g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη στο R αφού είναι γνησίως αύξουσα στο φθίνουσα στο όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήμα. Α. Διατύπωση θεωρήματος σελ. 6 σχολικού βιβλίου. Α4. α. Λάθος (σελ. σχ. βιβλίου) β. Λάθος (σχόλιο σελ. 6 σχ. βιβλίου) γ. Σωστό (τύπος σελ. 5 σχ. βιβλίου) δ. Σωστό (σελ. 7 σχ. βιβλίου) ε. Σωστό (σελ. 7 σχ. βιβλίου) ΘΕΜΑ Β 0,,0 και γνησίως Β. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα A,0,A 0, με παράγωγο 8 8 f f 8 f

2 Για να βρούμε το πρόσημο της f παρακάτω πίνακα θα βρούμε το πρόσημο του 8 με βάση το Άρα το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,0 Στην θέση 0 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f, και 0, 8 f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα Β. Η A,0,A 0, με παράγωγο : 4 f 0 για κάθε 0 4 άρα η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα,0 και 0,

3 Β. Κατακόρυφη ασύμπτωτη θα αναζητήσουμε στο 0 Επομένως 4 lim f lim lim Διότι : lim 0 lim 4 4 και 0 4 lim f lim lim Διότι : lim 0 lim 4 4 και 0 Άρα η ευθεία 0(ο άξονας yy ) κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. Πλάγιες Οριζόντιες θα αναζητήσουμε στο και στο Για να είναι η y τα όρια (αντιστοίχως ασύμπτωτη της f lim και lim f C f f lim και 4 lim f f 4 lim lim lim lim στο (αντιστοίχως στο να είναι πραγματικοί αριθμοί lim f lim lim lim 0 ) αρκεί Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της f στο Επίσης 4 f 4 lim lim lim lim lim f lim lim lim 0 Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της f στο

4 Β4. Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα η γραφική παράσταση της παρακάτω : f είναι η

5 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η πλευρά του τετραγώνου θα έχει μήκος m 4 Άρα, το εμβαδόν του τετραγώνου είναι : E m. 4 6 Το μήκος του κύκλου θα είναι L 8 m και επειδή έχει ακτίνα L πρ, ο κύκλος θα 8 ρ m,επομένως το εμβαδόν του κύκλου είναι ίσο με : π Το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: E m E , με 0 8 Γ. Η είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο 0,8 και παραγωγίσιμη στο διάστημα E αυτό με: To πρόσημο της E' και η μονοτονία της E φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα τιμών: E

6 Άρα, το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων γίνεται ελάχιστο για, Όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι π 4 τότε π 4 διάμετρος ρ π π π π 4 Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου Γ. Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο διάστημα E 5 0,8. H E είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ 0, π 4 οπότε 6 6 ΕΔ Ε,limE, π 4 0 π 4 π H E είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,8 οπότε 4 Αφού το 5 E τότε η εξίσωση E 5 έχει μία τουλάχιστον λύση στο, η οποία είναι μοναδική αφού γνησίως φθίνουσα στο. Τέλος το 5 E άρα η εξίσωση E 5 είναι αδύνατη στο. ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με και Επομένως f e f 0 e 0 e e 0 Άρα : 6 E, lim E, f e

7 Στο διάστημα Το σημείο C f Δ., η f κοίλη ενώ στο διάστημα,f δηλαδή M,, η f κυρτή. είναι το μοναδικό σημείο καμπής της Εφόσον η f κοίλη στο A, άρα η f γνησίως φθίνουσα σε αυτό. Επειδή η f θα είναι : συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A, το σύνολο τιμών της f A f, lim f, διότι : και f e 0 lim f lim e e To 0f A άρα υπάρχει γνησίως φθίνουσα στο A ώστε f 0,το μοναδικό διότι η f Εφόσον η f κυρτή στο A, άρα η f γνησίως αύξουσα σε αυτό. Επειδή η f θα είναι : συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A, το σύνολο τιμών της διότι : f e f A f, lim f, και e e e lim f lim e lim

8 Σημειώνουμε ότι : e e lim lim lim e To 0 f A άρα υπάρχει γνησίως φθίνουσα στο A f 0 ώστε, το μοναδικό διότι η f Στο διάστημα, η f είναι γνησίως φθίνουσα και έχει μοναδική ρίζα την οπότε το πρόσημό της είναι : Για Για f f f 0 τότε f f f 0 Στο διάστημα, η f είναι γνησίως αύξουσα και έχει μοναδική ρίζα την οπότε το πρόσημό της είναι : Αν τότε f f f 0 Αν τότε f f f 0 Άρα η f παρουσιάζεις στην θέση τοπικό μέγιστο και στην θέση τοπικό ελάχιστο

9 Δ., Θα δείξουμε ότι ο αριθμός βρίσκεται στο διάστημα Αποκλείεται να βρίσκεται στο διάστημα, διότι από υπόθεση Έστω επειδή η f γνησίως φθίνουσα στο διάστημα α α α, ισχύει f f e 0 e e α 0 α άτοπο,α Άρα ο αριθμός βρίσκεται στο διάστημα Επειδή η f η εξίσωση, γνησίως φθίνουσα στο f f ισοδυναμεί με την απορρίπτεται διότι α, με α άρα και στο διάστημα α,, (η f άρα και Άρα η εξίσωση f f είναι αδύνατη στο διάστημα Δ4 Για α : f e και f e. Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο είναι η C f 0 -) η οποία ως λύση α, y f f y y Αφού η f είναι κυρτή στο τότε η εξίσωση της εφαπτομένης βρίσκεται κάτω από την με εξαίρεση το σημείο επαφής, δηλαδή f y f με C f την ισότητα να ισχύει μόνο για. Άρα για είναι f f. Αφού οι συναρτήσεις f και είναι συνεχείς στο και η ισότητα ισχύει μόνο για, τότε Για το ολοκλήρωμα f d d. θέτω u u τότε d udu και, 0, d

10 Άρα, u 0 για είναι, για είναι u. d u u udu u u du u u u 4u du Επομένως f d. 5