1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας."

Transcript

1 Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Για τους πραγματικούς αριθμούς α, x, y δίνεται ότι: αx = αy τότε x = y. (βʹ) Το γινόμενο ενός μη μηδενικού αριθμού με τον αντίθετο του αντιστρόφου του, ισούται με. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριμό α ισχύει η ισότητα: (α + ) 0 =. (δʹ) Η ισότητα + x = 5 είναι ταυτότητα. (εʹ) Η ισότητα α = β είναι ταυτότητα.. Να βρεθεί το λάθος στη σειρά των συλλογισμών: α = β α α = β β α β = α β (α β) = (α β) =. Λέμε ότι μία πράξη είναι κλειστή σε ένα σύνολο, αν η πράξη μεταξύ δύο οποιοδήποτε στοιχείων του συνόλου δίνει αποτέλεσμα το οποίο ανήκει στο σύνολο. Να εξετάσετε αν είναι κλειστό το σύνολο - των φυσικών αριθμών με πράξη την αφαίρεση - των ακεραίων αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό - των ακεραίων αριθμών με πράξη την διαίρεση - των ρητών αριθμών με πράξη την πρόσθεση - των άρρητων αριθμών με πράξη την πρόσθεση Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο 4. Αν x + y = να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: A = (α x) [ 5 (y α)] + [α (x + 6y)]

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. Αν x + y = να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: x(x ) + y(y ) + xy 6. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω αν δίνεται ότι x 4 = y 5 = ω και x + y + ω = Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών, και 7. Να υπολογίσετε σε μοίρες τις γωνίες του τριγώνου. Τι είδους είναι το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του; 8. Αν α β = γ, να αποδείξετε ότι: δ i) α 5α 9γ = β 5β 9δ ii) α κα + λγ = β κβ + λδ με βδ(5β 9δ) 0 με βδ(κβ + λδ) 0 9. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι πολλαπλάσιο του. 0. Να δείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι περιττός αριθμός.. Να δείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών i) είναι περιττός αριθμός ii) όταν διαιρεθεί με το 4, δίνει υπόλοιπο.. Να αποδείξετε ότι: (x + y + z) + (x + y z) + (x y + z) + (x y z) = 4(x + y + z ).. Να αποδείξετε ότι: (α β) α + (α + β) + α(α β)(α + β) = α(4α + β ). 4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η ισότητα: (x + y) = x + 9y τότε ένας τουλάχιστον από αυτούς ισούται με το Να αποδείξετε ότι: (α + β ) + 4αβ(α β ) = (α β + αβ). 6. Σε ένα ορθογώνιο η περίμετρός του είναι 4cm και το εμβαδόν του είναι 60cm. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο του ορθογωνίου. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την ταυτότητα x + y = (x + y) xy 7. Αν (x α β) = (α β), τότε να δείξετε ότι x = α ή x = β. 8. Αν x + y = και xy = να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: A = x + y, B = x + y, Γ = x y + y x, = x + y, E = x 4 + y 4 Επίπεδο 9. Ταυτότητα De Moivre. Να αποδείξετε ότι: α 4 + β 4 + γ 4 α β β γ γ α = (α + β + γ)(α + β γ)(α β + γ)(α β γ) 0. Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι: (αβ + βγ + γα) = α β + β γ + γ α.. Οι αριθμοί α, β είναι μη μηδενικοί και διαφορετικοί μεταξύ τους. Αν α + β + = α β ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι.. Δίνεται η παράσταση Π = 5x 6 (x 5) (x ). τότε να αποδείξετε

3 .. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ α) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. β) Να απλοποιηθεί η παράσταση.. Αφού βρείτε τις τιμές για τις οποίες ορίζονται τα επόμενα κλάσματα, μετά να τα απλοποιήσετε α) A = 9(x + ) (4x ) 4(x + 4x + 4) β) B = (x + )(x + ) 6(x + ) (x + 5)(7 x) + 4x 5 4. α) Να αποδείξετε ότι α(α + β)(α + β)(α + β) + β 4 = (α + αβ + β ). β) Να αποδείξετε ότι x(x + )(x + )(x + ) + = (x + x + ). Σύμφωνα με το προηγούμενο να διατυπώσετε μία πρόταση. γ) Να εξηγήσετε ότι ο επόμενος ακέραιος του ισούται με το τετράγωνο ενός ακέραιου. 5. Αν α, β, γ R και ισχύει: x α = y β = ω γ να αποδείξετε ότι x 6 + y 6 + ω 6 α 6 + β 6 + γ 6 = ( x + y + ω α + β + γ 6. α + β = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A = (α + β ) (α + β ). 7. x y = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: B = (α β ) (α + β ). 8. Αν α+β +γ =, αβ +βγ +γα = και αβγ =, να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: A = α + β + γ, B = α β + β γ + γ α, Γ = α + β + γ, = α 4 + β 4 + γ 4 9. Αν α + β + γ = 0 τότε να αποδείξετε ότι: α(α + β)(α + γ) = β(β + α)(β + γ) = γ(γ + α)(γ + β) 0. Αν x = α + β + γ τότε αποδείξτε ότι: (x α) + (x β) + (x γ) = (x α)(x β)(x γ).. α + β + γ = 0 τότε αποδείξτε ότι: α) (α + β) + (β + γ) + (γ + α) = (α + β)(β + γ)(γ + α). β) (κα + λβ) + (κβ + λγ) + (κγ + λα) = (κα + λβ)(κβ + λγ)(κγ + λα).. Να αποδείξετε ότι: (x y ω) +(y ω x) +(ω x y) = (x y ω)(y ω x)(ω x y). (. Αν α + ) =, τότε να δείξετε ότι α + α α = 0. ) 4. Αν α + α = τότε να αποδείξετε ότι: α + α = α + α = α4 + α 4 5. Οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι και επαληθεύουν την ισότητα: Να υπολογίσετε τα α, β. Απαιτητικά θέματα α + β + 4 = α + + β +

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6. Να εκτελέσετε τις πράξεις: α α + β β + β α β + α β + β α αβ α β β α + β α + β 7. Έστω α, β, γ είναι οι πλευρές ενός τριγώνου ABΓ, για τις οποίες ισχύει η ισότητα α β γ + β γ α + γ α β = 0 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 8. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α 4 β + γ αβγ + β 4 γ + α αβγ + γ 4 α + β αβγ = 0 9. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + β + γ α + β + γ Αν α + β + γ = 0 τότε να αποδείξετε ότι: ( α + β + γ ) = 0 α 4 β + γ αβγ + β 4 γ + α αβγ + γ 4 α + β αβγ = 0 4. Αν α + β + γ = 0 και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + β + γ αβ(γ + ) α + β γ = 4. Για τους θετικούς αριθμούς α, β και γ δίνεται ότι: α + β + γ = και αβ + βγ + γα =. Να αποδείξετε ότι: α = β = γ =.

5 .. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5. Διάταξη πραγματικών αριθμών Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Ο α είναι πραγματικός και οι x, y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν αx > αy τότε x > y. (βʹ) Αν x > y τότε α x > α y. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Αν x > τότε να αποδείξετε ότι: i) x > x ii) x + x > x +. Αν x > τότε να αποδείξετε ότι: x > x x + 4. Αν α > β > 0 να αποδείξετε ότι: α + α > β + αβ. 5. Αν x > y > 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: α = x y και β = (x y). 6. Αν οι α, β είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, να συγκρίνεται τους αριθμούς: x = α + β και y = α β + αβ 7. Αν x y > 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς: x y x + y και x y x + y. 8. Να αποδείξετε ότι: α) (α + β) 4αβ β) (α β) 4αβ Πότε ισχύει η ισότητα; 9. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ) α(β + γ α) + β(γ + α β) + γ(α + β γ). Πότε ισχύει η ισότητα; 0. Να αποδείξετε ότι: α. Πότε ισχύει η ισότητα; + α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, ρ αν δίνεται ότι κ + ρ = 4ρ 4.. Για τους πραγματικούς αριθμούς x, y, α, β ισχύει η ισότητα: (x + α) + (y + β) = 4(αx + βy). Να αποδείξετε ότι x = α ή x = β.. Αν (αβ γ ) = (α + β)(α + β γ) να δείξετε ότι α = β = γ. 4. Έστω ότι 4 x και < y < 5. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: 4 i) A = 6x 8y ii) B = x + y 5. Για τις πραγματικές μεταβλητές α, β γνωρίζουμε ότι α και < β < 4. Να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: i) α β και ii) αβ iii) α β iv) α + β 6. Για τις διαστάσεις α, β ενός ορθογωνίου δίνεται ότι: 8, α 8, 5 και 5, 7 β 5, 8. i) Μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται η περίμετρός του; ii) Μεταξύ ποιών τιμών βρίσκεται το εμβαδόν του;

