Το ενοποιητικό έργο του Νεύτωνα

Transcript

1 Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου 7ο εξάµηνο, εξάµηνο, Ακαδ. Ακαδ. Έτος Με τα σηµαντικά έργα του 5ου 5ου και 6ου 6ου αι. αι. Περιγράφεται όχι µόνο η ιστορική διαδροµή της νεώτερης επιστήµης, αλλά ξετυλίγεται και ο ιστορικός καµβάς της εξελισσόµενης αντίληψής µας για ένα ανοικτό, άπειρο Σύµπαν προσδιορισµένο από αντικειµενικούς νόµους που διέπουν τη λειτουργία του. Η επιστηµονική επανάσταση του 6ου & 7ου αι. Με τον Νεύτωνα οι επικρατούσες ιδέες του Αριστοτελισµού αντικαταστάθηκαν µε το Σύµπαν της ακρίβειας, την γεωµετρικοποίηση του χώρου, του µέτρου και του µονοσήµαντου προσδιορισµού (Αlexandre Koyré: Ο δυτικός πολιτισµός η άνθιση της επιστήµης και της τεχνικής) Το Αριστοτελικό κοσµολογικό σύστηµα και η Πτολεµαϊκή γεωκεντρική ερµηνεία του κόσµου παρουσίαζαν αρκετά προβλήµατα, όπως... H απόσταση της Γης και των πλανητών άλλαζε, συµπέρασµα που υπονόµευε την κυκλική κίνηση των πλανητών, Στην ακριβή µέτρηση του ηλιακού έτους, γιατί ο Ήλιος δεν έχει φάσεις όπως η Σελήνη αναξιόπιστο Ιουλιανό ηµερολόγιο (σφάλµα 4 το χρόνο, προσδιορισµός δίσεκτων ετών, ) Με τον Κοπέρνικο, τον Γαλιλαίο και τον Κέπλερ έγινε η σύγκρουση µε την αρχαιοελληνική έννοια του Κόσµου και η ρήξη µε τις θεωρήσεις του Αριστοτέλη που κυριάρχησαν από την Αρχαιότητα και καθ όλο τον Μεσαίωνα Ανατροπές και νέες βάσεις Ανατράπηκε η θεώρηση ενός Σύµπαντος στηριγµένου στις εντυπώσεις των αισθήσεων όθηκε ώθηση στην µαθηµατικοποίηση της φύσης µεθόδου, συναθροίζοντας ταυτόχρονα τις βασικές αρχές της γενικής κοσµολογίας σε ένα ενιαίο σύστηµα που διέπεται από καθολικούς και αναγκαίους νόµους Το µνηµειώδες έργο της Principia Είναι διατυπωµένο, στα λατινικά, σε αρχαϊκό φορµαλισµό, στη συνθετική γεωµετρία των Αρχαίων Ελλήνων (π.χ. η δοµή των βιβλίων θυµίζει τα Στοιχεία του Ευκλείδη), στην οποία προτιµούσε να παρουσιάζει τα θεωρήµατά του ο Νεύτωνας. Περιλαµβάνει µια εισαγωγή και τρία µεγάλα βιβλία ή µέρη. Στο µνηµειώδες έργο του Μαθηµατικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, το 687, ενσωµάτωσε τις ανακαλύψεις των Κοπέρνικου, Κέπλερ και Γαλιλαίου, και έθεσε τους βασικούς κανόνες της πειραµατικής Ανατροπές και νέες βάσεις ο Γαλιλαίος την απέδειξε µε παρατηρήσεις από τη χρήση του τηλεσκοπίου και πειράµατα θεµελιώνοντας την σύγχρονη Μηχανική µε τις αρχές της βαρύτητας και της αδράνειας Το ενοποιητικό έργο του Νεύτωνα Ψηφιακό αντίγραφο (στα αγγλικά) του µοναδικού αυτού συγγράµµατος είναι διαθέσιµο στην ψηφιακή βιβλιοθήκη του µαθήµατος O Κοπέρνικος κατέρριψε το γεωκεντρικό σύστηµα του Πτολεµαίου, ο Κέπλερ ενίσχυσε την ηλιοκεντρική θεωρία και διατύπωσε τους πρώτους µαθηµατικούς νόµους της ουράνιας κίνησης, ενώ Στην εισαγωγή δίνει τους ορισµούς των εννοιών και τα αξιώµατα ή νόµους της κίνησης που θα χρησιµοποιήσει, και συνεχίζει µε προτάσεις, θεωρήµατα, προβλήµατα, λήµµατα, πορίσµατα και σχόλια

2 Το µνηµειώδες έργο της Principia Οι µαθηµατικές τεχνικές που χρησιµοποιεί, δεν διευκολύνουν τον σηµερινό µελετητή και όπως οµολόγησε ο ίδιος ο Νεύτωνας σε φιλικούς κύκλους του, σκοπίµως έγραψε τους νόµους ώστε να είναι δυσνόητοι ώστε να γίνονται κατανοητοί µόνο από ικανούς µαθηµατικούς Απειροστικός λογισµός, κωνικές τοµές, Αυτή η στάση του συµβαδίζει µε το κλίµα της εποχής, αλλά και µε τον ιδιαίτερο χαρακτήρα του Νεύτωνα Το µνηµειώδες έργο της Principia Το πρώτο βιβλίο είναι µια πραγµατεία για τη Μηχανική, και ασχολείται συστηµατικά µε την εφαρµογή των τριών νόµων-αξιωµάτων της κίνησης σε σηµειακές µάζες σε τροχιά γύρω από κέντρα έλξης Σε αυτό, ο Νεύτωνας προετοιµάζει το έδαφος, για να περιληφθεί η τροχιακή κίνηση σε ένα ενιαίο σύστηµα Μηχανικής, που θα περιλαµβάνει τόσο τα γήινα, όσο και τα ουράνια φαινόµενα Αποδεικνύει ότι οι τρεις νόµοι του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών µπορούν να εξαχθούν µε τη χρήση των τριών αξιωµάτων της κίνησης Το µνηµειώδες έργο της Principia Στο δεύτερο βιβλίο επιχειρεί να αναπτύξει µια µαθηµατική θεωρία για τηδυναµικήτωνρευστώνκαιµε σώµατα που κινούνται µε την παρουσία αντίστασης µέσα σε αυτά τα ρευστά Σκοπόςτουείναιόχιµόνονααποδείξει ότι η πλανητική κίνηση µπορεί να περιγραφεί µε τους τρεις νόµους της κίνησης, αλλά και να αποδείξει µε µαθηµατικό τρόπο ότι η ερµηνεία της θεωρίας των στροβίλων από τον Καρτέσιο αδυνατεί να κάνει το ίδιο Η διαπίστωση περί της ευστάθειας της τροχιάς των πλανητών πείθει ότι αυτοί κινούνται στο κενό Το µνηµειώδες έργο της Principia Στο τρίτο βιβλίο, Το σύστηµα του Κόσµου, ο Νεύτων εστιάζει στην εφαρµογή των αρχών της δυναµικής του στο πλανητικό σύστηµα Εξετάζειτοηλιακόσύστηµακαιτον πλανήτη ία µε τους δορυφόρους του, που έχουν πολλά περιφερόµενα σώµατα που υπακούουν στον τρίτο νόµο του Κέπλερ, και το σύστηµα Γης-Σελήνης που έχει ένα µόνο περιφερόµενο σώµα Αποδεικνύει ότι οι δυνάµεις που καθορίζουν την κίνησητωνπλανητώνείναιτηςίδιαςφύσηςµετη γήινη βαρύτητα και ότι οι δυνάµεις αυτές δρουν σε ολόκληρο το σύµπαν Η παιδεία που έλαβε ο Νεύτωνας στη γενέτειρα του, στην Αγγλία βασιζόταν κυρίως στην αρχαία ελληνική και λατινική γραµµατεία. Μεγάλο µέρος του έργου του βρίσκεται ψηφιοποιηµένο στο Πανεπιστήµιο του Cambridge ADD-03996/9 Ένα µεγάλο µέρος των ιδιόγραφων πανεπιστηµιακών σηµειώσεων του Νεύτωνα, στο Trinity College του Πανεπιστηµίου του Cambridge, είναι στην ελληνική γλώσσα (!!!) που αναδεικνύει τη βαθειά γεύση της κλασσικής Ελληνικής παιδείας που είχε λάβει ADD-03996/9 Αν είδα µακρύτερα, είναι επειδή στάθηκα στους ώµους γιγάντων από επιστολή του Νεύτωνα, το 676, προς τον Robert Hooke Ένα εύστοχο σχόλιο, δείγµα σεµνότητας και συνάµα βαθιά συνειδητοποίηση από τον Νεύτωνα; ότι δηλ. η επιστήµη είναι µια συνεχής διαδικασία ιδεών και ένας αγώνας λίγων να κατακτήσουν ένα κοµµάτι της γνώσης που ανήκει σε όλους. Μάλλον όµως, όπως εικάζεται, αποτελούσε αιχµή του Νεύτωνα ότι δεν είχε χρησιµοποιήσει καθόλου τις θεωρίες του Hooke, µε τον οποίο είχε έντονες διαµάχες για τη φύση του φωτός και τα χρώµατα Στους ώµους γιγάντων... Εµπνευστές του είναι οι τέσσερις στοχαστές και επιστήµονες Pierre Gassendi, Καρτέσιος (René Descartes), Κέπλερ, και Γαλιλαίος O Γάλλος φιλόσοφος, κληρικός, αστρονόµος και µαθηµατικός Πιέρ Γκασεντί (Pierre Gassend ή Petrus Gassendi, ), ο κύριος εκφραστής της συσχέτισης της ατοµικής θεωρίας (του ηµόκριτου, του Επίκουρου και του Λεύκιππου) και της µηχανιστικής αντίληψης της εποχής του Syntagma Philosophicum Μέρος από τις θεωρήσεις του Gassendi χρησιµοποίησε o Νεύτωνας για την ανάπτυξη της θεωρίας των σωµατιδίων της φυσικής του φωτός.

