5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Transcript

1 SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ δύο σηµείων) χρησιµοποιούνται συστήµατα συντεταγµένων, δηλαδή άξονες ή καµπύλες κατάλληλα αριθµηµένοι. Σε δύο διαστάσεις ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων δίνεται στο Σχ Η θέση του σηµείου P 1 δίνεται από την τετµηµένη 1 και την τεταγµένη 1, που ορίζονται από τις κάθετες προς τους άξονες. Σηµεία Απόσταση δύο σηµείων P Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος P 1 P είναι d ( ) + ( ) 1 1 ( 1, 1 ) καρτεσιανές συντεταγµένες σηµείου P 1 1 P 1 1 Σχ. 5-1 (, ) καρτεσιανές συντεταγµένες σηµείου P Εµβαδό τριγώνου Αν ( 1, 1 ), B(, ), C( 3, 3 ) είναι οι κορυφές του τριγώνου, το εµβαδό του ισούται µε την απόλυτη τιµή της ορίζουσας [ 1( 3) + ( 3 1) + 3( 1 )] B Σχ. 5- C Ευθεία από δύο σηµεία Αν η ευθεία περνάει από δύο σηµεία P 1 ( 1, 1 ) και P (, ), έχει εξίσωση

2 SECTIN Η κλίση της ευθείας είναι m 1 1 και η τεταγµένη της τοµής µε τον άξονα 1 m1 Η εξίσωση της ευθείας γράφεται επίσης 1 m( 1 ) ή m + ή + 1 tn όπου η τετµηµένη της τοµής µε τον άξονα. Κανονική µορφή της εξίσωσης µιας ευθείας cosφ + sinφ c όπου c η απόσταση της αρχής από την ευθεία και φ η γωνία της κάθετης στην ευθεία µε το θετικό ηµιάξονα. Γενική µορφή της εξίσωσης µιας ευθείας + B + C 0 Απόσταση σηµείου από ευθεία 1+ B1+ C + B ( 1, 1 ) καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου Γωνία δύο ευθειών c Σχ. 5-3 Αν m 1 και m είναι οι κλίσεις δύο ευθειών, τότε η εφαπτόµενη της γωνίας τους είναι m m1 tnc mm Οι ευθείες είναι παράλληλες ή συµπίπτουν, µόνο αν m 1 m. Οι γραµµές είναι κάθετες, αν και µόνο αν m 1/m 1.

3 SECTIN 3 Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Οι συντεταγµένες ενός σηµείου σε δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις που καλούνται µετασχηµατισµοί. ' Μεταφορά ή (, ) συντεταγµένες ως προς το σύστηµα (', ') συντεταγµένες ως προς το σύστηµα ''' ( 0, 0 ) συντεταγµένες του ' ως προς το Στροφή cos sin sin + cos ' ' Σχ. 5-4 ' ' cos+ sin ή cos sin φ γωνία στροφής Μεταφορά και στροφή cos sin + 0 sin + cos+ 0 ( 0)cos + ( 0)sin ή ( 0)cos ( 0)sin ( 0, 0 ) συντεταγµένες του ' ως προς το Πολικές συντεταγµένες cos + ή 1 sin tn ( / ) (, ) καρτεσιανές συντεταγµένες (ρ, φ) πολικές συντεταγµένες Σχ. 5-5 ' ' Σχ. 5-6 Σχ. 5-7 ' P

