1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας."

Transcript

1 Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, x, y δίνεται ότι: αx = αy τότε x = y. (βʹ) Το γινόμενο ενός μη μηδενικού αριθμού με τον αντίθετο του αντιστρόφου του, ισούται με. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριμό α ισχύει η ισότητα: (α + ) 0 =. (δʹ) Η ισότητα + x = 5 είναι ταυτότητα. (εʹ) Η ισότητα α = β είναι ταυτότητα.. Να βρεθεί το λάθος στη σειρά των συλλογισμών: α = β α α = β β α β = α β (α β) = (α β) =. Λέμε ότι μία πράξη είναι κλειστή σε ένα σύνολο, αν η πράξη μεταξύ δύο οποιοδήποτε στοιχείων του συνόλου δίνει αποτέλεσμα το οποίο ανήκει στο σύνολο. Να εξετάσετε αν είναι κλειστό το σύνολο - των φυσικών αριθμών με πράξη την αφαίρεση - των ακεραίων αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό - των ακεραίων αριθμών με πράξη την διαίρεση - των ρητών αριθμών με πράξη την πρόσθεση - των άρρητων αριθμών με πράξη την πρόσθεση Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο 4. Αν x + y = να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: A = (α x) [ 5 (y α)] + [α (x + 6y)]

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. Αν x + y = να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: x(x ) + y(y ) + xy 6. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω αν δίνεται ότι x 4 = y 5 = ω και x + y + ω = Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών, και 7. Να υπολογίσετε σε μοίρες τις γωνίες του τριγώνου. Τι είδους είναι το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του; 8. Αν α β = γ, να αποδείξετε ότι: δ i) α 5α 9γ = β 5β 9δ ii) α κα + λγ = β κβ + λδ με βδ(5β 9δ) 0 με βδ(κβ + λδ) 0 9. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του. 0. Να δείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι περιττός αριθμός.. Να δείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών i) είναι περιττός αριθμός ii) όταν διαιρεθεί με το 4, δίνει υπόλοιπο.. Να αποδείξετε ότι: (x + y + z) + (x + y z) + (x y + z) + (x y z) = 4(x + y + z ).. Να αποδείξετε ότι: (α β) α + (α + β) + α(α β)(α + β) = α(4α + β ). 4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η ισότητα: (x + y) = x + 9y τότε ένας τουλάχιστον από αυτούς ισούται με το Να αποδείξετε ότι: (α + β ) + 4αβ(α β ) = (α β + αβ). 6. Σε ένα ορθογώνιο η περίμετρός του είναι 4cm και το εμβαδόν του είναι 60cm. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο του ορθογωνίου. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την ταυτότητα x + y = (x + y) xy 7. Αν (x α β) = (α β), τότε να δείξετε ότι x = α ή x = β. 8. Αν x + y = και xy = να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: A = x + y, B = x + y, Γ = x y + y x, = x + y, E = x 4 + y 4 Επίπεδο 9. Ταυτότητα De Moivre. Να αποδείξετε ότι: α 4 + β 4 + γ 4 α β β γ γ α = (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ) 0. Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι: (αβ + βγ + γα) = α β + β γ + γ α.. Οι αριθμοί α, β είναι μη μηδενικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους. Αν α + β + = α β ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι.. Δίνεται η παράσταση Π = 5x 6 (x 5) (x ). τότε να αποδείξετε

