Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Transcript

1 Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ

2 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

3 'Ασκηση. Η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο κλειστό, έχει παράγωγο στο διάστημα a, και f a f. Να αποδειχθεί: f α) ότι για τη συνάρτηση F όπου c, υπάρχει c a τέτοιο ώστε c, Fc β) Αν c,, ότι υπάρχει c a, τέτοιο ώστε στο σημείο, εξίσωση y f c, διέρχεται από το σημείο c f c της γραμμής με 'Ασκηση. Α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει η σχέση log Β) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα, με η Δέσμη 98, Ζήτημα log, f,. Να, αποδειχθεί ότι i) η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ii) είναι φθίνουσα στο διάστημα, iii) f η Δέσμη 98, Ζήτημα 'Ασκηση. α) Έστω ότι μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα Δ και ότι στο σημείο είναι f. Αν f, τότε το f είναι τοπικό ελάχιστο της f. β) Δίνεται η συνάρτηση f με f 4,. Έστω, είναι τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και το σημείο στο οποίο παρουσιάζει καμπή. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία του επιπέδου, f,, f,, f είναι συνευθειακά. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα η Δέσμη 985, Ζήτημα 4 'Ασκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση f με f i) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης. ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f τον άξονα O και τις ευθείες με εξισώσεις, 5 η Δέσμη 988, Ζήτημα 'Ασκηση 5. Έστω f,g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ για τις οποίες υποθέτουμε ότι: Είναι παραγωγίσιμες στο Δ f g και f g Να δειχθεί ότι:

4 α) Για κάθε f g c, όπου c f έχει ρίζες ετερόσημες, β) Αν η κλειστό, Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» τότε η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο η Δέσμη 989, Ζήτημα 'Ασκηση 6. Δίνεται η συνάρτηση f με f Α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f της ευθείας με εξίσωση y και των ευθειών με εξισώσεις και a, a Γ) Να υπολογίσετε το όριο Ea του ανωτέρου χωρίου όταν το α τείνει στο άπειρο. η Δέσμη 99, Ζήτημα 4 'Ασκηση 7. Α. α) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με τιμές στο g ln f, στρέφει τα κοίλα,. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση άνω αν και μόνο αν ισχύει η σχέση f f f, για κάθε β) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση g με g ln κοίλα άνω. στρέφει τα Β. α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση f με και a. β) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η ισότητα a 4 4 a 'Ασκηση 8. Α. Δίνεται η συνάρτηση f a, η Δέσμη 99, Ζήτημα f 4 e,. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες και f f για Β. α) Να αποδειχθεί ότι μία συνάρτηση f ορισμένη στο έχει την ιδιότητα κάθε αν και μόνο αν f ce, όπου c πραγματική σταθερά. β) Να βρεθεί η συνάρτηση g ορισμένη στο διάστημα, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις g g g g 99 και 'Ασκηση 9. Α. Να αποδειχθεί ότι για κάθε,, Β. Δίνεται η συνάρτηση f με f, i) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ii) Να βρεθεί η παράγωγος της f για κάθε η Δέσμη 99, Ζήτημα 4 ισχύει η σχέση e e 4 η Δέσμη 99, Ζήτημα Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

5 'Ασκηση. Α. Δίνεται η συνάρτηση f με f ln ln, 4 α) Να βρεθεί η παράγωγος f της f για κάθε β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Β. α) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα β) Να βρεθεί το όριο lim E t t ln t t E t ln d για κάθε t 'Ασκηση. Α. Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f με a,, η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: Η συνάρτηση f είναι περιττή Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο f d 4 η Δέσμη 99, Ζήτημα f a, 4 η Δέσμη 99, Ζήτημα 4 'Ασκηση. Α. Δίνεται πραγματική συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε g και g g g g i) Η συνάρτηση f g για κάθε. Να αποδείξετε ότι: είναι γνησίως αύξουσα και ii) g g g για κάθε, Β. Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματική συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο, τέτοια ώστε υπάρχει πραγματικός αριθμός α ώστε να ισχύει y g y e g e g y y a για κάθε y,. Να αποδείξετε ότι: i) g a ii) g g g e για κάθε η Δέσμη 997, Ζήτημα 'Ασκηση. Δίνεται συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και ικανοποιεί τη σχέση f 4 f f για κάθε. g f e είναι κυρτή στο α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι f για κάθε 5 'Ασκηση 4. α) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε, η Δέσμη 999, Ζήτημα Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4

6 β) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει 5 6 αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f f f ln 8 για κάθε, 5 4 'Ασκηση 5. Α. Δίνεται η συνάρτηση f a του α ώστε να ισχύει f 4a f για κάθε f 6 9, Β. Δίνεται η συνάρτηση. Να 4 η Δέσμη 999, Ζήτημα, και a. Να βρείτε την τιμή α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f και να αποδείξετε ότι f για κάθε, β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και 4 η Δέσμη 999, Ζήτημα 'Ασκηση 6. Έστω f, g: είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει f g 4, για κάθε. Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση y 7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο α) Να βρείτε τα όρια lim g f g και lim β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g, καθώς το η Δέσμη, Ζήτημα 4 'Ασκηση 7. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: f f e για κάθε, με f. α) Να αποδείξετε ότι f, β) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f. 'Ασκηση 8. Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχής στο. α) Να αποδείξετε 7 f d f d e 7 β) Έστω ότι f d f d 4 4 η Δέσμη, Ζήτημα Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,7 τέτοιο, ώστε f 4 4 η Δέσμη, Ζήτημα 'Ασκηση 9. Έστω η συνάρτηση f ln, α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5

7 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία, όπου είναι η θέση του τοπικού ακροτάτου της f. η Δέσμη, Ζήτημα 'Ασκηση. Έστω η συνάρτηση f :,, η οποία είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο a, και f a, f a α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο a, β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, a, τέτοια ώστε f f 4 'Ασκηση. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f F e, για κάθε. όπου F μία παράγουσα της f με Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, η Δέσμη, Ζήτημα και τέτοια ώστε να ισχύει: F. A, f η Δέσμη, Ζήτημα 4 'Ασκηση. Η συνάρτηση f : με συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα f f e d όπου, a a με a. Να αποδείξετε ότι: α) f a f β) Η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα a, η Δέσμη, Ζήτημα 4 4 'Ασκηση. Έστω η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες και, όπου είναι E 4ln E γίνεται ελάχιστο. β) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ για την οποία το εμβαδόν η Δέσμη, Ζήτημα 4 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6