4 4 SECTIN Επίπεδες καµπύλες Γενικά, µια εξίσωση της µορφής (, ) 0 παριστάνει µία καµπύλη στο επίπεδο. Μια καµπύλη µπορεί να δοθεί σε παραµετρική µορφή µε δύο εξισώσεις (t), (t), όπου t κάποια παράµετρος. Η ευθεία είναι η απλούστερη καµπύλη, αφού η (, ) είναι γραµµική ως προς και. Αν η (, ) είναι δεύτερου βαθµού πολυώνυµο, έχουµε κωνική τοµή (κύκλο, έλλειψη, υπερβολή ή παραβολή). Κύκλος ( 0 ) + ( 0 ) R ( 0, 0 ) καρτεσιανές συντεταγµένες κέντρου R ακτίνα του κύκλου Κωνικές τοµές Έστω e P ο λόγος των αποστάσεων σηµείου Ρ PK από ένα σηµείο Ο και από µιά ευθεία '. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Ρ, για τα οποία ε σταθ., είναι µια κωνική τοµή µε εξίσωση Η κωνική τοµή είναι έλλειψη, αν ε < 1, παραβολή, αν ε 1, ed 1 ecos υπερβολή, αν ε > 1. Η σταθερή ε καλείται εκκεντροτητα. Έλλειψη Η έλλειψη µε µεγάλο άξονα και µικρό άξονα, παράλληλους προς τους άξονες συντεταγµένων και αντίστοιχα, έχει εξίσωση ( 0 ) ( 0) + 1 όπου ( 0, 0 ) οι συντεταγµένες του κέντρου Κ της έλλειψης. Στο Σχ είναι K ' Σχ. 5-8 d Σχ. 5-9 D 0 P F K F' C Σχ P B

5 SECTIN 5 B CD KF KF PF + PF' (Ρ τυχόν σηµείο της έλλειψης) ε εκκεντρότητα Αν το F ταυτίζεται µε το Ο, έχουµε το Σχ. 5-11, όπου P p, p (1 ε ) 1 ecos Υπερβολή Σχ Η υπερβολή µε µεγάλο άξονα και µικρό άξονα, παράλληλους προς τους άξονες συντεταγµένων και αντίστοιχα, έχει εξίσωση ( 0 ) ( 0) 1 P όπου ( 0, 0 ) οι συντεταγµένες του κέντρου Κ της υπερβολής. Στο Σχ. 5-1 είναι ΑΒ α F K B F' KF KF + PF PF' (Ρ τυχόν σηµείο της υπερβολής) ε εκκεντρότητα + Σχ. 5-1 P tn Αν το F ταυτίζεται µε το, έχουµε το Σχ. 5-13, όπου p, p α(ε 1) 1 ecos Σχ F'

6 6 SECTIN Παραβολή Η παραβολή µε άξονα παράλληλο προς τον (Σχ. 5-14) έχει εξίσωση ( 0 ) 4( 0 ), όπου ( 0, 0 ) οι συντεταγµένες του και F. Αν το F ταυτίζεται µε το (Σχ. 5-15), τότε η παραβολή έχει εξίσωση Η εξίσωση 1 cos + + c, > 0, παριστάνει παραβολή (Σχ. 5-16) µε συντεταγµένες ελάχιστου m, m 4c 4 m m Σχ F Σχ Σχ Σύνοψη κωνικών τοµών Έλλειψη Υπερβολή Παραβολή p Εκκεντρότητα e 1 < 1 e 1+ > 1 ε 1 Εστίες ( ε, 0) (ε, 0) ( ε, 0) (ε, 0) (p, 0) ιευθετούσα /ε /ε /ε /ε p Χορδή στην εστία κάθετη στον άξονα / / 4p σε πολικές συντεταγµένες 1 e cos 1 e cos 4 pcos 1 cos

7 SECTIN 7 Κυβική παραβολή (Σχ. 5-17) ( ) Ηµικυβική παραβολή (Σχ. 5-18) /3 Κισσοειδής του ιοκλή (Σχ. 5-19) Το Q κινείται κατά µήκος της QQ' (εφαπτόµενης του κύκλου και κάθετης στον άξονα ) και παίρνουµε P RQ. Το P γράφει την καµπύλη. 3 d Σχ Σχ R P Q ή dsinθtnθ Στροφοειδής (Σχ. 5-0) 3 + ( + ) ( + ) Φύλλο του Desctes (Σχ. 5-1) d Q' Σχ Σχ. 5-0 ή t, t + t t 3 Ασύµπτωτη Εµβαδό E (3/) Τριχοτοµούσα (Σχ. 5-) ( 3+ ) Σχ. 5-1 Σχ. 5-

8 8 SECTIN Μάγισσα της gnesi (Σχ. 5-3) To κινείται πάνω στην ευθεία d. To Β είναι η τοµή της ΟΑ µε το σταθερό κύκλο κέντρου (0, d/) και διαµέτρου d. To Ρ είναι η τοµή των ευθειών που φέρονται από τα Α και Β παράλληλες προς τους άξονες. 3 d + d ή dcot dsin όπου. Ωοειδής του Cssini (Σχ. 5-4) Οι αποστάσεις του P από δύο σταθερά ση- µεία έχουν σταθερό γινόµενο. ( + + ) 4 4 Αν <, έχουµε το Σχ. 5-4α. Αν >, το Σχ. 5-4β. Ληµνίσκος του Benolli (Σχ. 5-5) ( + ) ( ) ή cosθ. Εµβαδό (ολικό) E Κογχοειδής του Νικοµήδη (Σχ. 5-6) ( + )( ) ή + cos Σαλίγκαρος του Pscl (Σχ. 5-7) To κινείται πάνω στο σταθερό κύκλο διαµέτρου d. Στην ευθεία που συνδέει το µε την αρχή των αξόνων παίρνουµε δύο σηµεία P και P' µε P P' < d. Αυτά γράφουν την καµπύλη. P' (á) P d B P Σχ. 5-3 P (á) P ( â) Σχ Σχ. 5-5 Σχ. 5-6 Σχ. 5-7 P' (â) P

9 SECTIN 9 + dcosθ Αν d <, έχουµε το Σχ. 5-7α. Αν < d, έχουµε το Σχ. 5-7β. Καρδιοειδής (Σχ. 5-8 Ο κύκλος (B, ) κυλάει στο εξωτερικό του σταθερού κύκλου (, ). Το σηµείο P γράφει την καµπύλη. ή ( + ) 4 ( + ) (1 + cosθ) Μήκος (ολικό) 8 Εµβαδό E (3/)π Αστροειδής (Σχ. 5-9) Ο µικρός κύκλος µε ακτίνα /4 κυλάει µέσα στο µεγάλο κύκλο µε ακτίνα. Το σηµείο P γράφει την καµπύλη. /3 + /3 /3 Μήκος (ολικό) 6 Εµβαδό E 1π ή 3 cos 3 sin B Σχ. 5-8 Σχ. 5-9 P P Τρίφυλλο ρόδο (Σχ. 5-30) cos3θ Γενικά, για n περιττό η cosnθ έχει n φύλλα. Τετράφυλλο ρόδο (Σχ. 5-31) cosθ Γενικά, για n άρτιο η cosnθ έχει n φύλλα. Σχ Σχ. 5-31

10 10 SECTIN Επικυκλοειδής (Σχ. 5-3) Ο µικρός κύκλος κυλάει στο εξωτερικό του µεγάλου. Το σηµείο P είναι σταθερό ως προς το µικρό κύκλο, απέχει c από το κέντρο του και γράφει την καµπύλη. ( + )cos ccos ( + )sin csin ( ) ( ) + + Σχ. 5-3 P Στο Σχ. 5-3 η περίπτωση c. Υπoκυκλοειδής (Σχ. 5-33) Ο µικρός κύκλος κυλάει στο εσωτερικό του µεγάλου. Το σηµείο P είναι σταθερό ως προς το µικρό κύκλο, απέχει c από το κέντρο του και γράφει την καµπύλη. ( )cos+ ccos ( )sin csin ( ) ( ) Σχ P Στο Σχ η περίπτωση c. Κυκλοειδής (Σχ. 5-34) Ο κύκλος (Κ, ) κυλάει πάνω στον άξονα. Το σηµείο P είναι σταθερό στην περιφέρεια και γράφει την καµπύλη. P K Σχ (φ sinφ), (1 cosφ) Τετµηµένη του πα Μήκος του τόξου 8 Εµβαδό ενός τµήµατος E 3π

11 SECTIN 11 Τροχοειδής (Σχ. 5-35) Ο κύκλος µε ακτίνα κυλάει πάνω στον άξονα. Το σηµείο P είναι σταθερό ώς προς τον κύκλο, απέχει απόσταση από το κέντρο και γράφει την καµπύλη. P Σχ. 5-35α φ sinφ, cosφ Αν < έχουµε το Σχ. 5-35α. Αν > α, το Σχ. 5-35β. Αν, παίρνουµε την κυκλοειδή του Σχ P Σχ. 5-35β Σπείρες (Σχ. 5-36) Γραµµική (του Αρχιµήδη) Παραβολική Λογαριθµική θ 4pθ e θ Σχ. 5-36α Σχ. 5-36β Σχ. 5-36γ Ενειλιγµένη κύκλου (Σχ. 5-37) Το Ρ είναι το άκρο ενός σχοινιού που είναι τυλιγµένο σε έναν κύκλο ακτίνας. Το σχοινί ξετυλίγεται και το P γράφει την καµπύλη. (cosφ + φsinφ) (sinφ φcosφ) P Μήκος τόξου s!φ Σχ. 5-37

12 1 SECTIN Αλυσοειδής (Σχ. 5-38) Το σχήµα µιας οµογενούς αλυσίδας αναρτη- µένης από τα σηµεία Α και Β. e e + ( / / ) Μήκος από - έως s sinh(/) Σχ Έλκουσα (Σχ. 5-39) Η καµπύλη αρχίζει από το σηµείο (0, ). Η εφαπτόµενη στο τυχόν σηµείο P τέµνει τον άξονα στο B. Το µήκος PB παραµένει σταθερό και ίσο µε. ( ) cos + ln tn sin P Σχ B 5. Σε τρεις ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο χρησιµοποιούνται συστήµατα συντεταγµένων µε τρεις συντεταγµένες. Οι καρτεσιανές συντεταγµένες,, ονο- µάζονται αντίστοιχα τετµηµένη, τεταγµένη και κατηγµένη και µετριώνται από την αρχή Ο κατά µήκος τριών ορθογώνιων αξόνων,,. Ένα σηµείο P 0 παριστάνεται από µία τριάδα τιµών ( 0, 0, 0 ), που ορίζουν τρία συντεταγµένα επίπεδα 0, 0, Σχ Στις διευθύνσεις των αξόνων,, ορίζουµε αντίστοιχα τα µοναδιαία διανύσµατα βάσης i, j, k. Κάθε σηµείο αντιστοιχεί σε ένα διάνυσµα θέσης P 0 0

13 SECTIN 13 i + j +k Το µήκος ή µέτρο του διανύσµατος συµβολίζεται µε ή και είναι + + Γενικότερα, η θέση ενός σηµείου στο χώρο µπορεί να καθοριστεί από τρεις καµπυλλόγραµµες συντεταγµένες 1,, 3, οι οποίες συνδέονται µε τις,, και µετριώνται κατά µήκος τριών συντεταγµένων καµπυλών (που µε τη σειρά τους ορίζονται ως τοµές των τριών συντεταγµένων επιφανειών 1 σταθ., σταθ., 3 σταθ.). Το σύστηµα συντεταγµένων που θα χρησιµοποιηθεί επιλέγεται έτσι ώστε να γίνει απλούστερη η περιγραφή του φυσικού συστήµατος. Οι συχνότερα χρησιµοποιούµενες συντεταγµένες (µετά τις καρτεσιανές) είναι οι κυλινδρικές και οι σφαιρικές συντεταγµένες. Κυλινδρικές συντεταγµένες cos sin ή + 1 tn ( / ) (,, ) καρτεσιανές συντεταγµένες P (ρ, φ, ) κυλινδρικές συντεταγµένες Σφαιρικές συντεταγµένες Σχ ή sin cos sinsin cos tn 1 cos + + Σχ. 5-4 P (,, ) καρτεσιανές συντεταγµένες (, φ, θ) σφαιρικές συντεταγµένες