3 .. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ α) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. β) Να απλοποιηθεί η παράσταση.. Αφού βρείτε τις τιμές για τις οποίες ορίζονται τα επόμενα κλάσματα, μετά να τα απλοποιήσετε α) A = 9(x + ) (4x ) 4(x + 4x + 4) β) B = (x + )(x + ) 6(x + ) (x + 5)(7 x) + 4x 5 4. α) Να αποδείξετε ότι α(α + β)(α + β)(α + β) + β 4 = (α + αβ + β ). β) Να αποδείξετε ότι x(x + )(x + )(x + ) + = (x + x + ). Σύμφωνα με το προηγούμενο να διατυπώσετε μία πρόταση. γ) Να εξηγήσετε ότι ο επόμενος ακέραιος του ισούται με το τετράγωνο ενός ακέραιου. 5. Αν α, β, γ R και ισχύει: x α = y β = ω γ να αποδείξετε ότι x 6 + y 6 + ω 6 α 6 + β 6 + γ 6 = ( x + y + ω α + β + γ 6. α + β = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A = (α + β ) (α + β ). 7. x y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: B = (α β ) (α + β ). 8. Αν α+β +γ =, αβ +βγ +γα = και αβγ =, να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: A = α + β + γ, B = α β + β γ + γ α, Γ = α + β + γ, = α 4 + β 4 + γ 4 9. Αν α + β + γ = 0 τότε να αποδείξετε ότι: α(α + β)(α + γ) = β(β + α)(β + γ) = γ(γ + α)(γ + β) 0. Αν x = α + β + γ τότε αποδείξτε ότι: (x α) + (x β) + (x γ) = (x α)(x β)(x γ).. α + β + γ = 0 τότε αποδείξτε ότι: α) (α + β) + (β + γ) + (γ + α) = (α + β)(β + γ)(γ + α). β) (κα + λβ) + (κβ + λγ) + (κγ + λα) = (κα + λβ)(κβ + λγ)(κγ + λα).. Να αποδείξετε ότι: (x y ω) +(y ω x) +(ω x y) = (x y ω)(y ω x)(ω x y). (. Αν α + ) =, τότε να δείξετε ότι α + α α = 0. ) 4. Αν α + α = τότε να αποδείξετε ότι: α + α = α + α = α4 + α 4 5. Οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι και επαληθεύουν την ισότητα: Να υπολογίσετε τα α, β. Απαιτητικά θέματα α + β + 4 = α + + β +

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6. Να εκτελέσετε τις πράξεις: α α + β β + β α β + α β + β α αβ α β β α + β α + β 7. Έστω α, β, γ είναι οι πλευρές ενός τριγώνου ABΓ, για τις οποίες ισχύει η ισότητα α β γ + β γ α + γ α β = 0 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 8. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α 4 β + γ αβγ + β 4 γ + α αβγ + γ 4 α + β αβγ = 0 9. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + β + γ α + β + γ Αν α + β + γ = 0 τότε να αποδείξετε ότι: ( α + β + γ ) = 0 α 4 β + γ αβγ + β 4 γ + α αβγ + γ 4 α + β αβγ = 0 4. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + β + γ αβ(γ + ) α + β γ = 4. Για τους θετικούς αριθμούς α, β και γ δίνεται ότι: α + β + γ = και αβ + βγ + γα =. Να αποδείξετε ότι: α = β = γ =.

5 .. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5. Διάταξη πραγματικών αριθμών Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Ο α είναι πραγματικός και οι x, y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν αx > αy τότε x > y. (βʹ) Αν x > y τότε α x > α y. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Αν x > τότε να αποδείξετε ότι: i) x > x ii) x + x > x +. Αν x > τότε να αποδείξετε ότι: x > x x + 4. Αν α > β > 0 να αποδείξετε ότι: α + α > β + αβ. 5. Αν x > y > 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = x y και β = (x y). 6. Αν οι α, β είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, να συγκρίνεται τους αριθμούς: x = α + β και y = α β + αβ 7. Αν x y > 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: x y x + y και x y x + y. 8. Να αποδείξετε ότι: α) (α + β) 4αβ β) (α β) 4αβ Πότε ισχύει η ισότητα; 9. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ) α(β + γ α) + β(γ + α β) + γ(α + β γ). Πότε ισχύει η ισότητα; 0. Να αποδείξετε ότι: α. Πότε ισχύει η ισότητα; + α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, ρ αν δίνεται ότι κ + ρ = 4ρ 4.. Για τους πραγματικούς αριθμούς x, y, α, β ισχύει η ισότητα: (x + α) + (y + β) = 4(αx + βy). Να αποδείξετε ότι x = α ή x = β.. Αν (αβ γ ) = (α + β)(α + β γ) να δείξετε ότι α = β = γ. 4. Έστω ότι 4 x και < y < 5. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: 4 i) A = 6x 8y ii) B = x + y 5. Για τις πραγματικές μεταβλητές α, β γνωρίζουμε ότι α και < β < 4. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: i) α β και ii) αβ iii) α β iv) α + β 6. Για τις διαστάσεις α, β ενός ορθογωνίου δίνεται ότι: 8, α 8, 5 και 5, 7 β 5, 8. i) Μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται η περίμετρός του; ii) Μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται το εμβαδόν του;