3 Ορισµένες από τις φιλοσοφικές θέσεις που επεξεργάστηκε θεωρούνται σηµαντικές, για να βρεθεί ένας δρόµος µεταξύ σκεπτικισµού, δογµατισµού και εµπειρισµού Κατά τον Gassendi, η µορφή των διαφόρων ατόµων προσδιόριζε και τις ιδιότητες των υλικών και των ιδιοτήτων που αυτά «συγκροτούσαν» ιακρίθηκεωςέναςαπότουςπλέον ενεργούς παρατηρησιακούς επιστήµονες και δηµοσίευσε τις πρώτες πληροφορίες γιατηδιέλευσητουερµήτο 63. Ο σεληνιακός κρατήρας Gassendi έχει ονοµαστεί προς τιµή του Ο Γάλλος µαθηµατικός και φιλόσοφος Rene Descartes Cartesius (Ρενέ Ντεκάρτ ή µε το εξελληνισµένο όνοµα Καρτέσιος, ), µε τη φιλοσοφία του περί Μηχανοκρατίας επηρέασε αποφασιστικά την επιστηµονική σκέψη του Νεύτωνα για τους νόµους της κίνησης Μηχανοκρατία: Νέα αντίληψη για τον κόσµο σύµφωνα µε την οποία για κάθε φυσικό φαινόµενο µπορεί να δοθεί µια µηχανική εξήγηση Πρώτη συστηµατική προσπάθεια αναγωγής της φυσικής επιστήµης στα µαθηµατικά Ο Καρτέσιος διατύπωσε τις βασικές θέσεις της Μηχανοκρατίας µε φιλοσοφική αυστηρότητα: Αδυνατότητα ύπαρξης κενού (ο κόσµος είναι πλήρης από µια άπειρα διαιρετή ύλη). Το κάθε σώµα µπορεί να επηρεάζεται από ένα άλλο µόνο όταν βρίσκεται σε άµεση επαφή µε αυτό. Τόσο ο Gassendi, όσο και ο Καρτέσιος συνεισέφεραν στην αντιµετώπιση των προβληµάτων της κίνησης, χωρίς όµως να συνδυάσουν κινήσεις και δυνάµεις σε µια ενιαία και συνεκτική θεωρία, όπως έκανε ο Νεύτωνας. O Γερµανός αστρονόµος Johannes Kepler (57-630) του οποίου οι νόµοι της κίνησης των πλανητών απετέλεσαν την απαρχή για τη διαµόρφωση της θεωρίας του Νεύτωνα για την παγκόσµια έλξη της βαρύτητας O Ιταλός φυσικός και µαθηµατικός Γαλιλαίος (Galileo Galilei, ), µε τη θεωρητική και πειραµατική συνεισφορά του στους τρεις νόµους της κίνησης, και θέτοντας έτσι τα θεµέλια της κλασσικής Μηχανικής Οι άξονες της Νευτώνειας Φυσικής Φιλοσοφίας O Νεύτωνας βλέπει το Σύµπαν ως άπειρο χωρικά και χρονικά. O χώρος και ο χρόνος είναι απόλυτες έννοιες και ανεξάρτητες από την ύπαρξη ή µη σωµάτων παρέχοντας ένα βολικό πλαίσιο για τη λειτουργία των νόµων του, της κίνησης και της βαρύτητας. O απόλυτος, αληθινός, και µαθηµατικός χρόνος, από τη φύση του, αλλάζει µε σταθερό τρόπο χωρίς να έχει σχέση µε οτιδήποτε εξωτερικό γεγονός, και, εποµένως, χωρίς αναφορά σε οποιαδήποτε αλλαγή ή τρόπο µέτρησης του χρόνου Ο χρόνος είναι µια ροή διάρκειας που περιλαµβάνει όλες ανεξαιρέτως τις φυσικές διαδικασίες Όλες οι κινήσεις µπορούν να επιταχυνθούν ή να επιβραδυνθούν αλλά η διαδικασία τον απόλυτου χρόνου, δεν αλλάζει. O χώρος είναι κενός και µέσα σ αυτόν κινούνται τα διάφορα σώµατα, τα οποία αποτελούνται από άτοµα την αντίληψη αυτή του ηµόκριτου ο Νεύτωνας την επέκτεινε και στο φως (σωµατιδιακή θεωρία του φωτός) Οαπόλυτοςχώροςµετη δική του φύση, χωρίς αναφορά σε οτιδήποτε εξωτερικό, παραµένει πάντοτε όµοιος και αµετακίνητος Το Σύµπαν είναι αυστηρά αιτιοκρατικό, δηλ. σε αυτό δεν έχει θέση η σκοπιµότητα ή τα τυχαία γεγονότα Πριν τον Νεύτωνα είχαν προταθεί διάφορα αίτια για την κίνηση των πλανητών: Ο Κοπέρνικος είχε κάνει λόγο για τη σφαιρικότητα των πλανητών και την κίνησή τους ως ιδιότητα της γεωµετρικής τους δοµής και για τον κυρίαρχο (αλλά άγνωστο) ρόλο του Ήλιου. Ο Γαλιλαίος δεν αναφέρθηκε ποτέ στα αίτια κίνησης των πλανητών, ούτε στο αίτιο της επιτάχυνσης κατά την ελεύθερη πτώση. Ο Κέπλερ είχε µιλήσει για την ανάγκη µελέτης των δυνάµεων που κινούν τους πλανήτες, οι οποίες πίστευε ότι πήγαζαν από τον Ήλιο ( «Αnima Μotrix» και «is Μotrix» ) Anima Motrix και is Motrix ΟιόροιχρησιµοποιήθηκαναπότονΚέπλεργιανα εκφράσουν την πηγή της δυναµικής συµπεριφοράς που εκδηλώνεται µέσα από, αλλά δεν περιορίζεται στις ορατές µορφές της ύλης Η κινητήρια δύναµη στη φύση προέρχεται από την ύληή από τον αιθέρα ; Ανήταν «στηνύλη»καιοπαρεµβαλλόµενοςχώρος ήταν παθητικός, τότε υπήρχε το πρόβληµα της «δράσης από απόσταση». Ανήταν «στοναιθέρα», τότευπήρχετοπρόβληµατης φαινοµενικής «τοπικής συµπεριφοράς» των µορφών της ύλης.

4 Οι νόµοι του Kepler βοήθησαν στην κατανόηση της φυσικής κίνησης των πλανητών, αλλά ο Kepler δεν εξήγησε γιατί ίσχυαν Η θεµελιακή εξήγηση δόθηκε όταν ο Νεύτωνας διατύπωσε τους νόµους της κίνησης των φυσικών σωµάτων και την έννοια της ελκτικής δύναµης της βαρύτητας Η Νευτώνεια Φυσική Νευτώνεια Μηχανική + Θεωρεία του Ηλεκτροµαγνητισµού (Μaxwell) = Κλασσική Φυσική Οι νόµοι της φυσικής µέχρι τον Νεύτωνα περιλάµβαναν µόνο τις έννοιες του χώρου και του χρόνου Ο Νεύτωνας για πρώτη φορά εισήγαγε την έννοια της µάζας Οι νόµοι της κίνησης Θεµέλιο της Κλασσικής Μηχανικής: Μηχανικής: σχέση µεταξύ της κίνησης όλων των υλικών σωµάτων και των δυνάµεων που ενεργούν σε αυτά Επαναστατική αλλαγή: Οι ίδιοι νόµοι ισχύουν για ΌΛΑ τα σώµατα! 3 Νόµοι της Κίνησης 3 Νόµοι της Κίνησης Νόµοι της κίνησης στοιχειοθετούν το υπόβαθρο πάνω στον οποίο δηµιουργήθηκαν και αναπτύχθηκαν διάφορα επιστηµονικά πεδία των Μηχανικών Law Law ΙΙ (Motte, (Motte, 79) 79) -- Eery Eerybody body persists persistsin inits itsstate state of of being beingat at rest rest or orof ofmoing moing uniformly straight forward, uniformly straight forward, except except insofar insofar as asititisis compelled compelledto tochange changeits itsstate state by byforce forceimpressed impressed.. Law Law ΙΙ (µε (µε µοντέρνους µοντέρνους όρους) όρους) -- no no force force means means no no acceleration, acceleration, and and hence hence the the body body will will maintain maintain its its elocity. elocity. LEX. LEX. ΙΙ -- Corpus Corpus omne omne perseerare perseerare in in statu statu suo suo quiescendi quiescendi el el moendi moendi uniformiter uniformiter in in directum, nisi quatenus directum, nisi quatenus aa iribus iribus impressis impressis cogitur cogitur statum statum illum illum mutare mutare.. ος ος νόµος νόµος -- Ένα Ένασώµα σώµα παραµένει παραµένει σε σεκατάσταση κατάσταση ηρεµίας ηρεµίας(ακινησίας) (ακινησίας) ήή κινείται κινείται µε µεσταθερή σταθερή ταχύτητα ταχύτητα (ευθύγραµµη (ευθύγραµµη οµαλή εκτόςεάν εάν οµαλήκίνηση), κίνηση), εκτός ασκείται ασκείταισε σε αυτό αυτόµια µια εξωτερική εξωτερικήδύναµη. δύναµη. Ο Νεύτωνας έγραψε τους νόµους στα Λατινικά, στην εισαγωγή και στο πρώτο Όλο το µέληµα της από τα τρία βιβλία που φιλοσοφίας φαίνεται να συγκροτούν το έργο της συνίσταται στο εξής: από τα Principia φαινόµενα των κινήσεων Μεταφράστηκαν στα αναζητείστε τις δυνάµεις Αγγλικά από τον Andrew της φύσης και, κατόπιν, από Motte (79): AXIOMS τις δυνάµεις αποδείξτε τα OR LAWS OF MOTION άλλα φαινόµενα ος νόµος της κίνησης ή Αρχή της αδράνειας ος νόµος της κίνησης ή Αρχή της αδράνειας Με τον πρώτο νόµο δεν γίνεται διάκριση όσον αφορά την απόλυτη LEX. Corpus omne LEX. - Corpus omne κίνηση µια και δεν perfeerare perfeerare in in ftatu ftatu fuo ξεχωρίζει την fuo quiefcendi quiefcendi el el moendi moendi uniformiter uniformiter in in κατάσταση της directum, directum, nifi nifi quatennus quatennus ακινησίας από αυτή της illud illud aa iribus iribus impreffi impreffi σταθερής κίνησης. cogitur cogitur ftatum ftatum suum suum Ωστόσο γίνεται mutare mutare διάκριση για την απόλυτη επιτάχυνση Σ Fεξ = 0 = σταθ. Αν, δηλαδή, ένα σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή, τότε η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται σε αυτό θα είναι µηδέν

5 ος νόµος της κίνησης χαρακτηριστικά παραδείγµατα καθηµερινής εµπειρίας Από τα συνοδευτικά σχόλια του Νεύτωνα για τον νόµο της αδράνειας Η κίνηση των ΒΛΗΜΑΤΩΝ µε έναν αφαιρετικό συλλογισµό, οδηγεί στην ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ: τα βλήµατα διατηρούν την κίνησή τους εφόσον δεν επιβραδύνονται από την αντίσταση του αέρα ήδενωθούνταιπροςτακάτωαπότηδύναµητης βαρύτητας. ος νόµος της κίνησης χαρακτηριστικά παραδείγµατα καθηµερινής εµπειρίας Από τα συνοδευτικά σχόλια του Νεύτωνα για τον νόµο της αδράνειας Η κίνηση της ΣΒΟΥΡΑΣ, η αδρανειακή χωρίς δυνάµεις - κίνηση µπορεί να είναι και ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: Ένα σώµα σε στροφική κίνηση συνεχίζει (δεν παύει) να περιστρέφεται εκτός, εάν εξαναγκαστεί απότηντριβήτουαέρα. ος νόµος της κίνησης χαρακτηριστικά παραδείγµατα καθηµερινής εµπειρίας Από τα συνοδευτικά σχόλια του Νεύτωνα για τον νόµο της αδράνειας Η κίνηση των ΠΛΑΝΗΤΩΝ, η αδρανειακή (δηλ. χωρίς δυνάµεις) κίνηση τους µπορεί να µια σύνθεση : ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ και συγχρόνως ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (δηλ. οι κινήσεις τους γίνονται γύρω από άξονα περιστροφής που µετατοπίζεται ) ος νόµος της κίνησης Εµπεριέχει µια λεπτή φιλοσοφική παραδοχή, που χαρακτηρίζει την κλασσική φυσική: το σώµα κινείται ως προς τί; Ο Νεύτωνας θεώρησε έµµεσα (όπωςκαιόλοιοιφυσικοίµέχριτοναϊνστάιν) ότι Υπάρχει ο απόλυτος (και ακίνητος) τριδιάστατος χώρος, καιµέσασ αυτόνκινείταιοτιδήποτε. Υπάρχειοαπόλυτοςχρόνος ( κάτισανένα παγκόσµιο χρονόµετρο, που όταν δίνει έναν χτύπο κάπου στη Γη, δίνει ακαριαία τον ίδιο ακριβώς χτύπο παντού στο σύµπαν, ακόµη και στον πιο αποµακρυσµένο γαλαξία). ος νόµος της κίνησης ή Αρχή της αδράνειας Σηµεία προσοχής Ορίζει τι συµβαίνει όταν δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις. εν ορίζει τι συµβαίνει σε ένα σώµα µε µηδενική συνισταµένη δύναµη Ορίζει επίσης ότι αν σε ένα σώµα δεν ασκείται δύναµη, η επιτάχυνσή του είναι µηδενική Μας επιτρέπει επίσης να ορίσουµε τη δύναµη ως το αίτιο της µεταβολής της κίνησης ενός σώµατος Ο πρώτος νόµος (της κίνησης) του Νεύτωνα σε δράση. Πριν ακόµα ξεκινήσει ένας πύραυλος, θα παραµείνει στη θέση του στην πλατφόρµα εκτόξευσης επ αόριστον χωρίς καµία εξωτερική δύναµη να ενεργεί επ' αυτού. Όταν ο πύραυλος ανεβαίνει στο διάστηµα χωρίς εξωτερικές δυνάµεις σε αυτό, θα ταξιδέψει σε ευθεία γραµµή µε σταθερή ταχύτητα για πάντα. 977 Παράδειγµα Νόµος της αδράνειας Αύγουστος 0 VOYAGER- συνεχίζοντας το διαστρικό του ταξίδι (στην ανεξερεύνητη περιοχή του διαστήµατος) ος νόµος της κίνησης ή Αρχή της αδράνειας Περισσότερα για τα αδρανειακά Σ.Α. λίγο αργότερα Αν ένα σώµα δεν αλληλεπιδρά µε άλλα σώµατα, µπορούµε να ορίσουµε ένα σύστηµα αναφοράς στο οποίο το σώµα έχει µηδενική επιτάχυνση αδρανειακά συστήµατα αναφοράς (Σ.Α.) Law ΙΙ ΙΙ (Motte, 79) - The alteration of of motion is is eer proportional to to the motie force impressed; and is is made in in the direction of of the right line in in which that force is is impressed.. Law ΙΙ ΙΙ (µε µοντέρνους όρους) - The change of of momentum of of a body is is proportional to to the impulse impressed on on the body, and happens along the straight line on on which that impulse is is impressed.. LEX. ΙΙ ΙΙ- Mutationem motus proportionalem esse i i motrici impressae, et et fieri secundum lineam rectam qua is illa imprimitur. οςνόµος -Ηµεταβολή τηςορµήςτουενός σώµατος είναι ανάλογη µε µε την ώθηση που δίνεται στο σώµα, και συµβαίνει κατά µήκος της ευθείας γραµµής στην οποία ασκείται η ώθηση.

