ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΠΕΛΕΚΑΝΙΔΗΣ ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ ΩΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Επιβλέπων: Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Β. Κανταρτζής Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος 2016

2

3 I

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με την παρούσα διπλωματική εργασία ολοκληρώνονται οι σπουδές μου στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αντικείμενο της εργασίας είναι η εισαγωγή μεταϋλικών στοιχείων συντονισμού σε διατάξεις ασύρματης μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας με στόχο την επίτευξη υψηλότερης κατευθυντικότητας σε σχέση με τις συμβατικές διατάξεις ασύρματης μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Οι διατάξεις υλοποιούνται και προσομοιώνονται με τη βοήθεια του λογισμικού COMSOL Multiphysics, το οποίο χρησιμοποιεί τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για την εκτέλεση των προσομοιώσεων και την εξαγωγή των αποτελεσμάτων. Η εργασία αποτελείται ουσιαστικά από δύο τμήματα. Αρχικά γίνεται μια προσπάθεια κατανόησης των εννοιών "ασύρματη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας", "μεταϋλικά" και "μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων", καθώς είναι έννοιες που δεν είχα συναντήσει ή είχα ασχοληθεί επιφανειακά μαζί τους κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Έτσι, στα πρώτα τρία κεφάλαια της εργασίας παρουσιάζονται συνοπτικά τα παραπάνω αντικείμενα και εξετάζονται κομμάτια της θεωρίας που χρειάζονται στη συνέχεια. Με εφόδιο τις γνώσεις γύρω από αυτά τα αντικείμενα ακολουθούν οι προσομοιώσεις των διατάξεων, οι οποίες έχουν ως στόχο να επιβεβαιώσουν την προϋπάρχουσα βιβλιογραφία και να ερμηνεύσουν γιατί εμφανίζονται συγκεκριμένα αποτελέσματα και με ποιες διορθωτικές κινήσεις αυτά μπορούν να βελτιωθούν. Αυτά τα ερωτήματα απαντώνται στη συνέχεια του τρίτου κεφαλαίου και στα κεφάλαια 4 και 5. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα αναπληρωτή καθηγητή του τμήματος κ. Νικόλαο Κανταρτζή για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε με αυτή τη διπλωματική, για το πεδίο των γνώσεων που μου άνοιξε αυτόν τον ένα χρόνο συνεργασίας μας, για τις συμβουλές και τη στήριξη που μου έδωσε στη συνέχεια της ακαδημαϊκής μου πορείας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω το διδάκτορα Αντώνιο Λάλα για τις υποδείξεις και τις παρατηρήσεις του στην εκμάθηση του λογισμικού COMSOL Multiphysics και στη συνολική πορεία των προσομοιώσεων και της διπλωματικής εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου και τους φίλους μου που στάθηκαν δίπλα μου και με υποστήριξαν όλα αυτά τα χρόνια των σπουδών μου. Θεσσαλονίκη, Αύγουστος 2016 Πελεκανίδης Αντώνιος II

5 III

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Ασύρματη Μεταφορά Ηλεκτρικής Ενέργειας (Wireless Power Transfer) Εισαγωγή Ανάλυση WPT Συστημάτων με τη Θεωρία Συζευγμένων Ρυθμών Ολοκληρωμένο Μοντέλο WPT Συστημάτων Αύξηση της Αποδοτικότητας WPT Συστημάτων Μεταϋλικά και Εφαρμογές σε WPT Θεωρία Μεταϋλικών Μεταϋλικά με Αρνητική Μαγνητική Διαπερατότητα Μεταϋλικά με Αρνητική Διηλεκτρική Σταθερά Ιδιότητες Μεταϋλικών Εξίσωση διάδοσης Αρνητικός δείκτης διάθλασης Τέλειος φακός Μαγνητοεπαγωγικά Κύματα (Magnetoinductive Waves) Εφαρμογές Μεταϋλικών σε Συστήματα WPT Εξωτερική Χρήση Μεταϋλικών σε Συστήματα WPT Μεταϋλικά ως Στοιχεία Συντονισμού Επίλυση Προβλημάτων WPT στο COMSOL FEM σε Προβλήματα Ηλεκτρομαγνητικού Πεδίου Περιγραφή της Μεθόδου Οριακές Συνθήκες Προσδιορισμός Σφαλμάτων Μεθοδολογία Υλοποίηση και Προσομοίωση των Διατάξεων EC-SRR E IV

7 3.3.3 WPT Σύστημα Αποτελέσματα και Σχολιασμός Προσομοίωση του EC-SRR Συχνότητα Συντονισμού S και Καταστατικές Παράμετροι WPT με EC-SRR Προσομοίωση του E S και Καταστατικές Παράμετροι WPT με E Συμπεράσματα 62 Βιβλιογραφία 64 V

8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (WIRELESS POWER TRANFER) 1.1 Εισαγωγή Η έννοια της ασύρματης μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας (wireless power transfer, WPT) δεν είναι νέα, καθώς ήδη από το 19 ο αιώνα έχουν γίνει εγχειρήματα προς αυτή την κατεύθυνση. Ο Nikola Tesla ήταν ο πρώτος άνθρωπος που προσπάθησε να μεταφέρει ηλεκτρική ενέργεια ασύρματα και μάλιστα τα πειράματά του ήταν επιτυχή. Κατάφερε να ανάψει λάμπες οι οποίες βρίσκονταν σε απόσταση μερικών χιλιομέτρων από την πηγή. Ωστόσο, λόγω της χαμηλής αποδοτικότητας και των κινδύνων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου για τους έμβιους οργανισμούς, η ιδέα του Tesla εγκαταλείφθηκε εκείνη την εποχή [1]. Πλέον έχουν μελετηθεί και χρησιμοποιηθεί διάφορες τεχνικές για την επίτευξη ασύρματης μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας ή ενέργειας με άλλη μορφή που μπορεί να μετατραπεί εκ των υστέρων σε ηλεκτρική. Μία τέτοια τεχνική είναι το laser, το οποίο εκπέμπει σύμφωνο φως, δηλαδή "καθαρή" μονοχρωματική ακτινοβολία, και μπορεί να μεταφέρει μεγάλες ποσότητες ισχύος [1]. Μια άλλη τεχνική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την WPT είναι η μετάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε μικροκυματικές συχνότητες, όπως συμβαίνει με τη μετάδοση δεδομένων στις ασύρματες επικοινωνίες. Αυτή η τεχνική απαιτεί πολύ κατευθυντικές κεραίες, διαφορετικά η απώλεια ενέργειας στον ελεύθερο χώρο είναι απαγορευτική [1, 2]. Ωστόσο, και για τις δύο παραπάνω τεχνικές, απαιτείται οπτική επαφή της πηγής με το φορτίο και ένα περίπλοκο σύστημα εντοπισμού του φορτίου, σε περίπτωση που αυτό κινείται, ώστε να στρέφεται κατάλληλα ο λοβός ακτινοβολίας της πηγής [2]. Επίσης, μπορεί να αξιοποιηθεί η πιεζοηλεκτρική αρχή για τη μετατροπή της ηλεκτρικής ενέργειας σε μηχανική και στη συνέχεια τη μετάδοση μηχανικών κυμάτων από την πηγή προς το φορτίο. Αυτή η διαδικασία περιλαμβάνει πιεζοηλεκτρικούς μετατροπείς ικανούς να εκπέμπουν και να λαμβάνουν μηχανικά κύματα [1]. Στην παρούσα εργασία θα γίνει μελέτη της WPT μέσω ηλεκτρομαγνητικού συντονισμού. Αυτή η μέθοδος αξιοποιεί τη σύζευξη μεταξύ δύο στοιχείων συντονισμού, που είναι πολύ ισχυρή όταν τα στοιχεία έχουν ίδιες συχνότητες συντονισμού. Η ασθενής αλληλεπίδραση αυτών των στοιχείων με τα υπόλοιπα μη συντονισμένα στοιχεία του περιβάλλοντος έχει ως αποτέλεσμα να μεταφέρεται και να καταναλώνεται μικρή ποσότητα ενέργειας σε αυτά κι έτσι μπορεί να επιτευχθεί ικανοποιητική αποδοτικότητα ακόμα και σε μεσαίες αποστάσεις δεκάδων εκατοστών [2]. Τα συντονισμένα στοιχεία είναι δύο κυκλώματα, ενώ η σύζευξη που πετυχαίνεται είναι μαγνητική και οφείλεται στα πηνία τα οποία συνδέονται μέσω αμοιβαίας επαγωγής. Η απόσταση στην οποία τοποθετούνται τα πηνία είναι

10 2 1 ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ μικρότερη της απόστασης Fraunhofer, η οποία ορίζεται ως, όπου είναι η μέγιστη διάσταση της κεραίας, δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση του πηνίου και λ το μήκος κύματος στη συχνότητα λειτουργίας της πηγής [3]. Έτσι, ο μηχανισμός μεταφοράς της ενέργειας δεν είναι η ακτινοβολία μακρινού πεδίου και περιλαμβάνει αποσβεννύμενους ρυθμούς. Γι' αυτό αυτή η μέθοδος αναφέρεται επίσης ως μη ακτινοβολούμενη, μεσαίων αποστάσεων μεταφορά ενέργειας (non-radiative mid-range energy transfer) [2]. Η περιγραφή της μεταφοράς ενέργειας μέσω συντονισμού γίνεται με τη βοήθεια της Θεωρίας Συζευγμένων Ρυθμών (Coupled Mode Theory, CMT). Η ανάλυση του συστήματος βάσει της CMT οδηγεί στη διαμόρφωση εξισώσεων για τη βελτιστοποίηση της διάταξης και την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τη μέγιστη αποδοτικότητα που μπορεί να επιτευχθεί. Ένα σημαντικό ζήτημα που εγείρεται στα πλαίσια της αυξανόμενης χρήσης ασύρματων τεχνολογιών είναι τα πιθανά προβλήματα υγείας των ανθρώπων λόγω της συνεχούς έκθεσης σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η WPT μέσω ηλεκτρομαγνητικού συντονισμού υποστηρίζεται ότι δεν έχει επιπτώσεις στην υγεία των ανθρώπων [1]. Αυτό εξηγείται λαμβάνοντας υπόψη ότι η συχνότητα λειτουργίας των συντονιστών επιλέγεται από έως [4], με συχνές εφαρμογές να βρίσκονται στα. Αυτό το εύρος συχνοτήτων θεωρείται ασφαλές, διότι σοβαρές επιπτώσεις στην υγεία έχει κυρίως η έκθεση των ανθρώπων σε υψηλές συχνότητες [1]. Επίσης, στο κοντινό πεδίο, στο οποίο λειτουργεί αυτή η τεχνική WPT, τα πηνία, που ισοδυναμούν με μαγνητικά δίπολα, εκπέμπουν κυρίως μαγνητικό πεδίο και ο λόγος τείνει στο μηδέν. Έτσι, μειώνεται η αλληλεπίδραση των πηνίων με τους έμβιους οργανισμούς καθώς αυτοί έχουν σχεδόν αμιγώς διηλεκτρικές ιδιότητες [5]. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκύπτει το συμπέρασμα ότι η ανάπτυξη εφαρμογών WPT με τη χρήση συντονιστών δε θέτει σε κίνδυνο την υγεία των ανθρώπων και των υπόλοιπων έμβιων οργανισμών, εφόσον τα επίπεδα ισχύος είναι εντός των προκαθορισμένων ορίων και έτσι υπάρχουν πολλά περιθώρια περαιτέρω ανάπτυξης αυτού του τομέα. Η ανάπτυξη συστημάτων WPT με υψηλή αποδοτικότητα, συγκρίσιμη της αποδοτικότητας της ενσύρματης μεταφοράς ενέργειας, μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία επιστημονικών εφαρμογών και εφαρμογών καθημερινότητας. Αυτές οι εφαρμογές αναμένεται να διευκολύνουν σε μεγάλο βαθμό τη φόρτιση και τη λειτουργία συσκευών που χρειάζονται ηλεκτρική ενέργεια. Μάλιστα, εφόσον το ενσύρματο δίκτυο διανομής ηλεκτρικής ενέργειας είναι πολύ διαδεδομένο και δε χρειάζεται να μεταφερθεί ενέργεια ασύρματα σε μεγάλες αποστάσεις, η WPT μεσαίων αποστάσεων, όπως είναι η WPT με συντονισμένα κυκλώματα, αναμένεται να χρησιμοποιηθεί σε αρκετές εφαρμογές. Μερικές πιθανές εφαρμογές είναι η λειτουργία ιατρικών εμφυτευμάτων, όπως ο βηματοδότης, η φόρτιση κινητών τηλεφώνων, ηλεκτρικών οχημάτων και μη επανδρωμένων αεροσκαφών και η λειτουργία οικιακών ή βιομηχανικών ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών συσκευών [1, 2].

11 1.2 ΑΝΑΛΥΣΗ WPT ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΩΝ ΡΥΘΜΩΝ Ανάλυση WPT Συστημάτων με τη Θεωρία Συζευγμένων Ρυθμών Ένα τυπικό σύστημα WPT που χρησιμοποιεί συντονιστές έχει τη δομή του σχήματος 1.1. Η πηγή του ηλεκτρικού ρεύματος ή της ηλεκτρικής τάσης είναι συνδεδεμένη με το ένα πηνίο που ονομάζεται πηνίο πηγής (source coil) και το φορτίο είναι συνδεδεμένο με το άλλο πηνίο που ονομάζεται πηνίο φορτίου (load coil). Πηνίο Πηγής Πηνίο Φορτίου Τροφοδοσία d Φορτίο Σχήμα 1. 1 Τυπική διάταξη ενός συστήματος WPT. Η ηλεκτρομαγνητική σύζευξη γίνεται μέσω των δύο πηνίων που βρίσκονται σε απόσταση. Αυτό το σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα ισοδύναμο ενιαίο κύκλωμα που περιλαμβάνει δύο κυκλώματα συντονισμού και ένα συντελεστή σύζευξης μεταξύ τους. Η CMT παρέχει τις απαραίτητες εξισώσεις για το ισοδύναμο σύστημα. Μέσω αυτών των εξισώσεων μπορούν να προσδιοριστούν η ισχύς που καταλήγει στο φορτίο, η αποδοτικότητα του συστήματος και να βελτιστοποιηθούν οι διάφορες παράμετροι που επηρεάζουν την αποδοτικότητα. Αρχικά θα παρουσιαστούν οι εξισώσεις ενός ιδανικού ομογενούς κυκλώματος από όπου θα προκύψει ο ορισμός των πλατών ρυθμού (mode amplitude), σύμφωνα με την [6] και στη συνέχεια τα πλάτη θα χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή του ισοδύναμου συστήματος. Σχήμα 1. 2 Ένα κύκλωμα Το κύκλωμα του σχήματος 1.2 περιγράφεται από τις εξισώσεις που συνδέουν την τάση v(t) και το ρεύμα i(t) συναρτήσει της αυτεπαγωγής και της χωρητικότητας.

12 4 1 ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Οι παραπάνω συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως ένα αποσυμπλεγμένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων, ορίζοντας νέα μεγέθη και ως εξής: Τα και ονομάζονται πλάτη ρυθμού και έχουν την ιδιότητα ότι το τετράγωνο του μέτρου τους ισούται με τη συνολική αποθηκευμένη ενέργεια του κυκλώματος [6]. Χάρη στον παραπάνω μετασχηματισμό, οι εξισώσεις κατάστασης περιγράφονται με αποσυμπλεγμένη μορφή. Οι δύο αυτές μεταβλητές είναι συζυγείς μεταξύ τους, οπότε αρκεί να προσδιοριστεί η μία για να επιτευχθεί πλήρης προσδιορισμός του κυκλώματος. Στην ανάλυση της [6] επιλέγεται η μελέτη του ισοδύναμου του WPT συστήματος να γίνει με χρήση της μεταβλητής, η οποία για λόγους συντομίας μετονομάζεται σε. Το ισοδύναμο κύκλωμα περιλαμβάνει δύο άγνωστα μεγέθη και, που περιγράφουν το πρώτο και το δεύτερο κύκλωμα συντονισμού αντίστοιχα. Στο δεύτερο κύκλωμα μεταφέρεται ασύρματα η ενέργεια από το πρώτο. Ο συντελεστής σύζευξης είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις συχνότητες συντονισμού των επιμέρους κυκλωμάτων, την αμοιβαία επαγωγή και τις αυτεπαγωγές των πηνίων. Επίσης, υπάρχουν απώλειες στα δύο κυκλώματα που περιγράφονται από αντιστάσεις και. Το πρώτο κύκλωμα συνδέεται με μια πηγή ημιτονοειδούς σήματος που έχει εσωτερική αντίσταση και αποδίδει στο κύκλωμα ισχύ. Το σύστημα παρουσιάζεται στο σχήμα 1.3. Οι χωρητικότητες που υπάρχουν στο σχήμα μπορεί να είναι οι παρασιτικές χωρητικότητες των πηνίων ή μπορεί να είναι εξωτερικοί πυκνωτές. Η συχνότητα συντονισμού δίνεται από τη σχέση, όπου είναι η τιμή της αυτεπαγωγής του πηνίου και η τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή [6]. Στην περίπτωση που θεωρούνται μόνο οι παρασιτικές χωρητικότητες, λόγω της μικρής τους τιμής, η συχνότητα συντονισμού είναι υψηλή, της τάξης των μερικών, ανάλογα με το πάχος του μετάλλου. Αντίθετα, η ύπαρξη εξωτερικών πυκνωτών οδηγεί σε χαμηλότερες συχνότητες συντονισμού [1]. Η αντίσταση φορτίου απουσιάζει στο σχήμα, όμως συμπεριλαμβάνεται στην ανάλυση η ισχύς που αποδίδεται σε αυτή από το δεύτερο κύκλωμα. Από τις εξισώσεις που διαμορφώνονται βάσει των παραπάνω στοιχείων υπολογίζεται ο συντελεστής μετάδοσης και ο συντελεστής ανάκλασης. Συμπεραίνεται ότι η μεγιστοποίηση της παραμέτρου και η ελαχιστοποίηση της παραμέτρου πετυχαίνονται όταν οι συχνότητες συντονισμού των δύο επιμέρους κυκλωμάτων είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με τη συχνότητα λειτουργίας της πηγής,

13 1.2 ΑΝΑΛΥΣΗ WPT ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΩΝ ΡΥΘΜΩΝ 5 σε συνδυασμό με τη συνθήκη, όπου και είναι ποσότητες που ορίζονται στην [6]. Αυτή η συνθήκη συνδέει το συντελεστή σύζευξης με τις συνολικές απώλειες των κυκλωμάτων εκπομπής και λήψης. Όταν αυτή δεν ικανοποιείται και ο συντελεστής σύζευξης είναι μεγαλύτερος από τον ιδανικό, τότε υπάρχουν δύο συχνότητες λειτουργίας που οδηγούν σε μέγιστη αποδοτικότητα το σύστημα και βρίσκονται εκατέρωθεν της συχνότητας συντονισμού των κυκλωμάτων. Επίσης, σημαντικό ρόλο έχουν οι εσωτερικές απώλειες των κυκλωμάτων συντονισμού που οφείλονται στις αντιστάσεις και του σχήματος 1.2 ή ισοδύναμα ο συντελεστής ποιότητας των συντονιστών. Όταν οι απώλειες είναι αμελητέες σε σχέση με το συντελεστή σύζευξης, η αποδοτικότητα γίνεται οριακά. Γιαυτό το λόγο η μείωση των απωλειών αποτελεί στόχο στο σχεδιασμό τέτοιων συστημάτων. Αυτή μπορεί να επιτευχθεί με την αύξηση της διατομής των καλωδίων των πηνίων, της ακτίνας των σπειρών και της αγωγιμότητας του μετάλλου. s + s - Σχήμα 1. 3 Ισοδύναμο κύκλωμα ενός WPT συστήματος με χρήση συντονιστών Ένας ακόμα παράγοντας που επηρεάζει τη μεταφερόμενη ισχύ είναι η ο συντελεστής ανάκλασης στο φορτίο και στην πηγή. Μέγιστη μεταφορά ισχύος προς το φορτίο επιτυγχάνεται σε συνθήκες συζυγούς προσαρμογής [7], οπότε όταν αυτές δεν ικανοποιούνται, η συνολική αποδοτικότητα υποβαθμίζεται. Η συζυγής προσαρμογή καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά της πηγής, του φορτίου και των μηχανισμών απωλειών σε όλα τα στάδια του συστήματος. Έτσι, γίνεται αντιληπτό ότι η προσαρμογή εξαρτάται από παράγοντες που δεν ελέγχονται από το σχεδιαστή του συστήματος, γιαυτό δεν είναι πάντοτε εφικτή στον παρόντα σχεδιασμό. Όλη η ανάλυση κυκλώματος του σχήματος 1.3 βασίστηκε στην CMT, ωστόσο υπάρχουν και άλλες μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων που θα μπορούσαν χρησιμοποιηθούν. Μία μέθοδος είναι η απευθείας χρήση των s παραμέτρων και ο υπολογισμός των συντελεστών μετάδοσης και ανάκλασης. Στη συνέχεια μπορούν να προσδιοριστούν οι κατάλληλες τιμές των αντιστάσεων φορτίου και πηγής ώστε να επιτευχθεί η μέγιστη αποδοτικότητα. Το πλεονέκτημα της CMT έναντι αυτής της μεθόδου είναι ότι προσφέρει πληρέστερη εξήγηση του φαινομένου της WPT, αφού η μελέτη με παραμέτρους δε λαμβάνει υπόψη τα στοιχεία (, ) που συμβάλλουν σε αυτή [6]. Επιπλέον, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί μια ανάλυση βασισμένη στους νόμους του Kirchhoff. Ωστόσο, η ανάλυση που θα προέκυπτε δε θα μπορούσε να γενικευτεί για περισσότερες περιπτώσεις και θα αφορούσε ένα συγκεκριμένο μοντέλο συστήματος. [6]. Αντιθέτως, η CMT είναι η κατάλληλη μέθοδος για τη μελέτη του d

14 6 1 ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ συγκεκριμένου συστήματος, γεγονός που ενισχύεται από την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων που φέρεται να δίνει για προβλήματα WPT μεσαίων αποστάσεων [2, 6]. 1.3 Ολοκληρωμένο Μοντέλο WPT Συστημάτων Στην πράξη η πηγή και το φορτίο δε συνδέονται απευθείας στα δύο πηνία, γιατί έτσι είναι δύσκολο να υπάρξει συζυγής προσαρμογή, όπως επισημάνθηκε στην προηγούμενη ενότητα και συνεπώς να επιτευχθεί υψηλή αποδοτικότητα του συστήματος. Γιαυτό το λόγο επιλέγεται να εισαχθούν δύο βαθμοί ελευθερίας με τη χρήση δύο δακτυλίων οι οποίοι συνδέονται με την πηγή και το φορτίο αντίστοιχα και οι οποίοι συζεύγνυνται επαγωγικά, χωρίς φαινόμενο ηλεκτρομαγνητικού συντονισμού, με τα πηνία. Η προσαρμογή επιτυγχάνεται με την κατάλληλη ρύθμιση της απόστασης ανάμεσα στους δακτυλίους και τα πηνία [8]. Το σύστημα αποκτά μετά από αυτή την τροποποίηση τη μορφή του σχήματος 1.4. Στη θέση των παρασιτικών χωρητικοτήτων του σχήματος μπορούν να τοποθετηθούν εξωτερικοί πυκνωτές. Η συνολική χωρητικότητα θα είναι τότε [6]. Σχήμα 1. 4 Διάταξη ενός συστήματος WPT που συμπεριλαμβάνει τους επιπρόσθετους δακτυλίους (Πηγή: [1]) Οι συνθήκες προσαρμογής μεταβάλλονται κάθε φορά που γίνεται κάποια αλλαγή στο σύστημα. Αλλαγή θεωρείται η παρεμβολή κάποιου αντικειμένου στο χώρο μεταξύ των πηνίων, η μετακίνηση κάποιου από τα στοιχεία του συστήματος ή η αντικατάσταση κάποιου από τα στοιχεία από άλλο με διαφορετικές ιδιότητες. Γιαυτό είναι σημαντικό να γίνεται έλεγχος των αντιστάσεων εισόδου και εξόδου του συστήματος όταν πραγματοποιείται κάποια τέτοια αλλαγή. Ωστόσο, σε ένα πραγματικό πρόβλημα WPT αναμένεται ο δέκτης ή το περιβάλλον του να μετακινείται. Αυτό σημαίνει ότι οι αποστάσεις μεταξύ των δακτυλίων και των πηνίων θα πρέπει διαρκώς να τροποποιούνται, γεγονός που δεν είναι εφικτό σε ένα απλό σύστημα WPT. Μία τέτοια διάταξη προσομοιώνεται στα πλαίσια αυτής της εργασίας και γίνεται διερεύνηση για μετακίνηση και στροφή του πηνίου φορτίου και του φορτίου, χωρίς να επαναπροσδιορίζονται οι αποστάσεις μεταξύ των δακτυλίων και των πηνίων, αλλά θεωρώντας πάντα ότι υπάρχει προσαρμογή. Η σύζευξη του κάθε δακτυλίου με το αντίστοιχο πηνίο συντονισμού δεν αξιοποιεί κάποιο φαινόμενου ηλεκτρομαγνητικού συντονισμού και μπορεί να

15 1.4 ΑΥΞΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑΣ WPT ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 7 ερμηνευθεί ως σύζευξη δύο κεραιών που βρίσκονται στο κοντινό πεδίο. Αρχικά θα μελετηθεί ο δακτύλιος που είναι συνδεδεμένος στην πηγή ως μια κεραία κυκλικού βρόχου, ο οποίος, για χάρη απλοποίησης της μελέτης, θα θεωρηθεί απειροστός. Επίσης γίνεται η παραδοχή ότι η κεραία διαρρέεται από ένα σταθερό ρεύμα ίσο με. Η θέση της στο σφαιρικό και καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνεται στο σχήμα 1.5. Σύμφωνα με τη θεωρία κεραιών, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο χώρο σε κοντινή απόσταση στην κεραία, δηλαδή σε απόσταση τέτοια ώστε, όπου είναι ο κυματικός αριθμός, δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις [3]. Το πηνίο τοποθετείται ομοαξονικά με το καλώδιο, οπότε βρίσκεται στη διεύθυνση. Σε αυτή τη διεύθυνση υπάρχει μόνο η συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου και το μοναδιαίο διάνυσμα έχει τη διεύθυνση του κοινού άξονά τους. Το πηνίο αποτελείται από μία ή περισσότερες σπείρες και συνεπώς μπορεί να προσεγγιστεί αντίστοιχα με μία ή περισσότερες κεραίες κυκλικού βρόχου. Έτσι, η πόλωση του πηνίου θα είναι ίδια με αυτή του δακτυλίου και θα υπάρχει σύζευξη των δύο στοιχείων χωρίς απώλειες πόλωσης. Αντίστοιχα, στην περιοχή του φορτίου εκπέμπει το πηνίο συντονισμού και λαμβάνει ο δακτύλιος που είναι συνδεδεμένος στο φορτίο. Σχήμα 1. 5 Ο δακτύλιος ως κεραία κυκλικού βρόχου (Πηγή: [3]) 1.4 Αύξηση της Αποδοτικότητας WPT Συστημάτων Κατά το σχεδιασμό ενός WPT συστήματος, στόχος είναι η επίτευξη υψηλής και σταθερής αποδοτικότητας για ένα μεγάλο εύρος αποστάσεων του φορτίου από την

16 8 1 ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ πηγή. Μία μέθοδος που συμβάλλει στην αύξηση της αποδοτικότητας είναι η μείωση των απωλειών με την επιλογή πηνίων σε κατάλληλα μεγέθη, κατασκευασμένων από μέταλλα με μεγάλη αγωγιμότητα. Παρακάτω περιγράφονται και άλλες τροποποιήσεις που, σύμφωνα με την [1], επιδρούν θετικά στην αποδοτικότητα του συστήματος. Μια πρόταση είναι η χρήση διάφορων γεωμετριών για τα πηνία. Έχουν γίνει πειραματικές μετρήσεις για κυκλικά και τριγωνικά πηνία [1], αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και πιο σύνθετες γεωμετρίες, όπως εξάγωνα. Τα διαφορετικά σχήματα πηνίων οδηγούν σε νέα διαγράμματα ακτινοβολίας που ενδεχομένως να έχουν θετικές συνέπειες στην αποδοτικότητα. Σε περίπτωση που επιλεγεί πιο σύνθετη, πολυμορφική γεωμετρία για τα πηνία, η αποδοτικότητα βελτιώνεται και από το γεγονός ότι μπορούν να δημιουργηθούν πολλαπλοί συντονισμοί σε πολλές συχνότητες. Έτσι, μεγαλώνει το φασματικό εύρος εκπομπής και μεταφέρεται περισσότερη ισχύς. Ακόμη, η χρήση επιπρόσθετων, νέων υλικών ή στοιχείων στη διάταξη, όπως η πλήρωση των πηνίων με διηλεκτρικό, μπορεί να μεταβάλει τις παραμέτρους του συστήματος με έναν επιθυμητό τρόπο, με αποτέλεσμα την καλύτερη απόκρισή του. Τέλος, αναφέρεται ότι η χρήση μεταϋλικών βελτιώνει την αποδοτικότητα του συστήματος. Τα μεταϋλικά μπορούν να τοποθετηθούν σε μια διηλεκτρική πλάκα ανάμεσα στα δύο πηνία συντονισμού ή μπορούν να αποτελούν δομικά στοιχεία των συντονιστών. Ανάλογα με τη χρήση τους, είναι διαφορετικός ο μηχανισμός που οδηγεί τελικά στη βελτίωση της αποδοτικότητας. Όσον αφορά την τοποθέτησή τους ανάμεσα στα δύο πηνία, έχει γίνει θεωρητική ανάλυση [5] και εκτενείς πειραματικές μετρήσεις [8-10] που επιβεβαιώνουν ότι η χρησιμοποίησή τους αυξάνει την αποδοτικότητα και σταθεροποιεί την απόκριση για διάφορες γωνίες και αποστάσεις μεταξύ των συντονιστών. Η χρήση τους στα πλαίσια της κατασκευής των συντονιστών βελτιώνει την κατευθυντικότητά τους [1] με αποτέλεσμα το σύστημα να έχει ικανοποιητική αποδοτικότητα για μεγάλο εύρος αποστάσεων, όπως διαπιστώθηκε πειραματικά μέσω προσομοιώσεων [11]. Στα πλαίσια της εργασίας γίνεται διερεύνηση μέσω προσομοιώσεων της μεταβολής των s παραμέτρων για διάφορες αποστάσεις και θέσεις των συντονιστών. Οι συντονιστές είναι μεταϋλικά και λειτουργούν σε κατάλληλες συχνότητες στις οποίες αυτά έχουν επιθυμητές ιδιότητες. Στόχος της εργασίας είναι να βρεθεί μια διάταξη μεταϋλικού που θα μεγιστοποιεί τη μεταφορά ισχύος από την πηγή στο φορτίο. Οι προσομοιώσεις γίνονται με το πρόγραμμα COMSOL Multiphysics και η μέθοδος επίλυσης που ακολουθείται είναι η Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Στο κεφάλαιο 2 θα μελετηθούν τα μεταϋλικά και οι ιδιότητές τους, με έμφαση σε εκείνες που βελτιώνουν την αποδοτικότητα της WPT. Στο κεφάλαιο 3 θα περιγραφούν οι διατάξεις, έτσι όπως δημιουργήθηκαν στο COMSOL και η FEM, ώστε να γίνει κατανοητός ο τρόπος εξαγωγής των αποτελεσμάτων. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων και ο σχολιασμός τους παρατίθενται στο κεφάλαιο 4. Τέλος, στο κεφάλαιο 5 εξάγονται συμπεράσματα που αφορούν τη χρησιμοποίηση των διατάξεων που μελετήθηκαν σε πραγματικές εφαρμογές.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT 2.1 Θεωρία Μεταϋλικών Τα μεταϋλικά είναι τεχνητά υλικά με σύνθετες ιδιότητες που δεν υπάρχουν στη φύση και δεν παρατηρούνται στα φυσικά στοιχεία. Οι ηλεκτρομαγνητικές τους ιδιότητες, δηλαδή η διηλεκτρική σταθερά και η μαγνητική διαπερατότητα, μπορούν να ελεγχθούν και να πάρουν οποιαδήποτε τιμή. Δημιουργούνται από περιοδικές διατάξεις μεταλλικών στοιχείων ικανών να συντονίζονται. Τα μεγέθη του κάθε στοιχείου και του μοναδιαίου κελιού που επαναλαμβάνεται περιοδικά είναι μικρά σε σχέση με το μήκος κύματος [12]. Σχήμα 2. 1 Διάγραμμα σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας (Πηγή: [13]) Όπως φαίνεται και στην κατηγοριοποίηση του σχήματος 2.1, τα συμβατικά υλικά που συναντώνται στη φύση ανήκουν στην περιοχή όπου και. Τα υλικά για τα οποία ισχύει μόνο ή μόνο, δηλαδή αυτά που ανήκουν στο δεύτερο και τέταρτο τεταρτημόριο του σχήματος 2.1 είναι αδιαφανή υλικά που δεν μπορούν να υποστηρίξουν διάδοση κύματος. Τα υλικά που έχουν και επιτρέπουν τη διάδοση κύματος, όμως ο δείκτης διάθλασης αυτών των υλικών είναι αρνητικός. Τέλος, υπάρχει η ιδιαίτερη κατηγορία υλικών στην οποία τα και έχουν τιμές μικρότερες, κατά απόλυτη τιμή, από τη διηλεκτρική σταθερά και τη μαγνητική διαπερατότητα του κενού, αντίστοιχα. Αυτά τα υλικά χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές όπως οι κυματοδηγοί σχεδόν μηδενικού δείκτη διάθλασης και εφαρμογές απόκρυψης αντικειμένων [13]. Τα υλικά που δεν ανήκουν στην πρώτη κατηγορία των συμβατικών υλικών αποτελούν τα μεταϋλικά.

