Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Transcript

1 Λίγα ιστορικά στοιχεία για το Πυθαγόρειο Θεώρημα.. Είναι απαραίτητο να εξετάζουμε στην περίοδο που διανύουμε το ξεκίνημα των τεχνών και των επιστημών, έτσι διαπιστώνουμε, ότι πρώτα οι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν αρκετά που έχουν σχέση με την γεωμετρία και αυτά χάρη στην καταμέτρηση των χωραφιών. Δεν αποτελεί κάτι το καταπληκτικό, το γεγονός ότι αυτές καθώς και άλλες επιστήμες, ανακαλύφθηκαν εξαιτίας κάποιας ανάγκης, εξάλλου όλες οι ιδέες προκύπτουν από τα βήματα που γίνονται ανάμεσα στο ατελές και το τέλειο. Υπάρχει ένα πέρασμα μεταξύ της ουσιαστικής κατανόησης και της σκεπτόμενης παρατήρησης που οδηγεί στην λογική γνώση Έτσι αρχίζει ένας αρχαιοελληνικός «μαθηματικός κατάλογος», γραμμένος από τον Εύδημο, ο οποίος συνεχίζει απαριθμώντας μοναδικούς Έλληνες μαθηματικούς, ξεκινώντας από τον Θαλή τον Μιλήσιο. Η προσφορά του καθενός περιγράφεται σ αυτόν τον κατάλογο με λίγα λόγια. Στον κατάλογο αυτό είπε για τον Πυθαγόρα (ελεύθερη μετάφραση): «Ο Πυθαγόρας μετέβαλε την ασχολία με τους κλάδους της γνώσης σε αληθινή επιστήμη. Ανακάλυψε τις βάσεις των κλάδων της γνώσης και έφτιαξε τις θεωρίες του με λογική σκέψη, ανεξάρτητα από υλική αφετηρία». Για το πότε έζησε ο Πυθαγόρας από τη Σάμο, δεν είναι σίγουρα γνωστό: Σύμφωνα με κάποιους γεννήθηκε το 569 π.χ. και το 470 π.χ. πέθανε, σύμφωνα δε με άλλους η γέννησή του υπολογίζεται το 580 π.χ., ενώ ο θάνατός του υπολογίζεται το 500 π.χ. Από την ζωή του Πυθαγόρα για μας είναι σημαντικό να ξέρουμε ότι πέρασε πολύ καιρό στην Αίγυπτο, ίσως και στην Βαβυλωνία, κάτι που φανερά τον επηρέασε καταλυτικά. Από τους μέχρι τώρα λίγους υπαινιγμούς για τη ζωή του Πυθαγόρα είναι φανερό ότι είναι πολύ δύσκολο να ξεχωρίσουμε τις ανακαλύψεις του Πυθαγόρα από αυτές των προκατόχων του και αυτές των μαθητών του. Το ίδιο συμβαίνει και με το γνωστό θεώρημα, το οποίο σχεδόν παντού πιστεύεται ότι ειπώθηκε από τον Πυθαγόρα : Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών( ως προς το εμβαδόν τους). Ότι αυτό το θεώρημα ανακαλύφθηκε από τον Πυθαγόρα είναι όλοι σύμφωνοι, αν και κάποιοι υποστηρίζουν ότι ο Πυθαγόρας ήταν απλά ο πρώτος που βρήκε μια ολοκληρωμένη απόδειξη για αυτό το θεώρημα, κάποιοι άλλοι του αφαιρούν ακόμα και αυτή την ανακάλυψη. Ρωτάμε ποια είναι αυτή η απόδειξη, πάλι κομπιάζουμε. Η απόδειξη, την οποία ο Ευκλείδης (περίπου το 300 π.