1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας."

Transcript

1 Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, x, y δίνεται ότι: αx = αy τότε x = y. (βʹ) Το γινόμενο ενός μη μηδενικού αριθμού με τον αντίθετο του αντιστρόφου του, ισούται με. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριμό α ισχύει η ισότητα: (α + ) 0 =. (δʹ) Η ισότητα + x = 5 είναι ταυτότητα. (εʹ) Η ισότητα α = β είναι ταυτότητα.. Να βρεθεί το λάθος στη σειρά των συλλογισμών: α = β α α = β β α β = α β (α β) = (α β) =. Λέμε ότι μία πράξη είναι κλειστή σε ένα σύνολο, αν η πράξη μεταξύ δύο οποιοδήποτε στοιχείων του συνόλου δίνει αποτέλεσμα το οποίο ανήκει στο σύνολο. Να εξετάσετε αν είναι κλειστό το σύνολο - των φυσικών αριθμών με πράξη την αφαίρεση - των ακεραίων αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό - των ακεραίων αριθμών με πράξη την διαίρεση - των ρητών αριθμών με πράξη την πρόσθεση - των άρρητων αριθμών με πράξη την πρόσθεση Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο 4. Αν x + y = να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: A = (α x) [ 5 (y α)] + [α (x + 6y)]

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. Αν x + y = να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: x(x ) + y(y ) + xy 6. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω αν δίνεται ότι x 4 = y 5 = ω και x + y + ω = Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών, και 7. Να υπολογίσετε σε μοίρες τις γωνίες του τριγώνου. Τι είδους είναι το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του; 8. Αν α β = γ, να αποδείξετε ότι: δ i) α 5α 9γ = β 5β 9δ ii) α κα + λγ = β κβ + λδ με βδ(5β 9δ) 0 με βδ(κβ + λδ) 0 9. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του. 0. Να δείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι περιττός αριθμός.. Να δείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών i) είναι περιττός αριθμός ii) όταν διαιρεθεί με το 4, δίνει υπόλοιπο.. Να αποδείξετε ότι: (x + y + z) + (x + y z) + (x y + z) + (x y z) = 4(x + y + z ).. Να αποδείξετε ότι: (α β) α + (α + β) + α(α β)(α + β) = α(4α + β ). 4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η ισότητα: (x + y) = x + 9y τότε ένας τουλάχιστον από αυτούς ισούται με το Να αποδείξετε ότι: (α + β ) + 4αβ(α β ) = (α β + αβ). 6. Σε ένα ορθογώνιο η περίμετρός του είναι 4cm και το εμβαδόν του είναι 60cm. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο του ορθογωνίου. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την ταυτότητα x + y = (x + y) xy 7. Αν (x α β) = (α β), τότε να δείξετε ότι x = α ή x = β. 8. Αν x + y = και xy = να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: A = x + y, B = x + y, Γ = x y + y x, = x + y, E = x 4 + y 4 Επίπεδο 9. Ταυτότητα De Moivre. Να αποδείξετε ότι: α 4 + β 4 + γ 4 α β β γ γ α = (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ) 0. Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι: (αβ + βγ + γα) = α β + β γ + γ α.. Οι αριθμοί α, β είναι μη μηδενικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους. Αν α + β + = α β ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι.. Δίνεται η παράσταση Π = 5x 6 (x 5) (x ). τότε να αποδείξετε

