την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του"

Ἰωσήφ Μιχαηλίδης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει x + x + > (x + ) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η C f βρίσκεται πάνω από την (ε ) κοντά στο και πάνω από την (ε ) κοντά στο + 3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 4. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα 5. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της C f 6. Να βρείτε το σημείο της C f που απέχει λιγότερο από το σημείο Α(,) β 7. Να δείξετε ότι f(x)dx > με α < β α 8. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στο x = και έστω η συνάρτηση h(x) = f(x) x έχει ελάχιστο στο τότε να αποδείξετε ότι h( ημx x ) = έχει μοναδική λύση 9. Να αποδείξετε ότι (ln (x + + )) =. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ζ) της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, την παραπάνω εφαπτομένη (ζ) και τον άξονα των τεταγμένων. Έστω συνάρτηση g: R R, g(r) = R, γνησίως φθίνουσα με g() = να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f έχει μέγιστο με τιμή και ύστερα να λύσετε την ανίσωση ((g f)(x) + ) (g (x) ). Να λύσετε την εξίσωση f(x) = συν(x + ) Μαθηματικός Τελευταία Ανανέωση: 3/3/9

2 Ενδεικτική Λύση. Αρκεί να δείξουμε ότι (f(x) + x + ) =. Ισχύει ( x + x + + x + ) = = x + x + x + + x x + x + (x + ) (x + ) = = = Αρκεί να δείξουμε ότι (f(x) (x + )) =. Ισχύει x + x + ( x + x + (x + )) = x + x [ + x + x + + = x ] =. Ισχύει x + x + > x + x + = (x + ). Επομένως στο είναι f(x) = > (x + ) = x + = x Δηλαδή η C f βρίσκεται πάνω από την ασύμπτωτη y = x Όμοια στο + είναι f(x) = > (x + ) = x + = x + Δηλαδή η C f βρίσκεται πάνω από την ασύμπτωτη y = x + 3. Πεδίο ορισμού D f = R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων τότε x + f (x) =, x R. Οπότε για x > ισχύει f (x) > οπότε f γνησίως αύξουσα στο [, + ) και για x < ισχύει f (x) < οπότε f γνησίως φθίνουσα στο Τελευταία Ανανέωση: 3/3/9

3 (, ] και η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στη θέση x = με τιμή f( ) = 4. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη τότε x (x + ) + x + (x + ) f (x) = x = + x + οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R = (x + x + ) > 5. Με βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της f είναι 6. Η συνάρτηση της απόστασης είναι d(x) = (x ) + ( ) = x x + 6 Με πεδίο ορισμού το R. Είναι παραγωγίσιμη με x d (x) = x x + 6 d (x) = x = Για x > τότε d (x) > οπότε η συνάρτηση d είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και για x < τότε d (x) < οπότε η συνάρτηση d είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. Η d παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x = με τιμή d ( ) =. Άρα το σημείο που απέχει τη λιγότερη απόσταση είναι το Σ(, ) 7. Ισχύει ότι f(x) > τότε f(x)dx > β α Τελευταία Ανανέωση: 3/3/9

4 8. Ισχύουν f() = και f () = τότε y f() = f ()(x ) y = x + Επειδή η συνάρτηση g είναι κυρτή θα ισχύει h(x) x + με την ισότητα να ισχύει μόνο για x =. Ισοδύναμα h(x) x + f(x) x.τότε η εξίσωση γράφεται h( ημx x ) = h( ημx x ) = h() h 9. Πράξεις ημx x = x =. Έστω Γ(x, f(x )) το σημείο επαφής της C f με τη ζητούμενη εφαπτομένη (ζ) τότε (ζ): y f(x ) = f (x )(x x ) x=y= f(x ) = f (x )x x x + + x + = x x + x + x = Προκύπτει ότι (ζ): y = x. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε = f(x) + x dx = (f(x) + x) dx = f(x)dx + xdx Έστω I = dx = (x) dx = = + = [x x x + + x + ] x dx = x + x dx = x + x + x dx = Τελευταία Ανανέωση: 3/3/9

5 = x + x + dx + x + dx + dx = = dx + (x + x + ) dx + [ln (x + + x + x + )] = I + [] + ln( + ) ln ( + ) Επιπλέον I = I + + ln ( + + ) I = + ln ( + + ) I = + ln ( + + ) xdx Το ζητούμενο εμβαδόν είναι = = [ 4 x ] =. Ισχύει για κάθε x R ότι + ln( + ) = + ln( + ) Ε = + ln( + ) = + ln( + ) f(x) f( ) g g(f(x)) g(f( )) (g f)(x) g() = Οπότε η g f παρουσιάζει μέγιστο με τιμή - Δηλαδή (g f)(x) + ((g f)(x) + ) (g (x) ) (g (x) ). f(x) = συν(x + ) Ισχύει f(x) για x = και συν(x + ) με συν(x + ) = όταν x = οπότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση το x = g (x) g x g() x Τελευταία Ανανέωση: 3/3/9

Σχετικά έγγραφα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα