= R * ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 0 x 4 2x 8x 8 x x x x x. και γνησίως αύξουσα στο (0, + ). = με τιμή ( )

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α Α σχ βιβλίο σελ 99 παράγραφος Α α Ψ σχ βιβλίο σελ 5 παράγραφος β Αντιπαράδειγμα:, =, H είναι - όμως δεν είναι γνησίως μονότονη Α σχ βιβλίο σελ 7 παράγραφος 5 Α4 α Λ β Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ Β Β H είναι παραγωγίσιμη στο A = R * ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων με () = = = + () = Η είναι συνεχής στο R * άρα είναι γνησίως αύξουσα στο (,, γνησίως φθίνουσα στο,) και γνησίως αύξουσα στο (, + ) Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο = με τιμή 4 = = ( )

2 8 = + είναι παραγωγίσιμη στο R *, ως πράξη παραγωγίσιμων = + = =, άρα η είναι κοίλη 6 4 Β H συναρτήσεων με ( ) Β Κατακόρυφη ασύμπτωτη: Το είναι ανοικτό πραγματικό άκρο του 4 lim = lim = + = Άρα η ευθεία = είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Όμως υπολογίζουμε και το lim για να ξέρουμε τη συμπεριφορά της C στο lim = lim = ( + ) = + + Β4

3 ΘΕΜΑ Γ Γ 8 L = = 8 = () E = 4 8 ( 8 ) E = = = 4 ( 8 ) ( ) E = E+ E = + = = ( + 4) E ( ) =, (,8) 6 Γ E = = 6 8 E = = +4 E +4 E E E( ) 8

4 6 To εμβαδόν γίνεται ελάχιστο για = με ελάχιστη τιμή = Για = : Η πλευρά του τετραγώνου είναι = + 4 = () 8 8 H διάμετρος του κύκλου είναι = = = + 4 Επομένως το άθροισμα των εμβαδών ελαχιστοποιείται όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου Γ Θα δείξουμε ότι = 5 έχει μοναδική λύση για κάθε (,8) Για, + 4 η είναι γνησίως φθίνουσα 6 6 Επομένως,,, lim ( ), + 4= = Το 5, + 4 = 5 έχει μια τουλάχιστον λύση και επειδή η Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο, + 4 λύση στο διάστημα αυτό Για,8 + 4 είναι γνησίως αύξουσα η, η = 5 έχει ακριβώς μια 6 Επομένως,,8, lim (),4 4 = = Το 5, Άρα, η = 5 δεν έχει λύση στο διάστημα αυτό Επομένως, υπάρχει μοναδικός τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δυο σχημάτων να ισούται με 5 m

5 ΘΕΜΑ Δ Δ = e, R με Η είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξη και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με "() = e e : "() = e = e = e = e = = α e e e e e στο, + ) Η παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής στο σημείο (, ( )) ( ) = e = e = H είναι συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη, άρα η είναι κοίλη στο (, και κυρτή = e Δ Moνοτονία της α Η είναι συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη, γνησίως φθίνουσα στο (, και γνησίως αύξουσα στο, + ) Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =με τιμή ( ) = e = = ( )

6 Σύνολο τιμών της = άρα Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ( A ) =, lim ) e lim = lim ( e ) = lim = ( ) = + e Άρα ( A ) = ( ), +) Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο = (, + ) άρα = A lim, lim lim = = (αφού είναι συνεχής στο =) e e = ( ) = = + lim lim e lim lim () e e e e lim lim e = DLH + e = + A =, Άρα ( ) Το ( ) αφού Άρα το A και γνησίως φθίνουσα στο μοναδική λύση στο Και το A και γνησίως αύξουσα στο οπότε η, οπότε η έχει μοναδική λύση στο Μένει να δείξουμε ότι αλλάζει η μονοτονία της εκατέρωθεν των, α + = έχει =

7 Για κάθε (, ) το Για κάθε (, ) το Για κάθε (, ) το Για κάθε (, + ) το Η είναι συνεχής στο R άρα γνησίως αύξουσα στο (,, γνησίως φθίνουσα στο,, γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα =και γνησίως φθίνουσα στο, στο,+ ) οπότε συνεχής στο H παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο στο και ένα τοπικό ελάχιστο στο Δ Στο =, η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα ( ) = ( ), Θα δείξουμε ότι, (, όμως ( ) = e = ( e ) Άρα : e e e e e ΑΤΟΠΟ Άρα, οπότε (, ) στο οποίο η είναι γνησίως φθίνουσα Άρα ( ), οπότε ( ) ( ) Έστω = (,) άρα ( ) ( ), επομένως το ( ) ( ) Άρα η = ( ) είναι αδύνατη στο = (, ) Δ4 (ε): εφαπτομένη της C στο, ( ) : κυρτή στο, + ) Από σχόλιο εφαπτομένης () y, για κάθε, y = y = y = + = και το "="ισχύει μόνο για ( + ) ( + ), για κάθε, "="ισχύει μόνο για = και το

8 Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο, οπότε d + d Θέτω = + d Θέτω = u d = du d = du d = udu Για = u =, = u = 4 I = u 4 + uudu = u u du = 4u 4u du = 5 5 4u 4u 4u 4u 4 4 = du = 5 = = = Οπότε d 5