Α Λυκείου. Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Transcript

1 Α Λυκείου Άλγεβρα Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα

2 Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 707 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 07 Ιστοσελίδα: mail : papagrigorakism@gmailcom

3 Α Λυκείου Άλγεβρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μαθηματική Λογική 00 Διατυπώστε τις αρνήσεις των προτάσεων Α) Υπάρχει τρίγωνο που είναι ορθογώνιο Β) Μερικοί ακέραιοι είναι πρώτοι, Γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι αρνητικό, Δ) Κάθε τετράπλευρο είναι τετράγωνο 00 Διατυπώστε τις αντίστροφες προτάσεις : Α) Αν α τότε α 9, Β) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες του ίσες τότε είναι ισοσκελές, Γ) Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο τότε είναι ισοσκελές 00 Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες προτάσεις των προτάσεων : (Δίνεται ότι ο α Ζ ) Α) Αν ο α είναι περιττός τότε και ο α είναι περιττός Β) Αν ένα τετράπλευρο έχει άνισες διαγωνίους, τότε αυτό δεν είναι ορθογώνιο Γ) Αν ένα τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές τότε δεν είναι ισόπλευρο 004 Χαρακτηρίστε ως Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις συνεπαγωγές: (για κάθε A) α α R ): Σύνολα 006 Α) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο: Β={, y / ακέραιος με και y R με y } Β) Γράψτε το σύνολο Γ={,4,6,8} με περιγραφή Δ) Για τα προηγούμενα σύνολα να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις προτάσεις: Γ, (0,)Β, 8Β, -Γ, 0Γ 007 Δίνονται τα σύνολα: A R /( 4)( )( 64) 0 και B y R /(y )(y 6)(y 9) 0 Να βρείτε τα σύνολα A B και A B 008 Να βρεθεί η ένωση και η τομή των συνόλων: α) A R, και B R, β) A R, και B,, γ) A, και Β,5, 009 Αν Ω,,, 4,5, Α, τότε να αποδείξετε ότι: Β, 4 και A B A B και A B A B (τύποι DE MORGAN) B) Γ) α 4 α, α 4 α 00 Να συμπληρώσετε τις ισότητες Ν Ζ, R Z, R Q, R N Δ) α α Ε) α α α Στ) α 0 α 0 Ζ) α α 005 ** Να αποδείξετε ότι: Α) p q q p Β) p q p, Γ) p q q Δ) p p q Ε) p q q p 0 Έστω ότι τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα ενός συνόλου αναφοράς Ω Να χαρακτηρίσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: Α) Αν A B τότε A B A Β) Αν B A τότε A B B Γ) Αν A B Ω και A B τότε A B Δ) Είναι A, για κάθε A Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

4 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ισοπίθανα Ενδεχόμενα 0 Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές Να βρείτε τα ενδεχόμενα : Α : Το αποτέλεσμα της ης από το αποτέλεσμα της ης Β : ρίψης είναι μεγαλύτερο Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 Γ : Το γινόμενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μικρότερο του 5 Στη συνέχεια να βρείτε τα ενδεχόμενα Α Β, Α Γ, (Α Β) Γ 0 Έστω τα σύνολα Ω = { ω Ν / 0 ω 0}, Α = {ωω / ω πολλαπλάσιο του } και Β = {ωω / ω πολλαπλάσιο του 4} Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες α) Να ανήκει στο Α β) Να μην ανήκει στο Β 0 Έστω τα σύνολα Ω,,, 4,5 Α ω Ω/ω 4 B ω Ω /ω περιττός Αν εκλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε τις πιθανότητες να ανήκει: Α) στο Α ή στο Β, Β) στο Α και στο Β Γ) στο Α και όχι στο Β Δ) σε ένα το πολύ από τα Α και Β 04 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι διαδοχικά δύο φορές Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α) Το αποτέλεσμα της πρώτης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης Β) Οι ενδείξεις και στις δύο ρίψεις είναι ίδιες Γ) Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μεγαλύτερο του 9 05 Σε ένα Λύκειο οι μαθητές της Α τάξης είναι 54 Αν εκλέξουμε τυχαία ένα μαθητή του Λυκείου η πιθανότητα να είναι μαθητής της Α τάξης είναι 0, 6 και η πιθανότητα να είναι της Β τάξης είναι 0, 4 Να βρείτε: Α) το πλήθος όλων των μαθητών του Λυκείου, Β) το πλήθος των μαθητών της Β τάξης, Γ) την πιθανότητα να είναι ένας μαθητής που εκλέξαμε τυχαία μαθητής της Γ τάξης 06 Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια μαζί Να βρείτε την πιθανότητα να φέρουμε 6 στο ένα και 5 στο άλλο 07 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες, Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες 08 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μερικές κόκκινες και μερικές μαύρες μπάλες Παίρνουμε τυχαία μία μπάλα Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η πιθανότητα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι Να βρείτε πόσες κόκκινες και πόσες μαύρες μπάλες υπάρχουν στο κουτί 09 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού Ρ Α χώρου Ω τέτοια, ώστε, ΡΒ και 4 PA B Να βρεθούν οι πιθανότητες των 6 ενδεχομένων Γ:«Πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A και B» Δ: «Δεν πραγματοποιείται ούτε το A ούτε το B» Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 4

5 Α Λυκείου Άλγεβρα Από τους 50 μαθητές της A τάξης ενός οι 0 ασχολούνται με το ποδόσφαιρο, οι 40 με το μπάσκετ και καθένας ασχολείται με το ποδόσφαιρο ή το μπάσκετ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Nα βρεθεί η πιθανότητα: Α) Να μην ασχολείται με το ποδόσφαιρο, Β) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο και με το μπάσκετ, Γ) Να ασχολείται με το ποδόσφαιρο αλλά όχι με το μπάσκετ Σε μια επιχείρηση το 60% δεν ξέρει αγγλικά, το 80% δεν ξέρει γαλλικά και το 50% δεν ξέρει ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή ποια είναι η πιθανότητα να ξέρει αγγλικά και γαλλικά Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα να πραγματοποιείται: Κανένα από τα Α και Β είναι 4, Μόνο ένα από τα Α & Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α και Β Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύει ότι η πιθανότητα: να πραγματοποιείται το Α είναι 0,, να μην πραγματοποιείται το Β είναι 0,6 και να πραγματοποιούνται και τα δύο είναι 0,5 Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται: Α) ένα τουλάχιστον από τα Α και Β, Β) το πολύ ένα από τα Α και Β, Γ) κανένα από τα Α και Β, Δ) μόνο το Α, Ε) μόνο ένα από τα Α και Β, ΣΤ) το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β 4 Έστω το σύνολο Ω 0,,, 4 Εκλέγουμε τυχαία ένα λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα ο λ να είναι ρίζα της εξίσωσης λ λ 0 5 Σε μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών μιας τάξης βρέθηκε ότι το 50% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «νησί», το 50% θα πάει το καλοκαίρι διακοπές σε «βουνό», το 0% θα πάει διακοπές το καλοκαίρι σε «νησί» και σε «βουνό» ενώ τρείς μαθητές δεν θα πάνε πουθενά Πόσα άτομα έει η τάξη; 6 Σε ένα σχολείο το 50% των μαθητών έχει κινητό τηλέφωνο ή δεν έχει Η/Υ και το 5% των μαθητών έχει κινητό και Η/Υ Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Αν η πιθανότητα να έχει κινητό και να μην έχει Η/Υ είναι 5 ούτε Η/Υ ούτε κινητό, βρείτε την πιθανότητα να μην έχει 7 Ένα κουτί περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες Βγάζουμε διαδοχικά δύο σφαίρες Να βρεθεί η πιθανότητα: Α) να είναι δύο κόκκινες, Β) να είναι η πρώτη άσπρη και η δεύτερη κόκκινη Γ) να είναι και οι δύο άσπρες 8 Μέσα σε ένα κουτί υπάρχουν 4 μπάλες από τις οποίες οι είναι άσπρες και οι κόκκινες Επιλέγουμε την μία μπάλα μετά από την άλλη μέχρι να μείνουν στο κουτί ο μικρότερος αριθμός με μπάλες του ίδιου χρώματος Να βρείτε : Α) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: «Οι μπάλες που επιλέξαμε ήταν του ίδιου χρώματος» Β: «Στο κουτί έμεινε μόνο μία μπάλα» Γ: «Από τις μπάλες που επιλέξαμε οι κόκκινες ήταν περισσότερες από τις άσπρες» Β) Τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α Β, Β Γ, Γ Α, Α Β Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 5

6 Α Λυκείου Άλγεβρα Λογισμός Πιθανοτήτων 9 Δίνονται τα ενδεχόμενα A,B,Γ του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : P(A B) P(A B) 0, 5 και βρείτε την PB P A 0,8 Να 0 Αν Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού 4 P A, χώρου και ισχύουν P A B, P B, τότε βρείτε τις PA B, PA B Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A,B ενός πειράματος τύχης, με πιθανότητες τέτοιες ώστε: P A 4 B, PA, P A B τις PA, PB, PA B Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA B 0 Να βρείτε 4, 5 PΒ να βρείτε την PA B P A Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: PA 0,5, P A 5 6 B να υπολογίσετε την PΒ Α 4 Αν A,B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού P A, 6 χώρου Ω και ισχύουν οι ισότητες PA 6 και PA Β Α) P A,, βρείτε τις: 5 Β) PA Β, Γ) PA Β 5 Αν και P A 5 Ρ(Α ) Ρ(Α) 6 να βρείτε τις PA 6 Για τα ενδεχόμενα A,B ενός δχ Ω ισχύει: P A B Ρ Α Β να υπολογίσετε την πιθανότητα PΒ 7 Αν για δύο ενδεχόμενα A,B ενός, δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: PA P Α PA PΒ και P A B, υπολογίστε τις πιθανότητες PΑ Β, PΒ Α, PA B 8 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν A B Ω και Ρ Β P A, ΡΑ β Να βρεθούν οι: PA B, B, PA B, PA B 9 Αν A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν PA B A B P A α, 6 B να βρείτε την πιθανότητα PA B 0 Δίνονται δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P(A B), P(A B) 4 0 P B A και Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: Ρ Α 4 Β και Ρ Β Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Έστω Α,Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου με μη μηδενικές πιθανότητες, για τα οποία ισχύει ΡΑΡΑ ΡΑ Ρ Β Να αποδείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ενδεχόμενο και το Β αδύνατο Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 6

7 Α Λυκείου Άλγεβρα Παραμετρικές 'Έστω ο δειγματικός χώρος Ω α,β, γ Αν ισχύουν οι ισότητες Ρ α λ, Ρβ 4λ Ργ 7λ, να υπολογίσετε την τιμή του λ και 4 Αν Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα με ΝΩ 0 και ΝΑ, PB 4, με A, B 6 συμπληρωματικά ενδεχόμενα, να βρεθούν οι πιθανότητες PA και PB 5 Αν A,B ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός P A λ, δειγματικού χώρου Ω με PB 7λ 6λ, να δείξετε ότι λ 4 6 Ένα μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμού κ να είναι ανάλογη του κ με κ,,,,6 Να βρείτε τη πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού 7 Έστω Ω ω,ω,ω,ω ο δειγματικός 4 χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του Α= ω,ω,ω και Β= κ ω,ω Αν ισχύουν : Ρ Α, Ρ Β κ και κ κ P(ω 4 ), να βρεθεί ο κ R * και οι πιθανότητες κ P(ω ), P(ω 4 ) 8 Έστω το σύνολο Ω 0,,,, 4, 5 ένας δειγματικός χώρος Αν Α 0,,, Β,5 Ρ Α λ 5 και Ρ Β πιθανότητα ΡΑ Β με λ Να βρείτε την 5 Ανισότητες 9 Αν Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: Α) 0 4P(A)P(A ), Β) 0,5 P(A) P(A ), Γ) P(A B) P(A)P(B) P((A Β) ), Δ) P(A B) P(A) P(B) P(A B) 40 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), P(B) Α) Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα Β) Να αποδείξετε ότι: P(A B) 6 4 Έστω A, B ενδεχόμενα με P(A) 0,, P(B) 0, 78 Να δείξετε ότι: 0, P(A B) 0, 4 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δχ με ΡΑ 4 5 4, Ρ Α Β Δείξτε ότι Ρ Β 4 Έστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A), P(B ) Να αποδείξετε ότι: 6P(A B) 44 Αν A, B συμπληρωματικά ενδεχόμενα και, να βρεθούν οι PA 5P A 8 9P A P B και PB 45 Έστω Α,Β,Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε Γ Α Β Να αποδειχθεί ότι: Α) ΡΓ ΡΑ ΡΒ, Β) Ρ Γ ΡΑ Β ΡΑ Β ΡΑ Β, Γ) ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ Γ Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 7

8 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Iδιότητες των πράξεων 0 Αν α 0, 5, β 0,00 να υπολογιστεί η παράσταση α β 4 α α β 09 Αν y y, y 0 να βρεθεί ο λόγος y y και η τιμή της παράστασης Α= y 0 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α) ( 4 ) ( 5 ) ( ) Β) β α( β) α (4β 5) 0 Αν 4 9 y y με y y 0 8 ( y) βρείτε την τιμή της παράστασης y 5y 5y, 0 Δείξτε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοί Α y 4z και B y z, τότε y z Αν 4 y και y να βρεθούν οι, y 04 Αν οι αριθμοί α α και β β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι οι α και β είναι αντίθετοι 05 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α,β με α β για τους οποίους ισχύει β α 4 4 β α α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 5 α β Κ 5 α αβ 06 Αν α β να βρεθεί η τιμή της παράστασης α(α ) 4β( α) β(α 8) 07 Αν y(y ) 0 δείξτε ότι είναι ανεξάρτητη των, y η παράσταση y y 08 Αν, να βρεθούν οι τιμές των y παραστάσεων: +y + y y+,,,, y y+ Αν ο α είναι περιττός ακέραιος δείξτε ότι ο αριθμός α α είναι πολλαπλάσιο του 4 Αν ν φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός ν ν - ν - είναι πολλαπλάσιο του 5 4 Αποδείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος α β γ 5 Αν να αποδειχτεί ότι: y ω ν ν ν ν ν α α β γ α β γ ν ν ν y ω y ω 6 Αν α β γ y ω Α) Β) να αποδείξετε ότι: α β γ α β γ y ω y ω ν ν ν ν α β γ α β γ ν ν ν y ω y ω 7 Να δείξετε ότι : i) Αν α ρητός και β άρρητος, τότε ο αριθμός α - β είναι άρρητος ii) Αν α ρητός με α 0 και β άρρητος, τότε o α β είναι άρρητος Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 8

9 Α Λυκείου Άλγεβρα Δυνάμεις 8 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α β α β Α) α β α β 4, B) y 4 y y 9 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 5 Α) Β) y : y αν 0, 4, y,5 y y y αν, 0 0 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 7 8 και α β αβ α β α β 7 7 Βρείτε τις τιμές των κ, λ όταν: 5 y : y 5 y κ λ κ Α) α β α β αβ κ λ κ λ Β) 4 : y 0 Αν ν είναι φυσικός με v, δείξτε ότι: v v v v ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε με: α) τρία δυάρια, β) τρία τριάρια, γ) τρία τεσσάρια; 4 Για ποια τιμή του κ η παράσταση α κ κ β γράφεται ως δύναμη με βάση 5 Να βρεθεί ο ν Z ν6 αν αβ αβ ; ν 6 βγ γα α β γ 6 Δείξτε ότι β γ α 7 Να γράψετε την παράσταση: { :[(5 : 5 ) : ( ) ( ) ]} Ταυτότητες Παραγοντοποίηση 8 Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλεια τετράγωνα οι παραστάσεις: Α) 6 8 Β) Γ) Δ) 9α αβ 4 y 6 y 4 E) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: A) 4 α 9 B) 5 ψ 6 Γ) 4 Δ) Ε) Στ) 8 7 y Ζ) 0 Α) (Lagrange) Να αποδείξετε ότι α β y α βy αy β Β) Να γραφεί το γινόμενο 5 6 ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων Να αποδειχτεί ότι Α) Β) m m m m y y y Να αποδείξετε τις ταυτότητες: Α) α + β α - β 4αβ 4 α α - α - Β) Γ) α α α α αα Δ) α 4 α α + ως δύναμη με βάση το 8 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 9

10 Α Λυκείου Άλγεβρα Να αποδείξετε τις ταυτότητες: A) α + β α - β 6α β β α α - α - 4α 4α B) 4 Αν α β να αποδείξετε ότι α β 4α αβ 4β 5 Αν αβ δείξτε ότι 6 Nα αποδείξετε ότι: Α) Αν Β) Αν α β α β α β α β α β τότε α β α β 4 α β α α 7 Να δείξετε ότι β : α β α, αβ 0 τότε α β β = β 44 Αν y και y υπολογίστε τα y, y,, y y, y y 45 Αν α β, αβ, να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α β,, α α β 46 Aν 4α α, α β να αποδείξετε ότι β,, α α β y 4β β και y 47 Αν α β 0, β γ 0, γ α 0 και α β γ 0, να αποδείξετε ότι: β, α β βγ β γ αγ γ α αβ 0 α β β γ α γ 48 *Αν για τους θετικούς ακέραιους, y,ω 8 Για κάθε α, β, γ R, δείξτε ότι: αν α β γ αβ βγ γα τότε α β γ ισχύει ότι y ω y 7 ω δείξτε ότι y ω 9 Για κάθε, y, ω R, να αποδείξετε ότι: αν y ω y ω τότε y ω 49 ** Αν αβγ και βγ β 0 αποδείξτε ότι α β γ αβ α βγ β γα γ 40 Αν α,β,γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου και ισχύει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο α βγ α β γ, να αποδείξετε ότι β γ 4 Αν β α να αποδείξετε ότι: α βα β α β α β α β 4 Αν α y β 4α βy να αποδείξετε ότι τότε α και y β 4 Αν α 5 βρείτε τα α α α α, α 50 ** Να αποδείξετε ότι αν 0 τότε α β γ βγ γα αβ (Euler) α β γ 5 ** Αν α β γ 0 να αποδειχτεί ότι η παράσταση ανεξάρτητη των α,β,γ α β γ αβ(γ ) α β γ είναι 5 Αν για κάθε R, ισχύει ότι A B, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς Α και Β Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 0

11 Α Λυκείου Άλγεβρα Παραγοντοποίηση 5 Παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: A) αβ α B) 4 α 8 α 59 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) α β αβ α : αβ β α β Γ) 0 κ 000λ Δ) Ε) Στ) Ζ) α 4α 4α 4 8 5μ 0 μλ Β) Γ) α β α β α αβ β α β αβ α β : αβ α β α β 54 Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) 4 8 Β) Γ) 6 9 Δ) 55 Παραγοντοποιήστε τις παραστάσεις: Α) Β) Γ) Δ) α 4αβ 4β y ω ω y m n np p 56 Απλοποιήστε τις παραστάσεις, αφού βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται: A) Γ) Β) ( ) Δ) ( ) 57 Αν 0, 5, y=-, βρείτε την τιμή της y y παράστασης : y y y 58 Αν m,n είναι ακέραιοι και, y πραγματικοί αριθμοί με y 0, y, y αποδείξτε ότι m nm mn y y y n mn mn y y, 60 Να κάνετε τις πράξεις: : Α) Β) β α : β α β α α β 6 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) α α α α Β) α β β γ γ α (β γ)(γ α) (γ α)(α β) (α β)(β γ) 6 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: μ μ 4 μ μ Α) * : 9 μ μ μ 6μ 9 μ μ Β) Γ) 4 : 4 9 y y : y y y 6 Για κάθε φυσικό ν, δείξτε ότι Α) Ο αριθμός είναι άρτιος Β) Ο αριθμός 4 διαιρεί τον ν 5 64 Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων α α α Α) α α 4 4α για α 4 Β) 6 4 4α : αν α 4α α 4α α 0, Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

12 Α Λυκείου Άλγεβρα Διάταξη Ανισότητες 74 Αν α,β R αριθμοί να δείξετε ότι: 65 Αν α να διατάξετε από την μεγαλύτερη προς την μικρότερη τις τιμές α, α,, α, α Α) Β) α αβ β 0, α β γ αβ βγ γα 66 Αν 4 και y 7 να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις y, y,, y, y, y 75 Αν α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει ότι α β γ α β γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο 67 Αν είναι 8 να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις,,,, y 76 Αν για τους α,β,γ 0 ισχύει ότι α+β β+γ γ+α αβ γ βγ -α γα -β 0 αποδείξετε ότι α β γ να 68 Να αποδείξετε ότι: Α) Aν α β Β) Αν α τότε α α β 4β τότε α α α Γ) Αν y τότε 7 y 5 Δ) y y y 0 69 Να αποδείξετε ότι Α) α β 0 Β) αν α R τότε α β α β και α β 0 β α β α α α 70 Δείξτε ότι Αν α, β, γ R να αποδείξετε ότι: A) α β αβ, B) α β γ 8αβγ 7 Αν α, β θετικοί, να αποδείξετε ότι Α) αβ α β α β 4 Β) α β αβ α β 7 Αν α,β θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε α 4β 0,να αποδειχτεί ότι 0 α β 40 * 77 Για κάθε α,β, γ R, να αποδείξετε ότι: α β γ α γ β β γ α γ β α 78 Για κάθε α,β R να δείξετε ότι Α) α β α β, Β) α α α 4 α α 4 α 6 79 Αν είναι, y 0 και αποδείξετε ότι 4 y 5 y 64 να 80 Αν α,β,γ πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι Α) Β) α β γ αβ βγ γα α β β γ γ α αβγ(α β γ) 8 Συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και 4 8 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μήκος cm και πλάτος y cm, αντίστοιχα Αν για τα μήκη και y ισχύει: 5 και y, τότε: α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου β) Αν το μειωθεί κατά και το y διπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

13 Α Λυκείου Άλγεβρα Απόλυτη Τιμή 8 Nα γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τις παραστάσεις: 7,, π, α, π, 4 4, 0 ημ8 α 84 Αν α β γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο 9 Αν α R 0 να δειχτεί ότι: α α 9 Για κάθε, y R, να αποδείξετε ότι: Α) y y 4y Β) ( )( ) 0 Γ) y y y Δ) y y y y 0 της απόλυτης τιμής την παράσταση Α α β γ α β γ 94 Αν κ y, m να y κ κ y 85 Αν γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Α 6 Δ 4 αποδείξετε ότι m 95 Για κάθε α, β, γ R να αποδείξετε ότι α β α γ + γ β 86 Αν να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α Β Αν α<β< να απλοποιήσετε την παράσταση: α β α+ β 7 88 Γράψτε χωρίς απόλυτα τις παραστάσεις A 8, Β 6, Γ 4 89 Nα γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις παραστάσεις: Δ 4 4, Ε, ΣΤ 4 90 Αν y, να αποδείξετε ότι: y y y 9 Να αποδείξετε τις ισότητες: Α) α β α β α β Β) α β β α 96 Να αποδείξετε ότι Α) Αν, y, z 4 τότε y z 7 Β) Αν 0 y *, y R με y, τότε 0 και 97 Αν α, β 0 α α β Πότε ισχύει η ισότητα; β β α, να αποδειχθεί ότι: 98 Για κάθε α, β R με α β α β 0 αποδείξτε ότι α β β α β α 99 Nα αποδείξετε ότι: Α) Αν και y τότε y 7 Β) Αν και y τότε y 9 Γ) Αν α,β,γ πραγματικοί αριθμοί με yz 0, Γ) α α α, α 0 α να αποδείξετε ότι: y z y z Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

14 Α Λυκείου Άλγεβρα Να αποδείξετε ότι: Α) Β) Γ) y, αν, y 0 y αν 0 5y 5 y y 0 Αν α 5 και β βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η παράσταση α β 0 Αν 0 και y 0, βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση Α= + y y 04 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) Γ) Να βρεθεί το όταν: d, 7, d(, ), d, d, 06 Δίνονται οι παραστάσεις Α και Β 6, όπου πραγματικός αριθμός α) Για κάθε δείξτε ότι β) Υπάρχει, Α Β ώστε να ισχύει Α Β ; 07 Δίνονται τα, y τέτοια ώστε: 9 και y Α) Να αποδείξετε ότι:, y 5 Β) Βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης K y 08 Η πλευρά ενός τετραγώνου μετρήθηκε και βρέθηκε,7cm Το λάθος της μέτρησης είναι το πολύ 0,0cm Αν R είναι η πραγματική πλευρά του τετραγώνου, τότε να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιμή R Ρίζες 09 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ: Α) Ισχύει ότι για κάθε R 5 5 Β) Για κάθε 0 ισχύει: Γ) Για κάθε είναι ( ) Δ) Για κάθε, y 0 ισχύει y y Ε) Ισχύει πάντα ότι α β α β 0 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά: i) 4 ii) iii) 4 y iv) 4 Για κάθε 0 να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 6 8, 6,, () Αν, να απλοποιήσετε την παράσταση Α= 6 9 Να απλοποιηθεί η παράσταση , αν 4 Έστω K α) Να βρεθούν οι τιμές του, για τις οποίες η η παράσταση K να έχει νόημα πραγματικού αριθμού β) Αν 5, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή 5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) , Β) , Γ) 4 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 4

15 Α Λυκείου Άλγεβρα Να αποδείξετε ότι : Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) 4, Β) 9, Γ) Να υπολογίσετε τα, και να απλοποιήσετε την παράσταση: Δείξτε ότι Αν,y>0 και y να αποδείξετε ότι y y y = y y 0 Να αποδείξετε ότι 7 Να δείξετε ότι: Συγκρίνετε το με το 0 9 Λύστε την εξίσωση 0 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι φυσικός Να αποδείξετε ότι: Α) Να υπολογίσετε τον αριθμό Β) Γ) 7 7 Q , Αν α 0 να δείξετε ότι: Α) α α α Β) α α α α) Να δείξετε ότι: 5 4 β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και 4 Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: Α) Ε) 4 5 Β) Στ) 8 7 Γ) Ζ) 5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α) Β) Δ) 5 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A Αν α, β, γ 0 με αβγ α) α β αβ β) α ββ γγ α 8 4 Δίνονται οι παραστάσεις: 8 A B Να αποδείξετε ότι Α Β, να δείξετε ότι: και Γ) 5 5 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 5

16 Α Λυκείου Άλγεβρα ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 4 Β) 0 Να λυθούν για κάθε λ R 0 οι εξισώσεις: Α) λ λ Β) λ λ Γ) λ λ Δ) 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) α β α α β λ λ, α,β R Β) α α α 4 α α 04 Από τις ισότητες v v0 αt και v v S v0t αt, να δείξετε ότι S 0 t, α R 05 Ένα βαρέλι Α περιέχει 54 κιλά κρασί των ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 456 κιλά κρασί των,5 ευρώ το κιλό Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι την ίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή που αφαιρέσαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμε από το Β στο Α Αν μετά το ανακάτεμα των κρασιών, το περιεχόμενο των δύο βαρελιών έχει την ίδια αξία, να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από το ένα βαρέλι στο άλλο 06 Ένα ελαιουργείο έχει δύο συγκροτήματα το Α και το Β Όταν δουλεύουν και τα δύο μαζί τελειώνουν όλες τις ελιές μίας περιοχής σε μέρες Φέτος ξεκίνησαν μαζί και μετά από μέρες το Α σταμάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Β συνέχισε να δουλεύει Το Β έχει τα της απόδοσης του Α Να βρείτε σε πόσες μέρες συνολικά θα τελειώσουν οι ελιές της περιοχής Εξισώσεις με Απόλυτα 07 Να λύσετε τις εξισώσεις: A), B) 7 9 5, Γ) 4 5, Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) Β), Να λύσετε τις εξισώσεις: A) 5 0 B) Γ) Δ) 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α) 4 Β) 4 Γ) Δ) Να λύσετε τις εξισώσεις Α) Γ) 4 Β) Δ) Α) Δείξτε ότι: Β) Λύστε την εξίσωση Α) Να λυθεί η εξίσωση Β) Αν η εξίσωση: έχουν κοινή λύση να βρείτε το α Γ) Αν η εξίσωση έχουν κοινή λύση να βρείτε το β , 0 λ λ λ, λ R 8 0 () 4 4α 0 και η () 5 0 (β+) 0 και η () Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 6

17 Α Λυκείου Άλγεβρα Δευτεροβάθμια Εξίσωση 4 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: Α) 4 0 Β) 4 Η εξίσωση λ 5λ λ 0, λ R έχει ρίζα το Να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το είναι διπλή ρίζα Γ) Ε) 5 0 Δ) ΣΤ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α β γ αβ αγ βγ 0, α,β,γ R 5 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ως προς για κάθε τιμή των παραμέτρων τους Α) αβ αγ β γ 0, αβ 0 Β) Γ) αβ α β 0, α β 0 β αβ α β 0, β 0 6 Αν η εξίσωση αβ 0 έχει ως ρίζα τον αριθμό α β, αποδείξετε ότι α β 7 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές 8 Έστω η εξίσωση λ 5 0, λ R Α) Για ποιες τιμές του λ έχει μία μόνο ρίζα; Β) Για ποιες τιμές του λ έχει διπλή ρίζα; Γ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης, να υπολογίσετε την παράσταση πραγματικό αριθμό ( ρ) για κάθε έχει μια διπλή ρίζα, αν και μόνον αν α β γ 4 Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση α β 4α 4β 0, α,β R 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση α β α β 0 έχει ρίζες άνισες 5 Αν η εξίσωση β γ 0, β,γ R, είναι αδύνατη στο R, να δείξετε ότι η εξίσωση β 5γ 0 δεν έχει ρίζες στο R 6 Για ποιες τιμές του α R οι εξισώσεις α 0 και 7 Αν η εξίσωση α 0 έχουν κοινή ρίζα; μ κ 0 έχει διπλή ρίζα, δείξτε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την μ μ κ+ μ +κ +κ κ- + 0 εξίσωση: 8 Λύστε την εξίσωση 0 9 Λύστε την εξίσωση όπου Δ είναι η διακρίνουσά της Δ Δ 6 0 Να βρεθεί ο λ R ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 : Α) να έχει μία μόνο ρίζα, Β) να έχει διπλή ρίζα Αν τις τιμές του y y με,y R * να βρείτε y 9 Αν α,β, γ 0, να αποδείξετε ότι μια τουλάχιστον από τις παρακάτω εξισώσεις έχει ρίζες πραγματικές, β γ α 0 α β γ 0, 0 Αν α,β, γ R * και ισχύει: γ α β 0, α β αγ 9 και β γ αβ 8 και γ α αγ 5, να υπολογιστεί η τιμή του α β γ Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 7

18 Α Λυκείου Άλγεβρα Άθροισμα Γινόμενο Ριζών Δίνεται η εξίσωση 0 με ρίζες, Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων, και ( ) Έστω η εξίσωση όπου είναι α,β R με α 0, α α β β 0 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α,β Β) Αν, οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α με α,να αποδείξετε ότι β α Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης α β 0 (), έλυσε την β α 0 και βρήκε δύο ρίζες Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της () και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά της άλλης ρίζας της () Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β 4 Να βρεθούν οι α,β R αν οι ρίζες της α β 0 είναι ίσες με α και β 5 Έστω ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης 4 0 Βρείτε τις τιμές των 7 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης λ 0 να βρεθεί ο πραγματικός λ, έτσι ώστε να ισχύει: Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0 με α,β, γ R 0 της και ρ, ρ ρίζες 0, να αποδειχθεί ότι, αν οι, είναι ετερόσημες, τότε και οι ρ, ρ είναι ετερόσημες 9 Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης α β γ 0, α,β, γ R, α 0 και, οι ρίζες της εξίσωσης κ λ μ 0, κ, λ,μ R, κ 0 να βρείτε εξίσωση με ρίζες τις παραστάσεις ρ ρ και ρ ρ 40 Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση Α) δύο ρίζες ετερόσημες, λ 0 έχει: Β) δύο ρίζες θετικές και άνισες, Γ) δύο ρίζες αντίστροφες 4 Έστω η εξίσωση λ λ 0 Α) Να λυθεί η ανίσωση d(, λ) 5-λ όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα Β) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζες αντίθετες ρ ρ, ρ ρ ρ, ρ ρ, ρ ρ ρ 4 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7 0 έχει δύο θετικές ρίζες, 6 Έστω η εξίσωση β γ 0, γ 0 Α) Αν, οι δύο ρίζες της εξίσωσης να Β) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α= B 4 4 γράψετε συναρτήσει των αριθμών β,γ τις παραστάσεις,, Β) Να αποδείξετε ότι: d, Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης Δ, όπου 4 Αν, είναι ρίζες της βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις: A) ρ, ρ, Β) ρ και ρ 5 7 0, να Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 8

19 Α Λυκείου Άλγεβρα Έστω η εξίσωση λ λ λ 0 Α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να υπολογίσετε Β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες 45 Δίνεται η εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς και Βρείτε το πρόσημο του Δίδεται η εξίσωση λ λ λ 0 η οποία έχει δύο πραγματικές ρίζες, έστω, Να αποδείξετε ότι: 0 και 0 47 Δίνεται η εξίσωση ισχύει η σχέση β 6γ β γ 0 και Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ομόσημες, τις ρ και ρ Β) Να αποδείξετε ότι ρ ρ Γ) Αν για το άθροισμα S των ριζών ισχύει S 4, να λύσετε την ανίσωση β γ 0 48 Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δυο πραγματικοί αριθμοί,, Αν δίνεται ότι: Η εξίσωση α 0, (α IR) έχει ρίζες τους Τριώνυμο Παραγοντοποίηση- μορφές 49 Να απλοποιηθούν τα κλάσματα : α 6α 5α 6α και α β α αβ 4α β α αβ 50 Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο γ γ α β β όπου τα α,β,γ είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου δεν έχει πραγματικές ρίζες 5 Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή αντί euro και υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο την αγόρασε Να βρείτε πόσα euro έχασε ( λύσεις) 5 Ένα βαρέλι περιέχει 54 lt κρασί Βγάζουμε μια ποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότητα νερού Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από το μείγμα Στο βαρέλι παραμένει ένα μείγμα που περιέχει 4 lt καθαρό κρασί Να βρείτε πόσα λίτρα κρασί βγάλαμε αρχικά 5 Σε μια γεωργική περιοχή αναλογεί ως έκτακτη ενίσχυση, εξ αιτίας φυσικής καταστροφής, το ποσό των 000 euro Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγός παραπάνω, τον έσβησαν και οι υπόλοιποι πήραν, ο καθένας 00 euro περισσότερα Να βρείτε πόσοι ήταν τελικά οι δικαιούχοι (Απ: 5), Η εξίσωση 5 β 0, (β IR) έχει ρίζες τους, Η εξίσωση 4 γ 0, (γ IR) έχει ρίζες τους, Να προσδιορίσετε τους α,β,γ R Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 9

20 Α Λυκείου Άλγεβρα ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού 40 Να λύσετε την ανίσωση: ( )( ) A) 40 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5 6 και Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων 6 6 7, και Ανισώσεις με απόλυτα 409 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 5 Β) Γ) Δ) 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 6 Β) 4 0 Γ) Δ) 6 0 Να λύσετε τις ανισώσεις: A) 5 B) 5 Γ) Δ) 5 40 Nα λύσετε τις ανισώσεις: Α) 5 Β) 8 Γ) 9 Δ) 4 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 5 6 Β) 405 Να λύσετε το (Σ): Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) 4 Γ) Δ) 406 Nα λύσετε τα συστήματα Α) 4 Β) 407 Nα λύσετε τα συστήματα: Α) Β) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ να λύσετε τις ανισώσεις Α) λ λ Β) λ 4 Αν, γράψτε χωρίς απόλυτα την παράσταση A 6 και την παράσταση: Β 44 Να λύσετε τις ανισώσεις Α) 6 στο * R Β) 5 4 στο R Γ) 0, στο R Δ) 4 στο Z 4 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 0

21 Α Λυκείου Άλγεβρα Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5 7 και 46 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) Γ) 5 47 Βρείτε τις τιμές του ώστε να ισχύουν: 0 0 και Αν α, όπου α Z της παράστασης: 005 A α, να βρεθεί η τιμή 49 Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται κάθε μια από τις παραστάσεις: Α) B) 6 Γ) Δ) 4 Ε) Στ) 6 40 Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται κάθε μια από τις παρακάτω παραστάσεις: Α) Α 5 Β) Β 4 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων Α f() 4 Β Γ g() 4 6 k() 6 Δ m() 6 4 Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 4 0 Β) 4 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 0 Β) 44 Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) 7 6 0, Β) Να λύσετε τις ανισώσεις: 6 Α) 5 0, Β) Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Γ) , Β) ( 8 7)( 9) Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) Β), Β) Δ) , - 48 Να λύσετε τα συστήματα ανισώσεων: Α) Β) 49 Να λύσετε τις ανισώσεις Α) B) Γ) Για κάθε κ R να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: κ κ 0 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

22 Α Λυκείου Άλγεβρα Να λύσετε τις ανισώσεις: Α) Β) 4 ( ) 4 Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις και ; - 4 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) Β) f() Το τριώνυμο f 5 6 έχει ρίζες τους αριθμούς και 6 Ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή; Α) f 0, 999 0, B f 0, 999 0, Γ) f Δ) f Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εξίσωση λ λ λ 0 Α) Να έχει μία μόνο ρίζα Β) Να είναι αδύνατη 46 Έστω f (λ ) λ λ, λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η ανίσωση f() 0 να αληθεύει για κάθε R Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f Να βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η ανίσωση: για κάθε R λ- λ+ λ+>0 να είναι αδύνατη 48 Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ, βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ λ λ 0 49 Δίνεται η εξίσωση λ λ λ λ λ λ 0 Α) Βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση έχει ρίζες άνισες Β) Υπάρχει τιμή του λ ώστε να έχει η εξίσωση άπειρες ρίζες; 440 Να βρείτε το λ ώστε το τριώνυμο λ 4 λ να έχει: f() 4 Α) σταθερό πρόσημο για κάθε R, Β) αρνητικό πρόσημο για κάθε R 44 Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του λ R για τις οποίες η ανίσωση λ λ λ 0 να αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του 44 Να προσδιοριστεί ο * λ R ώστε η ανίσωση λ λ λ 0 να είναι αληθής για κάθε R 44 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωης λ λ λ 0, λ R να βρεθεί ο λ R ώστε Έστω, ρίζες της εξίσωσης λ λ 0 λ R Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει 445 Δίνεται το τριώνυμο f() λ 4 λ 6, R, λ R Α Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές Β Αν, R είναι ρίζες του f βρείτε: α) για ποιες τιμές του λ R ισχύει 0 β) για ποιες τιμές του λ R ισχύει Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

23 Α Λυκείου Άλγεβρα Να βρεθούν οι τιμές του R ώστε η σχέση να ισχύει για κάθε πραγματικό 447 Α) Να λυθεί στο R, η εξίσωση - λ λ λ 0 (), λ R Β) Βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ότι d(, ) όπου, R οι ρίζες της () 448 Έστω η εξίσωση 0 με ρίζες τις α,β Αποδείξτε ότι Δίνεται το τριώνυμο α,β R Αν, f() α β με R είναι οι ρίζες του f και f ισχύει Α Να δείξετε ότι α 6, β 5 Β Να λυθεί η ανίσωση f Αν για τους αριθμούς α,β,γ ισχύει γ α β γ 0, α 0, να αποδείξετε ότι: A) Η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και α β γ 0 δεν μπορεί να B) Η α β γ 0 έχει δύο ρίζες άνισες Γ) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να 0 αποδείξετε ότι: Δ) Να αποδείξετε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσωσης θα είναι στο διάστημα 0, 45 Έστω Να αποδείξετε ότι: με 0 P 00 A) Αν P 0 για κάθε R τότε P B) Αν είναι 00, τότε η εξίσωση 45 Δίδεται η συνάρτηση IR και 0 f() με Α Αν ισχύει η σχέση f() 0 για κάθε IR να αποδείξετε ότι f(00) 0 Β Αν ισχύει η σχέση να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες (mathematicagr) 45 Αν για κάθε IR ισχύει: ( )( ) 0 να δείξετε ότι: 454 Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ( ) (mathematicagr) 455 Να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του πραγματικού ώστε η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα 456 Αν ρίζες, της εξίσωσης ικανοποιούν τη σχέση: 0 να και, να αποδείξετε ότι οι 0, 457 Για ποιες τιμές της παραμέτρου, μία ακριβώς ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0,) ; ( ) 0 (mathematicagr) 458 Να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής 0, όπου, R που να έχει ως λύσεις τους αριθμούς και 459 Έστω η εξίσωση 0 που έχει ρίζες τις, Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων A 4 9 και B έχει ρίζες πραγματικές Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

24 Α Λυκείου Άλγεβρα ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική Πρόοδος 50 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο όταν το άθροισμα των S0 00 και Σε αριθμητική πρόοδο ισχύει α7 α7 0 και α9 α0 40 Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που βρίσκονται μεταξύ του α 8 και α 5 50 Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία είναι S0 60 και S 50 Για ποια τιμή του ακεραίου οι αριθμοί, 5, 9 είναι διαδοχικοί αριθμητικής προόδου; 504 Βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με άθροισμα και γινόμενο Αν οι αριθμοί α, β, γ R είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι οι α βγ, β γα, γ αβ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Ποιος είναι ο λόγος των διαφορών των δυο προόδων αυτών; 506 Αν α,α,α v είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να δείξετε ότι: ν α α α α α α α α v v ν 507 Αν α,α,,αv είναι -μη μηδενικοί- διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι v α α α α α α α α α α 4 v v v 50 Αποδείξτε ότι η ακολουθία με γενικό όρο αν 4ν 5, νν* είναι αριθμητική πρόοδος Να βρείτε το άθροισμα των όρων της που είναι μεταξύ των αριθμών 7 και 99 5 Για μια ακολουθία ισχύει v S v v, * Αποδείξτε ότι είναι αριθμητική πρόοδος 5 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος,,,4,5, και παίρνουμε ομάδες όρων ως εξής:,,, 4,, 4,5,6,7, 4, 5,6,7,8,9,0 Να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων της ν-οστής ομάδας 5 Έχουμε ν κιβώτια μέσα στα οποία τοποθετούμε αριθμημένες μπάλες ως εξής: Στο πρώτο κιβώτιο τη μπάλα με τον αριθμό στο ο τις μπάλες, στο ο τις 4, 5,6 κοκ Α Πόσες μπάλες έχει το ν -οστό κιβώτιο; Β Να δειχτεί ότι στο ν -στό κιβώτιο η μπάλα με τον μικρότερο αριθμό είναι η ν (ν ) Γ Σε ποιο κιβώτιο βρίσκεται η μπάλα με τον αριθμό 00 ; Δ Αν v 50, πόσες μπάλες έχουμε συνολικά; 508 Να παρεμβάλετε μεταξύ του 5 και του 50 όρους ώστε να αποτελούν όλοι μαζί διαδοχικούς αριθμητικής προόδου και ο τελευταίος από τους παρεμβαλλόμενους όρους να είναι -πλάσιος από τον δεύτερό τους; 54 Να αποδείξετε ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο με * λ, μ, ν Ν ισχύει ότι λ μ μ ν ν λ ν λ μ 0 ν λ μ Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 4

25 Α Λυκείου Άλγεβρα Γεωμετρική Πρόοδος 55 Να βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο σε κάθε μια από τις περιπτώσεις: A) Αν S4 0 και α5 α6 α7 α8 480 B) Αν S 6 και α4 α 5 56 Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους αριθμούς, 6, 58 για να γίνουν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; 57 Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο, αν το άθροισμά τους είναι 65 και η διαφορά των άκρων όρων τους είναι Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5 59 Αν (α ν ), (β ν ) είναι δυο γεωμετρικές πρόοδοι εξετάστε σε ποια περίπτωση σχηματίζεται γεωμετρική πρόοδος:,,, 50 Να αποδειχτεί ότι η ακολουθία με γενικό 5 Βρείτε τρεις αριθμούς οι οποίοι: είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχουν άθροισμα 5 και αν σε αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς, 4, 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί γεωμετρικής προόδου 54 Αν αβ, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί β, γ, β α αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου 55 Α) Να δειχθεί ότι η ακολουθία για την οποία ισχύει ότι S v v είναι γεωμετρική πρόοδος Β) Πόσους όρους της πρέπει να πάρουμε, για να έχουμε άθροισμα 484 ; 56 Να αποδείξετε ότι ο Αριθμητικός μέσος δύο θετικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος του γεωμετρικού μέσου τους 57 Να βρεθούν τρεις αριθμοί, y, ω αν αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, έχουν άθροισμα 8 και αν ο μεσαίος αυξηθεί κατά τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου όρο ν ν α είναι γεωμετρική πρόοδος 58 Οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι 5 Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α α4 α α Να βρεθεί ο λόγος της 5 Να βρείτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως τα εξής: α) οι τρεις πρώτοι είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, β) οι τρεις τελευταίοι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και γ) το άθροισμα των άκρων όρων είναι 4 και των μεσαίων αριθμητικής προόδου και οι αριθμοί α, β, γ 5, δ 5 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου Nα βρεθούν οι α,β,γ,δ (mathematicagr) 59 Μια μπάλα πέφτει από ύψος 60 μέτρων και αναπηδά σε έδαφος φθάνοντας κάθε φορά στο του ύψους της προηγούμενης αναπήδησης Να βρείτε σε τι ύψος θα φθάσει στην 6 η αναπήδηση Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 5

26 Α Λυκείου Άλγεβρα ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η έννοια της Συνάρτησης 60 Απλοποιείστε τον τύπο της συνάρτησης 4 4 f αν και να βρείτε την αν τιμή της παράστασης: f f 0 f 60 Έστω οι συναρτήσεις f και g με 609 Αν f για κάθε R, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:, f, f f(0), f f() f 60 Αν f ισχύει f f 0 τότε να δείξετε ότι, f(),, - 0 g() 0 τα f( ), f(0), f( ), f( /4), g(0) Βρείτε 6 Αν f, R,δείξτε ότι για κάθε α β α,β R ισχύει f α f β f 60 Αν f 6, να βρεθούν οι, R ώστε να ισχύει: f α 8 και f 8 β 6 Αν να λύσετε την εξίσωση f f f f 0 f 604 Για την συνάρτηση f α β ισχύουν f και f 0 Βρείτε το f α 4, 605 Έστω ότι f() Να α β, βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να βρεθούν τα, R ώστε f(-)=f() 606 Αν f()= βρείτε για ποια 5 5 τιμή του 607 Αν f R ισχύει f λf 0 57, να δείξετε ότι: A) f f f f 8 B) f f f f 608 Aν για την συνάρτηση f α β ισχύουν f και f 0 να βρείτε το f 6 Δίνεται η συνάρτηση α R και f( ) 6 f() α, όπου Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε τη τιμή του α Γ) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f ; 64 Αν f δείξτε ότι 4 65 Aν για την συνάρτηση f ισχύει f f 0 f f τότε να βρεθεί ο τύπος της 66 Δίνεται η συνάρτηση f με f Α) Να βρείτε τη g με g Β) να υπολογίσετε τα g 0, f ( ) f () g 67 Αν f 5, να αποδείξετε ότι το f ( ) f ( ) κλάσμα είναι ανεξάρτητο των, Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 6

27 Α Λυκείου Άλγεβρα Αν f, R να λύσετε την εξίσωση f f f 0 f 69 Δίνεται η συνάρτηση f, R Αν κ λ, δείξτε ότι f κ λ f κ λ 0 60 Αν f, R, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α) f Β) f Γ) f f (0) Δ) f f ( ) 6 Αν f, R να αποδείξετε ότι για α β ισχύει α β κάθε, R 6 Για τη συνάρτηση f αποδείξετε ότι ( ) α β f f f να f f f, 0, 6 Δίνεται η συνάρτηση: 4, αν f ( ) 4, αν Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (), f ( ), f () Γ) Να λυθεί η εξίσωση: f ( ) 0 65 Δίνεται η συνάρτηση α R και f ( ) 6 f ( ) α, όπου Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να βρείτε τη τιμή του α Γ) Το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών της f ; 66 Έστω η συνάρτηση f με Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β) Να λύσετε την εξίσωση: f f () () Δίνεται η συνάρτηση f()= f ( ) 4 α Nα βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f 8 β Να δείξετε ότι f 0 και γ Να δείξετε ότι f 0 f 5 68 Δίνεται η συνάρτηση 5 α+, άν f ( ) 9, άν Α) Να βρείτε την τιμή του α Β) Λύστε την εξίσωση: 69 Δίνεται το τριώνυμο f 5 όπου α R ( ) f (0) f ( ) 4 Α) Να βρείτε το πρόσημο του f ( ) 64 Έστω η συνάρτηση Β) Λύστε την ανίσωση: 4 ( ) α β, f ( ) α β, A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Αν ισχύει ότι f ( ) f (0) και f () να υπολογισθούν τα α,β 60 Δίνεται η συνάρτηση: f, αν > 4-5, αν 0-7 A) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f καθώς και το f Β) Αν το f είναι μια λύση της εξίσωσης α β β 0 να υπολογίσετε τα α, β R και την άλλη λύση της εξίσωσης Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 7

28 Α Λυκείου Άλγεβρα Πεδίο Ορισμού 6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Β) f Γ) h Δ) f 6 Βρείτε τα πεδί6α ορισμού: Α) f() 5 6 Β) f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) f Β) f 64 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: f g m 5 k 65 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των: Α) f Γ) f 4 Β) f Δ) f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) Β) f f ( ) 67 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) h Β) f Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση - f() = ορίζεται στο R; α 69 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f 4 A) Να βρεθούν οι τιμές του, για τις οποίες έχει νόημα ο τύπος της f B) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f 640 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) f Β) f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συνάρτησεων Α) f Β) f 64 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) f Β) 6 f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συνάρτησεων Α) f Β) f 644 Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) f Β) f Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 8

29 Α Λυκείου Άλγεβρα Βρείτε τα πεδία ορισμού των συνάρτησεων Α) f f 4 9 Β) 646 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων Α) f Έστω συνάρτηση λ πεδίο ορισμού το R Α) Είναι δυνατόν να ισχύει λ ; f με Β) Αν το σημείο, ανήκει στη γραφική παράσταση της f να υπολογίσετε το λ Γ) Για την τιμή του λ που βρέθηκε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f Β) f Βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f Α) f 9 Β) f 5 Γ) 648 Βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ R ώστε η συνάρτηση λ ορισμού το R f να έχει πεδίο Γεωμετρικές Απόσταση Σημείων 650 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A,, B0,, Γ, είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 65 Δίνεται η συνάρτηση f()= Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α,f() και Β, f( ) 65 Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΓ, ΒΓ, όπου A,, B4, 65 Δίνονται τα σημεία A,, B, 4 Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας y= ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ και ΜΒ Συμμετρικά Σημεία 654 Δίνονται τα σημεία Α, 4α, B, Γ 4, β 6,, Δ γ, 4, Ε,, και Ζδ, Βείτε τους α,β, γ, δ R αν: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον, τα Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς το 0,0, το Γ βρίσκεται στον και το Δ βρίσκεται στον y y 655 Να βρεθεί η τιμή του λ στις περιπτώσεις : Α) Α( λ, λ ), B, 4 5λ να είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Ο 0,0 Β) A λ, 4λ, Β λ, λ να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y Γ) A 4,, B 4, λ να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 9

30 Α Λυκείου Άλγεβρα Γραφική Παράσταση 66 Εξηγήστε γιατί ο κύκλος δεν είναι γραφική 656 * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; Στις περιπτώσεις που είναι να σημειώσετε το πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών y A B y παράσταση συνάρτησης 664 Να επιλυθούν γραφικά οι ανισώσεις: 4 0, 4 0, και Γ 0 y y 0 y y Δ Ε 0 y y 0 y y Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την τιμή του k για την οποία το σημείο Μ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Α) f()= + k, M(, 6) Β) g()=k, M(, 8) Γ) h()=k, M(, 8) 657 Δίνεται η συνάρτηση f α Nα βρεθεί το α R ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο M4, 658 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες y y, και την ευθεία y 659 Δίνεται η συνάρτηση: f μ με μ<0 Να βρεθεί το μ ώστε το C f να τέμνει τους άξονες σε σημεία που απέχουν απόσταση ίση με Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: Α) f και g Β) f και g 66 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()=+, g()=-+, h()=+ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από αυτές 666 Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες Α) f() 4 Β) g() ( )( 6) Γ) h() 667 Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f όταν το πεδίο ορισμού της είναι: Α) 0, Β),0 Γ),0, Δ), Ε), 0, 668 Nα σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των Α) f Β) f Γ) 4 f Δίνεται η συνάρτηση g με g() Α) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης g πιο απλά, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση 66 Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της 4 συνάρτησης f()= 0,,, Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 0

31 Α Λυκείου Άλγεβρα Ευθεία 675 Δίνεται η συνάρτηση f 670 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y= + με τον άξονα λ λ 67 Δίνεται η ευθεία ε : y λ λ Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε να είναι: Α) παράλληλη στην ευθεία y=-, Β) παράλληλη στην ευθεία y 5, Γ) να διέρχεται από το σημείο (,-) λ 4 67 Για την ευθεία ε: y 5, να βρείτε: λ- Α) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: y 6 Β) Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A(, ) να ανήκει στην γραφική παράστασης της ευθείας ε Γ) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναι παράλληλη προς τον άξονα Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες 67 Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση ε : α y 4 η οποία διέρχεται από το σημείο M(, 6) Α) Να βρεθεί η τιμή του α Β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της ευθείας ε με τους άξονες Γ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ε Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας ε με την παραβολή 7 y Έστω η συνάρτηση f λ, λ 0 Να βρείτε: Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση και τους άξονες Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνω τριγώνου να είναι τμ Α) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη τιμή Β) Να γίνει η γραφική της παράσταση Γ) Να βρείτε αν υπάρχουν- τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με την ευθεία y Ε) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης και την ευθεία y Στ) ισοσκελές Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι 676 Έστω τα σημεία A κ, και Β,κ, όπου κ R Α) Να αποδείξετε ότι AB 5 κ Β) Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ Γ) Αν κ 0 να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y διέρχεται από τα Α και Β 677 Bρείτε την εξίσωση της ευθείας που Α) περνάει από το σημείο Μ, και είναι κάθετη στην ευθεία y 5 0 Β) περνάει από το σημείο A, και είναι παράλληλη στην ευθεία y 5 0 Γ) διέρχεται από το σημείο A, και είναι κάθετη στην ευθεία y Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία : A,, B0, 679 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y με τον άξονα 680 Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία A,, B, Γ, 4, 68 Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου A,0 από την ευθεία : y Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

32 Α Λυκείου Άλγεβρα ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 68 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R A) Να βρείτε το f(0) και f() B) Να λύσετε την εξίσωση: f() 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση: f() 0 Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f() Δίνεται η συνάρτηση f() Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα Γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y Έστω μια συνάρτηση y g της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Παρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετε στα ερωτήματα Α) Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g; Β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: g() g( ) g( ) Γ) Είναι σωστό ότι g(0)>g(); (γιατί;) Δ) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()=; Ε) Για ποιες τιμές του ισχύει ότι g()>; 685 Έστω η συνάρτηση f με f() κ +,, κ R A) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε το σημείο Α(,8) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α ερώτημα: Β) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α(, 8) και Β(8, f(8)), 686 Αν f(), ανίσωση: f f 4, να λυθεί η 687 Δίνονται οι συναρτήσεις: g, 0 και f()= Nα βρεθούν τα σημεία, 0 τομής των C f, C g καθώς και η απόστασή τους 688 Δίνεται η συνάρτηση : f() αν 0 με λ R 6λ λ αν 0 Α) Να βρείτε το λ ώστε f 0 f 8 Β) Αν λ τότε: α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων A,f() και B 5, f( 5) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f 4 f 9 4 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

33 Α Λυκείου Άλγεβρα Έστω η συνάρτηση f() 4 Α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία ; Γ Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 9 f f 7 f f Δίνονται οι ευθείες: ε : y λ με λ R και ε : y λ 4 Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ε και ε να είναι παράλληλες Β) Για λ 5 : ε και α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν οι ε β) Αν A και Β είναι τα σημεία στα οποία η ε τέμνει τον και η ε τον y y αντίστοιχα, να βρείτε την απόσταση AB 69 Δίνεται η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να αποδείξετε ότι η f f 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση f 69 Έστω η συνάρτηση f Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να αποδείξετε ότι η f f Έστω η συνάρτηση f 4 Α) Να αποδείξετε ότι η f f 0 Β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης f() f( ) 695 Έστω η συνάρτηση f 0 0 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Αf της f, Β) Να δείξετε ότι f, για κάθε Αf Γ) Να λύσετε την εξίσωση 9 =f() 696 Έστω η συνάρτηση f() 9 Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f Β) Να αποδείξετε ότι η f f 0 Γ) Υπολογίστε την τιμή της παράστασης f(008) f( 008) 697 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι: 69 Δίνεται η συνάρτηση : i) y ii) y αν 0 f() με λ R 6λ λ αν 0 Α) Να βρεθεί ο λ ώστε f(0) f 8 Β) Αν λ τότε: O iii) y O α) Να υπολογίσετε την τιμή της f 8 β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων, f και 0, f 0 O 4 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ

34 7 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 70 Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 0 (), λr Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει πραγματικές και ίσες ρίζες Β) Αν 4λ και, είναι οι ρίζες της (), βρείτε την τιμή της παράστασης: 6 6 A 70 Δίδονται τα τριώνυμα Ρ 4 4 Q, K 5 6 Α) Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε R Β) Να λυθεί η ανίσωση Ρ() Q() 0 K() 70 Δίνεται η εξίσωση α α β β 0 με α 0, β R Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των α,β Β) Αν, είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α,με α να αποδείξετε ότι β α 704 Οι αριθμοί και είναι οι ρίζες εξίσωσης ου βαθμού με S, P τέτοια ώστε Ρ S και Ρ S 0 Α) Να δείξετε ότι S = και Ρ = 4 Β) Να βρείτε την εξίσωση Γ) Να λύσετε την ανίσωση κ λ 0 που έχει ρίζες τους ρ και ρ κ λ Έστω η εξίσωση λ λ λ 0 με λ Α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό ; Β) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Γ) Αν ρ, ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές να ισχύει η ανίσωση: ρ ρ ρ ρ 706 Έστω f (λ ) λ λ, όπου λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η ανίσωση f() 0 αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές του Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η συνάρτηση βρίσκεται εξολοκλήρου πάνω από την ευθεία y f λ (5λ ) 4λ, λ 0, Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 4

35 708 Έστω η συνάρτηση f() (λ-)-λ Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύο ρίζες άνισες Β) Αν, ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε: Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(, λ) 5-λ όταν η f έχει μία διπλή ρίζα 709 Δίνεται η συνάρτηση f (λ ) λ με λ IR, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή που περνά από το σημείο Α(,0) Α) Να βρείτε το λ Β) Για την τιμή λ= να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Γ) Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρ, ρ όπου, οι ρίζες της f()=0 70 Δίνεται η συνάρτηση : f Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της 6 6 Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της C f με τους άξονες και y y Γ) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ 7 Δίνεται η συνάρτηση f κ κ, όπου κ R A) Αν κ 0,για ποιες τιμές του κ, η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ; B) Για κ=0 να λυθεί η ανίσωση 00 f() Γ) α Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ(,) β Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες 7 Δίνονται οι Α 4, Β Α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α() και Β() Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε την παράσταση f Γ) Να λύσετε την ανίσωση f 0 ( )Β() Α() 7 Έστω η εξίσωση λ λ- 0 με λ Α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις και Γ) Να βρείτε το λ ώστε: 5 Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 5

36 74 Δίνεται η εξίσωση λ- 0 () με ρίζες, 5 0 A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η () Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχηματίσετε άλλη εξίσωση ου βαθμού με ρίζες ρ, ρ 75 Δίνεται η συνάρτηση Α) Να βρείτε τα αν f αν f, f, f και f Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων,f και, f Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f και f 76 Δίνεται η εξίσωση (α ) α 0, α R () Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε τιμή του α Β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (): α) να βρείτε τις τιμές του α ώστε 005 β) για α, να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και 77 Έστω οι συναρτήσεις: Α) Να βρεθεί η τιμή του λ R f() (λ ) 4λ και g() 4μ μ με μ 0 ώστε η γραφική παράσταση της f να είναι ευθεία Β) Να βρεθεί η τιμή του μ R ώστε η γραφική παράσταση της g να εφάπτεται στον Γ) Για τις τιμές των λ, μ που βρήκατε να βρείτε τα κοινά σημεία των C f,c g Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η C f τους άξονες και y y και να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται 78 Έστω η εξίσωση μ =0, μ R () Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ R Β) Αν ρ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του μ : α) η παράσταση Α ρμ+ρ (μ ρ ) παίρνει το πολύ την τιμή β) οι ευθείες ε : y ρ 006 και ε : y (7 ρ ) 007 είναι παράλληλες 79 Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η εξίσωση και άνισες, τις και Α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία παίρνει τιμές ο λ Β) Να λύσετε την ανίσωση: λ 0, η οποία έχει δύο ρίζες πραγματικές 0, ως προς λ Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 6

37 70 Δίνονται τα τριώνυμα: P 5 4, Q 9 και Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P 0, Q 0 Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f P K και K 0 K Q 7 Δίνεται η συνάρτηση f 6 4 Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της Β) Να λύσετε την εξίσωση f Γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 0 f 7 Για κάθε λ R ε : y λ 6 5 και, δίνονται οι ευθείες ε : y 5λ 8 Α) Να βρείτε αν υπάρχει- τιμή του λ ώστε η ε να διέρχεται από το σημείο,4 Β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε και Γ) Αν λ να βρείτε τα σημεία στα οποία η ε να είναι παράλληλες ε τέμνει τους άξονες 7 Δίνεται η συνάρτηση f() Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Af της f Β) Να αποδείξετε ότι: 0, για κάθε πραγματικό αριθμό Γ) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f απλοποιείται στη μορφή f(5) Δ) Να λύσετε την ανίσωση f() f(), A 4 74 Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) ( λ ) ( λ ) λ,όπου το λ R και λ Δ) Να υπολογίσετε την διακρίνουσα Δ του παραπάνω τριωνύμου ου βαθμού ως συνάρτηση του λ Δ) Να λύσετε (ως προς λ) την εξίσωση :Δ=0 Δ) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα 75 Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ) Γ) Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 4 5 0, β) 4 0 Γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Γ) Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 7

38 76 Δίνονται οι παραστάσεις: Α 6 9 με 0 και Β 8 8 B Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α 6 9 είναι ανεξάρτητη του Β Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Β 8 8 Β Αν Α και Β να λύσετε την εξίσωση: ω 4 5 ω Α Β Α Β 77 Δίνονται οι συναρτήσεις 5 κ και g λ f Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει το άξονα σε δύο διαφορετικά σημεία για κάθε τιμή του κ R 4 με κ, λ R Να βρείτε την τιμή του λ R, ώστε η γραφική παράσταση της g να είναι παράλληλη προς τον άξονα Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και g, για κ και, να βρείτε: α) Την τιμή της παράστασης: A f g f g β) Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g 78 Έστω f η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τους αριθμούς f (0), f (8), f (4) δ) το μήκος του τμήματος ΑΒ ε) την τιμή του R για την οποία το σημείο Κ(6, λ -) ανήκει στη γραφική παράσταση της f Μ Παπαγρηγοράκης / 4 ο ΓΕΛ Χανιά σελ 8

39 Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

40 4 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -- Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΘ 4_96 Η εξέταση σε έναν διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα Στο διαγωνισμό εξετάσθηκαν 00 μαθητές Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν σωστά 0 μαθητές Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή α Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα β Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα ii) iii) iv) Να βαθμολογηθεί με άριστα Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα Να πέρασε την εξέταση ΤΘ 4_064 Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά α Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι β Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι ΤΘ 4_644 Μια ημέρα, στο τμήμα ενός Λυκείου, το 4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά μαθήματα Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα μαθητή για να τον εξετάσει Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: : ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα : ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία α Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος β Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα γ Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα Μ Παπαγρηγοράκης

41 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 5 _Πραγματικοί Αριθμοί ΤΘ 4 _874 Δίνονται οι μη μηδενικοί αριθμοί,, με για τους οποίους ισχύει: α Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι αντίστροφοι β Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 5 ΤΘ 5 _070 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί,,, με 0 και ώστε να ισχύουν: 4 και 4 Να αποδείξετε ότι και 5 και να βρείτε την τιμή της παράστασης: _Διάταξη πραγματικών αριθμών ΤΘ 6 _486 Αν 0, τότε να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,,,, ΤΘ 7 _487 A) Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: y 6y 0 0 B) Από το ορθογώνιο ABZH αφαιρέθηκε το τετράγωνο πλευράς y α Αν ισχύει 5 8 και y, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η τιμή της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου σχήματος ΤΘ 8 _54 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα Αν για τα μήκη και y ισχύει: 4 7 και y, τότε: α Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου β Αν το μειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΤΘ 9 _85 Για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύουν: 4 και 4 Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: α) β ΤΘ 0 _870 Δίνονται οι παραστάσεις: 9 και α Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των,, όπου, β Για ποιες τιμές των, ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ΤΘ _759 Δίνονται πραγματικοί αριθμοί,, με 0 και 0 Να αποδείξετε ότι: α 4 4 β

42 6 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών ΤΘ _996 Δίνεται η παράσταση: A y, με, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 4 και y Να αποδείξετε ότι: A y και ότι 0 A 4 ΤΘ _09 Δίνεται η παράσταση: A α Για, να δείξετε ότι: β Για, να δείξετε ότι η παράσταση έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του ), την οποία και να προσδιορίσετε ΤΘ 4 _70 Δίνονται οι παραστάσεις 4 και, όπου πραγματικός αριθμός α Για κάθε να αποδείξετε ότι β Υπάρχει, Μ Παπαγρηγοράκης ώστε να ισχύει ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ΤΘ 5 _884 Για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: d, Να αποδείξετε ότι η παράσταση: K είναι ανεξάρτητη του ΤΘ 6 _7 Δίνονται δύο τμήματα με μήκη και y, για τα οποία ισχύουν: και y 6 4 α Να δείξετε ότι 5 και y 0 β Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και y ΤΘ 7 4_0 Δίνονται τα σημεία A, B και M που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς, 7 και αντίστοιχα, με 7 α Δώστε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων, 7 και 7 β Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: γ Να βρείτε την τιμή της παράστασης A 7 γεωμετρικά και αλγεβρικά 4 Ρίζες πραγματικών αριθμών ΤΘ 8 _96 Δίνεται η παράσταση: A 4 4 α Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A ; β Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του ΤΘ 9 _98 α Να δείξετε ότι: 0 4 β Να συγκρίνετε τους αριθμούς 0 και ΤΘ 0 _950 Δίνεται η παράσταση: 4 4 A 6 0

43 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 7 α Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση A ; β Αν, να αποδείξετε ότι: ΤΘ _955 Δίνονται οι αριθμοί: A 6 και B 6 α Να δείξετε ότι: A B 4 A A A 0 β Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς:,, ΤΘ _76 Δίνεται η παράσταση K α Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το, ώστε η παράσταση K να έχει νόημα πραγματικού αριθμού β Αν, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του ΤΘ _ Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:,, 6 α Να δείξετε ότι: β Να συγκρίνετε τους αριθμούς:, 6 6 α Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5 και Εξισώσεις ου βαθμού ΤΘ 4 _485 Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο α Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ( ), β Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση γ Για ποια τιμή του η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; ΤΘ 5 _8 Δίνεται η παράσταση Να δείξετε ότι A 4 και να λύσετε την εξίσωση ΤΘ 6 _40 Δίνεται η εξίσωση 9, με παράμετρο Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε την λύση αυτή ΤΘ 7 4_0 Σε έναν άξονα τα σημεία A,B και M αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9 και αντίστοιχα α Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων 5 και 9 β Αν ισχύει 5 9, i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου M αναγνωρίζετε; ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό που παριστάνει το σημείο M Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας 06-07

44 8 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων Εξισώσεις ου βαθμού ΤΘ 8 _ () με παράμετρο Δίνεται η εξίσωση α Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), βρείτε για ποια τιμή του ισχύει: 5 0 ΤΘ 9 _09 Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 5 5 και 5 5 ΤΘ 0 _75 Δίνεται το τριώνυμο 5 α Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες και β Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς και ΤΘ _86 Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και α Να αποδείξετε ότι: β Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε ΤΘ _409 Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 0 cm και εμβαδό E 4 cm α Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου β Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου ΤΘ _47 Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο α Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το ώστε ΤΘ 4 4_455 Δίνεται το τριώνυμο: ( ), 0 α Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 β Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών γ Αν 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ii) να αποδείξετε ότι, όπου, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου ΤΘ 5 4_4558 Δίνεται το τριώνυμο: f() ( ) 0 α Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες θετικές για κάθε 0 Μ Παπαγρηγοράκης

45 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 9 β Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, τότε: i) να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ii) να βρείτε την περίμετρο του ορθογωνίου ως συνάρτηση του και να δείξετε ότι 4 για κάθε 0 iii) για την τιμή του που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; ΤΘ 6 4_4654 α Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε β Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: 4 0 με παραμέτρους,, Να δείξετε ότι: Αν 0, 0 και 4 0, τότε η εξίσωση ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: α 5 α 0, με παράμετρο α 0 α) Να αποδείξετε ότι αν β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες 5 α, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, που είναι αντίστροφοι πραγματικοί αριθμοί γ) Να λύσετε την εξίσωση: 5 0 ΤΘ α) Να λύσετε την εξίσωση: 4 0 () β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει: α αβ 4β 0 i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α β είναι λύση της εξίσωσης () ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β ΤΘ λ λ λ, λir{0} Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0} β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας δ) Για κάθε λ 0, αν, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι ΤΘ λ λ λ, λir{0} Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir{0} β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών 06-07

46 40 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων γ) Αν λ 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας δ) Αν 0 λ και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνεται τους αριθμούς και ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: λ 6 0 () με παράμετρο λir α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθμός ρ i) Να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης λ 6 0 ii) Να δείξετε ότι : ρ 0 και ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 6 λ 0 ΤΘ α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: 4 β γ 0 () με παραμέτρους β,γir Να δείξετε ότι: Αν γ 0 τότε: i) ii) β 4γ 0 η εξίσωση () έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: 5λ 0, με παράμετρο λir α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λir, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες (Μονάδες 7) β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λir, για τις οποίες ισχύει: ii) Για λ, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A ΤΘ Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 4 λ 6 0, με λ(0,4) λ α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου β) Να αποδείξετε ότι Π 6, για κάθε λ(0,4) γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: λ 0, με παράμετρο λ α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους β) Να δείξετε ότι: γ) Αν για τις ρίζες, ισχύει επιπλέον:, τότε να δείξετε ότι: 4 και να προσδιορίσετε τις ρίζες, και την τιμή του λ Μ Παπαγρηγοράκης

47 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 4 ΤΘ Στο διπλανό σχήμα το ABΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ Έστω Ε το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος α) Να αποδείξετε ότι Ε 6 9 με (0,) β) Να αποδείξετε ότι 9 E για κάθε (0,) γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9 ; ΤΘ Τα σπίτια τεσσάρων μαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της Δήμητρας βρίσκονται πάνω σε ένα ευθύγραμμο δρόμο, ο οποίος ξεκινάει από το σχολείο τους Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, s, A s B, s Γ και s Δ αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις: sa s, s Β s s 4 s s s s A B Γ και Δ Α Δ Β Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σημείο O και τα σημεία A, B παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σημεία Γ και Δ, που παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της Δήμητρας β) Αν επιπλέον, για τις τιμές των αποστάσεων s, A s B σε km ισχύει ότι sα sβ, 4 και sa sb 0, 45 τότε: i) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς s, A s B ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις s, A s B, s Γ και s Δ ΤΘ α α α 0, με παράμετρο α 0 Δίνεται η εξίσωση: Δ α α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ρ γ) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε: ρ ρ ΤΘ α) Να λύσετε τις εξισώσεις () και α και ρ α () β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής γ β α 0 (4), με α γ 0 Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης () και α γ 0, τότε i) ρ 0 και α β γ 0 () και ii) ο ρ επαληθεύει την εξίσωση (4) 06-07

48 4 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 4 Ανισώσεις ου Βαθμού ΤΘ 50 _99 Αν ο πραγματικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση:, να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: K είναι αριθμός ανεξάρτητος του 4 ΤΘ 5 _09 α Να λύσετε την ανίσωση 5 β Να βρείτε τους αριθμούς που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του γ Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β) ΤΘ 5 _06 α Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει: y β Αν, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με και y 4, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού E του ορθογωνίου ΤΘ 5 _05 α Να λύσετε την ανίσωση 4 β Αν α -, να γράψετε την παράσταση A 4 χωρίς απόλυτες τιμές ΤΘ 54 _75 i) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: 5 και α Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις ΤΘ 55 4_890 0, με παράμετρο Δίνεται η εξίσωση α Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του ώστε για τις άνισες ρίζες, της εξίσωσης να ισχύει η σχέση: 0 ΤΘ 56 4_08 0 Δίνεται η εξίσωση με παράμετρο 0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε ii) Αν και είναι οι δύο ρίζες της (), να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει ΤΘ 57 4_87 Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: d,5 9 Να δείξετε ότι: ΤΘ 58 4_485 Δίνεται η εξίσωση 0 με, πραγματικούς αριθμούς Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β Να αποδείξετε ότι 4 Μ Παπαγρηγοράκης

49 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 4 γ Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 0 Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες ΤΘ 59 4_4946 α Να λύσετε την ανίσωση 5 β Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης γ Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση 5 δ Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν την ανίσωση 5 ΤΘ 60 4_495 α Θεωρούμε την εξίσωση i) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση ii), με παράμετρο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Να βρείτε την τιμή του ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε β Δίνεται το τριώνυμο f(), i) Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε ii) Να λύσετε την ανίσωση f() ΤΘ 6 4_76 Δίνεται το τριώνυμο: 6 7, όπου α Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες β Να δείξετε ότι, για κάθε με 7 6, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση πραγματικές ρίζες δ Έχει η εξίσωση για 0 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; ΤΘ 6 4_779 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί και για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: α Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των, 6 7 έχει τέσσερις διαφορετικές 0 β Αν επιπλέον 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε, γεωμετρικά είτε αλγεβρικά ΤΘ 6 4_844 α Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει 4 β Θεωρούμε πραγματικό αριθμό που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη του 4 i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθμού αυτού από το 4 είναι μεγαλύτερη του και μικρότερη του 4 ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών περιέχεται η τιμή της απόστασης του από το

50 44 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 4 Ανισώσεις ου Βαθμού ΤΘ 64 _490 α Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: 0 β Να εξετάσετε αν οι αριθμοί και είναι λύσεις της ανίσωσης: 0 ΤΘ 65 _78 Δίνεται πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει d, Να δείξετε ότι: α β 4 0 ΤΘ 66 _97 α Να λύσετε την ανίσωση: 4 0 β Αν α, β δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 6 είναι 9 επίσης λύση της ανίσωσης ΤΘ 67 _544 Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: ΤΘ 68 _80 f 9, Δίνεται το τριώνυμο B α Να λύσετε την ανίσωση f 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον άξονα των πραγματικών αριθμών β Να ελέγξετε αν ο αριθμός είναι λύση του ερωτήματος (α) Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας ΤΘ 69 4_874 Δίνεται η εξίσωση: ( ) λ+5=0 (), με παράμετρο λ α Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β Αν η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς, και d(, ) είναι η απόσταση των, στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: d, 4 ΤΘ 70 4_44 Δίνονται οι ανισώσεις: και 8 0 α Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για,4 β Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός είναι κοινή τους λύση ΤΘ 7 4_7 Δίνονται οι ανισώσεις και 0 α Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για, β Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι, Μ Παπαγρηγοράκης

51 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 45 ΤΘ 7 4_6 α Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 5 6 για τις διάφορες τιμές του 0 4 β Δίνεται η εξίσωση με παράμετρο i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε,,, η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της είναι ομόσημοι αριθμοί ΤΘ 7 4_454 α Να λύσετε την ανίσωση: στο σύνολο των πραγματικών αριθμών β Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός με 0 i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς: 0,,, ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθμούς:,, iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: ΤΘ 74 4_ Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες; γ Να αποδείξετε ότι η παράσταση A αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό ΤΘ 75 4_4680 Δίνεται η εξίσωση: 0, όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης S P με παράμετρο α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες; γ Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης ΤΘ 76 4_468 Δίνεται η εξίσωση: 0 με παράμετρο α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες; 0 d, τότε να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει, γ Αν και, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει d, d, ΤΘ 77 4_468 Δίνεται η εξίσωση: 0 με παράμετρο α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 06-07

52 46 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων β Για ποια τιμή του η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ Να βρείτε το, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ΤΘ 78 4_489 Δίνεται το τριώνυμο f() με α Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β Για ποια τιμή του το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ Αν και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με i) Nα δείξετε ότι f() να είναι το σύνολο, τότε: ii) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f, f, f ΤΘ 79 4_486 Δίνεται η εξίσωση 0 με παράμετρο α Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε και ο αριθμός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης γ Για, να αποδείξετε ότι οι ρίζες, της εξίσωσης είναι αριθμοί θετικοί και ότι ΤΘ 80 4_4859 Θεωρούμε το τριώνυμο f() 4 με παράμετρο α Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; γ Αν, οι ρίζες του τριωνύμου και 4 4, β δύο πραγματικοί ώστε να ισχύει:, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου f( ) f( ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ΤΘ 8 4_5 Δίνεται το τριώνυμο: 8 α Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού β Αν 8889, είναι η τιμή της παράστασης: μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; γ Αν ισχύει 4 4, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης: ΤΘ 8 4_485 Δίνεται το τριώνυμο, 0,με ρίζες τους αριθμούς και α Αποδείξετε ότι: και β Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε (,),τότε: i) Να αποδείξετε ότι 0 ii) Να λύσετε την ανίσωση 0 8 ; Μ Παπαγρηγοράκης

53 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 47 ΤΘ 8 4_5884 Δίνεται το τριώνυμο f 6, με α Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες β Αν, τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες ii) Αν, με είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και, είναι δύο αριθμοί με 0 και, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου f f ΤΘ 84 4_5885 i) Να λύσετε τις εξισώσεις και ΤΘ 85 4_66 Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: α Να βρείτε: i) την περίμετρο του ορθογωνίου, με 0, 0 ii) το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει του β Να αποδείξετε ότι, για κάθε 0, γ Για ποια τιμή του το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με ; ΤΘ 86 4_67 α Να λύσετε την ανίσωση: β Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού K 5 6 και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας γ Αν 6, 6, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης ΤΘ 87 4_7684 Να κατασκευάσετε ένα τριώνυμο της μορφής ανίσωσης και να έχει θετική τιμή, για κάθε το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ΤΘ 88 4_7958 α Να λύσετε την ανίσωση: β Δίνονται δύο αριθμοί, 0 5 i) Να δείξετε ότι το είναι μεταξύ των, οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση: ii) Να δείξετε ότι: ΤΘ 89 4_8445 α Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου, β Αν για πραγματικούς αριθμούς, διαφορετικούς του μηδενός με για τους οποίους ισχύει 0, να αποδείξετε ότι 06-07

54 48 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: β (β 4) 0, () με παράμετρο βιr α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: β και β β) Αν, είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί, β, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΤΘ Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α ν με α και α 9 Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει αν 0 ΤΘ Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν: α4 α9 5 και α 4 Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν, ώστε αν ν ΤΘ Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) με διαφορά ω 4, ισχύει: α6 α 40 Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; ΤΘ Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι α κ και α κ, κ ακέραιος με κ α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθμός περιττός β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι α, τότε να εξετάσετε αν ο αριθμός 07 είναι όρος της προόδου ΤΘ Οι αριθμοί: 5,, 4, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού β) Αν και ο αριθμός 5 είναι ο 4 ος όρος της προόδου, να βρείτε το άθροισμα S α5 α 6 α4 ΤΘ Σε μια αριθμητική πρόοδο α ν, ο ος όρος είναι α 8 και ο 8 ος όρος είναι α8 α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της αριθμητικής προόδου είναι α και η διαφορά της ω β) Να υπολογίσετε τον ο όρο της γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S α α α α ΤΘ Δίνεται αριθμητική πρόοδος α ν με α 0 και α0 6 Εξετάστε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι και y της παραπάνω προόδου α ν y, ώστε να ισχύει: ΤΘ Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος α, όπου ν * ν Αν οι τρεις πρώτοι όροι της προόδου είναι: α, α 4, α, όπου, τότε, α) Να βρεθεί ο α ν όρος και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να ισούται με 04 β) να υπολογιστεί το άθροισμα S α α α 5 α5 Μ Παπαγρηγοράκης

55 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 49 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΘ Να βρεθεί ο αριθμός ώστε οι αριθμοί 4,, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: 5β β 0 (), με παράμετρο β 0 Αν, είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί, β, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ΤΘ Οι αριθμοί κ, κ και 7κ 4, κ είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι κ 4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου β) i) Να εκφράσετε το ο όρο, τον 5 ο και τον 4 ο όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του α ii) Να αποδείξετε ότι α α5 4(α α 4 ) ΤΘ Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α,β και εμβαδόν Ε, τέτοια ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι Ε (Μονάδες 0) β) Αν α β 0 τότε να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α,β και να βρείτε τα α,β ΤΘ Δίνεται γεωμετρική πρόοδος α ν με λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: α 4, α 5 5 και λ 0 α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ν ν αντίστροφο του λόγου της α β με βν αποτελεί επίσης γεωμετρική πρόοδο με λόγο τον α β) Αν S 0 και S 0 είναι τα αθροίσματα των δέκα πρώτων όρων των ακολουθιών ν ν α και ν α β αντίστοιχα, ν να αποδειχθεί ότι S 0 0 S 9 ΤΘ Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν βακτήρια Μετά από ώρα υπάρχουν 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 00, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες Συμβολίζουμε με β ν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (ν 5) i) Να δείξετε ότι η ακολουθία β ν είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της ii) Να εκφράσετε το πλήθος β ν των βακτηρίων συναρτήσει του ν iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης; 06-07

56 50 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων 6 Η έννοια της συνάρτησης ΤΘ 05 ΑΣΚΗΣΗ , Δίνεται η συνάρτηση f, με: f, 0 α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος β) Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f() και f(5) και να λύσετε την εξίσωση f 5 ΤΘ Η απόσταση y (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μια πόλη Α, μετά από λεπτά, δίνεται από τη σχέση: y 5 0, 8 α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α μετά από 5 λεπτά; β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόμετρα από την πόλη Α; ΤΘ ο Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη,y τέτοια, ώστε: y 0 α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του δίνεται από τον τύπο:, (0,0) E() 0 5 β) Να αποδείξετε ότι E() για κάθε (0,0) γ) Για ποια τιμή του (0,0) το εμβαδόν E() γίνεται μέγιστο; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; ΤΘ Για τους πραγματικούς αριθμούς α,βιr ισχύει: α Η απόσταση του αριθμού β από τον αριθμό είναι μικρότερη του α) Να αποδειχθεί ότι α β) Να αποδειχθεί ότι β α γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 4 4β πραγματικών αριθμών ΤΘ Δίνεται συνάρτηση g() 4 κ λ α) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ f β έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο ΙR των, η οποία έχει πεδίο ορισμού το ΙR{,} β) Για κ & λ, απλοποιήστε τον τύπο της g και να δείξετε ότι g(α ) g(α), όταν α(,)(,) ΤΘ Δίνεται η εξίσωση: λ λ 0 με παράμετρο λir α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αποδείξτε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λir β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f() λ λ να έχει πεδίο ορισμού το IR Μ Παπαγρηγοράκης

57 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 5 6 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση f, με f Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f καθώς και τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y ΤΘ Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν μοναδικό κοινό σημείο ΤΘ f Δίνονται οι συναρτήσεις: και g λ λ, IR και λ παράμετρος με λ 0 α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C και f C g έχουν για κάθε τιμή του λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C και f C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό; γ) Αν λ και, ώστε να ισχύει: ΤΘ f α α είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των f Δίνονται οι συναρτήσεις και g α με αir C και C g, να βρεθεί η παράμετρος λ α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,) για κάθε τιμή του α β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη, τότε: i) Να βρείτε την τιμή του α ii) Για την τιμή του α που βρήκατε, υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g; γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο σημεία τομής ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f και να δείξετε ότι για κάθε A ισχύει: f β) Για A, να λύσετε την εξίσωση: ΤΘ f 4 α f 4f 5 0 Δίνονται οι συναρτήσεις: και g α 5, με αir Αν ισχύει ότι f g Α) να αποδείξετε ότι α και να λύσετε την εξίσωση: f g Β) να λύσετε την ανίσωση: f g και την εξίσωση: f g f g ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση: f() 4 α τότε: α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το IR β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A 0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι α και να λύσετε την εξίσωση f() 06-07

58 5 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων ΤΘ Θεωρούμε τις συναρτήσεις f() και g() α, με IR και αir α) Για α, να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέμνονται σε δύο σημεία γ) Για α, να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι ομόσημες ή ετερόσημες ΤΘ Δίνονται οι συναρτήσεις f() ( ) 4 και g() με IR α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα β) Να δείξετε ότι για κάθε IR η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g ΤΘ Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: IRIR και της συνάρτησης g Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε: α) Τις τιμές του για τις οποίες ισχύει f β) Τις τιμές f(), f(0), f() γ) Τις τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g δ) Τις τιμές του, για τις οποίες η παράσταση A f έχει νόημα πραγματικού αριθμού ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να αποδειχθεί ότι f,, β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες και y y γ) Να λύσετε την ανίσωση f 0 ΤΘ α α Δίνεται η συνάρτηση f, όπου αιr α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδειχθεί ότι f α για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f γ) Να βρεθεί η τιμή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,) δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y Μ Παπαγρηγοράκης

59 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 5 6 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() α β ΤΘ f α β, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί Δίνεται η συνάρτηση α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(,6), Β(,4) να βρείτε τις τιμές των α,β β) Αν α και β 5, να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και y y ΤΘ f α β Δίνεται η συνάρτηση, με α,βιr, για την οποία ισχύει: f 0 5 και α) Να δείξετε ότι α και β 5 f β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες και y y γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ΤΘ f Δίνονται οι συναρτήσεις και g, ΙR α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου O(0,0), να αποδείξτε ότι Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση f, με f() 6 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι f(), για κάθε A γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για 0 ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση f, με f() 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες και y y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β ΤΘ Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου Α με πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β με πλευρά (d ) cm α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 00 πλακάκια τύπου Α είτε με 8 τύπου Β, να βρείτε: i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου ii) Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν 06-07

60 54 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων ΤΘ Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς cm 5 0 στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια cm στο πάνω και στο κάτω μέρος της και cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήμα) α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση: E 4 β) Να βρεθεί η τιμή του ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων να είναι 5 cm γ) Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον 4 ΤΘ Για δεδομένο λir, θεωρούμε τη συνάρτηση f, με cm f λ λ, IR α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A(0,) β) Για λ, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο B(,0), να βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα και σε άλλο σημείο δ) Για λ, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα ΤΘ , αν 0 Δίνεται η συνάρτηση f, με f, αν 0 α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης C f της f με τον άξονα y y β) i) Να χαράξετε τη C f και την ευθεία y, και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους ii) Nα εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y γ) i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η ευθεία y α τέμνει τη C f σε δυο σημεία; ii) Για τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της C με f την ευθεία y α και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii) ΤΘ Δίνονται οι συναρτήσεις f και g, με f και g() 4, IR α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από εκείνη της g γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής y α, Δ, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f ΤΘ Δίνεται η συνάρτηση f, IR α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y γ) Έστω M(,y) σημείο της C f Αν για την τετμημένη του σημείου Μ ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y Μ Παπαγρηγοράκης

61 Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου 55 ΤΘ & Μία μπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει μια τροχιά, μετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t (σε sec) κατά την κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση h(t) 5t 0t, 05 α) Να βρείτε τις τιμές h(0), h() και h() και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήματος β) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η μπάλα θα πέσει στο έδαφος γ) Να αποδείξετε ότι h(t) 5, (t ) δ) Υπάρχει χρονική στιγμή t (σε sec) που το ύψος h της μπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m; ΤΘ Αν ένας κάτοικος μιας πόλης A καταναλώσει κυβικά νερού σε ένα χρόνο, το ποσό που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται (σε ευρώ) από τη συνάρτηση: 0, 5 αν 0 0 f() 0,7 6 αν 0 α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος: α) δεν είχε καταναλώσει νερό β) έχει καταναλώσει 0 κυβικά μέτρα νερού γ) έχει καταναλώσει 50 κυβικά μέτρα νερού β) Σε μια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο g() 0, 6, για 0 Ένας κάτοικος της πόλης A και ένας κάτοικος της πόλης B κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά νερού για το 0 Αν ο κάτοικος της πόλης A πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό από τον κάτοικο της πόλης B, να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δυο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά μέτρα νερού ΤΘ Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, με f() και g(), IR C f και α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των C f και C g β) Επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή στο ερώτημα α) γ) Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, βρείτε για ποιες τιμές του η C f βρίσκεται πάνω από την δ) Με την βοήθεια του ερωτήματος γ), να βρείτε για ποιες τιμές του έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση K ΤΘ Στο διπλανό σχήμα το ABΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ Έστω Ε το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος α) Να αποδείξετε ότι Ε 6 9 με (0,) C g C g β) Να αποδείξετε ότι 9 E για κάθε (0,) γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9 ; 06-07

62 56 Επιλογές από την Τράπεζα Θεμάτων ΤΘ Ένα δημοτικό κολυμβητήριο έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με διαστάσεις 5 m και 5 m Ο δήμος, για λόγους ασφαλείας, θέλει να κατασκευάσει γύρω από το κολυμβητήριο μια πλακοστρωμένη ζώνη με σταθερό πλάτος m ( 0 ), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση: E 4 80, 0 β) Να βρεθεί το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εμβαδό E 500 m γ) Ποιο μπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εμβαδόν μικρότερο από 500 την απάντησή σας m ; Να αιτιολογήσετε ΤΘ Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π 40 cm Αν cm είναι το μήκος του παραλληλογράμμου, τότε: α) Nα αποδείξετε ότι 0 0 β) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν E() του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: E 0 γ) Nα αποδείξετε ότι ισχύει E 00, για κάθε (0,0) δ) Nα αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40 cm, εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0 cm ΤΘ Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο Στο παραπάνω σχήμα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ() και τα έσοδα E() από την πώληση λίτρων λαδιού σε ένα μήνα α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και να ερμηνεύσετε τη σημασία του β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K() και E() και να επαληθεύσετε την απάντηση του ερωτήματος (γ) ΤΘ Δίνονται οι συναρτήσεις f() 4 και g() 9 με πεδίο ορισμού το ΙR α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με τον άξονα β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία (,0) και (,0) γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες δ) Να βρείτε συνάρτηση h της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το Α(0,) και τέμνει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο του ημιάξονα Ο Μ Παπαγρηγοράκης