ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Transcript

1 Επώνυμο: Όνομα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ --7 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Α. Θεωρία Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Σ Μονάδες Θέμα Β Β. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ α,β ], και παραγωγίσιμη στο ( α,β ). Να f ( α) f( γ) αποδείξετε ότι υπάρχει γ ( α,β) τέτοιο ώστε f ( γ) = β γ Σείδα από 8

2 Θεωρούμε την συνάρτηση Φ ( β) f f( α) = για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Roll στο [ α,β ], άρα υπάρχει γ ( α,β) τέτοιο ώστε f ( γ) f( γ) f α = β γ. Β. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: f f = με f = για την οποία ισχύει: Μονάδες 7 α) Να δειχθεί ότι f =, ( ) f f = f = f f = f Άρα f = c Για = έχουμε c = Συνεπώς f = β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτο στο lim f = lim ( ) = lim = Αφού ( ) Dl lim = lim = lim = άρα η f δεν δέχεται οριζόντια ασύμπτωτο στο γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει εάχιστη τιμή την μ = ln4 = = f ln > > > Κατασκευάζουμε των πίνακα μεταβοών της f Η συνάρτηση παρουσιάζει εάχιστη τιμή στο ln είναι f ( ln) = ln = ln4 = ln που Σείδα από 8

3 δ) Να υποογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικείεται από τη C f, την εφαπτομένη C f στο σημείο ( ) συνάρτησης f. A,f και την ευθεία = όπου η θέση του οικού εαχίστου της Η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο Α είναι y f = f y = y = ln ln Το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε Ω = f d = d g = Η συνάρτηση g = έχει ρίζα g = και της Όταν > > g > άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα όταν g και έχουμε ln τ.μ. ln Ε Ω = d = = ln ln, και έτσι ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f = ( ) ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (,] γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ) f ln ln = και =. Στη συνέχεια να βρείτε το σύνοο τιμών της f = (( ) ) =, παρατηρούμε ότι f = f = ln = > άρα η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και Όταν > f > f f > ενώ όταν Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβοών της συνάρτησης < < f < f f < Σείδα από 8

4 Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ. Στο = παρουσιάζει οικό εάχιστο που είναι = θα είναι lim f Επειδή lim ln lim ln = θα είναι lim f = Τότε f ( Δ ) = [, ) και f ( Δ ) = [, ) άρα το σύνοο τιμών της συνάρτησης είναι f Α = f Δ f Δ =, [ ) f = = και επειδή Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =, > έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την = ln = ln ln = f = Αφού f ( Δ ) θα υπάρχει (,) ώστε ρίζα > θα είναι μοναδική Αφού f ( Δ ) θα υπάρχει (, ) ώστε η ρίζα > θα είναι μοναδική Συνεπώς η δοσμένη εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες f = και επειδή η f είναι - στο Δ η f = και επειδή η f είναι - στο Δ Γ. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f f = Θεωρούμε την συνάρτηση Φ = f Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ], είναι παραγωγίσιμη στο ( ) Φ = f f Φ = f = Φ = f =, με Σείδα 4 από 8

5 Σύμφωνα με το θεώρημα του Roll θα υπάρχει (, ) Φ = f f = ώστε Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g = f με >, τον άξονα ' και την ευθεία = g = f = ( ) ln Η συνάρτηση g τέμνει τον άξονα ' στο = άρα αφού στο διάστημα οοκήρωσης = = ( ) = (( ) ) Ε Ω g d ln d ln d και ln Κ.Π. Ε ( Ω) = (( ) ln ) d = ln d = ln d = d = = = = = τ.μ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f = Δ. Να μεετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = {,} f = = = < Δ < άρα > αφού το τριώνυμο έχει Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα = ( ), Δ = (,) και Δ (, ) Δ, = και δεν έχει ακρότατα Σείδα από 8

6 Δ. Να βρείτε το πήθος των ριζών της εξίσωσης διαστήματα του πεδίου ορισμού της ημ ημ ημ = σε καθένα από τα f lim Και επειδή lim = σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβοής Συνεπώς αναζητούμε της ρίζες της εξίσωσης f = ημ lim = Υποογίζουμε τα όρια σε κάθε σημείο του πίνακα μεταβοών της συνάρτησης lim f = lim = lim = lim = lim f lim = = lim f lim = = lim f lim = = lim f lim = = Επειδή > <,,, <, > lim f = lim = lim = lim = Όταν Δ, f ( Δ ) = (,) και f = δεν έχει ρίζα αφού Σείδα 6 από 8 f Δ

7 Όταν Δ, f ( Δ ) = και αφού η γνησίως φθίνουσα άρα και - στο Δ f Δ f = έχει μοναδική ρίζα επειδή είναι Όταν Δ, f ( Δ ) = (, ) και f = δεν έχει ρίζα αφού f Δ Καταήξαμε οιπόν στο ότι η δοσμένη εξίσωση έχει μία και μοναδική ρίζα στο (,) Δ. Να δείξετε ότι Θέτουμε ln = ω Όταν Όταν f ln < d < 8 = είναι ω = = είναι ω = Το νέο διαφορικό d = dω f ω dω 8 < < Και η ανίσωση είναι ισοδύναμη με Όμως ω 8, f άρα f f( ω) f f( ω) Η συνάρτηση Α( ω) = f( ω) όμως δεν είναι παντού μηδέν αφού το ίσον ισχύει μόνο για = άρα ω Η συνάρτηση ω Α ω dω > dω > f ω dω f ω dω < Β ω = f ω όμως δεν είναι παντού μηδέν αφού το ίσον ισχύει μόνο για 8 Β ω dω > f ω dω > dω f ω dω > 8 8 f ω dω 8 < < που είναι και το ζητούμενο = άρα Συνεπώς και Δ4. Να υποογίσετε το εμβαδόν E ( ) του χωρίου Ω που περικείεται από τη και τις ευθείες =, =, με < < Επειδή Ε = f d = d < < και f ( Δ ) = (, ) θα είναι Σείδα 7 από 8 C f, τον άξονα ' f > άρα

8 Ε = d (το οοκήρωμα αυτό ανήκει στην κατηγορία Αναζητούμε πραγματικού αριθμούς α, β ώστε α β = = ( α β) α β α = α β = Έτσι θα πρέπει και και α β = β = Α ) για κάθε {,} = = = Τότε Ε d ln( ) ln( ) ln ( ) ln( ) = ( ln( ) ) ( ln ln( ) ) = = ln( ) ln ln( ) τ.μ. Δ. Να υποογίσετε το όριο L = lim ln( ) Ε { } L = lim ln Ε = lim ln ln ln ln Εδώ έχουμε απροσδιοριστία αά με χρήση της ιδιότητας των ογαρίθμων { } L = lim ln ln 7 ln = ln 7 ln 8 = Σείδα 8 από 8