14 14 SECTIN Σηµεία Απόσταση δύο σηµείων (Σχ. 5-43) d 1 ( ) + ( ) + ( ) P P 1 ( i, i, i ) καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου P i (i 1,, 3). 1 1 Απόσταση σηµείου από επίπεδο d B0 + C0 + D + B + C Σχ όπου P( 0, 0, 0 ) είναι το σηµείο και + B + C + D 0 το επίπεδο. Ευθεία ευθείας που περνάει από δύο σηµεία P 1 ( 1, 1, 1 ) και P (,, ) 1 1 Τα συνηµίτονα κατεύθυνσης είναι l cos, m cos, n cos g d d d όπου α, β, γ οι γωνίες της ευθείας P 1 P µε τους θετικούς ηµιάξονες,, και d το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος P 1 P. Είναι cos α + cos β + cos γ 1 ή l + m + n 1 Οι εξισώσεις της ευθείας γράφονται επίσης l m n ή 1 + lt, 1 + mt, 1 + nt όπου t παράµετρος. Με διανύσµατα οι εξισώσεις της ευθείας γράφονται κ( 1 ) ή 1 + λ όπου 1 και κ και λ παράµετροι.

15 SECTIN 15 Ευθεία από σηµείο και παράλληλη σε διάνυσµα ή 0 + vt X Y Z όπου 0 ( 0, 0, 0 ) είναι το σηµείο και v (X, Y, Z) το παράλληλο διάνυσµα. Ευθεία από σηµείο και κάθετη σε επίπεδο ή B C 0 + t, 0 + Bt, 0 + Ct όπου ( 0, 0, 0 ) το σηµείο και + B + C + D 0 το επίπεδο. Γωνία δύο ευθειών Για τη γωνία ψ µεταξύ δύο ευθειών µε συνηµίτονα κατεύθυνσης l 1, m 1, n 1 και l, m, n ισχύει cosψ l 1 l + m 1 m + n 1 n Αν οι παραµετρικές εξισώσεις των ευθειών είναι 1 + λ 1 1, + λ, τότε ( είναι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων) 1 cosc 1 Απόσταση σηµείου από ευθεία { } [( ) ] 1 / v d όπου 0 είναι το σηµείο, 1 ένα σηµείο της ευθείας και v 0 µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος της ευθείας. Επίπεδο Γενική εξίσωση + B + C + D 0 ή + D 0, όπου (, B, C) είναι το κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο. Επίπεδο από τρία σηµεία ή [( 1 )( )( 3 )] 0 όπου ( i, i, i ), i 1,, 3, είναι οι συντεταγµένες των τριών σηµείων και [c] το τριπλό µικτό γινόµενο τριών διανυσµάτων.

16 16 SECTIN Επίπεδο από τις τοµές µε τους άξονες + + c 1 Κανονική µορφή της εξίσωσης ενός επιπέδου cosα + cosβ + cosγ d c P όπου d είναι η απόσταση του Ο από το επίπεδο και α, β, γ οι γωνίες της κάθετης ΟΡ µε τους θετικούς άξονες,,. Σχ Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων που ακολουθούν είναι όλοι γραµµικοί. Συνεπώς, ένα οποιοδήποτε πολυώνυµο βαθµού n των,, παραµένει πολυώνυµο βαθµού n των ', ', ' µετά το µετασχηµατισµό. ' Μεταφορά ή (,, ) συντεταγµένες ως προς το σύστηµα Ο (', ', ') συντεταγµένες ως προς το σύστηµα Ο' ( 0, 0, 0 ) συντεταγµένες του σηµείου Ο' ως προς το σύστηµα Ο Στροφή ή l1 + l + l3 m1 + m + m3 n1 + n + n3 l1+ m1+ n1 l+ m+ n l3+ m3+ n3 ' ' ' Σχ ' Σχ όπου (l 1, m 1, n 1 ), (l, m, n ), (l 3, m 3, n 3 ) είναι τα συνηµίτονα κατεύθυνσης των αξόνων ', ', ' ως προς το σύστηµα Ο. ' '

17 SECTIN 17 Μεταφορά και στροφή ' l1 + l + l3 + 0 m1 + m + m3 + 0 ' n1 + n + n3 + 0 l1( 0) + m1( 0) + n1( 0) ' ή l( 0) + m( 0) + n( 0) l + m + n Σχ ( 0) 3( 0) 3( 0) ( 0, 0, 0 ) συντεταγµένες του σηµείου Ο' ως προς το σύστηµα Ο. ιαδοχικοί µετασχηµατισµοί ύο ή περισσότεροι γραµµικοί µετασχηµατισµοί (µεταφορές, στροφές ή συνδυασµοί αυτών) ισοδυναµούν µε έναν κατάλληλο γραµµικό µετασχηµατισµό. Επιφάνειες ' Σφαίρα (Σχ. 5-48) επιφάνειας σε καρτεσιανές συντεταγµένες ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 ) R ( 0, 0, 0 ) κέντρο της σφαίρας R ακτίνα της σφαίρας Κάθε τοµή µε επίπεδο που απέχει από το κέντρο λιγότερο από R είναι κύκλος. Ελλειψοειδές (Σχ. 5-49) επιφάνειας Σχ c ( 0 ) ( 0) ( 0) + + c ( 0, 0, 0 ) κέντρο,, c ηµιάξονες 1 Σχ Κάθε πραγµατική τοµή µε επίπεδο είναι κλειστή δευτεροβάθµια καµπύλη, άρα είναι έλλειψη (µε ειδική περίπτωση τον κύκλο).

18 18 SECTIN Ελλειπτικός κύλινδρος (Σχ. 5-50) Για κύλινδρο παράλληλο προς τον άξονα η εξίσωση της επιφάνειας είναι + 1 όπου, οι ηµιάξονες της ελλειπτικής διατοµής. Κάθε τοµή µε επίπεδο µη παράλληλο προς τον άξονα των είναι έλλειψη (µε ειδική περίπτωση τον κύκλο). Ελλειπτικός κώνος (Σχ. 5-51) Για κώνο µε άξονα παράλληλο προς τον άξονα η εξίσωση της επιφάνειας είναι + c 0 Μια τοµή µε επίπεδο είναι έλλειψη (αν είναι κλειστή καµπύλη), υπερβολή (αν έχει δύο τµήµατα) ή παραβολή (αν είναι ανοικτή µε ένα τµήµα). Σχ c Σχ Μονόχωνο υπερβολοειδές (Σχ. 5-5) επιφάνειας + c 1 Οι οριζόντιες τοµές είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τοµές (µε επίπεδο της µορφής + B + C 0) είναι υπερβολές. ίχωνο υπερβολοειδές (Σχ. 5-53) Σχ. 5-5 επιφάνειας c 1 c Οι οριζόντιες τοµές για > c είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τοµές (µε επίπεδο της µορφής + B + C 0) είναι υπερβολές. Σχ. 5-53

19 SECTIN 19 Ελλειπτικό παραβολοειδές (Σχ. 5-54) επιφάνειας + c 0 Οι τοµές µε επίπεδο (οριζόντιες µε > 0 ή πλάγιες) είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τοµές (µε επίπεδο της µορφής + B + C 0) είναι παραβολές. Σχ Υπερβολικό παραβολοειδές (Σχ. 5-55) επιφάνειας c 0 Οι τοµές µε επίπεδο είναι υπερβολές, αν έχουν δύο τµήµατα (π.χ. οριζόντιες τοµές µε σταθ.) ή παραβολές, αν έχουν ένα τµήµα (π.χ. κατακόρυφες τοµές µε σταθ. ή σταθ.).. Σχ. 5-55