χ. στην Αλεξάνδρεια) συμπεριλάμβανε στο πρώτο του βιβλίο, λέγεται από μερικούς ότι την έγραψε ο Πυθαγόρας, αντίθετα ο Έλληνας Μαθηματικός Πρόκλος (έζησε το 40 μ.χ. ή μ.Χ ) επιβεβαιώνει ότι αυτή η απόδειξη υπάρχει στα στοιχεία γραμμένη από τον Ευκλείδη. Βλέπουμε ότι η ιστορία των μαθηματικών, όσο αφορά τον Πυθαγόρα και την μαθηματική του δραστηριότητα, μας δίνει λίγα και όχι σίγουρα στοιχεία. Ποιος δεν ξέρει το σονέτο Chamissos : Η αλήθεια περνά στην αιωνιότητα

2 αν πρώτα ο χαζός κόσμος αναγνωρίσει το φως της. Το θεώρημα, που ονομάστηκε έτσι από τον Πυθαγόρα ισχύει σήμερα, όπως ίσχυε και στην εποχή του. Ένα θύμα άγιασε τον Πυθαγόρα στους θεούς που του έστειλαν την ακτίνα φωτός. Τον έκαναν γνωστό, σφάζοντας και καίγοντας εκατό μοσχάρια από ευγνωμοσύνη. Τα μοσχάρια από την ημέρα που θα μυριστούν ότι μια νέα αλήθεια θα ανακαλυφθεί, βγάζουν ένα μη ανθρώπινο μουγκρητό. Ο Πυθαγόρας τα απελευθερώνει και αυτά αδύναμα να αντισταθούν στο φως, κλείνουν τα μάτια και τρέμουν Την ιστορία αυτή της θυσίας την διηγείται ο Διογένης ο Λαέρτιος και ο Πλούταρχος. Δυστυχώς λείπουν εκείνες οι προϋποθέσεις για να εφαρμοστεί η διδαχή για την μετεμψύχωση, σύμφωνα με τον Heinrich Heine: «Ποιος ξέρει! Ποιος ξέρει! Η ψυχή του Πυθαγόρα μεταφέρθηκε μάλλον σε κάποιο δύστυχο υποψήφιο, που απέτυχε στις εξετάσεις, γιατί δεν μπορούσε να αποδείξει το πυθαγόρειο Θεώρημα, καθώς την ψυχή των εξεταστών του την είχαν καταλάβει μοσχάρια, τα οποία ο Πυθαγόρας, από χαρά για την ανακάλυψη του θεωρήματός του, τα θυσίασε στους αθάνατους θεούς». 2. Όταν στο τέλος του προηγουμένου αιώνα, με βάση κάποιες ανακαλύψεις του Schiaparelli και άλλων αστρονόμων έγινε μόδα να μιλούν για την ύπαρξη κατοίκων στον Άρη που έμοιαζαν με τους ανθρώπους, αναρωτήθηκε κανείς πως θα μπορούσε να συνεννοηθεί με τα υποθετικά αυτά πλάσματα μόνο με τη βοήθεια των φωτεινών σινιάλων;. Η Ακαδημία των Παρισίων καθιέρωσε το βραβείο Prix Pierre Guzmann των φράγκων για όποιο τυχερό έρθει σε επαφή με οποιοδήποτε κάτοικο άλλου ουρανίου σώματος ( εννοώντας προφανώς τον Άρη, σαν την εύκολη λύση). Για αστείο προτάθηκε να σταλεί το σχήμα του πυθαγορείου Θεωρήματος σαν σημείο φωτός στους κατοίκους του Άρη ή οποιουδήποτε άλλου πλανήτη. Οπωσδήποτε ξέρουμε ότι το μαθηματικό γεγονός που φανερώνει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, εμφανίζεται στο πλανητικό μας σύστημα σε κάθε θέση. Ο ιταλός αστρονόμος Schiaparelli ανακάλυψε κανάλια στον Άρη, τα οποία υποστηριζόταν για καιρό, ότι ήταν τεχνητά φτιαγμένα.

3 Ας αρχίσουμε με τους Κινέζους. Εδώ λαμβάνουμε ιδιαίτερα υπ όψιν μας μια μαθηματική δημιουργία του Tscheou pei. Το πρώτο κεφάλαιο αυτού του βιβλίου ασχολείται με μια συζήτηση ανάμεσα σε δύο γνωστές προσωπικότητες που έζησαν περίπου το 00 π.χ. Δεν είναι όμως σίγουρο ότι οι αναφερόμενοι δάσκαλοι ήταν γνωστοί στην εποχή τους, όπως ισχυρίζεται κάποιο κείμενο του 23 π.χ. ενδεχομένως το θέμα το οποίο συζητιέται, γράφτηκε το χρόνο που αρχίσαμε να μετράμε Σ αυτό το σύγγραμμα υπάρχει ένα πυθαγόρειο τρίγωνο, που έχει πλευρές 3, 4 και 5 και αναφέρεται : «διαμερίζουμε μια ορθή γωνία στα επιμέρους μέρη της, έτσι σχηματίζεται από τα (τελικά) σημεία των σκελών της μία ευθεία 5, αν η βασική ευθεία ( βάση ) είναι 3 και το ύψος 4» και εδώ έχουμε ένα σχέδιο (σχήμα. ) που είναι ίδιο με ένα από τα σχέδια της ινδικής γεωμετρίας του Bhaskara. Σχήμα 3. Οι Cantor και Tropfke 2 λαμβάνουν υπ όψη τους, ότι και οι Αιγύπτιοι γνώριζαν την εξίσωση: ή με άλλα λόγια το ή ορθογώνιο τρίγωνο με τις πλευρές 3, 4,και 5, από την εποχή του βασιλιά Amenemhat μ Ι, γύρω στο 2300 π.χ. (σύμφωνα με τον πάπυρο 669 του μουσείου του Βερολίνου α ). Σύμφωνα με τη γνώμη τους κατασκεύασαν οι Αιγύπτιοι στη μέση του τριγώνου με τις πλευρές 3, 4,και 5 μια ορθή γωνία Αυτή την διαδικασία μπορούμε να την επαναλάβουμε πολύ εύκολα. Παίρνουμε ένα μακρύ σκοινί 2 μέτρων και κάμπτουμε από τη μια πλευρά 3 μέτρα και από την άλλη 4 μέτρα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Έτσι κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει υποτείνουσα 5 μέτρα και κάθετες πλευρές 3 και 4 μέτρα. Σ χ Σχήμα 2 Θα μπορούσε κανείς να αντιταχθεί σε αυτή την διαδικασία των αιγυπτίων, χρησιμοποιώντας μια ορθή γωνία από ξύλο όπως αυτές που βλέπουμε στα 2 M. Cantor ( ), σημαντικός μαθηματικός, ιστορικός, γνωστός από το μεγάλο τετράτομο έργο του «Πανεπιστημιακά συγγράμματα για την ιστορία των μαθηματικών». J. Tropfke ( ), σημαντικός μαθηματικός, ιστορικός, και καθηγητής μαθηματικών σε σχολεία.

4 κουφώματα από τις πόρτες, έτσι το λύγισμα του σκοινιού είναι περιττό. Στην πράξη υπάρχουν αιγυπτιακά σχέδια τα οποία αποδίδουν με αυτού του είδους τα εργαλεία, όπως έχουμε π.χ. στην παρουσίαση ενός ξυλουργείου. Οπωσδήποτε όμως υπάρχει μία μέθοδος που εξετάζει και κατασκευάζει αυτή την ορθή γωνία. Η μέθοδος του ταιριάσματος ( σχήματα 3 και 4) προκύπτει με μια δοκιμή. Δυστυχώς για υπόθεση του Cantor δεν υπάρχει μέχρι στιγμής καμία απόδειξη. Σχήμα 3 Σχήμα 4 Κάτι περισσότερο ξέρουμε ότι αφορά τις θέσεις των Βαβυλωνίων. Ένα κείμενο από την εποχή του Hammurabi, περίπου το 2000 π.χ., πλησιάζει τους υπολογισμούς σχετικά με τις διαγώνιες του ορθογωνίου. Καταλαβαίνει κανείς από αυτό, ότι οι υπολογισμοί που αφορούν το ορθογώνιο τρίγωνο ήταν γνωστοί στην Βαβυλώνα για ειδικές περιπτώσεις. Ακόμα και ο Neugebauer Είναι σίγουρος για διάφορους λόγους, ότι το γνωστό θεώρημα ήταν γνωστό και είχε χρησιμοποιηθεί στη Βαβυλώνα. Από αυτές τις γνώσεις μας, για τους προκατόχους των ελληνικών μαθηματικών, αποδεικνύεται ότι οι έλληνες δεν κατείχαν αποκλειστικά την προτεραιότητα. Σύμφωνα με το σημερινό επίπεδο των γνώσεών μας, σχετικά με τα μαθηματικά των αιγυπτίων και των βαβυλωνίων από την μια πλευρά και την κριτική ανάλυση των ελληνικών πηγών από την άλλη πλευρά, διατυπώνεται η σχέση όπως την διετύπωσε ο Van der Waerden : «Το έργο των πρώτων ελλήνων μαθηματικών, όπως Θαλής Πυθαγόρας, και των μετά το Πυθαγόρα, δεν είναι η ανακάλυψη των μαθηματικών, αλλά η συστηματοποίησή τους και η ακριβής επεξήγησή τους. Κατάφεραν και έφτιαξαν μια O.Neugebauer: γνωστός γερμανός ιστορικός, μαθηματικός, γνώστης των βαβυλωνίων μαθηματικών, ζει σήμερα (967) στις Η.Π.Α. γνωστός από το έργο του: «Αναγνώσματα από την ιστορία των αρχαίων μαθηματικών επιστημών». B.L. Van Der Waerden: Διαπρεπής Ολλανδός μαθηματικός, ασχολήθηκε πολύ με την ιστορία των μαθηματικών. Γνωστό είναι το έργο του «Αφυπνιζόμενη Επιστήμη», όπου ασχολείται με τα μαθηματικά της αρχαίας Αιγύπτου, Βαβυλωνίας, και Ελλάδος. Το κείμενο προέρχεται από την «Αριθμητική των Πυθαγορείων Ι, Μαθηματικά Χρονικά, 20 (948) σ. 27

5 επακριβή επιστήμη από διάφορες σκόρπιες και μπερδεμένες υπολογιστικές οδηγίες». 4. Όπως στους Αιγυπτίους και στους Βαβυλώνιους, έτσι και στους Ινδούς η Γεωμετρία είχε άμεση σχέση με την Θρησκεία. Υποθέτουμε ότι το θεώρημα του τετραγώνου της υποτείνουσας ήταν γνωστό στην Ινδία περίπου τον 8 ο αιώνα π.χ. Ο Cantor λέει : «η ινδική θρησκευτική λατρεία, που ακολουθούσε αυστηρά θρησκευτικές εντολές, δεν μπορούσε να στερηθεί γεωμετρικούς κανόνες. Αν ο βωμός δεν είχε ακριβώς το μέγεθος και τη μορφή που έπρεπε, αν μια άκρη δεν σχημάτιζε ορθή γωνία με τις υπόλοιπες, αν υπήρχε έστω ένα λάθος στον προσανατολισμό με τα σημεία του ορίζοντα, τότε η θεότητα δεν δεχόταν την θυσία». Έτσι τυπικές θρησκευτικές εντολές που περιλαμβανόταν στα λεγόμενα kalpasutras, οι ονομαζόμενες sulvasutras κείμενα με γεωμετρικό χαρακτήρα παραμερίστηκαν. Σ αυτά ανήκουν συγγράμματα του 4 ου και 5 ου αιώνα π.χ. όπου για να ορίσουμε την ορθή γωνία, έχουμε ένα τρίγωνο με τις πλευρές 5, 36 και 39. Ο Cantor περιγράφει την διαδικασία ως εξής: «Ορίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με πασσάλους, μήκους 36 padas (pada είναι η χρησιμοποιούμενη μονάδα μέτρησης), που κατευθύνεται από ανατολικά προς δυτικά, την λεγόμενη praci». Στους πασσάλους δένουμε τις άκρες ενός σχοινιού, μήκους 54 padas, στο οποίο έχουμε κάνει από πριν ένα κόμπο σε απόσταση 5 padas από τη μια άκρη. Με την βοήθεια ενός πασάλου τεντώνουμε το σχοινί στην θέση του κόμπου και έτσι έχουμε μια ορθή γωνία, στο ένα άκρο του praci. Για την γεωμετρική διεξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας δίνονται οι ακόλουθοι κανόνες, οι οποίοι στηρίζονται στο Πυθαγόρειο Θεώρημα.. Το σχοινί το οποίο τεντώνουμε πάνω από το ισόπλευρο ορθογώνιο, δίνει ένα τετράγωνο με την διπλάσια επιφάνεια. 2. Το σκοινί, το οποίο τεντώνουμε πάνω από ένα επίμηκες ορθογώνιο, δίνει στις δυο επιφάνειες, οι οποίες δίνονται από το τέντωμα σχοινιών κατά μήκος της μεγάλης και της μικρής του πλευράς. Αυτή την δεύτερη περίπτωση την βλέπει κανείς στα ορθογώνια των οποίων οι πλευρές αποτελούνται από μονάδες μέτρησης από 3 και 4,από 2 και 5, από 5 και 8, από 7 και 24 από 2 και 35 και από 5 και 36. Ο πρώτος κανόνας εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα για τα ισόπλευρα ορθογώνια τρίγωνα. Την ορθότητα του θεωρήματος την κατανοούμε αμέσως από το σχέδιο (σχήμα 5). Εδώ πρόκειται για μια γεωμετρική εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας και είναι εύκολο να το κατανοήσουμε. Η διαγώνιος δ του ορθογωνίου (σχήμα 6) είναι δηλαδή: 2 2 δ= α β

6 Αν α και β είναι οι πλευρές του ορθογωνίου: Σχήμα 5 Σχήμα 6 5. Για την περαιτέρω εξέλιξη των Μαθηματικών, οι ινδοί έκαναν λίγα πράγματα, οι δε Κινέζοι πράγματα καμίας σημασίας. Αυτοί οι λαοί απόκτησαν περαιτέρω μαθηματικές γνώσεις την νεώτερη εποχή. Ο δρόμος των Μαθηματικών από την αρχαιότητα προς τον μεσαίωνα οδηγείται από τους Έλληνες μέσω των Αράβων. Για τον Μεσαίωνα το Πυθαγόρειο Θεώρημα σήμαινε την magister matheseos, το όριο, όχι τόσο για την μέγιστη αλλά όσο για ένα μέσο μέτρο μαθηματικής γνώσης. Η τυπική φιγούρα του Πυθαγόρα γεμίζει τα σχολικά τετράδια με κάθε τρόπο (σχήματα.7,8,9) και χρησιμοποιείται συχνότατα σαν σχέδιο στα Μαθηματικά κάθε εποχής. Συχνά συναντούμε τον <<Πυθαγόρα>> σε πίνακες ζωγραφικής, μωσαϊκά και οικόσημα του Μεσαίωνα. Σχήμα 7 Σχήμα 8 Σχήμα 9 6 Στο τέλος αυτού του κεφαλαίου παραθέτουμε διάφορες απόψεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος σε (αρχαία) ελληνική, λατινική γλώσσα,σύμφωνα με τον Heiberg και Tropfke. Ο Ευκλείδης λέει: Εν τοις ορθογωνίοις τριγωνοις το απο της την ορθή γωνία υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθή γωνία περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις.

7 Αυτό σημαίνει: Στα ορθογώνια τρίγωνα, το τετράγωνο της πλευράς της υποτείνουσας, από την ορθή γωνία, είναι ίσο με τα τετράγωνα των πλευρών που περιέχουν την γωνία. Μια λατινική μετάφραση του Gerhard από την Cremona (αρχές του 2 ου αιώνα), από το αραβικό κείμενο του an-nairtzt (γύρω στο 900 μ.χ) λέει: Omnis trianguli orthogoni quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est conjunctioni duorum quadratorum, que fiunt ex duobus lateribus, que continent angulum rectum. Αυτό σημαίνει: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο σχηματιζόμενο από την πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία δημιουργούμενο τετράγωνο είναι ίσο με το άθροισμα των δυο τετραγώνων που σχηματίζονται από τις δυο πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία. Σημείωση Το παραπάνω κείμενο είναι η εισαγωγή από το βιβλίο Der Pythagoreische Lehrsatz ( Η Πυθαγόρεια Πρόταση) του Καθηγητού W. Lietzmann. Εκδόσεις TEUBNER 9. Έγιναν προσθήκες, βελτιώσεις και προσαρμογές στα Ελληνικά από τον Μαθηματικό και Συγγραφέα Κώστα Γ Σάλαρη, ιδιοκτήτη της ιστοσελίδας