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7. Για τις ακτίνες δύο ομόκεντρων κύκλων (O, R) και (O, ρ) δίνεται ότι:, 5 < R < 4 και < ρ <,. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου βρίσκεται μεταξύ των τιμών 7, 4π και π. 8. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Επίπεδο Ανισότητα x 5 x 8 < x < 4, 8 Συμβολισμός [, ) (, ) 9. Αν 0 < x < και 0 < y <, τότε να δείξετε ότι: 0 < x + y + xy <. 0. Να αποδείξτε ότι: α + β + γ α(β + γ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Να αποδείξτε ότι: x x + > 0.. Να αποδείξτε ότι: α + β + γ + (α + β γ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Ανισότητα Schwarz. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ )(x + y + z ) (αx + βy + γz) Αν οι πραγματικοί α, β, γ, x, y, z είναι μη μηδενικοί, τότε στην προηγούμενη σχέση η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α x = β y = γ z. 4. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο ABΓ το οποίο έχει περίμετρο 0m. Αν AB = Γ = xm και συμβολίσουμε με E(x) το εμβαδόν του, τότε να αποδείξετε ότι: i) A = BΓ = 0 x ii) 0 < x < 0 iii) E(x) = x + 0x iv) E(x) 5 v) Ένα ορθογώνιο με σταθερή περίμετρο 0m έχει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν όταν αυτό γίνει τετράγωνο. 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους δίνεται ότι: x + y + 6y (5x 7). 6. Αν οι α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να συγκρίνεται τους αριθμούς: x = α + β και y = αβ 7. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ότι: ( β) Να αποδείξετε ότι: ) < Απαιτητικά θέματα 8. Αν x > να συγκρίνετε τους αριθμούς x και 7x Αν ω > να συγκρίνετε τους αριθμούς A = ω και B = ω + ω +. ( ) ν < ν ν + ν Να αποδείξτε ότι: (α 4 + α + ) (α + α + ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν α β = β γ = γ δ και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + δ β + γ. Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν α, β > 0 και α + β =, να αποδείξετε ότι: i) αβ ( ii) + ) ( + ) 9 iii) α + β 4 α β Πότε ισχύει οι ισότητες; iv) α 4 + β 4 8

