ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 12:50

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 12:50"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 1:5

2 Σελίδα από 11

3 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 11 / 6 / 18 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Γ ΓΕΛ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 99 Α. Α Ψ Β. Σχολικό βιβλίο Σελ 5 Για παράδειγμα η συνάρτηση, 1, είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνήσια μονότονη όπως φαίνεται και στο σχήμα. Α. Σχολικό βιβλίο σελ 16 Α4. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε)σ ΘΕΜΑ Β 4 Β1. Είναι (), Η συνεχής στο D ως πράξεις συνεχών. Η συνάρτηση παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () 1, Σελίδα από 11

4 Το πρόσημο της είναι με βάση το παρακάτω πίνακα Άρα το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Τ.Μ Άρα η είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Στην θέση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το, και, ενώ είναι Β. Η 8 4 () παραγωγίσιμη ως ρητή με () 1 4 Είναι για κάθε () άρα η είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα, και, Β. Κατακόρυφη ασύμπτωτη θα αναζητήσουμε στο Επομένως Σελίδα 4 από 11

5 4 1 lim lim lim lim lim lim 4 4 Άρα η ευθεία (ο άξονας yy ) κατακόρυφη ασύμπτωτη της. Πλάγιες Οριζόντιες θα αναζητήσουμε στο και στο Για να είναι η y,, ασύμπτωτη της όρια lim και lim lim και 4 lim 4 lim lim lim lim 1 C στο lim lim lim lim (αντιστοίχως στο να είναι πραγματικοί αριθμοί (αντιστοίχως ) αρκεί τα Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της στο 4 Επίσης 4 lim lim lim lim lim lim lim lim Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της στο Β4. Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα η γραφική παράσταση της είναι η παρακάτω : Σελίδα 5 από 11

6 4 επομένως τέμνει τον άξονα στο σημείο A 4, ( ) 4 Σελίδα 6 από 11

7 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι m, οπότε η πλευρά του θα είναι 4. Το παριστάνει μήκος είναι 8 αλλά και 8. Επομένως το εμβαδον του τετραγώνου είναι το οποίο είναι 8 Οπότε ο κύκλος έχει εμβαδόν: Το άθροισμα των εμβαδών είναι: που είναι το συνολικά μήκος του σύρματος, άρα Ε() 16 κατασκευάζουμε τον κύκλο που έχει μήκος: Ε 8 L πρ 8 πρ ρ m π Ε πρ π π π 4π 4π 8 π 48 π π 16π 16π π π π π. Με το υπόλοιπο του σύρματος,,8 Γ. Η E π 8π είναι παραγωγίσιμη με E π 4 64 π 4 με,8 Είναι 4 π και είναι, E E ενώ, 4 π E 4 π Άρα, είναι Eγνησίωςφθινουσα, και στο π 4 το π 4 Eγνησιωςαυξουσα,8 και η E παρουσιάζει ελάχιστο E π π 4 16 π 4 16π π π π 4 Σελίδα 7 από 11

8 Η διάμετρος του κύκλου π 4 8 α δ 4 π 4 8 π 4 8 δ R και η πλευρά του τετραγώνου είναι π π 4 Γ. Η Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, π 4 άρα E, E, lim Ε(), + π 4 π 4 π 4 π αφού 16 E π 4 π 4 και + + π lim Ε() lim 16π 16π π Η Ε είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,8 π 4 άρα 16 E,8 E, lim Ε(),4 π 4 π 4 8 π 4 16 αφού E π 4 π 4 Είναι : π π lim Ε() lim lim π 8 16π 5 E, π 4 και Ε γνησίως φθίνουσα στο, π 4 άρα υπάρχει μοναδικό, π 4 E 5 ώστε Το 5 E, π 4 άρα δεν υπάρχει 1, π 4 Αρά υπάρχει μοναδικό, π 4 ώστε E 5 ώστε 1 E 5 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με Σελίδα 8 από 11

9 a a () e e, a a () e e a () e a a Από πίνακα καμπυλότητας έχουμε : - α + () + () Κοίλη σ.κ. Κυρτή Η κοίλη στο Για a Δ, a ( a) a, και κυρτή στο a με σημείο καμπής A, a Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο a Υπολογίζουμε τα :.,, a a ί,, a a Καθώς lim ( ) lim e a θα υπάρχει μοναδικό [ a, ) : ( ) Επειδή η ( ). a, Έχουμε 1 a ί Για a ( ) ( ) ( ) ( ) ίύ, a ( ) ( ) ( ) ( ) ίί, δηλαδή γνησίως φθίνουσα ( ) ( ) ( ) ίί 1,, άρα η γνησίως αύξουσα ( ) ( ) ( ) Σελίδα 9 από 11

10 Άρα η παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο για 1 παρουσιάζει μοναδικό ελάχιστο για, Δ.Η είναι γνησίως φθίνουσα στο με ( ) και 1 (1) e 1 a 1 Αρκεί να δείξουμε ότι: 1 1 e 1 e Θεωρούμε 1 ( ) e, 1 Η συνάρτηση K( ) παραγωγίσιμη με ( ) 1 k e Είναι: e e Οπότε 1, για χ>1 άρα η K γνησίως αύξουσα στο 1 e 1 1 Άρα η εξίσωση ( ) (1) a, αδύνατη στο Δ4. Αν α = Τότε έχουμε : ( ) e, '( ) e, Η παρουσιάζει καμπή στο σημείο Α(, ) στο οποίο η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y () '() ( ) y H κυρτή στο[, ). Άρα ( ) y ή () -+, H ισότητα ισχύει μόνο για Είναι για κάθε οπότε : ( ) ( ) ( ) d ( ) d I ( ) d Θέτουμε y y d ydy Αν τότε y Αν τότε y 1 Σελίδα 1 από 11

11 1 I ( y ) y dy 1 4 ( 4 4 ) y y dy 1 5 y y Άρα ( ) d 15 Σχολιασμός θεμάτων Μαθηματικών ΟΠ από το Ακαδημαϊκό τμήμα Τα θέματα κρίνονται απαιτητικά. Το δεύτερο θέμα είναι σχετικά εύκολο και μάλλον αναμενόμενο. Το τρίτο θέμα είναι γεωμετρικό πρόβλημα το οποίο απαιτούσε γνώσεις προηγούμενων τάξεων και είχε κλιμακούμενη δυσκολία. Τέλος, το τέταρτο θέμα κρίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Σελίδα 11 από 11