Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
|
|
- Ἀελλώ Ζάχος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
2 Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ =
3 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στους τρεις αυτούς αριθμούς? 30 1,24,51,10 42,25,35 Πολλαπλασιασμός με το 30 είναι το ίδιο με τη διαίρεση με το 2 αφού 30 *2=60 ***ο τρίτος αριθμός προκύπτει από τους άλλους δύο ως γινόμενο ***
4 Υποθέτουμε λοιπόν ότι ο τρίτος αριθμός (30* 1,24,51, 10) είναι το μήκος της διαγωνίου! Και η πλάκα υποδεικνύει ότι αν το μήκος μιας ακμής του τετραγώνου είναι 30 τότε για να βρούμε το μήκος της διαγωνίου πολλαπλασιάζουμε 30 με το 1,24,51, 10. Πόσο είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με ακμή a? 2 2 a a a + = 2 30*1,24,51,10
5 Συμπεράσματα: Οι Βαβυλώνιοι είχαν γνώση του Πυθαγορείου Θεωρήματος Είχαν αναπτύξει κάποια τεχνική για την εύρεση τετραγωνικών ριζών. Την τεχνική που πιστεύουμε ότι είχαν αναπτύξει την αποκαλούμε σήμερα μέθοδο των Βαβυλωνίων ή μέθοδο του Ήρωνα (150 μ.χ). (και μοιάζει ιδιαίτερα με τη μέθοδο του Νεύτωνα ( ) ).
6 Μέθοδος του Ήρωνα για τη τετραγωνική ρίζα του 2 Ξεκινάμε με μία προσέγγιση στη ρίζα του 2, έστω x. Μετράμε το λάθος μας υπολογίζοντας τη ποσότητα a 2 = x 2 Συνεχίζουμεμενέοx το x-α/2x. Τότε a a ( x ) 2 = ( ) 2x 2x Αν το x είναι 1 τότε 2x καλύτερη προσέγγιση. 2 2 a ( ) Συνεχίζουμεμεαυτόντοντρόπο. 2 είναι μικρότερο από το α και έτσι έχουμε βρει μία
7 τιμή των Βαβυλωνίων προσέγγιση σε 8 δεκαδικά ψηφία Έχουν υπολογιστεί 200,000,000,000 ψηφία (2006) ενδιαφέρουσες ιδιότητες το αντίστροφο της ρίζας 2 είναιίσημετομισό της ρίζας 2 μη ρητός αριθμός κ.ο.κ.
8 Πλάκα του Plimpton 1700 π.χ. (Τριάδες του Πυθαγόρα)
9 Ταμπλέτα του Plimpton, (O. Neugebauer and A. Sachs, Mathematical cuneiform texts, American Oriental Society, 1945) 45/60=3/4 75/60=5/4 (3/4)^2= τριάδα (3,4,5)
10 Πλάκα του Plimpton (φαίνεται οπτικά από την πλάκα ότι έχει σπάσει το κομμάτι που είχε μία ακόμα στήλη, αυτή που συμπληρώνουμε ως πρώτη στήλη των y ) όπου x, y δύο πλευρές ενός ορθού τριγώνου και d η διάμετρος του.
11 Τριάδες του Πυθαγόρα και Βαβυλώνιοι. x^2+y^2=d^2 => (x/y)^2+1=(d/y)^2 u=x/y v=d/y u^2+1=v^2 v^2 u^2=1 (v u)(v+u)=1. Δηλαδή v u και v+u είναι πλευρές ενός ορθογ. παραλληλογράμου με εμβαδό 1. Έτσι αν δοθεί κάποια τιμή για το v+u, το v u μπορεί να βρεθεί από τον πίνακα των αντιστρόφων. Στη συνέχεια μπορούν να λυθούν οι δύο γραμμικές εξισώσεις ως προς v και u. Τέλος πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο y(αφού u=x/y, v=d/y) βρίσκονται οι τριάδες.
