είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη.

Transcript

1 ΜΑΘΜΑ: ΜΑΘΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α σχολικό βιβλίο σελίδα 99 Α α Λάθος β σχολικό βιβλίο σελίδα 5 η συνάρτηση, = είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Α σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α4 α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β 4 =, Β είναι παραγωγίσιμη στο = 4 = = * ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

2 8 = = = = = ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (, και,, είναι γνησίως φθίνουσα στο ) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο = με τιμή ( ) = Β αφού είναι παραγωγίσιμη στο 4 για κάθε *, οπότε * ως ρητή με = 8 = 4 είναι για κάθε 6 4 *, είναι κοίλη στο (,) και στο (, ) δεν έχει σημεία καμπής Β Για κατακόρυφη ασύμπτωτη 4 lim = lim = 4 lim =, αφού για το με lim =, άρα lim = οπότε

3 Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Για πλάγια οριζόντια ασύμπτωτη 4 = lim = lim =, αφού lim = 4 = lim ( ) = lim = αφού lim = Άρα η ευθεία y = y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της Όμοια έχουμε C στο 4 = lim = lim =, αφού lim = 4 = lim ( ) = lim = αφού lim = Άρα η ευθεία y = y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της Β4 C στο = =, αφού lim = lim lim ( ) = lim = και lim = από το Β 4 = =, αφού lim = lim lim

4 ΘΕΜΑ Γ Γ Με το τμήμα μήκους κατασκευάζουμε τετράγωνο, άρα η πλευρά είναι m συνεπώς το εμβαδόν του 4 είναι E () = ( 4 ) = 6 m Με το τμήμα μήκους 8 που απομένει κατασκευάζουμε κύκλο που έχει μήκος (8 )m Έστω ρ η ακτίνα του κύκλου τότε L = πρ ρ = L π ρ = 8 π m Άρα το εμβαδόν του κύκλου είναι Ε () = πρ Ε () = π ( 8 π ) = π (8) 4π Άρα το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι Ε() = Ε () Ε () Ε() = π 4 (646 ) 6π 6π Ε() = (π4) π = (8) 4π m, (,8) Γ Για (,8) η είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με ( ) 4 4 =,, E = = = = = m E E( ) ΟΕλάχιστο

5 παρουσιάζει στο = 4 ολικό ελάχιστο το ( 4) = = = Για = 4 η διάμετρος του κύκλου είναι ( ) = = = = = m και η πλευρά του τετραγώνου = 4 = m Άρα το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου Γ Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό (,8) τέτοιο ώστε = 5 είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο =, 4 άρα το σύνολο τιμών της σ αυτό το 6 6 =, lim E, = 4 διότι 4 διάστημα είναι το lim E = lim = = 6 6 και 6 = 4 4 Παρατηρούμε ότι το = 6 6 5, 4 και επειδή η, 4 υπάρχει μοναδικό, 4 είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο = 5 τέτοιο ώστε ( ) E είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο =,8 άρα το σύνολο τιμών της είναι το 4 6 ( ) =, lim E( ),4 = 4 8 διότι lim E = lim = = = =

6 Παρατηρούμε ότι το 6 5, 4 4 = 5 άρα η εξίσωση δεν έχει λύση στο =,8 4 Συνεπώς υπάρχει μοναδικός τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5m ΘΕΜΑ Δ Δ () = e είναι παραγωγίσιμη στο, e, και της D = '() = (e )' = e ) άρα και συνεχής στο ως άθροισμα παραγωγίσιμων ( e σύνθεση των παραγωγίσιμων ' είναι παραγωγίσιμη στο ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ''() = (e )' = e = (e ) ''() (e ) e e α '' - Δηλαδή η '' μηδενίζεται στο = α και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο οπότε το Α(α, (α)), με είναι μοναδικό σημείο καμπής = Δ Είναι '() = e 'είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη α '' - ' Οπότε η 'παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = α το ' = = ( ) Είναι '( )

7 Επίσης lim '() lim e = = Γιατί lim e = και lim = Και = = = e lim '() lim e lim e Γιατί lim e ()' = και lim lim lim e = = = (e )' e Οπότε η 'γνησίως φθίνουσα στο = (, ] με '( ) = [( ), ) και = [, ) με '( ) = [( ), ) 'γνησίως αύξουσα στο Παρατηρούμε ότι '( ) οπότε υπάρχει μοναδικό ( 'γνησίως φθίνουσα) με '( ) = Ομοίως '( ) οπότε υπάρχει μοναδικό ( 'γνησίως αύξουσα) με '( ) = ' - Για ' '() ' ' ' '() ' '() ' ' ' '() Επίσης η είναι συνεχής στο, οπότε υπάρχουν μοναδικά, με δηλαδή τέτοια ώστε η να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο

8 Δ Θέτω g() = () (), [, ] που είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με g'() = '() στο (, ) g g() () (από Δ), οπότε g γνησίως φθίνουσα Επομένως Έχουμε g = () = e Γιατί και e Οπότε () g() () () (, ) Επομένως η εξίσωση () = () είναι αδύνατη στο (, ) Δ4 Αν α = το σημείο καμπής είναι Α(, -) εξίσωση εφαπτομένης στο Α είναι y () = '() y = Στο [,] [, ) η είναι κυρτή οπότε η εφαπτόμενη βρίσκεται κάτω από την C και το μόνο κοινό σημείο είναι το Α Οπότε () Επιπλέον, [,], άρα () ( ) και η ισότητα ισχύει μόνο για = Επομένως () d ( ) d Είναι = ( ) d

9 Θέτω u = = u,d = udu Και όταν = u = Και όταν = u = 5 4 u u I = ( (u ) )uudu = 4 (u u )du = 4[ ] = 5 5 Άρα () d 5 Επιμέλεια απαντήσεων: Μίλτος Τσαλιγόπουλος, Μαρία Βαλιάδη, Βασίλειος Μαστρογεωργίου, Θωμάς Καραγιάννης, Νατάσα Παπαγούλα, λίας Κουντούπης