B ν = 2kT. I ν = 2kT b. Te tν/μ dt ν /μ (59) T b T (1 e τν ) (60) T b τ ν T (61)
|
|
- Δεσποίνη Αλεξόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sta radiokômata (gia hν kt kai e hν/kt 1 hν/kt ) h sun rthsh tou Plank paðrnei thn polô apl morf tou nìmou Rayleigh-Jeans: kai h jermokrasða lamprìthtac dðnetai apì th sqèsh B ν = 2kT λ 2 (57) I ν = 2kT b λ 2 (58) Qrhsimopoi ntac to nìmo Rayleigh-Jeans kai th jermokrasða lamprìthtac antð gia thn èntash, h lôsh thc exðswshc metafor c (38) gr fetai: T b = 0 Te tν/μ dt ν /μ (59) ìpou T h jermokrasða tou pl smatoc. AntÐstoiqa h sqèsh (41) gia thn ekpomp apì peperasmènh phg (p.q. èna nefèlwma) gr fetai: T b T (1 e τν ) (60) Shmei noume ìti sta radiokômata o suntelest c jermik c aporrìfhshc eðnai an logoc me to tetr gwno tou m kouc kômatoc. 'Etsi sta mikr m kh kômatoc to optikì b joc eðnai mikrì (τ ν 1) kai T b τ ν T (61) en sta meg la m kh kômatoc τ ν 1 kai T b T (62) Me b sh ta parap nw mporoôme, metr ntac th jermokrasða lamprìthtac se di forec perioqèc tou radiofwnikoô f smatoc, na entopðsoume thn optik pukn perðptwsh kai na èqoume mia mesh mètrhsh thc jermokrasðac. 4 DiadikasÐec ekpomp c - aporrìfhshc Sto kef laio autì ja exet soume th sôndesh thc ekpomp c kai thc aporrìfhshc thc aktinobolðac me tic fusikèc sunj kec tou ulikoô. K je diadikasða ekpomp c aktinobolðac èqei thn antðstoiq thc diadikasða aporrìfhshc. 'Etsi, antð na qrhsimopoioôme xeqwrist touc suntelestèc ekpomp c kai aporrìfhshc, qrhsimopoioôme to suntelest aporrìfhshc kai th sun rthsh phg c. H teleutaða, sthn perðptwsh TJI, eðnai Ðsh me th sun rthsh tou Plank kai sunep c prosdiorðzetai pl rwc apì th jermokrasða tou mèsou. Me b sh to fasmatikì touc eôroc, Δν, oi diadikasðec ekpomp c -aporrìfhshc diakrðnontai se diadikasðec me suneqèc f sma (Δν ν) kai se diadikasðec me grammikì f sma (Δν ν). Oi perissìterec sundèontai me atomikèc metapt seic, en llec sundèontai me thn allhlepðdrash swmatidðwn me to magnhtikì pedðo to pl sma. 18
2 Suneqèc f sma dðnoun oi diadikasðec pou antistoiqoôn se metapt seic an mesa se dôo energeiakèc katast seic apì tic opoðec h mða toul qiston eðnai eleôjerh. Tètoiec eðnai h met ptwsh hlektrìniou apì dèsmia st jmh sto suneqèc kai antðstrofa (ionismìc - epanasôndesh) kai h met ptwsh an mesa se dôo eleôjerec katast seic (Sq ma 11). Suneqèc f sma mporeð epðshc na prokôyei apì fasmatik dieôrunsh ekpomp c me grammikì f sma (bl. kef laio 4.5 kai 4.6). AktinobolÐa me stenì fasmatikì eôroc proèrqetai apì atomikèc metapt seic an mesa se dèsmiec katast seic (Sq ma 11), kaj c kai apì mh jermikèc ekpompèc se qarakthristikèc suqnìthtec tou pl smatoc kai tic armonikèc touc. Sq ma 11: Energeiakì di gramma ìpou shmei nontai oi dèsmiec - dèsmiec (b-b), dèsmiec - eleôjerec (b-f) kai eleôjerec -eleôjerec (f-f) metapt seic 4.1 Oi katanomèc Boltzmann, Saha kai Maxwell-Boltzmann Gia na upologðsoume touc suntelestèc aporrìfhshc apì atomikèc metapt seic eðnai aparaðthto na gnwrðzoume thn katanom twn hlektronðwn stic energeiakèc st jmec twn atìmwn, thn katanom twn iìntwn diafìrwn bajm n ionismoô kai thn katanom taqut twn twn h- lektronðwn Katanom twn hlektronðwn stic energeiakèc st jmec Sth jermokrasða tou apolôtou mhdenìc ìla ta toma eðnai oudètera kai brðskontai sthn kat tath energeiak st jmh, ìmwc gia megalôterec jermokrasðec k poia toma diegeðrontai kai ta hlektrìni touc anebaðnoun se an terec energeiakèc st jmec. Se kat stash JI o sqetikìc plhjusmìc dôo energeiak n stajm n, i kai j dðnetai apì thn exðswsh Boltzmann: N j N i = g j g i e (χ j χ i )/kt (63) ìpou χ i, χ j, eðnai oi enèrgeiec twn stajm n kai g i, g j ta statistik b rh, pou antiproswpeôoun thn pollaplìthta thc st jmhc, dhlad ton arijmì twn upostajm n pou sugkrotoôn k je st jmh. An i eðnai h kat terh st jmh kai j h an terh, profan c χ i <χ j kai N i >N j, dhlad oi kat terec st jmec èqoun p nta megalôtero plhjusmì apì tic an terec. 'Oso 19
3 ìmwc megal nei h jermokrasða, tìso perissìtera hlektrìnia brðskontai stic an terec st jmec. AjroÐzontac se ìlec tic st jmec paðrnoume: g j N = N j = N i e (χ j χ i )/kt = N i e χ i/kt g j e χ j/kt j=1 j=1 g i g i j=1 kai telik N i N = g i U e χ i/kt ìpou N h olik puknìthta tou iìntoc pou aktinoboleð kai U = g i e χ i/kt j=1 (64) (65) eðnai h sun rthsh diamerismoô. Shmei noume ìti to jroisma sthn (65) apeirðzetai, all sthn pr xh den ft nei mèqri j = epeid oi an terec st jmec sugqwneôontai me to suneqèc. EÐnai fanerì ìti, sthn perðptwsh pou mporèsoume na prosdiorðsoume to sqetikì plhjusmì dôo stajm n to posostì twn atìmwn pou brðskontai se k poia st jmh, mporoôme na p roume apì tic sqèseic (63) (64) mia akìma ektðmhsh thc jermokrasðac. H jermokrasða pou prosdiorðzetai me autìn ton trìpo lègetai jermokrasða diègershc To tomo tou udrogìnou Ac suzht soume sto shmeðo autì th dom kai to f sma tou atìmou tou udrogìnou. Parìmoia dom èqoun kai ìla ta iìnta pou èqoun mìnon èna dèsmio hlektrìnio, p.q. H i, He ii, Li iii klp, pou onom zontai udrogonoeid iìnta. H enèrgeia thc st jmhc i wc proc thn kat tath, dðnetai apì th sqèsh: χ i = hcrz 2 ( 1 1 i 2 ) (66) ìpou z eðnaioatomikìc arijmìc tou pur na (1 gia to H i, 2giato He ii, 3giato Li iii klp) kai R h stajer Rydberg me tim R = cm 1 (67) H posìthta hcr èqei tim Ðsh me 13.6 ev, pou antistoiqeð sthn enèrgeia ionismoô thc kat tathc st jmhc tou atìmou tou udrogìnou. H enèrgeia ionismoô ( dunamikì ionismoô) thc st jmhc i eðnai en to statistikì b roc dðnetai apì th sqèsh: χ i,ion = hcrz 2 1 i 2 (68) g i =2i 2 (69) 20
4 PÐnakac 3: Enèrgeia kai m koc kômatoc gia tic 5 pr tec st jmec twn H i kai He ii H i He ii i OnomasÐa χ i χ i,ion λ cont χ i χ i,ion λ cont suneqoôc (ev) (ev) (Å) (ev) (ev) (Å) 1 Lyman Balmer Paschen Bracket Pfund Ston PÐnaka 3 dðnontai, gia tic 5 pr tec st jmec tou H i kai tou He ii, h enèrgeia, h enèrgeia ionismoô, to antðstoiqo m koc kômatoc kai h onomasða tou suneqoôc. AxioshmeÐwto eðnai ìti h enèrgeia thc deôterhc st jmhc (thc pr thc diegermènhc) eðnai polô kont sto suneqèc. Me b sh tic timèc thc enèrgeiac twn stajm n kai thn exðswsh Boltzmann mporeð na upologisteð h ex rthsh apì th jermokrasða tou plhjusmoô twn energeiak n epipèdwn tou udrogìnou (Sq ma 12). ParathroÔme ìti èna polô meg lo posostì atìmwn brðsketai sthn pr th st jmh, akìma kai gia jermokrasðec p nw apì touc K, lìgw tou meg lhc tim c thc enèrgeiac pou apaiteðtai gia diègersh stic an terec st jmec (bl. PÐnaka 3). Shmei noume epðshc ìti gia meg lec jermokrasðec h trðth st jmh èqei megalôtero plhjusmì apì th deôterh. Autì sumbaðnei epeid h trðth st jmh èqei megalôterh pollaplìthta (g 3 =18en g 2 =8). Gia ton upologismì èqei agnohjeð o ionismìc. Sq ma 12: O plhjusmìc twn tri n kat terwn energeiak n stajm n tou atìmou tou u- drogìnou sunart sei thc jermokrasðac H diafor enèrgeiac an mesa se dôo st jmec, i kai j dðnetai apì mia sqèsh an logh me thn (66): ΔE i,j = hcrz 2 ( 1 i 2 1 j 2 ) (70) 21
5 pou antistoiqeð se m koc kômatoc: ( 1 1 = Rz 2 λ i,j i 1 ) 2 j 2 (71) 'Olec oi grammèc pou èqoun koin kat terh st jmh sugkrotoôn mia fasmatik seir. H seir twn gramm n me koin kat terh st jmh thn pr th onom zetai seir tou Lyman, en oi grammèc pou èqoun koin th deôterh apoteloôn th seir tou Balmer. Sthn trðth, tètarth kai pèmpth st jmh antistoiqoôn oi seirèc twn Paschen, Bracket kai Pfund. Sthn Ðdia seir, h pr th gramm (aut me to megalôtero m koc kômatoc) qarakthrðzetai me to ellhnikì gr mma α, hdeôterh me to β, h trðth me to γ klp. PÐnakac 4: Oi 6 pr tec grammèc twn seir n Lyman, Balmer kai Paschen tou H i Lyman Balmer Paschen 'Onoma λ 'Onoma λ 'Onoma λ (Å) (Å) (Å) Ly α H α Pa α Ly β H β Pa β Ly γ H γ Pa γ Ly δ H δ Pa δ Ly ɛ H ɛ Pa ɛ Ly ζ H ζ Pa ζ Ta m kh kômatoc twn 6 pr twn gramm n twn seir n Lyman, Balmer kai Paschen dðnontai ston PÐnaka 4. Shmei noume ìti h mình seir pou brðsketai sto oratì mèroc tou f smatoc eðnai h seir tou Balmer. H seir tou Lyman brðsketai sto uperi dec, en h seir tou Paschen kai ìlec oi upìloipec brðskontai sto upèrujro. Dedomènou ìti to udrogìno eðnai to pio fjono stoiqeðo sto sômpan, perimènoume na èqoume èntonh thn parousða twn gramm n Balmer sta astrik f smata. Shmei noume ìti ta m kh kômatoc twn gramm n tou He ii eðnai to 1/4 twn antðstoiqwn gramm n tou H i, p.q. h Ly α tou He ii èqei m koc kômatoc 304 Å IsorropÐa ionismoô Se sqetik uyhlèc jermokrasðec k poia toma ionðzontai. H puknìthta thc kat stashc qamhlìterou ionismoô, N i kai thc kat stash uyhlìterou ionismoô, N j, sundèontai me thn exðswsh tou Saha, pou eðnai epèktash thc exðswshc Boltzmann: N j = N i (2πm e kt) 3/2 2 U j e χ i/kt N e h 3 U i (72) ìpou N e h puknìthta twn eleôjerwn hlektronðwn, U 0 kai U i oi sunart seic diamerismoô kai χ 0 h enèrgeia ionismoô thc ligìtero ionismènhc kat stashc (χ 0 = hcrz 2 gia udrogonoeid 22
6 toma). An up rqoun mìno dôo katast seic ionismoô, ìpwc p.q. sthn perðptwsh tou udrogìnou, mporoôme na gr youme opìte h exðswsh tou Saha paðrne th morf N i + N j = N y 1 y = 1 (2πm e kt) 3/2 2 U j e χ i/kt N e h 3 U i (73) ìpou y eðnai o bajmìc ionismoô (y = N i /N ). An, akìma, ìla ta eleôjera hlektrìnia proèrqontai apì ton ionismì tou H (N e = N j ), paðrnoume y 2 1 y = 1 N (2πm e kt) 3/2 h 3 2 U j U i e χ i/kt (74) Sth genik ìmwc perðptwsh ja up rqoun eleôjera hlektrìnia kai apì lla stoiqeða pou ionðzontai pio eôkola apì to udrogìno. Shmei noume ìti ìso megalôterh eðnai h puknìthta twn eleujèrwn hlektronðwn kai kat sunèpeia h pðesh, tìso megalôterec jermokrasðec apaitoôntai gia na epiteuqjeð k poia tim tou bajmoô ionismoô. Sq ma 13: Diègersh kai ionismìc tou atìmou tou udrogìnou 23
7 Tèloc, ìpwc sthn perðptwsh thc diègershc, ètsi kai sthn perðptwsh tou ionismoô, mporoôme na p roume mia ektðmhsh thc jermokrasðac apì thn exðswsh tou Saha, an gnwrðzoume to bajmì ionismoô. H jermokrasða aut onom zetai jermokrasða ionismoô. Sto k tw di gramma tou Sq matoc 13 dðnetai, me b sh thn exðswsh tou Saha, o bajmìc ionismoô tou udrogìnou sunart sei thc jermokrasðac gia dôo timèc thc hlektronik c puknìthtac. 'Opwc perimèname, ìtan aux nei h puknìthta twn eleôjerwn hlektronðwn o ionismìc duskoleôetai. To p nw di gramma tou Sq matoc 13 dðnei thn epðdrash tou ionismoô stouc plhjusmoôc twn qamhl n stajm n tou oudèterou udrogìnou, gia N e =10 8 cm 3. SugkrÐnontac me to Sq ma 12, blèpoume ìti polô gr gora o ionismìc mei nei ton plhjusmì ìlwn twn stajm n Katanom taqut twn Gia ton upologismì thc eleôjerhc -eleôjerhc (f-f) aporrìfhshc, eðnai aparaðthto na gnwrðzoume thn katanom taqut twn twn hlektronðwn. H katanom taqut twn gia swm tia m zac m, k tw apì sunj kec JI, dðnetai apì th sqèsh Maxwell-Boltzmann pou, se mða dieôjunsh, èqei th morf kampôlhc tou Gauss: f(v x )dv x = ( ) m 3/2 e mvx 2/2kT dv x (75) 2πkT Met apì olokl rwsh sth stere gwnða dω, h katanom tou mètrou twn taqut twn eðnai: ( ) m 3/2 f(v)dv =4π v 2 e mv2 /2kT dv (76) 2πkT Sq ma 14: H katanom Maxwell-Boltzmann gia toma udrogìnou kai dôo timèc thc jermokrasðac Stic parap nw ekfr seic h sun rthsh katanom c eðnai kanonikopoihmènh sth mon da. To eôroc thc (75) exart tai apì thn m za tou swmatðou kai th jermokrasða: Δv = ( ln 16 2kT m 24 ) 1/2 (77)
