Λυκειο Ευαγγελικης Σχολης Σμυρνης

Transcript

1 Ì Ü Å Ñ Ø Ò È Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð ¹ Πειραματικο Ö Ö Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒÔ Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôòùô ÒØ Λυκειο Ευαγγελικης Σχολης Σμυρνης ½ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ¾¼½¼ ÙÒ Õ ÓÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ ÒÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ò ÝÓÙÒ Ô Ø ÕÖ ØÓÙº TEXº ËØÓ Õ Ó Ø ÒÑ ØÓLA

2 ½ËÙÒ ÖØ ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È 1.1 Συναρτήσεις:Γενικά 1.Στηνισότητα x+3y = 4ναεκφράσετετο yσυναρτήσειτου x. ½ y = 3 x y = µd f µd f.στηνισότητα x(y +) = xy 1ναεκφράσετετο yσυναρτήσειτου x. x+1 x 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (αʹ) f (x) = (βʹ) f (x) = x x+3 x x 3 x x+ = (, 3) [,+ ) = R { 1,1,} = (, 1) ( 1,1) (1,) (,+ ) 4.Γιατηνσυνάρτηση fείναιγνωστόότι Εχει πεδίο ορισμού το R Είναι γνησίως αύξουσα. Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο από τα <, > τις παρακάτω σχέσεις: (αʹ) f (1)...f (4) (βʹ) f ()...f ( ) (γʹ) f ( 1 )...f (0) (δʹ) f (x+1)...f (x+) ³µ< ³µ> ³µ> ³µ< 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (αʹ) f (x) = ln x 3lnx+ (βʹ) g(x) = ln ex 1 x+ µ(0,e] [e,+ ) µ(, ) ( ln,+ ) 6.Δίνεταιησυνάρτηση f(x) = x +x 1.Ναβρείτεγιαποια xισχύει f(x) = Ενα διαγώνισμα του 001. Εστω η συνάρτηση x+1 f (x) = x 3 3x + (αʹ)νακαθορίσετετοπεδίοορισμούτης D f. x = 4, x = 3

3 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾ (βʹ)ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείαςπουδιέρχεταιαπότασημείαk(,f()), Λ(3,f (3)). 8. Ενα διαγώνισμα του 001. Εστω η συνάρτηση f (x) = x +4x 1 (αʹ)νακαθορίσετετοπεδίοορισμούτης D f. (βʹ)νααποδείξετεότιγιακάθε x,x+1 D f μεισχύει f (x+1) f (x) = x+5 9. Εστωησυνάρτηση g(x) = x x.ναεπαληθεύσετετιςισότητες: (αʹ) xg(x) x = (βʹ) g ( ) 1 x +g(x) = 1 x x 1 4 x Ναβρείτετηνεξίσωσητηςευθείας y = αx+βστιςακόλουθεςπεριπτώσεις: (αʹ)διέρχεταιαπότασημεία A(1,), B( 3,1) (βʹ)διέρχεταιαπότοσημείο A(1,)καιείναιπαράλληληπροςτηνευθεία y = x+5 (γʹ) Διέρχεταιαπότοσημείο A(1,)καιείναικάθετηπροςτηνευθεία y = x+5 µy = µy = µy = x 1 x Δίνεταιησυνάρτηση f (x) = x+ x. (αʹ)ναβρείτετοπεδίοορισμούτης. (βʹ)ναεπαληθεύσετετηνισότητα f(x ) x = x +1. ³µ[0,+ ) 1. Εστωησυνάρτηση f με f (x) = x + x 1. Ναβρείτετηνεξίσωσητης ευθείαςπουδιέρχεταιαπότασημεία A(1,f (1)), B( 3,f ( 3)). y = x + 13.Σταεπόμενασχήματαναεκφράσετετο yσυναρτήσειτου x. (Ι) ««Ý «Ü «(ΙΙ) ««Ý «Ü «

4 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ««Ý «Ü «(ΙΙΙ) (IV) Áµy= α +x ÁÁµy= x αx+α ÁÁÁµy= αηµx D f = Ü «««Ç Ý α ηµx (IV) y = 14.Ναβρείτετοπεδίοορισμούτηςσυνάρτησης f (x) = x 3 x+1. [ 1 1 5, ] [1,+ ) 15. Εστω f (x) = x + 1 x. Νααποδείξετεότιαν lna + lnb = 0τότεισχύει f (a) = f (b). 16.Γιατηνσυνάρτηση fείναιγνωστόότι: º Είναι γνησίως αύξουσα. Εχει πεδίο ορισμού το R. (αʹ) Εστωότι f (x 1 ) < f (x ).Τότεθαείναικαι x 1 < x.γιατί; ( ) ( ) x+1 x 4 (βʹ)ναβρείτεόλατα xγιαταοποίαισχύει f x+ < f x+7 7 < x < 3 ³µx < 17. Εστωδύοσυναρτήσεις f, g. Εστωακόμη s,dτοάθροισμακαιηδιαφορά τους.αν s(5) = 3και d(5) = βρείτετα f (5),g(5). s(5) = 5,d(5) = Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: f (x) = x +x+1 g(x) = 3x x+1 A(0,1),B ( 3, 19 ) 4 19.Γιαποιέςτιμέςτων α,β ηγραφικήπαράστασητηςσυνάρτησης f (x) = αx +βx+διέρχεταιαπότασημεία A( 1,9)και B(,6); α = 3,β = 4 0. Μία λίμνη μολύνεται από διαρροή τοξικού υγρού. Η ποσότητα, σε λίτρα, ϕ(t)εισρεύσειστηλίμνημετάπάροδοχρόνου tωρώνείναι: t 5 t αν t 4 ϕ(t) = 10t 3 αν t > 4 Η διαρροή διήρκεσε 10 ώρες.

5 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È µ ÐØÖ µt 0 (αʹ) Να υπολογίσετε πόσα λίτρα τοξικού υγρού διοχετεύθηκαν στη λίμνη. (βʹ)ναβρείτεποιαχρονικήστιγμή t 0 υπήρχανστηλίμνη8λίτρατοξικού υγρού. = 4 1.Είναι g(x) = x+αlnxκαι g(e) = 7.Ναβρείτετο g ( e ). e e Στα παρακάτω σχήματα απεικονίζεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f. Σεποιέςπεριπτώσειςμπορούμεναπούμεότιηf παρουσιάζειτοπικό ακρότατοστο x 0 ; f ( x0) f ( x0) (α ) x 0 (β ) x 0 f ( x0) f ( x0) x 0 (γ ) ËØ ³µ ³µ f ( x0) x 0 (ε ) (δ ) (ς ) f ( x0) x 0 x 0 3. Εστωμίασυνάρτηση fμεπεδίοορισμούτο R. (αʹ)νααποδείξετεότιαν x 1 < x καιοαριθμός λ = f(x1) f(x) x 1 x είναι θετικόςτότεθαείναικαι f (x 1 ) < f (x ). (βʹ)νααποδείξετεότιανγιακάθεζεύγοςx 1 x ισχύειλ = f(x1) f(x) x 1 x > 0 τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 4. Να απλοποιήσετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων (αʹ) f (x) = x4 16 x 4 (βʹ) g(x) = x +x x +x 3 (γʹ) h(x) = x x 1 È Ö Ñ Ø Ä Ó 4x 4x+8 Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ

6 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È µf (x) = x + 4 µg(x) = x+ x+3 µh(x) = x 3 (x 1) 5. Εστωησυνάρτηση ϕ(x) = ηµx+συνx. (αʹ)ναυπολογίσετετο ϕ(0) (βʹ)ναυπολογίσετετο ϕ ( ) π 4 (γʹ) Ναυπολογίσετετο ϕ ( π x) ϕ ( π +x) µ µ1 µ0 µ(,e + ] µλ 6. Εστωησυνάρτηση ϕ(x) = 1 ln(x ). (αʹ)ναβρείτετοπεδίοορισμούτης f. (βʹ)ναβρείτεγιαποιατιμήτου λτοσημείο M (λ,3)ανήκειστηγραφική παράστασητης f. ( (γʹ) Νααποδείξετεότι ϕ +e 1 x) = x. 1. ΟριαΣυναρτήσεων 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: x+1 (αʹ) lim x x+ x+1 (βʹ) lim x 5 x+ = e 8 + x+1 (γʹ) lim x 1 x+ x+1 (δʹ) lim x α x+ 7 µ0 8. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: x (αʹ) lim 4x+3 x 1 x +x 3 x (βʹ) lim x 1 x 1 5x +9x 4 (γʹ) lim 1 x x x 1 3x x 3x (δʹ) lim + 7 x 3 x 3 x + 9 x+9 µ3 µ6 4 µα+1 α+ µ 1 µ 3 9. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: µ µ 11 3

7 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) lim x 1 x 1 x 3 +x (βʹ) lim x x 3 x x x 3 x +x 8 x (γʹ) lim 5 +3x 4 +x+3 x 3 x 3 x +x 8 (δʹ) lim (x+1) 3 8 x 1 x 1 µ Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: ( (αʹ) lim x +7 x+1 ) x 3 (βʹ) lim x 3 x 9 x Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: (αʹ) lim (ηµx + 3συνx) x π (γʹ) lim x 3 x 9 9 x (δʹ) lim x 9 µ µ0 µ 1 x 3 x 5 µ 6 3 ηµx+συνx (βʹ) lim x π ηµx συνx 6 µ1 µ7 4 µ6 ¼ µ1 µ1+ 3 α = 5 ± 6 3.Γιαποιάτιμήτου αισχύει lim x α x 3 +x αx α 1 3 x α = 5; 33.Γιατηνσυνάρτησηf(x)είναιγνωστόότιείναισυνεχήςστοκαιότι f () = 5.Ναυπολογίσετετοόριο lim 34.Ναβρείτετοόριο lim 5 7 x 3/ (f (x) 5)(x 4) x (f(x) 5)(x ). 4x 4 +6x +19x+6x x 3 +5x +5x+3 35.Γιατιςσυνεχείςσυναρτήσεις f,gείναιγνωστόότι Να υπολογίσετε το όριο: f (3)+g (3) = f (3)+4g(3) 5 lim x 3 ( f (x) 1 )( g (x) 4 ) (f (x) 1)(g(x) ) Υποθέτουμε ότι lim x 3 x 3 +4x +αx+β x 3 = 5. (αʹ)ναθέσετε f (x) = x3 +4x +αx+β x 3,x 3καιναεκφράσετετο x 3 +4x + αx+βωςπαράστασητων f (x)και x 3. (βʹ)νααποδείξετεότι β = 63 3α (γʹ) Ναβρείτετα α,β. α = 46 β= 75

8 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È 1.3 ΥπολογισμοίΠαραγώγων 37. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = x 3 (βʹ) f(x) = 3x 3 (γʹ) f(x) = x 5 (δʹ) f(x) = x 0,1 (εʹ) f(x) = x 4 (ϛʹ) f(x) = x 11 (ζʹ) f(x) = x 3 (ηʹ) f(x) = x 5 6 (θʹ) f(x) = x (ιʹ) f(x) = x (ιαʹ) f(x) = 3 x (ιβʹ) f(x) = 5 x (ιγʹ) f(x) = k x (ιδʹ) f(x) = 3 x (ιεʹ) f(x) = 3 x, x > 0 (ιϛʹ) f(x) = 3 5 x (ιζʹ) f(x) = x (ιηʹ) f(x) = 13 x 18 (ιθʹ) f(x) = x e (κʹ) f(x) = x 45 (x) = 3x µf (x) = x 4 (x) = 9x µf Þµf µf (x) = 5x 4 (x) = 0,1x 0,9 = x 9 (x) = 4 x 5 (x) = 11 x 1 (x) = 3 x 1 3 = 3 3 x (x) = x (x) = x 1 (x) = 1 x (x) = x µf µf µf µf Þµf µf µf (x) = x 1+k k 1 k = k k x k 1 (x) = 3 3 x (x) = 3 3 x (x) = x 14 (x) = x 15 (x) = x 5 (x) = ex e 1 (x) = 104x Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = ηµx (δʹ) f(x) = συνx (βʹ) f(x) = 3συνx (εʹ) f(x) = 11σϕx (γʹ) f(x) = εϕx (ϛʹ) f(x) = 1 4 x44 (x) = συνx µf (x) = 3ηµx (x) = 1 εϕ x 39. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: µf (x) = ηµx µf (x) = 11 11σϕ x (x) = 11x 43

9 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) g(x) = x+3 (βʹ) g(x) = x 3 (γʹ) g(x) = 3x (δʹ) g(x) = x 3 (εʹ) g(x) = 3x (ϛʹ) g(x) = 3+x µg (x) = 1 µg µg (x) = 1 (x) = 3 µg (x) = 1 3 µg µg (x) = 3 (x) = Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) ϕ(x) = 5e x (βʹ) ϕ(x) = e5 x (γʹ) ϕ(x) = ( ) 1 x e (δʹ) ϕ(x) = 4 x (εʹ) ϕ(x) = (e+1) x µϕ (x) = 5e x µϕ (x) = e5 x ln5 µϕ (x) = e x µϕ (x) = (ln)4 x µϕ (x) = (e+1) x ln(e + 1) (ϛʹ) ϕ(x) = x (ζʹ) ϕ(x) = 3 x (ηʹ) ϕ(x) = 5 4 x (θʹ) ϕ(x) = 11 1 x µϕ Þµϕ µϕ µϕ (x) = ln ln x (x) = 3 ln3 x (x) = 5 5 x (x) = (11 ln1)1 x 41. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) h(x) = x+x (βʹ) h(x) = 3x+6x (γʹ) h(x) = αx +βx+γ (δʹ) h(x) = αx βx+γ (εʹ) h(x) = x + 3x+ 5 (ϛʹ) h(x) = 6x 3 3x +5x 1 (ζʹ) h(x) = x 11 +x µh(x) = 5x 5 +4x 4 +3x 3 +x +1 µh(x) = 3 x3 + 5 x +x 9 µh(x) = α 3 x3 + β x +γx+δ µh (x) = 1 + x µh µh µh (x) = 3 + 1x (x) = αx + β (x) = αx β µh (x) = 18x 6x + 5 Þµh (x) = 11x x 7 µh µh (x) = 5x x 3 + 9x + 4x (x) = x + 5x + 1 µh (x) = x Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: µh (x) = αx + βx + γ

10 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È (αʹ) f(x) = ηµx+e x (βʹ) f(x) = ηµx+3συνx (γʹ) f(x) = ηµx+3συν π 18 (δʹ) f(x) = e x +3e 4 (εʹ) f(x) = ηµ π 5 ηµx+eηµ π 11 (ϛʹ) f(x) = εϕx+ x (ζʹ) f(x) = 4 3 x+ x+x (ηʹ) f(x) = συν +συν π 8 (θʹ) f(x) = συνx+lnx (ιʹ) f(x) = lnx 3 (ιαʹ) f(x) = 5logx (ιβʹ) f(x) = 3log3x 5logx (ιγʹ) f(x) = log ( x ) (ιδʹ) f(x) = log(3+x) (x) = συνx + e x µf Þµf (x) = συνx 3ηµx (x) = συνx (x) = e x (x) = ηµ π 5 συνx (x) = 1 + εϕ x+ 1 x (x) = x + 1 x + 1 (x) = 0 µf µf µf µf (x) = ηµx + 1 x (x) = 3 x (x) = 5 xln10 (x) = xln10 (x) = xln10 (x) = 1 (3+x) ln Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = (x+1)(x ) (βʹ) f(x) = (x+1)(5x ) (γʹ) f(x) = (x 1) ( x +1 ) (δʹ) f(x) = ( x 3 +x+1 ) (x 1) (εʹ) f(x) = (e x +x)(x+lnx) (ϛʹ) f(x) = ( x x) ( x+x 3) (ζʹ) f(x) = (x+1)(x+)(x+3) (ηʹ) f(x) = (x+e x )(x+lnx)(x+1) (θʹ) f(x) = x(x +1)ηµx (ιʹ) f(x) = (ηµx)(συνx)(εϕx) (ιαʹ) f(x) = e x lnxηµx (ιβʹ) f(x) = x 3 x+1 4 x+ (ιγʹ) f(x) = α 3 α+1 4 x+ (ιδʹ) f(x) = x ( x +x+1 )( x x+1 ) (x) = x 1 µf Þµf µf µf µf µf (x) = 0x + 1 (x) = 3x x + 1 (x) = 4x 3 3x + x (x) = e x x + e x lnx + x + lnx + e x + 1 x ex + 1 (x) = x 5 3 x 4x 3 (x) = 3x + 1x + 11 (x) = 3x + 3x+xlnx+lnx+e x x +3e x x+e x xlnx+e x lnx+1+e x + 1 x ex (x) = 3x ηµx + ηµx + x 3 συνx + xσυνx (x) = συνxηµx (x) = e x lnxηµx + 1 x ex ηµx + e x lnxσυνx (x) = 13x +9x+1 1 x 3 (1+x) 4 (+x) 3 (x) = α 3 α x+ 3 (x) = 5x 4 + 3x Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:

11 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½¼ (αʹ) f(x) = x+1 x (βʹ) f(x) = x +1 x (γʹ) f(x) = x x (δʹ) f(x) = ex x (εʹ) f(x) = ex x (ϛʹ) f(x) = lnx x (ζʹ) f(x) = lnx ηµx (ηʹ) f(x) = ln3x ln5x (θʹ) f(x) = ex x e (ιʹ) f(x) = x x (x) = 3 µf Þµf (x ) (x) = 6x (x ) (x) = x xln 1 x (x) = e x x 1 x (x) = e x x x 3 (x) = 1 lnx x (x) = ηµx+(lnxσυνx)x x( 1+συν x) (x) = ln5 ln3 (ln5+lnx) x (x) = e x x e x e 1 e x+1 (x) = x + (x ) (ιαʹ) f(x) = 4 x (ιβʹ) f(x) = αx+β γx+δ (ιγʹ) f(x) = x +x+1 x 1 (ιδʹ) f(x) = x+ηµx συνx (ιεʹ) f(x) = x+lnx x lnx (ιϛʹ) f(x) = x 1+ 1 x (ιζʹ) f(x) = x (ιηʹ) f(x) = ex +e x e x e x (ιθʹ) f(x) = x3 1 x 4 1 µf (x) = µf µf µf µf µf Þµf µf µf 8x (x ) (x) = αδ γβ (γx+δ) (x) = x x (x 1) (x) = συνx+xηµx+1 συν x (x) = 1 lnx (x lnx) (x) = x(x+) (x+1) (x) = 1 (x+1) (x) = 4 e x ( 1+e x ) ( (x) = x x ) +x+3 (x 3 +x +x+1) 45. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) g(x) = (x) 3 (βʹ) g(x) = (qx) r (γʹ) g(x) = 3x (δʹ) g(x) = (x+1) 11 (εʹ) g(x) = (11x+1) 11 (ϛʹ) g(x) = ηµ 3 x (ζʹ) g(x) = ηµ3x (ηʹ) g(x) = ηµx 3 (θʹ) g(x) = 3 ηµx (ιʹ) g(x) = ηµ 3 x (ιαʹ) g(x) = ηµ x 3 (ιβʹ) g(x) = 1 3 ηµx (ιγʹ) g(x) = e 3x (ιδʹ) g(x) = e x +1 (ιεʹ) g(x) = e x (ιϛʹ) g(x) = ηµ(ωx) (ιζʹ) g(x) = ηµ(3x+4) (ιηʹ) g(x) = εϕ3x (ιθʹ) g(x) = ln(ηµx)

12 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½½ µg (x) = 4x µg µg µg µg µg Þµg µg µg µg (x) = rq r x r 1 (x) = 3 x (x) = 11(x + 1) 10 (x) = 11(11x + 1) 10 (x) = 3συνx 3συν 3 x (x) = 3συν3x (x) = 3 ( συνx 3) x (x) = συνx 3 3 ηµ x (x) = συν 3 x 3 3 x µg (x) = 1 3 συν 1 3 x µg µg µg µg µg Þµg µg µg (x) = 1 3 συνx (x) = 3e 3x (x) = xe x +1 (x) = xe x (x) = ωσυνωx (x) = 3συν (3x + 4) (x) = 3 + 3εϕ 3x (x) = συνx ηµx = σϕx 46. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(x) = ηµ ( συνx ) (εʹ) f(x) = x x (βʹ) f(x) = e lnx (γʹ) f(x) = (ϛʹ) f(x) = ( x ) x εϕ3x (δʹ) f(x) = 3 lnx (ζʹ) f(x) = ηµ x x (x) = ( συν ( συνx ) ηµx ) x (x) = x (x) = 3 1+εϕ 3x εϕ3x (x) = 3 3x lnx (x) = x x +1 (lnx + 1) µf (x) = ( x ) x ( lnx + ) ( ) Þµf (x) = 1 ηµ ( x 1) x ln(ηµx)ηµx+xσυνx x 47. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) g(x) = ηµ(lnx) (βʹ) g(x) = ηµ(ηµx) (γʹ) g(x) = ln(lnx) (δʹ) g(x) = e xηµx ( ) 4 x+1 (εʹ) g(x) = x 1 (ϛʹ) g(x) = (e x lnx) (ζʹ) g(x) = ln ( ) x+ 1 x µg (x) = συν(lnx) x µg xln x µg µg (x) = 1 (x) = (συνx)συν (ηµx) (x) = e xηµx (ηµx + xσυνx) (ηʹ) g(x) = ηµ ( x +1 ) (θʹ) g(x) = εϕ( πx 4 ) (ιʹ) g(x) = x x (ιαʹ) g(x) = e 0,1x (ιβʹ) g(x) = (x 1) x 1 ) 1+ 1 x (ιγʹ) g(x) = ( 1+ 1 x (ιδʹ) g(x) = ηµ(lnx) Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ µg (x) = (e x lnx) È Ö Ñ Ø Ä Ó (lnx)x+1 (ln x)x Þµg (x) = x 1 x(x +1) µg (x) = 8 (x+1)3 (x 1) 5

13 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½¾ µg (x) = x ( συν ( x + 1 )) µg (x) = π 4 µg µg ( ) 1 + εϕ πx 4 (x) = x x (lnx + 1) (x) = 0,1e 0,1x µg (x) = (x 1) x 1 (ln(x 1) + 1) µg µg (x) = (x) = συν(lnx) x ( )x+1 x+1 x ln x+1 x +1 x x 48. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (αʹ) f(t) = e 3t (βʹ) f(ω) = συν3ω (γʹ) S(ω) = ω+1 ω 1 (δʹ) s(t) = 1 t +3t (εʹ) P(t) = t 3t+3 (ϛʹ) V(t) = α lnt (ζʹ) E(r) = π(r +1)(r+) (ηʹ) V(x) = x +x(x+α)+β (θʹ) I(λ) = λ lnλ (ιʹ) I(ξ) = ξ(ξ +1) (t) = 3e 3t µs µs µp (ω) = 3ηµ3ω (ω) = (ω 1) (t) = t + 3 (t) = 8 1 t 4t8 t ln µv (t) = α tln t ÞµE µv µi (r) = πr + 3π (x) = 4x + α (λ) = lnλ 1 ln λ µi (ξ) = ξ+1 ξ(ξ+1) 49. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω παραστάσεων ως προς την μεταβλητή που σημειώνεται: ( ) (αʹ) p = P1V1+PV V 1+V ωςπρος V (δʹ) I = I 0 1 e R L t ωςπρος t (βʹ) T = π m D ωςπρος D (εʹ) R = R1R (γʹ) y = y 0 ηµπ ( R 1+R ωςπρος R 1 t T λ) x ωςπρος t (ϛʹ) q = N BS(συνθ 1) R Π+R G ωςπρος θ µdp P dv = V P 1 1 µdt µdy (V 1 +V ) dd = π D 3 m dt = π T y0 ( συνπ ( t T x λ µdi µdr )) µdq dt = I0 R L e R L t dr 1 = R (R 1 +R ) ηµθ dθ = NBS R Π +R G 50. Στις παρακάτω σχέσεις να βρείτε την παράγωγο ως προς τις αναφερόμενες μεταβλητές: (αʹ) xy = x+y +1(της yωςπρος x) (βʹ) PV = nrt(του V ωςπρος T) (γʹ) 1 R = 1 R R (του R ωςπρος R 1 ) (δʹ) Cp C v = 5 3 (του C vωςπρος C p ) (εʹ) x = e y (του xωςπρος y) (ϛʹ) x = e y (του yωςπρος x) (ζʹ) x +y = 9(του yότανείναιθετικόωςπρος x) (ηʹ) x + y = 10(του yωςπρος x)

14 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ µdy µdx µdv µdy µdr Þµf µdcp µdy µ dx = (x 1) dt = nr P dr = R 1 (R R 1 ) dy = 1 ey dx = 1 x (x) = x 9 x dcv = 5 3 dx = x x Ναυπολογίσετετο f (x 0 )στιςπαρακάτωπεριπτώσεις: (αʹ) f(x) = x x+1, x 0 = 1 (δʹ) f(x) = x+x, x 0 = 1 (βʹ) f(x) = x+ηµx, x 0 = π 4 (εʹ) f(x) = x x, x 0 = 1 (γʹ) f(x) = xlnx, x 0 = e (ϛʹ) f (x) = xe x, x 0 = 0 (1) = 1 4 ( ) π 4 = ( e ) = 3 µf µf (1) = 3 4 (1) = 1 (0) = 1 5. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: x (αʹ) f (x) = 1 x +1 (βʹ) f (x) = x ex 1+xlnx (γʹ) f (x) = ex e x e x +e x (δʹ) f (x) = ln x+1 x 1 (x) = x (x +1) 3 x 1 µf (x) = 4ex (e x +1) 53. Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (x) = (ex lnx+1)(1 x) (1+xlnx) (αʹ) f (x) = αx 3 +βx +γx+δ (βʹ) f (x) = β α α x (x) = (x+1)( 1+x) (γʹ) f (x) = β α x α (δʹ) f (x) = (x α)(x β)(x γ) (x) = 3αx + βx+γ (x) = βx α α x µf (x) = βx α x α (x) = 3x (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα 54. Εστω ότι οι f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα. Να επαληθεύσετε τις ισότητες: (αʹ) ( f (x)g(x) ) = f (x)f (x)g(x)+f (x)g (x) ( ) f (βʹ) (x)+1 g(x) = f(x)f (x)g(x) f (x)g (x) g (x), g(x) 0. g (x) (f (x)+1) (γʹ) ( f (x+1) g (x+1) ) = f (x+1)f (x+1) g(x+1)g (x+1)

15 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ (δʹ) ( f (lnx)g ( x 3)) 3f(lnx)g = (x 3 )x 3 +f (lnx)g(x 3 ) x ¹½ g(x) > 0 (ϛʹ) f (x) > 0 (εʹ) ( f (x)e f(x) +lng(x) ) = f (x)e f(x) f (x)+e f(x) f (x)+ g (x) g(x), ( (f (x)) g(x)) = (g (x)f (x)lnf (x)+f (x)g(x))(f (x)) g(x) 1, 55. Εστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f (3) = 1Αν g(x) = f ( x +x+3 ) ποιάείναιηg (0); 56. Εστω f μίασυνάρτησηορισμένηστο Rγιατηνοποίαισχύει f (3) = 10. f(x) f(3) Ναβρείτετοόριο lim x 3 x ΕξίσωσηΕφαπτομένης 57. Εστω f (x) = x 3 +x 3x+1. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένης της C f στοσημείοτης A(,f ()). y = 13x Εστω f (x) = x 3 9x +1x+6.Σεποιασημείατης C f οιεφαπτομένες τηςείναιπαράλληλεςστονάξονα x x; (,10)º ËØ A(1,11) B 59. Να βρείτε εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στονάξονα x xστιςακόλουθεςπεριπτώσεις: (αʹ) f (x) = lnx x (βʹ) f (x) = x3 + x ³µy = 1 e ³µy=3 60. Εστω f (x) = x ( x +1 ). Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε3. y = 8x Εστω f (x) = x x+1. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στο σημείοτηςπουέχειτεταγμένηίσημε3. y = 4x Εστω f (x) = ηµx. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στο σημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε π 6. y = 1 3x 1 1 3π Εστω f (x) = x+1+1.ναβρείτετηνγωνίαπουσχηματίζειμετον x x ηεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε Εστω f (x) = x(x+1)(x+).ναβρείτετηνγωνίαπουσχηματίζειμετον x xηεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηίσημε 1. π 4 3π 4

16 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ 65. Εστω f (x) = e x + x x. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στοσημείοτης P (0,f (0)). y = Εστω f (x) = x+ 1 x. Ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C fπου διέρχεταιαπότοσημείο A(4,4). y = 3 4 x Εστω f (x) = x 3 + x.ναεξετάσετεανηy = 7 x 7 είναιεφαπτομένη της C f. Æ ØÓ Ñ ÓØ T(1,0) 68. Εστω f (x) = lnx+1.ναβρείτεεφαπτομένητης C f πουνασχηματίζειμε τον x xγωνίαίσημε π 3. y = 3x 1 ln3 69. Εστω f (x) = x 3 +x+1.γιαποιατιμήτου tηευθεία y = 4x t+1είναι εφαπτομένητης C f ; t = 1 t = Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (x) = x+1 x +1πουδιέρχεταιαπότοσημείο A(1,1). y = 1 x + 3 y= 1 x Να βρείτε ευθεία που να εφάπτεται στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) = x +3και g(x) = 3 x. y = 4x 1 y = 4x 1 7. Εστω f (x) = x +x 1. Εστω (ε)ηεφαπτομένητης C f στοσημείοτης A ( 3 4,f ( 4)) 3.Ναβρείτεεφαπτομένητης Cf πουείναικάθετηστην (ε). y = x Ναβρείτεεφαπτομένητηςγραφικήςπαράστασηςτης f (x) = lnx x πουδιέρχεταιαπότηναρχήτωναξόνων. ÌÓ Ñ Ó Ô Õ Ø ØÑ Ñ Ò x 0 = e ÔØÓÑ Ò Ò y = 1 e x 74.Δίνεταιησυνάρτηση g(x) = αx + βx 1. Ναβρεθούνοιπραγματικοί αριθμοί α,βέτσιώστεηευθεία y = x + 5ναεφάπτεταιστηνγραφική παράστασητης gστοσημείο M ( 1,1). α = β= 6 75.Ναβρείτετουςαριθμούς κ,λανείναιγνωστόότιοιγραφικέςπαραστάσεις των y = x +κx+1και y = x +x+λέχουνκοινήεφαπτομένηεφάπτονται σε σημείο με τετμημένη 1. κ3 λ = 76. Εστωησυνάρτηση h(x) = 3x 3 +1x 13x+4και x 0 = 1, (αʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστσης της hστοσημείομετετμημένη x 0. (βʹ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του προηγουμένου ερωτήματος επανατέμνειτηνγραφικήπαράστασητης hσεένασημείοτουοποίουκαινα προσδιορίσετε τις συντεταγμένες. (,) ³µy = x ³µM

17 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ Ò Û ÜÓÙ ØÓ(, ] Ò Û ÒÓÙ ØÓ[,1] Ò Û ÜÓÙ Ò Û ÜÓÙ ØÓ(, 1] Ò Û ÒÓÙ ØÓ[ 1,1] Ò Û ÜÓÙ Ò Û ÒÓÙ ØÓ[0,1] Ò Û ÜÓÙ ØÓ[1,+ ) ] Ò Û ÜÓÙ ØÓ Ò Û ÜÓÙ ØÓ(0,1] Ò Û ÒÓÙ ØÓ[1,e ØÓ[0,+ )º Ò Û ÜÓÙ ØÓ(0,e] Ò Û ÒÓÙ ØÓ[e,+ ) 1.5 Μονοτονία 77. Εστω f (x) = x 3 + 3x 1x 6. Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίας της f. ØÓ[1, + ) 78.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = 3 x 3 x 79.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = e x (x 1) ØÓ[1, + ) 80.Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = xln x 4xlnx+4x+e [e,+ ) 81.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = lnx x 8.Σεποιαδιαστήματαείναιησυνάρτηση f (x) = x ηµx+xσυνxγνησίως αύξουσα; 83.Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f (x) = e x e x είναιγνησίωςαύξουσα. 84.Γιαποιέςτιμέςτου λησυνάρτηση f (x) = x 3 3λx +(9λ 6)x+1είναι γνησίως αύξουσα; 1 λ 85. Εστωησυνάρτηση f (x) = 1 3 x3 1 (α+β)x +αβx+α +β όπου α < β. Ναβρείτετα α,βανείναιγνωστόότιηf: είναι γνησίως αύξουσα στο (, 13] είναι γνησίως φθίνουσα στο [13, 18] είναι γνησίως αύξουσα στο [18, + ) α = 13,β = Νααποδείξετεότιησυνάρτηση f (x) = 1 x +lnxείναιγνησίωςαύξουσα. 87. Εστω f (x) = e x 4x+3.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτης. Ò Û ÒÓÙ ØÓ(,] Ò Û ÜÓÙ ØÓ[,+ ) 88.Νααποδείξετεότιησυνάρτησηg(x) = x+ 1 x(ηµ(lnx) συν(lnx))είναι γνησίως αύξουσα. 89. Εστωησυνάρτηση ϕ(x) = x 4 14x + 4x Ναβρείτεσεποια διαστήματα είναι γνησίως φθίνουσα. Ø (, 3],[1,] 90.Νααποδείξετεότιηh(x) = x 3 3x +3x 1είναιγνησίωςαύξουσα.

18 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ 91.Νααποδείξετεότιηh(x) = 1 3 x3 + x 1 x είναιγνησίωςαύξουσαστο διάστημα (0, + ). 9.Νααποδείξετεότιηω(x) = 1 3 συν3x+ηµx 3xείναιγνησίωςφθίνουσα. 93. Να αποδείξετε ότι η g(x) = ηµx xσυνx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 0, ] π. 3] Ò Û ÜÓÙ 94. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f (x) = xln x 7xlnx+13x Ò Û ÜÓÙ ØÓ(0,e ] Ò Û ÒÓÙ ØÓ[ e,e ØÓ[e 3,+ ) 95.Ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτηςσυνάρτησης f (x) = logx Ò Û ÜÓÙ ØÓ(0,e] Ò Û ÜÓÙ ØÓ[e,+ ) 1.6 Μέγιστα- Ελάχιστα x+1 96.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f (x) = x+ 1 x μεπεδίοορισμού το (0,+ ). ¾ x = 1 97.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f (x) = x + 1 x μεπεδίο 3 ορισμού το (0, + ). Àf Ò Ø Ð Õ Ø x 0 = 5 3 ºÀ Ð Õ Ø Ø Ñ Ø Ò f (x 0) = º 98.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςσυνάρτησης f (x) = xlnx x. (e) = e 99. Εστω f (x) = 1 4 x4 x x 6x+1.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτης f. ÀfÔ ÖÓÙ Þ ØÓÔ Ð Õ ØÓ Ø x 0 = 1 x (1) = f (3) = 4 Ð Õ Ø Ø Ñ Ø f Ò Εστω f (x) = (x 1) +(x ) +(x 3).Ναβρείτετηνελάχιστητιμή της f. ¾ x = 101.Γιατουςαριθμούς x,yείναιγνωστόότιισχύει x+3y = 1.Ναβρείτετην ελάχιστητιμήτηςπαράστασης x +3y +xy x = 10º 3 10.Απότιςεξετάσειςτου1977.Γνωρίζουμεότιηεξίσωση x +3 x = 5 x έχειτηνλύση x =.Ναδείξετεότιηεξίσωσηαυτήδενέχειάλληλύσηστο σύνολο των πραγματικών αριθμών. 103.Γιατουςαριθμούς x,yείναιγνωστόότιισχύει x 3y = 5.Ναβρείτετην ελάχιστητιμήτηςπαράστασης x +3y +xy y= 7º 0 Àf Ò Ø Ð Õ Ø x 0 = eºà Ð Õ Ø Ø Ñ Ø Ò f 108 x = 5 0 = 3º Ò f

19 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È 4º Å ØÓf ( ) = 11 Ð Õ ØÓf Å ØÓf (4) = 53 Ð Õ ØÓf º φ(π) = 3 e x y = 1 g(e) = 104. Εστωησυνάρτησηf(x) = x 3x+1μεπεδίοορισμούτοδιάστημα [,4]. Ναβρείτετηνμέγιστηκαιτηνελάχιστητιμήτης f. ( ) 3 = 5 ( ) = f (1) = 1º 105. Εστωησυνάρτησηf(x) = x 3 3x+1μεπεδίοορισμούτοδιάστημα [,4]. Ναβρείτετηνμέγιστηκαιτηνελάχιστητιμήτης f. 106.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςπαράστασης συν θ+4συνθ+6όταντο θ μεταβάλλεται στο διάστημα [0, π]. 107.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτηςπαράστασης e x +e y ότανείναιγνωστόότι x+y = 1. = lnx e 108. Εστω g(x) = x, x > 1.Ναβρείτετηνελάχιστητιμήτης g. 109.Δίνεταιησυνάρτηση g(x) = 3x 4 +8x 3 +1x +1x+6 (αʹ)νααποδείξετεότι g (x) = 1 ( x +x+1 ) (x+1) (βʹ) Να αποδείξετε ότι f παιρενι μόνο θετικές τιμές Μία δεξαμενή πετρελαίου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις m 1m 1m(βλ.σχήμα). Εναβυτιοφόρογεμίζειτηνδεξαμενή μέρυθμό 0,5 lit/sec.μετίρυθμόανεβαίνειηστάθμητηςδεξαμενής; ½ m 0,05 cm/sec 111. Το σημείο M κινείται κατα μήκος της πλευρά Γ του τετραγώνου ABΓ (βλ. σχήμα). x Μ 1- x Γ 1 Α Β

20 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ (αʹ)νααποδείξετέότιτομήκος s(x)τηςτεθλασμένης AMBείναι s(x) = 1+x + 1+(1 x). (βʹ)νααποδείξετεότι s (x) > 0 x 1 > 0 (γʹ) Νααποδείξετεότι 5 s(x) Ενα διαγώνισμα του 1999 ΖΗΤΗΜΑ1. Εστωησυνάρτηση f(x) = xκαι C f ηγραφικήπαράσταση της. (αʹ)½ναβρείτετηνεξίσωσητηςεφαπτομένηςτης C f στοσημείοτης A(4, f(4)). (βʹ)ναβρείτεγιαποιατιμήτου λτοσημείο B(λ, 4)ανήκειστην C f. ΖΗΤΗΜΑ.Απόόλαταορθογώνιαπαραλληλόγραμμαμεεμβαδόν100 m ποιό είναι εκείνο που: (αʹ)¾ Εχει τη μικρότερη περίμετρο; (βʹ) i. Εχει τη μικρότερη διαγώνιο; ii.τοτρίγωνοπουορίζεταιαπόμίαδιαγώνιοκαιδύοπλευρέςτου έχει τη μικρότερη περίμετρο; 113. Ενα διαγώνισμα του 1999 ΖΗΤΗΜΑ1. Εστω f(x) = x 3 3x (αʹ) Ναυπολογίσετετιςτιμές f (1), f (), f ( 1). (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της fστοσημείοτης M( 1),f( 1). ΖΗΤΗΜΑ.Τοάθροισμαδύοαριθμών xκαι yείναιίσομε40 9ºÌÓ Ö Ø ØÓ Ò ØÓÔ Ð Õ ØÓº (αʹ) Ναβρείτετημεγαλύτερητιμήπουμπορείναπάρειτογινόμενοτους. (βʹ)ποιαείναιημικρότερητιμήπουμπορείναπάρειηπαράσταση x y 000 ; 114.Γιαποιάτιμήτου αησυνάρτηση f (x) = x 3 + 3x + αx + 1παρουσιάζει ακρότατοστο x 0 = 1;Ποιόείναιτοείδοςτουακροτάτου; α = 115.Δίνεταιησυνάρτηση r(x) = x 4 4x 3x.Ναβρεθείευθείαπουναείναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της r σε δύο διαφορετικά σημεία. 4É Ð Õ ØÓº ¾ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º º ËÕÓÐ ÐÓ Ðº½ º½º ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º º y = 3x λ = ½ËÕÓÐ ÐÓ Ðº¾ º ii 116. Εστωησυναρτήση f (x) = x +λx +λ, λ R. Ναβρείτεγιαποιατιμή του ληfέχειτηνμεγαλύτερηελάχιστητιμή.

21 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾¼ 117. Εστω f (x) = x 13 4.Ναβρείτεποιοσημείοτης C fαπέχειαπότοσημείο A(1, 1) ελάχιστη απόσταση. y 13 = x 4 A( 11, ) )º ÌÓM (, 3 ) Εστω σ(x) = x 3 + 3x + 6x 6. Ναβρείτεσεποιοσημείοτης C σ η ËØÓP ( εφαπτομένητηςσχηματίζειμετονάξονα x xτηνμικρότερηδυνατήγωνία. 1, 17 α 119.Δείξτεότιτοόριο lim x 3 +αx α x αx x 1 x Ασκήσεις σε όλο το κεφάλαιο f(x) 3 11.Αν lim x x = 7ναβρείτετοόριο lim f (x). x είναιπάνταμεγαλύτεροήίσοτου 10.Νααποδείξετεότιηγραφικήπαράστασητηςσυνάρτησης f (x) = x 4 +x 8x+5δενέχεισημείακάτωαπότονάξονα x x. 1. Εναδιαγώνισματου001. Εστωησυνάρτησηf (x) = x 3lnx x (αʹ)ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτης f. (βʹ)ναβρείτετηνεφαπτομένητης C f στοσημείοτηςμετετμημένη. 13. Ενα διαγώνισμα του 001. Εστω η συνάρτηση f (x) = x 3 x+1 (αʹ)ναβρείτεταδιαστήματαμονοτονίαςτης f. (βʹ)ναβρείτετιςεξισώσειςτωνεφαπτομένωντης C f πουσχηματίζουνμε τονάξονα x xγωνία π Ενα διαγώνισμα του 001. ΖΗΤΗΜΑ 1. Εχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100m, μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος.

22 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾½ Ü Αντομήκοςτουτοίχουπουθαχρησιμοποιηθείείναι x: (αʹ) Ναεκφράσετετοεμβαδόντηςπεριοχήςωςσυνάρτησητου x. (βʹ) Να βρείτε ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν της περιοχής. ΖΗΤΗΜΑ. Εστω f (x) = ex e x +e x. (αʹ) Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f(x) (βʹ)νααποδείξετεότιαν α < βτότεισχύει e α e α +e α < eβ e β +e β 15. Ενα διαγώνισμα του 001. ΖΗΤΗΜΑ1 Εστω f (x) = x x, x > 0. (αʹ) Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. (βʹ)νααποδείξετεότιγιακάθε x > 0ισχύει f (x) ΖΗΤΗΜΑ Εστωησυνάρτηση f (x) = x 3 +3x+1. (αʹ) Ναβρείτεταακρότατατης f. (βʹ)γιατουςθετικούςαριθμούς xκαι yισχύει: x +y = 3 Ναβρείτετημέγιστητιμήπουμπορείναπάρειηπαράσταση: A = xy Γιατηνσυνάρτηση f (x) = x αx + βμε α,β Rείναιγνωστόότιη εφαπτομένητηςγραφικήςτηςπαράστασηςτης fστοσημείοa(1,f (1))είναι ηευθεία (ε 1 ): y = 3x 1. (αʹ)ναβρεθούνοιτιμέςτων α,β. (βʹ) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη (ε )είναικάθετηστην (ε 1 ). 1,β = 1 µèö Ø ØÓ Ñ ÓM µα = ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º iiiº ËÕÓÐ ÐÓ Ðº½ º¾º ËÕÓÐ ÐÓ Ðº½ º½ ivº 17.Ναβρείτεγιαποιατιμήτου ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º¾ iiº λισχύει lim λ = Ενα διαγώνισμα του 00. ΖΗΤΗΜΑ1 Εστωησυνάρτηση f (x) = x +x 1 x. ( 1 x 3x+ x 1 3x x 1 = , 8 9)º

23 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾¾ (αʹ) Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. (βʹ)ναμελετήσετετην fωςπροςτημονοτονία. ΖΗΤΗΜΑΤοάθροισμαδύοαριθμών x, yείναιίσομε40. (αʹ)½¼να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενο τους. (βʹ)νααποδείξετεότι x +y Απότιςεξετάσειςτου001. Δίνεταιησυνάρτηση f (x) = συνx+ ηµx. (αʹ)νααποδείξετεότι f (x)+f (x) = 0. (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της fστοσημείο A(0,1). (γʹ) Ναβρείτετηντιμή λ Rγιατηνοποίαισχύειησχέση: λf ( π ) ( π f = ) ³µy = x + 1 ³µλ = Απότιςεξετάσειςτου00.Δίνεταιησυνάρτηση f (x) = x (αʹ)ναβρείτετοπεδίοορισμούτηςσυνάρτησης f. (βʹ) Να υπολογίσετε το όριο lim x 3 f (x). (γʹ) Ναβρεθείηπρώτηπαράγωγοςτης f. x+1. (δʹ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της καμπύλης της συνάρτησης f ου είναι παράλληλεςστηνευθεία y = x+5. ³µf x y=x + 8 ³µ(, 1) ( 1,+ ) ³µ Ενα διαγώνισμα του 003. ΖΗΤΗΜΑ 1 Εστω η συνάρτηση f (x) = (αʹ)½½ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. 1 1+συνx (x) = (1+x) ³µy= (βʹ)ναμελετήσετεωςπροςτηνμονοτονίατην fστοδιάστημα ( π,π). ΖΗΤΗΜΑ Εστω υ = 100p(1+lnr) 100qr ½¾ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º½º ½¼ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º º ½½ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º½¾ iº ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º iiiº συνάρτηση του r, όπου p, q είναι θετικές σταθερές. (αʹ)½¾νααποδείξετεότιτο υγίνεταιμέγιστοόταν r = p q. È Ö Ñ Ø Ä Ó (βʹ) i.ναβρείτετηνμέγιστητιμήτου υ. Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ

24 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ¾ ii.νααποδέίξετεότιαν p < qτότεθαείναι υ < Εστωησυνάρτηση f (x) = αx 3 +βx +1x+1γιατηνοποίαείναιγνωστό ότιπαρουσιάζειακρόταταστα µìóô Ñ ØÓ ØÓ½ ØÓÔ Ð Õ ØÓ ØÓ¾ x = 1, x =. (αʹ)ναβρείτετα α,β. (βʹ)γιατιςτιμέςτων α,βπουβρήκατεστοερώτημα(α )ναπροσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων. µα =,β = Γιαμίαπαραγωγίσιμησυνάρτηση fισχύει f (x+y) = f (x)+f (y)γιαόλα τα x,y.νααποδείξετεότιγιακάθε xισχύει f (x) = f (0) Ενα διαγώνισμα του 004. Αν h(θ) = ηµθ συνθ: ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ)½ i.ναυπολογίσετετιςτιμές h(0)και h ( ) π ii.γιαποιεςτιμέςτηςγωνίας θείναι h(θ) = 0; (βʹ)νααποδείξετεότιστοδιάστημα [ 0, π ] η hείναιγνησίωςαύξουσα. Εστω f (x) = x x. ΖΗΤΗΜΑ (αʹ)½ Ναβρείτετηνπαράγωγοτης f. (βʹ) i.ναβρείτεταακρότατατης f. ii. Να βρείτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που σχηματίζειμετον x xγωνία (αʹ)νααποδείξετεότιγιαόλατα xισχύει e x + e x καιότιτο = ισχύειγια x = 0. (βʹ)νααποδείξετεότιαν α > βτότεισχύει e α e α α > e β e β β 136. Εστωότι ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº½ º º f(1) = 3, f (1) = 1, h(3) = και h (3) = 5. Ανείναι g(x) = h(x f(x))ποιόείναιτο g (1) Γιατουςθετικούςαριθμούς x, yείναιγνωστόότι x+y =.Ναβρείτετην ελάχιστητιμήτηςπαράστασης 1 x + 1 y. ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ðº º ii) ¾ x = y = 1

25 ½ËÙÒ ÖØ Å Ñ Ø Ò È ½ ½ 138.Γιατηνσυνάρτηση f (x) = e λx είναιγνωστόότιισχύει γιαόλατα x.ναβρείτετο λ. λf (x)+f (x) 3f (x) 139.Γιατηνσυνάρτηση f (x) = e λx είναιγνωστόότιισχύει γιαόλατα x.ναβρείτετο λ. λf (x)+f (x) 3f (x) ¾ 140.Ναβρείτεόλατασημεία Mτηςγραφικήςπαράστασηςτης f (x) = x πουέχουντηνιδιότηταηεφαπτομένηστο M ναδιέρχεταιαπότοσημείο K ( 1,0). M ( 1,1) M ( 3,3) 141.Γιαποιέςτιμέςτουαηευθείαy = 3x+1εφάπτεταιστηνγραφικήπαράσταση της y = αx +4x; α = Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων της γραφικής παράστασηςτης f(x) = x στασημείατης M 1 (x 1,f (x 1 ))καιm (x,f (x ))είναι M ( x 1+x,x 1 x ) Εστω ϕ(x) = e x e x +. (αʹ)ναβρεθείηϕ (x). (βʹ)ναβρεθείηϕ (x). (γʹ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της ϕ. (δʹ) µ Ò Û ÒÓÙ ØÓ(, ln] Ò Û ÜÓÙ ØÓ[ ln,+ )º Ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της ϕ έχει τεταγμένη 10; (εʹ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ϕ στο σημείο της R(0,ϕ(0)). µϕ (x) = e x e x µϕ (x) = 4e x e x ( ( µìóm 1 ln ) 1 33,10)º µy = x Απότιςεξετάσειςτου007.Δίνεταιησυνάρτησημετύπο f(x) = xe x +3 όπου x πραγματικός αριθμός. (αʹ)νααποδείξετεότι f (x) = f(x)+e x 3. f (βʹ)ναβρεθείτο lim (x) e x x 0 x x 145.Νααποδείξετεότιγιακάθε x > 0είναιx x

26 ¾ËØ Ø Ø ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ 146. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι βαθμοί σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών ενός σχολείου. Βαθμός Μαθητές ³µ 0 7 (αʹ) Να ομαδοποιήσετε αυτά τα δεδομένα σε κλασεις πλάτους,5 ώστε η κεντρική τιμή της πρώτης κλάσης να είναι 0. (βʹ) Να παραστήσετε τα ομαδοποιημένα δεδομένα σε ένα διάγραμμα. (γʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των βαθμών πρίν και μετά την ομαδοποίηση. ËÙÕÒ Ø Ø ³µ½ ½ 0,0,5 5,0 7,5 10,0 1,5 15,0 17,5 0,0 147.ΣεμίαέρευναπουδιεξήγαγεηεταιρείαΚΑΠΑ RESEARCHσεέναδείγμα γονέωντο001διαπιστώθηκεότιτο 51,7%δηλώνειότιηπαρουσίατων μεταναστών στην ελληνική κοινωνία τους προκαλεί ανησυχία και το 16, % δηλώνει ότι η παρουσία των ξένων τους ενοχλεί. Αδιάφορο εμφανίζεται το 17,1%ενώτο 11,6%δηλώνει ότιηνέααυτήπολυπολιτισμικήπραγματικότητα του φαίνεται ενδιαφέρουσα. º (αʹ) Βρείτε τι ποσοστό του δείγματος έδωσε άλλη απάντηση εκτός των αναφερομένων. (βʹ) Αν παραστήσουμε τα δεδομένα σε κυκλικό διάγραμμα τι γωνία θα αποδώσουμε στην πρώτη απάντηση; Στην δεύτερη; ³µ3,4% ³µÈ ÖÔÓÙ Ñ

27 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ 148. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται τα πλήθη των τροχαίων ατυχημάτων ενόςέτουςσεμίαπόλη. Μήνας Αριθμός Ατυχημάτων Ιανουάριος 15 Φεβρουάριος 150 Μάρτιος 80 Απρίλιος 50 Μάιος 40 Ιούνιος 43 Ιούλιος 80 ³µ Αύγουστος 75 Σεπτέμβριος 80 Οκτώβριος 65 Νοέμβριος 50 Δεκέμβριος 95 Να παραστήσετε τα δεδομένα σε ένα ραβδόγραμμα. 160 ÈÐ Ó ØÙÕ Ñ ØÛÒ ½ ¾ Å Ò ½¼½½½¾ 149. Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζεται μία αθροιστική ομαδοποιημένη κατανομή.

28 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ÃÐ νi Να βρείτε τις συχνότητες των κλάσεων. )½ 3)½ 4)½ 5) 6)½ [α 1,α [α,α [α 3,α [α 4,α [α 5,α ¾ 150. Παρακάτω παρουσιάζεται το κυκλικό διάγραμμα της κατανομής ενός δείγματοςμεγέθους N = ½¼¼Æ ½¼Æ ¼Æ ½ Æ Æ ½ ¼Æ Να βρείτε τις συχνότητες που αντιστοιχούν σε κάθε τομέα Να βρείτε την διάμεσο και την μέση τιμή στις παρακάτω σειρές δεδομένων: (αʹ) 1,,3,4,50 (βʹ) 1,,3,4,50,50 (γʹ) 1,,3,4,50,50,50 µδ = 3 x = 5 µδ = x 7 = 85 µδ = 4 x = Η μέση τιμή της βαθμολογίας στα Μαθηματικά της Α τάξης ενός Λυκείου είναι 10. Στο Λύκειο αυτό μεταγράφεται ένας μαθητής με βαθμολογία στα Μαθηματικά18καιημέσητιμήγίνεται 10,1. Ναβρείτετοαρχικόπλήθος των μαθητών. 153.Ημέσητιμή,ωςπροςμίαμεταβλητήενόςπληθυσμού Aμε νάτομαείναι α ενώημέσητιμή,ωςπροςτηνίδιαμεταβλητήενόςπληθυσμού Bμε µάτομα είναι β. Ποιαθαείναιημέσητιμήτουπληθυσμούπουπροκύπτειαπότην ένωση των δύο παραπάνω πληθυσμών; να+µβ ν+µ

29 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È À Ñ Ó Ø ÓÔ Ö ÔØô Ò º µ1800 ÙÖôº µ1390 ÙÖôº µ13390 ÙÖôº 154. Να βρείτε την διάμεσο της παρακάτω κατανομής:,4,-1,5,5,6,7,7,1,,11,1. Ποιαθαείναιηδιάμεσοςανητιμή1γίνει13; 155. Σε μία επιχείρηση η μέση τιμή των ετησίων αποδοχών των εργαζομένων είναι 11800ευρώ.Πωςθαδιαμορφωθείημέσητιμήαν: (αʹ)σεόλουςτουεργαζόμενουςδοθείωςδώροτοποσότων1000ευρώ; (βʹ) Σε όλους του εργαζόμενους δοθεί αύξηση 5%; (γʹ) Σεόλουςτουεργαζόμενουςδοθείαύξηση 5%καιτοποσότων1000 ευρώ; ¾ 156. Εστω η παρακάτω σειρά δεδομένων: Ναβρεθείοxώστε: (αʹ)ημέσητιμήναείναι6. (βʹ) Η διάμεσος να είναι:,4,,x,11,16,7,7,,5 i.6 ii.5 ³µ ³µi. x 157. Να βρείτε τη μέση τιμή και την διάμεσο στην παρακάτω κατανομή: 7 ii. x = 8,6 δ= = 8, Εστω η παρακάτω σειρά δεδομένων: Βαθμός Μαθητές Ν 70 3,4,5,5,6,7,7,8,8,8 Να υπολογίσετε το εύρος, την διακύμανση και την τυπική απόκλιση. R = 159.Ητυπικήαπόκλισημίαςκατανομήςείναι3καιημέσητιμή1. Ποιόςθα είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας; 5% 160.Ητυπικήαπόκλισητωνδεδομένων,3,4,5,xείναι1.Ποιοςείναιοx; Απαντηση: x = 7 5 s =,89 s = 1, 7º

30 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ ½ 161. Το ημερομίσθιο των εργαζομένων σε ένα εργοτάξιο παρουσιάζει τυπική απόκλιση 3. Τι τυπική απόκλιση παρουσιάζουν οι εβδομαδιαίες αποδοχές τους;(υπολογίστε 5 ημέρες εργασίας ανά εβδομάδα). 16. Η παρακάτω κατανομή ½,3,4,4,5,6,7,,3,4,5,1,,3,0 έχειμέσητιμή x = 17 5 = 3, 4καιτυπικήαπόκλιση s = = 1, 8.Να βρείτετοποσοστότωνστοιχείωνπουέχειτιμήμεταξύ xκαι x+s. 33,3% 163.Ημέσητιμήτωναριθμών 1,,...,nείναι7.Ποιοςείναιοn; 164.Νααποδείξετεότιισχύει s R. 165.Νααποδείξετεότιαν s = 0τότε x = δ. ± ± 166. Στο σχήμα που ακολουθεί παριστάνεται μία κανονική κατανομή με μέσο x = 3καιτυπικήαπόκλιση s = 0,. ½ ± ½ ± ¼ ½ ± ¾ ± ¾ ± ¼ ½ ± Ü Ü ¾ Ü Ü Ü Ü ¾ Ü Να βρείτε το ποσοστό του πληθυσμού που έχει τιμη:

31 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¼ (αʹ)μεταξύ3και3,. (γʹ) Τοπολύ3,6. (βʹ)μεταξύ,8και3,4. (δʹ) Τουλάχιστον,4. ³µ34% ³µ81,5% ³µ99,85% ³µ99,85% 167. Ο συντελεστής μεταβλητότητας της μεταβλητής X είναι 30%, και της μεταβλητής X +1είναι0%.Ναβρείτετο x ¾ 168. Αφου συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση: [3,7) [7,11) [11,15) [15, 19) N = νi x i = νi x i = x = ÃÐ Ã ÒØÖ Ì Ñ ËÙÕÒ Ø Ø x i ν i x i ν i x i s = Να βρείτε την τυπική απόκλιση των παρακάτω δεδομένων: Κλάση Συχνότητα Ñ Ø Ð Ø Ì Ñ ËÙÕÒ Ø Ø s = ËÕ Ø ËÕ Ø ÖÓ Ø 170. Από τις εξετάσεις του 000. Α.Ναγράψετεστοτετράδιοσαςτονπίνακατωντιμώντηςμεταβλητής X ËÍÆÇÄÇ ½¾ ¼ ½ ½¼¼ ¹ ½¼ ½ σωστά συμπληρωμένο: ν i ËÙÕÒ Ø Ø ËÙÕÒ Ø Ø ËÙÕÒ Ø Ø x iν ¹ ½¼ i x i x i νi x i f i f i% N i Β.Ναυπολογίσετετημέσητιμήκαιτηδιάμεσο. Γ.Ναδείξετεότιηδιακύμανσηείναι s = 0,49. Δίνεται ότι: ( k ) x i ν i s = 1 ν k x iν i i=1 i=1 ν

32 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ½ 171. Ενα διαγώνισμα του σχολικού έτους 000. ΖΗΤΗΜΑ 1ο Ημέσητιμήκαιηδιάμεσοςπέντεαριθμώνείναι6.Οιτρειςαπόαυτούςείναι οι5,8,9. (αʹ)½ Ναβρείτετουςάλλουςδύο. (βʹ) Να βρείτε τον συντελεστή μεταβλητότητας του δείγματος που απαρτίζουν οι πέντε αυτοί αριθμοί. ΖΗΤΗΜΑ ο (αʹ)½ Ναδείξετεότιαναπόόλεςτιςτιμές0,,4,6,8,10και1ενός δείγματος αφαιρέσουμε τη μέση τιμή τους και διαιρέσουμε με την τυπική απόκλιση,τότεοιτιμέςπουθαπροκύψουνθαέχουνμέσητιμή0και διασπορά 1. (βʹ) i. Να διατυπώστε ένα ανάλογο συμπέρασμα με εκείνο του του ερωτήματος 1. για τυχόν δείγμα. ii. Να αποδείξετε το συμπέρασμα που διατυπώσατε στο ερώτημα ερώτημα(α ). 17. Ενα διαγώνισμα του 003. ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ)½ Νασυμπληρώσετετονπαρακάτωπίνακα: x i ν i f i N i F i f i % F i % , , Σύνολο (βʹ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα. ΖΗΤΗΜΑ ½ Ημέσηηλικία13αγοριώνκαι1κοριτσιώνμίαςτάξηςείναι15,4χρόνια. ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼ Η μέση ηλικία των αγοριών είναι 15,8 χρόνια. ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ (αʹ) Να βρείτε την μέση ηλικία των κοριτσιών. (βʹ) Εστω ότι: τυπική απόκλιση της ηλικίας των κοριτσιών= τυπική απόκλιση τηλ ηλικίας των αγοριών=α

33 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ Ò Ø Ø Να συγκρίνετε την τυπική απόκλιση της ηλικίας των μαθητών όλης της τάξης μετο α. ( ) k x iν i k s x i νi i=1 = 1 ν i=1 ν 173. Ενα άλλο διαγώνισμα του 003 (των απόντων του προηγουμένου). ΖΗΤΗΜΑ 1 (αʹ)½ Χρησιμοποιώνταςτονπαρακάτωπίνακασυχνοτήτων,πουδίνειτην κατανομή του αριθμού των ημερών απουσίας από την εργασία τους λόγωασθενείας50εργατών,ναβρεθείοαριθμόςκαιτοποσοστότων εργατών που απουσίασαν: i. τουλάχιστον 1 ημέρα ii.πάνωαπό5ημέρες iii.από3έως5ημέρες iv.τοπολύ5ημέρες v. ακριβώς 5 ημέρες Αριθμός Ημερών Συχνότητα Αριθμός Ημερών Συχνότητα (βʹ) Να υπολογίσετε τον συντελεστή μεταβολής για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα. ΖΗΤΗΜΑ Εχουμε ένα δείγμα ν = 10 παρατηρήσεων, όπου κάθε παρατήρηση μπορεί ναείναι1,ή3. (αʹ)¾¼είναιδυνατόνημέσητιμήναείναι: i.1 ii. 4 iii. 1,8 ½ ËÕÓÐ ÐÓ Ð (βʹ)ναεξετάσετεανείναιδυνατόνημέσητιμήναείναι1,9. ¾¼ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ ¾ Δίνεται ότι: ( k ) s = 1 k x i ν i x i ν ν i=1 i ν i=1

34 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È È ÖÔÓÙ¾ º 174. Μία κανονική κατανομή έχει τυπική απόκλιση 4. Ποιο είναι το εύρος της; 175. Εστωότιδύοδείγματα A,B έχουνπλήθη µ,ν. Ωςπροςμίαμεταβλητή έχουνμέσεςτιμές α,β καιαποκλίσεις p,q. Νααποδείξετεότιτοδείγμα A Bέχειτυπικήαπόκλιση µ ( α +p ) +ν ( β +q ) µ+ν ( ) µα+νβ µ+ν 176.Απότιςεξετάσειςτου001.Σεμίαέρευναπουέγινεστουςμαθητές μίαςπόλης,γιατονχρόνοπουκάνουνναπάνεαπότοσπίτιστοσχολείο διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 1 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α.Ναβρείτετομέσοχρόνοδιαδρομήςτωνμαθητώνκαιτηντυπικήαπόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. Β. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ.Ανοιμαθητέςτηςπόληςείναι4.000,πόσοιμαθητέςθακάνουνχρόνο διαδρομήςαπό14έως16λεπτά; Δ. Μία μέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε κατά πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής CV Από τις εξετάσεις του 000. Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ ) f i % Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συμπληρώσει 35 χρόνια: α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν στα επόμενα 1,5 χρόνια; β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ την απάντηση È Ö Ñ Ø Ä Ó σας Από ένα διαγώνισμα του 001. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι τιμές μίας μεταβλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες τους εκτός της πέμπτης.

35 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È x i ν i ; 7 1 (αʹ)¾½ναβρείτετηνπέμπτησυχνότηταανγνωρίζετεότιημέσητιμήείναι 4,4. (βʹ)νααποδείξετεότιόποιατιμήκαιναπάρειηπέμπτησυχνότηταθαείναι πάντα 4 x Από ένα διαγώνισμα του 00. Ημέσηηλικία18αγοριώνκαι1 κοριτσιών μίας τάξης είναι 15,4 χρόνια. Εάν η μέση ηλικία των αγοριών είναι 15,8 χρόνια: (αʹ)¾¾να βρείτε την μέση ηλικία των κοριτσιών. (βʹ)νααποδείξετεότιανκανέναςμαθητήςήμαθήτριαδενείναικάτωτων 15ετώντότετοπολύ6άτομαμπορούνναείναι17ετών Από τις εξετάσεις του 003(Εσπερινά Λύκεια). Ενα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας ¹½¼ ¼¹¾ ¾¹ ¹ ½ ¾¼ εξετάστηκε ως προς το χρόνο(σε ¼ ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας.ïö ÙÔ ÖÛÖ Ô Õ Ð ÃÐ ¹µ ÖÓ Ø ÙÕÒ Ø Ø Ni Να βρείτε: (αʹ) το μέγεθος του δείγματος, ¹ (βʹ) τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες των κλάσεων και (γʹ) τημέσητιμή Από τις εξετάσεις του 00. Ενα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματαστιςπαρακάτωτιμές,σεευρώ: 8,10,13,13,15,16,18,14, 14,9. ¾½ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ º½¼ ¾¾ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ º (αʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. (βʹ) Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. (γʹ) Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής.

36 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 18. Από τις εξετάσεις του 003. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών τηςπρώτηςτάξης(ομάδαα)καιέξιμαθητώντηςδεύτερηςτάξης(ομάδαβ) ενός Γυμνασίου. ΟμάδαΑ ΟμάδαΒ (αʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας. (βʹ) Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες. (γʹ) ΑνσεκάθεπαρατήρησητηςομάδαςΑγίνειαύξηση0%καιοιπαρατηρήσειςτηςομάδαςΒαυξηθούνκατά5Ευρώηκάθεμία,πώςδιαμορφώνονταιοινέεςμέσεςτιμέςτωνδύοομάδων (δʹ) Νασυγκρίνετεμεταξύτουςωςπροςτηνομοιογένειατιςδύοομάδεςμε τα νέα δεδομένα. 183.Σταδεδομένα 1,,x,yέχουμεμέσητιμή 5 καιτυπικήαπόκλιση 5.Βρείτε τα x,y. x = 3,y = 4 x = 4,y = Να αποδείξετε ότι ο σταθμικός μέσος κάποιων τιμών βρίσκεται μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής Μια βιομηχανία κάνει συσκευασία γάλακτος σε 4 μεγέθη κουτιών και σε ÀÑ Ø Ñ Ò ØÙÔ Ô Ð Ò ºÅ Ø Ø Ò Ü ØÓÙ½¼± ποσοστά: 10%,0%,30%40%μεαντίστοιχοκόστοςσυσκευασίας16,1,8,4 λεπτά ÒÓÙÒ º ανά κουτί. (αʹ) Να βρεθεί το μέσο κόστος συσκευασίας και η τυπική απόκλιση του κόστους αυτού. (βʹ)αντοκόστοςκάθεσυσκευασίαςαυξηθείκατά 10%ναβρεθείηνέα τυπική απόκλιση του κόστους συσκευασίας Εναδείγμααποτελείταιαπό5αριθμούς.Οι4απόαυτούςείναιοι1,,3,4. Πωςπρέπειναεπιλεγείο5οςώστετοδείγμαναπαρουσιάζειτηνμικρότερη δυνατή τυπική απόκλιση; x = Κατάμίαμέτρησητουαναστήματοςτων10αθλητώνβρέθηκεότιημέσητιμή του ήταν 1,71. Ωστόσο στη συνέχεια βρέθηκε ότι οι υπολογισμοί έγιναν με μία λάθος τιμή: Αντί του πραγματικού αναστήματος 1,87 ενός αθλητή είχε δοθέι η τιμή 1,78. Ποιά είναι η πραγματική μέση τιμή του αναστήματος; 1,7

37 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 188. Στην παρακάτω κατανομή x = 9 ηδιάμεσοςείναι 40.Ναβρεθείτο x. 9 [, 3) 5 [3, 4) 6 [4, 5) x [6, 7) Από τις εξετάσεις του 003(Εσπερινά Λύκεια). Οι χρόνοι σε ώρες(παρατηρήσεις) που έξι από τους επίγειους σταθμούς δεν είχαν επαφή με τον Ελληνοκυπριακό δορυφόρο είναι: t 1 = 0, t = 0, t 3 = 1, t 4 =, t 5 = 4, t 6 = 5 (αʹ)ναβρείτετημέσητιμή xκαιτηδιάμεσο δτωνπαρατηρήσεων. (βʹ)αν f (x) = (t 1 x) +(t x) +(t 3 x) +(t 4 x) +(t 5 x) + (t 6 x) τότε: i.νααποδείξετεότι f ( x) = 0 ii.νααποδείξετεότι f ( x) = 6s,όπου s 3Ô ÖÒ Ø ÒÑ Ø Ø Ñ ØÓÙ είναιηδιακύμανσητων παρατηρήσεων και iii. να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης τηςσυνάρτησης fστοσημείο A( x,f ( x)) Να βρείτε την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο συντελεστής μεταβολής τωνπαρακάτωδεδομένων 1,,3,x(x > 0). Ò s x = 3x 1x+0ØÓÓÔÓÓ x x+6 = º³ Ö Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙCV Ò 35%º 5 3 = 0, º ÍÔÓ Ü Ò Õ Ø Ð Ø Ò ½ Õ Ø Ð ØÓÔÖ Ð Ñ r= 191.Νααποδείξετεότιανέχουμε rπληθυσμούςμε n 1,...,n r οιοποίοι,ωςπρος μίαμεταβλητή X,έχουνμέσεςτιμές α 1,...,α r τότεηένωσητουςέχειμέση τιμήτονσταθμικόμέσοτων α 1,...,α r μεβάρη n 1,...,n r. 19. Εστω ότι σε μία κατανομή ένός δείγματος μεγέθους ν εμαφνίζονται οι τιμές: t 1 t... t ν να αποδείξετε ότι για η διάμεσος είναι: δ = { tν+1, ν = περιττȯς tν +t ν+, ν = αρτιoς 193. Ενα διαγώνισμα του 004. ΖΗΤΗΜΑ 1 Εξη διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί έχουν μέση τιμή 15.

38 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È (αʹ)¾ i. Τους αριθμούς ii. Τη διάμεσο τους (βʹ) Να βρείτε την διασπορά τους. Στον διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μίας μεταβλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες τους εκτός της πέμπτης. 4,4.¾ ΖΗΤΗΜΑ x i ν i n 7 1 (αʹ)ναβρείτετηνπέμπτησυχνότηταανγνωρίζετεότιημέσητιμήείναι (βʹ) i. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής μεταβολής είναι 50 5n n % ii.γιαποιατιμήτου nοσυντελεστήςμεταβολήςείναι 14 3%; 194. Ενα άλλο διαγώνισμα του 004 (των απόντων του προηγουμένου). ΖΗΤΗΜΑ 1 Ημέσητιμήκαιηδιάμεσοςπέντεαριθμώνείναι6.Οιτρειςαπόαυτούςείναι οι5,8,9.¾ (αʹ) Να βρείτε τους άλλους δύο αριθμούς. (βʹ) Να βρείτε την διασπορά τους. ΖΗΤΗΜΑ ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ º½ ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ º½¼ Σε μία κάλπη υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 0%, 30% και 40% αντιστοίχως. Μία άσπρη μπάλα έχει βάρος 10gr,μίαμαύρη 11grμίακόκκινη 1grκαιμίαπράσινη 13gr. (αʹ)ναβρείτετημέσητιμήτουβάρουςγιαόλεςτιςμπάλες.¾ ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼½ º ¾ ËÕÓÐ ÐÓ Ð ½¼¼ º (βʹ) Είναι το δείγμα που περιέχεται στην κάλπη ομογενές;

39 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ÃÐ Ã ÒØÖÓËÙÕÒ Ø Ø ÕÐÑ Ð ËÙÕÒ Ø Ø ÙÕÒ Ø Ø ËÕ Ø ÖÓ Ø ÖºËÕ Øº i ÕÐÑ ÙÕÒ Ø Ø Ë ÒÓÐÓ x i ¾¼¼ ν i f i% N 195. Από τις εξετάσεις του ¼ 004. Στην Ἁττική οδό εξυπηρετούνται καθημερινά 00 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα ½ ¼ αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα: F i% [5,15) [15,5) [5,35) [35, 45) (αʹ) Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντιστοίχων μεγεθών (βʹ)να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (x i,f%) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. (γʹ) Ναβρείτετημέσητιμή x. (δʹ) Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 5 χιλιομέτρων.

40 ¾ËØ Ø Ø Å Ñ Ø Ò È Ë ÒÓÐÓ ¾¼¼½¼¼ ¼ ¼ ³µ 1, µ Õ Ð ÙØÓ Ò Ø µ x = ³µ[5,15)½¼ ¼ [15,5)¾¼ [5,35) ¼ [35,45) ¼¾¼ ¼ ½ ¾¾½ ¼ ¼ ½¼¾¼¼½¼¼ 196. Για τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα ³µκ = 1 λ = 13 ³µδ=8 Κλάσεις Συχνότητες ν i [0,4) 35 [4,8) κ [8,1) 8 [1,16) λ [16,0) 1 ΣΥΝΟΛΟ 100 ημέσητιμήείναι8,. (αʹ)ναβρείτετιςσυχνότητες κ, λ. ½ (βʹ) Να βρείτε τη διάμεσο. (γʹ) Να βρείτε τη διάσπορά = 1 5 = 8,48 µs = 30, Σεμίακανονικήκατανομήτοεύροςείναι18καιτοκατώτερο 16%φθάνει μέχριτηντιμή10.ποιαείναιημέσητιμή; 198. Ενα διαγώνισμα του 005. ΖΗΤΗΜΑ 1 Ομέσοςχρόνοςπουχρειάζονταιοιμαθητέςενόςσχολείουναπάνετοπρωί απότοσπίτιτουςμέχριτοσχολείοείναι10λεπτάμετυπικήαπόκλιση λεπτά. Υποθέτοντας ότι έχουμε περίπου κανονική κατανομή: (αʹ) Να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των μαθητών που χρειάζονται: i.κάτωαπό8λεπτά ii.πάνωαπό14λεπτά iii.τοπολύ10λεπτά iv.από6έως1λεπτά γιαναπάνεστοσχολείοτους. (βʹ) Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής του παραπάνω δείγματος.

41 È Ò Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¼ ΖΗΤΗΜΑ Σε μια κάλπη υπάρχουν άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες σε αναλογία 10%, 0%, 30% και 40% αντίστοιχα αλλά δε γνωρίζουμε πόσες μπάλεςυπάρχουνστηνκάλπη. Μιαάσπρημπάλαέχειβάρος10 gr, μια μαύρη11 gr,μιακόκκινη1 grκαιμιαπράσινη13 gr. (αʹ) Να βρείτε i.τημέσητιμήκαι ii. τη διάμεσο του βάρους όλων των μπαλών (βʹ) i.ναβρείτετηνδιασποράτουβάρουςόλωντωνμπαλών. ii.αφαιρούμεαπότηνκάλπημίαμπάλααπόκάθεείδος.ημέσητιμή 141,7 ÙÖô άραγε θα αυξηθεί, θα ελαττωθεί ή θα παραμείνει ίδια; (Δεκτές μόνο αιτιολογημένες απαντήσεις) Σε μία επιχείρηση ο μέσος μηνιαίος μισθός του προσωπικού είναι 100 ευρώ. Ομέσοςμισθόςτωνανδρώντηςεπιχείρησηςείναι150ευρώκαιτωνγυναικών 1100 ευρώ. Αν οι γυναίκες πάρουν αύξηση 5% πως θα διαμορφωθεί ό μέσος μηνιαίος μισθός των εργαζομένων; 00.Οιτιμέςενόςδείγματοςείναι5, 4,3, 6, 1καιοιαθροιστικέςσχετικέςσυχνότητεςτουςείναιαντιστοίχως 0,, 0,3, 0.4 0,8και1.Βρίτετημέσητιμήτους. È Ò Ø Ø 4,14 m 01.Ομέσοςμισθόςτωνεργαζομένωνσεμίαεπιχείρησηείναι m.ανόλοιοιμισθοίαυξηθούνκατάποσοστό a% 0 < a < 100καιμετάαπόκάποιοδιάστημα μειωθούν κατά a% ποιός θα είναι ό μέσος μισθός των εργαζομένων ( 1 α ) 0. Εστωοδειγματικόςχώρος Ω = {x,y,z,t,s,k}καιταενδεχόμενατου A = {x,y,s,k}, B = {y,t,s}.νασυμπληρώσετετιισότητες: (αʹ) A B = (βʹ) A B = (γʹ) A B = (δʹ) A = A B = {s,y} A B = {x,t,s,y,k} A B = {x,k} A = {z,t} 03.Σεκάθεένααπόταπαρακάτωδιαγράμματατου Vennείναι P (A) = 0,4, P (B) = 0,και P (A B) = 0,1. Ναβρείτετηνπιθανότητατουγραμμοσκιασμένου ενδεχομένου.

42 È Ò Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ½ Α Α A B A 0,4 0,5 0,6 04. Εστωοδειγματικόςχώρος Ω = {ω 1,ω,ω 3,ω 4 }.Ναβρείτετηνπιθανότητα τουενδεχομένου A = {ω 1,ω }στιςακόλουθεςπεριπτώσεις: (αʹ) P (ω 1 ) = P (ω ) = P (ω 3 ) = P (ω 4 ) (βʹ) P (ω 1 ) = P (ω ) = 3P (ω 3 ) = 4P (ω 4 ) (γʹ) P (ω 1 )+P (ω 3 ) = 0,, P (ω 1 )+P (ω 4 ) = 0,3, P (ω 3 ) = P (ω 1 ) B A B ³µ1 ³µ18 5 ³µ ΓιαταενδεχόμεναX,YενόςδειγματικούχώρουΩείναιγνωστόότιP (X) = P (Y)καιότι P (X Y) = 1 4P (X). Εστωότι P (X) = λ.ναεκφράσετε συναρτήσει του λ τις παρακάτω πιθανότητες: (αʹ) P (Y ) (βʹ) P ((X Y) (Y X)) λ ³µλ ³µ1 06. Να επαληθεύσετε τις ισότητες (αʹ) (A B) = A B (βʹ) (A B) = A B (Νόμοιτου de Morgan) 07.Ναβρεθείηπιθανότητα P (A)αν,κατάπερίπτωση,είναιγνωστόότι: ½ Πόσακορίτσιαέχειητάξη; (αʹ) P (A ) = 3 4 P (A) (βʹ) 5P (A)+P (A ) = 4 ³µ4 7 ³µ 3 08.Μίατάξηέχει30παιδιά.Είναιγνωστόότιηπιθανότητασετυχαίαεπιλογή ενόςπαιδιούναείναιαγόριείναι Να αποδείξετε ότι για κάθε ενδεχόμενο ισχύει πάντα 0 P (X)P (X ) 1 4

43 È Ò Ø Ø Å Ñ Ø Ò È ¾ 10. Από τις εξετάσεις του 1994, Δέσμη 4η. Εστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και A, B υποσύνολα του Ω. Εστω ότι P (A ) 0,8και P (B ) 0,71.Νααποδείξετεότι (αʹ) P (A B) 1,01 P (A B) (βʹ)τοενδεχόμενο A Bδενείναιτο. 11. Εστω Ω = {ω 1,ω,ω 3,ω 4 }καιηαπεικόνισηπουαντιστοιχείσεκάθευποσύνολο Aτου Ωέναπραγματικόαριθμό P (A)εξής: (αʹ) P (ω 1 ) = P (ω ) = P (ω 3 ) = 1 3, P (ω 4) = 0 (βʹ) P ( ) = 0 (γʹ) Γιακάθεάλλο A Ωτο P (A)είναιτοάθροισματωντιμώντων P (ω i ) με ω i A. ³ÇÐÓ Ó ÕÙÖ ÑÓ Ò Ð Óº (αʹ)ναεπαληθεύετεότιηpορίζειμίαπιθανότηταστο Ω. (βʹ) Να ελέγξετε την ισχύ των παρακάτω: i. P (A) = 0 A = ii. P (A) = 1 A = Ω iii. A B, P (A) = P (B) A = B 1.Ναβρείτετολάθος: Æ ÔÓ Ü Ø Ø Ò Ò Ò Õ Ñ ÒÓA Ò Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ä Ω Õ P (A)+P (A ) = 1Ø Ø A = P (A)+P (A ) = 1 = P (A)+(1 P (A)) = 1 = P (A)+1 P (A)+P (A) = 1 = P (A) P (A) = 0 = P (A)(P (A) 1) = 0 = P (A) = 0 P (A) 1 = 0 = P (A) = 0 P (A) = 1 = A = A = Ω A = Ωº 13. Από τις εξετάσεις του 000. Από τους 10 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Ε- ταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ενωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποιά είναι ή πιθανότήτα ο μαθητής: (αʹ) να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; (βʹ) να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; (γʹ) να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; ³µ4 15 ³µ1 6 ³µ11 15

44 È Ò Ø Ø Å Ñ Ø Ò È 14. Στους τελικούς του διασχολικού πρωταθλήματος βόλεϋ μετέχουν οι ομάδες Α,Β,Γ,Δ.ΕκτιμάταιότιηΑέχειτριπλάσιεςπιθανότητεςναπάρειτο πρωτάθλημααπόότιηβ,ηβέχειτριπλάσιεςπιθανότητεςαπόότιηγκαι ηγέχειδιπλάσιεςαπότηςδ.τιπιθανότηταέχειναπάρειτοπρωτάθλημα ηομάδαδ; Από τις εξετάσεις του 001. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 μαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις: Βάροςσεκιλά [ ) ΑθροιστικήΣυχνότητα F i , , (αʹ) Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιμές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. (βʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παραπάνω δεδομένων. (γʹ) Επιλέγουμε τυχαία από το δείγμα των 80 μαθητών ένα μαθητή. i.ναβρείτετηνπιθανότηταναέχειβάροςμικρότεροαπό65κιλά. ii.ναβρείτετηνπιθανότηταομαθητήςναέχειβάροςμεγαλύτεροή ίσοτων55κιλώνκαιμικρότεροτων75κιλών. 16. Να αποδείξετε ότι αν A, B είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου τότε: P (A)+P (B)+ P (A) P (B) P (A B) και P (A)+P (B) P (A) P (B) P (A B) 17. Σε μία επιχείρηση με ν εργαζόμενους απασχολούνται α άνδρες και β π- τυχιούχοι ανώτατης σχολής. Οι εργαζόμενες γυναίκες χωρίς πτυχίο ανώτατης σχολής είναι γ. Επιλέγουμε ένα εργαζόμενο στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι πτυχιούχος άνδρας; α+β+γ ν Ο ποιοτικός έλεγχος σε ένα μηχάνημα που παράγεται από μία βιομηχανία έδειξε ότι: (αʹ) Η πιθανότητα να μην λειτουργεί είναι 0,04. (βʹ) Η πιθανότητα έχει άλλο ελάττωμα είναι 0,05. (γʹ) Ηπιθανότηταναμηνλειτουργείκαιναέχεικαιάλλοελάττωμαείναι 0,0. Επιλέγουμε στην τύχη ένα μηχάνημα. Να βρεθεί η πιθανότητα: