Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Transcript

1 Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3 Nule i znak funkcije; presek sa osom Oy ako postoji. Ekstremne vrednosti i intervali monotonosti primenom f. 5 Prevojne tačke i intervali konveksnosti primenom f. 6 Asimptote.

2 f = + + D f =, +. f = +. Kako je f f i f f, funkcija nije ni parna, ni neparna. Funkcija nije periodična. 3 f = 0 za = 0. f < 0 za, 0, f > 0 za 0, +. f = f = 0 za =. f 0 + f min f je opadajuća na,, a rastuća na, +. Lokalni minimum f = funkcija dostiže za =, a odgovarajuća tačka na grafiku je M,. 5 f = f = 0 za = 7 7/ ili = 7 + 7/ f f

3 f je konkavna na, i 7 7, P, i P, 6 tačke. tj. 6 Kako je f = ± ± f = + f = + + = + ± 3, +, a konveksna na =, + + =, + +, su prevojne prave y = i y = su horizontalne asimptote kad i + redom. P P M

4 f = D f = [, ]. Kako za svako D f važi f = = = f, funkcija je neparna, pa je njen grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak O0, 0. Funkcija nije periodična. 3 f = 0 za = 0 ili = ili =. f > 0 za, 0, f < 0 za 0,. f =,,. f = 0 za = / ili = /. f je rastuća na, f f ma min Za = funkcija dostiže lokalni maksimum f a za = lokalni minimum f su M, i M, i,, a opada na,. =, =. Odgovarajuće tačke na grafiku. 5 f = 3 3,,. f = 0 za = 0. Tačke = 3/ i = 3/ ne pripadaju D f.

5 5 0 f 0 + f f je konkavna na, 0, a konveksna na 0,. O0, 0 je prevojna tačka. 6 Asimptota nema. M O M f = + D f = { R + 0} =, ] [, +. Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na koordinatni početak, pa funkcija ne može da bude ni parna, ni neparna. Funkcija nije periodična. 3 f = 0 za + = 0, tj. = ili =. f > 0 za svako,, +. f + =,,. + f 0 za svako,, +. Tačka = / ne pripada D f.

6 6 f + f f je opadajuća na,, a rastuća na, +. 5 f 9 =,,. + 3 f < 0 za svako,, +, što znači da je funkcija konkavna na D f. 6 Kako je f = + = +, ± ± funkcija nema horizontalnu asimptotu. Kose asimptote tražimo u obliku y = k, + n,, pri čemu je f k, = ± = + + =, ± ± tj. k = + n, = + =, k = + f k, = + ± ± = ± + ± = ± =, +, ± tj. n = + + = +,

7 7 n = + = +. Funkcija ima dve kose asimptote, i to y = kad i y = + kad D f =,, +. f = e S obzirom na oblast definisanosti, funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična. 3 f 0 za svako D f. f < 0 za,, f > 0 za, +. f0 =. f = e. f = 0 za = 0. f > 0 za < 0 f je rastuća na, 0, f < 0 za > 0, f je opadajuća na 0, i, +. Za = 0 funkcija dostiže lokalni maksimum f0 =. Odgovarajuća tačka na grafiku je M0,.

8 8 5 f = e + 3. f 0 za svako D f. f < 0 za, f je konkavna na,, f > 0 za, + f je konveksna na, +. Nema prevojnih tačaka. 6 Kako je e f = ± ± = ±, prava = je vertikalna asimptota. S obzirom na granične vrednosti f = + f = + e = 0, e = e =, prava y = 0 je horizontalna asimptota kad +. Kosu asimptotu kad tražimo u obliku y = k + n, pri čemu je k = f = e = e = Prema tome, funkcija nema kosu asimptotu kad. e = +. M

9 9,, D f =,, +. f = e Funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična. 3 f 0 za svako D f. f < 0 za,, f0 = e. f = e. f > 0 za, +. f = 0 za =. f < 0 za <, f je opadajuća na, i f > 0 za > f je rastuća na, +. Za = funkcija dostiže lokalni minimum f =. Odgovarajuća tačka na grafiku je M,. 5 f = e f 0 za svako D f. f < 0 za, f je konkavna na,, f > 0 za, + f je konveksna na, +. Nema prevojnih tačaka. 6 Kako je e f = ± ± = ±, prava = je vertikalna asimptota. Prava y = 0 je horizontalna asimptota kad jer je f = e = 0, a funkcija nema ni horizontalnu ni kosu asimptotu kad + jer je f = + + e = +, f + = e + = +.

10 0 M 3 f = + 5e D f =,, +. Funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična. 3 f = 0 za = 5. f < 0 za, 5, f0 = 5 e. f > 0 za 5,, +. f = e 3. f = 0 za = ili =. f f ma min f je rastuća na, i, +, a opadajuća na, i,.

11 Za = i = funkcija dostiže lokalni maksimum f = i lokalni e minimum f = 9 3 e redom. Odgovarajuće tačke na grafiku su M, e i M, 9 3 e. 5 f = e 3 7. f = 0 za = f f f je konkavna na, 7 7, a konveksna na 3 3, 7 P 3, 7 3e 6 je prevojna tačka. e 6 Prava = je vertikalna asimptota jer je S druge strane, važi sledeće: k = n = f = + 5e = f = + 5e = 0. Funkcija nema horizontalnu asimptotu jer je f = + 5e = ±. ± ± i, +. Kosu asimptotu u obliku y = k + n tražimo na sledeći način: ± ± f = ± f = + 5 e =, + 5e ± e = + ± 5e = ± ± Prava y = + 6 je kosa asimptota. = e + 5e ± e + 5 = 6.

12 M 0 5 M P 5 5 Napomena. Ugao φ pod kojim se grafik funkcije približava tački, 0 odred ujemo na osnovu geometrijske interpretacije prvog izvoda. tan φ = f = e 3 = 3 = 3 Ako označimo e = 6 e. = t, poslednja granična vrednost postaje tan φ = 6 t t e t = 6 t pa je φ = 0. t = 6 e t t t = 6 e t t e e t = 0,

13 3 f = log log = log e D f =, + jer je > 0 za svako R. f = log Kako je f f i f f, funkcija nije ni parna, ni neparna. Funkcija nije periodična. 3 f = 0 za =, tj. = ili = 3. f < 0 za <, tj., 3, f > 0 za >, tj., 3, +. f = f = 0 za = 5. f < 0 za < 5 f je opadajuća na, 5, f > 0 za > 5 5 f je rastuća na, +. Za = 5 5 funkcija dostiže lokalni minimum f = log 3. Odgovarajuća 5 tačka na grafiku je M, log 3. 5 f = f = 0 za = 5 3/ ili = 5 + 3/ f f f je konkavna na, i, +, a konveksna na 5 3, f = f = log 3

14 5 3 P, log 3 6 Kako je i P, log 3 su prevojne tačke. f = ± ± log = +, funkcija nema horizontalnu asimptotu. Kosu asimptotu tražimo u obliku y = k + n, gde je k = n = ± ± f = log ± ± f k = ± log = +. Prema tome, funkcija nema ni kosu asimptotu. = 0, 5 3 P P M f = log log = log e D f =, +. Funkcija nije ni parna, ni neparna, ni periodična. 3 f = 0 za log = 0, tj. =, =. f > 0 za, +, f < 0 za,. f = log +. f = 0 za = + e.

15 5 + e f 0 + f min f je opadajuća na, +, a rastuća na + e e, +. Za = + e funkcija dostiže lokalni minimum f = e. Odgovarajuća tačka na grafiku je M + e,. e + e 5 f =. f > 0 za svako D f, što znači da je funkcija konveksna na D f. Nema prevojnih tačaka. 6 Kako je log f = log = = funkcija nema vertikalnu asimptotu. Takod e, f = log = +, + + pa funkcija nema ni horizontalnu asimptotu. = 0, M

16 6 f = log log = log e D f = { R } > D f =,. Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na koordinatni početak, pa funkcija ne može da bude ni parna, ni neparna. Funkcija nije periodična. 3 f = 0 za 5 =, tj. = f = 0 za = 5. f > 0 za, 5 5, f < 0 za,. f 3 =. f < 0 za svako D f, pa je funkcija opadajuća na D f. Nema ekstremnih vrednosti.

17 7 5 f 3 5 =. f > 0 za < 5 f je konveksna na, 5, f < 0 za > 5 5 f je konkavna na,. 5 P, 0 je prevojna tačka. 6 Kako je f = log = +, f = + + log =, prave = i = su vertikalne asimptote. 3 P 3 3 f = arctan D f =, 0 0, +. Za svako D f važi f = arctan = arctan = f,

18 8 što znači da je funkcija neparna. Funkcija nije periodična. 3 f 0 za svako D f. f < 0 za, 0, f > 0 za 0, +. f = +. f < 0 za svako D f, pa je funkcija opadajuća na D f. Nema ekstremnih vrednosti. 5 f = +. f 0 za svako D f. f < 0 za < 0 f je konkavna na, 0, f > 0 za > 0 f je konveksna na 0, +. Nema prevojnih tačaka. 6 Kako je funkcija nema vertikalnu asimptotu. Kako je f = arctan 0 0 = π, f = arctan = π, prava y = 0 je horizontalna asimptota. f = arctan ± ± = 0,

19 9 Napomena. Imajući u vidu geometrijsku interpretaciju prvog izvoda funkcije, moguće je odrediti ugao φ pod kojim se kriva grafika približava tačkama 0, π/ sa leve i 0, π/ sa desne strane. To je ugao koji tangente krive u tačkama bliskim 0, π/ i 0, π/ zaklapaju sa pozitivnim delom ose. tj. φ = π/. tan φ = f = =, f = arctan + D f =,, +. Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na koordinatni početak, pa funkcija ne može da bude ni parna, ni neparna. Funkcija nije periodična. 3 f = 0 za = 0, tj. =. f > 0 za > 0, f < 0 za + + < f > 0 za,, +, f < 0 za,. f0 = arctan = π/. f = +. f > 0 za svako D f, pa je funkcija rastuća na D f. ekstremnih vrednosti. 5 f = +. Nema

20 0 f = 0 za = 0. f > 0 za < 0, f je konveksna na, i, 0, f < 0 za > 0 f je konkavna na 0, +. P 0, π je prevojna tačka. 6 Kako je f = arctan + = π, f = arctan = π, funkcija nema vertikalnu asimptotu. Kako je f = arctan ± ± + = π, prava y = π je horizontalna asimptota P 3