8 en h mèsh tetragwnik tim eðnai: v rms = ( ) 1/2 8kT (78) πm H morf thc katanom c Maxwell-Boltzmann gia toma udrogìnou dðnetai sto Sq ma 14, gia dôo timèc thc jermokrasðac. Ta bèlh deðqnoun th jèsh tou megðstou kai oi diakekommènec grammèc tic timèc thc v rms H jermokrasða pou perigr fei thn katanom taqut twn mèsw thc exðswshc Maxwell- Boltzmann onom zetai kinhtik jermokrasða. Sthn perðptwsh TJI, ìla ta eðdh (oudètera toma, iìnta, hlektrìnia) ja èqoun thn Ðdia kinhtik jermokrasða. Sthn antðjeth perðptwsh k je eðdoc ja èqei th dik tou. Epeid ta eleôjera hlektrìnia eðnai, sqedìn p ntote, se TJI, hkinhtik touc jermokrasða, T e, qrhsimopoieðtai wc jermokrasða anafor c. 4.2 Dèsmiec - eleôjerec atomikèc metapt seic (bound-free) Qarakthristikì thc diadikasðac aut c eðnai ìti se k je dèsmia st jmh antistoiqeð èna energeiakì kat fli pou eðnai h enèrgeia ionismoô (Sq ma 11). Sq ma 15: Suntelest c aporrìfhshc (k tw) kai f sma (ep nw) apì dèsmiec - eleôjerec metapt seic Ο συνολικός συντελεστής απορρόφησης ενός ιόντος (από όλες τις στάθμες) είναι: k ν ρ = N i α i (ν) (79) i min 25
9 όπου α i (ν) είναι η ενεργός διατομήτης μετάπτωσης από τη στάθμη i στο συνεχές, N i η(αριθμητική) πυκνότητα των ιόντων που έχουν ηλεκτρόνια στη στάθμη i και i min ηκατώτερηστάθμηπουμπορείνα ιονιστεί από φωτόνια ενέργειας hν. Για υδρογονοειδήιόντα (ιόντα με ένα δέσμιο ηλεκτρόνιο) η ενεργός διατομήγια τη στάθμη i είναι: α i (ν) = 32π2 3 e 6 R z 4 3 h 3 c ν 3 i 5 g II(i, ν) (80) όπου R η γνωστήμας από το κεφ σταθερά Rydberg, z ο ατομικός αριθμός του πυρήνα και g II (i, ν) ο παράγοντας Gaunt ( 1). Για τον υπολογισμό του συντελεστήαπορρόφησης είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τον πληθυσμό κάθε στάθμης, N i, που προκύπτει από την κατανομή Boltzmann (64). Για υδρογονοειδήάτομα, ισχύουν οι σχέσεις (69) και (66) για τα στατιστικά βάρη και το ενέργεια της στάθμης οπότε, σε συνδυασμό με τα παραπάνω παίρνουμε: k ν ρ = 64π2 3 e 6 Rz 4 N 0 3 h 3 cν 3 e hcrz4 /kt U 0 g II /i 2 kt i 3 e hrz4 i min H ex rthsh tou suntelest aporrìfhshc apì th suqnìthta dðnetai sto Sq ma 15. Ta phd mata antistoiqoôn sta kat flia ionismoô twn stajm n. Sto Ðdio sq ma deðqnei to apotèlesma thc aporrìfhshc sto f sma. H èntash thc aktinobolðac eðnai megalôterh ekeð pou o suntelest c aporrìfhshc eðnai mikrìteroc, giatð h aktinobolða proèrqetai apì bajôtera str mata thc fwtìsfairac pou eðnai jermìtera. Oi apìtomec metabolèc thc èntashc pou ofeðlontai sta kat flia ionismoô tou udrogìnou kai llwn stoiqeðwn diakrðnontai sto f sma tou liou kai twn asteri n. 'Ena mèroc tou hliakoô f smatoc sto uperi dec, pou perilamb nei to ìrio Lyman parousi zetai sto Sq ma 16. (81) Sq ma 16: 'Ena mèroc tou hliakoô f smatoc sto uperi dec. DiakrÐnetai to ìrio Lyman se m koc kômatoc 912 Å kaj c kai grammèc ekpomp c apì di fora iìnta 4.3 EleÔjerec - eleôjerec atomikèc metapt seic (free-free) Apì th skopi thc hlektromagnhtik c jewrðac oi metapt seic autèc mporoôn na jewrhjoôn wc allhlepidr seic iìntwn-eleujèrwn hlektronðwn. Ta eleôjera hlektrìnia aktinoboloôn ( aporrofoôn aktinobolða), kaj c epibradônontai ( epitaqônontai) apì to hlektrikì 26
10 pedðo twn iìntwn. Gia to lìgo autì oi eleôjerec - eleôjerec metapt seic èqoun kai thn onomasða bremsstrahlung (aktinobolða pèdhc). Ο συντελεστής απορρόφησης δίνεται από την έκφραση: k ν ρ = 0 N i N e f(v)α ff (ν, v) dv (82) όπου N i είναι η πυκνότητα των ιόντων, N e η πυκνότητα των ηλεκτρονίων και f(v) η συνάρτηση κατανομής των ταχυτήτων των ηλεκτρονίων. Η ενεργός διατομή είναι: α ff (ν, v) = 2 3 Rz 2 h 2 e 2 g III 3 m 3 πcv ν 3 (83) όπου g III είναι πάλι ένας παράγοντας Gaunt. Χρησιμοποιώντας την κατανομή Maxwell-Boltzmann (69) και εκφράζοντας το γινόμενο N i N e από την εξίσωση του Saha (72), παίρνουμε από τις παραπάνω εξισώσεις: k ν ρ = 16 3 Rz 2 e 2 1 U i kt 3 hc ν 3 U 0 m N 0e χ0/kt g III (84) Sta optik m kh kômatoc h ekpomp f-f eðnai shmantik mìno gia meg lec jermokrasðec (> 10 4 K). 'Omwc sta radiofwnik eðnai ènac apì touc kôriouc mhqanismoôc ekpomp c. H èkfrash tou suntelest aporrìfhshc ekeð eðnai pio apl : ìpou ξ 0.11 gia T 10 4 kai ξ 0.16 gia T Aporrìfhsh apì H N 2 e k ν ξ ν 2 T 3/2 (85) Apì nwrðc ègine fanerì ìti h suneq c aporrìfhsh apì to udrogìno, ta eleôjera hlektrìnia kai ta mètalla den eðnai arket gia na ermhneôsei thn adiaf neia thc hliak c fwtìsfairac. H lôsh dìjhke apì ton Chandrasekhar, pou prìteine wc phg adiaf neiac to arnhtikì iìn udrogìnou (H ) pou eðnai èna prwtìnio me dôo dèsmia hlektrìnia. 'Eqei mìno mða stajer energeiak kat stash me enèrgeia ionismoô ev (pou antistoiqeð se kat fli sto m koc kômatoc Å). To di gramma tou suntelest aporrìfhshc dðnetai sto Sq ma 13. Sq ma 17: Suntelest c aporrìfhshc apì to arnhtikì iìn tou udrogìnou 27
11 4.4 Dèsmiec - dèsmiec metapt seic (bound-bound) Pijanìthtec met ptwshc Ας θεωρήσουμε 2 δέσμιες καταστάσεις, i και j (Σχήμα 18). Υπάρχουν τρείς διαδικασίες μετάπτωσης από τη μία στάθμη στην άλλη που συνδέονται με ακτινοβολία 1 : η απορρόφηση, ηαυθόρμητη εκπομπή και η εξαναγκασμένη εκπομπή. Sq ma 18: Dèsmiec -dèsmiec metapt seic Ο ρυθμός των μεταπτώσεων απορρόφησης από τη στάθμη i στη στάθμη j μπορεί να εκφραστεί σαν N i B ij I ν όπου N i είναι η πυκνότητα της στάθμης i, B ij η πιθανότητα της μετάπτωσης και I ν η ένταση της ακτινοβολίας. Ο ρυθμός μεταπτώσεων αυθόρμητης εκπομπής από τη στάθμη j στη στάθμη i είναι: N j A ji όπου N j είναι η πυκνότητα της στάθμης j και A ji η πιθανότητα της μετάπτωσης. Οι μεταπτώσεις εξαναγκασμένης εκπομπής είναι αποτέλεσμα της επίδρασης του πεδίου της ακτινοβολίας και ο ρυθμός τους θα είναι: N j B ji I ν όπου B ji είναι και πάλι η πιθανότητα της μετάπτωσης. Οι ποσότητες A ji, B ij,καιb ji είναι γνωστές και ως συντελεστές Einstein. Το αντίστροφό τους αντιστοιχεί στο χρόνο ζωής της στάθμης. Η συνθήκη σταθερότητας του πληθυσμού των σταθμών απαιτεί: N i B ij I ν = N j (A ji + B ji I ν ) (86) εκφράζοντας τον λόγο N i /N j από τον νόμο του Boltzmann (63) και βάζοντας I ν = B ν (συνάρτηση του Plank, σχέση (37) ), παίρνουμε από την (86) τις εξής σχέσεις μεταξύ των συντελεστών Einstein: Suntelest c aporrìfhshc A ji = 2hν3 c 2 B ji (87) B ji = g i B ij g j (88) H klassik je rhsh antimetwpðzei to hlektrìnio san swm tio pou kineðtai sto hlektrikì pedðo tou pur na, en to hlektromagnhtikì kôma dra wc exwterik dônamh. H aporrìfhsh 1 Μεταπτώσεις μπορούμε να έχουμε και με συγκρούσεις 28
12 emfanðzetai wc apotèlesma suntonismoô pou sumbaðnei ìtan h suqnìthtatou kômatoc sumpèsei me th suqnìthta peristrof c tou hlektronðou kai o suntelest c aporrìfhshc èqei th morf kampôlhc Lorentz (Sq ma 19): k ν ρ = 2πe2 mc N γ i (ω ω 0 ) 2 + γ 2 (89) ìpou ω eðnai h suqnìthta tou kômatoc, ω 0 h suqnìthta suntonismoô kai γ o suntelest c apìsbeshc: γ = 2 e 2 ω 2 3 mc 2 (90) To hmieôroc thc gramm c, pou eðnai Ðso me ton suntelest apìsbeshc, eðnai to Ðdio gia ìlec tic grammèc kai isoôtai me: Δλ 10 4 Å (91) Sq ma 19: Suntelest c aporrìfhshc fasmatik c gramm c H kbantomhqanik je rhsh, antð thc (80), dðnei: Γ ij k ν ρ = 2πe2 mc N if ij (ω ω ij ) 2 +Γ 2 ij diafèrei dhlad apì thn klassik mìno kat ton diorjwtikì par gonta f ij kai ton par gonta apìsbeshc, Γ ij,poudðnetai t ra apì th sqèsh: (92) Γ ij =Γ i +Γ j (93) ìpou Γ i eðnai o rujmìc apoplhjusmoô thc st jmhc i (to antðstrofì tou, Γ 1 i, eðnai o qrìnoc zw c thc st jmhc) kai eðnai to jroisma twn rujm n ìlwn twn diadikasi n pou apomakrônoun hlektrìnia apì th st jmh: i 1 Γ i = A ik + k=1 j=i+1 i 1 B ij J ν + B ij J ν + ìroi sugkroôsewn (94) j=1 To pr to jroisma sthn (94) antistoiqeð stic aujìrmhtec ekpompèc, to deôtero stic aporrof seic kai to trðto stic exanagkasmènec ekpompèc apì th st jmh i. H tupik tim tou Γ eðnai 10 8 sec 1,pouantistoiqeÐ se hmieôroc Δλ 10 2 Å (95) 29
13 4.4.3 Par gontec dieôrunshc gramm n Pèra apì to fusikì eôroc pou èqei k je gramm, mia seir par gontec thn dieurônoun parapèra, ìpwc ja doôme sth sunèqeia DieÔrunsh Doppler (jermik ) Lìgw twn jermik n kin sewn to m koc kômatoc thc gramm c pou ekpèmpei k je iìn parousi zei met jesh Doppler. Epeid lla iìnta kinoôntai proc ton parathrht kai lla apomakrônontai, èqoume sunolik dieôrunsh thc gramm c. UpenjumÐzoume ìti h met jesh Doppler eðnai: Δν ν 0 = Δλ λ 0 ìpou v l eðnai h sunist sa thc taqôthtac sth dieôjunsh parat rhshc. Η ενεργός διατομήγια ένα ιόν που παρουσιάζει μετάθεση Doppler, Δν, είναι, σύμφωνα με την (92): α ν = κ νρ N = e2 mc f Γ/2π (ν ν 0 Δν) 2 +(Γ/2π) 2 Για να υπολογίσουμε την ενεργό διατομήγια ένα σύνολο ιόντων πρέπει να πολλαπλασιάσουμε επί την παραπάνω ποσότητα με την κατανομήταχυτήτων, f(v l ) και να ολοκληρώσουμε ως προς την ταχύτητα. Η κατάλληλη κατανομήταχυτήτων είναι η Maxwell-Boltzmann (76), οπότε, εκφράζοντας και τη μετάθεση Doppler από την (96) παίρνουμε: α ν = e2 mc f Γ ( ) 1/2 M e Mv2 l /2kT 2π 2πkT (ν ν 0 ν 0 v l /c) 2 +(Γ/2π) 2 dv l (97) = v l c Telik h energìc diatom dðnetai apì th sqèsh: (96) α ν = πe2 mc f 1 Δν D π a e y2 dy π a 2 (98) +(u y) 2 ìpou y, u kai a eðnai adi statec posìthtec kai sundèontai me th taqôthta, th suqnìthta kai ton par gonta apìsbeshc me tic sqèseic: y = v l v th = v l ( ) M 1/2 (99) 2kT u = ν ν 0 Δν D (100) a = Γ 2π 1 Δν D (par gontac apìsbeshc) (101) en, v th = ( 2kT M ) 1/2 (mèsh jermik taqôthta iìntwn) (102) v th kai Δν D = ν 0 c = ν ( ) 1/2 0 2kT (eôroc Doppler) (103) c M H (98) sun jwc gr fetai sth morf : α ν = α 0 H(a, u) (104) 30
14 ìpou kai H(a, u) = a π α 0 = πe2 mc f 1 Δν D π (105) e y2 dy a 2 (106) +(u y) 2 H sun rthsh H(a, u) lègetai sun rthsh Voigt, den mporeð na upologisteð analutik kai h morf thc dðnetai sto Sq ma 16. Gia mikrèc timèc tou u, dhlad kont sto kèntrothc gramm c, èqei morf kampôlhc Gauss (ìpwc h katanom Maxwell-Boltzmann), en stic ptèrugec thc gramm c èqei morf kampôlhc Lorentz (ìpwc o suntelest c aporrìfhshc, sqèsh 89). Sqhmatik : H(a, u) e u2 + a (107) πu 2 H morf tou kentrikoô tm matoc thc gramm c exart tai mìno apì th m za tou iìntoc kai th jermokrasða. To hmieôroc eðnai: Δλ λ 0 = Δν ν 0 = ln 16 v th c (108) Sq ma 20: H morf thc sun rthshc Voigt gia treðc timèc tou suntelest apìsbeshc Ac doôme èna par deigma me mia gramm udrogìnou kai mða sid rou sth hliak fwtìsfaira (T 6000 K). Gia to udrogìno: kai gia λ = 6563 Å (gramm Hα), Δλ Gia ton sðdhro: v th = cm/sec = Δλ/λ = Å v th = v th,h / A ìpou A to atomikì b roc (=55.85 gia ton Fe) kai gia to Ðdio m koc kômatoc paðrnoume Δλ 0.04 Å Gia to lìgo autì o pur nac twn metallik n gramm n èqei mikrìtero eôroc apì ton pur na twn gramm n tou udrogìnou. Shmei noume epðshc ìti to jermikì eôroc tou suntelest aporrìfhshc eðnai arket megalôtero apì to fusikì eôroc (sqèsh 91) 31
15 DieÔrunsh apì sugkroôseic An sth di rkeia allhlepðdrashc hlektromagnhtikoô kômatoc - iìntoc up rxei sôgkroush me llo iìn, to apotèlesma ja eðnai h allag tou eôrouc /kai thc f shc tou ekpempìmenou kômatoc (Sq ma 21). H paramìrfwsh tou hmitonoeidoôc kômatoc eðnai isodônamh me dieôrunsh thc gramm c. Sq ma 21: Apotèlesma sugkroôsewn sthn ekpomp hlektromagnhtikoô kômatoc DieÔrunsh Zeeman UpenjumÐzoume ìti to fainìmeno Zeeman sunðstatai sto diaqwrismì twn energeiak n epipèdwn k tw apì thn epðdrash magnhtikoô pedðou: Δλ = gλ 2 B (109) ìpou to magnhtikì pedðo B metriètai se Gauss, to m koc kômatoc se Å kai g eðnai o par gontac Lande pou prosdiorðzetai apì touc kbantikoôc arijmoôc twn stajm n pou emplèkontai sth met ptwsh kai èqei timèc metaxô 0kai3. 'Otan to magnhtikì pedðo eðnai mikrì, o diaqwrismìc twn sunistws n Zeeman eðnai mikrìc. 'Etsi ìtan parathreðtai h olik èntash thc aktinobolðac (kai ìqi h kuklik pìlwsh), to apotèlesma emfanðzetai wc dieôrunsh thc gramm c DieÔrunsh Stark To fainìmeno Stark eðnai antðstoiqo tou fainìmenou Zeeman, me to hlektrikì pedðo sto rìlo tou magnhtikoô. K tw apì sunhjismènec katast - seic den up rqoun meg lhc klðmakac hlektrik pedða stic astrikèc atmìsfairec, lìgw thc meg lhc agwgimìthtac tou pl smatoc. K je iìn ìmwc dèqetai èna diakumainìmeno hlektrikì pedðo, pou proèrqetai apì lla iìnta kai hlektrìnia. To pedðo autì prokaleð dieôrunsh twn energeiak n stajm n (kai twn antistoðqwn gramm n) kaj c kai an meixh twn anwtèrwn stajm n me to suneqèc. Apotèlesma thc dieôrunshc Stark eðnai ìti den parathroôntai, p.q., oi an terec grammèc thc seir c tou Balmer all apì thn 20h perðpou sugqwneôontai me to antðstoiqo suneqèc. 'Allo apotèlesma eðnai h anuparxða gramm n sthn aktinobolða twn asteri n sta radiokômata, epeid h diafor enèrgeiac gia tètoiec metapt seic eðnai polô mikrìterh apì aut pou antistoiqeð sth dieôrunsh Stark. 4.5 Guromagnhtik aktinobolða Ta fortismèna swm tia, mèsa se magnhtikì pedðo èntashc B, kinoôntai se elikoeideðc troqièc gôrw apì tic dunamikèc grammèc (Sq ma 22), me suqnìthta: ω H = eb mc (110) 32
16 Kaj c h dieôjunsh thc taqôtht c touc all zei, epitaqônontai kai ekpèmpoun aktinobolða stic armonikèc thc gurosuqnìthtac: ω s = sω H /γ 1 β cos θ cos ϕ (111) ìpou s o arijmìc th armonik c, β = v/c, γ = (1 β 2 ) 1/2, θ h gwnða an mesa ston parathrht kai th dieôjunsh tou pedðou kai ϕ h gwnða an mesa sthn taqôthta kai th dieôjunsh tou pedðou. O paronomast c sthn (111) ofeðletai sth met jesh Doppler. Sq ma 22: KÐnhsh hlektronðou se magnhtikì pedðo 'Ena memonwmèno hlektrìnio ja ekpèmyei aktinobolða se diakritèc suqnìthtec, ω 1, ω 2, ω 3,... An h katanom taqut twn twn hlektronðwn eðnai isìtroph, h gwnða ϕ mporeð na p rei timèc apì 0 èwc π ( 1 < cos ϕ<1) pr gma pou prokaleð dieôrunsh thc perioq c suqnot twn ekpomp c an mesa stic suqnìthtec ω s1 = ω s1 = 'Etsi to fasmatikì eôroc thc ekpomp c gðnetai: sω H /γ, 1 β cos θ gia cos ϕ =1 kai, sω H /γ, 1+βcos θ gia cos ϕ = 1 Δω ω =2β cos θ (112) Parapèra dieôrunsh èqoume epeid ìla ta hlektrìnia den èqoun thn Ðdia enèrgeia. Gia enèrgeiec pou antistoiqoôn sta jermik hlektrìnia tou hliakoô stèmmatoc (T 10 6 K), oi armonikèc eðnai akìma diakritèc kai èqoume shmantik sumbol mìno apì tic qamhlìterec (mèqri s 4). H ekpomp aut onom zetai guromagnhtik. Se megalôterec enèrgeiec (p nw apì 100 kev) sumb lloun sthn ekpomp kai oi an terec armonikèc, en to f sma gðnetai sqedìn suneqèc giatð oi an terec armonikèc dieurônontai tìso pou allhlepikalôptontai (aktinobolða gurosôgqrotron). Tèloc se polô meg lec enèrgeiec (γ 1) to f sma eðnai suneqèc (aktinobolða sôgqrotron). 4.6 AktinobolÐa apì kômata pl smatoc Ta kômata pl smatoc eðnai hlektrostatikèc talant seic pou sqetðzontai me diaqwrismì jetik n-arnhtik n fortðwn. H suqnìthta touc eðnai: 4πNe e ω p = 2 (113) m e 33
17 An kai ta kômata pl smatoc den eðnai hlektromagnhtik, h allhlepðdras touc me lla kômata (p.q. iontoakoustik kômata) mporeð na dìsei hlektromagnhtik aktinobolða sth suqnìthta pl smatoc kai thn pr th armonik thc. Ston mhqanismì autì ofeðlontai isqurèc ekpompèc tou liou sta metrik radiokômata, oi opoðec sundèontai eðte me dèsmec hlektronðwn me kômata kroôshc pou dhmiourgoôntai qamhl sto hliakì stèmma kai kinoôntai proc ta ep nw. 5 Fasmatikèc grammèc Ta astrik f smata eðnai gem ta apì fasmatikèc grammèc, pou perièqoun èna pl joc apì plhroforðec gia tic fusikèc sunj kec thc astrik c atmìsfairac. Gia to lìgo autì ja afier soume autì to kef laio sth melèth tou sqhmatismoô touc. 5.1 Parathr simec posìthtec Onom zoume profðl thc gramm c (Sq ma 23) to di gramma thc eidik c èntashc ( thc ro c) sunart sei thc suqnìthtac ( tou m kouc kômatoc). H perioq tou profðl kont sto el qisto thc èntashc onom zetai kèntro thc gramm c pur nac, en oi perioqèc kont sto suneqèc onom zontai ptèrugec. OrÐzoume thn èntash thc gramm c, r ν,(residual intensity) wc: ìpou I c h èntash tou geitonikoô suneqoôc. r ν = I ν I c (114) To b joc thc gramm c orðzetai san: kai to isodônamo eôroc: Sq ma 23: ProfÐl fasmatik c gramm c α ν =1 r ν = I c I ν I c (115) W ν = 0 α ν dν (116) To isodônamo eôroc parist nei to eôroc gramm c me b joc Ðso me th mon da kai tetragwnikì profðl pou apokìptei tìsh aktinobolða ìso kai h sugkekrimènh gramm. 34
r ν = I ν I c α ν =1 r ν = I c I ν W ν =
An kai ta kômata pl smatoc den eðnai hlektromagnhtik, h allhlepðdras touc me lla kômata (p.q. iontoakoustik kômata) mporeð na dìsei hlektromagnhtik aktinobolða sth suqnìthta pl smatoc kai thn pr th armonik
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sthn KosmologÐa
Eisagwg sthn KosmologÐa BasileÐou S. Gerogiˆnnh Kajhght Tm matoc Fusik c PanepisthmÐou Patr n Patra 2009 Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Gwniakì mègejoc, parsèk, ètoc fwtìc O parathrht c tou Sq matoc 1.1 parathreð
Διαβάστε περισσότεραSUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN 5h Seirˆ Ask sewn Allag metablht n sto diplì olokl rwma Jèma. Qrhsimopoi ntac
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS 6h Seirˆ Ask sewn OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic me stajeroôc suntelestèc Jèma
Διαβάστε περισσότεραJerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac
Kbantik Perigraf tou Kìsmou mac KwnstantÐnoc Sfètsoc Kajhght c Fusik c Genikì Tm ma, Panepist mio Patr n Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Ti ennooôme
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc
Διαβάστε περισσότεραDiakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)
Diakritˆ Majhmatikˆ I Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) PlhroforÐec... Tetˆrth, 09.00-11.00, Paraskeu, 18.00-20.00 SÔggramma 1: Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic > diaforikèc
Διαβάστε περισσότερα25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh
Διαβάστε περισσότεραDiˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.
Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x;
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 20 Maòou 200 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,...,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier για σήματα και συνεχούς χρόνου Λυμένες ασκήσει ις Κνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2,
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Ηλεκτροδυναμική II
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2
UpenjumÐseic gia thn Jetik kai Teqnologik KateÔjunsh Kajhght c: N.S. Maurogi nnhc 1 Tautìthtec - Anisìthtec 1. (α ± ) = α ± α +. (α ± ) 3 = α 3 ± 3α +3α ± 3 3. α 3 ± 3 =(α ± ) ( α α + ) 4. (α + + γ) =
Διαβάστε περισσότερα11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 7 0 11 OktwbrÐou 2012 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t),
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραGENIKEUMENA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA Anplhrwt c Kjhght c: Dr. Pppˆc G. Alèndroc GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA H ènnoi tou orismènou
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 3: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη
Διαβάστε περισσότεραAnaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I. Aìristo Olokl rwma 2. Orismèno Olokl rwma 3. Diaforetik èkfrash tou aìristou oloklhr matoc H Sunˆrthsh F ()
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA 1. EpikampÔlio Olokl rwma 1ou eðdouc Efarmogèc 2. Dianusmatikˆ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 4: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός aplace Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 03 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1 Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio
Διαβάστε περισσότεραΣχήμα 1.1: Διάφορες ισόχρονες καμπύλες με διαφορετικές μεταλλικότητες Ζ, και περιεκτικότητα σε ήλιο Υ.
Perieqìmena 1 Astrik sm nh 3 1.1 Sm nh kai astrik exèlixh.................... 4 1.1.1 Isìqronec - Jewrhtik HR diagr mmata........ 4 1.1.2 Parathrhsiak diagr mmata............... 7 1.1.3 Astrik sm nh san
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sth Grammik 'Algebra Tìmoc B DeÔterh 'Ekdosh Dhm trhc B rsoc Dhm trhc Derizi thc Miq lhc Mali kac OlumpÐa Talèllh Prìlogoc Sto pr to mèroc autoô tou tìmou meletoôme idiìthtec enìc tetragwnikoô
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Άσκηση 2η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HU578: 2 η Seirˆ Ask sewn AporÐec: yannis@csd.uoc.gr 1. (aþ) Sac dðdetai o anadromikìc
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN h Seirˆ Ask sewn Akrìtata pragmatik n sunart sewn 1. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata
Διαβάστε περισσότερα5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh G, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn
Διαβάστε περισσότεραKBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.
Jèma 1: KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 AugoÔstou 001 SwmatÐdio mˆzac m kineðtai sto kentrikì dunamikì V (r) = λ log (r/a). Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac na brejeð h mèsh tim tou tetrag nou
Διαβάστε περισσότεραISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA
ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc
Διαβάστε περισσότεραÈ Ö Ñ Ø Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö¹ Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ασκήσεις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec
Διαβάστε περισσότεραAsk seic me ton Metasqhmatismì Laplace
Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Epimèleia: Gi rgoc Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc 8 IounÐou 4. 'Estw to s ma { A, t T x(t), alloô () (aþ) Na upologðsete to metasq. Fourier
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραMègisth ro - elˆqisth tom
15 DekembrÐou 2009 DÐnetai grˆfoc (N, A) me ìria ro c x ij [b ij, c ij ] gia kˆje akm (i, j) kai dôo epilegmènouc kìmbouc s kai t. Jèloume na upologðsoume th ro sto grˆfo, ste na megistopoieðtai h apìklish
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών To genikì prìblhma, na broôme to mègisto elˆqisto miac sunˆrthshc
Διαβάστε περισσότερα1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,...
To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc 2 Prìlogoc Oi pr toi arijmoð, 2, 3, 5, 7,,..., eðnai ekeðnoi oi fusikoð arijmoð oi opoðoi èqoun akrib c dôo diairètec,
Διαβάστε περισσότεραPragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic
Pragmatik Anˆlush (2010 11) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Omˆda A' 1. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai F, G uposônola tou X. An to F eðnai kleistì kai to G eðnai anoiktì, deðxte ìti to F \ G eðnai kleistì
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση. σήματα και συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier διακριτού χρόνου Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής για σήματα και συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραf(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,
NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n 2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 2
Kefˆlaio 2 Ergasthriak 'Askhsh 2 Οπου θα δούμε πώς μπορούμε να ορίζουμε δικές μας διαδικασίες και θα παρουσιάσουμε τις primitive διαδικασίες χειρισμού λιστών, τις μεταβλητές και τα side effects. 2.1 P
Διαβάστε περισσότεραARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS POLUTEQNIKH SQOLH TMHMA HLEKTROLOGWN MHQANIKWN & MHQANIKWN UPOLOGISTWN TOMEAS THLEPIKOINWNIWN Diplwmatik ErgasÐa tou Papadìpoulou N. Iw nnh Melèth thc 'AllhlepÐdrashc
Διαβάστε περισσότεραAM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera
Διαβάστε περισσότεραspin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )
SummetrÐec kai Quarks Nikìlaoc A. Tetr dhc Iw nnhc G. Flwr khc 2 Perieqìmena Eisagwgikèc ènnoiec 5. Eisagwg............................. 5.2 SummetrÐa Isospin......................... 0 2 StoiqeÐa JewrÐac
Διαβάστε περισσότεραUpologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013
Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc
Διαβάστε περισσότεραAnaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn
Tmhma Fusikhc Aristoteleio Panepisthmio Jessalonikhc Ptuqiakh Ergasia Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Ajanˆsioc MourtetzÐkoglou A.E.M.:13119 epiblèpwn kajhght c G. Bougiatz c 8 IoulÐou
Διαβάστε περισσότερα2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2
Parathr seic sta Jèmata Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc tou ètouc 7 Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc 1 IounÐou 7 PerÐlhyh Oi shmei seic autèc anafèrontai sta jèmata Majhmatik n Jetik
Διαβάστε περισσότεραEUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN 1 Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh gra
EUSTAJEIA DUNAMIKWN SUSTHMATWN Eisagwg O skop c tou par ntoc kefala ou e nai na parousi sei th basik jewr a gia th mel th thc eust jeiac en c mh grammiko sust matoc. 'Opwc e nai gnwst, h genik l sh en
Διαβάστε περισσότεραHmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS MAJHMATIKHS ANALUSHS PETROS GALANOPOULOS Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart
Διαβάστε περισσότεραMÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac
MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac Nikìlac BroÔsalhc nicholas.vrousalis@lmh.ox.ac.uk 29 OktwbrÐou 2007 1 KĹpoiec basikèc diakrðseic 1.1 Ish Mèrimna Φέροµαι εξίσου στην Α και στον Β vs.
Διαβάστε περισσότεραAnagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2
Jeìdwroc Alexìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c Theodoros Alexopoulos, Associate Professor EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN KAI DEPARTMENT OF PHYSICS
Διαβάστε περισσότερα10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE
10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ
Διαβάστε περισσότερα2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka
MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra,
Διαβάστε περισσότεραI
Panepist mio Patr n Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Tomèas Efarmosmènhs An lushs Eust jeia kai Q oc Qamilt niwn Susthm twn Poll n Bajm n EleujerÐac: Apì thn Klasik sth Statistik Mhqanik Didaktorik
Διαβάστε περισσότεραΩ = A f 2. f 2. ds = D2. f 2 (2.5) J ν (z) = 1 2. F ν (z) =
Κεφάλαιο 2 Διαγνωστική του ηλιακού πλάσματος 2.1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος της πληροφορίας που παίρνουμε για τον Ηλιο περιέχεται στην ηλεκτρομαγνητική του ακτινοβολία. Είναι λοιπόν απαραίτητο να συνδέσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση Ι. Γ. Στρατής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, 2006 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 203 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 2: Εκτίμηση Παραμέτρων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΣήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειρά Fourier)
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου Περιοδικά Σήματα (Σειράά Fourier) Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 1 12 AprilÐou 2013 Eisagwgikˆ sthn ektðmhsh paramètrwn t.m. X me katanom F X (x; θ) Parˆmetroc θ: ˆgnwsth θ µ, σ 2, p DeÐgma {x 1,..., x n }: gnwstì
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007
Διαβάστε περισσότεραShmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc
Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc Apìstoloc Giannìpouloc 1 Panepisthmio Krhthc Tmhma Majhmatikwn Anoixh 2003 1 Tm. Majhmatik n, Panep. Ajhn n 2 Perieqìmena 1 Μετρικοί χώροι 5 1.1 Ορισμός................................................
Διαβάστε περισσότεραYWMIADH BASILEIOU fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN METALLIKWN KATASKEUWN UPO TO TRISDIASTATO KRITHRIO DIARROHS TRESCA ME TEQNIKES TOU HMIJETIKO
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN TOMEAS EPISTHMHS KAI TEQNOLOGIAS TWN KATASKEUWN YWMIADH BASILEIOU PtuqioÔqou PolitikoÔ MhqanikoÔ fifianalush PROSARMOGHS ELASTOPLASTIKWN
Διαβάστε περισσότεραFarkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k
Kefˆlaio 1 DiaqwrÐzon UperepÐpedo L mma Farkas 1.1 Kurtˆ SÔnola 'Ena uposônolo C tou R n onomˆzetai kurtì an, gia kˆje x,y C kai kˆje λ [0,1], αx+(1 α)y C. An a i, i = 1,2,...,m eðnai dianôsmata ston R
Διαβάστε περισσότερα2
LOGISMOS METABOLWN & EFARMOGES STH MAJHMATIKH MONTELOPOIHSH PTUQIAKH ERGASIA DIONUSHS JEODOSHS-PALIMERHS A.M. : 311/2003028 EPIBLEPWN: NIKOLOPOULOS QRHSTOS A PANEPISTHMIO AIGAIOU TMHMA MAJHMATIKWN SAMOS
Διαβάστε περισσότεραJEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I
JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte
Διαβάστε περισσότεραthlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.
A' GumnasÐou Sq. Sumb. kl. PE03 GiatÐ epibˆlletai h eisagwg thc sôgqronhc teqnologðac sthn ekpaðdeush. Η Πληροφοριοποίηση της κοινωνίας. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα του εκπαιδευτικού συστήματος. Η σημερινή
Διαβάστε περισσότεραPerÐlhyh H moriak arqitektonik kai o sqediasmìc polôplokwn morðwn pou perièqoun foullerènia antiproswpeôei èna pedðo thc upermoriak c epist mhc sto op
DIDAKTORIKH DIATRIBH MORIAKH MONTELOPOIHSH THS UGROKRUSTALLIKHS SUMPERIFORAS UPERMORIAKWN SUSTHMATWN POU PERIEQOUN FOULLERENIA StaÔrou D. PeroukÐdh upoblhjeðsa sto Diatmhmatikì Prìgramma Metaptuqiak n
Διαβάστε περισσότεραHU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier
HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt
Διαβάστε περισσότερα+#!, - ),,) " ) (!! + Henri Poincar e./ ', / $, 050.
Topologik Taxinìmhsh Dunamik n Susthm twn StaÔroc AnastasÐou Didaktorikh Diatribh Panepisthmio Patrwn Sqolh Jetikwn Episthmwn Tmhma Majhmatikwn Patra 2012 H Trimelhc Sumbouleutikh Epitroph SpÔroc N. Pneumatikìc,
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
1 OktwbrÐou 2012 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc
Διαβάστε περισσότεραMELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN
IWANNH D. STAMPOLA MAJHMATIKOU MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN q-poluwnumwn DIDAKTORIKH DIATRIBH TMHMA MAJHMATIKWN SQOLH JETIKWN EPISTHMWN PANEPISTHMIO PATRWN PATRA 2004 Stouc goneðc mou kai
Διαβάστε περισσότεραShmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n B' MEROS 3 EPIFANEIES sto QWRO Epifˆneia gia thn perigraf thc qreiˆzontai dôo parˆmetroi mia eidik
Διαβάστε περισσότεραΑστρικές Ατμόσφαιρες Ισορροπίες Βασικοί Ορισμοί
Αστρικές Ατμόσφαιρες Ισορροπίες Βασικοί Ορισμοί Ισορροπία Θερμική Θερμοδυναμική Υδροστατική Ακτινοβολιακή Θερμική Ισορροπία Συνθήκη Θερμικής Ισορροπίας: dl dm r r ε: συντελεστής παραγωγής ενέργειας (de/gr/sec)
Διαβάστε περισσότερα(U) (+) (+) dq + dw = du + d(v 2 /2) C v dt, du = C v dt u 2 u 1 = T 1. dq + dw = du + d(v 2 /2) + vdp + pdv. dq + dw = d(h + V 2 2 )=dh t. T v=const.
DPMS PARAGWGH KAI DIAQEIRISH ENERGEIAS JermikoÐ StajmoÐ Paragwg c Jermikèc Strobilomhqanèc Epimèleia: K.Q. Giann koglou, Anaplhrwt c Kajhght c EMP 3 AprilÐou 006 Perieqìmena Arqèc Jermodunamik c. Anoikt
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN Anaplhrwt c Kajhght c: Dr. Pappˆc G. Alèandroc Perieqìmena. Sumbolismìc kai OrologÐa..
Διαβάστε περισσότεραÅ Ó Ó ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ. ÁóêÞóåéò. ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ
ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ ËÕÊÅÉÏ ôçò ÅÕÁÃÃÅËÉÊÇÓ Ó ÏËÇÓ ÓÌÕÑÍÇÓ Å Ó Ó Å ÅÔÏÓ É ÉÄÑÕÓÇÓ 1733 ÔÁÎÇ Ã MáèçìáôéêÜ ÃåíéêÞò Ðáéäåßáò ÁóêÞóåéò EEEbbBBeee ÊáèçãçôÞò: Í.Ó. ÌáõñïãéÜííçò Ó ïëéêü ôïò 2008-2009 Πειραματικο Λυκειο
Διαβάστε περισσότεραN.Σ. Μαυρογιάννης 2010
N.Σ. Μαυρογιάννης 200 Το παρόν µπορεί να διανεµηθεί και να αναπαραχθεί ελεύθερα µε την παράκληση να διατηρηθεί η αρχική του µορφή Προλεγόµενα Στην µαθηµατική λέσχη http://clubs.pathfinder.gr/mathematica/
Διαβάστε περισσότεραEfarmogËc twn markobian n alus dwn
Kefàlaio 7 EfarmogËc twn markobian n alus dwn 7.1 Eisagwg Sto kefàlaio autï ja do me merikëc efarmogëc twn markobian n alus dwn stic s gqronec epist mec kai sthn teqnolog a. Ja do me giat h mhqan anaz
Διαβάστε περισσότερα9.2 Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot
trisdiastatastoepipedo_.nb 9. Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο 9.. Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot Me thn ContourPlot[f[x,y], {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] scediάzoume thn f[x,y]
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 3
Kefˆlaio 3 Ergasthriak 'Askhsh 3 Οπου θα δούμε τις λογικές συναρτήσεις και θα εμβαθύνουμε λίγο περισσότερο στις λίστες και τις μεταβλητές. 3.1 Logikèc Sunart seic Οι λογικές συναρτήσεις (logical ή boolean
Διαβάστε περισσότεραEJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH HLEKTROLOGWN MHQANIKWN KAI MHQANIKWN UPOLOGISTWN TOMEAS TEQNOLOGIAS PLHROFORIKHS KAI UPOLOGISTWN ERGASTHRIO UPOLOGISTIKWN SUSTHMATWN Enopoihmènh efarmog metasqhmatism
Διαβάστε περισσότεραG. A. Cohen ** stìqo thn kubernhtik nomojesða kai politik, den upˆrqei tðpota to qarakthristikì sth morf thc.)
Εκεί που βρίσκεται η πράξη: Περί του πεδίου της διανεμητικής δικαιοσύνης G. A. Cohen ** Mετάφραση: Νικόλας Βρούσαλης Ι Σε αυτή την εργασία υπερασπίζομαι έναν ισχυρισμό που μπορεί να εκφραστεί με ένα οικείο
Διαβάστε περισσότεραΦυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης
FÔlla Majhmatik c PaideÐac Φυλλο 3, 9 Απριλιου 2010 StoiqeiojeteÐtai me to L A TEX 2ε Epimèleia: N.S. Maurogi nnhc, Dr Majhmatik n Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc mavrogiannis@gmail.com 1
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραTm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008
Tm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008 Jèma 1. a 'Enac upologist c dèqetai kajhmerinˆ e-mail. Apì prohgoômena dedomèna gnwrðzoume ìti ta 7/10 twn e-mailc pou stèlnontai
Διαβάστε περισσότεραSofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec
Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma GewmetrÐec SofÐa ZafeirÐdou Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2018 Oi shmei seic autèc grˆfthkan gia tic anˆgkec tou maj matoc GewmetrÐa.
Διαβάστε περισσότεραANAGNWRISH MOUSIKOU EIDOUS: MIA BIO-EMPNEUSMENH POLUGRAMMIKH PROSEGGISH Metaptuqiak Diatrib IWANNH K. PANAGAKH PtuqioÔqou tou Tm matoc Plhroforik c kai Thlepikoinwni n, E.K.P.A. Epiblèpwn: KwnstantÐnoc
Διαβάστε περισσότεραS ntomh istorik eisagwg H uperbolik gewmetr a dhmiourg jhke sto pr to mis tou 19ou ai na kat thn prosp jeia katan hshc twn eukle deiwn axiwm twn thc t
S ntomh istorik eisagwg H uperbolik gewmetr a dhmiourg jhke sto pr to mis tou 9ou ai na kat thn prosp jeia katan hshc twn eukle deiwn axiwm twn thc t te gnwst c gewmetr ac. E nai nac t poc mh-eukle deiac
Διαβάστε περισσότεραEukleideiec Gewmetriec
Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh.
Διαβάστε περισσότερα