18 10 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT Μεταϋλικά με Αρνητική Μαγνητική Διαπερατότητα Η επίτευξη αρνητικής μαγνητικής διαπερατότητας σε μια διάταξη οφείλεται στην ιδιότητα των διαμαγνητικών υλικών, τα οποία χρησιμοποιούνται στη διάταξη, να αποκρίνονται στη διέγερση από ένα εξωτερικό μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο με ένα ηλεκτρικό ρεύμα που δημιουργεί μαγνητικό πεδίο αντίθετης φοράς [14]. Αυτή η ιδιότητα περιγράφεται ποσοτικά με το μέγεθος της πολωσιμότητας, η οποία συνδέεται με τη μαγνητική διαπερατότητα. Έτσι, με κατάλληλη ρύθμισή της η μαγνητική διαπερατότητα μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές. Μια διάταξη ικανή να διαμορφώσει κατάλληλη πολωσιμότητα για την επίτευξη αρνητικής μαγνητικής διαπερατότητας είναι ένας κλειστός μεταλλικός βρόχος, που έχει επαγωγικό χαρακτήρα, συνδεδεμένος με έναν πυκνωτή. Στις μικροκυματικές συχνότητες μπορεί να υλοποιηθεί ως ένα SRR (split ring resonator), το οποίο ισοδυναμεί με ένα επαγωγικό στοιχείο συνδεδεμένο με μια χωρητικότητα [14]. Το πρώτο μοντέλο SRR που προτάθηκε είναι αυτό του σχήματος 2.2 και ονομάζεται edge-coupled SRR ή EC- SRR. Στο σχήμα 2.3 δίνεται το ισοδύναμο κύκλωμά του. ε Σχήμα 2. 2 EC-SRR. Με μπλε χρώμα απεικονίζονται τα μεταλλικά μέρη και με γκρίζο το διηλεκτρικό υπόστρωμα πάνω στο οποίο τοποθετείται το EC-SRR. Σχήμα 2. 3 Ισοδύναμο κύκλωμα ενός SRR. Η αυτεπαγωγή L επιλέγεται ίση με τη μέση τιμή των αυτεπαγωγών των δύο δακτυλίων. Τα κενά των δακτυλίων αγνοούνται, καθώς η χωρητικότητά τους θεωρείται αμελητέα. Οι δύο χωρητικότητες του σχήματος αφορούν το άνω και κάτω μισό του SRR αντίστοιχα και υπολογίζονται από τη σχέση, όπου είναι η μέση ακτίνα του SRR και είναι η χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους και υπολογίζεται από γνωστές σχέσεις.

19 2.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ 11 Όταν το SRR διεγείρεται από ένα εξωτερικό μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο του SRR, τα κενά που υπάρχουν σε κάθε δακτύλιο αναγκάζουν το ηλεκτρικό ρεύμα που έχει δημιουργηθεί να κινηθεί προς τον άλλο δακτύλιο με τη μορφή ρεύματος μετατόπισης. Με αυτό τον τρόπο τα φορτία αποκτούν την κατανομή που φαίνεται στο σχήμα 2.4. Από την κατανομή των φορτίων προκύπτει το συμπέρασμα ότι λόγω του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου διεγείρονται ένα μαγνητικό δίπολο στον άξονα z αλλά και ένα ηλεκτρικό δίπολο στον άξονα y, όπως αυτοί είναι τοποθετημένοι στο σχήμα 2.4. Αντίστοιχα, ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση y θα οδηγήσει στην ίδια κατανομή φορτίων, οπότε θα διεγερθούν και σε αυτή την περίπτωση ταυτόχρονα ένα μαγνητικό δίπολο στον άξονα z και ένα ηλεκτρικό δίπολο στον άξονα y [14]. Αυτή η ιδιότητα που παρουσιάζει το EC-SRR ονομάζεται bianisotropy στα αγγλικά και επειδή είναι ανεπιθύμητη σε μερικές εφαρμογές, έχουν αναπτυχθεί SRRs που δεν την εμφανίζουν. Σχήμα 2. 4 Κατανομή φορτίων σε ένα EC-SRR (Πηγή: [14]) Η πολωσιμότητα του EC-SRR που σχετίζεται με το εφαρμοζόμενο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο και επηρεάζει τη μαγνητική διαπερατότητα προκύπτει ίση με ενώ η αντίστοιχη πολωσιμότητα που σχετίζεται με το εφαρμοζόμενο εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο είναι Στις παραπάνω σχέσεις λαμβάνονται υπόψη οι απώλειες του SRR οι οποίες συμπεριλαμβάνονται στο σχήμα 2.3 με την εισαγωγή μίας αντίστασης R. Στις σχέσεις της πολωσιμότητας συμπεριλαμβάνονται στην ποσότητα. Ως εννοείται η συχνότητα συντονισμού του SRR και υπολογίζεται από τη σχέση. Τέλος, είναι μια ενεργός απόσταση που ισούται περίπου με, όπου τα είναι το πλάτος των μεταλλικών τμημάτων και είναι η απόσταση μεταξύ τους. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν και πολωσιμότητες που σχετίζονται με πιθανή διέγερση του SRR από εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο με

20 12 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT διεύθυνση τον άξονα x ή y και διεγείρουν ηλεκτρικά δίπολα στον αντίστοιχο άξονα. Οι τιμές αυτών των πολωσιμοτήτων δίνονται στη [14]. Η σύνδεση των πολωσιμοτήτων με τη μαγνητική διαπερατότητα (και τη διηλεκτρική σταθερά) γίνεται μέσω κάποιων μεγεθών που ονομάζονται επιδεκτικότητες (susceptibilities). Στη συνέχεια ακολουθεί ο τρόπος σύνδεσης των μεγεθών μεταξύ τους, σύμφωνα με τη [14], ξεκινώντας από τις καταστατικές εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Στις παραπάνω σχέσεις, με, και συμβολίζονται οι τανυστές ηλεκτρικής, μαγνητικής και μαγνητοηλεκτρικής επιδεκτικότητας αντίστοιχα. και είναι τα διανύσματα πόλωσης και μαγνήτισης. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, στη διέγερση του EC-SRR από ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο στη διεύθυνση z ή από ένα ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση y, δημιουργούνται ένα μαγνητικό δίπολο στη διεύθυνση z και ένα ηλεκτρικό δίπολο στη διεύθυνση y. Εφόσον αυτή είναι η επιθυμητή διέγερση του EC-SRR, γίνεται η εξαγωγή των τιμών των επιδεκτικοτήτων για διέγερση που περιλαμβάνει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο και εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο. Σε αυτή την περίπτωση το διάνυσμα μαγνήτισης έχει συνιστώσα μόνο στη z διεύθυνση και ισούται με μόνο στην y διεύθυνση και ισούται με και το διάνυσμα πόλωσης έχει συνιστώσα. Η ανάλυση απλοποιείται με τη χρήση της Θεωρίας Κοντινού Πεδίου του Lorentz, που δίνει μια καλή προσέγγιση των αποτελεσμάτων [14]. Οι τανυστές της διηλεκτρικής σταθεράς και της μαγνητικής διαπερατότητας συνδέονται με τις επιδεκτικότητες μέσω των σχέσεων και, ενώ οι επιδεκτικότητες μπορούν να υπολογιστούν, όπως προέκυψε από την ανάλυση για τη δεδομένη διέγερση, από τις πολωσιμότητες και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του EC-SRR μέσω σύνθετων αλλά γνωστών σχέσεων που δίνονται στη [14]. Έτσι, μπορεί να υπολογιστεί η μαγνητική διαπερατότητα, η οποία θα είναι διαφορετική σε κάθε διεύθυνση, δηλαδή το EC-SRR προκύπτει ότι είναι ανισοτροπικό υλικό μακροσκοπικά. Στο σχήμα 2.6 παρουσιάζεται ένα διάγραμμα της μεταβολής της παραμέτρου, που είναι η ενεργός μαγνητική διαπερατότητα, όταν το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο εφαρμόζεται στη διεύθυνση z. Στο σχήμα παρουσιάζονται και οι άλλες σημαντικές παράμετροι των καταστατικών εξισώσεων που επηρεάζουν τη μαγνητική επαγωγή και τη διηλεκτρική μετατόπιση παρουσία του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου και του ηλεκτρικού πεδίου. Παρατηρείται ότι η μαγνητική διαπερατότητα λαμβάνει αρνητικές τιμές για συχνότητες μεγαλύτερες από ένα κατώφλι. Το κατώφλι αυτό είναι η συχνότητα συντονισμού του EC-SRR. Το σχήμα 2.6 περιγράφει τις μαγνητικές και ηλεκτρικές ιδιότητες της διάταξης του σχήματος 2.5.

21 2.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ 13 Σχήμα 2. 5 Περιοδική διάταξη EC-SRRs (Πηγή: [14]) Σχήμα 2. 6 Μεταβολή των ηλεκτρικών και μαγνητικών ιδιοτήτων των EC-SRRs της περιοδικής διάταξης του σχήματος 2.7. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά τους είναι:,,, όπου τα μήκη ορίζονται στο σχήμα 2.4. Επίσης και το πάχος του μετάλλου, το οποίο είναι χαλκός, είναι. Η περιοδικότητα της διάταξης είναι. (Πηγή: [14]) Μεταϋλικά με Αρνητική Διηλεκτρική Σταθερά Μία απλή διάταξη που παρουσιάζει αρνητική διηλεκτρική σταθερά ε μπορεί να θεωρηθεί ένας κυματοδηγός ορθογωνικής διατομής. Η σταθερά διάδοσης δίνεται από τη σχέση όπου είναι η συχνότητα αποκοπής του κυματοδηγού. Η χαρακτηριστική αντίσταση του κυματοδηγού υπολογίζεται ως

22 14 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT Αν ληφθεί υπόψη ότι για τη σταθερά διάδοσης και για τη χαρακτηριστική αντίσταση ισχύουν ότι μ Ζ ε τότε η ισοδύναμη ενεργός διηλεκτρική σταθερά θα ισούται με. Συνεπώς, για συχνότητες μικρότερες από τη συχνότητα αποκοπής, η ενεργός διηλεκτρική σταθερά είναι αρνητική [14]. Ομοίως συμβαίνει όταν μια γραμμή μεταφοράς πληρείται με μεταλλικές ράβδους, όπως στο σχήμα 2.7. Το ισοδύναμο κύκλωμα της γραμμής μεταφοράς με τις μεταλλικές ράβδους δίνεται στο σχήμα 2.8. Η σταθερά διάδοσης υπολογίζεται ότι προκύπτει ίση με όπου είναι η περιοδική απόσταση μεταξύ των ράβδων και είναι η ακτίνα τους. Παρατηρείται, συγκρίνοντας τις αντίστοιχες σχέσεις για τη σταθερά διάδοσης αυτής της περίπτωσης και του κυματοδηγού ορθογωνικής διατομής, ότι για μικρές συχνότητες λειτουργίας μέχρι ένα κατώφλι, η ενεργός διηλεκτρική σταθερά είναι αρνητική [14]. Για αρνητικές τιμές της ενεργού διηλεκτρικής σταθεράς, η σταθερά διάδοσης είναι φανταστικός αριθμός και δεν υπάρχει διαδιδόμενο κύμα, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Σχήμα 2. 7 Γραμμή μεταφοράς φορτισμένη με μεταλλικές ράβδους (Πηγή: [14]) Σχήμα 2. 8 Ισοδύναμο κύκλωμα της γραμμής μεταφοράς του σχήματος 2.7

23 2.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ 15 Εκτός από τη συστοιχία μεταλλικών ράβδων, αρνητική διηλεκτρική σταθερά μπορεί να επιτευχθεί και από διατάξεις τροποποιημένων SRRs ώστε να παρουσιάζουν αποκλειστικά ηλεκτρικό συντονισμό [15]. Όπως αναφέρθηκε στην υποενότητα 2.1.1, η κατανομή των φορτίων κατά τη διέγερση ενός EC-SRR δημιουργεί ταυτόχρονα ένα μαγνητικό και ένα ηλεκτρικό δίπολο, επομένως ο ηλεκτρικός και ο μαγνητικός συντονισμός είναι συζευγμένοι. Με κατάλληλη τροποποίηση της γεωμετρίας του EC- SRR ώστε να αποτελείται από δύο συντονισμένους βρόχους, εκ των οποίων στον έναν το επαγόμενο επιφανειακό ρεύμα να κινείται ωρολογιακά και στον άλλον ανθωρολογιακά, οδηγεί στη δημιουργία δύο αντίθετων μαγνητικών διπόλων που αλληλοαναιρούνται. Έτσι, το νέο SRR συμπεριφέρεται ως ένα ηλεκτρικό δίπολο και εμφανίζει ηλεκτρικό συντονισμό [15, 16]. Τέτοια τροποποιημένα SRRs παρουσιάζονται στο σχήμα 2.9 και έχουν τις ονομασίες, σύμφωνα με τη [15], Ε1 έως Ε6 αντίστοιχα. Σχήμα 2. 9 Τροποποιημένα SRRs (E1- E6), τα οποία αποτελούνται από δύο ή τέσσερις βρόχους σε τέτοια γεωμετρία ώστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται στον κάθε βρόχο να αλληλοαναιρείται με το μαγνητικό πεδίο κάποιου άλλο βρόχου. (Πηγή: [15]) Εφόσον αυτά τα SRRs κατά τη διέγερσή τους εμφανίζουν ηλεκτρικό συντονισμό, το εξωτερικό πεδίο επιδρά στην ηλεκτρική πολωσιμότητά τους, η οποία συνδέεται αντίστοιχα με την ενεργό διηλεκτρική σταθερά. Σε ένα συγκεκριμένο εύρος συχνοτήτων, διαφορετικό για κάθε ένα από τα 6 SRRs, η ενεργός διηλεκτρική σταθερά λαμβάνει αρνητικές τιμές.

24 16 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT Ιδιότητες Μεταϋλικών Οι δύο κατηγορίες μεταϋλικών που περιγράφηκαν στις προηγούμενες ενότητες, δηλαδή τα μεταϋλικά με αρνητικό ε και αυτά με αρνητικό μ, μπορούν να συνδυαστούν μεταξύ τους καθώς η αρχή της επαλληλίας ισχύει υπό ορισμένες συνθήκες [14]. Mε αυτό τον τρόπο σχηματίζονται μεταϋλικά με αρνητικό ε και αρνητικό μ ταυτόχρονα τα οποία έχουν μερικές αξιοσημείωτες ιδιότητες Εξίσωση διάδοσης Η διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης περιγράφεται από την εξίσωση όπου είναι μία συνιστώσα του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου, είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό και είναι η ταχύτητα του φωτός στο υπό μελέτη μέσο διάδοσης. Το μέγεθος συνδέεται με τις καταστατικές παραμέτρους του μέσου μέσω της σχέσης. Όταν τα ε και μ είναι ταυτόχρονα αρνητικά, η εξίσωση διάδοσης δεν επηρεάζεται, οπότε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στο μέσο αυτό. Ωστόσο, οι ιδιότητες του κύματος είναι διαφορετικές από εκείνες στην περίπτωση διάδοσης σε ένα συμβατικό μέσο. Από τις εξισώσεις του Maxwell, και για μεταβολή του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου της μορφής και, προκύπτει ότι Έτσι, αν τα ε και μ είναι αρνητικά, τα διανύσματα Ε, Η, k σχηματίζουν ένα αριστερόστροφο σύστημα [14], οπότε σε ένα ΤΕΜ κύμα όπου το ηλεκτρικό πεδίο έχει κατεύθυνση κατά + και το μαγνητικό πεδίο έχει κατεύθυνση κατά +, η διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος γίνεται κατά -. Η διάδοση γίνεται δηλαδή προς τα πίσω. Ωστόσο, η ενέργεια του κύματος, που υπολογίζεται με τη βοήθεια του διανύσματος του Poynting S, έχει κατεύθυνση προς τα εμπρός και συνεπώς αντίθετη φοράς από το κυματικό διάνυσμα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.10.

25 2.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ 17 E k S H Σχήμα Απεικόνιση του συστήματος των διανυσμάτων Ε, Η, k και S στην περίπτωση διάδοσης ενός ΤΕΜ κύματος σε μεταϋλικό με αρνητικά ε και μ Αρνητικός δείκτης διάθλασης Ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού ορίζεται ως [13], όπου ε και μ σε αυτή τη σχέση εννοούνται η σχετική διηλεκτρική σταθερά και η σχετική μαγνητική διαπερατότητα του υλικού αντίστοιχα. Στα συμβατικά υλικά ο δείκτης διάθλασης είναι θετικός, ενώ στα μεταϋλικά με αρνητικές ηλεκτρομαγνητικές παραμέτρους είναι αρνητικός. Κατά την πρόσπτωση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος από ένα συμβατικό μέσο σε ένα μεταϋλικό με αρνητικό δείκτη διάθλασης, ένα μέρος του κύματος ανακλάται και το υπόλοιπο διαθλάται στο δεύτερο μέσο. Η γωνία διάθλασης δίνεται από το νόμο του Snell Η γωνία διάθλασης προκύπτει ότι είναι αρνητική, δηλαδή είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο με τη γωνία πρόσπτωσης, όπως παρουσιάζεται στο σχήμα Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιμη σε εφαρμογές όπου μια πλάκα μεταϋλικού τοποθετείται σε ένα συμβατικό μέσο, καθώς τότε παρατηρείται το φαινόμενο του τέλειου φακού, το οποίο μελετάται στην επόμενη ενότητα. Σχήμα Διάθλαση ηλεκτρομαγνητικού κύματος από συμβατικό μέσο σε μεταϋλικό με αρνητικά ε και μ. (Πηγή: [14])

26 18 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT Τέλειος φακός Το φαινόμενο του τέλειου φακού (perfect lens) παρατηρείται στις περιπτώσεις όπου ο δείκτης διάθλασης του μεταϋλικού είναι ίσος με -1 και το συμβατικό μέσο διάδοσης είναι αέρας. Ένα τέτοιο μεταϋλικό μπορεί να σχεδιαστεί αν οι τιμές των παραμέτρων ε και μ επιλεγούν και αντίστοιχα. Στο σχήμα 2.12 εξηγείται το φαινόμενο βάσει της θεωρίας των ακτίνων. Για οποιαδήποτε γωνία πρόσπτωσης, η γωνία διάθλασης ισούται με τη. Έτσι, όλες οι ακτίνες που αναχωρούν από το σημείο αφετηρίας διέρχονται από το σημείο εντός της πλάκας μεταϋλικού. Η διάθλαση των ακτίνων έχει όμοια συμπεριφορά στη διαχωριστική επιφάνεια μεταϋλικού - αέρα και έτσι επιτυγχάνεται στο σημείο ένα τέλειο είδωλο του σημείου αφετηρίας. Σχήμα Εστίαση όλων των ακτίνων από ένα σημείο αριστερά της πλάκας μεταϋλικού σε ένα δεξιά της (Πηγή: [14]) Μια διαφορετική προσέγγιση του τέλειου φακού μελετάει τον πίνακα μετάδοσης στις διαχωριστικές επιφάνειες αέρα - μεταϋλικού και τη μεταβολή της φάσης κατά τη διάδοση του κύματος στα δύο υλικά. Αν για το μεταϋλικό ικανοποιούνται οι συνθήκες και, οι κυματικές αντιστάσεις στα δύο μέσα είναι ίσες και ο πίνακας μετάδοσης προκύπτει ίσος με τη μονάδα [14]. Δεν υπάρχουν δηλαδή απώλειες ενέργειας από ανάκλαση του κύματος στις διαχωριστικές επιφάνειες. Επιπλέον, η φάση του διαδιδόμενου κύματος μεταβάλλεται χωρικά σύμφωνα με τον όρο στον αέρα και στο μεταϋλικό, με αποτέλεσμα η μείωση φάσης κατά μήκος του αέρα να αντισταθμίζεται από την αύξηση της φάσης κατά μήκος του μεταϋλικού [14]. Αν, μάλιστα, παρατηρηθεί το είδωλο σε απόσταση από το σημείο αφετηρίας, όπου είναι το πλάτος της πλάκας του μεταϋλικού, τότε η συνολική μεταβολή της φάσης προκύπτει ίση με. Ένα ακόμα ενδιαφέρον στοιχείο είναι η συμπεριφορά των αποσβεννύμενων (evanescent) κυμάτων στο μεταϋλικό. Ενώ αυτά τα κύματα αποσβεννύονται εκθετικά σε ένα συμβατικό υλικό, στα μεταϋλικά ενισχύονται και το πλάτος τους αυξάνεται εκθετικά [14]. Έτσι, όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.13, τα αποσβεννύμενα κύματα στο σημείο του ειδώλου

27 2.1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ 19 έχουν το ίδιο πλάτος με το σημείο αφετηρίας, δημιουργώντας ένα ακόμα καλύτερο είδωλο, καθώς αυτό περιέχει όλες τις χωρικές αρμονικές. Ένας περιορισμός που υφίσταται είναι οι απώλειες του μεταϋλικού εξαιτίας των οποίων ορισμένες αρμονικές δεν καταφέρνουν να διαδοθούν. Στην ιδανική περίπτωση αμελητέων απωλειών ο τέλειος φακός δημιουργεί ένα ακριβές είδωλο. Το φαινόμενο απεικονίζεται στο σχήμα Σχήμα Συμπεριφορά των αποσβεννύμενων κυμάτων στον τέλειο φακό. (Πηγή: [14]) Σχήμα Δημιουργία τέλειου ειδώλου σε απόσταση από το επίπεδο. (Πηγή: [14]) Η εφαρμογή πλακών με μεταϋλικά ως τέλειοι φακοί δοκιμάστηκε σε αρκετές περιπτώσεις [8-10] για την επίτευξη μεγαλύτερης μεταφερόμενης ισχύος σε συστήματα WPT. Μάλιστα, επειδή οι διατάξεις WPT είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος λειτουργίας (deep-subwavelength limit), αρκεί μία παράμετρος εκ των ε και μ να είναι αρνητική, ανάλογα με το αν το κυρίαρχο πεδίο είναι μαγνητικό ή

28 20 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT ηλεκτρικό [8] και ίση κατά μέτρο με την αντίστοιχη σταθερά του κενού, γεγονός που απλοποιεί τη χρήση μεταϋλικών σε συστήματα WPT. 2.2 Μαγνητοεπαγωγικά Κύματα (Magnetoinductive Waves) Τα μαγνητοεπαγωγικά κύματα (magnetoinductive waves, MIWs) είναι ένα είδος μαγνητοστατικών κυμάτων [14], τα οποία δημιουργούνται λόγω της μαγνητικής σύζευξης δύο ή περισσότερων δακτυλίων συνδεδεμένων με μία χωρητικότητα ο καθένας [12], όπως παρουσιάζεται στο σχήμα Τα SRRs που μελετήθηκαν στην ενότητα ισοδυναμούν με ένα πηνίο συνδεδεμένο με έναν πυκνωτή, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3. Γιαυτό, η μελέτη των MIWs είναι στενά συνδεδεμένη με την έρευνα των μεταϋλικών και παρουσιάζουν έναν τρόπο μεταφοράς ενέργειας κατά μήκος δύο ή περισσότερων τέτοιων στοιχείων. Τα MIWs είναι αργά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός [12]. Σχήμα Διάταξη Ν μαγνητικά συζευγμένων βρόχων κατά μήκος των οποίων διαδίδεται MIW. (Πηγή: [12]) Η διάδοση αυτών των κυμάτων σε μία διάταξη που αποτελείται από δύο ή περισσότερα στοιχεία μπορεί να μελετηθεί θεωρώντας για κάθε στοιχείο ένα ισοδύναμο κύκλωμα και εφαρμόζοντας το νόμο τάσεων του Kirchhoff. Τα στοιχεία μπορούν να τοποθετούνται είτε ομοαξονικά είτε στο ίδιο επίπεδο. Επίσης, γίνεται η παραδοχή ότι κάθε στοιχείο αλληλεπιδρά μόνο με τα πλησιέστερα στοιχεία του. Με βάση τα παραπάνω, το ισοδύναμο κύκλωμα ολόκληρης της διάταξης απεικονίζεται στο σχήμα 2.16 και τα ρεύματα των βρόχων συνδέονται μεταξύ τους μέσω της αναδρομικής σχέσης όπου είναι η αυτοαντίσταση του βρόχου και είναι το ρεύμα του -στού βρόχου [12]. Σχήμα Ισοδύναμο κύκλωμα της διάταξης των δακτυλίων συνδεδεμένων με τους πυκνωτές. Με Μ συμβολίζεται η μαγνητική σύζευξη μεταξύ των στοιχείων.

29 2.2 ΜΑΓΝΗΤΟΕΠΑΓΩΓΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 21 Στην παρούσα εργασία θα προσομοιωθεί μια διάταξη WPT στην οποία θα χρησιμοποιηθούν δύο τέτοιοι συντονισμένοι βρόχοι, οι οποίοι θα είναι SRRs, οπότε ικανοποιείται πλήρως η παραδοχή ότι κάθε στοιχείο αλληλεπιδρά μόνο με το πλησιέστερο. Επιπλέον, τα SRRs θα τοποθετηθούν ομοαξονικά και κατόπιν θα γίνει μελέτη της απόδοσης του WPT συστήματος για την περίπτωση που το ένα SRR αποκλίνει από τον κοινό άξονα. Γιαυτό το λόγο, οι σχέσεις και τα συμπεράσματα που θα ακολουθήσουν βασίζονται στην αντίστοιχη θεωρητική ανάλυση διάδοσης MIWs σε ομοαξονικές διατάξεις, όπως αυτή περιγράφεται στη [12]. Το κύκλωμα του σχήματος 2.16 μπορεί να θεωρηθεί ως ένα συντονισμένο τετράπολο στο οποίο υπάρχει μαγνητική σύζευξη μεταξύ των στοιχείων του. Για ένα τέτοιο τετράπολο είναι γνωστή η εξίσωση διασποράς του και δίνεται στην [12]. Οι απώλειες του κυκλώματος κατά τη διέγερσή του και τη διάδοση MIW υπολογίζονται από τη σχέση όπου είναι η σταθερά απωλειών, είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών βρόχων, είναι ο συντελεστής σύζευξης και δίνεται από τη σχέση, είναι ο συντελεστής ποιότητας και είναι η σταθερά διάδοσης του κύματος. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι οι απώλειες, και κατ' επέκταση η αποδοτικότητα της διάταξης, είναι αντιστρόφως ανάλογες του συντελεστή σύζευξης και του συντελεστή ποιότητας. Ακόμη, γίνονται ελάχιστες στη συχνότητα συντονισμού των επιμέρους κυκλωμάτων. Το γεγονός ότι η αποδοτικότητα γίνεται βέλτιστη στη συχνότητα συντονισμού επαληθεύεται και από την εξάρτηση της μεταδιδόμενης ισχύος από τη συχνότητα. Η ισχύς ενός MIW υπολογίζεται ως 1 όπου είναι η σταθερά διάδοσης απουσία απωλειών και είναι το ρεύμα που διαρρέει τον πρώτο βρόχο. Η μεταδιδόμενη ισχύς μεγιστοποιείται όταν, το οποίο συμβαίνει στη συχνότητα συντονισμού [12]. Επομένως, η θεώρηση της διάταξης ως ένα τετράπολο στο οποίο διαδίδεται ένα MIW, καταλήγει στα ίδια συμπεράσματα με την CMT που μελετήθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, δηλαδή η αποδοτικότητα βελτιστοποιείται για κυκλώματα με μεγάλους συντελεστές ποιότητας και για λειτουργία σε συχνότητα ίση με τη συχνότητα συντονισμού. Ένα άλλο σημαντικό στοιχείο που αξίζει να αναφερθεί είναι ο τερματισμός του βρόχου που αποτελεί το πέρας της διάταξης. Στην περίπτωση που η διάταξη δεν είναι άπειρη ή η διάταξη δεν τερματίζεται σε προσαρμοσμένο φορτίο, υπάρχει ανακλώμενο κύμα, όπως συμβαίνει σε κάθε γραμμή μεταφοράς, οπότε ένα μέρος της προσπίπτουσας ισχύος δεν καταλήγει στο φορτίο. Η αντίσταση τερματισμού της διάταξης προκύπτει ότι πρέπει να είναι 1 Στο βιβλίο χρησιμοποιείται η μεταβλητή a αντί της μεταβλητής, ωστόσο εδώ προτιμάται το γράμμα για να μην υπάρχει σύγχυση με τη σταθερά απωλειών.

30 22 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT προκειμένου να είναι προσαρμοσμένη. Η αντίσταση προσαρμογής προκύπτει μιγαδικός αριθμός και διαφορετικός για κάθε συχνότητα, σε αντίθεση με τις συμβατικές γραμμές μεταφοράς [12]. Η μέγιστη μεταφορά ισχύος επιτυγχάνεται σε συνθήκες συζυγούς προσαρμογής, γιαυτό η αντίσταση τερματισμού για μέγιστη αποδοτικότητα είναι Ανάλογα με τη συχνότητα διέγερσης και το φορτίο τερματισμού της διάταξης, τα MIWs μπορούν να είναι οδεύοντα, στάσιμα ή αποσβεννύμενα κύματα. Όταν διαδίδονται οδεύοντα κύματα, η σταθερά διάδοσης και η σταθερά απωλειών μπορούν να υπολογιστούν μέσω των εξισώσεων διασποράς Από τις εξισώσεις διασποράς προκύπτει ότι για τιμές γινόμενο προκύπτει ίσο με αντίστοιχα [12]. Σημειώνεται ότι για συχνότητες λειτουργίας λίγο μεγαλύτερες από τη συχνότητα συντονισμού των συντονιστών, η ενεργός μαγνητική διαπερατότητά τους είναι αρνητική σε μία διεύθυνση παρατήρησης. Εάν η γραμμή δεν τερματίζεται με αντίσταση προσαρμογής, δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Ενδιαφέρον έχουν οι περιπτώσεις που τα στάσιμα κύματα έχουν ακέραιο αριθμό ημιπεριόδων που αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα τους συστήματος. Τα ιδιοδιανύσματα υπολογίζονται από τη σχέση, το όπου η παράμετρος δίνεται από κατάλληλους τύπους. Σε αυτή την περίπτωση τα στάσιμα κύματα εκδηλώνονται ως συντονισμοί. Ο αριθμός των συντονισμών ισούται με τον αριθμό των στοιχείων και εμφανίζονται αντίστοιχα σε ισάριθμες συχνότητες [12]. Στο σχήμα 2.17 δίνεται ένα παράδειγμα συντονισμών λόγω στάσιμων κυμάτων για διάταξη 5 βρόχων. Αποσβεννύμενα κύματα δημιουργούνται όταν η συχνότητα της πηγής διέγερσης δεν ανήκει στο εύρος ζώνης διέλευσης της γραμμής μεταφοράς. Αυτά τα κύματα αποσβεννύονται καθώς διαδίδονται από το πρώτο στοιχείο που διεγείρεται από την εξωτερική πηγή προς τα υπόλοιπα. Τα MIWs μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πιθανές μελλοντικές εφαρμογές σε RF και μικροκυματικές συχνότητες. Μερικές από αυτές είναι ως καθυστερητής (delay line), ολισθητής φάσης (phase shifter) και ως διάταξη απεικόνισης pixel προς pixel (pixel-by-pixel imaging) [12]. Οι παραπάνω εφαρμογές δεν αξιοποιούν την αρνητική μαγνητική διαπερατότητα που εμφανίζουν τα συντονισμένα στοιχεία στις συχνότητες πάνω από τη συχνότητα συντονισμού. Σε αυτό το πλαίσιο έγινε μια προσπάθεια μετάδοσης μαγνητικής πληροφορίας από ένα μαγνητικό τομογράφο σε έναν ανιχνευτή [12]. Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να μελετηθεί λοιπόν και η WPT, όπου θα

31 2.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜATA WPT 23 μεταφέρεται ηλεκτρική ενέργεια μέσω μαγνητικής σύζευξης από ένα στοιχείο συντονισμού σε ένα άλλο. Σχήμα Συντονισμοί σε διέγερση διάταξης 5 στοιχείων. Η διέγερση γίνεται από το πρώτο στοιχείο (Πηγή: [12]) 2.3 Εφαρμογές Μεταϋλικών σε Συστήματα WPT Τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει αρκετές μελέτες χρήσης μεταϋλικών, ιδιαίτερα SRRs ή παρόμοιας διάταξης που πετυχαίνει αρνητική μαγνητική διαπερατότητα, σε ασύρματα συστήματα. Στόχος είναι σε κάθε περίπτωση η βελτίωση της αποδοτικότητας των συστημάτων, δηλαδή η μεγιστοποίηση του συντελεστή μετάδοσης. Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα μεταϋλικά σε ένα σύστημα WPT, όπως έχει αναφερθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο. Μπορούν να αποτελούν τμήμα των κεραιών εκπομπής και λήψης, οι οποίες σε ένα σύστημα WPT είναι συντονισμένα κυκλώματα, ή να τοποθετούνται εξωτερικά σε πλάκες διηλεκτρικού ανάμεσα στους συντονιστές ώστε να αξιοποιηθεί το φαινόμενο του τέλειου φακού. Στην ενότητα θα περιγραφούν δημοσιευμένα πειράματα στα οποία τα μεταϋλικά χρησιμοποιήθηκαν ως τέλειοι φακοί και στην ενότητα θα γίνει αναφορά σε δημοσιεύσεις όπου διατάξεις μεταϋλικών χρησιμοποιήθηκαν για την εκπομπή και λήψη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Εξωτερική Χρήση Μεταϋλικών σε Συστήματα WPT Στην [5] έγινε θεωρητική ανάλυση μιας διάταξης στην οποία μια πλάκα διηλεκτρικού παρεμβάλλεται ανάμεσα σε δύο πηνία. Η πλάκα διηλεκτρικού θεωρείται ως μεταϋλικό με αρνητική μαγνητική διαπερατότητα σε μία διεύθυνση ενδιαφέροντος. Το συμπέρασμα της θεωρητικής ανάλυσης είναι ότι σε περίπτωση αμελητέων απωλειών η αποδοτικότητα του συστήματος μπορεί να πλησιάσει το