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7. Για τις ακτίνες δύο ομόκεντρων κύκλων (O, R) και (O, ρ) δίνεται ότι:, 5 < R < 4 και < ρ <,. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου βρίσκεται μεταξύ των τιμών 7, 4π και π. 8. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Επίπεδο Ανισότητα x 5 x 8 < x < 4, 8 Συμβολισμός [, ) (, ) 9. Αν 0 < x < και 0 < y <, τότε να δείξετε ότι: 0 < x + y + xy <. 0. Να αποδείξτε ότι: α + β + γ α(β + γ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Να αποδείξτε ότι: x x + > 0.. Να αποδείξτε ότι: α + β + γ + (α + β γ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Ανισότητα Schwarz. Να αποδείξετε ότι: (α + β + γ )(x + y + z ) (αx + βy + γz) Αν οι πραγματικοί α, β, γ, x, y, z είναι μη μηδενικοί, τότε στην προηγούμενη σχέση η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α x = β y = γ z. 4. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο ABΓ το οποίο έχει περίμετρο 0m. Αν AB = Γ = xm και συμβολίσουμε με E(x) το εμβαδόν του, τότε να αποδείξετε ότι: i) A = BΓ = 0 x ii) 0 < x < 0 iii) E(x) = x + 0x iv) E(x) 5 v) Ένα ορθογώνιο με σταθερή περίμετρο 0m έχει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν όταν αυτό γίνει τετράγωνο. 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους δίνεται ότι: x + y + 6y (5x 7). 6. Αν οι α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να συγκρίνεται τους αριθμούς: x = α + β και y = αβ 7. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει ότι: ( β) Να αποδείξετε ότι: ) < Απαιτητικά θέματα 8. Αν x > να συγκρίνετε τους αριθμούς x και 7x Αν ω > να συγκρίνετε τους αριθμούς A = ω και B = ω + ω +. ( ) ν < ν ν + ν Να αποδείξτε ότι: (α 4 + α + ) (α + α + ). Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν α β = β γ = γ δ και αβγ 0, να αποδείξετε ότι: α + δ β + γ. Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν α, β > 0 και α + β =, να αποδείξετε ότι: i) αβ ( ii) + ) ( + ) 9 iii) α + β 4 α β Πότε ισχύει οι ισότητες; iv) α 4 + β 4 8

7 .. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x + = x +. (βʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό y ισχύει: y 4 = y 4. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό κ ισχύει: κ κ = κ + κ. (δʹ) Ισχύει x + x = x + x για κάθε x R. (εʹ) Ισχύει y y = y y για κάθε y R. (Ϛʹ) Αν x, y R τότε ισχύει ότι x y = y x +. (ζʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει d(α, α) = α. (ηʹ) Αν α, β R τότε: d(α, β) = d(α, β ) α = β.. Ονομάζουμε max{α, β} τον { μεγαλύτερο από τους πραγματικούς α, β. α αν α β Δηλαδή max{α, β} = β αν α < β. Προσπαθήστε να ορίσετε την απόλυτη τιμή ενός α R, χρησιμοποιώντας την έννοια του max. Μετά εξηγήστε τις ιδιότητες: x x και x x. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση: A = x x x + 4. Να αποδείξετε ότι: α + 6α + 9 α 6α + 9 = α. 5. Να αποδείξετε ότι η παράσταση: A = α + α + + α α + α +, είναι ανεξάρτητη του α. 6. Αν α β γ, να αποδείξετε ότι: α β + β γ γ α = Αν < x < και < y < να αποδείξετε ότι η παράσταση: A = x + y x + y + x y είναι σταθερή. 8. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χωρίς απόλυτα α) A = x + x 5 β) B = x x + 9. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χωρίς απόλυτα i) A = 5 x + + x x 4 ii) B = x x + + x 0. Να υπολογίσετε τις τιμές του ακέραιου x, αν ισχύουν οι επόμενες ισότητες: x 5 = 5 x και x = x.. Να αποδείξετε ότι: (α β β α )(α β + β α ) = 0.. α) Αν x 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: β) Αν x, y, z 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: x x. x x + y y + z z. γ) Αν α, β 0 να αποδείξετε ότι ισχύει: α α + β β 5.. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y, ω, αν δίνεται ότι: x x y + x + 4y ω 7 = 0.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, αν δίνεται ότι: α 5β + β + 4α 9 = α β + γ 4γ. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = x + β) x = 7x 9 γ) 4x 5 x = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x = β) 6 5x = 4 γ) + x = Αν α, β R και x = α α + β, y = β α + β να αποδείξετε ότι: x + y = 8. Αν α, β 0 και α β = β α τότε δείξτε ότι οι α, β είναι ομόσημοι. 9. Αν για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι α β + β α = 0, τότε δείξτε ότι αυτοί είναι ετερόσημοι. 0. Αν α + 5 α + = 5 τότε α = 5.. Αν α, β R με α + β 0, να αποδείξετε ότι α α + β + β α + β. Αν x, y R και d(x, y) = y x, τότε y x.. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x < β) x + 7 γ) x 5 δ) x + 5 > ε) 4x 5 4. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, για τους οποίους ισχύει: α) α 5 < α + β) d(α, 4) > d(5, α) 5. Να βρείτε τους x R, για τους οποίους ισχύει: x 6 d(x, ) α) < β) 4 x d(, x) 6. Για τους x, y R ισχύουν οι σχέσεις x και y. Να αποδείξετε ότι: i) 5x y 6 ii) x + 7y + 8 Επίπεδο 7. Να αποδείξετε ότι: α + 4α + 5 = α α + 6α. 8. Αν < α < να αποδείξετε ότι η παράσταση: Π = α α είναι σταθερή. 9. Αν α, β R, να αποδείξετε ότι: α α β β = ( α β )(α + αβ + β ). 0. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι: i) αβ + αβ α β + β α ii) αβ αβ α β β α. Για τους x, y R ισχύει η ισότηται: 5x + y 6 = 5 x + y. Να αποδείξετε ότι: x(y ) 0.. Αν α, β 0, να αποδείξετε ότι α β + β α. Πότε ισχύει η ισότητα;. Αν x R, να αποδείξετε ότι x + x. Πότε ισχύει η ισότητα;

9 .. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 9 4. Να βρείτε τους x R, για τους οποίους ισχύει: x 6 d(x, ) α) < β) 4 x d(, x) 5. Αν α, κ, x R να αποδείξετε ότι: i) α α 7 ii) κ κ 9 4 iii) x x + x Να αποδείξετε ότι: α) (x + ) x + + β) 4α 4α + 4 α ( x) x με x και x + 4α + 4α + 4 α + με α και α 7. Αν α, β R να αποδείξετε ότι: i) α β α + β ii) α β α β 8. Για ποιούς πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύουν οι επόμενες ισότητες; i) α β = α + β ii) α β = α + β 9. Αν x, y R και x y y x xy =, τότε να αποδείξετε ότι οι x, y είναι ετερόσημοι. Απαιτητικά θέματα 40. Να αποδείξετε ότι: i) x + + x + + x + x x + = 0 ii) x + x + x x + 4 x = 0 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους ισχύει η σχέση: α + β β 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, για τους οποίους ισχύει η σχέση: x x 4x x 4 4. Αν < x < να αποδείξετε ότι: x x 0 < Αν x < και < y < να αποδείξετε ότι: x xy y + < Αν x = y τότε x x + y + y x y.

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Αν α, β > 0 τότε α + β = α + β. (βʹ) Αν x < τότε ισχύει x x + = x. (γʹ) Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x = (x + )(x ) = x + x. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να αποδείξετε ότι: = 5. Αν x = και y = 7 5, να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: x xy + y. 4. Να αποδείξετε τις επόμενες ισότητες: i) ( )( + ) ( ) ( + ) = 0 +. ii) ( ) + ( ) + ( ) = 5. Αν α = +, β = + +, γ = +, να αποδείξετε ότι α β γ =. 6. Αν α = + +, β = +, γ = +, να αποδείξετε ότι: α β γ =. 7. Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χρησιμοποιώντας μία ρίζα. α) β) γ) ε) στ) Να γράψετε τις επόμενες παραστάσεις χρησιμοποιώντας δύο ρίζες. α) β) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. 6 α) β) γ) δ) ε) 6 0. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) 4 4 β) 7 4 γ) 5 5. Να αποδείξετε ότι: α) + + = 5 β) δ) = 6. Να αποδείξετε ότι: + + = 0 +. Να αποδείξετε ότι: α) ( 5) ( + 5) = 5 4 β) ( 5) + ( + 5) = 76

11 .4. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. α) Να εκτελέσετε τα αναπτύγματα: ( + ) και β) Να αποδείξετε ότι: = ( ). 5. Να αποδείξετε ότι: = 6. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα: είναι ρητός αριθμός Να αποδείξετε ότι: i) + < ii) < iii) + 5 < Να αποδείξετε ότι: i) 5 6 = ii) 4 + = + 9. Αν < x < να απλοποιηθεί η παράσταση: A = x x 7 x x + 9x 6x + 6 x x 0. Να βρεθούν τα εξαγόμενα: i) ii) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) β) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) β) 6 γ) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας. α) β) 5 9 γ) Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας. i) 5 α α α ii) Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) β) γ) 7 4 δ) Να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) 4 β) : 4 γ) 5 6 δ) ( 4 ) : 6 4 ε) ( ) : ( 7 0 7) Επίπεδο 7. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης: x x + y + y για x = + και x =. 8. Να αποδείξετε ότι: 9. Να αποδείξετε ότι: + ( )( 0 45) = 0 + = 4

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 0. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) + β) γ) Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) x + 4 x x 4 x, με x και x α + β + α β β), με α > β > 0 α + β α β. Αν x >, να αποδείξετε ότι: x + x x x x x x + x = 4x x. Να μετασχηματίσετε τα επόμενα ριζικά ώστε το αποτέλεσμα να έχει μόνο απλές ρίζες: α) β) 8 8 γ) Να αποδείξετε ότι: = Αν α = και β = δείξτε ότι: α β =. Απαιτητικά θέματα 6. Να υπολογίσετε την παράσταση: Αν x + y = 4, να αποδείξετε ότι: x 4 0y y 4 4x + 0 = 8. Να μετετρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) x y β) + 4 x + xy +, με x, y > 0 y

13 Κεφάλαιο Εξισώσεις. Εξισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Ο αριθμός 0 επαληθεύει μία αδύνατη εξίσωση. (βʹ) Αν α β τότε η εξίσωση (α β)x = β α, έχει μοναδική λύση την x =. (γʹ) Η εξίσωση α x = x έχει μία μόνο λύση. (δʹ) Η εξίσωση (x + ) = x + 4 είναι ου βαθμού. (εʹ) Αν η εξίσωση αx = β είναι αόριστη, τότε και η εξίωση βx = α είναι αόριστη. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση µ (x ) = ( x) έχει μία μόνο λύση, ανεξάρτητη της τιμής της παραμέτρου µ.. Δίνεται η εξίσωση λ (x ) = λ(x + ), με λ πραγματική παράμετρο. i) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή αx = β. ii) Να λύσετε την εξίσωση για της διάφορες τιμές του λ. iii) Για ποιά τιμή του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = ; 4. α) Να λύσετε την εξίσωση: λ(x ) = x λ, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. β) Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα, σύμφωνα με τη λύση του προηγούμενου ερωτήματος. Τιμή του λ 4 Λύση της εξίσωσης 5. Να λύσετε την εξίσωση 5(κ x) 6 = κ(κ x) x, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου κ R 6. Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων λ, µ ώστε η εξίσωση λ(x ) + x = µ(5x + ) 4 να είναι αόριστη. 7. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων λ, µ ώστε η εξίσωση λ(x ) = x µ + να είναι αδύνατη. 8. Να λυθούν οι εξισώσεις:

