SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan Marija Vidović

2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE ZAVRŠNI RAD TEMA: SAVIJANJE KOMPOZITNIH NOSAČA Osijek, 15. rujan Marija Vidović

3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA NEKE METODE ODREĐIVANJA POMAKA KOD RAVNIH ŠTAPOVA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE VIDOVIĆ MARIJA PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati naprezanja sastavljenog ravnog štapa opterećenog na savijanje. Analizirati sastavljen štap od istog materijala i sastavljen štap od dva različita materijala. U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu izvesti temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema/analitička metoda rješavanja. Riješiti nekoliko primjera. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, 01. lipanj Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina Izv. prof. dr. sc. Mirjana Bošnjak-Klečina

4 SADRŽAJ: SAŽETAK str. 1. UVOD PRORAČUN SASTAVLJENOG NOSAČA OD JEDNOG MATERIJALA Geometrijske karakteristike Naprezanja u poprečnome presjeku KOMPOZITNI NOSAČI METODA 1 - Proračun kompozitnih nosača METODA 2 - Proračun po metodi reduciranog poprečnog presjeka Usporedba metode 1 i NUMERIČKI PRIMJERI Zadatak Zadatak Zadatak Zadatak Zadatak ZAKLJUČAK LITERATURA... 32

5 SAŽETAK U ovom radu analizirana su normalna naprezanja sastavljenog ravnog nosača opterećenog na savijanje. Analiziran je sastavljeni nosač od istog materijala i sastavljeni nosač od dva različita materijala. U uvodu je opisan problem, a u teoretskom dijelu izvedene su temeljne jednadžbe za rješavanje zadanog problema analitičkom metodom rješavanja. Riješeno je nekoliko primjera sastavljenog nosača iz istog materijala i dva različita materijala.

6 1. UVOD Sastavljeni (kompozitni) nosači su nosači koji su izrađeni od 2 ili više materijala. Pretpostavka je da je svaki materijal homogen i izotropan. Sastavljeni nosači mogu biti složeni od 2 ili više elementa, koji mogu biti od istog ili različitog materijala. U ovom radu analizirati ćemo ponašanje kompozitnih nosača izloženih savijanju, koristeći dvije metode rješavanja. Analizirati ćemo normalna naprezanja nosača sastavljenog od istog materijala i 2 različita materijala. 3

7 2. PRORAČUN SASTAVLJENIH NOSAČA OD ISTOG MATERIJALA Sastavljeni nosač je nosač koji je sastavljen od barem dvije grede. Materijal je homogen i izotropan. Štap nije monolitan. Imamo dvije drvene grede koje su položene jedna na drugu i pravokutnog su poprečnog presjeka, širine b i visine h (slika 1.a). Slika 1.a Pretpostavljamo da između dvije grede nema trenja u dodirnim površinama pod djelovanjem sile F, te se svaka greda savija neovisno jedna o drugoj. Krajnji presjeci nisu više u istoj ravnini, nego su se zaokrenuli. Gornja vlakna svake grede se skraćuju, a donja vlakna se rastežu. Nastaje pomak donjih vlakana gornje grede u odnosu na gornja vlakna donje grede (sl.1.b). Dijagrami normalnih i posmičnih naprezanja u presjeku 1-1 prikazani su na slici 1.b. Slika 1.b Kada spojimo dvije grede u dodirnim površinama, tako da su deformacije dodirnih vlakana gornje i donje grede jednake, sastavljeni će se nosač ponašati kao monolitni (slika 1.c). Slika 1.c Sastavljeni nosač je visine H = 2 h, a dijagrami normalnih i posmičnih naprezanja u presjeku 1-1 prikazani su na slici 1.c. 4