32 24 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT. Η μέγιστη αποδοτικότητα που μπορεί να επιτευχθεί εξαρτάται από το πάχος της πλάκας, τις αποστάσεις των πηνίων από την πλάκα και άλλες παραμέτρους, για τις οποίες δίνονται οι τιμές που βελτιστοποιούν το σύστημα. Μία πειραματική και προσομοιωτική μελέτη της παραπάνω διάταξης έγινε στην [9]. Τοποθετήθηκε αρχικά μια πλάκα και κατόπιν δύο πλάκες που περιείχαν σπείρες συντονισμού (spiral resonators, SRs) τριών περιστροφών στο χώρο μεταξύ δύο συντονιστών. Τα SRs εμφανίζουν παρόμοια συμπεριφορά με τα SRRs γύρω από τη συχνότητα συντονισμού τους. Η συχνότητα συντονισμού τους στην πειραματική διάταξη ήταν. Πραγματοποιήθηκαν μετρήσεις για μεταβαλλόμενο αριθμό SRs στις διηλεκτρικές πλάκες που κυμαινόταν από μέχρι. Παρατηρήθηκε αύξηση της αποδοτικότητας της τάξης του σε σχέση με την απουσία μεταϋλικών για απόσταση των συντονιστών. Τα SRs εισάγουν απώλειες στο σύστημα, όμως βελτιώνουν την αποδοτικότητα του συστήματος χάρη στη διέγερση επιφανειακών κυμάτων στις πλάκες. Πάνω από κάποιο όριο οι απώλειες γίνονται υπολογίσιμες και δεν παρατηρείται περεταίρω αύξηση της αποδοτικότητας. Όμοια συμπεράσματα προέκυψαν στην [8], όπου χρησιμοποιήθηκε μια πλάκα αποτελούμενη από τετράγωνες σπείρες δύο όψεων (two sided square spirals). Εντοπίστηκαν και σε αυτήν την πειραματική διάταξη επιφανειακά κύματα στις επιφάνειες του μεταϋλικού τα οποία οδήγησαν στην ενίσχυση των αποσβεννύμενων κυμάτων. Επιπλέον σε αυτή τη μελέτη τοποθετήθηκαν συντονιστές στο ίδιο επίπεδο ως πομποί. Με τη διέγερση του ενός από μια εξωτερική πηγή μεταφέρθηκε ενέργεια σε όλη τη σειρά των συντονιστών. Με αυτό τον τρόπο ένας κινούμενος δέκτης βρισκόταν οποιαδήποτε στιγμή κοντά σε έναν πομπό και μπορούσε να λαμβάνει ενέργεια από αυτόν. Αντίστοιχα, στη [10], δημιουργήθηκε ένα σύστημα WPT πολλαπλών δεκτών. Οι δέκτες δε βρίσκονταν στο ίδιο επίπεδο και δεν ήταν ομοαξονικοί με τον πομπό. Γιαυτό το λόγο έγινε πρώτα μια διερεύνηση της μείωσης του συντελεστή μετάδοσης για διάφορες αποκλίσεις του ενός συντονιστή από τον αρχικό κοινό άξονα. Βρέθηκε ότι η μέγιστη αποδεκτή απόκλιση που οδηγεί σε ικανοποιητικό συντελεστή μετάδοσης είναι. Μπροστά από κάθε βρόχο συντονισμού, στον πομπό και στους δέκτες, τοποθετήθηκε μια πλάκα διηλεκτρικού με μεταϋλικά. Η χρήση των πλακών με τα μεταϋλικά είχε ως αποτέλεσμα την αύξηση της αποδοτικότητας. Στη [17] χρησιμοποιήθηκε μια πλάκα με μεταϋλικό δίπλα σε μια κεραία εκπομπής. Η συχνότητα συντονισμού του μεταϋλικού επιλέχθηκε μικρότερη από τη συχνότητα συντονισμού της κεραίας. Με την τοποθέτηση του μεταϋλικού η συχνότητα συντονισμού της κεραίας μειώθηκε κατά, ενώ ανάλογα με τις διαστάσεις των εξαρτημάτων και τις αποστάσεις μεταξύ τους η μείωσης της συχνότητας συντονισμού μπορεί να πάρει διάφορες τιμές. Από την πειραματική μελέτη αυτής της διάταξης προέκυψε το συμπέρασμα ότι μια πλάκα που περιέχει μεταϋλικό μπορεί να μειώσει τις απαιτούμενες διαστάσεις της κεραίας για δεδομένη συχνότητα λειτουργίας. Αυτό επιτυγχάνεται όταν η πλάκα χρησιμοποιείται ως υπόστρωμα. Όταν η πλάκα τοποθετείται πάνω από την κεραία (superstrate), τότε παρατηρείται βελτίωση του κέρδους της κεραίας.

33 2.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜATA WPT Μεταϋλικά ως Στοιχεία Συντονισμού Στη [18] μετρήθηκε το κέρδος και το εύρος ζώνης μιας κεραίας που αποτελείται από δύο SRRs, τοποθετημένα όπως φαίνεται στο σχήμα Τα SRRs συντονίζονται θεωρητικά σε συχνότητα περίπου και τροφοδοτούνται από μία γραμμή μικροταινίας (microstrip). Το κέρδος και το εύρος ζώνης μετρήθηκαν πειραματικά και μέσω προσομοιώσεων και προέκυψε ότι το κέρδος γίνεται βέλτιστο για λειτουργία στη συχνότητα συντονισμού των SRRs. Το κέρδος μετρήθηκε ίσο με και το εύρος ζώνης ίσο με. Σχήμα Μπροστινή όψη της πρώτης διάταξης. Το αριστερό SRR βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το microstrip ενώ το δεξί SRR βρίσκεται στο κάτω επίπεδο του υποστρώματος λειτουργώντας ως γείωση (Πηγή: [18]) Μία διαφορετική διάταξη υλοποιήθηκε στη [19] και παρουσιάζεται στο σχήμα Ένα μονόπολο διεγείρει ηλεκτρικά ένα SRR στη συχνότητα συντονισμού ενώ υ- Σχήμα Γεωμετρία της δεύτερης διάταξης. Διακρίνεται ένα τμήμα του επιπέδου γείωσης και του ομοαξονικού καλωδίου (Πηγή: [19])

34 26 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT πάρχει επίπεδο γείωσης που δημιουργεί ένα συμμετρικό είδωλο του SRR ως προς τον άξονα x. Η παράμετρος στη συχνότητα συντονισμού μειώνεται και γίνεται, που σημαίνει ότι οι απώλειες επιστροφής είναι αμελητέες και έτσι μεταδίδεται περισσότερη ισχύς. Σημαντικό στοιχείο είναι σε αυτή την περίπτωση ότι οι διαστάσεις της κεραίας είναι πολύ μικρότερες από το μήκος κύματος στη συχνότητα συντονισμού, άρα είναι εφικτός ο σχεδιασμός μικρών κεραιών. Ο συντελεστής ποιότητας υπολογίστηκε σύμφωνα με τα αποτελέσματα των μετρήσεων ίσος με 23. Το πείραμα που διεξήχθη αφορούσε την απόκριση της κεραίας στο μακρινό πεδίο. Σε αυτό μετρήθηκε ότι το κέρδος είναι και η αποδοτικότητα είναι. Τα αποτελέσματα επιβεβαιώθηκαν και μέσω προσομοιώσεων. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκαν νέες προσομοιώσεις για μικρότερες διαστάσεις κεραίας, με το σκεπτικό ότι η συχνότητα συντονισμού μπορεί να διατηρηθεί αμετάβλητη στο μικρότερο SRR αν αυξηθεί η χωρητικότητα μεταξύ των δακτυλίων. Ωστόσο, το κέρδος, θεωρητικά και στις προσομοιώσεις, μειώθηκε σε σχέση με την αρχική περίπτωση, οπότε προέκυψε το συμπέρασμα ότι το μέγεθος της διάταξης μπορεί να μειώνεται μέχρι κάποιο όριο στο οποίο το κέρδος είναι ικανοποιητικό. Μία άλλη μελέτη που αναλύεται στην [20] δε χρησιμοποιεί SRR ως μεταϋλικό και στοιχείο συντονισμού. Θεωρεί μια γραμμή μεταφοράς στην οποία τοποθετούνται χωρητικότητες σε σειρά και επαγωγές παράλληλα. Η υλοποίηση είναι αυτή του σχήματος 2.20 και η κεραία που αποτελείται από μία τέτοια γραμμή μεταφοράς ονομάζεται κεραία μανιταριού (mushroom antenna). Στο σχήμα 2.21 απεικονίζεται το ισοδύναμο κύκλωμα για ένα απειροστό μήκος της γραμμής μεταφοράς. Σε αυτή τη διάταξη παρατηρείται το φαινόμενο να διαδίδονται δεξιόστροφα κύματα σε ένα εύρος συχνοτήτων και αριστερόστροφα κύματα σε ένα διαφορετικό εύρος. Οι επιτρεπτές συχνότητες λειτουργίας για την κεραία του σχήματος 2.20 είναι διακριτές και αποτελούν συχνότητες συντονισμού. Υπάρχουν δύο συχνότητες και στις οποίες η σταθερά διάδοσης γίνεται ίση με 0. Οι συντονισμοί που αντιστοιχούν σε αυτές τις συχνότητες ονομάζονται συντονισμοί μηδενικής τάξης (zeroth order resonance, ZOR). Οι μετρήσεις της [20] έγιναν για συχνότητα λειτουργίας και διαπιστώθηκε ότι το διάγραμμα ακτινοβολίας ήταν σχεδόν ομοιόμορφο στο Ε- επίπεδο και στο Η-επίπεδο. Σχήμα Κεραία μανιταριού όπου διακρίνονται οι παράλληλες επαγωγές (vias) και οι χωρητικότητες που αναπτύσσονται μεταξύ των μοναδιαίων κελιών μανιταριού (Πηγή: [20])

35 2.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΫΛΙΚΩΝ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜATA WPT 27 Σχήμα Ισοδύναμο κύκλωμα γραμμής μεταφοράς στην οποία προστέθηκαν χωρητικότητες σε σειρά και παράλληλες επαγωγές. (Πηγή: [20]) Στην [11] γίνεται σύγκριση των παραμέτρων και για την ασύρματη ζεύξη μεταξύ δύο συμβατικών κεραιών και μεταξύ δύο κεραιών μεταϋλικού. Οι τελευταίες είναι βρόχοι μεταϋλικού που λειτουργούν στο συντονισμό μηδενικής τάξης (metamaterial zeroth order resonance loop, MTM ZOR loop). Ένας τέτοιος βρόχος απεικονίζεται στο σχήμα 2.22, όπου φαίνεται επίσης η κατανομή του μαγνητικού πεδίου γύρω του. Τα αποτελέσματα των προσομοιωτικών μετρήσεων έδειξαν ότι σε κοντινές αποστάσεις οι παράμετροι των δύο διατάξεων είναι συγκρίσιμες, ωστόσο, σε μεγάλες αποστάσεις οι βρόχοι μεταϋλικού παρουσιάζουν πιο σταθερή συμπεριφορά και έχουν μεγαλύτερο συντελεστή μετάδοσης. Τέλος, δοκιμάστηκε να τοποθετηθούν ανακλαστήρες σε κάθε βρόχο μεταϋλικού και σε αυτή Σχήμα Βρόχος μεταϋλικού στο συντονισμό μηδενικής τάξης (Πηγή: [11]) την περίπτωση ο συντελεστής μετάδοσης αυξήθηκε για όλες τις εξεταζόμενες αποστάσεις κατά. Στη [21] παρουσιάζεται μια μελέτη ενός τυπικού WPT συστήματος, όπως αυτό της ενότητας 1.3, στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν τα SRRs του σχήματος 2.23 ως συντονιστές. Η συχνότητα λειτουργίας για δεδομένες διαστάσεις των SRRs ήταν. Διαπιστώθηκε ότι σε απόσταση μεταξύ των συντονιστών η αποδοτικότητα του συστήματος ήταν, αυξημένη σε σχέση με προηγούμενη μελέτη των συγγραφέων, στην οποία είχαν χρησιμοποιηθεί συγκεντρωμένοι πυκνωτές. Η συχνότητα λειτουργίας μπορεί να μεταβάλλεται με την κατάλληλη

36 28 2 ΜΕΤΑΫΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ WPT προσαρμογή εκείνων των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του SRR που επηρεάζουν την ισοδύναμη χωρητικότητα, χωρίς να μειώνεται σημαντικά η αποδοτικότητα. Σχήμα Τετραγωνικό SRR (Πηγή: [21]) Παρόμοια διάταξη με την παραπάνω προσομοιώθηκε και παρουσιάζεται στην [22], με τη διαφορά ότι τα SRRs του σχήματος 2.23 αντικαταστάθηκαν από EC-SRRs. Στόχος αυτής της αλλαγής ήταν η καλύτερη συγκέντρωση των δυναμικών γραμμών του ηλεκτρικού πεδίου στην περιοχή μεταξύ των δακτυλίων των EC-SRRs. Σε αυτή την περίπτωση η απόσταση μεταξύ των συντονιστών επιλέχθηκε και η συχνότητα λειτουργίας. Η αποτελεσματικότητα του συστήματος προέκυψε ίση με. Η παραπάνω βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας αποδείχθηκε ότι βρίσκεται στη συχνοτική περιοχή αρνητικής μαγνητικής διαπερατότητας του EC- SRR. Επίσης, έγιναν προσομοιώσεις για διάφορες αποστάσεις μεταξύ των δύο δακτυλίων που αποτελούν τα EC-SRRs και διαπιστώθηκε ότι η μείωση της ισοδύναμης χωρητικότητάς τους οδηγεί στην αύξηση της βέλτιστης συχνότητας λειτουργίας ενώ η αποδοτικότητα παραμένει σχετικά σταθερή. Έτσι επιβεβαιώθηκε και με αυτή τη μελέτη η επισήμανση που έγινε αρχικά στη [21]. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η εισαγωγή μεταϋλικών σε συστήματα WPT συντελεί αποδεδειγμένα σε μεγάλο βαθμό στην αύξηση της αποδοτικότητάς τους. Γιαυτό το λόγο, τα μεταϋλικά πρέπει να αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της έρευνας για την ανάπτυξη βέλτιστων συστημάτων WPT.

