Η απλούστερη μαθηματική καμπύλη. Στον κύκλο αναφέρεται και η ανακάλυψη της πρώτης παγκόσμιας σταθεράς του αριθμού π, που ισούται με τον λόγο της

Transcript

1 Η απλούστερη μαθηματική καμπύλη. Στον κύκλο αναφέρεται και η ανακάλυψη της πρώτης παγκόσμιας σταθεράς του αριθμού π, που ισούται με τον λόγο της περιμέτρου προς τη διάμετρο του κύκλου δηλαδή: π = περίμετρος διάμετρος

2 Ο πρώτος καταγεγραμμένος αλγόριθμος για τον αυστηρό υπολογισμό της τιμής του π ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση που επεξεργάσθηκε γύρω στο 250 π.χ. ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης, χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα. Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριαρχεί για πάνω από 1000 χρόνια και ως εκ τούτου το π πολλές φορές αναφέρεται ως "Σταθερά του Αρχιμήδη".

3 Ο Αρχιμήδης υπολόγισε το ανώτερο και το κατώτερο όριο του π σχεδιάζοντας ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο και διπλασιάζοντας διαδοχικά τον αριθμό των πλευρών των πολυγώνων έφτασε στο κανονικό 96-γωνο. Υπολογίζοντας τα εμβαδά αυτών των πολυγώνων, απέδειξε ότι: 223 < π < δηλαδή: 3,1408 < π < 3,1429 υπολογίζοντας έτσι την τιμή του π με ακρίβεια που θεώρησε ικανοποιητική.

4 Αιώνες νωρίτερα από τον Αρχιμήδη από την εποχή που άκμαζε η αρχαία Αίγυπτος και η Βαβυλώνα (υπάρχουν καταγεγραμμένες προσεγγίσεις της τιμής του π από 25/8 3,1250 μέχρι (16/9) 2 3,1605 τιμές που απέχουν μόλις 1% από την πραγματική τιμή) και μέχρι σήμερα οι μαθηματικοί που φαίνεται να έχουν τη συνήθεια να μελετούν, πράγματα που μοιάζουν εντελώς άχρηστα απλά και μόνο για διασκέδαση, έχουν εργαστεί έντονα για τον υπολογισμό του π σε χιλιάδες και χιλιάδες ψηφία. Αυτή η προσπάθεια μπορεί να αποδοθεί εν μέρει στον ανθρώπινο εξαναγκασμό να σπάσει ρεκόρ, και τέτοια επιτεύγματα με τον αριθμό π συχνά κάνουν πρωτοσέλιδα σε όλο τον κόσμο, παρά το γεγονός ότι για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που αφορούν τον π, μια χούφτα των ψηφίων του παρέχουν επαρκή ακρίβεια.

5 Σύμφωνα με τους Jörg Arndt και Christoph Haenel, τριάντα εννέα ψηφία του π είναι επαρκή να εκτελέσουν τους περισσότερους κοσμολογικούς υπολογισμούς, γιατί αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό του όγκου του γνωστού σύμπαντος με ακρίβεια ενός ατόμου. Αναπαράσταση του τρισδιάστατου παρατηρήσιμου (για το γήινο παρατηρητή) Σύμπαντος, διαμέτρου 93 δισεκατομμυρίων ετών φωτός. Οι λεπτές άσπρες κουκκίδες αντιπροσωπεύουν μεγάλες συστοιχίες υπερ-σμηνών γαλαξιών Το υπερ-σμήνος της Παρθένου στο οποίο ανήκει και ο δικός μας γαλαξίας βρίσκεται στο κέντρο της νοητής αυτής σφαίρας, αλλά είναι πολύ μικρό για την κλίμακα της εικόνας και δεν διακρίνεται

6 3,

7 Η μαθηματική καμπύλη με τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές. Η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στην Ιστορία από τον ευρηματικό Αρχιμήδη, για αμυντικούς σκοπούς.

8 Η φωτεινή ακτίνα που προέρχεται από σημείο Μ και είναι παράλληλη στον άξονα συμμετρίας ενός παραβολικού κατόπτρου, ανακλάται σ αυτό και κατευθύνεται στην εστία Ε. Σύμφωνα με την αρχή του Fermat το φως ταξιδεύει πάνω στη συντομότερη χρονικά διαδρομή, που στην περίπτωση αυτή είναι η διαδρομή με το μικρότερο μήκος. Έτσι απ όλες τις διαδρομές που συνδέουν την πηγή Μ με την εστία Ε, μετά από ανάκλαση στο παραβολικό κάτοπτρο, μικρότερη είναι η ΜΑΕ γιατί ισούται με την απόσταση του Μ από την διευθετούσα δ, ενώ οποιαδήποτε άλλη διαδρομή ΜΒΕ είναι μεγαλύτερη, αφού είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του Μ από την διευθετουσα. Δηλαδή: ΜΑΕ = d Μ, δ < ΜΒΕ Τέλος μόνο γι αυτή τη διαδρομή αποδεικνύεται ότι η γωνία προσπτώσεως φ ισούται με τη γωνία ανακλάσεως ω.

9 Η αφή της Ολυμπιακής φλόγας επιτυγχάνεται με ένα κοίλο παραβολικό κάτοπτρο που είναι στραμμένο προς τον Ήλιο. Η δάδα της πρωθιέρειας ανάβει όταν πλησιάσει την εστία του κατόπτρου. Ιερά σιωπή! Να ηχήσει όλος ο αιθέρας, η γη, η θάλασσα και οι πνοές των ανέμων. Όρη και Τέμπη σιγήστε. Ήχοι και φωνές πουλιών παύσατε. Γιατί μέλλει να μας συντροφεύσει ο Φοίβος, ο Φωσφόρος Βασιλεύς. Απόλλωνα, θεέ του ήλιου και της ιδέας του φωτός, στείλε τις ακτίνες σου και άναψε την ιερή δάδα για τη φιλόξενη (διοργανώτρια πόλη). Και συ, ω Δία, χάρισε ειρήνη σ' όλους τους λαούς της Γης και στεφάνωσε τους νικητές του Ιερού Αγώνα.

10 Εάν μια πηγή φωτός τοποθετηθεί στην εστία ενός παραβολικού κατόπτρου (μια κοίλη επιφάνεια που σχηματίζεται καθώς περιστρέφουμε μια παραβολή γύρω από τον άξονά της), το φως θα ανακλαστεί σε ακτίνες παράλληλες με τον άξονα. Με αυτόν τον τρόπο, δημιουργείται μια ευθεία δέσμη φωτός. Γι αυτό το λόγο, χρησιμοποιούνται παραβολικές επιφάνειες για τους φακούς και τους προβολείς.

11 Η αντίθετη αρχή χρησιμοποιείται σε γιγάντια κάτοπτρα, σε ανακλαστικά τηλεσκόπια και σε δορυφορικές κεραίες που χρησιμοποιούνται για συλλογή ραδιοκυμάτων, κυμάτων φωτός και ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από το διάστημα. Τα κύματα ανακλώνται στην παραβολική επιφάνεια και συγκεντρώνονται στην εστία του κατόπτρου.

12 O Galileo Galilei τον 17ο αιώνα απέδειξε πειραματικά ότι κάθε σώμα που βάλλεται προς τα πάνω υπο γωνία ως προς την κατακόρυφο ή που βάλλεται οριζόντια κινείται σε παραβολική τροχιά. Αφήνοντας μια μπίλια να κυλήσει παρατήρησε ότι, όταν αυτή απελευθερώθηκε, ώστε να της ασκείται μόνο η δύναμη της βαρύτητας, η τροχιά της πλησιάζει στην παραβολή.

13 Ο υπολογισμός της πορείας του βλήματος. Η παραβολική καμπύλη της τροχιάς μια μπάλας του γκόλφ. To κέντρο μάζας κάθε σώματος που εκτοξεύεται υπο γωνία ως προς την κατακόρυφο διαγράφει παραβολική τροχιά.

14 Το τηλεσκόπιο με τον μεγαλύτερο παραβολικό καθρέπτη, στην κορυφή του Mauna Kea στη Χαβάη.

15 Όρίζουμε δυο σταθερά σημεία Ε 1 και Ε 2 και στερεώνουμε σ αυτά ένα σχοινί, (το μήκος του σχοινιού να είναι σταθερό), κρατώντας το σχοινί τεντωμένο, σχεδιάζουμε την έλλειψη. Ίσως, όχι τόσο απλή όσο ο κύκλος, η έλλειψη, είναι μία κωνική τομή που μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, αφού όταν τα E 1, E 2 ταυτίζονται, ανάγεται σε αυτόν.

16 Κάθε φωτεινή ακτίνα ή σήμα που ξεκινάει από τη μία εστία ανακλάται στην έλλειψη και κατευθύνεται στην άλλη εστία της. Για τη διαδρομή Ε ΜΕ που ισούται με το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης, αποδεικνύεται ότι η γωνία προσπτώσεως ω ισούται με τη γωνία ανακλάσεως φ.

17 Αυτή η ιδιότητα της έλλειψης, ενέπνευσε τους επιστήμονες να κατασκευάσουν μια συσκευή για τη θεραπεία των νεφρικών και χολικών πετρών. Ο ασθενής τοποθετείται σε μια ελλειπτική δεξαμενή με νερό, με τον λίθο στη θέση της μιας εστίας. Υψηλής ενέργειας κρουστικά κύματα που παράγονται από την άλλη εστία, εστιάζουν στο λίθο, θρυμματίζοντάς τον.

18 To Πλανητάριο Tycho Brahe στην Κοπεγχάγη

19 Η πλέον ιδιαίτερη, διπλή καμπύλη. Μπορεί να προκύψει σε φυσικές καταστάσεις, τόσο απλές, όσο το ξύσιμο ενός μολυβιού με πολυγωνική διατομή ή η σκιά στον τοίχο από το καπέλο ενός αμπαζούρ.

20 Ένα ηχητικό - ωστικό κύμα έχει το σχήμα ενός κώνου που τέμνει το έδαφος σχηματίζοντας τόξο υπερβολής. Χτυπά κάθε σημείο σε αυτή την καμπύλη την ίδια στιγμή, έτσι ώστε άνθρωποι σε διαφορετικά μέρη κατά μήκος της καμπύλης, στο έδαφος, το ακούν την ίδια στιγμή.

21 Αν το κέντρο καθενός από δύο σετ ομόκεντρων κύκλων είναι η πηγή ενός ραδιοκύματος, τα συγχρονισμένα κύματα θα διατέμνουν το ένα το άλλο σε σχετιζόμενες υπερβολές. Αυτή είναι η βάση ενός ραδιοσυστήματος πλοήγησης που στηρίζεται στον ορισμό της υπερβολής, γνωστού ως Loran (Long Range Navigation, μεγάλου εύρους πλοήγηση).

22 Ένα σύστημα LORAN αποτελείται από έναν κύριο Α και δυο δευτερεύοντες πομπούς Β, Γ, που λειτουργούν σε συχνότητα 100 khz. Οι δευτερεύοντες πομποί συγχρονίζονται με τον κύριο πομπό και μεταδίδουν μία ακολουθία παλμών που απέχουν χρονικά έτσι ώστε να μην επικαλύπτονται μεταξύ τους. Η διαφορά χρόνου μεταξύ του σήματος από τους πομπούς Α και Β τοποθετεί το αντικείμενο σε οποιοδήποτε σημείο της υπερβολής T ΑΒ. Η διαφορά χρόνου μεταξύ του σήματος από τους πομπούς Α και Γ τοποθετεί το αντικείμενο σε οποιοδήποτε σημείο της υπερβολής T ΑΓ. Έτσι, η θέση του αντικειμένου βρίσκεται στην τομή των Τ ΑΒ και Τ ΑΓ.

23 James S McDonnell Planetarium, Saint Louis, Missouri