6 ος νόµος της δυναµικής F = m a = dp/dt Η διατύπωσή του στην Principia Mathematica αναφέρεται στην αλλαγή της ποσότητας κίνησης (ο Νεύτωνας χρησιµοποίησε στα λατινικά τον όρο motus ) LEX. LEX. ΙΙ ΙΙ -- Mutationem Mutationem motus motus proportionalem proportionalem esse esse i i motrici motrici impressae, impressae, et et fieri fieri secundum secundum lineam lineam rectam rectam qua qua is is illa illa imprimitur. imprimitur. Αναφέρεται στην περίπτωση που σε ένα σώµα ασκούνται δυνάµεις των οποίων η συνισταµένη δεν είναι µηδέν. ος νόµος της δυναµικής F = m a = dp/dt Η µεταβολή στην κίνηση είναι ανάλογη προς την ασκούµενη κινητήρια δύναµη, και συντελείται κατά την κατεύθυνση και φορά στην οποία ασκείται η δύναµη F a p: ορµή = m 3ος νόµος Νόµος δράσης και αντίδρασης Ο ος νόµος (της κίνησης) κίνησης) του Νεύτωνα σε δράση. δράση. Η εξωτερική δύναµη F για έναν πύραυλο είναι ένας συνδυασµός του βάρους, της ώσης, της έλξης και της ανύψωσης του οχήµατος. Αν γνωρίζουµε την εξωτερική δύναµη F, οι εξισώσεις µπορούν να λυθούν για να περιγράψουν την κίνηση ενός πυραύλου κατά την πτήση. 3ος νόµος Νόµος δράσης και αντίδρασης Πρόκειται για νόµο δυνάµεων και όχι για νόµο κίνησης όπως συµβαίνει µε τους δυο πρώτους νόµους οι οποίοι συσχετίζουν τη δύναµη µε την κίνηση Με τον νόµο αυτό υπονοείται ότι η δράση και η αντίδραση δρουν (και παύουν) ταυτόχρονα, και δεν έχει σηµασία ποια αποκαλούµε δράση και ποια αντίδραση Οι δύο δυνάµεις είναι µέρος µιας ενιαίας αλληλεπίδρασης, και η µια δύναµη δεν υπάρχει χωρίς την άλλη ος νόµος της δυναµικής F = m a = dp/dt LEX. LEX. ΙΙΙ ΙΙΙ (Motte, (Motte, 79) To eery eery action action 79) -- To there there is is always always opposed opposed an an equal equal reaction: reaction: or or the the mutual mutual actions actions of of two two bodies bodies upon upon each each other other are are always always equal, equal, and and directed directed to to contrary contrary parts parts Η σηµαντική Ως εκ τούτου για την κατανόηση του νόµου απαιτείται προσεκτικός διαχωρισµός ανάµεσα στην κίνηση και την ταχύτητα λεπτοµέρεια του ου νόµου είναι ότι ουσιαστικά εισάγει την έννοια του ελεύθερου υλικού σηµείου (στοιχειώδους µάζας) LEX. LEX. ΙΙΙ ΙΙΙ -- Οι Οι δυνάµεις δυνάµεις που που εξασκούνται εξασκούνται από από την την αλληλεπίδραση αλληλεπίδραση δύο δύο σωµάτων σωµάτων είναι είναι πάντα πάντα ίσες ίσες κατά κατά το το µέτρο µέτρο και και αντίθετες αντίθετες κατά κατά τη τη φορά φορά.. LEX. LEX. ΙΙΙ ΙΙΙ -- Actioni Actioni contrariam contrariamsemper semper et et æqualem æqualemesse essereactionem: reactionem: sie siecorporum corporumduorum duorum actiones actionesin inse semutuo mutuo semper esse æquales semper esse æqualeset etin in partes partescontrarias contrariasdirigi. dirigi. 3ος νόµος Νόµος δράσης και αντίδρασης Από την σχέση F = dp/dt για υλικό σηµείο µπορεί να παραχθεί η φυσική του απολύτως στερεού σώµατος και δε χρειάζεται τίποτε άλλο παρά µόνο η θεµελιώδης σχέση F = m a Σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντοτε µια αντίθετη και ίση αντίδραση ή, οι φυσικές αλληλεπιδράσεις δύο σωµάτων είναι πάντοτε ίσες κατά το µέτρο και αντίθετες κατά τη φορά Τι πραγµατικά εκφράζουν ή κρύβουν οι νόµοι της κίνησης; κίνησης; Ο 3ος νόµος (της κίνησης) κίνησης) του Νεύτωνα σε δράση. δράση. Η αίσθηση της έλλειψης βαρύτητας δίνει την εντύπωση ότι οι δραστηριότητες των αστροναυτών µπορούν να γίνονται σχεδόν αβίαστα. Ωστόσο, όπως προτείνει ο τρίτος νόµος κίνησης του Νεύτωνα, κάθε εργασία στο διάστηµα µπορεί να είναι σωµατικά απαιτητική ή/και επικίνδυνη.

7 Η κίνηση και η ηρεµία των σωµάτων επηρεάζονται από τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω τους. Εκείνο που δεν ισχύει είναι η «απλή λογική»: κίνηση συνεπάγεται δύναµη και αντίστροφα Πρακτικά, για να αναγνωριστεί το είδος της κίνησης ενός σώµατος απαιτούνται µια σειρά από βήµατα: Αρχικά να βρεθούν τα σώµατα µε τα οποία αλληλεπιδρά αυτό Στη συνέχεια, να προσδιοριστούν οι δυνάµεις της κάθε αλληλεπίδρασης που υπακούουν στον 3 ο νόµο του Νεύτωνα Στο επόµενο βήµα να υπολογιστεί η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται µόνο στο σώµα που µας ενδιαφέρει η κινητική του κατάσταση, και τέλος ανάλογα µε το αποτέλεσµα αυτού του υπολογισµού, εφαρµόζεται ένας από τους δυο πρώτους νόµους του Νεύτωνα. ιερεύνηση του ου νόµου της κίνησης Σε αυτόν εµπεριέχεται η έννοια της αδράνειας ως µια θεµελιώδης ιδιότητα της ύλης: Η τάση ενός σώµατος να αντισταθεί στην οποιαδήποτε µεταβολή της κινητικής του κατάστασης η φυσική τάση των σωµάτων είναι να διατηρούν σταθερή την κινητική τους κατάσταση καταρρίπτεται η Αριστοτελική ιδέα ότι η ακινησία είναι η φυσική κατάσταση των πραγµάτων Επιπτώσεις της αδράνειας Η ιδιότητα της αδράνειας που έχουν όλα τα σώµατα εκδηλώνεται µε δύο µορφές, την τάση για διατήρηση της κινητικής κατάστασης όταν στο σώµα δεν ασκούνται δυνάµεις, και στην αντίσταση στην µεταβολή της κινητικής κατάστασης όταν στο σώµα ασκούνται δυνάµεις. Ο πρώτος νόµος του Νεύτωνα περιέχει συγκεκριµένες συνέπειες για τη θεµελιώδη συµµετρία του σύµπαντος, όπου µια κατάσταση κίνησης σε ευθεία γραµµή πρέπει να είναι εξίσου φυσική, όπως είναι και η κατάσταση ηρεµίας Αξιωµατική εισαγωγή των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς ιερεύνηση της σχέσης F = m a Είναι ο ισχυρότερος από τους τρεις νόµους επειδή επιτρέπει τον υπολογισµό της δυναµικής κατάστασης των σωµάτων, δηλ. πώς αλλάζουν οι ταχύτητες τους όταν εφαρµόζονται σε αυτά δυνάµεις a r υ r o F r Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώµα όταν ασκείται σε αυτό δύναµη είναι ανάλογη της ασκούµενης δύναµης Αν η δύναµη είναι σταθερή, τότε και η επιτάχυνση είναι σταθερή Αν η δύναµη έχει ίδια διεύθυνση και φορά µε την αρχική ταχύτητα, τότε η κίνηση είναι ευθύγραµµη, οµαλά επιταχυνόµενη Αν η δύναµη έχει αντίθετη διεύθυνση και φορά µε την αρχική ταχύτητα, τότε η κίνηση είναι ευθύγραµµη, οµαλά επιβραδυνόµενη Αν η δύναµη είναι µεταβλητή, τότε και η επιτάχυνση µεταβάλλεται Αν σ ένα σώµα δεν ασκούνται δυνάµεις ή ασκούνται δυνάµεις µε συνισταµένη µηδέν, τότε το σώµα ή θα παραµένει ακίνητο ή θα κινείται µε σταθερή ταχύτητα (προφανώς ισχύει και το αντίστροφο): Σταθερή ταχύτητα, όµως, κατά µέτρο, διεύθυνση, φορά, σηµαίνει ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Στην ειδική περίπτωση που το σώµα είναι ακίνητο θα παραµείνει ακίνητο Με βάση τη σχέση F = m a Μονάδα µέτρησης µιας δύναµης: Ορίζεται µετρώντας την επιτάχυνση που αυτή προσδίδει σε ένα σώµα Στο διεθνές σύστηµα µονάδων N (Newton) εκφράζει τη δύναµη που απαιτείται για να επιταχυνθεί µια µάζα kg κατά m/sec F a Η σχέση, F = m a Μπορεί να χρησιµοποιηθεί και F για τον ορισµό της µάζας ( η m o µάζα είναι θεµελιώδες µέγεθος) a o Μάζα: Το µέγεθος που σχετίζει τη δύναµη F που ασκείται σε ένα σώµα µε την επιτάχυνση a που του προσδίδεται λόγω της F Αν ασκήσουµε την ίδια δύναµη F σε σώµα άγνωστης µάζας m X θα του προσδώσει επιτάχυνση a X Μετρώντας a X η µάζα m X

8 Αν η συνολική δύναµη δεν είναι µηδενική, το σώµα επιταχύνεται µε επιτάχυνση ανάλογη µε τη δύναµη και η αναλογία αυτή είναι σταθερή για κάθε σώµα m o Αυτή είναι η λεγόµενη αδρανειακή µάζα που εκφράζει την αναλογικότητα µεταξύ της επιτάχυνσης που αποκτά ένα σώµα υπό την επίδραση µιας ασκούµενης σε αυτό δύναµης είναι ένα µέτρο της αδράνειας ενός σώµατος, και καθορίζει την ορµή ενός σώµατος: Ορµή = (Αδρανειακή) Μάζα x Ταχύτητα F a o ιερεύνηση του 3ου νόµου εκ πρώτης όψεως, µοιάζει ως µια απλή παρατήρηση, χωρίς ουσιαστική αξία για τον καθορισµό της µηχανικής κίνησης των σωµάτων αφού οι δυο αντίθετες δυνάµεις δρουν σε διαφορετικά σώµατα Ο Νεύτωνας χρησιµοποίησε τον 3ο νόµο του προκειµένου να διαµορφώσει το νόµο της διατήρησης της ορµής. Πίσω από τον 3 ο νόµο κρύβεται η αρχή της διατήρηση της ορµής ενός αποµονωµένου φυσικού συστήµατος όσο µεγάλο και αν είναι αυτό, π.χ. ένας ολόκληρος γαλαξίας, έναν πλανήτης, Αν και ισχύει µόνο για µηχανικά συστήµατα, υπό την έννοια της διατήρησης της ορµής ΕΙΝΑΙ ένας καθολικός νόµος Τι είναι αποµονωµένο σύστηµα; Αποµονωµένο (isolated) είναι ένα φυσικό σύστηµα τόσο αποµακρυσµένο από άλλα σώµατα ή συστήµατα που δεν αλληλεπιδρά µε αυτά, και εποµένως ως τέτοιο χαρακτηρίζεται κάθε σύστηµα το οποίο δε δέχεται την επίδραση εξωτερικών δυνάµεων δηλαδή η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδέν. Αν οι εσωτερικές δυνάµεις είναι πολύ µεγαλύτερες από τις εξωτερικές τότε θεωρούµε το σύστηµα µονωµένο Αληθινά αποµονωµένα φυσικά συστήµατα δεν υπάρχουν στην φύση, παρά µόνο κλειστά φυσικά συστήµατα που ακολουθούν διάφορους νόµους συντήρησης (π.χ. ενέργειας, µάζας, ορµής, στροφορµής, ηλεκτρικού φορτίου, µαγνητικής ροής), Η προδιαγραφή του, ποιοι τύποι µεταφοράς αποκλείονται, ποικίλει στα κλειστά συστήµατα της φυσικής, της χηµείας ή της µηχανικής Κλειστά συστήµατα µπορούν να υπάρξουν ως αποµονωµένα για έναν πεπερασµένο (ενδεχοµένως πολύ µακροχρόνιο) χρόνο Ένα κλειστό σύστηµα στην κλασική µηχανική µπορεί να θεωρηθεί ένα αποµονωµένο σύστηµα στη θερµοδυναµική Η έννοια του αποµονωµένου συστήµατος είναι τεράστιας σηµασίας, γιατί επεκτείνει την εφαρµογή του 3ου νόµου από σωµατίδια µηδενικών διαστάσεων σε εκτεταµένα υλικά σώµατα Όταν µελετάται η κίνηση ενός στερεού σώµατος (όπως η Γη), δεν υφίσταται η ανάγκη να ληφθεί υπόψη οποιαδήποτε ιδιοδύναµη παρά µόνο όλες οι δυνάµεις που επενεργούν στο συγκεκριµένο σώµα από τα άλλα γειτονικά του. Επιτρέπει τη µελέτη της κίνησης σωµατιδίων εξαιτίας της µεταξύ τους αλληλεπίδρασης, όπως επίσης να αντιµετωπίζουµε ένα σύνολο από σωµατίδια ως ένα αντικείµενο, και πιο συγκεκριµένα, όταν πρόκειται για στερεά σώµατα, να µελετάµε την κίνηση τους όχι σαν σώµατα µε πεπερασµένες διαστάσεις, αλλά σαν να ήταν σωµατίδια!!! Συσχέτιση του ου και ου νόµου Μια φαινοµενικά απλούστερη διατύπωση του ου νόµου: Ένα αποµονωµένο σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα Η ανάγκη να καθοριστεί η «φυσική» κίνηση των αποµονωµένων σωµάτων, επέβαλε την ανάγκη να ερµηνευθεί η αφύσικη κίνηση των πλανητών, σε πλήρη αντίθεση µε τη άποψη του Αριστοτέλη: οι κινήσεις των σωµάτων στον αµετάβλητο και άφθαρτο χώρο πέρα από τη Σελήνη είναι τέλειες, δηλ. οµαλές κυκλικές Προφανώς όχι µετρώντας την ταχύτητα του και διαπιστώνοντας ότι είναι µηδέν, αλλά ανατρέχοντας σε µια σχετική αλήθεια, οι επιδράσεις που δέχεται από το περιβάλλον του µπορούν να θεωρηθούν αµελητέες, µέσα σε δεδοµένα όρια ακρίβειας των παρατηρήσεων µας Μια πρώτη δυσκολία: Πότε θα θεωρούµε ένα σώµα ότι είναι αποµονωµένο;

9 ος νόµος ( F = m a ) + αποµονωµένο σώµα (F = 0) οςνόµος ηλαδή, ο ος νόµος είναι πόρισµα του ου; ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΟΧΙ - Μάλλον κάτι άλλο συµβαίνει, ο ος νόµος ισχύει εφόσον βρισκόµαστε σ ένα προτιµητέο σύστηµα αναφοράς της φύσης όπως ορίστηκε από τον πρώτο νόµο Μ άλλα λόγια η ιδιότητα που ονοµάζουµε αδρανειακή µάζα ενός σώµατος δεν είναι παρά η εκδήλωση της αντίστασής του στην αποµάκρυνσή του από το προτιµητέο σύστηµα αναφοράς της φύσης Υπάρχει µια κατηγορία παρατηρητών για τους οποίους τα αποµονωµένα σώµατα δεν επιταχύνονται ή για άλλους κινούνται µε τον απλούστερο δυνατό τρόπο (ευθύγραµµα οµαλά) Τι συστήµατα αναφοράς είναι αυτά; Σε αντιδιαστολή, σε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς θα εµφανίζονται και άλλες δυνάµεις οι οποίες δεν εµφανίζονται σ ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο όταν τα φαινόµενα παρατηρούνται µέσα σε µη επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς. τότε ένα σώµα µένει ακίνητο εάν δεν ασκείται σε αυτό καµία δύναµη ή αν κινείται θα συνεχίσει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα και ευθύγραµµα Ένα σύστηµα συντεταγµένων ορίζεται ως αδρανειακό όταν σε αυτό ισχύουν ο ος και ος νόµος της κίνησης. Αντίθετα συστήµατα στα οποία οι δύο αυτοί νόµοι δεν υπακούγονται ονοµάζονται µη-αδρανειακά ιεξοδικότερα: Στο αδρανειακό Σ.Α. θα ισχύει: F = m a I, όπου a I είναι η επιτάχυνση που µετράει ένας παρατηρητής στο εν λόγω σύστηµα. Σε επιταχυνόµενο Σ.Α. µε επιτάχυνση a o, το σώµα που κινείται µε επιτάχυνση a ως προς το συγκεκριµένο Σ.Α. θα ισχύει a I = a + a o F = m ( a + a o ) m a = F - m a o = F F o, όπου η εµφανιζόµενη υποθετική δύναµη F ο = - m a o είναι η δύναµη αδράνειας, και εάν a = 0 F + F o = 0, δηλαδή υπάρχει ισορροπία µέσα στο επιταχυνόµενο σύστηµα αναφοράς. Αδρανειακά συστήµατα συντεταγµένων Έστω ένα σώµα που κινείται µε ταχύτητα εντός του συστήµατος αναφοράς S, του οποίου οι άξονες {x,y,z} είναι σταθεροί. x z S Ταχύτητα y z Ταχύτητα Εάν το σύστηµα αναφοράς S κινείται σε σχέση µε το S, η αντιληπτή ταχύτητα του σώµατος στο S µπορεί να είναι διαφορετική από ότι θα την µέτραγε ένας παρατηρητής στο S S x y Η ταχύτητα ενός κινούµενου σώµατος δε γίνεται µε τον ίδιο τρόπο αντιληπτή από όλους τους παρατηρητές. Σχετική ταχύτητα σε αδρανειακά συστήµατα Επειδή η µελέτη µιας κίνησης σχετίζεται πάντα µε κάποιο σύστηµα αναφοράς, είναι απαραίτητο να βρεθεί κάποιος τρόπος ώστε δυο παρατηρητές του ίδιου φαινοµένου από διαφορετικά συστήµατα αναφοράς να µπορούν να συνεννοηθούν µέσω σχέσεων µετασχηµατισµού της θέσης, της ταχύτητας και κάθε άλλου µεγέθους που πιθανόν γίνεται αντιληπτό µε διαφορετικό τρόπο από διάφορα συστήµατα αναφοράς. H συντεταγµένη y µπορεί επίσης να διαφέρει ως προς τα δύο συστήµατα αναφοράς, όχι όµως οι συντεταγµένες x και z ή x και z. x z S Ταχύτητα y ηλ., εάν η ταχύτητα του S σε σχέση µε το S είναι τέτοια ώστε να είναι =0, τότε x =x, y =y+t, z =z, t =t, όπου ένα χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο γεγονότων είναι ίδιο στο καθένα από τα δύο Σ.Α. S x z Ταχύτητα y Όταν ένας παρατηρητής τοποθετηµένος σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς βρίσκει ότι ένα σώµα ηρεµεί τότε ένας άλλος παρατηρητής, τοποθετηµένος σε οποιοδήποτεάλλοαδρανειακόσύστηµααναφοράς, δηλαδή κινούµενο ευθύγραµµα οµαλά ως προς το πρώτο, βρίσκειότιτοίδιοσώµακινείταιµεσταθερή ταχύτητα, Άρα και οι δυο, βασιζόµενοι στην αξιωµατική απαίτηση του ου νόµο της κίνησης, συµπεραίνουν ότι δεν ασκείταιεπάνωτουκάποιαδύναµη. Τοσυµπέρασµααυτόδενείναιαποδεκτόαπότους παρατηρητές που βρίσκονται σε µη αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Ο Νεύτωνας διατύπωσε το αξίωµα ότι υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα αδρανειακό σύστηµα Ρ. Κάθε άλλο σύστηµα Ρ που κινείται µε σταθερή ταχύτητα ως προς το Ρ είναι επίσης αδρανειακό. Αντίθετα εάν ένα άλλο σύστηµα Ρ επιταχύνεται ως προς το Ρ, τότε το Ρ είναι µη-αδρανειακό σύστηµα Ως προς ποιο Σ.Α. µετράµε τα µεγέθη a; ; r;

10 Ο ος νόµος της κίνησης προϋποθέτει την ισχύ του ου νόµου που διασφαλίζει την ύπαρξη των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς Καθώς δηλώνει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η καταγραµµένη επιτάχυνση κάθε σώµατος είναι ανάλογη της ασκούµενης σε αυτό δύναµης: F = m a έτσι υποδηλώνεται ο διανυσµατικός χαρακτήρας της δύναµης και ορίζεται η µάζα ως συντελεστής αναλογίας της δύναµης προς την επιτάχυνση Όµως, εφόσον πρόκειται για ένα σώµα, σε ποιο σηµείο του θα ασκηθεί η συνισταµένη δύναµη ώστε να ισχύσει αυτός ο νόµος; Το προηγούµενο ερώτηµα δεν τίθεται αν ο ος νόµος διατυπωθεί ως εξής: Στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η δύναµη που ασκείται σε ένα υλικό σηµείο προκαλεί σε αυτό ανάλογη επιτάχυνση και η κίνησή του διέπεται από τη θεµελιώδη εξίσωση m (d r/dt )=F Είναι η Γη ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ; Με απόλυτους όρους, προφανώς όχι, αφού επιταχύνεται ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων (a ΓΗΣ = m/s ), εξ αιτίας της περιστροφής περί τον άξονά της και την περιφορά της περί τον Ήλιο Μια τέτοια παραδοχή µπορεί να εξαρτάται από το βαθµό προσέγγισης και ακρίβειας ενός πειράµατος ή µιας σειράς παρατηρήσεων Ένα παράδειγµα, γιατί η Γη δεν είναι Α.Σ.Α. ; Η βαρυτική επιτάχυνση ενός υλικού σηµείου στην επιφάνεια της Γης ως προς το κέντρο της Γης, δεν είναι ίδια σε όλες τις τοποθεσίες καθώς µεταβάλλεται κατά 0.05 m/s (περίπου m/s στους πόλους και m/s στον ισηµερινό) και οφείλεται στο ελλειπτικό σχήµα της Γης και στις φυγόκεντρες δυνάµεις που προκαλούνται από την περιστροφική κίνησή της ποιο Σ.Α. είναι πρακτικά αδρανειακό ; Το σύστηµα των απλανών αστέρων (a < 0-6 m/s ) Ο Ήλιος, µε επιτάχυνση ως προς το κέντρο του Γαλαξία (a Η 3x0-0 m/s ) Όχηµα κινούµενο ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα Μια ακόµα σηµαντική λεπτοµέρεια Πως ορίζεται η έννοια της δύναµης ; Αφού αυτή δεν µπορεί να ορισθεί από τον ο νόµο ως το γινόµενο της µάζας επί την επιτάχυνση αλλιώς κάνουµε λογικό κύκλο. Χρειάζεται µια έκφραση που να περιγράφει µ ένα ανεξάρτητο τρόπο την αλληλεπίδραση της µάζας m µε το περιβάλλον της ΟΝεύτωναςείδετην αναγκαιότητα να ερµηνεύσει µε τη βοήθεια του δεύτερου νόµου τις κινήσεις των ουρανίων σωµάτων αναγνωρίζοντας ότι ηδύναµηείναιγενικάηαιτίαµεταβολήςτης κινητικής κατάστασης των σωµάτων (δηλαδή αυτή πουταεπιταχύνειήταεπιβραδύνει ) Αυτόισχύεικαιγιατηνπεριστροφήτους, που µπορεί να επιταχυνθεί ή να επιβραδυνθεί. Μύθος ή ιδιοφυής διαπίστωση η βαρύτητα σε δράση η δύναµη που κάνει ένα µήλο να πέφτει στο έδαφος, είναι η ίδια ακριβώς δύναµη που κάνει και τη Σελήνη να κινείται γύρω από τη Γη ; Principia Mathematica:... Συµπέρανα ότι οι δυνάµεις που συγκρατούν τους πλανήτες στην τροχιά τους πρέπει να είναι αντιστρόφως (ανάλογες) ως προς τα τετράγωνα των αποστάσεων από τα κέντρα γύρω από τα οποία περιφέρονται και εξ αυτού συνέκρινα τη δύναµη που απαιτείται για να συγκρατεί τη Σελήνη στην τροχιά της µε την ισχύ της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης. Και τις βρήκα να συµφωνούν µε ικανοποιητική προσέγγιση ".

11 O δρόµος προς τη διατύπωση του νόµου της παγκόσµιας έλξης της βαρύτητας Ο Νεύτωνας είχε ήδη διατυπώσει τους τρεις νόµους της κίνησης όταν ασχολήθηκε µε το πρόβληµα της εξήγησης των νόµων του Κέπλερ και των διαπιστώσεων του Γαλιλαίου για την κίνηση των σωµάτων σε ελεύθερη πτώση Σήµερα γνωρίζουµε ότι η δύναµη της βαρύτητας ασκείται σε κάθε σώµα είτε βρίσκεται στη Γη είτε βρίσκεται στο διάστηµα. Πλέον παύει να έχει νόηµα η διάκριση σε γήινα και ουράνια φαινόµενα οι ίδιοι νόµοι κυβερνούν τόσο την κίνηση µιας µπάλας, όσο και την κίνηση των δορυφόρων του ία!!! Γνώσεις ήδη διαθέσιµες στον Νεύτωνα Η ακτίνα της Γης: ήταν πειραµατικά υπολογισµένη από τον Ερατοσθένη (00 π. Χ.), π RE km RE 667 km και η βελτιωµένη τιµή της από Γάλλους τοπογράφους της εποχής του, RE 639 km και τι γνωρίζουµε εµείς σήµερα Η επιτάχυνση αντικειµένων σε ελεύθερη πτώση, σύµφωνα µε τα πειράµατα του Γαλιλαίου, a = g = 9.8 m/sec Η ελκτική δύναµη της βαρύτητας σε ένα δορυφόρο (δηλ. το βάρος του) είναι η κεντροµόλος δύναµη που τον αναγκάζει στην κυκλική κίνησή του. Η απόσταση της Σελήνης από τη Γη, υπολογισµένη από τον Αρίσταρχο σε ~ 60 RE km Ο δορυφόρος εκτελεί ελεύθερη πτώση, αλλά λόγω της ταχύτητάς του δεν φτάνει ποτέ στην επιφάνεια της Γης Η διάρκεια του (αστρικού) σεληνιακού µήνα, 7.3 days =.36 x 06 sec το κλειδί για την κατανόηση της τροχιακής κίνησης Σελήνη F Γη αµοιβαίες έλξεις µεταξύ τους Επειδή η Γη έχει πιο µεγάλη µάζα ( αδράνεια) από τη Σελήνη, η επίδραση της έλξης της Σελήνης στην κίνηση της Γης είναι µικρή Η ελκτική δύναµη της Γης συνεχώς επιταχύνει τη Σελήνη προς τη Γη. το κλειδί για την κατανόηση της τροχιακής κίνησης Η Γη και η Σελήνη ασκούν Σελήνη F Γη Αυτή η επιτάχυνση αλλάζει συνεχώς τη διεύθυνση της κίνησης της Σελήνης, κρατώντας την σε σχεδόν κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη. Παρόµοια είναι η αιτία της κίνησης των τεχνητών δορυφόρων και η σύνθεση τους από τον Νεύτωνα. Η δύναµη που διατηρεί ένα σώµα σε κυκλική τροχιά εξαρτάται από την ταχύτητα του υ, και την ακτίνα r του κύκλου της κίνησης: Fc=m υ /r κεντροµόλος επιτάχυνση κατευθυνόµενη προς το κέντρο του κύκλου: Fc T ac ac= υ /r

12 . Η Σελήνη διατηρείται σε τροχιά γύρω από τη Γη, ακριβώς γιατί η Γη ασκεί, µε τη βαρυτική έλξη της, την απαιτούµενη κεντροµόλο δύναµη: F c 3. F c είναι ανάλογη του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης Γης-Σελήνης: F c /R EM F c F c Εφαρµογή αυτών των ιδεών, στις περιπτώσεις -της Γης, και -της Σελήνης H σχέση εξάρτησης µε το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης όπως π.χ., οποιαδήποτε σηµειακή πηγή φωτός, ακτινοβολίας, που Είναι ένας καθαρά εξαπλώνει την επιρροή της εξίσου σε γεωµετρικός όλες τις κατευθύνσεις χωρίς όριο νόµος που δίνει τη δυνατότητα µιας ενοποιητικής και µη αποσπασµατικής I ¼ I 9 I προσέγγισης m διαφόρων m φυσικών 3 m φαινοµένων H σχέση εξάρτησης µε το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης Μια εξήγηση για την κίνηση των ουράνιων σωµάτων + µια µαθηµατική σχέση που περιέγραφε µε ακρίβεια τη δύναµη της βαρύτητας π.χ., σε διπλάσια απόσταση r το ίδιο ποσό ενέργειας απλώνεται σε τετραπλάσια (4Α) επιφάνεια, οπότε η ένταση υποτετραπλασιάζεται, m I ¼ I 9 I m 3 m Οι σύγχρονοί του Νεύτωνα, Christian Huygens και Robert Hooke, προβληµατίζονταν ήδη µε την ιδέα ότι οι νόµοι του Kepler µπορούσαν να εξηγηθούν µε µία δύναµη έλξης αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης Ο Edmund Halley υποστήριζε ότι η τροχιά των κοµητών οφείλεται στην έλξη που ασκεί πάνω τους ο Ήλιος και ότι η τροχιά τους ικανοποιούσε την ίδια αρχή σύµφωνα µε την ιδέα #3 a Ε := g Ε, η επιτάχυνση της γήινης βαρύτητας σε κάθε σώµα στη επιφάνεια της Γης a M := g EM, η επιτάχυνση της γήινης βαρύτητας στο ύψος της τροχιάς της Σελήνης γύρω από τη Γη (σε απόσταση ~ km) εφαρµόζοντας τη σχέση εξάρτησης µε το αντίστροφο του τετραγώνου της απόστασης F c F c a E /r E (a E / a ΕM ) = r ΕΜ /r E a ΕM /r ΕΜ a ΕM ΕM =υ Μ Μ /r /r ΕΜ ΕΜ σύµφωνα µε την ιδέα # (60/) υ Μ = π r ΕΜ / ιάρκεια Σεληνιακού µήνα =09 m/s a EM = m/s a E = g E = 60 x m/s = 9.8 m/s Σε πλήρη συµφωνία µε την πειραµατική τιµή του Γαλιλαίου F c F c Οι ελκτικές δυνάµεις µεταξύ οποιωνδήποτε δύο (επίγειων ή ουρανίων σωµάτων) είναι ανάλογες του γινοµένου των µαζών τους και αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης µεταξύ των κέντρων µάζας τους Αλλά ποια ήταν η σταθερά της αναλογικότητας? Ο Νεύτωνας, στην Principia, δεν προσδιόρισε ποια ήταν η κατάλληλη σταθερά της αναλογικότητας Σήµερα συµβολίζεται ως G, και σχεδόν 00 χρόνια µετά την αρχική διατύπωση του νόµου της παγκόσµιας έλξης, εκτιµήθηκε για πρώτη φορά µε έναν έµµεσο τρόπο, από τα δεδοµένα ενός πειράµατος που επινόησε ο Γαλλοβρετανός φυσικός Henry Caendish G, η παγκόσµια σταθερά έλξης Henry Caendish - Γάλλος φυσικός. Φοίτησε στο Κέµπριτζ (749-53) χωρίς να πάρει πτυχίο τελικά!!! Ο πρώτος που επιχείρησε, το , 98, να µετρήσει την πυκνότητα της Γης (το βάρος της Γης!!!) Ήταν η πρώτη πειραµατική απόδειξη του νόµου του Νεύτωνα για την παγκόσµια έλξη

13 Παγκόσµια σταθερά έλξης G Πως ξέρουµε ότιητιµή τιµήτου Gέχει φυσική σηµασία και πως υπολογίζεται? ΟΝεύτωνας προέβλεψε ότι πρέπει να έχει φυσική σηµασία. Υπέθεσε ότι αυτό που έπρεπε να κάνει ήταν να υπολογίσει πειραµατικά τη δύναµη µεταξύ δύο σωµάτων γνωστής µάζας και της µεταξύ τους απόστασης. Αλλά δεν είχε τα τεχνολογικά µέσα να κάνει ένα τέτοιο πείραµα. Κάτι τέτοιο έγινε εφικτό πολύ αργότερα, το 798, από ένα πείραµα του Caendish που στόχευε να ζυγίσει τη Γη!!! Μέτρηση της παγκόσµιας σταθεράς έλξης Η κύρια δυσκολία που έπρεπε να παρακάµψει o Caendish είναι ότι οι βαρυτικές ελκτικές δυνάµεις που συναντώνται στην καθηµερινότητα µας είναι αδύναµες, και γίνονται αισθητές µόνο για σώµατα µε πολύ µεγάλες µάζες (π.χ. τους πλανήτες) και συνεπώς το µέγεθος της ελκτικής δύναµης µεταξύ µικρών µαζών είναι επίσης πολύ µικρό πολύ µικρή τιµή του G Ωστόσο, το πέτυχε µε το φερώνυµο πείραµά του που έχει χαρακτηριστεί ως ένα από τα σηµαντικότερα µέχρι σήµερα επιστηµονικά πειράµατα της Φυσικής Το πείραµα του Caendish Bασίζεται στην θεωρία της φθίνουσας ταλάντωσης ενός ζυγού στρέψης ή στροφικού εκκρεµούς. Για να αποφευχθεί η επίδραση τυχόν ρευµάτων του αέρα, η συσκευή ήταν κλεισµένη σ' ένα δωµάτιο και οι παρατηρήσεις γίνονταν απ' έξω µε τηλεσκόπια Το πείραµα του Caendish Η µετρητική διάταξη που χρησιµοποιήθηκε, αποτελείτο από µία αβαρή ράβδο που στα άκρα της είχε προσαρµοσµένες µικρές µάζες ζυγός στρέψης µε την ικανότητα να στρέφεται κάτω από την επίδραση εξωτερικών ροπών στρέψης Στην σύγχρονη έκδοση του... Ένας ζυγός αποτελούµενος από δύο µικρές σφαίρες µολύβδου στερεωµένες σε µια λεπτή ράβδο που κρέµεται από µια λεπτή ίνα ή µεταλλικό στέλεχος. Ο ζυγός στρίβει µέχρις ότου η ροπή από την ίνα = οποιαδήποτε εξωτερική ροπή που εφαρµόζεται στο ζυγό. Ένας µικρός καθρέπτης είναι συνδεδεµένος µε το ζυγό για τον καθορισµό της γωνίας συστροφής. Στις σύγχρονες αντίστοιχες συσκευές ύο µεγάλες µεταλλικές σφαίρες τοποθετούνται κοντά στις µικρές σφαίρες του ζυγού στρέψης. Οι ελκτικές δυνάµεις της βαρύτητας µεταξύ των µικρών και µεγάλων σφαιρών δηµιουργούν µια ανεπαίσθητη στροφή του ζυγού στρέψης. Στις σύγχρονες αντίστοιχες συσκευές η µέτρηση της γωνίας συστροφής γίνεται µε τη χρήση ακτίνων λέιζερ που ανακλώνται σε ειδικούς καθρέπτες. Η δέσµη του λέιζερ στρέφεται ανάλογα. Όταν ο ζυγός στρέψης επανέρχεται σε κατάσταση ηρεµίας, η ροπή από το νήµα εξισορροπεί την ορµή που προκαλούν οι ελκτικές δυνάµεις βαρύτητας. Το πείραµα του Caendish Τυπική µετρητική διάταξη Laser deflector Η ροπή στις µάζες m προκαλεί το νήµα να στρέφεται και τον καθρέπτη να στρέφεται επίσης από τη θέση ηρεµίας του σε µια νέα θέση. Τριβή προκαλεί ταλάντωση Μετροκανόνας Η Αρχή Μέτρησης του G x Normal to mirror φ L LASER Για µια σύγχρονη εκδοχή του πειράµατος δείτε

14 Από το νόµο των συνηµίτονων: M Η Αρχή Μέτρησης του G Η Αρχή Μέτρησης του G Η δεξιά µάζα, m, υφίσταται µια ροπή (εξ αιτίας της έλξης) Στην πραγµατικότητα, η µέτρηση είναι εξαιρετικά ευαίσθητη σε κάθε έστω και µικρή δόνηση που θα προέλθει από τον περιβάλλοντα χώρο r = r = R + R R R cosθ R + R + R R cosθ και το νόµο των ηµίτονων: R sin( π α) = sinα = sinθ r R R sin β = sin( π θ ) = sinθ r r θ m m β θ F α R r r M F R καθρέπτες Χρήσιµες σχέσεις: cos( a ± b) = cos a cosbm sin a sin b sin( a ± b) = sin a cosb ± cos asin b και αντίστοιχα η αριστερή µάζα, m, µια ροπή Η συνολική ροπή είναι το άθροισµα των δύο ροπών Γι αυτό χρειάζεται αρκετός χρόνος,... να αφεθεί ελεύθερο το σύστηµα να ισορροπήσει από µόνο του Ζυγίζοντας τη Γη Από το ο νόµο του Νεύτωνα: Από το νόµο της παγκόσµιας έλξης: και θεωρώντας τη Γη ως µια σφαίρα οµοιόµορφης πυκνότητας ρ: Ηπυκνότητα της Γης Ηπειρωτικός φλοιός:.7 to 3.0 Ωκεάνιος φλοιός: 3.0 to 3.3 Μανδύας: 3.3 to 5.7 (αυξανόµενη µε το βάθος?) Εξωτερικός πυρήνας (υγρός): 9.9 to. Εσωτερικός πυρήνας (στερεός):.6 to 3.0 Η µέση πυκνότητα της Γης είναι 5.55 gr/cm 3, που την κατατάσσει ως τον πυκνότερο πλανήτη του ηλιακού συστήµατος Τα αποτελέσµατα του Caendish Ο Henry Caendish εκτέλεσε το πείραµα του 9 φορές και κατέληξε στις παρακάτω τιµές για την πυκνότητα της Γης (ως πολλαπλάσιο της πυκνότητας του νερού= gr/cm 3 ): 5.5, 5.6, 4.88, 5.07,, 5.6, 5.55, 5.36, 5.9, 5.58, 5.65, 5.57, 5.53, 5.6, 5.9, 5.44, 5.34, 5.79, 5., 5.7, 5.39, 5.4, 5.47, 5.63, 5.34, 5.46, 5.3, 5.75, 5.68, Η µέση πυκνότητα της Γης από τα πειράµατα του Caendish = 5.48 (median=5.46) gr/cm 3 Η σηµερινά αποδεκτή τιµή είναι 5.55 gr/cm 3 Μεταβάλλεται η σταθερά G; Από τα πειράµατα του Caendish υπολογίστηκε η τιµή της σταθεράς G ως 6.754x0 - m 3 kg - s - Το 889, ο Charles Vernon Boys πρότεινε στη Βρετανική Ακαδηµία την τιµή x0 - m 3 kg - s - To 930, Ο Paul Heyl πραγµατοποίησε ένα ακριβέστερο προσδιορισµό, 6.673±0.003)x0 - m 3 kg - s - Η σηµερινή αποδεκτή τιµή είναι x 0 - m 3 kg - s -!!! Σήµερα υπολογίζεται µε υψηλή ακρίβεια από δορυφόρους η σταθερά µ=gm Γης Παγκόσµια σταθερά έλξης F έλξη = G m m / L Υπερσύγχρονες µετρητικές διατάξεις: Βασισµένες στις ίδιες φυσικές αρχές Παγκόσµια σταθερά έλξης Σύγχρονες µετρητικές διατάξεις: νέες προηγµένες τεχνικές

15 Παγκόσµια σταθερά έλξης Σηµερινά υιοθετηµένη τιµή (CODATA, 00) G = ( ± ) 0 - m 3 kg - s - Νόµος της παγκόσµιας έλξης Ελκτική δύναµη της βαρύτητας Το µέγεθος µιας δύναµης έλξης F δίνεται από τη σχέση GmM F = = F r m και M είναι οι αντίστοιχες µάζες των δύο αντικειµένων, r είναι η µεταξύ τους απόσταση (από κέντρο-σε-κέντρο µάζας) και G είναι η σταθερά της αναλογικότητας, η σταθερά της παγκόσµιας έλξης: G=6.67x0 - m 3 kg - s - Big G is the Mt. Eerest of precision measurement science, and it should be climbed, J. Faller. εληκαράογλου M r m Νόµος της παγκόσµιας έλξης Ελκτική δύναµη της βαρύτητας Η διεύθυνση της δύναµης της βαρύτητας είναι ελκτική, και ασκείται κατά µήκος της γραµµής που συνδέει τα κέντρα µάζας των δύο αντικειµένων. Η έλξη της βαρύτητας ασκείται από απόσταση και ενεργεί στιγµιαία F r r r F = F Οι βαρυτικές επιδράσεις θα διαδίδονταν µε άπειρη ταχύτητα; F r r GmM F = rˆ r Νόµος της παγκόσµιας έλξης Ελκτική δύναµη της βαρύτητας Η διεύθυνση της δύναµης έλξης είναι αντίθετη του µοναδιαίου διανύσµατος κατά τη διεύθυνση του σηµείου υπολογισµού (δηλ. της ελκυόµενης µάζας) αναφορικά µε την έλκουσα µάζα m F r -έλκουσα µάζα -ελκόµενη µάζα rˆ F r = r ˆ rˆ r F = F ˆr ˆr Αρχή συστήµατος συντεταγµένων ο rˆ r GmM F = rˆ r Συνιστώσες της ελκτικής δύναµης της βαρύτητας F F 3 F r r F( ) = [ F ( ), F = [ F ( x, y, z), F r r ( ), F ( )] ( x, y, z), F ( x, y, z)] = [ F cos a, F cos β, F cosγ ] 3 3 Συνιστώσες της ελκτικής δύναµης της βαρύτητας F F 3 F Gm x ξ Gm y η Gm z ζ F( r ) = [,, ] l l l l l l l = ( x ξ ) + ( y η) + ( z ζ ) Την επόµενη φορά θα επανέλθουµε να συζητήσουµε τις νεώτερες θεωρήσεις για τη βαρύτητα από τον Αϊνστάιν