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α) x x 4 = x + ( x ) β) x = 4 4 5x 4 5x 5 4 5x + 4 γ) = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) β) γ) 5 x + x ( x ) = 4 6 x x 6 + = x 5 x ( x ) 6x 6 = 4 4 Επίπεδο 7 4 5x Δύο αντικρυστά λιμάνια A και B απέχουν 05 μίλια. Ένα πλοίο ξεκινά από το λιμάνι A με κατεύθυνση το B, με ταχύτητα 4 μίλια την ώρα. Μετά από μία ώρα ένα δεύτερο πλοίο ξεκινά από το λιμάνι B με κατεύθυνση το A, με ταχύτητα 0 μίλια την ώρα. Σε πόσο χρόνο από τον απόπλου του πρώτου πλοίου θα συναντηθούν; Πόσο απέχει το σημείο συνάντησης από τα δύο λιμάνια;. Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις για κάθε τιμή της πραγματικής παραμέτρου µ. i) µ x µ 4 = 4µ(x ) ii) µ (x ) = 4µx + 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (αx β) + (βx ) = (βx α) + (αx ) β) (x + λ)(λ µ) + (x + µ)(λ + µ) = (λ + µ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + = 4 β) x + = γ) x + = 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x + x = 8 β) x = x + γ) x + + x = 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x + x + x + 5x = ii) 4x + 4x + x + = + x Απαιτητικά θέματα 6. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση: α + x + x = β να έχει δύο τουλάχιστον λύσεις. x +

15 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ X ν = α 5. Η εξίσωση x ν = α Οι λύσεις της εξίσωσης x ν = α παρουσιάζονται στον επόμενο πίνακα: Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο α ν Ρίζες της x ν = α α = 0 0 ν Η εξίσωση α > 0 άρτιος α και ν α x ν ν = α περιττός α ν α < 0 άρτιος α και αδύνατη περιττός ν α. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x = 000 β) x 4 = 65 γ) x 5 + = 0. Ο όγκος ενός κύβου είναι 64cm. Να βρείτε το μήκος της ακμής του.. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το πλάτος του είναι διπλάσιο του ύψους του και το μήκος του τριπλάσιο του ύψους του. Αν ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι 058 cm, να υπολογίσετε τις διαστάσεις του. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x = 0 β) x 5 + 6x = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5 8x = 0 β) 64x 5 x = 0 γ) 8x 4 + x = 0 δ) 6x 5 + x = 0 ε) 5x x 5 = 0 στ) x 05 x 5 = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x + ) 5 = β) (x ) 4 6(x ) = 0 γ) (x ) 4 = x Επίπεδο 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 6 + x 4 x = 0 = 0 β) x x 6 + x 5 = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 969 = 0 β) x x 50 = x 050 γ) 8888x 00 + x 004 = 0

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Εξισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Όταν η διακρίνουσα μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι μη αρνητική, τότε η εξίσωση έχει δύο διακεκριμένες ρίζες. (βʹ) Σε μία δευτεροβάθμια εξίσωση η διακρίνουσα 0. Τότε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. (γʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει πραγματικές ρίζες. Τότε θα είναι > 0. (δʹ) Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης x 6x + κ = 0 είναι. Τότε το κ =. (εʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζες τις x, x. Τότε x + x = S P, όπου S είναι το άθροισμα των ριζών και P το γινόμενό τους. (Ϛʹ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ρίζες τις x, x. Τότε x + x = S P, όπου S και P είναι το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. (ζʹ) Η δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς 5 και 4 είναι η 8x + 4x 5 = 0. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + 4x = 0 β) x ( + )x + = 0. Να βρείτε το θετικό πραγματικό αριθμό x, αν οι αριθμοί x +, x είναι αντίστροφοι. 4. Να λυθεί η εξίσωση: (x x ) + (x 6x 9) = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x 9 = 0 β) x + x + x = 0 γ) x + x x = x + x 6. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x γx + γ β + αβ α = 0, έχει ρητές ρίζες. 7. Αν α, β, γ Q, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: αx (α + β)x + β = 0, α 0, έχει ρητές ρίζες, από τις οποίες η μία είναι σταθερή. 8. Αν η εξίσωση: x κx + λ = 0 έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: (κ 4λ) λ 5 = 0 i) είναι δευτέρου βαθμού ii) έχει διακεκριμένες πραγματικές ρίζες 9. Δίνεται η εξίσωση: x (µ )x + µ 5µ = 0, µ R. α) Για ποιές τιμές του µ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; β) Για τις τιμές του µ που θα βρείτε στο ερώτημα α), να λύσετε την εξίσωση. 0. Θεωρούμε την εξίσωση: (κ )x ( κ)x + 5 κ = 0, κ R. i) Για ποιές τιμές του κ η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; ii) Για ποιές τιμές του κ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; iii) Ποιά είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, για τις τιμές του κ που θα βρείτε στο προηγούμενο ερώτημα;. Δίνεται η εξίσωση: (λ )x (λ )x + 4 5λ = 0, λ R. i) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ρίζες. ii) Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση.

17 .. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: (λ + )x + (λ )x λ + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες.. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση: ( λ)x 4x = 0, έχει δύο διαφορετικές ρίζες. 4. Δίνεται η εξίσωση x x + = 0, με ρίζες x, x. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) x + x β) x x x + x γ) x x 5. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των κύβων των ριζών της εξίσωσης: x + µx + µ α µ = 0, µ 0, είναι ανεξάρτητο του µ. 6. Δίνεται η εξίσωση 4x + ( + )x (5 ) = 0. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 7. Δίνεται η εξίσωση x (α β)x + 7αβ α 4β = 0, α, β R α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό β α. β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 8. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση 5x (λ )x+ λ = 0, έχει μία θετική και μία αρνητική ρίζα. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 6x x = 0 β) (x 4) x 4 5 = 0 γ) 6(x ) 5 x 6 = 0 0. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x + x) (x + x) = 0 β) (x ) 4( x ) = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 4 x 4 = 0 β) x 4 + 6x + 5 = 0 γ) x 4 x + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x x x = x x Επίπεδο β) x x + 8 x = 7x 8 x x. Να λύσετε την εξίσωση x + 5 x + x = Θεωρούμε την εξίσωση x (α β)x + α β = 0, όπου α, β R i) Να αποδείξετε ότι = 4(α β ) ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α, β, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. 5. Δίνεται η εξίσωση: x (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0, όπου α, β, γ R. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες. ii) Πότε η εξίσωση έχει ίσες ρίζες; Ποιές είναι αυτές; 6. Αν α, β, γ είναι πλευρές ενός τριγώνου ABΓ, να αποδείξετε ότι οι επόμενες εξισώσεις δεν έχουν πραγματικές ρίζες. i) βγx (β + γ α )x + βγ = 0 α ii) x + γ x = β 7. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: (λ )x (λ )x λ λ + = 0 έχει δύο ίσες ρίζες.

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8. Θεωρούμε την εξίσωση x α + β x (α β) = 0, όπου α, β R. Αν η εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, να βρείτε τους α, β. 9. Αν α, β, γ Q, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: α(β γ)x + β(γ α)x + γ(α β) = 0, α 0 και β γ έχει ρητές ρίζες, από τις οποίες η μία είναι σταθερή. 0. Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0. Αν για τους συντελεστές α, γ της εξίσωσης ισχύει η ισότητα: α γ = α + γ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες, τότε να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με την εξίσωση β x αγ(x ) + αγ =. Απαιτητικά θέματα. Δίνεται η εξίσωση x (γ α)x + α + β + γ αβ βγ = 0, όπου α, β, γ R, η οποία έχει πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε ότι: α) β = α + γ β) Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα τον αριθμό β α.. Θεωρούμε την εξίσωση (α + β + γ )x + (α + β + γ)x + = 0, όπου α, β, γ R, η οποία έχει πραγματικές ρίζες. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα α, β, γ β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. 4. A. Δίνεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 με ρίζες τις ρ, ρ. Θέτουμε S ν = ρ ν + ρν και S ν = ρ ν Να αποδείξετε ότι: + ρ ν. i) αs ν + βs ν + γs ν, για ν =, 4, 5, ( ) α ν ii) S ν = S ν, με γ 0. γ iii) Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x = 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης S 5 = ρ 5 + ρ5. B. Να υπολογίσετε (χωρίς ανάπτυξη των δυνάμεων) τις τιμές των παραστάσεων: i) A = ( + ) 6 + ( ) 6 ii) B = ( + ) + 7 ( ). 7

19 Κεφάλαιο Ανισώσεις. Ανισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Η ανίσωση 0x < 5 είναι αδύνατη. (βʹ) Η ανίσωση x > 9 έχει μόνο μία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. (γʹ) Η ανίσωση 8x < 7 έχει μόνο μία λύση στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός x ο οποίος επαληθεύει τις σχέσεις: 5x 4 7x > x 4 x και 6x x Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του και μικρότερο του 7. Να βρεθούν οι αριθμοί. 4. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί των οποίων το άθροισμα βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 9 και Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x + < 5 β) x 7 < 9 γ) 6 x 5 δ) x > 7 ε) 9x 6 Επίπεδο 6. Δίνεται η παράσταση: A = x 9 x. α) Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση. γ) Να λύσετε την ανίσωση A Δίνεται η παράσταση: A = x x +. x α) Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; β) Να απλοποιήσετε την παράσταση. γ) Να λύσετε την ανίσωση A <. 9

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) < x 5 < 5 β) < x < 7 γ) < x 5 < 6 δ) 5 < 4 6x < 9 9. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει η σχέση: x 4 < x + x +

21 .. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ. Ανισώσεις ου βαθμού Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Αν f(x) = x + x +, τότε f ( ) > 0 Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α) f(x) = x + 5x + 4 και β) g(x) = 6x 7x 5 γ) h(x) = 9x 6x + 8 και δ) φ(x) = 0x 60x Να βρεθούν οι τιμές του x, για τις οποίες έχουν έννοια τα επόμενα κλάσματα. Μετά να τα απλοποιήσετε. α) A = x x 6 x + 5x + 4. Δίνεται το τριώνυμο f(x) = 6x 5x 6. β) B = 9x + 6x 8 5x + x 4 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου, για τις διάφορες τιμές του x. β) Να συμπληρώσετε τα επόμενα κενά με ένα από τα σύμβολα <, >, =. α) f( ) 0 β) f( 0, 667) 0 γ) f(, 54) 0 δ) f(, 5) 0 ε) f( 7 ) 0 στ) f(0, 6) 0 5. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x 0 β) 5 x < 0 γ) x + x 8 < 0 6. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα K = ( x + 7x 5)(4x 44x + ) x + x είναι μη αρνητικό, για οποιαδήποτε τιμή του πραγματικού αριθμού x. 7. Να λυθούν τα συστήματα: { x > 0 α) x x < 0 4 x > 0 β) x x + 6 > 0 x + 4x < 0 x < 0 γ) x 5x + > 0 x + x 4 < 0 8. Για ποιές τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις; α) A = 4 + x x β) B = x + x 9x + 4 Επίπεδο 9. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο φ(x) = (α +)x αx+, α R είναι θετικό για οποιαδήποτε τιμή του x. 0. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο g(x) = x αx + α, α R είναι πάντοτε μη αρνητικό.. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο h(x) = x + αx + α (β + γ), είναι αρνητικό για κάθε x R, όταν α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου.. α) Να βρείτε τα πρόσημα των τριωνύμων: f(x) = x x + 4 και g(x) = x 5x + 4.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών x και y, αν ισχύει η ισότητα: (x 6x + 9)(y y + 4) + (4y + 5) (x 5x + 4). Δίνεται η εξίσωση (λ )x λx + λ = 0. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. 4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού µ, για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε x R. Απαιτητικά θέματα 5. Δίνεται η εξίσωση x + (λ )x λ + = 0. (µ + )x (µ )x + 5(µ ) < 0 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες τις x, x. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση: < x + x x + x < 7

23 .. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ. Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (αʹ) Εφαρμογές - Ασκήσεις - Προβλήματα Επίπεδο. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (x )( x + 7x 0)( x + x 6) > 0 β) ( x)(x x 5)( x + 5x 4) < 0 γ) ( x)(x 6x 5)( x + 8x 6) 0. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x 6x > 0 β) x + x 4x < 0 γ) x 5x + 6x 0 0 δ) (x x x)( x + 4x 4) 0 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x + 5x 8 < 0 ii) x 6 x + 0 iii) ( x + 5x 6)(x + x + ) x 8x + > 0 iv) (x 4x + )(x 4x 9 8 x x 0 5. Για ποιές τιμές του x ορίζεται η παράσταση; A = Επίπεδο 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: 4 x x α) (x x + ) ( x + 6x 8) (4 x) (x x )( x ) β) (x + x 6) 5 (x + x) (4 x )( x + x 5) 0 > 0 7. Να λυθούν οι ανισώσεις: x α) x x x + < 9 x x x β) x x + x + x < 0 x x 6 Απαιτητικά θέματα

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ x 4 8. Να λύσετε το σύστημα: (x )( x + x 7) > 0 x + x 9x 9 < 0 9. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματική τιμή του x για την οποία να ισχύει η σχέση: < x x + x < 0. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες θετικές. (λ )x (λ )x + λ + = 0

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 17: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα