(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Transcript

1 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M, n N onda je M = N. Na temelju aksioma matematičke indukcije izgraduje se metoda matematičke indukcije za provjeru da li vrijedi tvrdnja T n za svaki n N: Metoda matematičke indukcije (B.I.) BAZA INDUKCIJE - provjera da tvrdnja vrijedi za n = 1. (P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. (K.I.) KORAK INDUKCIJE - na temelju pretpostavke dokazujemo da tvrdnja vrijedi za prirodan broj n = k + 1. Primjer. Metodom matematičke indukcije dokažite da sljedeća tvrdnja vrijedi za svaki n N: (2n 3) + (2n 1) = n 2. Napomena. Uočimo da tvrdnja n = n 2 + n + 2 ispunjava drugi uvjet iz aksioma matematičke indukcije, ali ne zadovoljava prvi uvjet i lažna je n N. Nadalje, tvrdnja n 2 n + 41 je prost broj je istinita za n = 1, 2,..., 40 (dakle zadovoljava prvi uvjet aksioma) i neistinita za n = 41. Zaključujemo da na osnovu nepotpune indukcije ne možemo prihvatiti istinitost neke tvrdnje.

2 2 Zadatak 1. Dokažite metodom matematičke indukcije da n N vrijede sljedeće tvrdnje: a) b) c) n i=1 n i=1 n i=1 1 (2i 1)(2i + 1) = n 2n i(i + 1) = n n i = a 2i a n+1 1 a 2n+1 d) n a i b i = i=1 n a i n i=1 i=1 b i e) 8 (3 2n 1) f) 3 ( n + 1) g) 9 (4 n + 15n 1) h) 1 n n n > i) (1 + h) n > 1 + nh, h > 0, n > 1 (Bernoullijeva nejednakost) j) 2 n > n k) n n. Zadatak 2. Metodom matematičke indukcije dokazati a) 2 n > 2n + 1, za svaki prirodni broj n 3 b) (2n)! > 3 n (n!) 2, za svaki prirodni broj n 5. Zadatak 3. Neka su x 1, x 2 rjeenja kvadratne jednadžbe x x + 1 = 0. Dokažite da je x n 1 + x n 2 N, n N.

3 3 3.2 Skup cijelih brojeva - Z Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Zadatak 4. Dokažite: Ako je n cijeli broj onda su brojevi takoder cijeli brojevi. n 3 n 6 i n(3n 2 + 2n 1) 2 Zadatak 5. U skupu Z riješite jednadžbu (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) = Zadatak 6. Nadite sve cijele brojeve z Z, z < 100, koji pri djeljenju sa 7 daju ostatak 3, a pri djeljenju sa 11 ostatak Skup racionalnih brojeva - Q Q = Primjer. Decimalni prikaz racionalnog broja: { } p q : p Z, q N 1 4 = 0.25, 5 9 = = Napomena. Svaki racionalan broj ima konačan ili beskonačan periodičan decimalni prikaz. Zadatak 7. Zapišite u obliku razlomka: a) b) c) Skup iracionalnih brojeva - I Primjer. 2, π, e. I = {a : a Q a = ±d 0.d 1 d 2 d 3...}

4 4 3.5 Skup realnih brojeva - R Napomena. N Z Q R R = Q I Zadatak 8. Ako su a i b iracionalni brojevi moraju li a+b i a b biti iracionalni brojevi? Zadatak 9. Dokažite da je 2 iracionalan broj. Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija Napomena. x 2 = x. : R R + 0 definirana formulom x, x < 0 x =. x, x 0 Zadatak 10. Zapišite izraze bez korištenja apsolutne vrijednosti: (1) x2 x 1 1 x 2 1 (2) ( x 1)(x 1) x 2 2 x + 1 (3) 2x 3 + 3x 2 x 2 3x + 2 Zadatak 11. Skicirati grafove funkcija (1) f(x) = x + 5 (2) f(x) = 2x 1 (3) f(x) = 3 2x 4. Zadatak 12. Dana je funkcija g(x) = 4x 2 4x + 1 x 2 + 6x + 9 x 2. Koliko je g(x) za x < 3? Izračunajte g( 119) i g( π).

5 5 3.6 Skup kompleksnih brojeva - C Skup C := R R = {(x, y) : x R, y R}, na kojemu su operacije zbrajanja i množenja definirane na sljedeći način: (1) zbrajanje: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (2) množenje: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Neka je z = (x, y) C i i = 1. Standardni ili algebarski zapis kompleksnog broja: z = x + yi, x = Re z, y = Im z. Kompleksno konjugirani broj: z = x yi. Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja: z = z z = x 2 + y 2. Kompleksne brojeve prikazujemo u kompleksnoj ili Gaussovoj ravnini. Za sve z, z 1, z 2 C vrijedi: 1. z = z, 2. z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 3. z 1 z 2 = z 1 z 2 ( ) z1 4. = z 1, z 2 0 z 2 z 2 5. z z = z 2 6. z = z 7. z 1 z 2 = z 1 z 2 8. z 1 + z 2 z 1 + z 2

6 6 (1 + i)2 Primjer. z = i. Odredite Re z, Im z, z, z. (1 i) Zadatak 13. Izračunati z = ( 1 + i ) n, n N. 1 i Zadatak 14. Odredite sve z C za koje vrijedi (1) Im =1 z z (2) z 2 + z = 0 (3) z = z 2 Zadatak 15. Riješite sljedeće jednadžbe u skupu C: a) z 2 + z = 2 + i b) 2 z 4az ai = 0, a R \ {0}. Zadatak 16. Riješite sustav jednadžbi z 1 + z 2 = 1 + 2i 2 + iz 1 + z 2 i = 0, ako je Im z 2 = Zadatak 17. Odredite, a zatim skicirajte u Gaussovoj ravnini sljedeće skupove brojeva: (a) A = {z C : z = 1} (b) B = {z C : z 3} (c) C = {z C : z 2 + i < 3} (d) D = {z C : 1 z < 2} (e) E = {z C : Re(z 3) > 0} (f) F = {z C : Re z 2 z + 2 (g) G = {z C : z 1 + 2i > 3} 0 z 1} (h) H = {z C : z + 1 = z + 2i }

7 7 ( z ) (i) I = {z C : Im = 1} z Zadatak 18. Neka je z = u 1, u ±1, u C. Dokažite sljedeću tvrdnju: u + 1 Re z = 0 u = 1. Zadatak 19. Neka su z 1 = z 2 = 1 i z 1 z 2 1. Dokažite da je z = z 1 + z z 1 z 2 R Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja r = z = x 2 + y 2 ϕ = arg(z) [0, 2π), z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ) za x 0, ϕ je jedno od dva rješenja jednadžbe tgϕ = y x (odreduje se prema predznacima od x i y), za x = 0, y > 0 = ϕ = π 2 ; za x = 0, y < 0 = ϕ = 3π 2 ; Primjer. z 1 = 1 + i 123, z 2 = i + 3 Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva z j = r j (cos ϕ j + i sin ϕ j ), z 2 0 j = 1, 2 = Potenciranje kompleksnih brojeva z = r(cos ϕ + i sin ϕ), n N, = Korjenovanje kompleksnih brojeva z = r(cos ϕ + i sin ϕ), n N, = Napomena. pravilnog n-terokuta. z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] z 1 = r 1 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )] z 2 r 2 n z = n r(cos ϕ + 2kπ n z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1. n Postoji točno n različitih vrijednosti n-toga korijena iz z koji su vrhovi

8 8 Zadatak 20. Neka je z = 1 i. Odredite 6 z i z 36. Zadatak 21. Izračunajte (1) (1 + i) 8 (1 i 3) 6 (2) ( 1 + 3) 15 (1 1) 20 (3) i (4) 3 i Zadatak 22. Riješite jednadžbe i rješenja zapišite u algebarskom obliku 1) z 3 + 8i = 0 2) z 2 + ( i 3 2 )61 = 0 3) z = z 5 Zadatak 23. Neka je u = 3 3 3i. Odredite sve kompleksne brojeve z sa svojstvom da je arg(z 4 i 34 ) = arg(u), z = 4. Zadatak 24. Dokažite da je za svaki n N kompleksan broj (1 + i) 4n realan. Zadatak 25. Ako za a, b, c C vrijedi a = b = c = r, r 0, dokažite da vrijedi ab + bc + ac = r. a + b + c