12 Πως γνώριζαν οι Βαβυλώνιοι ότι v^2 u^2=1 (v+u)(v u)=1 για κάθε v και u? (η αλγεβρική γραφή δεν είχε ακόμα εφευρεθεί ) Μία γεωμετρική απόδειξη προκύπτει ως εξής: Ας ξεκινήσουμε με τη σχέση στα δεξιά της συνεπαγωγής. Θεωρούμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές v+u και v-u και εμβαδόν 1. Αποσπάμε τη τελευταία κάθετη λωρίδα με μήκος u, τη στρέφουμε 90 ο και την τοποθετούμε από κάτω. Τo καινούριο σχήμα διαφέρει από το τετράγωνο με ακμή v κατά το τετραγωνάκι με εμβαδό u^2. Το ολικό εμβαδό δεν έχει αλλάξει. Άρα (v+u)(v-u)=1 1=v^2-u^2.
13 Ήταν τυχαίες οι τριάδες? Γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα οι Βαβυλώνιοι? Υπάρχουν προβλήματα στις πλάκες τους που κάνουν χρήση του θεωρήματος. Για παράδειγμα, στην πλάκα ΒΜ85196 υπάρχει το παρακάτω πρόβλημα: «μίακολώναμήκους30 στηρίζεται σε έναν τοίχο. Η επάνω άκρη γλυστράει μία απόσταση 6. Πόσο μετακινήθηκε η κάτω άκρη?» Η απάντηση δίνεται ως «η τετραγωνική ρίζα του και υπολογίζεται να είναι 18.»
14 Λύση δευτεροβάθμιων και τριτοβάθμιων εξισώσεων Θα συζητηθούν σε επόμενο μάθημα
15 Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά 7 ο αιώνα π.χ 4 ο αιώνα μ.χ.
16
17 Πηγές για τα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Ιστορικές πηγές, όπως Ηρόδοτος (5 ος αιώνας π.χ.) και άλλοι, (αποσπασματικές πληροφορίες), Πλούταρχος (1 ος αιώνας μ.χ.) Πρόκλος (5 ο αιώνα μ.χ.) (περίληψη από βιβλίο ιστορίας του Εύδημου από τη Ρόδο (4 ο αιώνα π.χ.). ) Ο Εύδημος ήταν ο πρώτος ιστορικός των επιστημών! Βιβλία του: Άριθμητικὴ ἱστορία, Γεωμετρικὴ ἱστορία, Άστρολογικὴ ἱστορία, μαθήματα του Αριστοτέλη
18 Θαλής ο Μιλήσιος ( π.Χ.) Anaximander of Meletus (c. 610 c. 547) Πυθαγόρας o Σάμιος ( ) Anaximenes of Miletus (fl. c. 546)) Cleostratus of Tenedos (c. 520) Anaxagoras of Clazomenae (c. 500 c. 428) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( ) Antiphon of Rhamnos (the Sophist) (c ) Oenopides of Chios (c. 450?) Leucippus (c. 450) Ιπποκράτης o Chios (c. 450) Meton (c. 430) *SB Hippias of Elis (c. 425) Theodorus of Cyrene (c. 425) Socrates ( ) Philolaus of Croton (d. c. 390) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c ) Hippasus of Metapontum (or of Sybaris or Croton) (c. 400?) Archytas of Tarentum (of Taras) (c. 428 c. 347) Πλάτων ( π.χ.)
19 Θαλής ο Μιλήσιος ( π.Χ.) Ένας από τους 7 Σοφούς της Αρχαιότητας FH/FA=FT/FB
20 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ: ΜΕ ΤΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ? (τι δεχόμαστε ως γνώση? Ποια είναι τα προαπαιτούμενα?) Οι αποδείξεις δεν είναι δύσκολος αν δεχτούμε ότι Άθροισμα γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι 180 ο Τύπο για το εμβαδό ενός τριγώνου
21 Πυραμίδα του Χέωπα Ύψος: 147 μέτρα (σήμερα είναι 138 μέτρα) Όγκος: κ.μ Κλίση πλευράς: 51 μοίρες Βάρος ογκολοίθων: τόνοι 145,3 Μέτρηση του Θαλή: 145,3
22 Πυθαγόρας ( ) καιοιπυθαγόρειοι Οι αριθμοί αποτελούν τη βάση του κόσμου. «Το παν είναι αριθμός» Πυθαγόρεια Σχολή: μυστική οργάνωση στον Κρότωνα της Ιταλίας, μία θρησκευτική κίνηση μεέντονη πολιτική δραστηριότητα. Είχε κοινοβιακή μορφή για τους μυημένους. Η ιδιοκτησία και η γνώση θεωρούνταν κοινές. Πρωταρχικός ρόλος στη καθιέρωση της μαθηματικής επιστήμης ως επιστήμης βασισμένη στη λογική και απομάκρυνση από λογιστικούς υπολογισμούς. Μαθηματικά συγγενικά προς την αγάπη της σοφίας. Φιλοσοφία: αγάπη της σοφίας Μαθηματικά: αυτό που μαθαίνεται
23 Ιδιότητες των φυσικών αριθμών «ο δάσκαλος είπε» Πιστεύουμε ότι αναπαρίσταναν τους φυσικούς αριθμούς με τον αντίστοιχο αριθμό από βότσαλα. Άρτιοι και Περιττοί αριθμοί. (άρτιοι: αν τα βότσαλα χωρίζονται σε δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό από βότσαλα) Προτάσεις για φυσικούς αριθμούς Άθροισμα αρτίων είναι άρτιος Τετράγωνο αρτίου είναι άρτιος (και πολλαπλάσιο του τέσσερα), τετράγωνο περιττού είναι περιττός Τετραγωνικοί αριθμοί Τριγωνικοί αριθμοί
24 Το 21 είναι τριγωνικός αριθμός, Το 25 είναι τετραγωνικός αριθμός, 25= Ισχύει γενικά? Τετραγωνικός= άθροισμα περιττών? =21=μισό του 6 επί 7 Ισχύει γενικά? Πως βρίσκουμε τους τριγωνικούς αριθμούς?
25 Πλατωνικά στερεά Κανονικά Πολύεδρα και Πυθαγόρας (υπάρχουν άλλα?) Τετράεδρο {3,3} Κύβος {4,3} Οκτάεδρο {3,4} Δωδεκάεδρο {5,3} Εικοσάεδρο {3,5}
26 Πεντάγωνο πεντάγραμμα τετρακτύς a= διαγώνιος x=το μεγαλύτερο τμήμα της τομής (ο λόγοςa/x είναι η χρυσή τομή) a x = x a x 10: σύμπαν: άθροισμα όλων των δυνατών γεωμετρικών διαστάσεων ένα σημείο: γενήττωρ των διαστάσεων δύο σημεία: ευθεία: διάσταση 1 τρία σημεία: τρίγωνο: διάσταση 2 τέσσερα σημεία: τετράεδρο: διάσταση 3
27 Ασκήσεις Ξεκινώντας με τη τιμή 2 χρησιμοποιείστε τη μέθοδο του Ήρωνα για να προσεγγίσετε τη τετραγωνική ρίζα του3. Πόσες φορές θα χρειαστεί να επαναλάβετε τη διαδικασία για να έχετε με ακρίβεια τα πρώτα 4 δεκαδικά ψηφία? Βρείτε και αποδείξτε ενδιαφέρουσες ιδιότητες για τη ρίζα του 2. Θέτοντας v+u=1 4/5, δείξτε ότι μπορούμε να βρούμε τη γραμμή 15 της πλάκας του Plimpton. Θέτοντας v+u=2 1/12, δείξτε ότι μπορούμε να βρούμε τη γραμμή 15 της πλάκας του Plimpton. Να βρείτε τη τιμή που οδηγεί στις γραμμές 6 και 13.
28 Ασκήσεις, συνέχεια Να αποδείξετε τα Θεωρήματα του Θαλή δεχόμενοι την πρόταση για το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου, και τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου. Να αποδείξετε τα θεωρήματα του Θαλή ξεκινώντας από μηδενική βάση. (Ποια είναι τα αξιώματα που θα χρειαστείτε?) Να δείξετε ως Πυθαγόρειοι (δουλεύοντας με βότσαλα ή τελείες) ότι το γινόμενο δύο άρτιων αριθμών είναι πολλαπλάσιο του 4. Να βρείτε τη τιμή της χρυσής τομής. Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του πενταγώνου τέμνονται δημιουργώντας χρυσές τομές. Η μπάλα του ποδοσφαίρου δεν είναι κανονικό πολύεδρο γιατί αποτελείται από πετάγωνα και εξάγωνα. Μπορείται να περιγράψετε μαθηματικά μία μπάλα ποδοσφαίρου? (πόσες έδρες έχει, πόσες έδρες συναντιούνται σε κάθε κορυφή, συμμετρίες, κλπ)
Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Τα Μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 12.03.14 Χ. Χαραλάμπους Οι αριθμοί αποτελούν τη βάση του κόσμου. «Το παν είναι αριθμός» Τετράεδρο {3,3} ωδεκάεδρο, 12 έδρες, όλες κανονικα πεντάγωνα. Σε κάθε κορυφή συναντώνται ακριβώς
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 28.03.12 Χ. Χαραλάμπους Τι είναι αριθμητική? Τι είναι Άλγεβρα? Είναι Άλγεβρα η «Γεωμετρική Άλγεβρα»? Έκανε ο Διόφαντος Άλγεβρα? Ασχολήθηκαν με Άλγεβρα οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι? Πολυωνυμικές
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,
Διαβάστε περισσότεραΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1. Να λύσετε τις εξισώσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 50 3 5 0 0 ή 3 5 0 0 ή 3 5 0 ή 8 50 8 5 αδύνατη 3 60 3 6 6 3 3 4 510, α = 4, β = -5 και γ = 1 Δ = 4 5 4 4 15169 5 9 4 53 8 1 ή 4 410
Διαβάστε περισσότερα4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ
1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται
Διαβάστε περισσότεραΝα απαντήσετε τα θέματα 1 και 2 αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. Το κάθε θέμα είναι 10 μονάδες.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC STAGE II ΑΠΡΙΛΗΣ 08 Χρόνος Εξέτασης: ώρες Ημερομηνία: 5/04/08 Ώρα εξέτασης: 5:45-7:45 Να απαντήσετε τα θέματα και αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε
Διαβάστε περισσότεραΑ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα
Διαβάστε περισσότερα26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο
Διαβάστε περισσότερα2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.
11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Διόφαντος και Αραβικά Μαθηματικά. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΤο επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του
ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΤρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
Διαβάστε περισσότεραΕξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.
Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών
Διαβάστε περισσότερα2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότερα1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : ifo@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Paepistimiou (Εleftheriou Veielou) Street
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Υπενθύμιση Β μέρος ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ. Παράλληλες: Τι θα πρέπει να. Ποιες είναι οι παράλληλες ευθείες;
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Υπενθύμιση Β μέρος ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Παράλληλες: Τι θα πρέπει να θυμόμαστε από την γεωμετρία; Ποιες είναι οι παράλληλες ευθείες; Ποιες είναι οι κάθετες ευθείες;
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013
1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;
Διαβάστε περισσότεραΝα αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.
Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΚάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΟ Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια
Διαβάστε περισσότερα1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε
Διαβάστε περισσότεραΗ Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών
Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΒ Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων
υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠαράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης
Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν
Διαβάστε περισσότερα( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.
ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
Διαβάστε περισσότεραμε μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2011 23.03.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ al Khwārizmī ā ī (780 850) Ιράκ Kitāb al Jam wa l tafrīq bi ḥisāb al Hind (λατινικά Dixitalgorizm) ~825 الكتابwa'l muqabala al Kitab al mukhtasar fi hisab
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 06 07 Βαθμός αριθμητικά:..... / 00 =.... / 0 Ολογράφως:...... / 0 Υπογραφή Καθηγητή/τριας:..... ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 3.04.14 Χ. Χαραλάμπους Γενικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις τετράγωνο σε δύο τετράγωνα. Ειδικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις το 16 σε δύο τετράγωνα. Πίσω στον ιόφαντο και στο πρόβλημα της διαίρεσης
Διαβάστε περισσότεραbca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}
Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραα) f(x(t), y(t)) = 0,
Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14
ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 017-018 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ Γυμνασίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Δευτέρα, 4 Ιουνίου 018 ΧΡΟΝΟΣ: ώρες ΒΑΘΜΟΣ:. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 13: Ογκομετρήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας
Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 13: Ογκομετρήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΟΓΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ 1.1.1. ΟΓΚΟΣ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ Τετράεδρο είναι κάθε στερεό το οποίο έχει τέσσερες έδρες (Σχήμα
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΠαρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:
Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Μαθηματικά Ο σκοπός της έρευνας είναι η αναζήτηση για
Διαβάστε περισσότεραΌταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε
Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότερα