αλλιώς διάστημα δεύτερης μεγάλης είναι το "ψηλότερο" σκαλοπάτι στη δομή της κλίμακας. ο προσδιορισμός αυτός χρησιμεύει ώστε να διαχωρίσουμε τον ήχο ο οποίος έχει επηρεαστεί από ένα σημείο αλλοίωσης, από έναν άλλο ήχο που δεν έχει υποστεί την επιρροή αυτή.

10

11