Υπολογισμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων.

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μπορώ να φορτίω έναν αγωγό, π.χ. μεταλλική φαίρα, ε φορτίο δυναμικό : Υπολογιμός δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων. Σημειακά φορτία ε άπειρη απόταη Αποθήκευη και χρήη ηλεκτρικής ενέργειας Μπορώ να υνδέω με αγώγιμο ύρμα τις φορτιμένες φαίρες ώτε να μπορούν να εκφορτιτούν. Q, V -Q, -V αντίταη λαμπτήρας Ανυψωτικός ηλεκτρ κινητήρας διακόπτης και μιά άλλη μεταλλική φαίρα, ε φορτίο και δυναμικό : Όταν κλείω ένα διακόπτει ηλεκτρόνια διαφεύγουν από την αρνητική προς τη θετική φαίρα παράγοντας ηλκρτ. Ρεύμα που μπορεί να διέρχεται από μια αντίταη που θερμαίνει μέω ένα λαμπτήρα που φεγγοβολεί και μέα από ένα ηλεκτρ. κινητήρας που ανυψώνει ένα βάρος. Q, V Ηλεκτρόνια -Q, -V αντίταη Επομένως καθώς εκφορτίζονται οι φαίρες παράγεται ενέργεια Θερμική E th αντίταη οπτική ενέργεια E opt λαμπτήρας) και μηχανική ενέργεια E mech κινητήρας). E th E opt E mech = Ε φόρτηης λαμπτήρας διαφεύγουν προς τη θετική φαίρα διακόπτης Ανυψωτικός ηλεκτρ κινητήρας Οι ενέργειες αυτές προήλθαν από την ενέργεια Ε φόρτηης που καταναλώαμε για να φορτίουμε τις φαίρες. Άρα θα πρέπει να υπολογίω την ενέργεια που καταλώνω για να φορτίω έναν αγωγό μεταλλική φαίρα), με φορτίο Q και δυναμικό V η οποία αποθηκεύεται α δυναμική ενέργεια. Είναι η ενέργεια που καταναλώνουμε για να υπερνικήουμε την άπωη που έχουν ένας αριθμός φορτίων για να μετακινήουμε από αρχικά μεγάλη απόταη μεταξύ τους όπου η μεταξύ ηλεκτρική δύναμη τους είναι μηδενική) και να τα φέρουμε ε ένα χώρο, π.χ. επάνω ε κάποιο ώμα το οποίο φορτίζεται. e Κατανομή φορτίου ε κάποιο ώμα π.χ. αγωγό Η δυναμική ενέργειας μιάς κατανομής φορτίων. P Για να τοποθετήουμε τα φορτία ε κάποιο ώμα πρέπει να καταναλώουμε ενέργεια για να υπερνικήουμε την άπωή των. Η ενέργεια που καταναλώνουμε είναι η δυναμική ενέργεια των φορτίων το φορτιμένο ώμα και είναι αποθηκευμένη το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργούν. είναι η ενέργεια που χρειάζεται για τη υνάθροιη των ημειακών φορτίων τη κατανομή φορτίων αγωγού. Η δυναμική ενέργεια δύο ημειακών φορτίων. P q r q Ur ) = V r )q 4πε o q q r

2 Η δυναμική ενέργεια μιάς κατανομής φορτίων. είναι το άθροιμα των U όλων των δυνατών ζευγών Έτω ότι έχω 3 ημειακά φορτία q P r 3 Η υνολική δυν ενέργεια U είναι το άθροιμα των δυναμικών ενεργειών των φορτίων ανά Η U μεταξύ των q και q q q 4πε q q 3 q q 3 o 3 4πε o r Η U 3 μεταξύ των q και q 3 αρχή επαλληλίας) Η U 3 μεταξύ των q και q 3 r 3 r P q r 3 q 3 P3 q q q q ) Η U αναπτύεται ως εξής γράφοντας φορές το κάθε ένα όρο q q 3 q q ) q q 3 q q ) V other ) το δυναμικό το Ρ από τα άλλα other) φορτία q, q 3 V other ) το Ρ V other 3) το Ρ 3 V other) q q 4πε q 3 o 4πε o ) q r r 3 q q 3 4πε o ) q r 3 q q 3 4πε o ) q 3 V other) q r 3 V other3) q 3 Ιχύει γενικά και για q q 3 V other ) = περιότερα από 3 φορτία... 4πε o r 3...

3 Η δυναμική ενέργεια ενός αγωγού. για γενικά περιότερα από 3 φορτία έχουμε : V other) q V other) q Αν τα φορτία q, q, q 3,.. τα αντικατατήω με ία τοιχειώδη φορτία Δq i τότε : V other) Δq V other) Δq V other i) = V V other3) q 3... V other3) Δq 3... Αφού το υνολικό δυναμικό V πρακτικά δεν αλλάζει αν κάθε φορά απομακρύνω ένα τοιχειώδες φορτίο Δq i Σ Δ ½ ΣV other i) Δq i ) = ½ V ΣΔq i ) = ½ V Q Q Aγωγός V Δυναμική ενέργεια του dq i dq du i = V i dq i είναι η ενέργεια για να φέρω το φορτίο dq i από το άπειρο τoν αγωγό V Q Δυναμική ενέργεια του φορτίου Q τον αγωγό είναι η ενέργεια για να υπερνικήουμε της άπωη των τοιχειδών φορτίων που που αποτελείται υνολικά φορτίο Q από το άπειρο τoν αγωγό με δυναμικό V.

4 -Q Υπολογιμός της U δύο παράλληλων αντίθετα φορτιμένων πλακών Q Η ενέργεια U για να φέρω τα φορτία Q και - Q από το άπειρο τις αγώγιμες πλάκες V V y Πλάκα V y V Q V Q = V Q - = V -V ) Q E = Ε Ε = Πλάκα ε ο Ε Ε Ε = -E - - E = E = ε ο Q ε ο A = V -V )/d = E V -V ) = E d = Q A εο Q d ε ο A V Q η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου της πλάκας A το εμβαδόν της πλάκας V -V ) Q = Q d ε ο A Q εο ) Αd ε ο A [όγκος] E εο E [όγκος] Η ενέργεια είναι κατανεμιμμένη το χώρο και είναι ανάλογη του Ε U [όγκος] = εο E ενέργεια ανά μονάδα όγκου Ιχύει και για μη ομογενή ηλεκτρικά πεδία

5 Πυκνότητα ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου π.χ. Η ενέργεια παρυφής αγωγίμων πλακών d V dq - V dq = V -V ) dq = = dq El) dl dq El) dl -dq l dq Εl) dq ε ο = El) dsl) Ο αριθμός των δυναμικών γραμμών μέα από την dsl) ε ο El) El) dsl) dl ο νόμος του Qauss τον ωλήνα El) παράλληλο τις γραμμές του ωλήνα dυ = dsl) dl ο τοιχειώδης όγκος μεταξύ l και ldl ε ο E dυ Φ πλευρών =0 u = /) ε ο E πυκνότητα ενέργειας l dq dsl) Ε=0 το εωτερικό της πλάκας άρα Φ=0 την κάτω επιφάνεια του ωλήνα u dυ

6 H ενέργεια είναι ολοκλήρωμα επί του ηλεκτρικού πεδίου u = /) ε ο E ε ο E dv πυκνότητα ενέργειας u dv υπονοεί ότι η ενέργεια ευρίκεται το ηλεκτρικό πεδίο Q Η ενέργεια άθροιμα επί όλων των ηλεκτρικών φορτίων τους αγωγούς V Q V Q V 3 Q 3... υπονοεί ότι η ενέργεια ευρίκεται τα φορτία Q, Q, Q3,... των αγωγών,,3,... παλλόμενο ηλ. δίπολο Διάδοη ηλεκτρικής ενέργειας παλλομένου ηλεκτρικού διπόλου Ηλεκτρομαγνιτική ακτινοβολία -Q Η διάδοη της ηλεκτρικής ενέργειας υνεχίζει ακόμα και όταν τα φορτία του παλλομένου διπόλου εξαφανιτούν Άρα η ενέργεια περιέχεται το ηλεκτρικό πεδίο ακόμα και ακίνητων φορτίων) άρα τo ηλεκτρικό πεδίο αντιτοιχεί μάζα m=eνέργεια/c π.χ. ε Ε=x0 6 V/m αντιτοιχεί πυκνότητα μάζας x0-6 Kg/m 3 u = /) ε ο E u=mc πυκνότητα ενέργειας Σε πυκνότητα ενέργειας u αντιτοιχεί πυκνότητα μάζας