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL Το πρόγραμμα COMSOL Multiphysics είναι μια πλατφόρμα λογισμικού γενικού σκοπού που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων ηλεκτρικών, μηχανικών και χημικών εφαρμογών και για προβλήματα ροής υγρών. Η επίλυσή τους βασίζεται σε προχωρημένες αριθμητικές μεθόδους. Η πλατφόρμα του COMSOL μπορεί να συνδεθεί με άλλα λογισμικά, όπως το CAD, με στόχο την καλύτερη σχεδίαση των διατάξεων που προσομοιώνονται. Επίσης, μπορεί να συνδεθεί και με το Matlab για προσαρμοσμένη σχεδίαση και εμφάνιση των αποτελεσμάτων. Στην εργασία χρησιμοποιήθηκε το περιβάλλον του COMSOL Desktop, το οποίο καλύπτει τις ανάγκες που προέκυψαν στη μοντελοποίηση των απαιτούμενων διατάξεων και η αριθμητική μέθοδος επίλυσης που επιλέχθηκε είναι η FEM. Σε αυτό το κεφάλαιο μελετάται συνοπτικά η FEM, καθώς στο πρόγραμμα δίνεται η δυνατότητα παρέμβασης του χρήστη στην μέθοδο και γιαυτό η κατανόησή της είναι απαραίτητη. Στη συνέχεια περιγράφονται η συλλογιστική πορεία που ακολουθήθηκε στις προσομοιώσεις και οι διατάξεις έτσι όπως μοντελοποιήθηκαν και προσομοιώθηκαν στο COMSOL Desktop. 3.1 FEM σε Προβλήματα Ηλεκτρομαγνητικού Πεδίου Περιγραφή της Μεθόδου Η επίλυση προβλημάτων ηλεκτρομαγνητικού πεδίου έγκειται τις περισσότερες φορές στην επίλυση κάποιων μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως είναι οι εξισώσεις Maxwell, Helmholtz, Poisson. Οι εξισώσεις αυτές, ανάλογα με τις ιδιότητες του μέσου και τη γεωμετρία των διατάξεων ενδέχεται να μην επιδέχονται αναλυτική λύση. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι. Στη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (FEM) ο χώρος που μελετάται διαιρείται σε πολλά μικρά στοιχεία πεπερασμένων διαστάσεων [23]. Ο υπολογισμός των ζητούμενων πεδιακών μεγεθών προκύπτει έμμεσα από τις διαφορικές εξισώσεις μέσα από διαδικασίες ελαχιστοποίησης συναρτησιακών που τα περιλαμβάνουν [23] ή μέσα από τη μετατροπή των διαφορικών εξισώσεων και των οριακών συνθηκών του προβλήματος στην καλούμενη ασθενή αναπαράστασή τους (weak-form representation) [24]. Πιο συγκεκριμένα, η συνάρτηση που περιγράφει το ζητούμενο πεδιακό μέγεθος προσεγγίζεται από το γραμμικό συνδυασμό κάποιων συναρτήσεων βάσης. Έστω, λοιπόν, ότι η άγνωστη προσδιοριστέα συνάρτηση προσεγγίζεται από τη σχέση

38 30 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL όπου είναι οι συναρτήσεις βάσεις και είναι άγνωστοι συντελεστές [24]. Οι συναρτήσεις βάσεις επιλέγονται έτσι ώστε να έχουν μέγιστη τιμή σε ένα σημείο, που ονομάζεται κόμβος, και να είναι μη μηδενικές μόνο σε εκείνα τα πεπερασμένα στοιχεία που έχουν τον κόμβο στο σύνορό τους. Με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνεται η μελέτη του πεδίου σε ένα μικρό τμήμα του χώρου κάθε φορά, στο οποίο η μεταβολή των πεδιακών μεγεθών μπορεί να θεωρηθεί ομαλή. Στη συνέχεια, με χρήση κάποιας συναρτησιακής που περιέχει τη συνάρτηση ή με πολλαπλασιασμό των δύο μελών της διαφορικής εξίσωσης με συναρτήσεις βάρους (weighting functions) και ολοκλήρωση προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους τους συντελεστές. Ο προσδιορισμός των συντελεστών οδηγεί στον υπολογισμό της ζητούμενης συνάρτησης. Ένα απλό παράδειγμα χρήσης της μεθόδου είναι η επίλυση της εξίσωσης Helmholtz σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα στο διάστημα, το οποίο περιγράφεται στην [24]. Στην ανάλυση της [24] χρησιμοποιείται ο πολλαπλασιασμός των δύο μελών της διαφορικής εξίσωσης με συναρτήσεις βάρους και η ολοκλήρωση στο διάστημα μελέτης. Το διάστημα χωρίζεται σε υποδιαστήματα τα οποία αποτελούν τα πεπερασμένα στοιχεία. Η εξίσωση Helmholtz είναι η και οι οριακές συνθήκες του προβλήματος δίνονται από τις σχέσεις Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η προσδιοριστέα συνάρτηση προσεγγίζεται από την έκφραση όπου είναι η άγνωστη τιμή της συνάρτησης στον κόμβο ανάμεσα στα στοιχεία και και είναι η αντίστοιχη συνάρτηση βάσης. Η κάθε συνάρτηση βάσης έχει την τιμή στον αντίστοιχο κόμβο και φθίνει γραμμικά εντός του πεπερασμένου στοιχείου μέχρι την τιμή, την οποία λαμβάνει στο γειτονικό κόμβο. Η επιλογή γραμμικής συμπεριφοράς για τις συναρτήσεις βάσης δεν είναι η βέλτιστη, ωστόσο δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα χωρίς να δημιουργεί επιπρόσθετη πολυπλοκότητα στο πρόβλημα [23]. Στο σχήμα 3.1 απεικονίζονται οι συναρτήσεις βάσης για τη μονοδιάστατη περίπτωση. Σχήμα 3. 1 Γραμμικές συναρτήσεις βάσης σε πρόβλημα μίας διάστασης (Πηγή: [24])

39 3.1 FEM ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 31 Λόγω της πρώτης οριακής συνθήκης η σχέση που δίνει την άγνωστη συνάρτηση γίνεται Μία επιλογή για τις συναρτήσεις βάρους είναι οι συναρτήσεις βάσης, σύμφωνα με τη μέθοδο Galerkin. Εφαρμόζοντας αυτή τη μέθοδο, η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή όπου. Κατόπιν εφαρμόζονται ιδιότητες ολοκληρωμάτων και αντικαθίσταται η συνάρτηση από την ισοδύναμη έκφρασή της. Τελικά προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τα στο οποίο τα υπόλοιπα μεγέθη μπορούν να υπολογιστούν είτε αναλυτικά είτε αριθμητικά. Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων είναι σχετικά απλός χάρη στο γεγονός ότι οι συναρτήσεις βάσης είναι μη μηδενικές το πολύ σε δύο πεπερασμένα στοιχεία, ενώ στα υπόλοιπα στοιχεία έχουν την τιμή. Σε προβλήματα δύο διαστάσεων τα πεπερασμένα στοιχεία λαμβάνονται συνήθως ως τρίγωνα και σε προβλήματα τριών διαστάσεων ως τετράεδρα. Τα παραπάνω σχήματα έχουν την ιδιότητα να είναι απλά στη γεωμετρία τους και να μπορούν να διακριτοποιήσουν μια επιφάνεια ή ένα χώρο οποιασδήποτε μορφής. Οι συναρτήσεις βάσεις επιλέγονται τις περισσότερες φορές και σε αυτές τις περιπτώσεις να είναι γραμμικές. Στο σχήμα 3.2 δίνεται ένα παράδειγμα γραμμικής συνάρτησης βάσης σε ένα πρόβλημα δύο διαστάσεων. Σχήμα 3. 2 Πλέγμα τριγωνικών πεπερασμένων στοιχείων. Διακρίνεται επίσης η συνάρτηση βάσης του κόμβου. Η έχει την τιμή στον κόμβο και μειώνεται γραμμικά προς όλες τις διευθύνσεις ως την τιμή, την οποία λαμβάνει στους γειτονικούς κόμβους. Η τιμή του πεδιακού μεγέθους προκύπτει για κάθε πεπερασμένο στοιχείο από το γραμμικό συνδυασμό των συναρτήσεων βάσης που είναι μη μηδενικές στο συγκεκριμένο στοιχείο. (Πηγή: [24])

40 32 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL Όταν το ζητούμενο πεδιακό μέγεθος είναι διανυσματικό, όπως για παράδειγμα η εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου, οι συναρτήσεις βάσεις είναι και αυτές διανύσματα, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.3 σε ένα δισδιάστατο πρόβλημα. Το ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση όπου είναι ο συνολικός αριθμός των πλευρών τριγώνων με εξαίρεση τις πλευρές για τις οποίες υπάρχουν γνωστές οριακές συνθήκες Dirichlet, συνάρτηση βάσης για την πλευρά, όπως στο σχήμα 3.3 και είναι η είναι η εφαπτομενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου στην πλευρά. Τα μεγέθη στο δεύτερο άθροισμα είναι τα αντίστοιχα και αφορούν τις πλευρές τριγώνων στις οποίες ισχύουν οριακές συνθήκες Dirichlet [24]. Σχήμα 3. 3 Διανυσματική συνάρτηση βάσης της πλευράς σε ένα πλέγμα τριγωνικών πεπερασμένων στοιχείων. Η πλευρά είναι αυτή στην οποία τα διανυσματικά βέλη έχουν μη μηδενική εφαπτομενική συνιστώσα η οποία ισούται με. (Πηγή: [24]) Οριακές Συνθήκες Στην παραπάνω ανάλυση δίνεται ένας τρόπος υπολογισμού των πεδιακών μεγεθών σε έναν κλειστό χώρο ή μια κλειστή επιφάνεια, στα όρια των οποίων ισχύουν γνωστές συνθήκες Dirichlet ή Neumann. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ο χώρος που μελετάται εκτείνεται μέχρι το άπειρο, γεγονός που δημιουργεί πρόβλημα στη διαίρεσή του σε πεπερασμένα στοιχεία και στην εύρεση λύσης για όλο το χώρο. Έτσι κρίνεται απαραίτητος από τη μέθοδο ο περιορισμός του άπειρου χώρου και ο

41 3.1 FEM ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 33 προσδιορισμός οριακών συνθηκών στα όρια που δημιουργούνται. Οι οριακές συνθήκες θα πρέπει να είναι κατάλληλες ώστε το αποτέλεσμα της προσομοίωσης να είναι το ίδιο με τη λύση που θα προέκυπτε στο αρχικό πρόβλημα του άπειρου χώρου. Στον άπειρο χώρο παρατηρείται το φαινόμενο να μην υπάρχει ανακλώμενο κύμα όταν ένα κύμα οδεύει προς το άπειρο. Έτσι, οι οριακές συνθήκες πρέπει να μη δημιουργούν ανακλώμενα κύματα. Σε αυτή την κατεύθυνση έχουν αναπτυχθεί δύο τεχνικές περιορισμού του άπειρου χώρου, οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (absorbing boundary conditions, ABCs) και τα τέλεια προσαρμοσμένα στρώματα (perfectly matched layers, PMLs). Οι ABCs παρέχουν πολύ καλή απορρόφηση του προσπίπτοντος κύματος όταν αυτό είναι κάθετο στην οριακή επιφάνεια, αλλά ανακλούν τα κύματα των οποίων η γωνία πρόσπτωσης αποκλίνει από την κάθετο. Ωστόσο, μπορεί να θεωρηθεί ότι σε μεγάλες αποστάσεις της οριακής επιφάνειας από την πηγή των κυμάτων, η γωνία πρόσπτωσης είναι περίπου κάθετη στην επιφάνεια, κι έτσι το ανακλώμενο κύμα είναι αμελητέο [24]. Η πιο απλή ABC σε προβλήματα τριών διαστάσεων είναι η συνθήκη ακτινοβολίας Sommerfeld (Sommerfeld radiation condition) η οποία δίνεται από τη σχέση όπου είναι το κάθετο διάνυσμα στην οριακή επιφάνεια και είναι ο κυματικός αριθμός. Είναι δυνατή η δημιουργία ABC που να ικανοποιούν ακριβέστερες συνθήκες ακτινοβολίας και η διαδικασία αυτή περιγράφεται αναλυτικά στην [24]. Τα PMLs τοποθετούνται στο τελείωμα του υπό μελέτη χώρου, όπως ένα προσαρμοσμένο φορτίο τερματίζει μία γραμμή μεταφοράς χωρίς ανακλάσεις. Είναι ένα ανισοτροπικό υλικό του οποίου η διηλεκτρική σταθερά δίνεται ισούται με η μαγνητική διαπερατότητα με, όπου και είναι οι σταθερές του μέσου το οποίο πληροί τον υπόλοιπο χώρο. Με συμβολίζεται ένας διαγώνιος τανυστής. Στην περίπτωση που η οριακή επιφάνεια που έχει δημιουργηθεί είναι επίπεδη, το PML τοποθετείται όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4, ωστόσο γενικά το PML μπορεί να έχει και σφαιρικό, κυλινδρικό ή άλλο σχήμα. Αποδεικνύεται ότι αν ο τανυστής και έχει τη μορ- Σχήμα 3. 4 Διαχωριστική επιφάνεια του μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα κύμα και ενός PML. (Πηγή: [24])

42 34 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL φή τότε η γωνία διάθλασης ισούται με τη γωνία πρόσπτωσης και ο συντελεστής ανάκλασης γίνεται ίσος με 0 για ΤΜ και για ΤΕ κύματα. Το κύμα αποσβεννύεται κατά τη διεύθυνση, θεωρώντας το σύστημα συντεταγμένων του σχήματος 3.4, και η απόσβεση εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου. Το πάχος του PML είναι πεπερασμένο και στην εξωτερική του επιφάνεια τοποθετείται συνήθως μια αγώγιμη επιφάνεια. Το κύμα αποσβεννύεται καθώς διαδίδεται στο PML, στη συνέχεια ανακλάται στην αγώγιμη επιφάνεια και επιστρέφει στο PML, όπου διαδίδεται στη διεύθυνση της γωνίας ανάκλασης προς το αρχικό μέσο του υπό μελέτη χώρου. Γιαυτό το λόγο πρέπει να ληφθεί μέριμνα ώστε το κύμα να έχει αποσβεστεί αρκετά όταν θα φτάσει στο αρχικό μέσο και να θεωρείται αμελητέο, χωρίς να επηρεάζει τα αποτελέσματα της μεθόδου [24] Προσδιορισμός Σφαλμάτων Οι αριθμητικές μέθοδοι βασίζονται σε μια προσέγγιση της αναλυτικής λύσης και γιαυτό το λόγο οι υπολογισμοί με αυτές εμπεριέχουν κάποιο σφάλμα. Στη FEM η προσέγγιση είναι η εξίσωση της προσδιοριστέας συνάρτησης με ένα γραμμικό συνδυασμό συναρτήσεων. Το σφάλμα που δημιουργείται εξαρτάται από τις αυτές συναρτήσεις. Όπως υπαινίχθηκε προηγουμένως, η χρήση γραμμικών συναρτήσεων βάσης εισάγει μεγαλύτερο σφάλμα σε σχέση με τη χρήση πολυωνυμικών συναρτήσεων βάσης μεγαλύτερου βαθμού, ωστόσο οι γραμμικές συναρτήσεις προτιμούνται λόγω μικρότερου υπολογιστικού κόστους. Το σφάλμα αυτό καλείται σφάλμα παρεμβολής (interpolation error) και είναι της τάξης, όπου είναι ο βαθμός της συνάρτησης βάσης, είναι το μέγεθος του πεπερασμένου στοιχείου και είναι το μήκος κύματος διέγερσης [24]. Όταν μελετάται διάδοση κύματος μέσω των εξισώσεων Helmholtz με τη FEM, προκύπτει ένα σφάλμα που αφορά τη φασική σταθερά του κύματος. Η τιμή στην οποία υπολογίζεται είναι λίγο μεγαλύτερη από την πραγματική. Αυτό το σφάλμα ονομάζεται αριθμητικό σφάλμα φάσης (numerical phase error) και είναι της τάξης [24]. Από τα παραπάνω προκύπτει το συμπέρασμα ότι τα σφάλματα της μεθόδου μικραίνουν όταν μειώνεται το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων και όταν αυξάνεται ο βαθμός του πολυωνύμου των συναρτήσεων βάσης. Όσον αφορά το αριθμητικό σφάλμα φάσης, είναι πιο συμφέρον να μεγαλώσει ο βαθμός του πολυωνύμου, γιατί στον υπολογισμό του σφάλματος πολλαπλασιάζεται με το 2 και δίνει πολύ καλύτερα αποτελέσματα. Πρέπει να σημειωθεί βέβαια ότι και οι δύο τρόποι περιορισμού των σφαλμάτων οδηγούν σε μεγαλύτερες απαιτήσεις μνήμης και

43 3.2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 35 υπολογιστικού χρόνου, γιαυτό θα πρέπει να είναι σαφής σε κάθε περίπτωση η ζητούμενη ακρίβεια των αποτελεσμάτων των προσομοιώσεων. 3.2 Μεθοδολογία Στα πλαίσια της εργασίας γίνονται δύο ομάδες προσομοιώσεων στις οποίες μελετώνται δύο διαφορετικά είδη SRRs. Αρχικά διερευνάται το EC-SRR του σχήματος 2.2, που εμφανίζει έντονο μαγνητικό συντονισμό και αρνητική μαγνητική διαπερατότητα. Ακολουθεί η μελέτη του μεταϋλικού Ε2 του σχήματος 2.9, το οποίο όπως αναφέρθηκε στην αντίστοιχη ενότητα συμπεριφέρεται αποκλειστικά ως ηλεκτρικό δίπολο και κατά το συντονισμό η ενεργός διηλεκτρική σταθερά γίνεται αρνητική. Αναμένεται ότι η χρήση του EC-SRR θα έχει μεγαλύτερη αποδοτικότητα, γιατί η ισχύς μεταδίδεται μέσω της μαγνητικής σύζευξης των ισοδύναμων πηνίων του πομπού και του δέκτη. Έτσι, η μετάδοση της ισχύος θα είναι περισσότερη ανάμεσα σε δύο μαγνητικά δίπολα που εμφανίζουν μαγνητικό συντονισμό. Η πορεία των προσομοιώσεων ακολουθεί σε κάποιο βαθμό αυτή που περιγράφεται στην [22]. Πρώτο βήμα είναι η προσομοίωση της ηλεκτρομαγνητικής διέγερσης ενός μοναδιαίου κελιού που περιέχει ένα SRR. Από αυτή την προσομοίωση μετρούνται οι παράμετροι και. Έπειτα, οι παράμετροι χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή των ενεργών καταστατικών παραμέτρων και μέσω μιας γνωστής διαδικασίας ομογενοποίησης. Οι συχνότητες του μαγνητικού ή ηλεκτρικού συντονισμού του SRR θα είναι εκείνες στις οποίες η παράμετρος παίρνει χαμηλές τιμές, που σημαίνει ότι δε διαδίδεται ηλεκτρομαγνητικό κύμα πέρα από το SRR. Αυτό αναμένεται να επιβεβαιωθεί και κατά τον υπολογισμό των καταστατικών παραμέτρων, όπου στις προαναφερθείσες συχνότητες η μαγνητική διαπερατότητα ή η διηλεκτρική σταθερά, ανάλογα με το είδος του συντονισμού, πρέπει να παίρνει αρνητικές τιμές, συνεπώς να μην επιτρέπει τη διάδοση κύματος. Αυτό το φάσμα συχνοτήτων είναι το επιθυμητό φάσμα στο οποίο θα λειτουργήσει το WPT σύστημα για να πετύχει τη μέγιστη αποδοτικότητα. Το WPT σύστημα που θα προσομοιωθεί είναι αυτό του σχήματος 1.4, όπου πομπός και δέκτης θα είναι SRRs τοποθετημένα πάνω σε λεπτό διηλεκτρικό υπόστρωμα. Ένα όμοιο τέτοιο σύστημα, όπου ως μεταϋλικά χρησιμοποιούνται EC- SRRs περιγράφεται και στην [22]. Με την εκτέλεση μιας σάρωσης στη συχνότητα και τη μέτρηση της παραμέτρου για κάθε συχνότητα μπορεί να διασφαλιστεί ότι η βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας του συστήματος βρίσκεται στο διάστημα μαγνητικού ή ηλεκτρικού συντονισμού των SRRs. Παράλληλα, εντοπίζεται η βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας, η οποία φυσικά μπορεί να μεταβληθεί με κατάλληλη αλλαγή των γεωμετρικών χαρακτηριστικών των SRRs [21, 22] και να πάρει οποιαδήποτε επιθυμητή τιμή. Σε αυτή τη συχνότητα μελετάται η επίδραση της μετατόπισης και της στροφής του δέκτη στην αποδοτικότητα του συστήματος, μέσω της μέτρησης των παραμέτρων.

44 36 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL 3.3 Υλοποίηση και Προσομοίωση των Διατάξεων EC-SRR Η γεωμετρία της διάταξης του μοναδιαίου κελιού με το EC-SRR παρουσιάζεται στο σχήμα 3.5. Διακρίνονται τα μεταλλικά κομμάτια που αποτελούν το EC-SRR πάνω σε ένα υπόστρωμα διηλεκτρικού, ενώ όλη η διάταξη τοποθετείται μέσα σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, το οποίο οριοθετεί το χώρο μελέτης και προσομοίωσης. Σχήμα 3. 5 Διάταξη για την ηλεκτρομαγνητική διέγερση του EC-SRR Η διέγερση επιλέχθηκε να είναι ηλεκτρική και η διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου τέτοια ώστε να δημιουργεί ένα μαγνητικό δίπολο. Έτσι, ως θύρα διέγερσης ορίστηκε το σκιασμένο τοίχωμα του σχήματος 3.5, ενώ το ηλεκτρικό πεδίο συλλέγεται από το απέναντι τοίχωμα, το οποίο αποτελεί τη θύρα 2. Τα άλλα δύο πλαϊνά τοιχώματα που εφάπτονται στη διηλεκτρική πλάκα επιλέχθηκαν να είναι τέλειοι ηλεκτρικοί αγωγοί (perfect electric conductor, PEC). Αντίστοιχα, η βάση και η κορυφή του παραλληλεπιπέδου επιλέχθηκαν ως τέλειοι μαγνητικοί αγωγοί (perfect magnetic conductor, PMC). Η οριακή συνθήκη σε έναν PEC υποχρεώνει το ηλεκτρικό πεδίο να είναι κάθετο στην επιφάνεια και ομοίως συμβαίνει με την οριακή συνθήκη σε έναν PMC για το μαγνητικό πεδίο. Συνεπώς, οι δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου ακολουθούν μια ελεγχόμενη και επιθυμητή διαδρομή εντός του χώρου μελέτης και δε δημιουργούν ανεπιθύμητα αποτελέσματα. Όσον αφορά τις διαστάσεις τις διάταξης, έγινε αρχικά μια αυθαίρετη επιλογή, αλλά στην πορεία αποδεικνύεται ότι οι διαστάσεις μπορούν να προσαρμοστούν ώστε να ρυθμιστεί κατάλληλα η συχνότητα λειτουργίας, χωρίς να αλλοιωθούν ποιοτικά τα αποτελέσματα. Οι διαστάσεις της διηλεκτρικής πλάκας είναι. Στο EC-SRR, η εξωτερική ακτίνα είναι, το πλάτος των μεταλλικών τμημάτων είναι, η απόσταση μεταξύ των δύο μεταλλικών τμημάτων είναι και το μήκος του διάκενου σε κάθε δακτύλιο είναι.

45 3.3 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 37 Ένα συνηθισμένο υλικό πλήρωσης της διηλεκτρικής πλάκας είναι το FR4, το οποίο έχει σχετική διηλεκτρική σταθερά και μικρές απώλειες. Κατά την εκτέλεση των προσομοιώσεων επιλέχθηκε το FR4 καθώς και ένα ιδανικό υλικό μηδενικών απωλειών και σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς για συγκριτικούς λόγους. Επιπλέον χρησιμοποιήθηκε και ένα τρίτο ιδανικό υλικό με σχετική διηλεκτρική σταθερά. Πριν την εκτέλεση της προσομοίωσης, ένα σημαντικό βήμα είναι η δημιουργία του πλέγματος, σύμφωνα με τα σχήματα 3.2 και 3.3, σε τρεις διαστάσεις, καθώς η επιλεγμένη μέθοδος επίλυσης του ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος είναι η FEM. Κατά τη δημιουργία του πλέγματος λήφθηκε μέριμνα ώστε η κάθε οριακή επιφάνεια να έχει το ίδιο ακριβώς πλέγμα με την απέναντί της. Αυτή η επιλογή έγινε για να διασφαλιστεί η συμμετρία των αποτελεσμάτων, εφόσον η διάταξη που προσομοιώνεται είναι σε μεγάλο βαθμό συμμετρική. Για να ικανοποιηθούν οι ανάγκες ακρίβειας, το μέγεθος των τριγωνικών και τετραεδρικών στοιχείων ορίστηκε ως κανονικό (normal). Αυτό το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων αναμένεται να δώσει ικανοποιητική ακρίβεια, ενώ η πολυπλοκότητα και ο χρόνος επίλυσης δεν αναμένεται να είναι ιδιαίτερα μεγάλοι λόγω του περιορισμένου χώρου διεξαγωγής της προσομοίωσης. Η πλεγματοποίηση απεικονίζεται στο σχήμα E2 Σχήμα 3. 6 Πλέγμα της διάταξης του μοναδιαίου κελιού με το EC-SRR Το περιβάλλον στο οποίο προσομοιώνεται η διέγερση του Ε2 είναι όμοιο με αυτό του EC-SRR και παρουσιάζεται στο σχήμα 3.7. Η σκιασμένη επιφάνεια του σχήματος δηλώνει και εδώ τη θύρα διέγερσης της διάταξης, ενώ οι υπόλοιπες επιφάνειες είναι, κατά αντιστοιχία με το σχήμα 3.5, θύρα εξόδου και επιφάνειες PEC και PMC. Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειωθεί ότι η διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου στο σχήμα 3.7 είναι διαφορετική από τη διεύθυνση που υποδεικνύεται στο σχήμα 2.9 για τη διέγερση του E2 ως ηλεκτρικό δίπολο. Και οι δύο πολώσεις δημιουργούν ηλεκτρικό συντονισμό στο Ε2, ωστόσο για κάθε πόλωση ο συντονισμός είναι διαφορετικός [15].

46 38 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL Σχήμα 3. 7 Διάταξη για την ηλεκτρομαγνητική διέγερση του E2 Οι διαστάσεις της διάταξης επιλέχθηκαν και σε αυτή την περίπτωση αυθαίρετα αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, καθώς οποιαδήποτε αλλαγή σε κάποιο γεωμετρικό χαρακτηριστικό του Ε2 μπορεί να μεταφέρει το φάσμα του ηλεκτρικού συντονισμού σε κάποια επιθυμητή περιοχή συχνοτήτων. Οι διαστάσεις της διηλεκτρικής πλάκας είναι και σε αυτή την περίπτωση. Το μήκος πλευράς του τετραγωνικού πλαισίου είναι και το πλάτος του μετάλλου στο τετραγωνικό πλαίσιο είναι. Οι διαστάσεις των μεταλλικών ορθογωνίων που βρίσκονται στη μέση της διάταξης είναι και το διάκενο που δημιουργείται ανάμεσα στα δύο ορθογώνια είναι. Οι μεταλλικές λωρίδες που συνδέουν το τετραγωνικό πλαίσιο με τα ορθογώνια έχουν πλάτος η καθεμία. Όπως με το EC-SRR, έγιναν τρεις ομάδες προσομοιώσεων για τα τρία διαφορετικά διηλεκτρικά υλικά πλήρωσης του υποστρώματος που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Η διαδικασία δημιουργίας του πλέγματος της διάταξης με το EC-SRR ακολουθήθηκε και στη διάταξη με το Ε2 και το αποτέλεσμα της διαδικασίας απεικονίζεται στο σχήμα 3.8. Σχήμα 3. 8 Πλέγμα της διάταξης του μοναδιαίου κελιού με το E2

47 3.3 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ WPT Σύστημα Το WPT σύστημα που προσομοιώνεται, σύμφωνα με το σχήμα 1.4 και την [22], περιλαμβάνει ένα δακτύλιο που συνδέεται με την πηγή τάσης και θα ονομάζεται δακτύλιος πηγής, ένα συντονιστή που είναι EC-SRR ή E2 και συζευγνύεται μαγνητικά με το δακτύλιο πηγής, ένα δεύτερο όμοιο συντονιστή που συζευγνύεται με τον πρώτο μέσω του φαινομένου του ηλεκτρομαγνητικού συντονισμού και ένα δακτύλιο που συνδέεται με το φορτίο, συζευγνύεται μαγνητικά με το δεύτερο συντονιστή και θα ονομάζεται δακτύλιος φορτίου. Κάθε στοιχείο είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα λεπτό υπόστρωμα διηλεκτρικού. Η πηγή και το φορτίο αναπαριστώνται με δύο συγκεντρωμένες θύρες (lumped ports). Η συνολική διάταξη παρουσιάζεται στα σχήματα 3.9 και Σχήματα Οι δακτύλιοι πηγής, φορτίου και τα EC-SRRs σε πλάγια όψη και σε προβολή. Οι αποστάσεις του κάθε EC-SRR με τον αντίστοιχο δακτύλιο με τον οποίο συζευγνύεται είναι πολύ μικρότερη από την απόσταση των δύο EC-SRRs, τα οποία συζευγνύονται με το φαινόμενο του ηλεκτρομαγνητικού συντονισμού. Το σύστημα σχεδιάστηκε να λειτουργεί στον ελεύθερο χώρο, συνεπώς για τις ανάγκες της προσομοίωσης ο χώρος πρέπει να περιοριστεί με τη χρήση οριακών συνθηκών. Έτσι, η διάταξη των τεσσάρων στοιχείων τοποθετήθηκαν σε μία σφαίρα, στην επιφάνεια της οποίας υπάρχει ένα PML, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην ενότητα 3.1.2, με τη διαφορά ότι η εξωτερική επιφάνεια του PML δεν ορίστηκε ως αγώγιμη, καθώς στο COMSOL δεν υπάρχει αυτή η απαίτηση. Οι διαστάσεις των δακτυλίων πηγής και φορτίου επιλέχθηκαν ίδιες με αυτές του εξωτερικού δακτυλίου των EC-SRRs, προκειμένου οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από το δακτύλιο πηγής να περνούν κατά το δυνατόν περισσότερο από το γειτονικό του SRR και η σύζευξη να γίνεται μέγιστη. Η απόσταση των δακτυλίων πηγής και φορτίου από τα γειτονικά τους SRRs καθορίστηκε αυθαίρετα στα. Επειδή η επιλογή έγινε αυθαίρετα, γίνεται μία διερεύνηση της επίδρασης αυτής της απόστασης στην αποδοτικότητα του συστήματος. Οι συντονιστές τοποθετήθηκαν αρχικά σε απόσταση. Επιπλέον, η ακτίνα της σφαίρας που περικλείει τη διάταξη επιλέχθηκε, η οποία είναι πολύ μεγαλύτερη από τις διαστάσεις της διάταξης, ώστε ο χώρος μελέτης να

48 40 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ WPT ΣΤΟ COMSOL μοιάζει με τον άπειρο ελεύθερο χώρο, ακόμα και όταν ο δέκτης μετακινείται. Το στρώμα του PML επιλέχθηκε να έχει πάχος. Λόγω του μεγάλου χώρου μελέτης, η χρησιμοποίηση μικρών τριγώνων και τετράεδρων θα οδηγούσε σε πολύ μεγάλο υπολογιστικό χρόνο και πολύ υψηλές απαιτήσεις μνήμης. Γιαυτό το λόγο έγινε ένας συμβιβασμός ακρίβειας και υπολογιστικού χρόνου και δημιουργήθηκαν μεγαλύτερα πεπερασμένα στοιχεία (coarse) σε σχέση με αυτά των προηγούμενων διατάξεων. Το πλέγμα που δημιουργήθηκε απεικονίζεται στο σχήμα Σχήμα Πλέγμα της διάταξης του WPT συστήματος

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από τις προσομοιώσεις των διατάξεων που περιγράφηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Με βάση αυτά τα αποτελέσματα και την επεξεργασία τους θα προκύψουν συμπεράσματα για την αποδοτικότητα του συγκεκριμένου WPT συστήματος και για τους περιορισμούς στις συνθήκες λειτουργίας τους. Αρχικά θα μελετηθούν οι διατάξεις των μοναδιαίων κελιών με SRR και κατόπιν η διάταξη του WPT συστήματος με διάφορες μεταβολές στις παραμέτρους του. 4.1 Προσομοίωση του EC-SRR Συχνότητα Συντονισμού Το EC-SRR, όπως έχει ήδη αναφερθεί στο κεφάλαιο 2, ισοδυναμεί με ένα συντονισμένο κύκλωμα. Η συχνότητα συντονισμού, δηλαδή η συχνότητα στην οποία το άθροισμα των αντιδράσεων που οφείλονται στον επαγωγικό και στο χωρητικό χαρακτήρα του EC-SRR γίνεται μηδέν, δίνεται από τη σχέση. Οι τιμές των ισοδύναμων και μπορούν να υπολογιστούν θεωρητικά, αν είναι γνωστές όλες οι διαστάσεις του EC-SRR [14]. Έτσι, για το EC-SRR του σχήματος 3.5 και για τις παραλλαγές του που μελετήθηκαν στα πλαίσια της εργασίας υπολογίστηκαν οι συχνότητες συντονισμού, δίνοντας μια εκτίμηση των συχνοτικών περιοχών στις οποίες εμφανίζουν αρνητική μαγνητική διαπερατότητα. Οι τιμές υπολογίστηκαν στο Matlab και παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Τα ονόματα που δίνονται στις διαστάσεις ακολουθούν την ονοματολογία της ενότητας Διαστάσεις του EC-SRR 2 Θεωρητική Συχνότητα Συντονισμού Πίνακας 4. 1 Συχνότητες συντονισμού (προσεγγιστικός υπολογισμός) των EC-SRRs για διάφορες τιμές των παραμέτρων τους Από τους υπολογισμούς που παρατίθενται στον πίνακα 4.1 προκύπτει το συμπέρασμα ότι όσο μικραίνει η απόσταση μεταξύ των δύο μεταλλικών τμημάτων, 2 Σε όλα τα EC-SRRs ισχύει διαστάσεις υποστρώματος:. Η ποσότητα αναφέρεται στη σχετική διηλεκτρική σταθερά του υποστρώματος.

50 42 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ τόσο μειώνεται η συχνότητα συντονισμού. Αυτό το φαινόμενο εξηγείται λαμβάνοντας υπόψη ότι η χωρητικότητα ενός πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης μεταξύ των πλακών του. Στην περίπτωση του EC-SRR, οι πλάκες του πυκνωτή είναι τα δύο μεταλλικά τμήματα που το αποτελούν. Συνεπώς, όταν η απόσταση μεταξύ τους μειώνεται, η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξάνεται και επομένως παρατηρείται μείωση στη συχνότητα συντονισμού. Επιπλέον, η χρήση ενός εξωτερικού πυκνωτή, ο οποίος πρακτικά μπορεί να τοποθετηθεί στο διάκενο κάθε δακτυλίου του EC-SRR, οδηγεί στη δραστική μείωση της συχνότητας συντονισμού. Μάλιστα, μπορεί να επιλεχθεί τέτοια τιμή χωρητικότητας του εξωτερικού πυκνωτή, ώστε η συχνότητα συντονισμού να είναι η επιθυμητή. Ωστόσο, αν και δεν αποτυπώνεται στις προσομοιώσεις, όπου τα συγκεντρωμένα στοιχεία είναι ιδανικά, η χρήση εξωτερικών πυκνωτών εισάγει απώλειες, οι οποίες υποβαθμίζουν την αποδοτικότητα του συστήματος [22]. Γιαυτό το λόγο, θεωρείται καλύτερος ο προσδιορισμός της επιθυμητής συχνότητας λειτουργίας μέσω μεταβολής των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του EC-SRR. Φυσικά, αξίζει να αναφερθεί και η επίδραση του υποστρώματος στη συχνότητα συντονισμού. Όπως παρατηρείται από τον πίνακα 4.1, μεγαλύτερες τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς του έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της συχνότητας συντονισμού S και Καταστατικές Παράμετροι Οι προσομοιώσεις επιβεβαιώνουν σε μεγάλο βαθμό τα αποτελέσματα που ανα- Σχήμα 4. 1 Συγκριτικό διάγραμμα παραμέτρων για τιμές διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος

51 4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ EC-SRR 43 μένονταν με βάση το θεωρητικό υπολογισμό των συχνοτήτων συντονισμού που προηγήθηκε. Στα σχήματα 4.1 και 4.2 συγκρίνεται η μεταβολή των και των καταστατικών παραμέτρων συναρτήσει της συχνότητας για δύο διατάξεις με διαφορετικό διηλεκτρικό υπόστρωμα, δηλαδή προσομοιώνονται τα δύο πρώτα στοιχεία του πίνακα 4.1. Για υπόστρωμα σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς, η συχνότητα συντονισμού εντοπίζεται στα, καθώς σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο 2, η περιοχή αρνητικής μαγνητικής διαπερατότητας εμφανίζεται αμέσως μετά τη συχνότητα συντονισμού του EC-SRR. Αντίστοιχα όταν χρησιμοποιείται υπόστρωμα σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς, η συχνότητα συντονισμού μεταφέρεται στα. Ένα επιπλέον συμπέρασμα που μπορεί να εξαχθεί από το σχήμα 4.2 είναι το γεγονός ότι εκτός από τη μαγνητική διαπερατότητα, η οποία λαμβάνει αρνητικές τιμές για μια μεγάλη συχνοτική περιοχή, μεταβάλλεται και η ενεργός διηλεκτρική σταθερά του EC-SRR, ωστόσο οι τιμές της είναι μόνιμα θετικές. Σχήμα 4. 2 Συγκριτικό διάγραμμα των τιμών των και για τιμές διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος Ακολούθως στα σχήματα 4.3 και 4.4 εμφανίζονται τα αποτελέσματα από τις προσομοιώσεις των στοιχείων στις θέσεις 2,3 και 4 του πίνακα 4.1. Επιβεβαιώνεται ότι η μείωση της απόστασης μεταξύ των μεταλλικών δακτυλίων που αποτελούν το EC-SRR έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της συχνότητας συντονισμού. Πιο αναλυτικά, όταν η απόσταση είναι, η συχνότητα συντονισμού είναι, για απόσταση η συχνότητα συντονισμού είναι και για απόσταση η συχνότητα συντονισμού προκύπτει ίση με.

52 44 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Σχήμα 4. 3 Συγκριτικό διάγραμμα παραμέτρων για διάφορες αποστάσεις μεταξύ των μεταλλικών τμημάτων του EC-SRR Σχήμα 4. 4 Συγκριτικό διάγραμμα των παραμέτρων και για διάφορες αποστάσεις μεταξύ των μεταλλικών τμημάτων του EC-SRR

53 4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ EC-SRR 45 Στα παραπάνω θεωρήθηκε ότι το EC-SRR έχει τοποθετηθεί πάνω σε μια πλάκα, η οποία αποτελείται από ένα ιδανικό διηλεκτρικό υλικό χωρίς απώλειες. Στην πραγματικότητα το υλικό του υποστρώματος δεν είναι ιδανικό και έχει μη μηδενική αγωγιμότητα, εισάγοντας απώλειες και αμβλύνοντας έτσι το συντονισμό. Στα σχήματα 4.5 και 4.6 παρουσιάζονται οι και οι καταστατικές παράμετροι μιας διάταξης που έχει ως υπόστρωμα το υλικό FR4 και μιας διάταξης που έχει ως υπόστρωμα ιδανικό υλικό ίδιας διηλεκτρικής σταθεράς με το FR4. Παρατηρείται ότι η συχνότητα συντονισμού του EC-SRR δε μεταβάλλεται, ωστόσο ο συντονισμός δεν είναι τόσο οξύς, δηλαδή η παράμετρος έχει μικρότερη βύθιση στο συντονισμό και η μαγνητική διαπερατότητα κυμαίνεται σε μικρότερο εύρος τιμών σε σχέση με την ιδανική περίπτωση. Σχήμα 4. 5 Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων όταν χρησιμοποιείται υπόστρωμα με μηδενική (πάνω) και μη μηδενική (κάτω) αγωγιμότητα Τα παραπάνω σχήματα αποκαλύπτουν την περιοχή μαγνητικού συντονισμού (magnetic resonance) των EC-SRRs που μελετήθηκαν και προσομοιώθηκαν, η οποία είναι η συχνοτική περιοχή αρνητικής μαγνητικής διαπερατότητας. Έτσι, σύμφωνα με την ανάλυση του κεφαλαίου 1, το WPT σύστημα που περιλαμβάνει κάποιο EC-SRR ως κύκλωμα συντονισμού θα έχει μια βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας που θα βρίσκεται στην περιοχή του μαγνητικού συντονισμού ή θα έχει δύο βέλτιστες συχνότητες λειτουργίας γύρω από την περιοχή του μαγνητικού συντονισμού, ανάλογα με τη σχέση του συντελεστή σύζευξης με τις εσωτερικές και εξωτερικές απώλειες. Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση δε λαμβάνεται ως βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας η

54 46 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ συχνότητα συντονισμού του EC-SRR, ανήκει στην περιοχή του μαγνητικού συντονισμού., αλλά μία συχνότητα που Σχήμα 4. 6 Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων και όταν χρησιμοποιείται υπόστρωμα με μηδενική (πάνω) και μη μηδενική (κάτω) αγωγιμότητα WPT με EC-SRR Σε αυτή την ενότητα μελετάται η αποδοτικότητα ενός τυπικού WPT συστήματος που περιλαμβάνει EC-SRRs ως στοιχεία συντονισμού. Ακόμη γίνεται διερεύνηση της επίδρασης των μεταβλητών του συστήματος στη βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας και στην αποδοτικότητα. Οι διατάξεις που προσομοιώθηκαν χρησιμοποιούν τα EC-SRRs της προηγούμενη ενότητας. Επομένως, όλα τα EC-SRRs των ακόλουθων προσομοιώσεων έχουν γεωμετρικά χαρακτηριστικά, ενώ το διηλεκτρικό υπόστρωμα έχει διαστάσεις και τοποθετείται σαν βάση των EC-SRRs και των δακτυλίων πηγής και φορτίου. Αρχικά προσομοιώνεται το σύστημα με τις τιμές των διάφορων μεταβλητών του να είναι όπως αναφέρθηκαν στην ενότητα Ακολουθώντας την πορεία των διαγραμμάτων της ενότητας 4.1.2, παρουσιάζεται, στο σχήμα 4.7, ένα συγκριτικό διάγραμμα των παραμέτρων του συστήματος, όταν το υπόστρωμα αποτελείται από ιδανικό διηλεκτρικό υλικό σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς και. Το σχήμα 4.8 απεικονίζει την αποδοτικότητα σε αυτές τις δύο περιπτώσεις. Παρατηρείται ότι και στις δύο περιπτώσεις υπάρχουν δύο συχνότητες στις οποίες η

55 4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ EC-SRR 47 παράμετρος μειώνεται απότομα. Για την περίπτωση όπου η διηλεκτρική σταθερά έχει την τιμή, αυτοί οι συντονισμοί συμβαίνουν στα και στα. Αντίστοιχα, όταν η διηλεκτρική σταθερά του υποστρώματος έχει την τιμή, οι συντονισμοί εντοπίζονται στα και στα. Το γεγονός ότι υπάρχουν δύο συχνότητες βέλτιστης λειτουργίας εξηγείται με βάση την CMT, καθώς ο συντελεστής σύζευξης μεταξύ των EC-SRRs όταν αυτά είναι τοποθετημένα σε απόσταση είναι πιθανότατα πολύ μεγάλος σε σχέση με τις συνολικές απώλειες του συστήματος. Στην πρώτη από τις δύο συχνότητες δεν εμφανίζεται τόσο οξεία η αύξηση του συντελεστή μετάδοσης. Αυτό μάλλον οφείλεται στα σφάλματα της υπολογιστικής μεθόδου επίλυσης. Υπενθυμίζεται ότι το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων σε αυτές τις προσομοιώσεις επιλέχθηκε ως coarse. Πάντως στη συνέχεια, όπου χρειάστηκε, θεωρήθηκε ως βέλτιστη συχνότητα λειτουργίας για το πρώτο σύστημα τα, όπου η αποδοτικότητα ανέρχεται σε. Σχήμα 4. 7 Συγκριτικό διάγραμμα παραμέτρων για τιμές διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι ενώ, για, η περιοχή μαγνητικής διαπερατότητας είναι στα έως, οι συχνότητες μέγιστης αποδοτικότητας του συστήματος βρίσκονται ελαφρώς πάνω από τα. Παρόμοια είναι τα αποτελέσματα για τη δεύτερη περίπτωση του σχήματος 4.7. Η απόκλιση στη συχνότητα συντονισμού μεταξύ μεταϋλικού και WPT διάταξης οφείλεται στην περιοδικότητα του μεταϋλικού. Όσο αυξάνεται το πλήθος των συντονιστών, μειώνεται η συχνότητα συντονισμού, λόγω γειτνίασης των συντονιστών

56 48 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ μεταξύ τους. Στη WPT διάταξη υπάρχει μόνο ένας συντονιστής, ενώ κατά τη μελέτη του μοναδιαίου κελιού θεωρείται άπειρο πλήθος συντονιστών, οπότε στην προσομοίωση του μοναδιαίου κελιού αναμενόμενα η συχνότητα συντονισμού είναι χαμηλότερη. Επομένως μπορεί να θεωρηθεί με ασφάλεια ότι η μέγιστη αποδοτικότητα επιτυγχάνεται όντως σε συχνότητα εντός του μαγνητικού συντονισμού. Σχήμα 4. 8 Συγκριτικό διάγραμμα αποδοτικότητας για τιμές διηλεκτρικής σταθεράς του υποστρώματος Στο σχήμα 4.9 παρουσιάζονται πέντε διαγράμματα που δείχνουν τη μεταβολή των παραμέτρων στις περιπτώσεις που ο δέκτης κινείται κατά μήκος του άξονα της ζεύξης. Παρατηρείται ότι σε μικρές αποστάσεις, όπου ο συντελεστής σύζευξης είναι μεγάλος σε σχέση με τις απώλειες, υπάρχουν δύο συχνότητες με μεγάλη αποδοτικότητα. H μέγιστη αποδοτικότητα για απόσταση των δύο EC-SRRs από έως κυμαίνεται στις τιμές, όπως φαίνεται στο σχήμα Όσο μεγαλώνει η απόστασή τους, οι δύο συχνότητες πλησιάζουν μεταξύ τους ώσπου τελικά εκφυλίζονται σε μία. Για απόσταση ίση με η μέγιστη αποδοτικότητα είναι. Όταν τα EC-SRRs απέχουν, η αποδοτικότητα μειώνεται σε, ως αποτέλεσμα της δραματικής μείωσης του συντελεστή σύζευξης. Στη συνέχεια διερευνάται η επίδραση των αποστάσεων του κάθε EC-SRR από τον αντίστοιχο δακτύλιο πηγής ή φορτίου. Η μεταβολή αυτών των αποστάσεων επηρεάζει τις εξωτερικές απώλειες των κυκλωμάτων συντονισμού και συνεπώς επιδρά στη συχνότητα ή στις συχνότητες μέγιστης αποδοτικότητας. Τα αποτελέσματα

57 4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ EC-SRR 49 Σχήμα 4. 9 Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων για διάφορες αποστάσεις των δύο EC-SRRs. Το υπόστρωμα που χρησιμοποιείται σε όλες τις περιπτώσεις έχει σχετική διηλεκτρική σταθερά και αγωγιμότητα. Σχήμα Διαγράμματα αποδοτικότητας των περιπτώσεων του σχήματος 4.9

58 50 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Σχήμα Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων για διάφορες αποστάσεις των δύο EC-SRRs από τους δακτυλίους πηγής και φορτίου. Το υπόστρωμα που χρησιμοποιείται σε όλες τις περιπτώσεις έχει σχετική διηλεκτρική σταθερά και αγωγιμότητα. Η απόσταση μεταξύ των EC-SRRs έχει καθοριστεί στα. Σχήμα Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων για διάφορες αποστάσεις των δύο EC-SRRs από τους δακτυλίους πηγής και φορτίου. Το υπόστρωμα που χρησιμοποιείται σε όλες τις περιπτώσεις έχει σχετική διηλεκτρική σταθερά και αγωγιμότητα. Η απόσταση μεταξύ των EC-SRRs έχει καθοριστεί στα.

59 4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ EC-SRR 51 των σχετικών προσομοιώσεων παρουσιάζονται στα σχήματα 4.11 έως Ένα σημαντικό συμπέρασμα που εξάγεται είναι ότι δεν αλλάζει δραστικά η μορφή των καμπύλων των παραμέτρων, αλλά παρατηρείται κυρίως μία ολίσθηση στη συχνότητα. Σχήμα Αποδοτικότητα των συστημάτων του σχήματος 4.11 Στο σχήμα 4.15 συγκρίνεται η απόκριση του συστήματος όταν το ιδανικό διηλεκτρικό υπόστρωμα αντικατασταθεί από ένα υπόστρωμα με ίδια διηλεκτρική σταθερά αλλά μη μηδενική αγωγιμότητα. Σε πραγματικές συνθήκες η αποδοτικότητα, η οποία παρουσιάζεται στο σχήμα 4.16 μπορεί να μειωθεί από σε μόλις. Φυσικά το ποσοστό μείωσης της αποδοτικότητας εξαρτάται από τις απώλειες που εισάγει το υλικό που θα χρησιμοποιείται και αν αυτό επιλεγεί κατάλληλα η μείωση δε θα είναι τόσο μεγάλη. Τέλος, μελετώνται οι επιπτώσεις που προκαλεί στις παραμέτρους η μετακίνηση του κυκλώματος του δέκτη κάθετα προς τον άξονα των δακτυλίων και η στροφή του προς τα δεξιά και αριστερά του άξονα. Αυτή η διερεύνηση, σε συνδυασμό με τα αποτελέσματα του σχήματος 4.9, δίνει την απάντηση στο αν είναι εφικτή η μεταφορά ισχύος σε κινούμενο σε μια μικρή περιοχή δέκτη, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση φόρτισης ενός κινητού τηλεφώνου κατά τη διάρκεια που ο χρήστης το χρησιμοποιεί. Αυτό που προκύπτει από τις καμπύλες των σχημάτων 4.17 και 4.18 είναι ότι η κατακόρυφη απόκλιση του δέκτη προς οποιαδήποτε κατεύθυνση οδηγεί στη μείωση της μεταδιδόμενης ισχύος. Όσον αφορά τη στροφή του δέκτη, η μεταβολή των s παραμέτρων δεν είναι συμμετρική γύρω από τις 0. Η έλλειψη συμμετρίας στα αποτελέσματα οφείλεται στο μη συμμετρικό τρόπο διέγερσης του

60 52 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Σχήμα Αποδοτικότητα των συστημάτων του σχήματος 4.12 Σχήμα Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων όταν χρησιμοποιείται υπόστρωμα με μηδενική και μη μηδενική αγωγιμότητα

61 4.1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ EC-SRR 53 Σχήμα Διαγράμματα αποδοτικότητας για τις περιπτώσεις του σχήματος 4.15 Σχήμα Διαγράμματα μεταβολής των παραμέτρων για διάφορες τιμές μετατόπισης και στροφής του κυκλώματος του δέκτη από τον άξονα της ζεύξης

62 54 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Σχήμα Διαγράμματα αποδοτικότητας για τις περιπτώσεις του σχήματος 4.17 δακτυλίου πηγής, ο οποίος γίνεται από τη μία μόνο πλευρά του. Ενδεικτικά παρατίθεται στα σχήματα 4.19 έως 4.21 η ένταση του μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο ανάμεσα στα δύο EC-SRRs για διάφορες γωνίες του κυκλώματος του δέκτη. Σχήμα Μαγνητικό πεδίο όταν ο δέκτης έχει στραφεί