3 .. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ α) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. β) Να απλοποιηθεί η παράσταση.. Αφού βρείτε τις τιμές για τις οποίες ορίζονται τα επόμενα κλάσματα, μετά να τα απλοποιήσετε α) A = 9(x + ) (4x ) 4(x + 4x + 4) β) B = (x + )(x + ) 6(x + ) (x + 5)(7 x) + 4x 5 4. α) Να αποδείξετε ότι α(α + β)(α + β)(α + β) + β 4 = (α + αβ + β ). β) Να αποδείξετε ότι x(x + )(x + )(x + ) + = (x + x + ). Σύμφωνα με το προηγούμενο να διατυπώσετε μία πρόταση. γ) Να εξηγήσετε ότι ο επόμενος ακέραιος του ισούται με το τετράγωνο ενός ακέραιου. 5. Αν α, β, γ R και ισχύει: x α = y β = ω γ να αποδείξετε ότι x 6 + y 6 + ω 6 α 6 + β 6 + γ 6 = ( x + y + ω α + β + γ 6. α + β = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A = (α + β ) (α + β ). 7. x y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: B = (α β ) (α + β ). 8. Αν α+β +γ =, αβ +βγ +γα = και αβγ =, να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: A = α + β + γ, B = α β + β γ + γ α, Γ = α + β + γ, = α 4 + β 4 + γ 4 9. Αν α + β + γ = 0 τότε να αποδείξετε ότι: α(α + β)(α + γ) = β(β + α)(β + γ) = γ(γ + α)(γ + β) 0. Αν x = α + β + γ τότε αποδείξτε ότι: (x α) + (x β) + (x γ) = (x α)(x β)(x γ).. α + β + γ = 0 τότε αποδείξτε ότι: α) (α + β) + (β + γ) + (γ + α) = (α + β)(β + γ)(γ + α). β) (κα + λβ) + (κβ + λγ) + (κγ + λα) = (κα + λβ)(κβ + λγ)(κγ + λα).. Να αποδείξετε ότι: (x y ω) +(y ω x) +(ω x y) = (x y ω)(y ω x)(ω x y). (. Αν α + ) =, τότε να δείξετε ότι α + α α = 0. ) 4. Αν α + α = τότε να αποδείξετε ότι: α + α = α + α = α4 + α 4 5. Οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι και επαληθεύουν την ισότητα: Να υπολογίσετε τα α, β. Απαιτητικά θέματα α + β + 4 = α + + β +

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6. Να εκτελέσετε τις πράξεις: α α + β β + β α β + α β + β α αβ α β β α + β α + β 7. Έστω α, β, γ είναι οι πλευρές ενός τριγώνου ABΓ, για τις οποίες ισχύει η ισότητα α β γ + β γ α + γ α β = 0 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 8. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α 4 β + γ αβγ + β 4 γ + α αβγ + γ 4 α + β αβγ = 0 9. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + β + γ α + β + γ Αν α + β + γ = 0 τότε να αποδείξετε ότι: ( α + β + γ ) = 0 α 4 β + γ αβγ + β 4 γ + α αβγ + γ 4 α + β αβγ = 0 4. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + β + γ αβ(γ + ) α + β γ = 4. Για τους θετικούς αριθμούς α, β και γ δίνεται ότι: α + β + γ = και αβ + βγ + γα =. Να αποδείξετε ότι: α = β = γ =.

5 .. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5. Διάταξη πραγματικών αριθμών Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Ο α είναι πραγματικός και οι x, y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν αx > αy τότε x > y. (βʹ) Αν x > y τότε α x > α y. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Αν x > τότε να αποδείξετε ότι: i) x > x ii) x + x > x +. Αν x > τότε να αποδείξετε ότι: x > x x + 4. Αν α > β > 0 να αποδείξετε ότι: α + α > β + αβ. 5. Αν x > y > 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = x y και β = (x y). 6. Αν οι α, β είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, να συγκρίνεται τους αριθμούς: x = α + β και y = α β + αβ 7. Αν x y > 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: x y x + y και x y x + y. 8. Να αποδείξετε ότι: α) (α + β) 4αβ β) (α β) 4αβ Πότε ισχύει η ισότητα; 9. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ) α(β + γ α) + β(γ + α β) + γ(α + β γ). Πότε ισχύει η ισότητα; 0. Να αποδείξετε ότι: α. Πότε ισχύει η ισότητα; + α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, ρ αν δίνεται ότι κ + ρ = 4ρ 4.. Για τους πραγματικούς αριθμούς x, y, α, β ισχύει η ισότητα: (x + α) + (y + β) = 4(αx + βy). Να αποδείξετε ότι x = α ή x = β.. Αν (αβ γ ) = (α + β)(α + β γ) να δείξετε ότι α = β = γ. 4. Έστω ότι 4 x και < y < 5. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: 4 i) A = 6x 8y ii) B = x + y 5. Για τις πραγματικές μεταβλητές α, β γνωρίζουμε ότι α και < β < 4. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: i) α β και ii) αβ iii) α β iv) α + β 6. Για τις διαστάσεις α, β ενός ορθογωνίου δίνεται ότι: 8, α 8, 5 και 5, 7 β 5, 8. i) Μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται η περίμετρός του; ii) Μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται το εμβαδόν του;

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7. Για τις ακτίνες δύο ομόκεντρων κύκλων (O, R) και (O, ρ) δίνεται ότι:, 5 < R < 4 και < ρ <,. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου βρίσκεται μεταξύ των τιμών 7, 4π και π. 8. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Επίπεδο Ανισότητα x 5 x 8 < x < 4, 8 Συμβολισμός [, ) (, ) 9. Αν 0 < x < και 0 < y <, τότε να δείξετε ότι: 0 < x + y + xy <. 0. Να αποδείξτε ότι: α + β + γ α(β + γ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Να αποδείξτε ότι: x x + > 0.. Να αποδείξτε ότι: α + β + γ + (α + β γ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Ανισότητα Schwarz. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ )(x + y + z ) (αx + βy + γz) Αν οι πραγματικοί α, β, γ, x, y, z είναι μη μηδενικοί, τότε στην προηγούμενη σχέση η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α x = β y = γ z. 4. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο ABΓ το οποίο έχει περίμετρο 0m. Αν AB = Γ = xm και συμβολίσουμε με E(x) το εμβαδόν του, τότε να αποδείξετε ότι: i) A = BΓ = 0 x ii) 0 < x < 0 iii) E(x) = x + 0x iv) E(x) 5 v) Ένα ορθογώνιο με σταθερή περίμετρο 0m έχει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν όταν αυτό γίνει τετράγωνο. 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους δίνεται ότι: x + y + 6y (5x 7). 6. Αν οι α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να συγκρίνεται τους αριθμούς: x = α + β και y = αβ 7. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ότι: ( β) Να αποδείξετε ότι: ) < Απαιτητικά θέματα 8. Αν x > να συγκρίνετε τους αριθμούς x και 7x Αν ω > να συγκρίνετε τους αριθμούς A = ω και B = ω + ω +. ( ) ν < ν ν + ν Να αποδείξτε ότι: (α 4 + α + ) (α + α + ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν α β = β γ = γ δ και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + δ β + γ. Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν α, β > 0 και α + β =, να αποδείξετε ότι: i) αβ ( ii) + ) ( + ) 9 iii) α + β 4 α β Πότε ισχύει οι ισότητες; iv) α 4 + β 4 8

7 .. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x + = x +. (βʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό y ισχύει: y 4 = y 4. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό κ ισχύει: κ κ = κ + κ. (δʹ) Ισχύει x + x = x + x για κάθε x R. (εʹ) Ισχύει y y = y y για κάθε y R. (Ϛʹ) Αν x, y R τότε ισχύει ότι x y = y x +. (ζʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει d(α, α) = α. (ηʹ) Αν α, β R τότε: d(α, β) = d(α, β ) α = β.. Ονομάζουμε max{α, β} τον { μεγαλύτερο από τους πραγματικούς α, β. α αν α β Δηλαδή max{α, β} = β αν α < β. Προσπαθήστε να ορίσετε την απόλυτη τιμή ενός α R, χρησιμοποιώντας την έννοια του max. Μετά εξηγήστε τις ιδιότητες: x x και x x. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση: A = x x x + 4. Να αποδείξετε ότι: α + 6α + 9 α 6α + 9 = α. 5. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: A = α + α + + α α + α +, είναι ανεξάρτητη του α. 6. Αν α β γ, να αποδείξετε ότι: α β + β γ γ α = Αν < x < και < y < να αποδείξετε ότι η παράσταση: A = x + y x + y + x y είναι σταθερή. 8. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χωρίς απόλυτα α) A = x + x 5 β) B = x x + 9. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χωρίς απόλυτα i) A = 5 x + + x x 4 ii) B = x x + + x 0. Να υπολογίσετε τις τιμές του ακέραιου x, αν ισχύουν οι επόμενες ισότητες: x 5 = 5 x και x = x.. Να αποδείξετε ότι: (α β β α )(α β + β α ) = 0.. α) Αν x 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: β) Αν x, y, z 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: x x. x x + y y + z z. γ) Αν α, β 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: α α + β β 5.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω, αν δίνεται ότι: x x y + x + 4y ω 7 = 0.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, αν δίνεται ότι: α 5β + β + 4α 9 = α β + γ 4γ. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = x + β) x = 7x 9 γ) 4x 5 x = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = β) 6 5x = 4 γ) + x = Αν α, β R και x = α α + β, y = β α + β να αποδείξετε ότι: x + y = 8. Αν α, β 0 και α β = β α τότε δείξτε ότι οι α, β είναι ομόσημοι. 9. Αν για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι α β + β α = 0, τότε δείξτε ότι αυτοί είναι ετερόσημοι. 0. Αν α + 5 α + = 5 τότε α = 5.. Αν α, β R με α + β 0, να αποδείξετε ότι α α + β + β α + β. Αν x, y R και d(x, y) = y x, τότε y x.. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x < β) x + 7 γ) x 5 δ) x + 5 > ε) 4x 5 4. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, για τους οποίους ισχύει: α) α 5 < α + β) d(α, 4) > d(5, α) 5. Να βρείτε τους x R, για τους οποίους ισχύει: x 6 d(x, ) α) < β) 4 x d(, x) 6. Για τους x, y R ισχύουν οι σχέσεις x και y. Να αποδείξετε ότι: i) 5x y 6 ii) x + 7y + 8 Επίπεδο 7. Να αποδείξετε ότι: α + 4α + 5 = α α + 6α. 8. Αν < α < να αποδείξετε ότι η παράσταση: Π = α α είναι σταθερή. 9. Αν α, β R, να αποδείξετε ότι: α α β β = ( α β )(α + αβ + β ). 0. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι: i) αβ + αβ α β + β α ii) αβ αβ α β β α. Για τους x, y R ισχύει η ισότηται: 5x + y 6 = 5 x + y. Να αποδείξετε ότι: x(y ) 0.. Αν α, β 0, να αποδείξετε ότι α β + β α. Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν x R, να αποδείξετε ότι x + x. Πότε ισχύει η ισότητα;

9 .. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 9 4. Να βρείτε τους x R, για τους οποίους ισχύει: x 6 d(x, ) α) < β) 4 x d(, x) 5. Αν α, κ, x R να αποδείξετε ότι: i) α α 7 ii) κ κ 9 4 iii) x x + x Να αποδείξετε ότι: α) (x + ) x + + β) 4α 4α + 4 α ( x) x με x και x + 4α + 4α + 4 α + με α και α 7. Αν α, β R να αποδείξετε ότι: i) α β α + β ii) α β α β 8. Για ποιούς πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν οι επόμενες ισότητες; i) α β = α + β ii) α β = α + β 9. Αν x, y R και x y y x xy =, τότε να αποδείξετε ότι οι x, y είναι ετερόσημοι. Απαιτητικά θέματα 40. Να αποδείξετε ότι: i) x + + x + + x + x x + = 0 ii) x + x + x x + 4 x = 0 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους ισχύει η σχέση: α + β β 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, για τους οποίους ισχύει η σχέση: x x 4x x 4 4. Αν < x < να αποδείξετε ότι: x x 0 < Αν x < και < y < να αποδείξετε ότι: x xy y + < Αν x = y τότε x x + y + y x y.

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Αν α, β > 0 τότε α + β = α + β. (βʹ) Αν x < τότε ισχύει x x + = x. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x = (x + )(x ) = x + x. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να αποδείξετε ότι: = 5. Αν x = και y = 7 5, να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: x xy + y. 4. Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: i) ( )( + ) ( ) ( + ) = 0 +. ii) ( ) + ( ) + ( ) = 5. Αν α = +, β = + +, γ = +, να αποδείξετε ότι α β γ =. 6. Αν α = + +, β = +, γ = +, να αποδείξετε ότι: α β γ =. 7. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χρησιμοποιώντας μία ρίζα. α) β) γ) ε) στ) Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χρησιμοποιώντας δύο ρίζες. α) β) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. 6 α) β) γ) δ) ε) 6 0. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) 4 4 β) 7 4 γ) 5 5. Να αποδείξετε ότι: α) + + = 5 β) δ) = 6. Να αποδείξετε ότι: + + = 0 +. Να αποδείξετε ότι: α) ( 5) ( + 5) = 5 4 β) ( 5) + ( + 5) = 76

11 .4. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. α) Να εκτελέσετε τα αναπτύγματα: ( + ) και β) Να αποδείξετε ότι: = ( ). 5. Να αποδείξετε ότι: = 6. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα: είναι ρητός αριθμός Να αποδείξετε ότι: i) + < ii) < iii) + 5 < Να αποδείξετε ότι: i) 5 6 = ii) 4 + = + 9. Αν < x < να απλοποιηθεί η παράσταση: A = x x 7 x x + 9x 6x + 6 x x 0. Να βρεθούν τα εξαγόμενα: i) ii) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) β) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) β) 6 γ) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας. α) β) 5 9 γ) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας. i) 5 α α α ii) Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) β) γ) 7 4 δ) Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) 4 β) : 4 γ) 5 6 δ) ( 4 ) : 6 4 ε) ( ) : ( 7 0 7) Επίπεδο 7. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: x x + y + y για x = + και x =. 8. Να αποδείξετε ότι: 9. Να αποδείξετε ότι: + ( )( 0 45) = 0 + = 4

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 0. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) + β) γ) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) x + 4 x x 4 x, με x και x α + β + α β β), με α > β > 0 α + β α β. Αν x >, να αποδείξετε ότι: x + x x x x x x + x = 4x x. Να μετασχηματίσετε τα επόμενα ριζικά ώστε το αποτέλεσμα να έχει μόνο απλές ρίζες: α) β) 8 8 γ) Να αποδείξετε ότι: = Αν α = και β = δείξτε ότι: α β =. Απαιτητικά θέματα 6. Να υπολογίσετε την παράσταση: Αν x + y = 4, να αποδείξετε ότι: x 4 0y y 4 4x + 0 = 8. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) x y β) + 4 x + xy +, με x, y > 0 y

13 Κεφάλαιο Εξισώσεις. Εξισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Ο αριθμός 0 επαληθεύει μία αδύνατη εξίσωση. (βʹ) Αν α β τότε η εξίσωση (α β)x = β α, έχει μοναδική λύση την x =. (γʹ) Η εξίσωση α x = x έχει μία μόνο λύση. (δʹ) Η εξίσωση (x + ) = x + 4 είναι ου βαθμού. (εʹ) Αν η εξίσωση αx = β είναι αόριστη, τότε και η εξίωση βx = α είναι αόριστη. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση µ (x ) = ( x) έχει μία μόνο λύση, ανεξάρτητη της τιμής της παραμέτρου µ.. Δίνεται η εξίσωση λ (x ) = λ(x + ), με λ πραγματική παράμετρο. i) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή αx = β. ii) Να λύσετε την εξίσωση για της διάφορες τιμές του λ. iii) Για ποιά τιμή του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = ; 4. α) Να λύσετε την εξίσωση: λ(x ) = x λ, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. β) Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα, σύμφωνα με τη λύση του προηγούμενου ερωτήματος. Τιμή του λ 4 Λύση της εξίσωσης 5. Να λύσετε την εξίσωση 5(κ x) 6 = κ(κ x) x, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου κ R 6. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων λ, µ ώστε η εξίσωση λ(x ) + x = µ(5x + ) 4 να είναι αόριστη. 7. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων λ, µ ώστε η εξίσωση λ(x ) = x µ + να είναι αδύνατη. 8. Να λυθούν οι εξισώσεις:

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α) x x 4 = x + ( x ) β) x = 4 4 5x 4 5x 5 4 5x + 4 γ) = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) γ) 5 x + x ( x ) = 4 6 x x 6 + = x 5 x ( x ) 6x 6 = 4 4 Επίπεδο 7 4 5x Δύο αντικρυστά λιμάνια A και B απέχουν 05 μίλια. Ένα πλοίο ξεκινά από το λιμάνι A με κατεύθυνση το B, με ταχύτητα 4 μίλια την ώρα. Μετά από μία ώρα ένα δεύτερο πλοίο ξεκινά από το λιμάνι B με κατεύθυνση το A, με ταχύτητα 0 μίλια την ώρα. Σε πόσο χρόνο από τον απόπλου του πρώτου πλοίου θα συναντηθούν; Πόσο απέχει το σημείο συνάντησης από τα δύο λιμάνια;. Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις για κάθε τιμή της πραγματικής παραμέτρου µ. i) µ x µ 4 = 4µ(x ) ii) µ (x ) = 4µx + 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (αx β) + (βx ) = (βx α) + (αx ) β) (x + λ)(λ µ) + (x + µ)(λ + µ) = (λ + µ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + = 4 β) x + = γ) x + = 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + x = 8 β) x = x + γ) x + + x = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x + x + x + 5x = ii) 4x + 4x + x + = + x Απαιτητικά θέματα 6. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση: α + x + x = β να έχει δύο τουλάχιστον λύσεις. x +

15 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ X ν = α 5. Η εξίσωση x ν = α Οι λύσεις της εξίσωσης x ν = α παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο α ν Ρίζες της x ν = α α = 0 0 ν Η εξίσωση α > 0 άρτιος α και ν α x ν ν = α περιττός α ν α < 0 άρτιος α και αδύνατη περιττός ν α. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x = 000 β) x 4 = 65 γ) x 5 + = 0. Ο όγκος ενός κύβου είναι 64cm. Να βρείτε το μήκος της ακμής του.. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το πλάτος του είναι διπλάσιο του ύψους του και το μήκος του τριπλάσιο του ύψους του. Αν ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι 058 cm, να υπολογίσετε τις διαστάσεις του. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x = 0 β) x 5 + 6x = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5 8x = 0 β) 64x 5 x = 0 γ) 8x 4 + x = 0 δ) 6x 5 + x = 0 ε) 5x x 5 = 0 στ) x 05 x 5 = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x + ) 5 = β) (x ) 4 6(x ) = 0 γ) (x ) 4 = x Επίπεδο 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 6 + x 4 x = 0 = 0 β) x x 6 + x 5 = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 969 = 0 β) x x 50 = x 050 γ) 8888x 00 + x 004 = 0

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Εξισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Όταν η διακρίνουσα μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι μη αρνητική, τότε η εξίσωση έχει δύο διακεκριμένες ρίζες. (βʹ) Σε μία δευτεροβάθμια εξίσωση η διακρίνουσα 0. Τότε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. (γʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει πραγματικές ρίζες. Τότε θα είναι > 0. (δʹ) Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης x 6x + κ = 0 είναι. Τότε το κ =. (εʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζες τις x, x. Τότε x + x = S P, όπου S είναι το άθροισμα των ριζών και P το γινόμενό τους. (Ϛʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζες τις x, x. Τότε x + x = S P, όπου S και P είναι το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. (ζʹ) Η δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς 5 και 4 είναι η 8x + 4x 5 = 0. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + 4x = 0 β) x ( + )x + = 0. Να βρείτε το θετικό πραγματικό αριθμό x, αν οι αριθμοί x +, x είναι αντίστροφοι. 4. Να λυθεί η εξίσωση: (x x ) + (x 6x 9) = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x 9 = 0 β) x + x + x = 0 γ) x + x x = x + x 6. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x γx + γ β + αβ α = 0, έχει ρητές ρίζες. 7. Αν α, β, γ Q, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: αx (α + β)x + β = 0, α 0, έχει ρητές ρίζες, από τις οποίες η μία είναι σταθερή. 8. Αν η εξίσωση: x κx + λ = 0 έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: (κ 4λ) λ 5 = 0 i) είναι δευτέρου βαθμού ii) έχει διακεκριμένες πραγματικές ρίζες 9. Δίνεται η εξίσωση: x (µ )x + µ 5µ = 0, µ R. α) Για ποιές τιμές του µ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; β) Για τις τιμές του µ που θα βρείτε στο ερώτημα α), να λύσετε την εξίσωση. 0. Θεωρούμε την εξίσωση: (κ )x ( κ)x + 5 κ = 0, κ R. i) Για ποιές τιμές του κ η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; ii) Για ποιές τιμές του κ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; iii) Ποιά είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, για τις τιμές του κ που θα βρείτε στο προηγούμενο ερώτημα;. Δίνεται η εξίσωση: (λ )x (λ )x + 4 5λ = 0, λ R. i) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ρίζες. ii) Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση.

17 .. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: (λ + )x + (λ )x λ + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες.. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση: ( λ)x 4x = 0, έχει δύο διαφορετικές ρίζες. 4. Δίνεται η εξίσωση x x + = 0, με ρίζες x, x. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) x + x β) x x x + x γ) x x 5. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των κύβων των ριζών της εξίσωσης: x + µx + µ α µ = 0, µ 0, είναι ανεξάρτητο του µ. 6. Δίνεται η εξίσωση 4x + ( + )x (5 ) = 0. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 7. Δίνεται η εξίσωση x (α β)x + 7αβ α 4β = 0, α, β R α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό β α. β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 8. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση 5x (λ )x+ λ = 0, έχει μία θετική και μία αρνητική ρίζα. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 6x x = 0 β) (x 4) x 4 5 = 0 γ) 6(x ) 5 x 6 = 0 0. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x + x) (x + x) = 0 β) (x ) 4( x ) = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 4 x 4 = 0 β) x 4 + 6x + 5 = 0 γ) x 4 x + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x x x = x x Επίπεδο β) x x + 8 x = 7x 8 x x. Να λύσετε την εξίσωση x + 5 x + x = Θεωρούμε την εξίσωση x (α β)x + α β = 0, όπου α, β R i) Να αποδείξετε ότι = 4(α β ) ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α, β, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. 5. Δίνεται η εξίσωση: x (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0, όπου α, β, γ R. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες. ii) Πότε η εξίσωση έχει ίσες ρίζες; Ποιές είναι αυτές; 6. Αν α, β, γ είναι πλευρές ενός τριγώνου ABΓ, να αποδείξετε ότι οι επόμενες εξισώσεις δεν έχουν πραγματικές ρίζες. i) βγx (β + γ α )x + βγ = 0 α ii) x + γ x = β 7. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: (λ )x (λ )x λ λ + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες.

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Θεωρούμε την εξίσωση x α + β x (α β) = 0, όπου α, β R. Αν η εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, να βρείτε τους α, β. 9. Αν α, β, γ Q, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: α(β γ)x + β(γ α)x + γ(α β) = 0, α 0 και β γ έχει ρητές ρίζες, από τις οποίες η μία είναι σταθερή. 0. Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0. Αν για τους συντελεστές α, γ της εξίσωσης ισχύει η ισότητα: α γ = α + γ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες, τότε να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με την εξίσωση β x αγ(x ) + αγ =. Απαιτητικά θέματα. Δίνεται η εξίσωση x (γ α)x + α + β + γ αβ βγ = 0, όπου α, β, γ R, η οποία έχει πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι: α) β = α + γ β) Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα τον αριθμό β α.. Θεωρούμε την εξίσωση (α + β + γ )x + (α + β + γ)x + = 0, όπου α, β, γ R, η οποία έχει πραγματικές ρίζες. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α, β, γ β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. 4. A. Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 με ρίζες τις ρ, ρ. Θέτουμε S ν = ρ ν + ρν και S ν = ρ ν Να αποδείξετε ότι: + ρ ν. i) αs ν + βs ν + γs ν, για ν =, 4, 5, ( ) α ν ii) S ν = S ν, με γ 0. γ iii) Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x = 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης S 5 = ρ 5 + ρ5. B. Να υπολογίσετε (χωρίς ανάπτυξη των δυνάμεων) τις τιμές των παραστάσεων: i) A = ( + ) 6 + ( ) 6 ii) B = ( + ) + 7 ( ). 7

19 Κεφάλαιο Ανισώσεις. Ανισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Η ανίσωση 0x < 5 είναι αδύνατη. (βʹ) Η ανίσωση x > 9 έχει μόνο μία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. (γʹ) Η ανίσωση 8x < 7 έχει μόνο μία λύση στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός x ο οποίος επαληθεύει τις σχέσεις: 5x 4 7x > x 4 x και 6x x Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του και μικρότερο του 7. Να βρεθούν οι αριθμοί. 4. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί των οποίων το άθροισμα βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 9 και Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x + < 5 β) x 7 < 9 γ) 6 x 5 δ) x > 7 ε) 9x 6 Επίπεδο 6. Δίνεται η παράσταση: A = x 9 x. α) Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση. γ) Να λύσετε την ανίσωση A Δίνεται η παράσταση: A = x x +. x α) Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση. γ) Να λύσετε την ανίσωση A <. 9

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) < x 5 < 5 β) < x < 7 γ) < x 5 < 6 δ) 5 < 4 6x < 9 9. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει η σχέση: x 4 < x + x +

21 .. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ. Ανισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Αν f(x) = x + x +, τότε f ( ) > 0 Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α) f(x) = x + 5x + 4 και β) g(x) = 6x 7x 5 γ) h(x) = 9x 6x + 8 και δ) φ(x) = 0x 60x Να βρεθούν οι τιμές του x, για τις οποίες έχουν έννοια τα επόμενα κλάσματα. Μετά να τα απλοποιήσετε. α) A = x x 6 x + 5x + 4. Δίνεται το τριώνυμο f(x) = 6x 5x 6. β) B = 9x + 6x 8 5x + x 4 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου, για τις διάφορες τιμές του x. β) Να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά με ένα από τα σύμβολα <, >, =. α) f( ) 0 β) f( 0, 667) 0 γ) f(, 54) 0 δ) f(, 5) 0 ε) f( 7 ) 0 στ) f(0, 6) 0 5. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x 0 β) 5 x < 0 γ) x + x 8 < 0 6. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα K = ( x + 7x 5)(4x 44x + ) x + x είναι μη αρνητικό, για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού x. 7. Να λυθούν τα συστήματα: { x > 0 α) x x < 0 4 x > 0 β) x x + 6 > 0 x + 4x < 0 x < 0 γ) x 5x + > 0 x + x 4 < 0 8. Για ποιές τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις; α) A = 4 + x x β) B = x + x 9x + 4 Επίπεδο 9. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο φ(x) = (α +)x αx+, α R είναι θετικό για οποιαδήποτε τιμή του x. 0. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο g(x) = x αx + α, α R είναι πάντοτε μη αρνητικό.. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο h(x) = x + αx + α (β + γ), είναι αρνητικό για κάθε x R, όταν α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου.. α) Να βρείτε τα πρόσημα των τριωνύμων: f(x) = x x + 4 και g(x) = x 5x + 4.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών x και y, αν ισχύει η ισότητα: (x 6x + 9)(y y + 4) + (4y + 5) (x 5x + 4). Δίνεται η εξίσωση (λ )x λx + λ = 0. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. 4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού µ, για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε x R. Απαιτητικά θέματα 5. Δίνεται η εξίσωση x + (λ )x λ + = 0. (µ + )x (µ )x + 5(µ ) < 0 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις x, x. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση: < x + x x + x < 7

23 .. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ. Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (x )( x + 7x 0)( x + x 6) > 0 β) ( x)(x x 5)( x + 5x 4) < 0 γ) ( x)(x 6x 5)( x + 8x 6) 0. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x 6x > 0 β) x + x 4x < 0 γ) x 5x + 6x 0 0 δ) (x x x)( x + 4x 4) 0 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x + 5x 8 < 0 ii) x 6 x + 0 iii) ( x + 5x 6)(x + x + ) x 8x + > 0 iv) (x 4x + )(x 4x 9 8 x x 0 5. Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; A = Επίπεδο 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 x x α) (x x + ) ( x + 6x 8) (4 x) (x x )( x ) β) (x + x 6) 5 (x + x) (4 x )( x + x 5) 0 > 0 7. Να λυθούν οι ανισώσεις: x α) x x x + < 9 x x x β) x x + x + x < 0 x x 6 Απαιτητικά θέματα

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ x 4 8. Να λύσετε το σύστημα: (x )( x + x 7) > 0 x + x 9x 9 < 0 9. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματική τιμή του x για την οποία να ισχύει η σχέση: < x x + x < 0. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές. (λ )x (λ )x + λ + = 0

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 50 3 5 0 0 ή 3 5 0 0 ή 3 5 0 ή 8 50 8 5 αδύνατη 3 60 3 6 6 3 3 4 510, α = 4, β = -5 και γ = 1 Δ = 4 5 4 4 15169 5 9 4 53 8 1 ή 4 410

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά B Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα