dr. sc. Tomislav Hrestak, dipl. ing. rud. VIADUKT d.d. Zagreb
|
|
|
- Καλλιστώ Καλύβας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2D I 3D MODELIRANJE METODOM KONAČNIH ELEMENATA NA PRIMJERIMA NEDAVNO IZVEDENIH TUNELA U HRVATSKOJ dr. sc. Tomislav Hrestak, dipl. ing. rud. VIADUKT d.d. Zagreb 1
2 Sadržaj 1. Uvod 2. Analitička rješenja 3. Metoda konačnih elemenata 4. Numeričko modeliranje 5. Tunel Javorova kosa 6. Tunel Škurinje II 7. Zaključak
3 1. Uvod - Tunel kao konstrukcija izvodi se u stijenskom masivu nepoznatih karakteristika za razliku od drugih inženjerskih konstrukcija izrañenih od materijala unaprijed propisanih karakteristika. - Izvedbeni projekt je gotov tek po završetku iskopa. - Za izvedbeni projekt i projekt izvedenog stanja važne su povratne analize. - Kod izbora metode iskopa i povratnih analiza provodi se numeričko modeliranje ravninskim (2D) i prostornim (3D) modelima. 3
4 1. Uvod - Kod numeričkog modeliranja koristimo programe koji se zasnivaju na mehanici tla i mehanici stijena. - Većinom su u upotrebi 2D modeli metode konačnih elemenata. - Suvremeniji programi koriste 3D metodu konačnih elemenata, 3D metodu konačnih razlika ili 3D metodu diskretnih elemenata - Najčešće korišteni komercijalni programi za modeliranje su: FLAC, PLAXIS, TNO-DIANA, UDEC, GEO5 FEM, PHASE 2, ANSYS... ili programi napisani za vlastite potrebe, unutar akademske zajednice OXFEM, RUBNI. 4
5 1. Uvod Rezultati proračuna: - stanje naprezanja i deformacija stijene/tla tijekom iskopa, - dimenzioniranje podgradnog sklopa, - konvergencije u tunelu - slijeganje površine terena pri iskopu tunela u urbanim sredinama i portalnih dionica. Dok su pomaci konture iskopa konvergencije sastavni dio iskopa i kao takve su ukalkulirani rizik, proračun slijeganja je veoma važno, obzirom da slijeganje površine terena može prouzročiti veliku materijalnu štetu. 5
6 1. Uvod London,
7 1. Uvod Metro München,
8 2. Analitička rješenja Za proračun naprezanja i deformacija promatra se otvor na nekoj dubini. Teorija elastičnosti objašnjava naprezanja uz otvor za homogen, izotropan i elastičan materijal. Za odreñeni broj problema postoje analitička rješenja. Funkcija naprezanja: Φ = Φ(x, y,z) 4 Φ=0 Funkcija pomaka: Φ = Φ(u, v, z) 8
9 Kirschovo rješenje za kružni otvor (1898.) za vertikalno opterećenje p v 2. Analitička rješenja Naprezanja: ϕ + + = σ 2 cos r 4a r a 3 1 r a 1 2 p v r ϕ + + = σϕ 2 cos r a 3 1 r a 1 2 p v ϕ + = τ ϕ 2 sin r a 2 r a p v r 9
10 2. Analitička rješenja Pomaci u radijalnom i tangencijalnom smjeru: pv + ph a ph pv a a = + 4(1 ν) cos2ϕ 4G r 4G r r u r ph + pv a a = 2(1 2ν) + sin 2ϕ 4G r r u t 2 10
11 2. Analitička rješenja Rješenje T. Pöschla za eliptični otvor Funkcija naprezanja Φ funkcija je eliptičnih koordinata ξ i η: Φ = p ( 2 2 ) 2 2( ξ ξ0 ) a b sh2ξ cos 2α e 2( ch2ξ + cos 2 ) 8 + α ξ + 2ξ0 [ ch2( ξ ξ ) 1] e cos 2( η α) 0 11
12 σ ηη + = Φ Φ Φ h h η η ξ ξ η σ ξξ + = Φ Φ Φ h h h h h Analitička rješenja η η ξ ξ ξ ηη h h h η ξ ξ η η ξ τ ξη + + = Φ Φ Φ h h h h h ( ) ξ 2η cos = ch c h
13 2. Analitička rješenja Odnos horizontalnih i vertikalnih naprezanja Vertikalno naprezanje na nekoj dubini: Odnos horizontalnih i vertikalnih naprezanja: Izraz Jaky-a za elastično stanje i manje dubine nadsloja: σ z = ρ g h σ k = σ h v k = 1 sinϕ Terzaghi Richart, slučaj spriječenih deformacija za elastično stanje: k ν = 1 ν k = 0,25 + 7E(0,001+ Sheorey, elastostatički termalni model: ) 1 H 13
14 3. Metoda konačnih elemenata Složeniji problemi - nepravilna geometrija, nelinearno ponašanje τ materijala, rubni uvjeti ne mogu se riješiti analitički već postoje približna rješenja nekom od numeričkih metoda. Metodom konačnih elemenata moguće je obuhvatiti složenu geometriju c kontinuuma, rubnih uvjeta te pratiti promjene naprezanja i deformacija koja se javljaju prilikom različitih faza opterećenja ili iskopa. σ σ t 14
15 3. Metoda konačnih elemenata τ c σ t σ Tipski poprečni presjek cestovnog tunela 15
16 3. Metoda konačnih elemenata Metoda konačnih elemenata temelji se na diskretizaciji promatranog područja. Umjesto elemenata diferencijalno malih dimenzija d x, d y, i d z, promatra se dio područja konačnih dimenzija, konačni element. τ Kontinuum sa beskonačno mnogo stupnjeva slobode zamjenjujemo diskretnim modelom meñusobno povezanih konačnih elemenata s konačnim brojem stupnjeva slobode. c σ t σ c σ 16
17 3. Metoda konačnih elemenata 2D analiza τ Konačni elementi 3D analiza 2D rotacijsko simetrična analiza c σ t σ 17
18 a) metodu deformacija, b) metodu sila, c) mješovitu (hibridnu) metodu. 3. Metoda konačnih elemenata Najviše je u primjeni metoda deformacija koja uzima pomake/deformacije u čvorovima elemenata kao osnovne nepoznate veličine, koji se odreñuju iz uvjeta ravnoteže. Prema načinu na koji se izvode i formuliraju jednadžbe za pojedine konačne elemente razlikujemo: - direktnu metodu, - varijacijsku metodu, - metodu reziduuma, - metodu energetskog balansa. 18
19 3. Metoda konačnih elemenata U rješavanju problema izdvaja se nekoliko značajnijih koraka: 1. Diskretizacija kontinuuma, 2. Odreñivanje matrice krutosti konačnog elementa, 3. Popunjavanje globalne matrice krutosti, 4. Zadavanje rubnih uvjeta, 5. Rješavanje globalnog sustava jednadžbi (odreñivanja polja pomaka) 6. Proračun deformacija i naprezanja. σ 19
20 4. Numeričko modeliranje Modeliranje u geotehnici se sastoji od dva osnovna koraka: 1. Odreñivanje početnog stanja naprezanja (in situ) u stijeni/tlu na osnovi laboratorijskih ispitivanja uzoraka i inženjersko-geoloških podataka. 2. Simulacija iskopa tunela ili neke druge geotehničke grañevine, izračunavanje novonastalog stanja naprezanja i deformacija. 20
21 4. Numeričko modeliranje Osnovne faze rada kod numeričkog modeliranja: 1. Analiza problema (gustoća mreže, tipovi elemenata). 2. Izbor odgovarajućeg konstitutivnog modela. 3.Odreñivanje geomehaničkih karakteristika za odabrani konstitutivni model 4. Odreñivanje rubnih uvjeta i opterećenja. 5. Izvoñenje analize. Korišteni programi: SAGE CRISP 4 za ravninske probleme (2D) Plaxis 3D TUNNEL za prostorne probleme (3D) 21
22 Blok dijagram faza rada SAGE CRISP 4 4. Numeričko modeliranje 22
23 Blok dijagram Plaxis 3D Tunnel 4. Numeričko modeliranje 23
24 4. Numeričko modeliranje 2D mreža konačnih elemenata 3D mreža konačnih elemenata 15-čvorni klin 3D kod programa PLAXIS 24
25 4. Numeričko modeliranje Karakteristični konstitutivni modeli materijala SAGE CRISP 4 - linearno elastičan i linearno promjenjiv modul elastičnosti s dubinom - idealno elasto-plastičan: von Mises, Tresca, Mohr-Coulomb i Drucker-Prager - elastoplastičan model kritičnog stanja: Cam-clay, modificirani Cam-clay, Schofieldov model - hiperbolni model: Duncan i Chang. PLAXIS 3D TUNNEL - linearno-elastičan model, - Mohr-Coulombov model, - pukotinski stijenski model, - model očvršćivanja tla (elastoplastični hiperbolni model), - model puzanja tla, za konsolidacijske analize. 25
26 4. Numeričko modeliranje a) Elastični konstitutivni model Jednadžba elastičnog kontinuuma:. σ = D ε D - tenzor elastičnosti. Komponente tenzora elastičnosti: ν, E, G (modul posmika), K (modul obujamske deformacije).. G = µ = 2 E ( 1+ ν) K = 3 E ( 1 2 ν) 26
27 4. Numeričko modeliranje b) Mohr-Coulombov model Do plastičnog popuštanja (loma) dolazi kada maksimalno posmično naprezanje dostigne kritičnu vrijednost: τ τ = c' +σn tanϕ' c σ t σ c σ 27
28 4. Numeričko modeliranje Višefazni iskop po NATM KALOTA KALOTA SREDNJI DIO SREDNJI DIO PODINSKI SVOD PODINSKI SVOD 28
29 5. Tunel Javorova kosa Tunel Javorova Kosa, desna cijev, l = 1490 m 2 Tunel Škurinje II, južna cijev, l = 575 m 29
30 5. Tunel Javorova kosa Portalna dionica - mali nadsloj 1D i 2D H=2D H=D D H=D nadsloj 10 m D D nadsloj 1D nadsloj 2D H=2D H=2D nadsloj 20 m 30
31 5. Tunel Javorova kosa Desna cijev 31
32 5. Tunel Javorova kosa 2D proračun: Tri faze iskopa po NATM 1. Iskop kalote 2. Ugradnja mlaznog betona u kaloti 3. Iskop srednjeg dijela 4. Ugradnja mlaznog betona u srednjem dijelu 5. Iskop podinskog svoda 6. Ugradnja mlaznog betona u podinskom svodu. 32
33 5. Tunel Javorova kosa Tunel Javorova Kosa 2D modeliranje 47 m 80 m nadsloj 20 m 33
34 5. Tunel Javorova kosa Tunel Javorova Kosa 3D modeliranje nadsloj 10 m 34
35 5. Tunel Javorova kosa Tunel Javorova Kosa 3D modeliranje 38 ciklusa iskopa, 76 faza proračuna 35
36 5. Tunel Javorova kosa Geotehnički parametri za paleozojske šejlove: - mmodul elastičnosti E=1,0E+05 kn/m 2 - Poissonov koeficijent ν=0,30 - Odnos σ h /σ v k=0,54 - Kut unutarnjeg trenja ϕ=27 - Kut dilatacije ψ=0 - Kohezija c=40 kn/m 2 - Obujamska težina ρ=22,2 kn/m 3 36
37 5. Tunel Javorova kosa Mlazni beton (debljina 0,30 m) - Modul elastičnosti E=3,0E+06 kn/m 2 - Poissonov koeficijent ν=0,20 - Obujamska težina ρ=25,0 kn/m 3 Cijevni krov (debljina 0,60 m) - Modul elastičnosti E=22 E+06 kn/m 2 - Poissonov koeficijent ν=0,25 - Obujamska težina ρ=33,0 kn/m 3 37
38 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci 2D proračun, nadsloj 10 m bez cijevnog krova, I. faza iskopa iskop kalote 38
39 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci 2D proračun, nadsloj 10 m s cijevnim krovom, I. faza iskopa iskop kalote 39
40 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci 2D proračun, nadsloj 10 m bez cijevnog krova, III. faza iskopa 40
41 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci 2D proračun,nadsloj 10 m s cijevnim krovom, III. faza iskopa 41
42 5. Tunel Javorova kosa 2D proračun Nadsloj 10 m bez cijevnog krova s cijevnim krovom Nadsloj 20 m bez cijevnog krova s cijevnim krovom I. faza iskopa -0,031 m -0,023 m -0,049 m -0,038 II. faza iskopa -0,031 m -0,026 m -0,052 m -0,041 III. faza iskopa -0,029 m -0,022 m -0,047 m -0,034 Maksimalni vertikalni pomaci vrha kalote po fazama iskopa 42
43 5. Tunel Javorova kosa Nadsloj 10 m, 2D proračun Udaljenost od osi tunela (m) Slijeganje (mm) I. faza bez cijevnog krova I. faza s cijevnim krovom II. faza bez cijevnog krova II. faza s cijevnim krovom III. faza bez cijevnog krova III. faza s cijevnim krovom Slijeganja površine terena 43
44 5. Tunel Javorova kosa 3D proračun 44
45 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci - nadsloj 10 m bez cijevnog krova 45
46 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci - nadsloj 10 m cijevni krov 46
47 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci - nadsloj 10 m cijevni krov b) s cijevnim krovom Poprečni presjek 20 m od čela 47
48 5. Tunel Javorova kosa Vertikalni pomaci - nadsloj 20 m vrh kalote cijevni krov 48
49 5. Tunel Javorova kosa 3D proračun Maksimalni pomaci u vrhu kalote u presjeku z=0 (cijeli profil 20 m od čela) bez cijevnog krova s cijevnim krovom vertikalni pomak u y (m) vertikalni pomak u y (m) nadsloj 10 m -0,0297-0,0213 nadsloj 20 m -0,0464-0,
50 5. Tunel Javorova kosa Pomaci vrha kalote za iskop kalote u duljini 5,0 m nadsloj 10 m, cijevni krov Pomaci vrha kalote vrh kalote z=0, u y = 8 mm z=-4, u y = 7 mm 50
51 5. Tunel Javorova kosa Usporedba rezultata mjerenja i rezultata proračuna vertikalnih pomaka u vrhu kalote NADSLOJ 10 m I. faza iskop kalote III. faza iskop cijelog profila izmjereno vertikalni pomak u y (m) 2D proračun 3D proračun -0,009 (100%) -0,023 (255%) -0,008 (89%) -0,026 (100%) -0,022 (85%) -0,021 (81%) NADSLOJ 20 m vertikalni pomak u y (m) izmjereno 2D proračun 3D proračun I. faza iskop kalote III. faza iskop cijelog profila -0,013 (100%) -0,038 (292%) -0,016 (123%) -0,030 (100%) -0,034 (113%) -0,037 (123%) 51
52 Maksimalni horizontalni pomaci, usporedba rezultata mjerenja i rezultata 3D proračuna smjer 5. Tunel Javorova kosa NADSLOJ 10 m izmjereno pomak u x (m) 3D proračun pomak u x (m) poprečna os (x) 0,017 0,012 pomak u z (m) pomak u z (m) uzdužna os (z) 0,019 (bok) 0,027 (jezgra) NADSLOJ 20 m smjer izmjereno proračun pomak u x (m) pomak u x (m) poprečna os (x) 0,011 0,026 pomak u z (m) pomak u z (m) uzdužna os (z) 0,010 (bok) 0,057 (jezgra) 52
53 Stacionaža nadsloj 10 m 5. Tunel Javorova kosa I. faza - Plaxis Vertikalni pomak I. faza - Crisp III. faza Crisp, Plaxis Horizontalni pomak III. faza - Plaxis Pomak uzduž osi tunela 53
54 Stacionaža nadsloj 20 m 5. Tunel Javorova kosa I. faza - Plaxis Vertikalni pomak I. faza - Crisp Horizontalni pomak III. faza Crisp III. faza - Plaxis Pomak uzduž osi tunela 54
55 5. Tunel Javorova kosa Slijeganja površine terena u presjecima z = 0 (20 m od čela) i z = -19 (1 m od čela) Udaljenost od osi tunela (m) Slijeganje (mm) vrh kalote l=1 m od čela bez cijevnog krova cijevni krov l=20 m od čela bez cijevnog krova cijevni krov Nadsloj 10 m, cijevni krov 55
56 6. Tunel Škurinje II 2 2 Tunel Škurinje II, južna cijev, l = 575 m 56
57 6. Tunel Škurinje II SJEVERNA CIJEV JUŽNA CIJEV PRAVNI FAKULTET lokacija mjerenja slijeganja 57
58 6. Tunel Škurinje II Zapadni portal 58
59 6. Tunel Škurinje II 2D proračun - mreža konačnih elemenata 39 m 35 m 80 m 59
60 6. Tunel Škurinje II 3D proračun mreža konačnih elemenata 60
61 6. Tunel Škurinje II Geotehnički parametri za stijensku masu zapadnog portala: - modul elastičnosti E=3,5E+06 kn/m 2 - Poissonov koeficijent ν=0,25 - odnos σ h /σ v k=0,53 - kut unutarnjeg trenja ϕ=28 - kut dilatacije ψ=0 - kohezija c=2000 kn/m 2 - obujamska težina ρ=26,3 kn/m 3 Debljina mlaznog betona d=20 cm. Punoprofilni iskop: korak 1,0 m (izvedeno) korak 2,0 m. 61
62 6. Tunel Škurinje II Efektivna vertikalna naprezanja stacionaža 4+139,00
63 6. Tunel Škurinje II Vertikalni pomaci 2D proračun, punoprofilni iskop 63
64 6. Tunel Škurinje II 3D proračun Vertikalni pomaci, korak iskopa 1,0 m 64
65 6. Tunel Škurinje II 3D proračun Korak iskopa 1,0 m pomaci (mm) Korak iskopa 2,0 m pomaci (mm) Točka u x u y u z u x u y u z Površina terena, z = 0 Vrh kalote, z = 0 Površina terena, z = -10 m Vrh kalote, z = -10 m 0,08-0,610 0,00 0,08-0,618 0,00 0,08-0,904 0,00 0,09-0,948 0,00 0,08-0,528 0,09 0,08-0,538 0,09 0,08-0,854 0,05 0,08-0,865 0,05 65
66 6. Tunel Škurinje II Rezultati proračuna vertikalnih pomaka u vrhu kalote u y (mm) 2D 3D proračun 3D proračun, proračun korak 1,0 m korak 2,0 m -1,3-0,904-0,948 66
67 6. Tunel Škurinje II Slijeganja terena na stacionaži 4+139,00 67
68 7. Zaključak Podatke geotehničkih mjerenja, koji najčešće završavaju u arhivi, potrebno je iskoristiti u analizi stanja naprezanja i deformacija, kako bi empirijska saznanja bila nadopunjena rezultatima numeričkih proračuna. Povratna analiza izvedenog stanja tunela od velike je važnosti za verifikaciju projektnih parametara i tehnologije iskopa. Rezultate povratne analize moguće je iskoristiti kao ulazne parametre u proračunima za projekte novih tunela kao i drugih podzemnih prostorija u sličnoj stijenskoj masi, u svrhu smanjenja troškova izvoñenja radova. 68
69 7. Zaključak Primjena 3D proračuna danas je neizostavna kod projektiranja složenih podzemnih iskopa. Analiza optimalnog koraka napredovanja iskopa neke su od glavnih prednosti 3D proračuna. Povećanjem koraka iskopa ubrzava se vrijeme izgradnje (manji broj ciklusa) i smanjuju troškovi. Numeričke simulacije u odreñenim situacijama mogu smanjiti geotehnički rizik čime se povećava sigurnost izvoñenja radova. 69
70 7. Zaključak Preporuke u smislu poboljšanja proračuna odnose se na usavršavanje numeričkog modela (modeliranje anizotropije i heterogenosti što zahtijeva poznavanje većeg broja geotehničkih karakteristika) kako bi se kompleksnim konstitutivnim modelom stijenskog masiva što bolje opisalo stvarno in situ stanje tijekom višefaznih iskopa. 70
71 H V A L A N A P A Ž N J I! 71
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Eksperimentalna i numerička analiza slobodnih vibracija grede
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Eksperimentalna i numerička analiza slobodnih vibracija grede Darko Dragojević Split, siječanj 2010. PREGLED PREZENTACIJE Uvod Analitičko
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
BETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
F (t) F (t) F (t) OGLEDNI PRIMJER SVEUČILIŠTE J.J.STROSSMAYERA U OSIJEKU ZADATAK
OGLEDNI PRIMJER ZADAAK Odredte dnamčke karakterstke odzv armranobetonskog okvra C-C prkazanog na slc s prpadajućom tlorsnom površnom, na zadanu uzbudu tjekom prve tr sekunde, ako je konstrukcja prje djelovanja
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU RAZLOZI MJERENJA DEFORMACIJA U TLU Pri projektiranju dinamički opterećenih temelja treba odrediti sljedeće: kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine,
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε
Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Teorija stabilnosti 2014/2015. VJEŽBE 3. Osnovno o problemu stabilnosti krutih tijela povezanih s elastičnim oprugama Konstruktivne vježbe - SAP2000
Teorija stabilnosti 2014/2015. VJEŽBE 3 Osnovno o problemu stabilnosti krutih tijela povezanih s elastičnim oprugama Konstruktivne vježbe - SAP2000 Građevinski fakultet, Sveučilište u Zagrebu Zavod za
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM
LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul
Napredak i poteškoće u projektiranju sidrenih potpornih konstrukcija numeričkim modeliranjem
Napredak i poteškoće u projektiranju sidrenih potpornih konstrukcija numeričkim modeliranjem Antun Szavits Nossan Sveučilište u Zagrebu 9. Šukljetov dan, Nova Gorica, Juni 2008 2 Numeričko modeliranja
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
MANUELA KANIŠKI ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET VARAŽDIN MANUELA KANIŠKI PRORAČUN POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA ZAVRŠNI RAD VARAŽDIN, 2010. 2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET VARAŽDIN ZAVRŠNI RAD PRORAČUN
5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA
5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA 1 UVOD Analize stabilnosti kosine provode se radi utvrđivanja moguće pojave sloma u prirodnoj ili umjetnoj kosini ili radi utvrđivanja parametara čvrstoće materijala u kosinama
GEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE. Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13
GEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13 Sadržaj predavanja 1 TLAK I OTPOR TLA (ponavljanje) 1.1 Općenito - Horizontalni (bočni)
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)
Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO POMOĆNI DIJAGRAMI, TABLICE I FORMULE ZA ISPIT dopunjeno za ak.god. 016/017 Slika 1. Parcijalni koeficijenti za GEO/STR za djelovanja, parametre materijala i otpore prema EC-7 Slika.
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
NELINEARNA ANALIZA BETONSKIH I ARMIRANO-BETONSKIH KONSTRUKCIJA
NELINEARNA ANALIZA BETONSKIH I ARMIRANO-BETONSKIH KONSTRUKCIJA Uvod Ponašanje konstrukcija izrađenih od tzv. kvazi-krtih materijala, kao što su beton odnosno armirani-beton, kamen, keramika ili drvo, karakterizirano
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Numeričke metode u hidrodinamici (CFD)
Numeričke metode u hidrodinamici (CFD) -Prostorna diskretizacija -Rubni i početni uvjeti -Numeričke metode (FD, FC, FE) -Vremenska diskterizacija -Rješavanje sustava jednadžbi procesa Computational fluid
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE
Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Proračun potrebne glavne snage rezanja i glavnog strojnog vremena obrade
Zaod a tehnologiju Katedra a alatne strojee Proračun potrebne glane snage reanja i glanog strojnog remena obrade Sadržaj aj ježbe be: Proračun snage kod udužnog anjskog tokarenja Glano strojno rijeme kod
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET
SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature
Q (promjenjivo) P (stalno) c uk=50 (kn/m ) =17 (kn/m ) =20 (kn/m ) 2k=0 (kn/m ) N 60=21 d=0.9 (m)
L = L 14.1. ZADATAK Zadan je pilot kružnog poprečnog presjeka, postavljen kroz dva sloja tla. Svojstva tla i dimenzije pilota su zadane na skici. a) Odrediti graničnu nosivost pilota u vertikalnom smjeru.
STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
2. Prostorna domena problema i provedeni pokusi
1. Uvod Cilj ove vježbe je uspostava trodimenzionalnog numeričkog modela strujanja za pravokutne bazene s duljinom 5000m, širinama 500m i 5000m te s dubinama 10m i 20m. Strujanje je inducirano homogenim
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD
Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Tomislav Lesičar Zagreb, 009. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Voditelji rada: Prof. dr. sc.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD
![35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD](/thumbs/60/45174330.jpg "35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD")
Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti
ZASTORI SUNSET CURTAIN Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.
ZSTORI ZSTORI SUNSET URTIN Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. ŠIRIN (mm) VISIN (mm) Z PROZOR IM. (mm) TV25 40360 360 400 330x330 TV25 50450 450
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Iterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.
zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Osnovni elementi klizišta
STABILNOST KOSINA Klizište 1/ Klizanje kao geološki fenomen: - tektonski procesi - gravitacijske i hidrodinamičke sile 2/ Klizanja nastala djelovanjem ljudi: - iskopi, nasipi, dodatno opterećenje kosina
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL
PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Modeli tla. Diplomski studij Antun Szavits-Nossan Prosinac Mehanika tla II - Modeli tla
Modeli tla Diplomski studij Antun Szavits-Nossan Prosinac 2011. Mehanika tla II - Modeli tla 1 Mehanika neprekidnih sredina (kontinuuma) i mehanika tla 1 Pretpostavlja se da student ovog predmeta ima osnovna
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Opšte KROVNI POKRIVAČI I
1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)