8 U spoju dviju greda pojavljuju se posmična naprezanja koja djeluju na spojna sredstva grede kao što su moždanici, ljepila itd. 2.1 Geometrijske karakteristike Za slobodno oslonjenu gredu (slika 1.b) : - Moment tromosti: I yb = 2 b h3 (1) - Moment otpora: - Statički moment tromosti: W yb = 2 b h2 6 (2) S y = 2 b h2 8 (3) Za sastavljeni nosač (slika 1.c) : - Moment tromosti: I yc = b H3 = 8 b h3 = 4 I yb (4) - Moment otpora: - Statički moment tromosti: W yc = b H2 6 = 4 b h2 6 = 2 W yb (5) S y = b h2 2 (6) Iz navedenih formula proizlazi da je kod sastavljenog nosača moment tromosti četverostruko, a moment otpora dvostruko veći nego kod poprečnog presjeka složenog nosača iste visine gdje su dvije grede slobodno položene jedna na drugu. Kod složenog sastavljenog nosača, ukoliko postoje spojna sredstva, potrebno ih je uzeti u obzir jer stvaraju oslabljenja. 5

9 2.2 Naprezanja u poprečnome presjeku Normalna naprezanja na neutralnoj osi jednaka su nuli, dok se najveća normalna tlačna i vlačna naprezanja nalaze na najudaljenijim točkama od neutralne osi. Prema uvjetu čvrstoće najveće normalno naprezanje uspoređujemo sa dopuštenim naprezanjima. Kada imamo dvije grede položene jedna na drugu postoje 2 neutralne osi, tako da se raspodjela naprezanja odvija prema slici 1.b. Posmično naprezanje ima maksimalnu vrijednost u visini neutralne osi presjeka (z = 0). Naprezanja kod slobodno oslonjene grede: - Normalna naprezanja: σ = M y W y, (7) gdje je W y = bh2 3, (8) tada slijedi da je normalno naprezanje: σ = 3 M y bh 2. (9) - Posmična naprezanja: τ xy = TS y I y b, (10) gdje je S y = bh2 4, (11) tada slijedi da je posmično naprezanje: τ xy = 3T 4hb. () Naprezanja kod monolitnog nosača s jednom neutralnom osi (raspodjela naprezanja prema slici 1.c): - Normalna naprezanja: σ = M y W y, (13) gdje je W y = 2 bh2 3, (14) tada slijedi da je normalno naprezanje: σ = 3 M y 2bh 2. (15) - Posmična naprezanja: τ xy = TS, (16) I y b gdje je S y = bh2 2, (17) tada slijedi da je posmično naprezanje: τ xy = 3T 4hb. (18) Ako promotrimo normalna naprezanja u oba slučaja, možemo zaključiti da su normalna naprezanja u prvom slučaju dvostruko veća nego u drugom slučaju što je usko vezano za odnose momenta otpora. 6

10 Kako su omjeri statičkog momenta presjeka i momenta inercije jednaki, posmična naprezanja u oba slučaja ostaju jednaka. 3.KOMPOZITNI NOSAČI Kompozitni nosači su nosači koji su sastavljeni od dva ili više elementa od različitih materijala koji imaju različite module elastičnosti. Pretpostavljamo da je materijal homogen i izotropan. Kod proračuna koristimo teoriju savijanja homogenih nosača tako da od stvarnog poprečnog presjeka sa različitim modulima elastičnosti napravimo ekvivalentni poprečni presjek s jednakim modulima elastičnosti. 3.1 METODA 1 - PRORAČUN KOMPOZITNIH NOSAČA Slika 2. Ukoliko imamo čisto savijanje ravni poprečni presjeci nosača ostaju ravni neovisno o tome sastoji li se poprečni presjek od jednog ili više materijala (Bernoullijeva hipoteza ). Materijal je homogen i izotropan, opterećenje djeluje u jednoj od ravnina simetrije. Slijedi da se normalna naprezanja mijenjaju linearno po visini presjeka, a na prijelazu jednog materijala na drugi postoji skok. Nagib pravca u dijagramu normalnih naprezanja se mijenja ovisno o modulu elastičnosti Normalne deformacije po visini poprečnog presjeka mijenjaju se linearno i određene su izrazom: ε xx = z ρ (19) gdje je: 7

11 - z udaljenost promatranog vlakna od neutralne osi. - ρ zakrivljenost nosača (udaljenost neutralne osi od centra zakrivljenosti) Materijali 1 i 2 ponašaju se prema Hookeovom zakonu i imaju module elastičnosti E1 i E2. Pretpostavit ćemo da je E2 < E 1. Normalna naprezanja u poprečnom presjeku za materijal 1 i 2 dobijemo pomoću izraza: σ x1 = E 1 ε xx = E 1 ρ z (20) σ x2 = E 2 ε xx = E 2 ρ z (21) Za promatrani poprečni presjek nosača postavljamo sljedeće jednadžbe ravnoteže: Σ F x = 0 σ x A Σ M y = 0 M y = σ x A da = z da = σ A1 x1 σ A1 x1 da + σ A2 x2 z da + da = 0 (22) σ A2 x2 z da = M, (23) A je površina cijelog poprečnog presjeka, dok su A 1 i A 2 površine materijala 1 i 2. Kada u jednadžbu (22) uvrstimo izraz (20) i (21) za σ x1 i σ x2 dobijemo: E 1 A1 z da + E 2 A2 z da = 0 (24) Ako uvedemo novi koordinatni sustav, koji je vidljiv na slici 2.b, dobijemo da je z = Z- z 0. Uvrštavanjem u izraz (24) dobijemo: E 1 (Z z 0 ) A1 da + E 2 (Z z 0 ) A2 da = 0, (25) gdje je: A1 Z da = z 1 A 1 i A2 Z da = z 2 A 2. (26) Nakon integracije dobijemo: E 1 (z 1 A 1 - z 0 A 1 ) + E 2 (z 2 A 2 - z 0 A 1 ) = 0 (27) i iz navedenog izraza (27) dobijemo jednadžbu položaja neutralne osi: z 0 = E 1 z 1 A 1 + E 2 z2 A2 E 1 A 1 + E 2 A 2 (28) Ukoliko imamo nosač koji se sastoji od tri ili više materijala, položaj neutralne osi dobijemo iz sljedećeg izraza: z 0 = m i=1 E i z i A i m i=1 E i A i (29) 8

12 Kada u izraze (22) i (23) uvrstimo izraze (20) i (21) i izlučimo module elastičnosti tada uvjet ravnoteže izgleda: M = σ A1 x1 z da + σ A2 x2 Ako iz svakog člana izlučimo 1 ρ, dobijemo z da = E 1 ρ A1 z2 da + E 2 ρ A2 z2 da (30) Iz izraza (31) dobijemo zakrivljenost nosača: M = 1 ρ (E 1 I y1 + E 2 I y2 ) (31) 1 ρ = M E 1 I y1 + E 2 I y2 (32) I na kraju kada izraz za zakrivljenost uvrstimo u izraz za normalna naprezanja dobijemo: σ x1 = σ x2 = Ukoliko vrijedi da je E 1 = E 2 = E izraz (33) i (34) ima oblik: E 1 M E 1 I y1 + E 2 I y2 z (33) E 2 M E 1 I y1 + E 2 I y2 z (34) σ x = M I y z (35) Ako se nosač sastoji od tri ili više različitih materijala, izraz (32) za zakrivljenost nosača poprima oblik: 1 ρ = M m i=1 E i I yi (36) Izraz za normalna naprezanja ima oblik: σ xi = E i M m i=1 E i I yi z (37) 9

13 3.2 METODA 2 - PRORAČUN PO METODI REDUCIRANOG POPREČNOG PRESJEKA Slika 3. Iz prethodno priloženog postupka pomoću kojeg određujemo naprezanja u nosaču koji se sastoji od dva ili više materijala, možemo koristiti i drugu metodu koja se naziva metoda reduciranog poprečnog presjeka, pomoću ekvivalentnog poprečnog presjeka. Prema metodi reduciranog poprečnog presjeka, poprečni presjek stvarnog nosača sa različitim modulima elastičnosti, moramo zamijeniti ekvivalentnim poprečnim presjekom koji ima iste module elastičnosti. Površinu poprečnog presjeka nosača također moramo promijeniti jer smo promijenili i module elastičnosti. Kako pomoću ekvivalentnog poprečnog presjeka zamjenjujemo stvarni nosač, on mora imati jednaka naprezanja i deformacije. Zbog toga površinu poprečnog presjeka ne reduciramo u ravnini djelovanja opterećenja. Širina presjeka se smije reducirati, dok visina mora ostati nepromijenjena. Faktorom n reduciramo površine presjeka koji dobijemo iz omjera modula elastičnosti materijala: n = E 2 E 1 (38) Kada u prethodne formule uvedemo n, dobijemo izraz za određivanje neutralne osi: z 0 = A 1 z 1 +n A 2 z 2 A 1 + n A 2. (39) Iz navedenog izraza vidljivo je da se položaj neutralne osi nalazi na istom mjestu kao i u prvoj metodi. Zakrivljenost nosača: 1 ρ = M E 1 (I y1 + n I y2 ), (40) 10

14 gdje je reducirani moment inercije: I yr = I y1 + n I y2 (41) Kada reducirani moment inercije uvrstimo u gornji izraz, dobijemo: Naprezanja u materijalu 1 i 2 su: 1 = M. (42) ρ E 1 I yr σ x1 = M I yr z (43) σ x2 = n M I yr z (44) Ako se nosač sastoji od tri ili više različitih materijala izraz za određivanje neutralne osi je: z 0 = A 1 z 1 + m i=2 n i A i z i A 1 + m i=2 n i A i, n i = E i E 1 (45) Moment inercije dobijemo iz izraza: Naprezanje dobijemo iz izraza: m I yr = I y1 + i=2 n i I yi (46) σ xi = n i M I yr z (47) 3.3 USPOREDBA METODE 1 I 2 Proračun kompozitnih nosača (metoda 1) zasniva se na Hookeovom zakonu i jednadžbama ravnoteže, a proračun po metodi reduciranog presjeka (metoda 2) temelji se na metodi 1 tako da uvodimo određena pojednostavljenja. Metoda 2 parcijalno rastavlja izraze te ubrzava postupak proračuna. 11

15 4. NUMERIČKI PRIMJERI 4.1. ZADATAK 1 Potrebno je odrediti normalna naprezanja sastavljenog ravnog nosača opterećenog na savijanje, ako je nosač sastavljen od dva različita materijala čelik i drvo. Pri proračunu koristiti dvije metode. Čelik S E 1 =21000 KN Drvo D 50 - E 2 =1400 KN KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm - Visina čeličnog dijela presjeka: h Č = 19,3 cm - Visina drvenog dijela presjeka: h D = 38,7 mm f Y = 23,5 KN - granica popuštanja čelika f c,0,k = 2,9 KN karakteristična čvrstoća drva na tlak u pravcu vlakana f t,0,k = 3,0 KN karakteristična čvrstoća drva na vlak u pravcu vlakana γ M = 1,3 faktor sigurnosti za puno drvo k mod = 0,9 modifikacijski faktor za djelovanja

16 - proračunska čvrstoća drveta na tlak u pravcu vlakana: f c,0,d = f c,0,k k mod 2.9 x 0,9 = = 2,008 KN γ M 1,3 - proračunska čvrstoća drveta na vlak u pravcu vlakana: f t,0,d = f t,0,k k mod 30 x 0,9 = = 2,077 KN γ M 1,3 - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 A 1 = b uk x h Č = 20 x 19,3 = 386 A 2 = b uk x h D = 20 x 38,7 = 774 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 13

17 METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 1 = h D + 0,5 h Č = 38,7 + 0,5 x 19,3 = 48,35 cm z 2 = 0,5 h D = 0,5 x 38,7 = 19,35 cm z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x386x48, x774x19, x x774 = 44,94 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h č 3 I y1 = 16470,21 cm 4 I y2 = b uk x h D 3 I y2 = ,43 cm 4 + b uk x h č x (z 1 z 0 ) 2 = + b uk x h D x (z 0 z 2 ) 2 = 20,0 x 19,33 20,0 x 38, ,0 x 19,3 x (48,35 44,94 ) ,0 x 38,7 x (44,94 19,35 ) 2 - Normalna naprezanja σ 1 = σ 1 = σ 2 G = σ 2 G = σ 2 D = σ 2 D = σ 3 = M Y E 1 (h E 1 I y1 + E 2 I uk z 0 ) < 23,5 kn y2 322 x x 16470, x ,43 x (58,0 44,94) = 2,84 kn M Y E 1 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 23,5 kn y2 322 x x 16470, x ,43 x (44,94 38,7) = 1,36 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 2,008 kn y2 322 x x 16470, x ,43 x (44,94 38,7) = 0,09 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 ) < 2,008 kn y2 14

18 σ 3 = 322 x x 16470, x ,43 x (44,94) = 0,65 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti drva i čelika n = E 2 E 1 = = 0,067 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x386x48, x774x19, x x774 = 44,94 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y1 + I y2 n = 16470, ,43 x 0,067 = 56901,59 cm 4 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (h I uk z 0 ) < 23,5 kn y,red σ 1 = ,59 x (58,0 44,94) = 2,83 kn σ 2 G = M Y ( z I 0 h D ) < 23,5 kn y,red σ G 2 = ,59 x (44,94 38,7) = 1,35 kn σ 2 D = M Y ( z I 0 h D ) n < 2,008 kn y,red σ D 2 = ,59 x (44,94 38,7) x 0,067 = 0,09 kn σ 3 = M Y ( z I 0 ) n < 2,008 kn y,red 15

19 σ 3 = ,59 x (44,94) x 0,067 = 0,65 kn 16

20 4.2. ZADATAK 2 KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm - Visina čeličnog dijela presjeka: h Č = 29 cm - Visina drvenog dijela presjeka: h D = 29 mm - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 A 1 = b uk x h Č = 20 x 29 = 580 A 2 = b uk x h D = 20 x 29 = 580 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 17

21 METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 1 = h D + 0,5 h Č = ,5 x 29 = 43,50 cm z 2 = 0,5 h D = 0,5 x 29 = 14,50 cm z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x580x43, x580x14, x x580 = 41,69 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h č 3 I y1 = 42548,47 cm 4 I y2 = b uk x h D 3 I y2 = ,07 cm 4 + b uk h č (z 1 z 0 ) 2 = + b uk h D (z 0 z 2 ) 2 = 20,0 x 29,03 20,0 x 29, ,0 x 29,0 x (43,50 41,69 ) ,0 x 29,0 x (41,69 14,50 ) 2 - Normalna naprezanja σ 1 = σ 1 = σ 2 G = σ 2 G = σ 2 D = σ 2 D = σ 3 = M Y E 1 (h E 1 I y1 + E 2 I uk z 0 ) < 23,5 kn y2 322 x x 42548, x ,07 x (58,0 41,69) = 2,72 kn M Y E 1 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 23,5 kn y2 322 x x 42548, x ,07 x (41,69 29,0) = 2, kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 2,008 kn y2 322 x x 42548, x ,07 x (41,69 29,0) = 0,14 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 ) < 2,008 kn y2 18

22 σ 3 = 322 x x 42548, x ,07 x (41,69) = 0,46 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti drva i čelika n = E 2 E 1 = = 0,067 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x580x43, x580x14, x x580 = 41,69 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y1 + I y2 n = 42548, ,07 x 0,067 = 74000,95 cm 4 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (h I uk z 0 ) < 23,5 kn y,red σ 1 = ,95 x (58,0 41,69) = 2,72 kn σ 2 G = M Y ( z I 0 h D ) < 23,5 kn y,red σ G 2 = ,95 x (41,69 29,0) = 2,11 kn σ 2 D = M Y ( z I 0 h D ) n < 2,008 kn y,red σ D 2 = ,95 x (41,69 29,0) x 0,067 = 0,14 kn σ 3 = M Y ( z I 0 ) n < 2,008 kn y,red 19

23 σ 3 = ,95 x (41,69) x 0,067 = 0,46 kn 20

24 4.3. ZADATAK 3 KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm - Visina čeličnog dijela presjeka: h Č = 38,7 cm - Visina drvenog dijela presjeka: h D = 19,3 mm - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 A 1 = b uk x h Č = 20 x 38,7 = 774 A 2 = b uk x h D = 20 x 19,3 = 386 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 21

25 METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 1 = h D + 0,5 h Č = 19,3 + 0,5 x 38,7 = 38,65 cm z 2 = 0,5 h D = 0,5 x 19,3 = 9,65 cm z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x774x38, x386x9, x x386 = 37,72 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h č 3 I y1 = 97270,44 cm 4 I y2 = b uk x h D 3 I y2 = 3160,77 cm 4 + b uk h č (z 1 z 0 ) 2 = + b uk h D (z 0 z 2 ) 2 = 20,0 x 38,73 20,0 x 19, ,0 x 38,7 x (38,65 37,72 ) ,0 x 19,3 x (37,72 9,65 ) 2 - Normalna naprezanja σ 1 = σ 1 = σ 2 G = σ 2 G = σ 2 D = σ 2 D = σ 3 = M Y E 1 (h E 1 I y1 + E 2 I uk z 0 ) < 23,5 kn y2 322 x x 97270, x 3160,77 x (58,0 37,72) = 2,11 kn M Y E 1 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 23,5 kn y2 322 x x 97270, x 3160,77 x (37,72 19,3) = 1,92 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 h D ) < 2,008 kn y2 322 x x 97270, x 3160,77 x (37,72 19,3) = 0,13 kn M Y E 2 (z E 1 I y1 + E 2 I 0 ) < 2,008 kn y2 22

26 σ 3 = 322 x x 97270, x 3160,77 x (37,72) = 0,26 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti drva i čelika n = E 2 E 1 = = 0,067 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = E 1A 1 z 1 + E 2 A 2 z 2 E 1 A 1 + E 2 A 2 = 21000x774x38, x386x9, x x386 = 37,72 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y1 + I y2 n = 97270, ,77 x 0,067 = ,53 cm 4 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (h I uk z 0 ) < 23,5 kn y,red σ 1 = ,53 x (58,0 37,72) = 2,11 kn σ 2 G = M Y ( z I 0 h D ) < 23,5 kn y,red σ G 2 = ,53 x (37,72 19,3) = 1,92 kn σ 2 D = M Y ( z I 0 h D ) n < 2,008 kn y,red σ D 2 = ,53 x (37,72 19,3) x 0,067 = 0,13 kn σ 3 = M Y ( z I 0 ) n < 2,008 kn y,red 23

27 σ 3 = ,53 x (37,72) x 0,067 = 0,26 kn 24

28 4.4. ZADATAK 4 Potrebno je odrediti normalna naprezanja ravnog nosača opterećenog na savijanje, ako je nosač čelični. Pri proračunu koristiti dvije metode. Čelik S E 1 =21000 KN KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm f Y = 23,5 KN - granica popuštanja čelika - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 = 1160 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm 25

29 METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Momenti inercije: I y1 = b uk x h uk 3 = I y1 = ,67 cm 4 20,0 x 58,03 - Normalna naprezanja σ 1 = M YE 1 (z E 1 I 0 ) < 23,5 kn y1 σ 1 = 322 x x ,67 x (29,0) = 1,10 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti čelika n = E 1 E 1 = = 1,00 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y1 n = ,67 x 1 = ,67 cm 4 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (z I 0 ) < 23,5 kn y,red 26

30 σ 1 = ,67 x (29,0) = 1,10 kn 27

31 4.5. ZADATAK 5 Potrebno je odrediti normalna naprezanja ravnog nosača opterećenog na savijanje, ako je nosač izveden od drveta. Drvo D 50 - E 2 =1400 KN KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESJEKA: - Ukupna visina: h uk = 58 cm - Ukupna širina: b uk = 20 cm f m,k = 5,0 KN karakteristična čvrstoća drva na savijanje γ M = 1,3 faktor sigurnosti za puno drvo k mod = 0,9 modifikacijski faktor za djelovanja - proračunska čvrstoća drveta na savijanje: f m,d = f m,k k mod 5,0 x 0,9 = = 3,46 KN γ M 1,3 - površina presjeka: A UK = b uk x h uk = 20 x 58 =

32 DJELOVANJE - Moment savijanja M Y = 3,22 KNm METODA 1 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Momenti inercije: I y2 = b uk x h uk 3 = I y2 = ,67 cm 4 20,0 x 58,03 - Normalna naprezanja σ 1 = M YE 2 (z E 2 I 0 ) < 3,46 kn y2 σ 1 = 322 x x ,67 x (29,0) = 1,10 kn METODA 2 - Omjer modula elastičnosti drva i čelika n = E 2 E 2 = = 1,00 - Položaj neutralne osi (od donjeg ruba) z 0 = 0,5 h uk = 0,5 x 58,0 = 29,0 cm - Reducirani moment inercije I y,red = I y2 n = ,67 x 1,00 = ,67 cm 4 29

33 - Normalna naprezanja σ 1 = M Y (z I 0 ) < 23,5 kn y,red σ 1 = ,67 x (29,0) = 1,10 kn 30

34 5. ZAKLJUČAK Kada imamo nosač sastavljen od istog materijala, raspodjela naprezanja će izgledati kao kod monolitnog nosača sastavljenog od bilo kojega materijala. Normalna naprezanja na rubovima poprečnog presjeka će imati isti iznos naprezanja jer se naprezanja mijenjaju linearno po visini presjeka. Proveden je proračun za sastavljeni nosač iz dva različita materijala. Varirana je visina, u prvom primjeru jedna trećina visine je čelični dio presjeka, a preostale dvije trećine drveni dio presjeka. U drugom primjeru dvije trećine visine je čelični dio presjeka, a jedna trećina drveni dio presjeka. U trećem primjeru i drveni i čelični dio imaju istu visinu. Nagib pravca u dijagramu normalnih naprezanja mijenja po visini presjeka ovisno o modulu elastičnosti, a na prijelazu jednog materijala na drugi postoji skok. S obzirom da čelik ima znatno veći modul elastičnosti preuzima i veći dio vanjskih sila što rezultira i većim normalnim naprezanjima. Iz dobivenih rezultata se može vidjeti da sa povećanjem čeličnog dijela presjeka se smanjuju maksimalna normalna naprezanja u drvenom dijelu nosača. Također možemo uočiti da se smanjuju maksimalna normalna naprezanja u čeličnom dijelu nosača. 31

35 6. LITERATURA [1] Šimić, V.: Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb,1992 [2] Šimić, D., Prilog proračuna sastavljenih nosača opterećenih na savijanje, Građevinar 58 (2006) 3, [3] Terzić, N., Metodička zbirka zadataka iz otpornosti materijala (I dio), drugo izdanje, Građevinski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 1991 [4] Timošenko, S., Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1965 [5] [6] 32

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek 25. rujan 2015. Siniša Ivković SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama.

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama. Štap optereen na savijanje naivamo nosa ili grea. Savijanje nosaa a) Napreanja ( i τ) b) Deformacije progib (w) Os štapa se ko savijanja akrivljuje to je elastina ili progibna linija nosaa. Savijanje ravnog

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09 Prof. dr. sc. Vedrana Koulić EHNČK EHNK Predavanja kad. god. 008/09 OPORNOS ERJL Otpornost materijala je grana tehničke mehanike koja proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 5. VJEŽBE DIMENZIONIRANJE - GSN Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI DIMENZIONIRANJE - GSN 1. Sila prednapinjanja 2. Provjera

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

7 Izvijanje, gubitak elastične stabilnosti Vrste ravnoteže... 1

7 Izvijanje, gubitak elastične stabilnosti Vrste ravnoteže... 1 11. travnja 2013. Prof.dr.sc. Joško Krolo IZVIJANJE, GUBITAK ELASTIČNE STABILNOSTI Sadržaj 7 Izvijanje, gubitak elastične stabilnosti 1 7.1 Vrste ravnoteže................................ 1 7.2 Izvijanje

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. * Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Proračun graničnih nosivosti (1)

Proračun graničnih nosivosti (1) Proračun graničnih nosivosti () K. F.. Linearno elastičan idealno plastičan materijal Poveća li se opterećenje toliko da naprezanja u dijelovima nekih poprečnih presjeka dosegnu granicu popuštanja/tečenja,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Helena Prović GRAFIČKI POSTUPCI ANALIZE RAVNINSKIH REŠETKASTIH NOSAČA

Helena Prović GRAFIČKI POSTUPCI ANALIZE RAVNINSKIH REŠETKASTIH NOSAČA Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Helena rović GRFIČKI OSTUCI NLIZE RVNINSKIH REŠETKSTIH NOSČ (ZVRŠNI RD) Zagreb, 00. 0 Sadržaj. Uvod. Rešetkasti nosači. Grafičke metode određivanja sila rešetkastih

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Mario Aračić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

METALNE I DRVENE KONSTRUKCIJE VEŽBE BR.1-1. Označavanje čelika je visoko standardizovano. Usvojen je Evropski sistem označavanja.

METALNE I DRVENE KONSTRUKCIJE VEŽBE BR.1-1. Označavanje čelika je visoko standardizovano. Usvojen je Evropski sistem označavanja. 3/7/013 Označavanjeavanje čelika i osnove proračuna METLNE I DRVENE KONSTRUKCIJE VEŽBE BR.1-1 1 Označavanje čelika Označavanje čelika je visoko standardizovano. Usvojen je Evropski sistem označavanja.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI 3/7/013 CETRIČO PRITISUTI ELEMETI 1 Primeri primene 1 3/7/013 Oblici poprečnih presea 3 Specifičnosti pritisnutih elemenata ivijanje Konrola napona u poprečnom preseu nije dovoljan uslov a dimenionisanje;

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Vedran Grzelj. Zagreb, 2011.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Vedran Grzelj. Zagreb, 2011. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Vedran Grzelj Zagreb, 011. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Mentori: Prof. dr. sc. Milan Opalić,

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,

Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija, 1. Osnove čvrstoće 1.1. Pojam i vrste opterećenja Nauka o čvrstoći proučava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponašanje čvrstih (realnih) tijela. Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI PRORAČUN KROVIŠTA SA DVOSTRUKOM STOLICOM

STATIČKI PRORAČUN KROVIŠTA SA DVOSTRUKOM STOLICOM STATIČKI PRORAČUN KROVIŠTA SA DVOSTRUKOM STOLICOM Autor: Ivan Volarić, struč. spec. ing. aedif. Zagreb, Siječanj 2017. TEHNIČKI OPIS KONSTRUKCIJE OPIS PROJEKTNOG ZADATKA Projektni zadatak prema kojem je

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα