ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 Ενδεικτικές απαντήσεις

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 Ενδεικτικές απαντήσεις Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 35 Α. α. Ψ β. Παράδειγμα η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ Θέμα Β Β. Είναι D { D : g( ) D } f o g g f Πρέπει και g( ) ( ) ( ) ( f o g)( ) f ( g( )) ln g( ) ln, D f og (,) B. Είναι (,) με h( ) h( ) ln ln ( ) ( ) Άρα h - οπότε υπάρχει αντίστροφη y h( ) y ln y y y y y y ( ),, y R y y y y y Ισχύει y για κάθε y y y R οπότε h( A) R D h

2 οπότε h ( ), R B3. ( ) h ( ), R ' ( )'( ) ( )' '( ) ( ) ( ) ( ) Είναι, R,( ), R οπότε '( ), R δηλαδή η φ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R και δεν παρουσιάζει ακρότατα. ' ( )'( ) (( ) )' ''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ''( ) ( ) ''( ) ''( ) φ () + - φ() κυρτή κοίλη Σημείο καμπής για = το (, ), () B. Για την φ() είναι: lim ( ) lim lim ( ) lim lim lim ( ) Οπότε η γραφική παράσταση της φ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την y= και στο την y=

3 Και η γραφική της παράσταση είναι η εξής: Θέμα Γ Γ. Έστω (, f ( )) το σημείο επαφής με την C f Η εφαπτομένη είναι της μορφής ( ) : y f ( ) f '( )( ) f '( ) ( )' και, ή ( ) οπότε προκύπτει: ( ) Έστω συνάρτηση ( ) () Είναι ( ) και '( ) ( )' ( ) [, ] π '( ) ( ) ή = ή =π '( ) '( ), (, ), ημ>

4 π φ () - + φ() ( ) Η φ στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, οπότε ( ) για κάθε (, ) και οι, είναι οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης ( ) Άρα για = είναι ( ) : y f () f '()( ) y y και για =π είναι ( ) : y f ( ) f '( )( ) y ( ) y Γ. Η C f τέμνει τον στα σημεία Ο(,) και Β(π,) Είναι [, ] f ( ) d d d ( ) ( ) ( )

5 Οπότε 8 Γ3. Είναι lim( f ( ) ) lim( f ( ) ) και f ( ) f ( ) άρα f ( ) lim f ( ) αφού f ''( ), (, ) f κυρτή [,π] άρα f ( ) f ( ) με το ίσον να ισχύει μόνο στο σημείο επαφής =π Γ. Στο [,] ισχύει f ( ) f( ),, f ( ) f ( ) f ( ) d d d d [ ] [ln ] d (ln ) f( ) d Θέμα Δ Δ. Αν [, ) ή (, ] η f είναι συνεχής σαν αποτέλεσμα πράξεων με συνεχείς συναρτήσεις 3 lim f ( ) lim f () lim f ( ) lim f ( ) οπότε η f είναι lim f ( ) f () συνεχής και για = δηλαδή είναι συνεχής στο διάστημα [-,π] Για [, ) είναι ' ' f '( ) ( )' ( ) ( ) 3 3

6 Για (, ] είναι f '( ) ( )' ( ) f '( ) ( ) 3 κρισιμο σημειο f ( ) f () ( ) ( ) 3 lim lim lim lim lim( ) f ( ) f () lim lim lim( ) f ( ) f () f ( ) f () Συνεπώς αφού lim lim = το οποίο είναι κρίσιμο σημείο. η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Δ. Για [, ) η f '( ) είναι αδύνατη Για (, ] είναι f '( ) ( ) 3 3 Επιλεγμένο 5 6 g( ) 3 g( ) + - π

7 ( ) + - f f ΤΜ ΤΕ ΤΜ ΤΕ Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο =- το π 3 f ( ) ( ) και στο το f ( ), τοπικό ελάχιστο στο = το f()= και στο π, το f(π)=. Οπότε 3 3 f ( A) [,] [, ] [, ] Δ3. Ισχύει 5, αφού <, (, ) Οπότε d ( ) d d d I I I d 5 5 d ( )' d d ( )' d ( ( ) d) d 5 Άρα 5

8 Δ f ( ) ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 f ( ) f ( ) f ( ) 3 3 f ( ) f ( ) 3 Φανερά ρίζα της 3 Από το (Δ) είναι f ( ) f ( ), [, ] αφού η f παρουσιάζει μέγιστο στο 3 3 3, οπότε f ( ) f ( ) με το ίσον να ισχύει μόνο για και 3, R με το ίσον να ισχύει μόνο για 3 3 Άρα f ( ) f ( ) αδύνατη αν 3 3 Άρα μοναδική ρίζα 3 Επιμέλεια λύσεων Μιχάλης Γράβας Ηλίας Πίτης