7 .. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x + = x +. (βʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό y ισχύει: y 4 = y 4. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό κ ισχύει: κ κ = κ + κ. (δʹ) Ισχύει x + x = x + x για κάθε x R. (εʹ) Ισχύει y y = y y για κάθε y R. (Ϛʹ) Αν x, y R τότε ισχύει ότι x y = y x +. (ζʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει d(α, α) = α. (ηʹ) Αν α, β R τότε: d(α, β) = d(α, β ) α = β.. Ονομάζουμε max{α, β} τον { μεγαλύτερο από τους πραγματικούς α, β. α αν α β Δηλαδή max{α, β} = β αν α < β. Προσπαθήστε να ορίσετε την απόλυτη τιμή ενός α R, χρησιμοποιώντας την έννοια του max. Μετά εξηγήστε τις ιδιότητες: x x και x x. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση: A = x x x + 4. Να αποδείξετε ότι: α + 6α + 9 α 6α + 9 = α. 5. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: A = α + α + + α α + α +, είναι ανεξάρτητη του α. 6. Αν α β γ, να αποδείξετε ότι: α β + β γ γ α = Αν < x < και < y < να αποδείξετε ότι η παράσταση: A = x + y x + y + x y είναι σταθερή. 8. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χωρίς απόλυτα α) A = x + x 5 β) B = x x + 9. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χωρίς απόλυτα i) A = 5 x + + x x 4 ii) B = x x + + x 0. Να υπολογίσετε τις τιμές του ακέραιου x, αν ισχύουν οι επόμενες ισότητες: x 5 = 5 x και x = x.. Να αποδείξετε ότι: (α β β α )(α β + β α ) = 0.. α) Αν x 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: β) Αν x, y, z 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: x x. x x + y y + z z. γ) Αν α, β 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: α α + β β 5.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω, αν δίνεται ότι: x x y + x + 4y ω 7 = 0.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, αν δίνεται ότι: α 5β + β + 4α 9 = α β + γ 4γ. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = x + β) x = 7x 9 γ) 4x 5 x = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = β) 6 5x = 4 γ) + x = Αν α, β R και x = α α + β, y = β α + β να αποδείξετε ότι: x + y = 8. Αν α, β 0 και α β = β α τότε δείξτε ότι οι α, β είναι ομόσημοι. 9. Αν για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι α β + β α = 0, τότε δείξτε ότι αυτοί είναι ετερόσημοι. 0. Αν α + 5 α + = 5 τότε α = 5.. Αν α, β R με α + β 0, να αποδείξετε ότι α α + β + β α + β. Αν x, y R και d(x, y) = y x, τότε y x.. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x < β) x + 7 γ) x 5 δ) x + 5 > ε) 4x 5 4. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, για τους οποίους ισχύει: α) α 5 < α + β) d(α, 4) > d(5, α) 5. Να βρείτε τους x R, για τους οποίους ισχύει: x 6 d(x, ) α) < β) 4 x d(, x) 6. Για τους x, y R ισχύουν οι σχέσεις x και y. Να αποδείξετε ότι: i) 5x y 6 ii) x + 7y + 8 Επίπεδο 7. Να αποδείξετε ότι: α + 4α + 5 = α α + 6α. 8. Αν < α < να αποδείξετε ότι η παράσταση: Π = α α είναι σταθερή. 9. Αν α, β R, να αποδείξετε ότι: α α β β = ( α β )(α + αβ + β ). 0. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι: i) αβ + αβ α β + β α ii) αβ αβ α β β α. Για τους x, y R ισχύει η ισότηται: 5x + y 6 = 5 x + y. Να αποδείξετε ότι: x(y ) 0.. Αν α, β 0, να αποδείξετε ότι α β + β α. Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν x R, να αποδείξετε ότι x + x. Πότε ισχύει η ισότητα;

9 .. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 9 4. Να βρείτε τους x R, για τους οποίους ισχύει: x 6 d(x, ) α) < β) 4 x d(, x) 5. Αν α, κ, x R να αποδείξετε ότι: i) α α 7 ii) κ κ 9 4 iii) x x + x Να αποδείξετε ότι: α) (x + ) x + + β) 4α 4α + 4 α ( x) x με x και x + 4α + 4α + 4 α + με α και α 7. Αν α, β R να αποδείξετε ότι: i) α β α + β ii) α β α β 8. Για ποιούς πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν οι επόμενες ισότητες; i) α β = α + β ii) α β = α + β 9. Αν x, y R και x y y x xy =, τότε να αποδείξετε ότι οι x, y είναι ετερόσημοι. Απαιτητικά θέματα 40. Να αποδείξετε ότι: i) x + + x + + x + x x + = 0 ii) x + x + x x + 4 x = 0 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους ισχύει η σχέση: α + β β 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, για τους οποίους ισχύει η σχέση: x x 4x x 4 4. Αν < x < να αποδείξετε ότι: x x 0 < Αν x < και < y < να αποδείξετε ότι: x xy y + < Αν x = y τότε x x + y + y x y.

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Αν α, β > 0 τότε α + β = α + β. (βʹ) Αν x < τότε ισχύει x x + = x. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x = (x + )(x ) = x + x. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να αποδείξετε ότι: = 5. Αν x = και y = 7 5, να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: x xy + y. 4. Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: i) ( )( + ) ( ) ( + ) = 0 +. ii) ( ) + ( ) + ( ) = 5. Αν α = +, β = + +, γ = +, να αποδείξετε ότι α β γ =. 6. Αν α = + +, β = +, γ = +, να αποδείξετε ότι: α β γ =. 7. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χρησιμοποιώντας μία ρίζα. α) β) γ) ε) στ) Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χρησιμοποιώντας δύο ρίζες. α) β) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. 6 α) β) γ) δ) ε) 6 0. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) 4 4 β) 7 4 γ) 5 5. Να αποδείξετε ότι: α) + + = 5 β) δ) = 6. Να αποδείξετε ότι: + + = 0 +. Να αποδείξετε ότι: α) ( 5) ( + 5) = 5 4 β) ( 5) + ( + 5) = 76

11 .4. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. α) Να εκτελέσετε τα αναπτύγματα: ( + ) και β) Να αποδείξετε ότι: = ( ). 5. Να αποδείξετε ότι: = 6. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα: είναι ρητός αριθμός Να αποδείξετε ότι: i) + < ii) < iii) + 5 < Να αποδείξετε ότι: i) 5 6 = ii) 4 + = + 9. Αν < x < να απλοποιηθεί η παράσταση: A = x x 7 x x + 9x 6x + 6 x x 0. Να βρεθούν τα εξαγόμενα: i) ii) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) β) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) β) 6 γ) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας. α) β) 5 9 γ) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας. i) 5 α α α ii) Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) β) γ) 7 4 δ) Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) 4 β) : 4 γ) 5 6 δ) ( 4 ) : 6 4 ε) ( ) : ( 7 0 7) Επίπεδο 7. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: x x + y + y για x = + και x =. 8. Να αποδείξετε ότι: 9. Να αποδείξετε ότι: + ( )( 0 45) = 0 + = 4

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 0. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) + β) γ) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) x + 4 x x 4 x, με x και x α + β + α β β), με α > β > 0 α + β α β. Αν x >, να αποδείξετε ότι: x + x x x x x x + x = 4x x. Να μετασχηματίσετε τα επόμενα ριζικά ώστε το αποτέλεσμα να έχει μόνο απλές ρίζες: α) β) 8 8 γ) Να αποδείξετε ότι: = Αν α = και β = δείξτε ότι: α β =. Απαιτητικά θέματα 6. Να υπολογίσετε την παράσταση: Αν x + y = 4, να αποδείξετε ότι: x 4 0y y 4 4x + 0 = 8. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) x y β) + 4 x + xy +, με x, y > 0 y

13 Κεφάλαιο Εξισώσεις. Εξισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Ο αριθμός 0 επαληθεύει μία αδύνατη εξίσωση. (βʹ) Αν α β τότε η εξίσωση (α β)x = β α, έχει μοναδική λύση την x =. (γʹ) Η εξίσωση α x = x έχει μία μόνο λύση. (δʹ) Η εξίσωση (x + ) = x + 4 είναι ου βαθμού. (εʹ) Αν η εξίσωση αx = β είναι αόριστη, τότε και η εξίωση βx = α είναι αόριστη. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση µ (x ) = ( x) έχει μία μόνο λύση, ανεξάρτητη της τιμής της παραμέτρου µ.. Δίνεται η εξίσωση λ (x ) = λ(x + ), με λ πραγματική παράμετρο. i) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή αx = β. ii) Να λύσετε την εξίσωση για της διάφορες τιμές του λ. iii) Για ποιά τιμή του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = ; 4. α) Να λύσετε την εξίσωση: λ(x ) = x λ, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. β) Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα, σύμφωνα με τη λύση του προηγούμενου ερωτήματος. Τιμή του λ 4 Λύση της εξίσωσης 5. Να λύσετε την εξίσωση 5(κ x) 6 = κ(κ x) x, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου κ R 6. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων λ, µ ώστε η εξίσωση λ(x ) + x = µ(5x + ) 4 να είναι αόριστη. 7. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων λ, µ ώστε η εξίσωση λ(x ) = x µ + να είναι αδύνατη. 8. Να λυθούν οι εξισώσεις:

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α) x x 4 = x + ( x ) β) x = 4 4 5x 4 5x 5 4 5x + 4 γ) = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) γ) 5 x + x ( x ) = 4 6 x x 6 + = x 5 x ( x ) 6x 6 = 4 4 Επίπεδο 7 4 5x Δύο αντικρυστά λιμάνια A και B απέχουν 05 μίλια. Ένα πλοίο ξεκινά από το λιμάνι A με κατεύθυνση το B, με ταχύτητα 4 μίλια την ώρα. Μετά από μία ώρα ένα δεύτερο πλοίο ξεκινά από το λιμάνι B με κατεύθυνση το A, με ταχύτητα 0 μίλια την ώρα. Σε πόσο χρόνο από τον απόπλου του πρώτου πλοίου θα συναντηθούν; Πόσο απέχει το σημείο συνάντησης από τα δύο λιμάνια;. Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις για κάθε τιμή της πραγματικής παραμέτρου µ. i) µ x µ 4 = 4µ(x ) ii) µ (x ) = 4µx + 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (αx β) + (βx ) = (βx α) + (αx ) β) (x + λ)(λ µ) + (x + µ)(λ + µ) = (λ + µ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + = 4 β) x + = γ) x + = 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + x = 8 β) x = x + γ) x + + x = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x + x + x + 5x = ii) 4x + 4x + x + = + x Απαιτητικά θέματα 6. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση: α + x + x = β να έχει δύο τουλάχιστον λύσεις. x +

15 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ X ν = α 5. Η εξίσωση x ν = α Οι λύσεις της εξίσωσης x ν = α παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο α ν Ρίζες της x ν = α α = 0 0 ν Η εξίσωση α > 0 άρτιος α και ν α x ν ν = α περιττός α ν α < 0 άρτιος α και αδύνατη περιττός ν α. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x = 000 β) x 4 = 65 γ) x 5 + = 0. Ο όγκος ενός κύβου είναι 64cm. Να βρείτε το μήκος της ακμής του.. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το πλάτος του είναι διπλάσιο του ύψους του και το μήκος του τριπλάσιο του ύψους του. Αν ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι 058 cm, να υπολογίσετε τις διαστάσεις του. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x = 0 β) x 5 + 6x = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5 8x = 0 β) 64x 5 x = 0 γ) 8x 4 + x = 0 δ) 6x 5 + x = 0 ε) 5x x 5 = 0 στ) x 05 x 5 = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x + ) 5 = β) (x ) 4 6(x ) = 0 γ) (x ) 4 = x Επίπεδο 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 6 + x 4 x = 0 = 0 β) x x 6 + x 5 = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 969 = 0 β) x x 50 = x 050 γ) 8888x 00 + x 004 = 0

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Εξισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Όταν η διακρίνουσα μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι μη αρνητική, τότε η εξίσωση έχει δύο διακεκριμένες ρίζες. (βʹ) Σε μία δευτεροβάθμια εξίσωση η διακρίνουσα 0. Τότε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. (γʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει πραγματικές ρίζες. Τότε θα είναι > 0. (δʹ) Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης x 6x + κ = 0 είναι. Τότε το κ =. (εʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζες τις x, x. Τότε x + x = S P, όπου S είναι το άθροισμα των ριζών και P το γινόμενό τους. (Ϛʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζες τις x, x. Τότε x + x = S P, όπου S και P είναι το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. (ζʹ) Η δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς 5 και 4 είναι η 8x + 4x 5 = 0. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + 4x = 0 β) x ( + )x + = 0. Να βρείτε το θετικό πραγματικό αριθμό x, αν οι αριθμοί x +, x είναι αντίστροφοι. 4. Να λυθεί η εξίσωση: (x x ) + (x 6x 9) = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x 9 = 0 β) x + x + x = 0 γ) x + x x = x + x 6. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x γx + γ β + αβ α = 0, έχει ρητές ρίζες. 7. Αν α, β, γ Q, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: αx (α + β)x + β = 0, α 0, έχει ρητές ρίζες, από τις οποίες η μία είναι σταθερή. 8. Αν η εξίσωση: x κx + λ = 0 έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: (κ 4λ) λ 5 = 0 i) είναι δευτέρου βαθμού ii) έχει διακεκριμένες πραγματικές ρίζες 9. Δίνεται η εξίσωση: x (µ )x + µ 5µ = 0, µ R. α) Για ποιές τιμές του µ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; β) Για τις τιμές του µ που θα βρείτε στο ερώτημα α), να λύσετε την εξίσωση. 0. Θεωρούμε την εξίσωση: (κ )x ( κ)x + 5 κ = 0, κ R. i) Για ποιές τιμές του κ η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; ii) Για ποιές τιμές του κ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; iii) Ποιά είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, για τις τιμές του κ που θα βρείτε στο προηγούμενο ερώτημα;. Δίνεται η εξίσωση: (λ )x (λ )x + 4 5λ = 0, λ R. i) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ρίζες. ii) Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση.

17 .. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: (λ + )x + (λ )x λ + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες.. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση: ( λ)x 4x = 0, έχει δύο διαφορετικές ρίζες. 4. Δίνεται η εξίσωση x x + = 0, με ρίζες x, x. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) x + x β) x x x + x γ) x x 5. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των κύβων των ριζών της εξίσωσης: x + µx + µ α µ = 0, µ 0, είναι ανεξάρτητο του µ. 6. Δίνεται η εξίσωση 4x + ( + )x (5 ) = 0. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 7. Δίνεται η εξίσωση x (α β)x + 7αβ α 4β = 0, α, β R α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό β α. β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 8. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση 5x (λ )x+ λ = 0, έχει μία θετική και μία αρνητική ρίζα. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 6x x = 0 β) (x 4) x 4 5 = 0 γ) 6(x ) 5 x 6 = 0 0. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x + x) (x + x) = 0 β) (x ) 4( x ) = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 4 x 4 = 0 β) x 4 + 6x + 5 = 0 γ) x 4 x + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x x x = x x Επίπεδο β) x x + 8 x = 7x 8 x x. Να λύσετε την εξίσωση x + 5 x + x = Θεωρούμε την εξίσωση x (α β)x + α β = 0, όπου α, β R i) Να αποδείξετε ότι = 4(α β ) ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α, β, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. 5. Δίνεται η εξίσωση: x (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0, όπου α, β, γ R. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες. ii) Πότε η εξίσωση έχει ίσες ρίζες; Ποιές είναι αυτές; 6. Αν α, β, γ είναι πλευρές ενός τριγώνου ABΓ, να αποδείξετε ότι οι επόμενες εξισώσεις δεν έχουν πραγματικές ρίζες. i) βγx (β + γ α )x + βγ = 0 α ii) x + γ x = β 7. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: (λ )x (λ )x λ λ + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες.

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Θεωρούμε την εξίσωση x α + β x (α β) = 0, όπου α, β R. Αν η εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, να βρείτε τους α, β. 9. Αν α, β, γ Q, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: α(β γ)x + β(γ α)x + γ(α β) = 0, α 0 και β γ έχει ρητές ρίζες, από τις οποίες η μία είναι σταθερή. 0. Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0. Αν για τους συντελεστές α, γ της εξίσωσης ισχύει η ισότητα: α γ = α + γ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες, τότε να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με την εξίσωση β x αγ(x ) + αγ =. Απαιτητικά θέματα. Δίνεται η εξίσωση x (γ α)x + α + β + γ αβ βγ = 0, όπου α, β, γ R, η οποία έχει πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι: α) β = α + γ β) Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα τον αριθμό β α.. Θεωρούμε την εξίσωση (α + β + γ )x + (α + β + γ)x + = 0, όπου α, β, γ R, η οποία έχει πραγματικές ρίζες. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α, β, γ β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. 4. A. Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 με ρίζες τις ρ, ρ. Θέτουμε S ν = ρ ν + ρν και S ν = ρ ν Να αποδείξετε ότι: + ρ ν. i) αs ν + βs ν + γs ν, για ν =, 4, 5, ( ) α ν ii) S ν = S ν, με γ 0. γ iii) Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x = 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης S 5 = ρ 5 + ρ5. B. Να υπολογίσετε (χωρίς ανάπτυξη των δυνάμεων) τις τιμές των παραστάσεων: i) A = ( + ) 6 + ( ) 6 ii) B = ( + ) + 7 ( ). 7

19 Κεφάλαιο Ανισώσεις. Ανισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Η ανίσωση 0x < 5 είναι αδύνατη. (βʹ) Η ανίσωση x > 9 έχει μόνο μία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. (γʹ) Η ανίσωση 8x < 7 έχει μόνο μία λύση στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός x ο οποίος επαληθεύει τις σχέσεις: 5x 4 7x > x 4 x και 6x x Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του και μικρότερο του 7. Να βρεθούν οι αριθμοί. 4. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί των οποίων το άθροισμα βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 9 και Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x + < 5 β) x 7 < 9 γ) 6 x 5 δ) x > 7 ε) 9x 6 Επίπεδο 6. Δίνεται η παράσταση: A = x 9 x. α) Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση. γ) Να λύσετε την ανίσωση A Δίνεται η παράσταση: A = x x +. x α) Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση. γ) Να λύσετε την ανίσωση A <. 9

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) < x 5 < 5 β) < x < 7 γ) < x 5 < 6 δ) 5 < 4 6x < 9 9. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει η σχέση: x 4 < x + x +

21 .. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ. Ανισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Αν f(x) = x + x +, τότε f ( ) > 0 Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α) f(x) = x + 5x + 4 και β) g(x) = 6x 7x 5 γ) h(x) = 9x 6x + 8 και δ) φ(x) = 0x 60x Να βρεθούν οι τιμές του x, για τις οποίες έχουν έννοια τα επόμενα κλάσματα. Μετά να τα απλοποιήσετε. α) A = x x 6 x + 5x + 4. Δίνεται το τριώνυμο f(x) = 6x 5x 6. β) B = 9x + 6x 8 5x + x 4 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου, για τις διάφορες τιμές του x. β) Να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά με ένα από τα σύμβολα <, >, =. α) f( ) 0 β) f( 0, 667) 0 γ) f(, 54) 0 δ) f(, 5) 0 ε) f( 7 ) 0 στ) f(0, 6) 0 5. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x 0 β) 5 x < 0 γ) x + x 8 < 0 6. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα K = ( x + 7x 5)(4x 44x + ) x + x είναι μη αρνητικό, για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού x. 7. Να λυθούν τα συστήματα: { x > 0 α) x x < 0 4 x > 0 β) x x + 6 > 0 x + 4x < 0 x < 0 γ) x 5x + > 0 x + x 4 < 0 8. Για ποιές τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις; α) A = 4 + x x β) B = x + x 9x + 4 Επίπεδο 9. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο φ(x) = (α +)x αx+, α R είναι θετικό για οποιαδήποτε τιμή του x. 0. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο g(x) = x αx + α, α R είναι πάντοτε μη αρνητικό.. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο h(x) = x + αx + α (β + γ), είναι αρνητικό για κάθε x R, όταν α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου.. α) Να βρείτε τα πρόσημα των τριωνύμων: f(x) = x x + 4 και g(x) = x 5x + 4.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών x και y, αν ισχύει η ισότητα: (x 6x + 9)(y y + 4) + (4y + 5) (x 5x + 4). Δίνεται η εξίσωση (λ )x λx + λ = 0. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. 4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού µ, για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε x R. Απαιτητικά θέματα 5. Δίνεται η εξίσωση x + (λ )x λ + = 0. (µ + )x (µ )x + 5(µ ) < 0 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις x, x. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση: < x + x x + x < 7

23 .. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ. Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (x )( x + 7x 0)( x + x 6) > 0 β) ( x)(x x 5)( x + 5x 4) < 0 γ) ( x)(x 6x 5)( x + 8x 6) 0. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x 6x > 0 β) x + x 4x < 0 γ) x 5x + 6x 0 0 δ) (x x x)( x + 4x 4) 0 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x + 5x 8 < 0 ii) x 6 x + 0 iii) ( x + 5x 6)(x + x + ) x 8x + > 0 iv) (x 4x + )(x 4x 9 8 x x 0 5. Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; A = Επίπεδο 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 x x α) (x x + ) ( x + 6x 8) (4 x) (x x )( x ) β) (x + x 6) 5 (x + x) (4 x )( x + x 5) 0 > 0 7. Να λυθούν οι ανισώσεις: x α) x x x + < 9 x x x β) x x + x + x < 0 x x 6 Απαιτητικά θέματα

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ x 4 8. Να λύσετε το σύστημα: (x )( x + x 7) > 0 x + x 9x 9 < 0 9. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματική τιμή του x για την οποία να ισχύει η σχέση: < x x + x < 0. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές. (λ )x (λ )x + λ + = 0

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α + β = 0 και β + α την τιμή της παράστασης αβ + αβ. =. Να υπολογίσετε. Αν x y

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία Κεφάλαιο Πιθανότητες. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα.. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης; 3. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κεφάλαιο Πιθανότητες. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = {x N /x 0}. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A = {x Ω/x πρώτος αριθμός} και B = {x Ω/x άρτιος αριθμός}. Να

Διαβάστε περισσότερα

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 4 εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης Γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ 1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα